4.4 数学归纳法 课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.4* 数学归纳法 1 知识点 数学归纳法 1.定义 一般地，证明一个与正整数 有关的命题，可按下列步骤进行： 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 开始的所有正整数 都成 立，这种证明方法称为数学归纳法. 必备知识 落实 2 2.证明形式 记 是一个关于正整数 的命题. 条件：（1） 为真；（2）若 为真，则 也为真. 结论： 为真. 必备知识 落实 3 与正整数有关的恒等式、不等式、数列的通项及前 项和等问题都可以用数学归纳法证明.但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法解决.第一个值 是命题成立的第一个正整数，并不是所有的第一个值 都是1. 必备知识 落实 4 例1 用数学归纳法证明： . 【证明】（1）当 时， 成立. （2）假设当 时等式成立， 即有 ，则当 时， . 即当 时等式也成立. 由（1），（2）可得对于任意的 等式都成立. 必备知识 落实 5 用数学归纳法证明等式的方法 必备知识 落实 6 【跟踪训练】 用数学归纳法证明： , 其中 . 证明：（1）当 时，左边 ，右边 ，左边 右边，等式成立. 必备知识 落实 7 （2）假设当 时等式成立， 即 , 那么当 时， , 即当 时，等式也成立. 根据（1）和（2）可知，等式对任何 都成立. 必备知识 落实 8 关键能力 提升 02 9 考点一 用数学归纳法证明不等式 例2 数列 满足 ， . （1）证明：数列 是等差数列； 证明：因为 ， 所以 ，化简得 ， 即 ， 故数列 是以1为首项，2为公差的等差数列. 关键能力 提升 10 （2）求数列 的前 项和 ，并用数学归纳法证明 . 关键能力 提升 11 【解】由（1）得 ， 当 时， ， ，不等式显然成立. 假设当 时，不等式成立， 即 ， 则当 时， 又 ， 所以 ， 即当 时，不等式也成立. 综上可知，对任意 ， 成立. 关键能力 提升 12 用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点 关键能力 提升 13 【跟踪训练】 用数学归纳法证明 . 关键能力 提升 14 证明：（1）当 时， ，不等式成立. （2）假设当 时，不等式成立. 即 ， 则当 时， ， 即当 时，不等式成立. 由（1）和（2）可知，不等式对所有的 都成立. 关键能力 提升 15 考点二 归纳—猜想—证明 例3 已知数列 , , , , 的前 项和为 ，计算 ， ， ， ，根据计算结果，猜想 的表达式，并用数学归纳法进行证 明. 【证明】 ； ; ； 关键能力 提升 16 . 可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数 一致，分母可用项 数 表示为 . 于是可以猜想 . 下面用数学归纳法证明这个猜想. 关键能力 提升 （1）当 时，左边 ，右边 ,猜想成立. （2）假设当 时猜想成立，即 , 则当 时， , 所以当 时，猜想也成立. 根据（1）和（2）可知，猜想 对任意 都成立. 关键能力 提升 18 “归纳—猜想—证明”的一般环节 关键能力 提升 19 【跟踪训练】 已知数列 的首项 ,且 ,试猜想出这个 数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 关键能力 提升 20 解：根据题意得 , , , , ，猜想： . 证明如下： （1）当 时， ，猜想成立； （2）假设当 时，猜想成立，即 , 则当 时， , 所以当 时， ,猜想也成立. 综合 ，可知猜想 对于任意 都成立. 关键能力 提升 21 课堂小结 03 22 已学习 数学归纳法的概念，用数学归纳法证明等式、不等式及“归纳— 猜想—证明”问题 须贯通 （1）递推是关键：正确分析由 到 时，式子项 数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障； （2）利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设， 这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学 归纳法证明 应注意 （1）对题意理解不到位导致 的取值出错； （2）推证当 时忽略 时的假设 课堂小结 23 课堂巩固 自测 04 24 1.用数学归纳法证明“凸 边形的内角和等于 ”时，归纳奠基中 的取值应为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：选C.根据凸 边形至少有3条边，知 ，故 的取值应为3. √ 课堂巩固 自测 25 2.用数学归纳法证明等式 的过程中， 第二步假设 时等式成立，则当 时应得到( ) A. B. C. D. 解析：选B.由数学归纳法知第二步假设 时等式成立，则当 时应得到 . √ 课堂巩固 自测 26 3.用数学归纳法证明公差为 的等差数列 的前 项和公式是 . 证明：（1）当 时，左边 ,右边 ,左边 右边，所以当 时，命题成立. （2）假设当 时，命题成立，即 ， 则当 时， ， 即当 时，命题也成立. 根据（1）和（2），可知命题对任何 都成立. 课堂巩固 自测 27 $$