第06讲 函数的性质（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学一轮复习讲练测（四川专用）

第06讲 函数性质 【考纲要求】 1. 函数的单调性和奇偶性：理解增函数、减函数、奇函数、偶函数的定义与函数图像的几何特征； 2. 初步掌握函数单调性和奇偶性的判定方法； 3. 函数性质的综合应用。 1．函数的单调性 (1)函数单调性的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I： ①如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数． ②如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数． (2)单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． (3)函数的最值 最大值：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 最小值：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥N； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝N．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值． 2．函数的奇偶性 (1)偶函数的定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数的定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． (3)奇、偶函数的图象特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． (4)具有奇偶性函数的定义域的特点 具有奇偶性函数的定义域关于原点对称，即“定义域关于原点对称”是“一个函数具有奇偶性”的 必要不充分条件． (5)奇、偶函数的“运算”(共同定义域上) 奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. (6)函数奇偶性与单调性之间的关系 (1)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数； (2)若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数． 3．函数的周期性 (1)周期、周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内每一个的值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 考点一 函数的单调性 例1：定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 变式：如图是定义在区间，上的函数，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 例2：函数的减区间是（ ） A． B． C．， D． 变式：函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 例3：下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是(　　) A. y＝1 B. y＝－ ＋2 C. y＝－x2－2x－1 D. y＝1＋x2 变式：下列函数中，在上为增函数的是（ ） A． B． C． D． 例4：已知函数是定义在R上的增函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B．(2，3) C．(1，2) D．(1，3) 变式1：若函数在上单调递减，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2：已知y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，求a的取值范围. 例5：已知函数在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（    ） A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1] 变式1：已知函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围为________． 变式2：已知函数是上的增函数，且对一切实数都成立，则实数的取值范围是________. 例6 求证：函数f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函数. 变式：利用单调性的定义，证明函数在上是减函数． 例7：已知函数， （1）判断函数的单调性，并证明； （2）求函数的最大值和最小值. 变式：已知函数. （1）用定义证明在区间上是增函数. （2）求该函数在区间上的最大值与最小值. 考点二 函数的奇偶性 例1：判断下列函数的奇偶性． （1） f(x)＝2x＋；　　　　　 （2）f(x)＝＋； (3); (4). 变式：判断下列函数的奇偶性． （1）f(x)＝. 　（2）f(x)＝2－|x|； (3)；（4） 例2：函数是定义在上的奇函数，当时，，则 变式：已知是偶函数，，则 . 例3：（1）函数y＝f(x)在区间[2a－3，a]上具有奇偶性，则a＝________. （2）若函数f（x）＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1为偶函数，则实数a的值为 变式：（1）如果定义在区间上的函数为奇函数，则 _ __． （2）若函数f(x)=(a∈R)是奇函数，则a的值为（　　） A．1 B．0 C．－1 D．±1 （3）已知函数为偶函数，则的值为_______. 例4：下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 变式：下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 例5：如果奇函数在区间上是增函数，且，那么函数在区间上是（    ） A．增函数，且 B．增函数，且 C．减函数，且 D．减函数，且 变式：若偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，则函数f(x)在区间[1,2]上(　　) A．单调递增，且有最小值f(1) B．单调递增，且有最大值f(1) C．单调递减，且有最小值f(2) D．单调递减，且有最大值f(2) 例6：已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，若，则（       ）． A． B．2 C． D．1 变式：已知函数，若，则（       ） A．4 B．5 C．7 D． 例7：已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 变式：已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，______． 例8：已知函数. （1）若函数的图象过点（2，2），求函数的单调递增区间； （2）若函数是偶函数，求值. 变式：已知函数． （1）当时，判断函数的奇偶性； （2）当时，判断函数在上的单调性，并证明． 考点三 函数的周期性 例1：下列函数是周期函数的有（       ） ①       ②       ③ A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 例2：已知满足对任意，且时，则的值为（ ） A． B． C． D． 变式：已知定义在上的函数满足，当时，，则 . 例3：若是R上周期为6的奇函数，且满足，，则（       ） A．-1 B．-2 C．2 D．3 变式：已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 函数性质 【考纲要求】 1. 函数的单调性和奇偶性：理解增函数、减函数、奇函数、偶函数的定义与函数图像的几何特征； 2. 初步掌握函数单调性和奇偶性的判定方法； 3. 函数性质的综合应用。 1．函数的单调性 (1)函数单调性的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I： ①如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数． ②如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数． (2)单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． (3)函数的最值 最大值：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 最小值：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥N； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝N．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值． 2．函数的奇偶性 (1)偶函数的定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数的定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． (3)奇、偶函数的图象特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． (4)具有奇偶性函数的定义域的特点 具有奇偶性函数的定义域关于原点对称，即“定义域关于原点对称”是“一个函数具有奇偶性”的 必要不充分条件． (5)奇、偶函数的“运算”(共同定义域上) 奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. (6)函数奇偶性与单调性之间的关系 (1)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数； (2)若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数． 3．函数的周期性 (1)周期、周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内每一个的值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 考点一 函数的单调性 例1：定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题图知：在上的单调递减，在上的单调递增，所以的单调递减区间为． 变式：如图是定义在区间，上的函数，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 【答案】答案见解析 【解析】从函数图象上看，当时，图象呈下降趋势，所以为函数的单调减区间，函数在此区间单调递减；从函数图象上看，当时，图象呈上升趋势，所以为函数的单调增区间，函数在此区间单调递增；从函数图象上看，当时，图象呈下降趋势，所以为函数的单调减区间，函数在此区间单调递减；从函数图象上看，当时，图象呈上升趋势，所以为函数的单调增区间，函数在此区间单调递增． 例2：函数的减区间是（ ） A． B． C．， D． 【答案】C 【解析】由图象知单调减区间为， 变式：函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由知，函数为开口向上，对称轴为的二次函数，则单调递增区间是. 例3：下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是(　　) A. y＝1 B. y＝－ ＋2 C. y＝－x2－2x－1 D. y＝1＋x2 【答案】B 【解析】y=1 在区间（－∞,0）上不增不减; y=－+2在区间（－∞,0）上单调递增; y=－x2－2x－1在区间（－∞,0）上有增有减; y=1+x2在区间（－∞,0）上单调递减. 变式：下列函数中，在上为增函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A选项，函数在上递减.对于B选项，函数在和上递减.对于C选项，函数在上递减，在上递增.对于D选项，函数在上递减，在上递增，故也在上递增，符合题意. 例4：已知函数是定义在R上的增函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B．(2，3) C．(1，2) D．(1，3) 【答案】A 【解析】∵是定义在R上的增函数，且，∴，解得，则a的取值范围为． 变式1：若函数在上单调递减，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在上单调递增，，，解得：，实数的取值范围为. 变式2：已知y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，求a的取值范围. 【答案】 【解析】由题意可知，，解得 例5：已知函数在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（    ） A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1] 【答案】A 【解析】对称轴为，开口向上，要想在区间（-∞，1]是减函数，所以 变式1：已知函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围为________． 【答案】(－∞，1]∪[2，＋∞) 【解析】∵函数 在区间 上具有单调性，函数的对称轴为或 故的取值范围为或. 变式2：已知函数是上的增函数，且对一切实数都成立，则实数的取值范围是________. 【答案】. 【解析】∵是上的增函数，∴，即对一切都成立，∴． 例6 求证：函数f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函数. 【解析】证明：在区间上任取， 则 因为，故可得；又因为，故可得. 故，即.故在区间上单调递增. 变式：利用单调性的定义，证明函数在上是减函数． 【解析】证明：设x1，x2是区间上任意两个实数且，则， ∵，∴，，．∴． 即，．∴在上是减函数． 例7：已知函数， （1）判断函数的单调性，并证明； （2）求函数的最大值和最小值. 【答案】（1）增函数.见解析（2）， 【解析】（1）设且， 所以 ∵∴， ∴即，在上为增函数. （2）在上为增函数，则， 变式：已知函数. （1）用定义证明在区间上是增函数. （2）求该函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2），. 【解析】（1）任取，，且，则. ∵，∴，， ∵，即，故函数在区间上是增函数. （2）由（1）知函数在区间上是增函数， ∴，. 考点二 函数的奇偶性 例1：判断下列函数的奇偶性． （1） f(x)＝2x＋；　　　　　 （2）f(x)＝＋； (3); (4). 【答案】（1）奇函数；（2）既是奇函数又是偶函数； （3）既不是奇函数也不是偶函数.(4)偶函数. 【解析】（1）函数的定义域为，由， 所以函数为奇函数 （2）由，所以函数的定义域为 又，所以函数既是奇函数又是偶函数 (3)的定义域为R. ,,. 不是偶函数.又,不是奇函数. 既不是奇函数也不是偶函数. (4) 的定义域为R. , 是偶函数. 变式：判断下列函数的奇偶性． （1）f(x)＝. 　（2）f(x)＝2－|x|； (3)；（4） 【答案】（1）非奇非偶函数.；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数. 【解析】（1）由，所以函数的定义域为 因为定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数. （2）函数的定义域为由所以函数为偶函数 (3) 的定义域是. 当时,显然,. ,是奇函数. （4）当时，，则 ， 当时，，则 综上，对，都有． ∴为奇函数． 例2：函数是定义在上的奇函数，当时，，则 【答案】 【解析】函数是定义在上的奇函数，所以. 变式：已知是偶函数，，则 . 【答案】4 【解析】因为是偶函数，，所以，4. 例3：（1）函数y＝f(x)在区间[2a－3，a]上具有奇偶性，则a＝________. （2）若函数f（x）＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1为偶函数，则实数a的值为 【答案】（1）1（2）1或 【解析】（1）由题意知，区间[2a－3，a]关于原点对称，∴2a－3＝－a，∴a＝1. （2）：∵函数f（x）＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x）， 即f（﹣x）＝ax2﹣（2a2﹣a﹣1）x+1＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1， 即﹣（2a2﹣a﹣1）＝2a2﹣a﹣1，∴2a2﹣a﹣1＝0，解得a＝1或a， 变式：（1）如果定义在区间上的函数为奇函数，则 ___． （2）若函数f(x)=(a∈R)是奇函数，则a的值为（　　） A．1 B．0 C．－1 D．±1 （3）已知函数为偶函数，则的值为__________. 【答案】（1）B （2）B （3） 【解析】（1）因为为奇函数由奇函数的性质可知，奇函数的定义域关于原点中心对称 即解得 （2）由题意，函数是定义域R上的奇函数， 根据奇函数的性质，可得，代入可得，解得，故选B. （3）因为函数为偶函数, 故,故恒成立.故.故,则.故答案为： 例4：下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】AD选项为奇函数，故AD错；B选项为偶函数，当时，，单调递增，故B正确；C选项为偶函数，但在上单调递减，故C错. 变式：下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A：定义域为，且，所以为偶函数，故A错误；对于B：定义域为，且，所以为奇函数，故B正确； 对于C：定义域为，且，所以为偶函数，故C错误；对于D：定义域为，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，故D错误． 例5：如果奇函数在区间上是增函数，且，那么函数在区间上是（    ） A．增函数，且 B．增函数，且 C．减函数，且 D．减函数，且 【答案】B 【解析】奇函数图象关于原点中心对称，在对称的区间上具有相同的单调性，故在区间上是增函数，且，故选：B. 变式：若偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，则函数f(x)在区间[1,2]上(　　) A．单调递增，且有最小值f(1) B．单调递增，且有最大值f(1) C．单调递减，且有最小值f(2) D．单调递减，且有最大值f(2) 【答案】A 【解析】偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，则由偶函数的图象关于y轴对称，则有f(x)在[1,2]上单调递增，即有最小值为f(1)，最大值为f(2)． 例6：已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，若，则（       ）． A． B．2 C． D．1 【答案】D 【解析】由奇函数的性质可知   a=2，. 变式：已知函数，若，则（       ） A．4 B．5 C．7 D． 【答案】A 【解析】构建在R上为奇函数，则，即，则，故选：A． 例7：已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】时，，，∴. 变式：已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，______． 【答案】 【解析】根据题意，设，则，有， 又由为偶函数，则，即，故答案为：． 例8：已知函数. （1）若函数的图象过点（2，2），求函数的单调递增区间； （2）若函数是偶函数，求值. 【答案】（1）；（2）． 【解析】解：（1）由题意，，∴，即，∴函数的单调递增区间为； （2）∵函数是偶函数，∴，即，∴． 变式：已知函数． （1）当时，判断函数的奇偶性； （2）当时，判断函数在上的单调性，并证明． 【答案】(1)奇函数；(2)在上是单调递减函数；证明见解析 【解析】（1）解：当时，，定义域为，关于原点对称，，所以是奇函数． （2）证明：当时，，证明：取，，所以，，则，即，所以在上是单调递减函数． 考点三 函数的周期性 例1：下列函数是周期函数的有（       ） ①       ②       ③ A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 【答案】C 【解析】易得和是周期函数，不是周期函数. 变式：已知是以2为周期的函数，且，则（       ） A．1 B．-1 C． D．7 【答案】A 【解析】因为函数是周期为2的周期函数，所以为的周期，即，所以，故选：A. 例2：已知满足对任意，且时，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为满足对，所以函数的最小正周期为，又时，，因此. 变式：已知定义在上的函数满足，当时，，则 . 【答案】 【解析】由得，故是以2为周期的周期函数，所以. 例3：若是R上周期为6的奇函数，且满足，，则（       ） A．-1 B．-2 C．2 D．3 【答案】D 【解析】由题知是上周期为的奇函数，所以有， ，故. 变式：已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【解析】因为函数是定义在R上的周期为2的奇函数，所以，，因为当时，，所以，所以，所以。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$