第06讲 函数的性质（考点精练）-【中职专用】2025年对口升学数学一轮复习讲练测（四川专用）

第06讲 函数的性质 1．函数在上是减函数．则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，函数在上是减函数，则有，解可得． 2．已知函数满足，则等于（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】令，定义域为R，则，所以为奇函数，所以，故，所以，因为，所以. 3．设函数是定义在上的奇函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵函数是定义在上的奇函数，则，且，∴. 4．已知 在区间 上是增函数，则的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵函数f（x）＝x2+2（a﹣2）x+5的图象是开口方向朝上，以x＝2﹣a为对称轴的抛物线， 若函数f（x）＝x2+2（a﹣2）x+5在区间[4，+∞）上是增函数，则2﹣a≤4，解得a≥﹣2． 5．已知定义在R上的偶函数在上是减函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数是定义在R上的偶函数，所以，因为函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，所以函数在上是增函数，因为． 6．函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是定义在上的增函数，由可得，解得. 7．下列函数中是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，令，则，所以为奇函数. 8．如果奇函数在区间上是增函数且最大值为8，那么在区间上是（    ） A．增函数且最大值是 B．增函数且最小值是 C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是 【答案】B 【解析】在区间上是增函数且最大值为8，且是奇函数，则在是增函数，且最小值是. 9．已知是定义在上的函数，且，当时，则，则（    ） A． B．2 C． D．98 【答案】B 【解析】函数满足，则函数周期为2，则. 10．若函数，是定义在上的减函数，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数是定义在上的减函数，所以，解得. 11．若函数f（x）在R上为增函数，且，则x的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为函数是R的增函数，且，所以，解得，所以x的取值范围为：，故答案为：. 12．已知函数y＝f(x)是奇函数，且当x>0时，有f(x)＝x＋2x，则f(－2)＝________. 【答案】－6 【解析】因为函数y＝f(x)是奇函数，且当x>0时，有f(x)＝x＋2x， 所以f(－2)＝－f(2)＝－(2＋4)＝－6. 13．若函数是上的偶函数，则的值为 . 【答案】 【解析】函数是定义在上的偶函数，，即，，，，∴． 14．已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(1)＝1，则f(2 023)＝________. 【答案】－1 【解析】因为函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数， 所以f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1. 15.如果函数在区间上是单调递增的，则实数a的取值范围是_____． 【答案】. 【解析】由题意得，当时，函数，满足题意， 当时，则，解得，综合得所求实数的取值范围为. 16．判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝x3＋x； （2）； （3）； （4） 【答案】（1）奇函数；（2）既是奇函数又是偶函数；（3）既不是奇函数也不是偶函数；（4）奇函数. 【解析】（1）函数的定义域为R，关于原点对称． 又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f（x），因此函数f（x）是奇函数． （2）由 得x2＝1，即x＝±1.因此函数的定义域为{－1，1}，关于原点对称． 又f（1）＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f（x）既是奇函数又是偶函数． （3）函数f（x）的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， 不关于原点对称，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数． （4）函数f（x）的定义域为R，关于原点对称．f(－x)＝，于是有f(－x)＝－f（x）．所以f（x）为奇函数． 17．若二次函数满足f（x＋1）－f（x）＝2x且f（0）＝1. （1）求f（x）的解析式； （2）若在区间[－1，1]上不等式f（x）>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围. 【详解】（1）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），由f（0）＝1， ∴c＝1，∴f（x）＝ax2＋bx＋1. ∵f（x＋1）－f（x）＝2x，∴2ax＋a＋b＝2x，∴，∴， ∴f（x）＝x2－x＋1. （2）由题意：x2－x＋1>2x＋m在[－1，1]上恒成立，即x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立.令g（x）＝x2－3x＋1－m＝2－－m，其对称轴为x＝， ∴g（x）在区间[－1，1]上是减函数，∴g（x）min＝g（1）＝1－3＋1－m>0，∴m<－1. 18.已知函数． （1）当时，判断函数的奇偶性； （2）当时，判断函数在上的单调性，并证明． 【答案】(1)奇函数；(2)在上是单调递减函数；证明见解析 【解析】（1）解：当时，，定义域为，关于原点对称，，所以是奇函数． （2）证明：当时，，证明：取，，所以，，则，即，所以在上是单调递减函数． 1.若偶函数在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是偶函数，所以，在上是减函数，所以在上是增函数，所以，故. 2.已知函数f(x)＝为偶函数，则2a＋b等于(　　) A．3 B. C．－ D．－ 【答案】　B 【解析】由已知得，当x>0时，－x<0，f(－x)＝－ax3＋b， ∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即x3＋1＝－ax3＋b， ∴a＝－1，b＝1，∴2a＋b＝2－1＋1＝. 3.已知函数f(x)＝sin x＋x3＋＋3，若f(a)＝1，则f(－a)等于(　　) A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】　D 【解析】根据题意f(a)＝sin a＋a3＋＋3＝1，即sin a＋a3＋＝－2， 所以f(－a)＝sin(－a)＋(－a)3＋＋3＝－＋3＝2＋3＝5. 4．已知函数f(x)的定义域为R，则“f(x)是偶函数”是“|f(x)|是偶函数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】　A 【解析】偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，根据这一特征，若f(x)是偶函数，则|f(x)|是偶函数，若f(x)是奇函数，|f(x)|也是偶函数，所以“f(x)是偶函数”是“|f(x)|是偶函数”的充分不必要条件． 5．“函数f(x)＝sin x＋(a－1)cos x为奇函数”是“a＝1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】　C 【解析】函数f(x)＝sin x＋(a－1)cos x为奇函数， 则sin(－x)＋(a－1)cos(－x)＝－sin x－(a－1)cos x，化简得a－1＝0，故a＝1， 当a＝1时，f(x)＝sin x是奇函数， 因此“函数f(x)＝sin x＋(a－1)cos x为奇函数”是“a＝1”的充要条件． 6．已知函数，若是上的增函数，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由为上的增函数，得时，递增；时，递增，且，所以有且，解得， 故实数的取值范围是． 7．已知定义在上的偶函数，且对任意的，，（）， 都有，若，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为对任意的，，（），都有， 所以函数在上单调递减， 又为定义在上的偶函数，所以在上单调递增； 所以由可得， 即，整理得，解得． 8．已知定义域为R的函数f(x)满足：∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝1，则下列结论错误的是(　　) A．f(0)＝2 B．f(x)为偶函数 C．f(x)为奇函数 D．f(2)＝－1 【答案】C 【解析】因为∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)， 取x＝1，y＝0可得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，又f(1)＝1，所以f(0)＝2，A对； 取x＝0，y＝x可得f(x)＋f(－x)＝f(0)f(x)， 因为f(0)＝2，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，C错，B对； 取x＝1，y＝1可得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，又f(1)＝1，f(0)＝2，所以f(2)＝－1，D对． 9．已知奇函数是定义在区间上的增函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意奇函数是定义在区间上的增函数，，. 10．若函数的定义域为，且为增函数，，则的取值范围______. 【答案】 【解析】由于函数的定义域为，且为增函数，由，可得，解得.因此，实数的取值范围是. 11．若定义域为的函数是偶函数，则______，______. 【答案】2 0 【解析】偶函数的定义域为，则，解得，所以， 满足的对称轴关于轴对称，所以对称轴，解得. 12．已知是定义域为的奇函数，当时，，那么实数m的值为________，的值为________. 【答案】2 3 【解析】由于奇函数的定义域为，所以，解得.所以当时，，所以. 13.（1）已知是上的奇函数，且当时，，则当时， 。 （2）已知函数在R上为偶函数，且当时，，则当时，的解析式是______． 【答案】（1）（2）f（x）＝x2+2x 【解析】由题意，设，则，则， 因为函数为上的奇函数，则，得， 即当时，. （2）当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＝x2+2x，又f（x）是偶函数，∴当x＜0时，f（x）＝f（﹣x）＝x2+2x． 14．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则的解析式为________. 【答案】 【详解】因为函数是定义在R上的奇函数， 所以. 当x=0时，有，解得：；当时，任取，则有， 所以. 因为，所以，即时，. 综上所述，. 15.已知奇函数是定义域上的减函数，若，求实数的取值范围 . 【答案】. 【解析】由，得， 又为奇函数，得，∴， 又是定义域上的减函数，所以，所以，所以实数的取值范围为. 16．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)． 【解析】(1)证明　∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)是周期为4的周期函数． (2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2. 又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.∴f(x)＝x2＋2x. 又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)． 又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8. 从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8. (3)解　f(0)＝0, f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)＝0. ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)＝0. 17．已知函数是奇函数，且． （1）求实数，的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义加以证明； （3）若，求函数的值域． 【答案】（1）；（2）增函数，证明见解析；（3）． 【解析】（1）由函数是奇函数，且，则， 即，解得． （2）由（1）得，则函数在上为增函数． 证明如下：设， 则， 又因为，所以，，， 即，即， 故在上为增函数． （3）由（2）得：函数在上为增函数，所以， 即，故，函数的值域为． 18．已知函数f(x)满足对任意R，都有，f(x)>0 恒成立.且当时，f(x)>1. （1）求f(0): （2）判断f(x)在R上的单调性，并证你的结论: （3）解不等式f(x)f(1-2x)>1. 【解析】（1）对任意R，都有， 令，可得，又， ∴； （2）函数在上递减． 证明如下：设，则，则且． ，则函数在上单调递减； （3）由（1）可知，，∴， 又对任意R，都有，∴， 根据函数在上单调递减可得，，∴，故不等式的解集为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 函数的性质 1．函数在上是减函数．则（　　） A． B． C． D． 2．已知函数满足，则等于（    ） A．2 B． C． D． 3．设函数是定义在上的奇函数，且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知 在区间 上是增函数，则的范围是（ ） A． B． C． D． 5．已知定义在R上的偶函数在上是减函数，则（ ） A． B． C． D． 6．函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．下列函数中是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 8．如果奇函数在区间上是增函数且最大值为8，那么在区间上是（    ） A．增函数且最大值是 B．增函数且最小值是 C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是 9．已知是定义在上的函数，且，当时，则，则（    ） A． B．2 C． D．98 10．若函数，是定义在上的减函数，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 11．若函数f（x）在R上为增函数，且，则x的取值范围是 . 12．已知函数y＝f(x)是奇函数，且当x>0时，有f(x)＝x＋2x，则f(－2)＝________. 13．若函数是上的偶函数，则的值为 . 14．已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(1)＝1，则f(2 023)＝________. 15.如果函数在区间上是单调递增的，则实数a的取值范围是_____． 16．判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝x3＋x； （2）； （3）； （4） 17．若二次函数满足f（x＋1）－f（x）＝2x且f（0）＝1. （1）求f（x）的解析式； （2）若在区间[－1，1]上不等式f（x）>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围. 18.已知函数． （1）当时，判断函数的奇偶性； （2）当时，判断函数在上的单调性，并证明． 1.若偶函数在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 2.已知函数f(x)＝为偶函数，则2a＋b等于(　　) A．3 B. C．－ D．－ 3.已知函数f(x)＝sin x＋x3＋＋3，若f(a)＝1，则f(－a)等于(　　) A．1 B．3 C．4 D．5 4．已知函数f(x)的定义域为R，则“f(x)是偶函数”是“|f(x)|是偶函数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．“函数f(x)＝sin x＋(a－1)cos x为奇函数”是“a＝1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知函数，若是上的增函数，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．已知定义在上的偶函数，且对任意的，，（）， 都有，若，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．已知定义域为R的函数f(x)满足：∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝1，则下列结论错误的是(　　) A．f(0)＝2 B．f(x)为偶函数 C．f(x)为奇函数 D．f(2)＝－1 9．已知奇函数是定义在区间上的增函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．若函数的定义域为，且为增函数，，则的取值范围______. 11．若定义域为的函数是偶函数，则______，______. 12．已知是定义域为的奇函数，当时，，那么实数m的值为________，的值为________. 13.（1）已知是上的奇函数，且当时，，则当时， 。 （2）已知函数在R上为偶函数，且当时，，则当时，的解析式是______． 14．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则的解析式为________. 15.已知奇函数是定义域上的减函数，若，求实数的取值范围 . 16．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)． 17．已知函数是奇函数，且． （1）求实数，的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义加以证明； （3）若，求函数的值域． 18．已知函数f(x)满足对任意R，都有，f(x)>0 恒成立.且当时，f(x)>1. （1）求f(0): （2）判断f(x)在R上的单调性，并证你的结论: （3）解不等式f(x)f(1-2x)>1. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$