第2章 培优课5 电磁感应中的动力学、能量和动量问题（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中物理选择性必修 第二册（人教版2019）

培优课五　电磁感应中的动力学、能量和动量问题 [学习目标] 1.能根据电流的变化分析导体棒、线框受力的变化情况和运动情况(科学思维).2.会用动能定理、动量定理、能量守恒定律、动量守恒定律分析电磁感应的有关问题(科学思维)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 电磁感应中的动力学问题 1．电磁感应问题中电学对象与力学对象的相互制约关系 2．两种状态 (1)导体处于平衡状态——静止或匀速直线运动状态． 处理方法：根据平衡条件(合力等于零)列式求解． (2)导体处于非平衡状态——加速度不为零．处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系进行分析． 3．电磁感应中的动力学临界问题 基本思路：导体受外力运动感应电动势感应电流导体受安培力→合力变化加速度变化→速度变化→感应电动势变化…→a＝0，v达到最大值． 【例题1】 如图所示，AB、CD是两根足够长的固定平行金属导轨，两导轨间的距离为L，导轨平面与水平面间的夹角为θ，在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在导轨的AC端连接一个阻值为R的电阻，一根质量为m、垂直于导轨放置的金属棒ab，从静止开始沿导轨下滑，求此过程中ab棒的最大速度．已知ab与导轨间的动摩擦因数为μ，导轨和金属棒的电阻都不计． 思维导引：由电磁感应分析棒的受力情况，再确定棒的运动情况，即可求解． 解析　ab下滑时因切割磁感线，要产生感应电动势，根据电磁感应定律有E＝BLv， ① 闭合电路ACba中将产生感应电流，根据闭合电路欧姆定律有I＝， ② 根据右手定则可判定感应电流方向为aACba，再据左手定则判断ab受到的安培力F安方向如图所示，其大小为 F安＝BIL， ③ 由①②③式可得F安＝. 取平行和垂直于导轨的两个方向对ab所受的力进行正交分解，应有FN＝mgcos θ，Ff＝μmgcos θ. 以ab为研究对象，根据牛顿第二定律有 mgsin θ－μmgcos θ－＝ma. ab做加速度减小的变加速运动，当a＝0时速度达到最大． 因此，ab达到vmax时应有mgsin θ－μmgcos θ－＝0. 解得vmax＝. 答案　 【变式1】 如图甲所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L，M、P两点间接有阻值为R的定值电阻，一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直，整套装置处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下，导轨和金属杆的电阻可忽略，让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦．(重力加速度为g) 　 (1)由b向a方向看到的装置如图乙所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中的受力示意图； (2)在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求此时ab杆中的电流大小及其加速度的大小； (3)求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值． 解析　(1)如图所示，ab杆受重力mg，方向竖直向下；支持力FN，方向垂直于导轨平面向上；安培力F安，方向沿导轨向上． (2)当ab杆的速度大小为v时，感应电动势E＝BLv， 则此时电路中的电流I＝＝， ab杆受到的安培力F安＝BIL＝， 根据牛顿第二定律，有 mgsin θ－F安＝ma， 联立各式得a＝gsin θ－. (3)当a＝0时，ab杆达到最大速度vm， 即有mgsin θ＝，解得vm＝. 答案　(1)见解析图　(2)　gsin θ－　(3) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 电磁感应中的能量问题 1．电磁感应现象中的能量转化 安培力做功 2．电磁感应现象中能量变化的特点 做功情况 能量变化特点 滑动摩擦力做功 有内能产生 重力做功 重力势能必然发生变化 克服安培力做功 必然有其他形式的能转化为电能，并且克服安培力做多少功，就产生多少电能 安培力做正功 电能转化为其他形式的能 3.焦耳热的计算 (1)电流恒定时，根据焦耳定律求解，即Q＝I2Rt. (2)感应电流变化，可用以下方法分析： ①利用动能定理，求出克服安培力做的功W安，即Q＝|W安|. ②利用能量守恒定律，焦耳热等于其他形式能量的减少量． 4．求解电磁感应现象中能量问题的思路 (1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律确定感应电动势的大小和方向． (2)画出等效电路，求出回路中消耗电功率的表达式． (3)分析导体机械能的变化，用能量守恒定律得到导体做功的功率的变化与回路中电功率的变化所满足的关系． 【例题2】 如图所示，光滑固定的平行金属导轨平面与水平面的夹角θ＝30°，导轨间距为L＝0.5 m，上端接有R＝3 Ω的电阻，一垂直于轨道平面向下、磁感应强度大小为B＝2 T的磁场区域宽度为d＝0.8 m．放在轨道上的一质量为m＝0.08 kg、电阻为r＝2 Ω金属杆a，从距磁场上边缘s处由静止释放，金属杆进入磁场上边缘的速度v＝1 m/s.当金属杆运动至磁场中央之后可匀速穿过磁场，两轨道的电阻可忽略不计，杆在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，重力加速度g取10 m/s2，求： (1)金属杆距磁场上边缘的距离s； (2)金属杆通过磁场区域的过程中通过金属杆的电荷量q； (3)金属杆通过磁场区域的过程中电阻R上产生的焦耳热Q. 思维导引：把握过程中的能量变化解题． 解析　(1)由能量守恒定律得mgssin 30°＝mv2. 金属杆距磁场上边缘的距离s＝0.1 m. (2)由法拉第电磁感应定律＝， 由闭合电路欧姆定律＝， 解得金属杆通过磁场区域的过程中通过金属杆的电荷量q＝Δt＝＝＝0.16 C. (3)设金属杆穿出磁场区域时速度为v1，则有 mgsin 30°＝， 解得v1＝2 m/s， 则由动能定理可得 mg(s＋d)sin 30°－W安＝mv－0. 则有Q＝W安＝0.2 J. 则电阻R上产生的焦耳热Q′＝Q＝0.12 J. 答案　(1)0.1 m　(2)0.16 C　(3)0.12 J 【变式2】 如图所示，电阻为0.1 Ω的正方形单匝线圈abcd的边长为0.2 m，bc边与匀强磁场边缘重合．磁场的宽度等于线圈的边长，磁感应强度大小为0.5 T．在水平拉力作用下，线圈以8 m/s的速度向右穿过磁场区域．线圈在上述过程中，求： (1)感应电动势的大小E； (2)所受拉力的大小F； (3)感应电流产生的热量Q. 解析　(1)感应电动势E＝Blv， 代入数据解得E＝0.8 V. (2)感应电流为I＝， 拉力的大小等于安培力的大小，则F＝BIl， 解得F＝， 代入数据得F＝0.8 N. 线圈的运动时间为t＝， 由焦耳定律可得Q＝I2Rt， 解得Q＝， 代入数据解得Q＝0.32 J. 答案　(1)0.8 V　(2)0.8 N　(3)0.32 J 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 电磁感应中的动量问题 1．动量定理在电磁感应中的应用 导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，安培力的冲量为I安＝LBt＝BLq，通过导体棒或金属框的电荷量为q＝Δt＝Δt＝n·Δt＝n，磁通量变化量ΔΦ＝BΔS＝BLx.如果安培力是导体棒或金属框受到的合外力，则I安＝mv2－mv1.当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时用动量定理求解更方便． 2．动量守恒定律在电磁感应中的应用 在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力为系统内力，如果两安培力等大反向，且它们受到的外力的合力为0，则满足动量守恒条件，运用动量守恒定律求解比较方便．这类问题可以从以下三个观点来分析： (1)力学观点：通常情况下一个金属杆做加速度逐渐减小的加速运动，而另一个金属杆做加速度逐渐减小的减速运动，最终两金属杆以共同的速度匀速运动． (2)动量观点：如果光滑导轨间距恒定，则两个金属杆的安培力大小相等，则双金属杆组成的系统动量守恒． (3)能量观点：其中一个金属杆动能的减少量等于另一个金属杆动能的增加量与回路中产生的焦耳热之和． 【例题3】 (多选)如图所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为L，导轨电阻均可忽略不计．在M和P之间接有一阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻也为R，并与导轨垂直且接触良好．整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，现给ab杆一个初速度v0，使杆向右运动，最终ab杆停止在导轨上．下列说法正确的是(　　) A．ab杆将做匀减速运动直到静止 B．ab杆速度减为时，ab杆加速度大小为 C．ab杆速度减为时，通过定值电阻R的电荷量为 D．ab杆速度减为时，ab杆通过的位移为 思维导引：杆做加速度减小的变速运动，无法直接用运动学求过程量，可利用动能定理或动量定理列式求解． 答案　BD 解析　ab杆在水平方向上受到与运动方向相反的安培力，安培力大小为FA＝，加速度大小为a＝＝，由于速度减小，所以ab杆做加速度减小的变减速运动直到静止，选项A错误；当ab杆的速度为时，安培力大小为F＝，所以加速度大小为a＝＝，选项B正确；对ab杆，由动量定理得－BL·Δt＝m－mv0，即BLq＝mv0，解得q＝，所以通过定值电阻的电荷量为，选项C错误；由q＝＝，解得ab杆通过的位移x＝＝，选项D正确． 【变式3】 (多选)如图所示，水平面上有足够长的平行光滑金属导轨MN和PQ，导轨间距为L，电阻不计，导轨所处空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B．导轨上放有质量均为m、电阻均为R的金属棒a、b.开始时金属棒b静止，金属棒a获得向右的初速度v0，从金属棒a开始运动到最终两棒以相同的速度匀速运动的过程中，经过每个金属棒的电荷量为q，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，下列说法正确的是(　　) A．a做匀减速直线运动，b做匀加速直线运动 B．最终两金属棒匀速运动的速度为 C．两金属棒产生的焦耳热为 D．a和b距离的增加量为 答案　BC 解析　金属棒a向右运动切割磁感线，根据右手定则可知在回路中产生逆时针方向的感应电流，根据左手定则可知，a棒受到向左的安培力，b棒受到向右的安培力，a棒在安培力作用下做减速运动，b棒在安培力作用下做加速运动，两棒的速度差减小，总电动势E＝Bl(va－vb)减小，感应电流减小，安培力减小，加速度减小，即a做加速度减小的减速直线运动，b做加速度减小的加速直线运动，选项A错误；a、b两棒组成的系统所受合力为零，动量守恒，设最终达到的共同速度为v，由动量守恒定律，得mv0＝2mv，解得v＝，选项B正确；根据能量守恒定律，整个过程产生的焦耳热Q＝mv－(2 m)·v2＝，选项C正确；根据电荷量的推论公式q＝＝，解得a和b距离的增加量Δx＝，选项D错误． 1.(电磁感应的动力学问题)(多选)如图所示，相距为d的两水平虚线L1和L2分别是水平向里的匀强磁场的上下两个边界，磁场的磁感应强度大小为B，正方形线框abcd边长为L(L<d)，质量为m，将线框在磁场上方高h处由静止释放．如果ab边进入磁场时的速度为v0，cd边刚穿出磁场时的速度也为v0，则从ab边刚进入磁场到cd边刚穿出磁场的整个过程中(　　) A．线框中一直有感应电流 B．线框中有一阶段的加速度为重力加速度g C．线框中产生的热量为mg(d＋h＋L) D．线框有一阶段做减速运动 答案　BD 解析　正方形线框abcd边长为L(L<d)，所以cd进入磁场时，ab还在磁场内，所以在ab边穿出磁场前线框磁通量不变，即无感应电流，选项A错误；线框无感应电流的过程中只受重力，线框的加速度为g，选项B正确；根据能量守恒定律可知从ab边刚进入磁场到cd边刚穿出磁场的整个过程：动能变化为0，重力势能转化为线框产生的热量Q＝mg(d＋L)，选项C错误；线框ab边刚进入磁场速度为v0，cd边刚穿出磁场时速度也为v0，线框有一阶段做加速度为g的加速运动，在整个过程中必然也有一段减速过程，选项D正确． 2．(电磁感应中的动量问题)(多选)如图所示，间距为L的两条足够长的平行光滑金属导轨PQ、MN固定在绝缘水平桌面上，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，导轨左端接有阻值为R的定值电阻，长度为L、质量为m、阻值为r的金属杆ab垂直导轨放置．在水平向右且与金属杆ab垂直的力F作用下，t＝0时刻从静止开始沿导轨做匀加速直线运动，加速度大小为a，导轨电阻不计，则下列说法正确的是(　　) A．t时刻力F的大小为 B．0～t内通过电阻R的电荷量为 C．0～t内力F的冲量大小为 D．若t时刻撤去外力，则杆ab还能运动的距离为 答案　BD 解析　对金属杆分析由牛顿第二定律得F－F安＝ma，而F安＝BIL＝＝，联立解得F＝＋ma，选项A错误；0～t内金属杆运动的位移为x＝at2，由法拉第电磁感应定律得＝，则平均电流为＝＝＝，则通过电阻R的电量为q＝t＝，选项B正确；0～t内由动量定理得I－BLt＝mv，联立上式得力F的冲量大小为I＝＋mat，选项C错误；撤去外力后由动量定理得－BLt＝0－mv，简化得＝mat，则杆ab还能运动的距离为x＝vt＝，选项D正确． 3．(电磁感应中的能量问题)(多选)如图所示，固定在水平绝缘平面上足够长的金属导轨不计电阻，但表面粗糙，导轨左端连接一个电阻R，质量为m的金属棒(电阻也不计)放在导轨上，并与导轨垂直，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直．用水平恒力F把棒ab 从静止开始向右拉动的过程中，下列说法正确的是(　　) A．恒力F做的功等于电路产生的电能 B．恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能 C．克服安培力做的功等于电路中产生的电能 D．恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能和棒获得的动能之和 答案　CD 解析　克服安培力做功，其他形式的能转化为电能，且功的数值等于电路中产生的电能，选项C正确；恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能和棒获得的动能之和，选项B错误，D正确；恒力F做的功等于电路中产生的电能、因摩擦而产生的内能及棒动能的增量三者之和，选项A错误． 学科网（北京）股份有限公司 $$