2.4.1函数的奇偶性（2知识点+7题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第一册）

2. 4.1函数的奇偶性 课程标准 学习目标 1.理解函数的奇偶性及其几何意义;学会运用函数图象理解和研究函数的性质;学会判断函数的奇偶性。 2.通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想。 3.通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力。 1.函数的奇偶性及其几何意义。 2.判断函数的奇偶性的方法与格式。 知识点01 函数奇偶性的概念 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I 结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 图象特点 关于y轴对称 关于原点对称 注意：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： 1.定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； 2.判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(-x)＝0(奇函数)或f(x)-f(-x)＝0(偶函数)是否成立． 3.若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： ①f(x)为奇函数⇔f(-x)＝-f(x)⇔f(-x)＋f(x)＝0⇔＝-1. ②f(x)为偶函数⇔f(-x)＝f(x)⇔f(-x)-f(x)＝0⇔＝1. 【即学即练1】（23-24高一上·北京·期中）下列函数中为偶函数的是 （    ） A． B． C． D． 【即学即练2】（23-24高一下·全国·课堂例题）下列函数图象中，可以表示偶函数的有（ ） A． B． C． D． 知识点02函数奇偶性的常用结论 1.如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0. 2.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． 3奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 4在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 5.若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)． 【即学即练3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知是奇函数，定义域是，是偶函数，定义域是．设，则为 函数． 【即学即练4】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中正确的是 ．（填序号） ①对于函数，若，则是奇函数； ②若是奇函数，定义域为，则； ③若函数的图像不关于轴对称，则一定不是偶函数． 难点：含参问题 示例1：（23-24高一下·云南昆明·期末）已知奇函数 的定义域为，在区间上单调递增，，且 为偶函数. 若关于的不等式对恒成立，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型1：函数奇偶性的判断】 例1．（多选）（24-25高一上·全国·随堂练习）（多选）下列函数是奇函数的是（    ） A．，（）B． C． D． 变式1．（24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式2．（23-24高一·上海·课堂例题）研究函数的定义域、奇偶性、单调性及最大值． 变式3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数． (1)试证明函数是偶函数； (2)画出的大致图象． 变式4．（23-24高一下·上海杨浦·期中）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   变式5．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）若函数为定义在上的奇函数，且，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．的图象关于轴对称 D．为偶函数 变式6．（多选）（22-23高一上·福建莆田·期中）设函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．是增函数 C． D．若，则 变式7．（23-24高一上·北京·期中）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)证明在上是增函数； (3)求在上的最大值及最小值． 【方法技巧与总结】 判断分段函数的奇偶性，可以用定义法，也可以用图象法. 定义法必须验证在每一段内都有或成立，而不能只验证一段解析式。在判断时，要特别注意与的范围，然后选择合适的解析式代入. 【题型2：利用奇偶性求解析式】 例2．（25-26高一上·全国·课后作业）奇函数在上的解析式是，则函数在上的解析式是（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数为上的偶函数，当时，，则时， ． 变式2．（2024高一·全国·专题练习）已知奇函数的定义域为，当时，．求函数的解析式 变式3．（24-25高一上·全国·课堂例题）是奇函数，是偶函数，且，求，的解析式． 变式4．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知二次函数满足：． (1)求的解析式； (2)若为定义在R上的奇函数，且当时，求在R上的解析式． 变式5．（2024高一·全国·专题练习）函数是定义在上的单调递增的奇函数，且，求函数的解析式； 变式6．（23-24高一·上海·课堂例题）已知函数为偶函数，为奇函数，且.求及的表达式. 变式7．（23-24高一上·江苏南京·期中）定义在R上的函数是偶函数，是奇函数，且． (1)求函数与的解析式； (2)求函数在区间上的最小值． 【方法技巧与总结】 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式． 【题型3：利用奇偶性求值】 例3．（23-24高一上·天津·期末）已知函数是定义城为的奇函数，当时，，则的值为（    ）. A． B． C． D． 变式1．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知定义在R上的偶函数满足当时，则 ． 变式2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知是定义在R上的奇函数，且函数为偶函数，当时，，则 ， . 变式3．（24-25高一上·上海·课后作业）设，若，则 ． 变式4．（24-25高一·上海·课堂例题）若函数，，则 . 变式5．（24-25高一上·上海·随堂练习）设函数是定义在R上的奇函数，当时，，则时函数值为 ． 变式6．（2023高一下·吉林·学业考试）已知函数是定义域为的奇函数，若，则 ． 变式7．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数是奇函数，且，则 . 【方法技巧与总结】 利用奇偶性求函数值的思路： 1.已知求：判断的奇偶性与构造已知就行的函数，利用奇偶性找出与的关系即可； 2.已知两个函数的奇偶性，求由这两个函数的和、差构造出的新函数的函数值，可用替换后使用奇偶性变形，进而与原函数联立，解方程即可。 【题型4：利用奇偶性求参】 例4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，则等于（    ） A．5 B．0 C．10 D．14 变式1．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知函数为奇函数，则等于（    ） A． B．1 C．0 D．2 变式2．（2024高一·全国·专题练习）已知函数为偶函数，则 ． 变式3．（23-24高三上·山东潍坊·开学考试）设是定义在上的偶函数，则的值是 ； ． 变式4．（2011高一上·江苏淮安·学业考试）已知函数，则 变式5．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知定义在上的函数是偶函数，则实数的值为 ． 变式6．（12-13高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数是奇函数． (1)求实数m的值； (2)若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围． 变式7．（23-24高一·上海·课堂例题）已知实数，而函数，是偶函数．求实数a、b的值． 变式8（24-25高一上·上海·课后作业）设函数的最大值为，最小值为，则 . 【方法技巧与总结】 若函数为奇函数，（为常数），则 【题型5：利用奇偶性与单调性解不等式】 例5．（23-24高一上·北京·期中）定义在上的奇函数满足，当时，，当时，. 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知定义在R上的奇函数，且当时，单调递增，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 变式2．（多选）（23-24高一下·全国·单元测试）定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围有（   ）. A． B． C． D． 变式3．（23-24高一上·上海·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且.若对任意的、且，都有成立，则不等式的解集是 . 变式4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，若，则x的取值范围为 ． 变式5．（24-25高一上·江西上饶·开学考试）若函数的定义域是，且对任意的，都有成立． (1)试判断的奇偶性； (2)若当时，，求的解析式，并画出函数图象； (3)在条件（2）前提下，解不等式． 变式6．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数，且其定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； (3)解不等式． 变式7.（21-22高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）图中给出了奇函数的局部图像，已知的定义域为    (1)求的值； (2)试补全其图像； (3)并比较与的大小． 【方法技巧与总结】 1.如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. 2.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． 3.既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． 4.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 5.偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 【题型6：利用奇偶性与单调性比较大小】 例6．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数是定义在上的偶函数，又，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知是奇函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2015高一·全国·竞赛）已知是定义在上的偶函数，对任意的，且，都有，则（    ）． A． B． C． D． 变式3．（24-25高一上·上海·课后作业）若函数是奇函数，且，则 ．（填“>”或“<”） 变式4．（22-23高一·全国·随堂练习）已知函数对任意实数x都有，并且对任意，总有，比较下列各组值的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 变式5．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知函数的图象关于y轴对称，且对于，当，时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【题型7：奇偶性与函数图像】 例7．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下图的四个函数图象中为奇函数图象的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）一个偶函数定义在区间上，它在上的图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A．这个函数有三个单调递增区间 B．这个函数有两个单调递减区间 C．这个函数在其定义域内有最大值7 D．这个函数在其定义域内有最小值 变式2．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知偶函数和奇函数的定义域都是，它们在上的图像分别是图1和图2，则关于的不等式的解集是 ． 变式3．（23-24高一上·北京朝阳·期中）已知奇函数的定义域为，且在上的图像如图所示，则的单调递减区间为 . 变式4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么的值域是 .    变式5．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，.现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示. (1)请补全函数的图象； (2)根据图象写出函数的单调递增区间； (3)根据图象写出使的x的取值集合. 变式6．（23-24高一下·全国·课堂例题）已知函数是偶函数，是奇函数，且它们的部分图象如图所示，补全函数图象，并总结出当函数具有奇偶性时，函数单调性的规律. 变式7．（2011高一上·江苏淮安·学业考试）已知定义域为的函数满足： ①对任意；②当时，. (1)求在实数集上的解析式； (2)在坐标系中画出函数的图象； (3)写出的单调递增区间. 一、单选题 1．（23-24高一下·河南新乡·期末）已知函数是奇函数，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 2．（22-23高一上·福建莆田·期中）设函数若为奇函数，则（    ） A．4 B．2 C． D． 3．（22-23高一下·云南昭通·期末）定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海·课后作业）下列四个命题： ①偶函数的图像一定与轴相交； ②奇函数的图像一定通过原点； ③既是奇函数又是偶函数的函数只能是； ④偶函数的图像关于轴对称． 其中正确的命题是（　　） A．③ B．④ C．②③④ D．①②③ 5．（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·山东淄博·期中），是定义在R上的函数，，则“，均为奇函数”是“为奇函数”的（    ）条件． A．充要 B．充分而不必要 C．必要而不充分 D．既不充分也不必要 7．（23-24高一下·云南昆明·期末）“函数为奇函数”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（23-24高一上·云南曲靖·期末）若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一下·湖南娄底·期末）已知函数是定义在上的奇函数，则下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高一下·河南·阶段练习）已知函数为奇函数，则下列说法正确的为（    ） A． B． C． D．的单调递增区间为 11．（23-24高一下·安徽阜阳·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的图象关于点对称 D．若在上单调递减，则 三、填空题 12．（23-24高一下·全国·课后作业）已知定义在上的函数是奇函数，则实数的值为 ． 13．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ． 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）如果奇函数在区间上是严格增函数且最小值为5，那么在区间上最大值为 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·课后作业）已知为奇函数，且． (1)求实数、的值． (2)判断函数在上的单调性，并证明． 16．（23-24高一上·天津滨海新·期末）已知二次函数，. (1)若函数是偶函数，求实数的值； (2)若，求不等式的解集； (3)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围. 17．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，． (1)证明：函数是奇函数； (2)证明：在上是增函数； (3)若，对任意，恒成立，求实数的取值范围． 18．（20-21高一上·江苏徐州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有． (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并证明； (3)解不等式． 19．（23-24高一上·四川内江·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的且时，有成立. (1)证明：在上单调递增； (2)解不等式：； (3)若对所有的，恒成立，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2. 4.1函数的奇偶性 课程标准 学习目标 1.理解函数的奇偶性及其几何意义;学会运用函数图象理解和研究函数的性质;学会判断函数的奇偶性。 2.通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想。 3.通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力。 1.函数的奇偶性及其几何意义。 2.判断函数的奇偶性的方法与格式。 知识点01 函数奇偶性的概念 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I 结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 图象特点 关于y轴对称 关于原点对称 注意：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： 1.定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； 2.判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(-x)＝0(奇函数)或f(x)-f(-x)＝0(偶函数)是否成立． 3.若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： ①f(x)为奇函数⇔f(-x)＝-f(x)⇔f(-x)＋f(x)＝0⇔＝-1. ②f(x)为偶函数⇔f(-x)＝f(x)⇔f(-x)-f(x)＝0⇔＝1. 【即学即练1】（23-24高一上·北京·期中）下列函数中为偶函数的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用偶函数的定义，逐项判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为，关于数0不对称，是非奇非偶函数，A不是； 对于B，函数的定义域为，是奇函数，B不是； 对于C，函数的定义域为，，是偶函数，C是； 对于D，函数的定义域为，是奇函数，D不是. 故选：C 【即学即练2】（23-24高一下·全国·课堂例题）下列函数图象中，可以表示偶函数的有（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数图象关于y轴对称判断选项. 【详解】根据偶函数图象关于y轴对称，结合函数图象可知符合题意是A选项，B,C,D不合题意. 故选：A. 知识点02函数奇偶性的常用结论 1.如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0. 2.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． 3奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 4在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 5.若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)． 【即学即练3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知是奇函数，定义域是，是偶函数，定义域是．设，则为 函数． 【答案】奇 【分析】根据奇偶函数的定义即可判断 【详解】因为是奇函数，定义域是，是偶函数，定义域是， 则的定义域为，关于原点对称， 且， 所以， 所以为奇函数， 故答案为：奇 【即学即练4】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中正确的是 ．（填序号） ①对于函数，若，则是奇函数； ②若是奇函数，定义域为，则； ③若函数的图像不关于轴对称，则一定不是偶函数． 【答案】②③ 【分析】根据奇偶性的性质直接判断. 【详解】①当时，，即，此时为偶函数，所以①错误； ②若是奇函数，定义域为，则，②正确； ③若函数为偶函数，则函数的图像关于轴对称， 若函数的图像不关于轴对称，则一定不是偶函数，③正确； 故答案为：②③. 难点：含参问题 示例1：（23-24高一下·云南昆明·期末）已知奇函数 的定义域为，在区间上单调递增，，且 为偶函数. 若关于的不等式对恒成立，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性，周期性，单调性进行求解即可. 【详解】由为上的奇函数，则关于点对称，则， 又为偶函数，则，故关于对称，则， 则， 是周期为4的周期函数， 又在区间上单调递增，因此在区间上单调递减， 又，则，因此， 又关于的不等式对恒成立，则， 因此，可得，， 故选：C. 【题型1：函数奇偶性的判断】 例1．（多选）（24-25高一上·全国·随堂练习）（多选）下列函数是奇函数的是（    ） A．，（）B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据函数的定义域是否关于原点对称，以及是否满足即可判断. 【详解】对于A，由得不到，即函数不是奇函数，故A错误； 对于B，因的图象关于轴对称，故是偶函数，不是奇函数，即B错误； 对于C，函数的定义域关于原点对称，且，函数是奇函数，故C正确； 对于D，函数的定义域为R，关于原点对称，且，即函数是奇函数，故D正确. 故选：CD. 变式1．（24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)偶函数 (2)既是奇函数又是偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)奇函数． 【分析】先求函数的定义域，如果对称，则利用奇偶性的定义判断即可；若不对称，则是非奇非偶函数. 【详解】（1）函数的定义域为R，关于原点对称， 又， ∴为偶函数． （2）函数的定义域为，关于原点对称，且， 又，， ∴既是奇函数又是偶函数． （3）函数的定义域为，不关于原点对称， ∴是非奇非偶函数． （4）函数的定义域为， ∵，都有， 且， ∴是奇函数． 变式2．（23-24高一·上海·课堂例题）研究函数的定义域、奇偶性、单调性及最大值． 【答案】函数的定义域为R；是偶函数；在上单调递增，在上单调递减；最大值为1. 【分析】由即可得函数定义域为R，结合即可求得函数奇偶性，根据单调性的判定方法即可判断单调性，再根据函数的单调性即可求解最大值. 【详解】由题，故函数的定义域为R； 因为，所以函数是偶函数； 任取， 则， 因为，所以，， 所以即，故， 所以函数在上单调递增， 同理可得函数在上单调递减， 所以函数在处取得最大值为. 综上，函数的定义域为R；是偶函数；在上单调递增，在上单调递减；最大值为1. 变式3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数． (1)试证明函数是偶函数； (2)画出的大致图象． 【答案】(1)证明见解析； (2)作图见解析. 【分析】（1）利用偶函数的定义推理即得. （2）借助二次函数图象及偶函数性质作出的大致图象. 【详解】（1）函数的定义域为，且， 所以函数为偶函数． （2）当时，，且当时，或， 因此当时，函数是对称轴为，顶点坐标为， 且与轴交于点的抛物线在轴及右侧部分，如图， 再作出上述图象关于轴对称的图形即得的大致图象. 变式4．（23-24高一下·上海杨浦·期中）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】先判断函数的奇偶性，再结合函数情况，即可得答案. 【详解】令函数，其定义域为R，满足 即为奇函数，故排除A，C 当时，，当时，，， 可知D中图象符合题意， 故选：D 变式5．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）若函数为定义在上的奇函数，且，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．的图象关于轴对称 D．为偶函数 【答案】ABD 【分析】根据奇函数的性质判断A、B、C；令，，可得，即可判断D. 【详解】因为函数为定义在上的奇函数，则且函数图象关于原点对称，故C错误； 令可得，所以，故A正确； 又，则，故B正确； 令，， 则，所以为偶函数， 即为偶函数，故D正确. 故选：ABD 变式6．（多选）（22-23高一上·福建莆田·期中）设函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．是增函数 C． D．若，则 【答案】AD 【分析】对于A，根据函数奇偶性的定义分析判断，对于B，根据增函数的定义分析判断，对于C，根据题意求出的解析式，再求值判断，对于D，由解方程求解. 【详解】对于A，当时，， 当时，， 当时，，也满足， 所以是奇函数，所以A正确， 对于B，因为当时，是常函数，不是增函数，所以B错误， 对于C，由题意得， 所以，所以C错误， 对于D，因为，所以由，得，所以D正确. 故选：AD 变式7．（23-24高一上·北京·期中）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)证明在上是增函数； (3)求在上的最大值及最小值． 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)证明见解析； (3)最大值、最小值分别为. 【分析】（1）直接利用函数的奇偶性定义判断并证明. （2）利用单调性定义进行判断证明：取值、作差、定号、得结论. （3）利用（2）的结论，求出函数在区间上的最值． 【详解】（1）函数的定义域为，是奇函数， 对任意的，， 所以函数为奇函数. （2）对区间上的任意两个数，且， 则， 由，则，，， 从而，即， 所以函数在区间上为增函数. （3）由（2）知，函数在上单调递增，，， 所以函数在上的最大值、最小值分别为. 【方法技巧与总结】 判断分段函数的奇偶性，可以用定义法，也可以用图象法. 定义法必须验证在每一段内都有或成立，而不能只验证一段解析式。在判断时，要特别注意与的范围，然后选择合适的解析式代入. 【题型2：利用奇偶性求解析式】 例2．（25-26高一上·全国·课后作业）奇函数在上的解析式是，则函数在上的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，则，求出，再根据函数为奇函数即可得解. 【详解】令，则，由已知可得， 因为为奇函数，所以， 所以当时，． 故选：B． 变式1．（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数为上的偶函数，当时，，则时， ． 【答案】 【分析】根据题意，当时，，由函数的解析式求出的表达式，结合奇偶性分析可得答案． 【详解】解：根据题意，当时，， 则， 又由函数为上的偶函数，则． 则时，． 故答案为：． 变式2．（2024高一·全国·专题练习）已知奇函数的定义域为，当时，．求函数的解析式 【答案】 【分析】设，可得出，求出的表达式，利用奇函数的性质可得出函数在时的解析式． 【详解】奇函数的定义域为，． 当时，， 又当时，， ， ． 故. 变式3．（24-25高一上·全国·课堂例题）是奇函数，是偶函数，且，求，的解析式． 【答案】， 【分析】根据奇函数和偶函数的定义，通过解方程组进行求解即可. 【详解】∵是奇函数，是偶函数， ∴，， 又，① 用代替上式中的，得， 即．② 联立①②得，． 变式4．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知二次函数满足：． (1)求的解析式； (2)若为定义在R上的奇函数，且当时，求在R上的解析式． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设出函数的解析式，利用待定系数法求出解析式. （2）由（1），利用奇函数定义求出函数的解析式. 【详解】（1）依题意，设，由， 得，整理得， 于是，解得，， 所以的解析式为. （2）由（1）知，当时，， 由为定义在R上的奇函数，得， 当时，，， 所以在R上的解析式为. 变式5．（2024高一·全国·专题练习）函数是定义在上的单调递增的奇函数，且，求函数的解析式； 【答案】 【分析】利用奇函数，结合求解即可. 【详解】由已知可知，解得， 又，解得， 所以， 此时，， 满足为奇函数， 任取， 则， 因为，故， 所以，故，即， 满足函数在上单调递增， 所以函数的解析式为. 变式6．（23-24高一·上海·课堂例题）已知函数为偶函数，为奇函数，且.求及的表达式. 【答案】， 【分析】根据奇偶函数性质得到方程组，解出即可. 【详解】因为函数为偶函数，为奇函数， 且①， 所以， 即②， ①②联立可得， 变式7．（23-24高一上·江苏南京·期中）定义在R上的函数是偶函数，是奇函数，且． (1)求函数与的解析式； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）由已知得，再结合是偶函数，是奇函数，可得，再与原等式联立可求出与的解析式； （2）由（1）得，然后分和两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）根据题意，由，① 得， 又由是偶函数，是奇函数， 则有，② 联立①②可得：，． （2）根据题意，， 当时，在区间上递减， 则其最小值为， 当时，在区间上递减，上递增， 则其最小值为． 综上，当时，在区间上的最小值为， 当时，在区间上的最小值为． 【方法技巧与总结】 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式． 【题型3：利用奇偶性求值】 例3．（23-24高一上·天津·期末）已知函数是定义城为的奇函数，当时，，则的值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由即可求解. 【详解】因为函数是定义城为的奇函数， 故选：D 变式1．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知定义在R上的偶函数满足当时，则 ． 【答案】1 【分析】先由偶函数，推出，再根据分段函数的不同区间依次求得，. 【详解】因是在R上的偶函数，则， 故. 故答案为：1. 变式2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知是定义在R上的奇函数，且函数为偶函数，当时，，则 ， . 【答案】 / / 【分析】结合已知函数解析式，利用奇函数性质求得，再结合偶函数性质求得，进而求得. 【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以， 所以， 又函数为偶函数，得， 所以， 所以，所以. 故答案为：； 变式3．（24-25高一上·上海·课后作业）设，若，则 ． 【答案】3 【分析】类比函数奇偶性思想方法解题即可 【详解】，则； . 故答案为：3. 变式4．（24-25高一·上海·课堂例题）若函数，，则 . 【答案】 【分析】令，再利用函数的奇偶性即可求解. 【详解】因为， 令，则， 所以，所以为奇函数， 所以，即，解得， 故答案为： 变式5．（24-25高一上·上海·随堂练习）设函数是定义在R上的奇函数，当时，，则时函数值为 ． 【答案】/ 【分析】根据条件，利用奇函数的性质，即可求出结果. 【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，所以， 又当时，，得到，所以， 故答案为：. 变式6．（2023高一下·吉林·学业考试）已知函数是定义域为的奇函数，若，则 ． 【答案】 【分析】根据函数奇偶性定义解出函数值； 【详解】函数是定义域为的奇函数，则， 若，则， 故答案为：. 变式7．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数是奇函数，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据求出，再根据求出即可求出. 【详解】的定义域为，而为奇函数， 故，而，故，故， 所以，此时，故为奇函数， 故， 故答案为： 【方法技巧与总结】 利用奇偶性求函数值的思路： 1.已知求：判断的奇偶性与构造已知就行的函数，利用奇偶性找出与的关系即可； 2.已知两个函数的奇偶性，求由这两个函数的和、差构造出的新函数的函数值，可用替换后使用奇偶性变形，进而与原函数联立，解方程即可。 【题型4：利用奇偶性求参】 例4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，则等于（    ） A．5 B．0 C．10 D．14 【答案】C 【分析】令，，则，判断的奇偶性，利用函数的奇偶性计算可得. 【详解】令，，则， 又， 所以为奇函数，则，即， 所以. 故选：C 变式1．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知函数为奇函数，则等于（    ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出值即可. 【详解】依题意，当时，，则， 而当时，，因此，则，， 当时，，则， 又，于是，， 所以，所以. 故选：C 变式2．（2024高一·全国·专题练习）已知函数为偶函数，则 ． 【答案】 【分析】由进行求解． 【详解】因为函数为偶函数，所以， 即， 即， 两边平方，化简可得． 要使上式恒成立，则，即． 故答案为： 变式3．（23-24高三上·山东潍坊·开学考试）设是定义在上的偶函数，则的值是 ； ． 【答案】 【分析】根据条件，利用偶函数的性质，即可求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，即，得到， 又，得到，所以， 得到，， 故答案为：． 变式4．（2011高一上·江苏淮安·学业考试）已知函数，则 【答案】 【分析】由题意计算可得，运算即可得解. 【详解】由题意可得， 即有，故，即. 故答案为：. 变式5．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知定义在上的函数是偶函数，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】根据偶函数的定义及性质直接可得解. 【详解】由题设，函数的定义域关于原点对称， 即， 解得或， 故答案为：或. 变式6．（12-13高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数是奇函数． (1)求实数m的值； (2)若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据函数是奇函数，求得的解析式，比照系数，即可求得参数的值； （2）根据分段函数的单调性，即可列出不等式，即可求得参数的范围. 【详解】（1）设，则，所以． 又为奇函数，所以， 于是时，，所以． （2）由（1）可画出的图象，知在上是增函数， 要使在上单调递增． 结的图象知，所以，故实数的取值范围是． 变式7．（23-24高一·上海·课堂例题）已知实数，而函数，是偶函数．求实数a、b的值． 【答案】， 【分析】根据偶函数的定义和性质分析求解. 【详解】因为函数，是偶函数，则，解得， 且，可得，则， 所以，. 变式8（24-25高一上·上海·课后作业）设函数的最大值为，最小值为，则 . 【答案】2 【分析】依题意可得，令，即可判断为奇函数，根据奇函数的性质计算可得. 【详解】因为， 令，定义域为. 且，所以为奇函数. 因为，所以的最大值为，的最小值为. 所以，所以. 故答案为： 【方法技巧与总结】 若函数为奇函数，（为常数），则 【题型5：利用奇偶性与单调性解不等式】 例5．（23-24高一上·北京·期中）定义在上的奇函数满足，当时，，当时，. 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由奇函数的定义可得，根据已知条件确定函数在不同区间的符号，通过不等式性质解不等式可得所求解集. 【详解】由奇函数的定义可得， 当时，则，， 当时，则，， 由或， 根据分析可得解集为. 故选：C 变式1．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知定义在R上的奇函数，且当时，单调递增，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性转化不等式，再运用单调性化简不等式，即可解得. 【详解】因是定义在R上的奇函数，由可得， 又因时，单调递增，故在R上单调递增， 故得，，解得，. 故选：C. 变式2．（多选）（23-24高一下·全国·单元测试）定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围有（   ）. A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题意可得在是减函数，再通过讨论和，可得不等式的解集. 【详解】由题意可得在上单调递减，在上是减函数，且，再讨论和，可得不等式的解集. 由定义在上的奇函数在上单调递减， 可得在上是减函数； 又， 不等式，等价为或， 所以时，即有，解得； 时，即有，解得； 综上可得的解集为. 故选：BC. 变式3．（23-24高一上·上海·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且.若对任意的、且，都有成立，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】依题意不妨令，即可得，令，，即可得到在上单调递增，再由及奇偶性得到在上的取值情况，从而得到的解集. 【详解】因为对任意的、且，都有成立， 不妨令，则，即， 所以， 令，， 则当且时，， 所以在上单调递增， 又函数是定义域为的奇函数且，则， 所以，所以当时，，当时，， 则当时，，当时，， 又为奇函数，所以当时，，当时，， 所以不等式的解集是. 故答案为： 变式4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，若，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意分析可知：是偶函数，且在内单调递增，在内单调递减，进而可得，运算求解即可. 【详解】由题意可知：的定义域为， 若，则，可得； 同理可得：当时，； 且时，； 综上所述：是偶函数． 因为开口向上，且对称轴为， 可知函数在内单调递增，则函数在内单调递减， 则不等式等价于， 即，整理得，解得或， 所以x的取值范围为. 故答案为：. 变式5．（24-25高一上·江西上饶·开学考试）若函数的定义域是，且对任意的，都有成立． (1)试判断的奇偶性； (2)若当时，，求的解析式，并画出函数图象； (3)在条件（2）前提下，解不等式． 【答案】(1)奇函数 (2)，作图见解析 (3)或． 【分析】（1）利用奇偶性的定义求解即可； （2）根据求解即可； （3）利用函数的单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】（1）令可得：，故， 令可得：，故． 又函数的定义域是，故函数为奇函数． （2）令，则，故 ， 又，所以，， 综上可知，． 故函数图像如下：    （3）由（2）可知，函数为上的增函数， 因为． 所以． 所以，解得或． 变式6．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数，且其定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； (3)解不等式． 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）检验与的关系即可判断; （2）任取，然后利用作差法比较与的大小即可判断; （3）结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式. 【详解】（1）为奇函数，理由如下： 因为，且函数定义域为，关于原点对称， 所以为奇函数. （2）任取， 所以，， 则， 所以， 故在上单调递减； （3）可转化为， 则，所以，解得， 故的范围为. 变式7.（21-22高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）图中给出了奇函数的局部图像，已知的定义域为    (1)求的值； (2)试补全其图像； (3)并比较与的大小． 【答案】(1) (2)图象见解析 (3) 【分析】（1）根据函数定义域和函数为奇函数得到； （2）根据函数图象和奇偶性画出函数图象； （3）结合函数图象和单调性得到大小关系. 【详解】（1）为定义在上的奇函数，故； （2）图象如下：    （3）由函数图象可以看出在上单调递增， 故. 【方法技巧与总结】 1.如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. 2.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． 3.既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． 4.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 5.偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 【题型6：利用奇偶性与单调性比较大小】 例6．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数是定义在上的偶函数，又，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先求出的值，由二次函数的性质分析的单调性，进而分析的对称性和单调性，由此分析可得答案. 【详解】根据题意，数是定义在上的偶函数， 则有，解可得， 则函数是开口向下的二次函数，在区间上为减函数， 又，函数的对称轴为，且在上为减函数， 则有， 即. 故选：D. 变式1．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知是奇函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数图象在轴左右的单调性一致的特征，即可判断函数值大小. 【详解】∵函数为奇函数，且在区间上单调递增， ∴在R上单调递增， ∴． 故选：B. 变式2．（2015高一·全国·竞赛）已知是定义在上的偶函数，对任意的，且，都有，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数单调性的定义和偶函数的性质求解即可. 【详解】因为对任意的，且，都有， 所以由函数单调性的定义可知在上单调递减，所以， 又是偶函数，， 所以， 故选：A 变式3．（24-25高一上·上海·课后作业）若函数是奇函数，且，则 ．（填“>”或“<”） 【答案】> 【分析】运用奇函数的定义和性质解题即可. 【详解】函数是奇函数，且， 则， 又因为，， 则. 故答案为：>. 变式4．（22-23高一·全国·随堂练习）已知函数对任意实数x都有，并且对任意，总有，比较下列各组值的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据题目条件得到关于对称，且在上单调递增，从而在上单调递减，从而判断出； （2）赋值得到； （3）先得到，结合在上单调递减比较大小； （4）先得到，结合在上单调递减比较大小. 【详解】（1），其中，故关于对称， 对任意，总有，故在上单调递增， 则在上单调递减， 由于，故； （2）中，令得； （3）由于，故， 因为在上单调递减，且， 所以； （4）由于，故， 即， 因为在上单调递减，且， 所以，故. 变式5．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知函数的图象关于y轴对称，且对于，当，时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的性质，把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】由题意，函数为偶函数，且在上单调递减，所以在单调递增， 又恒成立，所以恒成立. 由 恒成立. 由即恒成立，得 ； 由即恒成立，得 . 综上可得，即. 故选：B 变式6．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则条件即为，利用的性质将条件转化为，推出A正确，最后构造其它选项的反例即可. 【详解】设，则，从而是单调递增的奇函数. 从而条件等价于，即，这又等价于，即，即，故A正确； 条件等价于，取，，此时B，C，D均不成立，故B，C，D错误. 故选：A. 【题型7：奇偶性与函数图像】 例7．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下图的四个函数图象中为奇函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据奇函数的函数图象关于原点对称判断即可. 【详解】奇函数的函数图象关于原点对称，偶函数的函数图象关于轴对称； 结合选项可知，A、C的图象关于轴对称，为偶函数，故排除A、C； B、D的图象关于原点对称，为奇函数，故B、D正确. 故选：BD 变式1．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）一个偶函数定义在区间上，它在上的图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A．这个函数有三个单调递增区间 B．这个函数有两个单调递减区间 C．这个函数在其定义域内有最大值7 D．这个函数在其定义域内有最小值 【答案】AC 【分析】根据偶函数性质画出函数图象，根据函数图象即可判断单调区间及函数的最值. 【详解】根据偶函数在上的图象及其对称性，作出函数在上的图象，如图所示， 由图象可知这个函数有三个单调递增区间；有三个单调递减区间； 在其定义域内有最大值是7；在其定义域内最小值不是. 故选：AC 变式2．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知偶函数和奇函数的定义域都是，它们在上的图像分别是图1和图2，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据奇函数和偶函数的性质，分别得到不等式和 的解集，即可求解. 【详解】由偶函数的性质可知，， 或， 由奇函数的性质可知，，， 当，得， 当，得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 变式3．（23-24高一上·北京朝阳·期中）已知奇函数的定义域为，且在上的图像如图所示，则的单调递减区间为 . 【答案】， 【分析】直接根据图像以及奇函数的对称性可得答案. 【详解】根据图像可得在上的单调增区间为，单调减区间为， 又函数为奇函数， 由奇函数在对称的区间上单调性相同得： 在上的单调增区间为，单调减区间为. 故答案为：， 变式4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么的值域是 .    【答案】 【分析】由图象读出当时的取值范围，再由奇函数的性质求出时的取值范围，即可求出函数的值域. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，则， 又当时，的图象如图所示，可知； 所以当时，，则，所以， 综上可得的值域是. 故答案为： 变式5．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，.现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示. (1)请补全函数的图象； (2)根据图象写出函数的单调递增区间； (3)根据图象写出使的x的取值集合. 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)或 【分析】（1）奇函数关于原点对称，据此补全图象即可； （2）（3）由图象写出单调递增区间和写出使的x的取值集合即可； 【详解】（1）由题意作出函数图象如图所示. （2）由图可知，单调递增区间为. （3）由图可知，使的x的取值集合为或. 变式6．（23-24高一下·全国·课堂例题）已知函数是偶函数，是奇函数，且它们的部分图象如图所示，补全函数图象，并总结出当函数具有奇偶性时，函数单调性的规律. 【答案】答案见解析 【分析】根据奇偶函数的性质得解. 【详解】如果是偶函数，其图象关于y轴对称，如图， 所以其在和时的单调性相反； 如果是奇函数，其图象关于原点成中心对称，如图， 那么其在和时的单调性相同. 变式7．（2011高一上·江苏淮安·学业考试）已知定义域为的函数满足： ①对任意；②当时，. (1)求在实数集上的解析式； (2)在坐标系中画出函数的图象； (3)写出的单调递增区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)、 【分析】（1）令，则有，即可结合函数性质计算出时解析式，再计算出即可得； （2）结合所得解析式即可画出； （3）由图象结合二次函数的性质即可得. 【详解】（1）当时，有，则， 又对任意，则， 即当时，， 有，故， 即； （2）如图： （3）由图象结合二次函数的性质可得， 该函数的单调递增区间为：、. 一、单选题 1．（23-24高一下·河南新乡·期末）已知函数是奇函数，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】利用奇函数定义，列式计算即得. 【详解】由函数是奇函数，得，则，解得， 函数定义域为，是奇函数， 所以. 故选：A 2．（22-23高一上·福建莆田·期中）设函数若为奇函数，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由分段函数得，再利用为奇函数得，，代入计算即得. 【详解】因是奇函数， 故. 故选：A. 3．（22-23高一下·云南昭通·期末）定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中条件可知当时，，当时，，进而分类讨论解求得x的取值范围. 【详解】因为定义域为的奇函数在内单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由，可得：，或，或， 解得或， 所以满足的x的取值范围是， 故选：C. 4．（24-25高一上·上海·课后作业）下列四个命题： ①偶函数的图像一定与轴相交； ②奇函数的图像一定通过原点； ③既是奇函数又是偶函数的函数只能是； ④偶函数的图像关于轴对称． 其中正确的命题是（　　） A．③ B．④ C．②③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】举反例可以判断①②③，根据偶函数的定义，可以判断④. 【详解】对于①，函数是偶函数，但其图象不与轴相交，故①错误； 对于②，函数是奇函数，但其图象不通过原点，故②错误； 对于③，函数也既是奇函数，又是偶函数，故③错误； 对于④，根据偶函数的定义，偶函数图象关于轴对称，故④正确； 故选：B. 5．（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数的性质和对各选项逐一判断即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，， 因为，所以，，B错误，D正确； 对于A，C，、与的大小无法判断， 故选：D 6．（23-24高一下·山东淄博·期中），是定义在R上的函数，，则“，均为奇函数”是“为奇函数”的（    ）条件． A．充要 B．充分而不必要 C．必要而不充分 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】由题意结合函数奇偶性的性质逐一考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】若，均为奇函数，则有， 所以，所以“为奇函数”，故充分性成立， 若为奇函数，如，，而均不是奇函数，故必要性不成立. 综上可得：“，均为奇函数”是“为奇函数”的充分而不必要的条件. 故选：B． 7．（23-24高一下·云南昆明·期末）“函数为奇函数”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分而不必要条件的定义判断可得答案. 【详解】若函数为奇函数，则其定义域关于原点对称，且， 所以，所以是偶函数； 设函数，则，，， 所以是偶函数，但不是奇函数， 故“函数为奇函数”是“函数为偶函数”的充分而不必要条件. 故选：A. 8．（23-24高一上·云南曲靖·期末）若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性，判断函数值的正负情况，由结合函数的性质列出不等式组，可求得答案. 【详解】因为定义域为的偶函数在内单调递减，且， 所以在上单调递增，且， 所以当时，，当时，， 所以由可得或或或， 所以得或或， 所以满足的的取值范围是． 故选：B． 二、多选题 9．（23-24高一下·湖南娄底·期末）已知函数是定义在上的奇函数，则下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用函数奇偶性的定义判断可得结论. 【详解】因为的定义域为，又因为，所以是偶函数；故A是偶函数； 令，则，所以是偶函数，故B是偶函数； 令，则，所以是偶函数，故C是偶函数； 令，则，所以是奇函数，故D是奇函数． 故选：ABC. 10．（22-23高一下·河南·阶段练习）已知函数为奇函数，则下列说法正确的为（    ） A． B． C． D．的单调递增区间为 【答案】BC 【分析】利用奇函数的性质可求a的值，代数求值可验证C项，根据表达式作出函数图象可验证D项. 【详解】因为函数为奇函数，，即，解得，故B正确，A错误； 因为，所以，故C正确； 作出的图象，如图，所以的单调递增区间为，，D选项形式错误，不能用并集的符号. 故选：BC. 11．（23-24高一下·安徽阜阳·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的图象关于点对称 D．若在上单调递减，则 【答案】ABC 【分析】求出函数的定义域和值域可判断A、B；根据图象的平移法可判断C；根据函数的单调性解不等式可判断D 【详解】由得，所以的定义域为，A正确； 由及， 可得的值域为，B正确； 的图象可由奇函数的图象向右平移4个单位， 再向上平移个单位得到，所以的图象关于点对称，C正确； 在上单调递减，则或，即或 ，D错误． 故选：ABC． 三、填空题 12．（23-24高一下·全国·课后作业）已知定义在上的函数是奇函数，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称的性质列方程求即可． 【详解】因为，为奇函数， 又奇函数的定义域关于原点对称， 所以，， 解得或， 故答案为：或． 13．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ． 【答案】 【分析】设，则利用奇函数的定义得出，可得出函数在上的解析式.即可求解 【详解】设，则，则， 函数是上的奇函数，则当时，. 又， 所以 故答案为： . 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）如果奇函数在区间上是严格增函数且最小值为5，那么在区间上最大值为 ． 【答案】 【分析】由奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，则奇函数在区间上最大值即为在区间上的最小值的相反数，即可得到所求答案． 【详解】因为奇函数的图象关于原点对称， 所以奇函数在区间上是严格增函数，且最小值为5，即， ，，即， 因为在区间上是严格增函数，所以当时取得最大值， 所以在区间上最大值为. 故答案为：． 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·课后作业）已知为奇函数，且． (1)求实数、的值． (2)判断函数在上的单调性，并证明． 【答案】(1)，． (2)函数在上是严格增函数，证明见解析 【分析】（1）由题意列出方程组即可求出参数的值； （2）直接按照函数单调性的定义进行证明即可. 【详解】（1）由题意可得，即，解得． 再由，解得． 综上可得，，． （2）函数在上是严格增函数． 证明：由（1）得， 设，则． 因为，，故有，即． 故函数在上是严格增函数． 16．（23-24高一上·天津滨海新·期末）已知二次函数，. (1)若函数是偶函数，求实数的值； (2)若，求不等式的解集； (3)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3)或. 【分析】（1）由偶函数性质列方程得恒成立，即得参数； （2）解不含参的一元二次不等式求解集； （3）根据二次函数的区间单调性列不等式求参数范围. 【详解】（1）因为函数是偶函数，所以. 所以，所以. 由的任意性，所以. （2）当时，. 则，解得， 不等式的解集为. （3）函数对称轴，开口方向向上. 因为函数在区间上具有单调性，则，或，解得，或. 所以实数的取值范围为或. 17．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，． (1)证明：函数是奇函数； (2)证明：在上是增函数； (3)若，对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）令可得，再令，结合奇函数定义，即可证明； （2）设任意且，作差，结合条件赋值法可证明，再结合奇函数性质，即可得证； （3）可转化为即，结合性质所证明性质求出，再主元变换解决关于的函数恒成立问题，列出不等式组求解即可. 【详解】（1）令，得，， ， 令，，， 所以函数是奇函数； （2）设任意且， 由题意，， 又由（1）是奇函数， 得， ，， 已知当时，，从而有， 故，即， 在上单调递增， 根据奇函数的性质可知在上也单调递增， 故在上是增函数； （3）对任意恒成立，即， 由（2）得，在上是增函数， 所以当时，， 又（1）可知，函数是奇函数，则，即. 所以对任意恒成立， 设，，要使恒成立， 则，即， 解得或，所以实数的取值范围是． 18．（20-21高一上·江苏徐州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有． (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并证明； (3)解不等式． 【答案】(1) (2)在为增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质，即可求出，再由求出，即可求出当时函数解析式，再由奇函数的性质求出时解析式； （2）利用定义法证明函数的单调性即可； （3）结合奇偶性与单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得， 因为，所以，所以， 所以当时，， 当时，， 则， 综上所述，； （2）函数在上为增函数． 证明：任取，且， 则 ， ， ，即， 故在上为增函数； （3）因为函数是定义在上的奇函数， 所以 ， 又由（2）知在上为增函数， 所以，解得， 故原不等式的解集为． 19．（23-24高一上·四川内江·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的且时，有成立. (1)证明：在上单调递增； (2)解不等式：； (3)若对所有的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)或或 【分析】（1）根据定义法即可证明函数单调性； （2）利用函数单调性和奇偶性可得，解不等式可得结果； （3）不等式先对所有的得到，再由对所有的恒成立，可求得实数的取值范围. 【详解】（1）取任意，且； 由是定义在上的奇函数，可得， 又因为对任意的且时，有成立， 所以，且； 因此可得，即. 所以在上单调递增； （2）由于是定义在上的奇函数，将不等式变形 可得； 由（1）可知函数在上单调递增， 所以不等式需满足， 解不等式可得； 解不等式可得或； 解不等式可得或； 综合可得； 即不等式的解集为 （3）由（1）可知，在上的最大值为， 因为对所有的恒成立， 所以对所有的恒成立， 即对所有的恒成立， 令，即对所有的恒成立， 所以，即， 解得或或. 所以实数的取值范围为或或 【点睛】方法点睛：函数不等式恒成立问题经常借助函数单调性求得其最值，转化成不等式恒成立即可. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！47 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$