2.2.2函数的表示法（4知识点+8题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第一册）

2.2.2函数的表示法 课程标准 学习目标 1.进一步理解函数的概念 2.使学生掌握函数的三种表示方法; 1.函数的表示方法 2.函数三种表示方法的选择 知识点01 函数的三种表示方法 1.解析法∶利用解析法表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明 其定义域. 2.列表法∶就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．比如我们生活中经常遇到的列车时刻表、银 行的利率表等.其优点是不需要计算就可以直接看出与自变量相对应的函数值.这种表示法常常被应用到实际生产和生活中去. 3.图像法∶函数图象的形状不一定是一条或几条无限长的平滑曲线，也可能是一些点、一些线段、一段 曲线等，但不是任何一个图形都是函数图象. 【即学即练1】（24-25高一上·全国·课前预习）作出下列函数的图象： (1)（）； (2)，． 【即学即练2】（23-24高一·上海·课堂例题）根据下图的函数图像，用解析法表示y关于x的函数． 知识点02分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数. 【即学即练3】（24-25高一上·上海·随堂练习）国内跨省市之间邮寄平信，每封信的重量x和对应的邮资y如下表： 信函质量（x）/g 邮资（y）/元 0.80 1.60 2.40 3.20 4.00 写出函数的解析式． 【即学即练4】（23-24高一·上海·课堂例题）已知函数的表达式为求，及，其中a为实数． 难点：分类讨论思想的运用 示例1：（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是 ． 【题型1：函数的三种表示方法】 例1．（23-24高一上·山西·期中）如图，四边形是矩形，是等腰直角三角形．点从点出发，沿着边运动到点，点在边上运动，直线．设点运动的路程为的左侧部分的多边形的周长（含线段的长度）为．当点在线段上运动时，的解析式为（    ）    A． B． C． D． 变式1．（多选）（23-24高一上·陕西宝鸡·阶段练习）下列结论中正确的是（    ） A．任意一个函数都可以用解析式表示 B．函数，的图象是直线上一些孤立的点 C．表格可以表示y是x的函数 x 有理数 无理数 y 1 D．图象 可以表示函数的图象 变式2．（24-25高一上·上海·课后作业）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间（分钟）与相应话费（元）之间的函数图像如图所示，则与之间的函数关系式为 ． 变式3．（2023高一上·上海·专题练习）某工厂有一面长14米的旧墙，现在准备利用这面墙建造平面图为矩形的面积为126平方米的厂房，考虑到要节约费用因此利用旧墙（长度不得超过其总长），而没有利用的部分可拆去作为修建新墙的材料，具体工程条件如下： ①建1米新墙的费用为a元； ②修1米旧墙的费用为元； ③拆去1米旧墙，用所得的材料建1米新墙费用为元； 问：设利用旧墙为x，建墙费用为y，试建立y与x的函数关系式y=f(x). 变式4．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）一水池有2个进水口，1个出水口，进、出水速度如图甲、乙所示．某天从0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示（至少打开一个水口）．给出以下论断，正确的是（    ）    A．0点到3点只进水不出水 B．3点到4点不进水只出水 C．3点到4点，一个进水口进水，同时出水口出水 D．4点到6点不进水也不出水 变式5．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，现给出函数的四个性质，其中说法正确的是 ．（填序号） ①； ②在上严格增； ③当时，取得最大值． 变式6．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中，． (1)将该函数写成分段函数的形式； (2)画出的大致图像并写出的单调区间． 【方法技巧与总结】 函数的表示方法一般有三种:列表法、图象法、解析法,以解析法应用较多.有的函数可以用三种方法中的任何一种来表示,而有的只能用其中的一种或两种来表示. 【题型2：分段函数求值问题】 例2．（24-25高一上·全国·课后作业）设函数，则等于（    ） A． B．3 C． D． 变式1．（21-22高一上·广东湛江·期末）已知函数那么的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 变式2．（23-24高一下·云南昆明·期中）已知函数，则（    ） A．14 B．5 C．1 D．-1 变式3．（2013高一·全国·竞赛）函数满足：，且，则 ． 变式4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数 (1)求的值； (2)画出函数的图象． 变式5．（23-24高二下·陕西西安·期中）设． (1)求的值； (2)若，求t值. 变式6．（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（    ） 1 2 3 2023 0 A．2023 B．0 C． D． 变式7．（多选）（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数的图象由如图所示的两段线段组成，则（    ） A． B．不等式的解集为 C．函数在区间上的最大值为2 D．的解析式可表示为： 【方法技巧与总结】 分段函数求值时要注意变量的范围;根据变量范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论。 【题型3：分段函数的定义域与值域问题】 例3．（16-17高一上·河北邯郸·阶段练习）下列四个函数：① ；②；③ ；④ ．其中定义域与值域相同的函数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．（多选）（21-22高一上·辽宁朝阳·期末）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．若，则 D．的解集为 变式2．（多选）（22-23高一上·浙江杭州·期中）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域是R B．的值域是 C．若，则x的值为 D． 变式3．（多选）（22-23高一上·浙江温州·期中）德国数学家狄利克雷（1805~1859）在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄利克雷函数，即：，以下关于狄利克雷函数的性质正确的有（    ） A． B．的值域为 C．定义域为 D． 变式4．（多选）（22-23高一上·河北邢台·期中）已知函数， 关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C． D．若， 则的值是 变式5．（20-21高一上·全国·课后作业）函数f(x)=的定义域为 ，值域为 . 变式6．（2021高一·上海·专题练习）函数y＝的定义域为 ，值域为 . 变式7．（2023高一·江苏·专题练习）已知函数 (1)求，，的值； (2)求函数的定义域、值域． 【方法技巧与总结】 分段函数的定义域是各段函数定义域的并集值域也是各段函数值域的并集， 【题型4：函数含参问题】 例4．（23-24高一上·上海·期末）若的最小值是3，则实数a的值为（    ） A．5或8 B．或5 C．或4 D．或8 变式1．（23-24高一上·重庆北碚·期末）设函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2．（22-23高一下·湖南张家界·开学考试）二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，点C在二次函数图象上，且到轴距离为4，，则a的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 变式3．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）对于两个实数a，b，用表示其中较大的数，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 变式4．（22-23高一上·广东湛江·期中）已知函数，若，则a的值是 ． 变式5．（23-24高一上·陕西汉中·期末）设集合，，函数，已知实数，且，则的取值范围为 . 变式6．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数的图象与函数的图象交于点和点，则 ． 变式7．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数 (1)求； (2)若，求a的取值范围. 变式8．（23-24高一下·青海西宁·开学考试）已知函数，且. (1)求； (2)若，求实数的值. 1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）设，则（    ） A． B． C．1 D． 2．（22-23高一上·福建泉州·期中）下列结论正确的有（    ） A．函数的定义域为 B．函数，的图象与轴有且只有一个交点 C．函数的图象与直线有且只有一个交点 D．与是相同函数 3．（24-25高一上·全国·课后作业）若的图象经过点，则函数的图象必经过点（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如图的曲线，其中，则的值为（    ） 1 2 3 2 3 0 A．3 B．2 C．1 D．0 6．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）若函数的图象经过点，则函数的图象必经过点（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知，其中，若，则正实数t取值范围（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．（24-25高一上·湖北黄冈·阶段练习）若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·全国·单元测试）下列函数中值域是的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数则下列说法中，正确的有（    ） A．若，则方程有实数根 B．若，则方程有2个实数根 C．若方程有3个不同实数根，则 D．若方程有4个不同实数根，则 11．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）某工厂8年来某产品产量与时间的函数关系如图，则以下说法中正确的是（    ） A．前2年的产品产量增长速度越来越快 B．前2年的产品产量增长速度越来越慢 C．第2年后，这种产品停止生产 D．第2年后，这种产品产量保持不变 三、填空题 12．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）设函数，满足，则＝ ；函数的值域为 ． 13．（24-25高一上·全国·课后作业）某商品的单价为5000元，若一次性购买超过5件，但不超过10件时，每件优惠500元；若一次性购买超过10件，则每件优惠1000元．某单位购买x件（），设总购买费用是元，则的解析式是 ． 14．（24-25高一上·全国·课后作业）在实数的原有运算中，我们定义新运算“*”如下：当时，；当时，．设函数，则函数的值域为 ． 四、解答题 15．（23-24高一上·山东聊城·阶段练习）已知，． (1)求的定义域； (2)求，的值，的值域 16．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知函数，． (1)求，，，； (2)求． 17．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数，． (1)求，的值； (2)求的值； (3)求，，． 18．（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）已知，求； （2）已知为二次函数，且，求； （3）已知函数对于任意的x都有，求． 19．（23-24高一上·天津·期中）已知是二次函数，且满足． (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的最小值的表达式． (3)在（2）的条件下，对任意的，存在，使得成立，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.2函数的表示法 课程标准 学习目标 1.进一步理解函数的概念 2.使学生掌握函数的三种表示方法; 1.函数的表示方法 2.函数三种表示方法的选择 知识点01 函数的三种表示方法 1.解析法∶利用解析法表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明 其定义域. 2.列表法∶就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．比如我们生活中经常遇到的列车时刻表、银 行的利率表等.其优点是不需要计算就可以直接看出与自变量相对应的函数值.这种表示法常常被应用到实际生产和生活中去. 3.图像法∶函数图象的形状不一定是一条或几条无限长的平滑曲线，也可能是一些点、一些线段、一段 曲线等，但不是任何一个图形都是函数图象. 【即学即练1】（24-25高一上·全国·课前预习）作出下列函数的图象： (1)（）； (2)，． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）（2）利用给定条件描点作图即可. 【详解】（1） 因为，所以图象为直线上的孤立点，其图象如图所示． （2） ， 当或时，； 当时，，其图象如图所示． 【即学即练2】（23-24高一·上海·课堂例题）根据下图的函数图像，用解析法表示y关于x的函数． 【答案】 【分析】根据图象，分三段、、三段讨论即可. 【详解】当时，直线过, 设直线, 代入得, 解得 所以. 同理可得，. 当时，. 终上所述，. 知识点02分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数. 【即学即练3】（24-25高一上·上海·随堂练习）国内跨省市之间邮寄平信，每封信的重量x和对应的邮资y如下表： 信函质量（x）/g 邮资（y）/元 0.80 1.60 2.40 3.20 4.00 写出函数的解析式． 【答案】 【分析】直接将表格法转换成分段函数解析式即可得解. 【详解】观察表格，用分段函数表示法可得所求即为. 【即学即练4】（23-24高一·上海·课堂例题）已知函数的表达式为求，及，其中a为实数． 【答案】答案见详解 【分析】根据题意分段函数解析式运算求解，注意讨论a的符号. 【详解】由题意可得：， 若，即，则； 若，即，则； 综上所述：. 难点：分类讨论思想的运用 示例1：（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数解析式，作出函数图象，解不等式可得：，讨论和的大小关系，确定不等式的解集，结合函数图象确定解集中的两个整数解，进而确定的取值范围. 【详解】由于函数，作出图象如图所示：    由可得：. 当时，，不等式无解； 当时，由得：， 若不等式恰有两个整数解，由于，，， 则整数解为和，又， ∴； 当时，由得：， 若不等式恰有两个整数解，由于，则整数解为和， 又， ，∴， 综上所述：实数的取值范围为：. 故答案为：. 【题型1：函数的三种表示方法】 例1．（23-24高一上·山西·期中）如图，四边形是矩形，是等腰直角三角形．点从点出发，沿着边运动到点，点在边上运动，直线．设点运动的路程为的左侧部分的多边形的周长（含线段的长度）为．当点在线段上运动时，的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中条件可求得，依题分析即可得到结果. 【详解】因为是等腰直角三角形，， 所以．当点在线段上运动时， ． 故选：A. 变式1．（多选）（23-24高一上·陕西宝鸡·阶段练习）下列结论中正确的是（    ） A．任意一个函数都可以用解析式表示 B．函数，的图象是直线上一些孤立的点 C．表格可以表示y是x的函数 x 有理数 无理数 y 1 D．图象 可以表示函数的图象 【答案】BC 【分析】利用函数的定义及表示方法一一判定选项即可. 【详解】对于A项，并非所有函数都有解析式，故A错误； 对于B项，函数，，是直线上对应的五个点，故B正确； 对于C项，表格表示函数，因为对于任意自变量，都有唯一的函数值与之对应，故C正确； 对于D项，图中对于任意自变量，并非都有唯一的函数值与之对应，故D错误. 故选：BC 变式2．（24-25高一上·上海·课后作业）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间（分钟）与相应话费（元）之间的函数图像如图所示，则与之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】根据函数图象利用待定系数法求解即可. 【详解】由图知，当时，设函数为，则 ，得，所以， 当时，设函数为，则 ，解得， 所以， 综上与之间的函数关系式为. 故答案为： 变式3．（2023高一上·上海·专题练习）某工厂有一面长14米的旧墙，现在准备利用这面墙建造平面图为矩形的面积为126平方米的厂房，考虑到要节约费用因此利用旧墙（长度不得超过其总长），而没有利用的部分可拆去作为修建新墙的材料，具体工程条件如下： ①建1米新墙的费用为a元； ②修1米旧墙的费用为元； ③拆去1米旧墙，用所得的材料建1米新墙费用为元； 问：设利用旧墙为x，建墙费用为y，试建立y与x的函数关系式y=f(x). 【答案】 【分析】结合题意，分别计算出新墙、旧墙、及利用剩余的旧墙材料建新墙的费用，加起来即可. 【详解】结合题意：利用旧墙的一段米为矩形一面边长，则修旧墙费用为元， 将剩余的旧墙拆得材料建新墙的费用为元， 其余建新墙的费用为元， 故总费用为. 变式4．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）一水池有2个进水口，1个出水口，进、出水速度如图甲、乙所示．某天从0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示（至少打开一个水口）．给出以下论断，正确的是（    ）    A．0点到3点只进水不出水 B．3点到4点不进水只出水 C．3点到4点，一个进水口进水，同时出水口出水 D．4点到6点不进水也不出水 【答案】AC 【分析】由丙图可知0点到3点每小时进水量为 2 ,据此可以判断A;3点到4点,水量减少了 1 ,据此可以判断B、C;4点到6点水量保持不变,据此可以判断D. 【详解】由题意可知在 0 点到 3 点这段时间,每小时进水量为 2 , 即 2 个进水口同时进水且不出水, 所以A正确; 从丙图可知 3 点到 4 点水量减少了 1 , 所以应该是有一个进水口进水, 同时出水口也出水, 故 B错,C对; 当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变,故D错. 故选：AC. 变式5．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，现给出函数的四个性质，其中说法正确的是 ．（填序号） ①； ②在上严格增； ③当时，取得最大值． 【答案】② 【分析】当时，，由此可判断①，当向右平移时，左边阴影部分的面积也在增大，可判断②③. 【详解】由题可知，所在直线为，所在直线为， 则当时，； ①当时，，故①错误； ②当向右平移时，左边阴影部分的面积在增大，显然在上严格增，故②正确； ③因为在上是严格增函数，所以最大，故③错误． 故答案为：②. 变式6．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中，． (1)将该函数写成分段函数的形式； (2)画出的大致图像并写出的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析，增区间为，减区间为． 【分析】（1）根据绝对值函数去掉绝对值符合即可得分段函数解析式； （2）根据一次函数的解析式画图即可. 【详解】（1）当时， ， 当时， ， 所以； （2）作出函数的图像如下图所示：    由图可知，函数的增区间为，减区间为． 【方法技巧与总结】 函数的表示方法一般有三种:列表法、图象法、解析法,以解析法应用较多.有的函数可以用三种方法中的任何一种来表示,而有的只能用其中的一种或两种来表示. 【题型2：分段函数求值问题】 例2．（24-25高一上·全国·课后作业）设函数，则等于（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据题中分段函数解析式运算求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 变式1．（21-22高一上·广东湛江·期末）已知函数那么的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】先计算，从而，由此能求出结果. 【详解】解：函数， ， . 故选：A. 变式2．（23-24高一下·云南昆明·期中）已知函数，则（    ） A．14 B．5 C．1 D．-1 【答案】B 【分析】根据分段函数解析式代入计算可得. 【详解】因为，所以.故选：B 变式3．（2013高一·全国·竞赛）函数满足：，且，则 ． 【答案】 【分析】结合题意可得、与的关系，即可得，即可得，结合与的关系计算即可得. 【详解】， 则， 所以． 故答案为：. 变式4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数 (1)求的值； (2)画出函数的图象． 【答案】(1) (2)图象见详解 【分析】（1）利用函数的解析式由内到外可逐层计算出的值； （2）根据函数的解析式可画出该函数的图象. 【详解】（1）因为， 则，； 所以. （2）函数的图象如下图所示：    变式5．（23-24高二下·陕西西安·期中）设． (1)求的值； (2)若，求t值. 【答案】(1)0 (2)或或 【分析】（1）根据分段函数的特征可计算； （2）就的不同取值范围构建不同的方程后可求的值. 【详解】（1）. （2）当时，，∴； 当时，，解得：； 当时，，∴， 综上所述：或或． 变式6．（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（    ） 1 2 3 2023 0 A．2023 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】按函数的定义结合图表计算即可 【详解】根据题意，可得，则， 故选：A. 变式7．（多选）（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数的图象由如图所示的两段线段组成，则（    ） A． B．不等式的解集为 C．函数在区间上的最大值为2 D．的解析式可表示为： 【答案】BD 【分析】由函数的图象求出函数的解析式，由此分析选项可得答案． 【详解】根据题意，由图象可得，在区间上，函数图象为线段，经过点和， 则其方程为， 在区间上，函数图象为线段，经过点和， 设，，则，解得， 所以其方程为， 综合可得， 对于A，，则，故A错误； 对于B，若，则有或，解得或， 即不等式的解集为，故B正确； 对于C，在区间上，为减函数，其最大值为，故C错误； 对于D，由，故D正确． 故选：BD． 【方法技巧与总结】 分段函数求值时要注意变量的范围;根据变量范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论。 【题型3：分段函数的定义域与值域问题】 例3．（16-17高一上·河北邯郸·阶段练习）下列四个函数：① ；②；③ ；④ ．其中定义域与值域相同的函数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据函数解析式分别求得每个函数的定义域和值域，即可判断出答案. 【详解】①的定义域和值域均为R, ②,定义域为 ，∴值域为，定义域与值域相同； ③的定义域为R，值域为 ， 定义域与值域不相同； ④的定义域为R，当时，； 当时，，则函数值域为R, 故函数定义域与值域相同， 所以函数定义域与值域相同的函数是①②④，共有3个． 故选：C． 变式1．（多选）（21-22高一上·辽宁朝阳·期末）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．若，则 D．的解集为 【答案】BC 【分析】根据分段函数的定义域、值域、不等式等知识求得正确答案. 【详解】由题意知函数的定义域为，故A错误； 当时，的取值范围是， 当时，的取值范围是，因此的值域为，故B正确； 当时，，解得（舍去）， 当时，，解得或（舍去），故C正确； 当时，，解得， 当时，，解得， 因此的解集为，故D错误. 故选：BC 变式2．（多选）（22-23高一上·浙江杭州·期中）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域是R B．的值域是 C．若，则x的值为 D． 【答案】BCD 【分析】根据分段函数的解析式，结合一次函数、二次函数的单调性，运用代入法逐一判断即可. 【详解】A：函数的定义域为，所以本选项不正确； B：当时，， 当时，，，所以有， 综上所述：的值域是，所以本选项正确； C：当时，，不符合； 当时，，或不符合， 综上所述：当时，x的值为，所以本选项正确； D：，所以本选项正确， 故选：BCD 变式3．（多选）（22-23高一上·浙江温州·期中）德国数学家狄利克雷（1805~1859）在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄利克雷函数，即：，以下关于狄利克雷函数的性质正确的有（    ） A． B．的值域为 C．定义域为 D． 【答案】ACD 【分析】根据函数解析式逐项判断即可. 【详解】由函数，可知函数定义域为，值域为，故C正确、B不正确； 当为有理数时，，；当为无理数时，，；所以当，，故A正确； 当为有理数时，为有理数，当为无理数时，为无理数，即，故D正确； 故选：ACD. 变式4．（多选）（22-23高一上·河北邢台·期中）已知函数， 关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C． D．若， 则的值是 【答案】BC 【分析】根据分段函数解析式可得到其定义域，判断A选项，分别在各自自变量范围内，求解其函数范围，最后取其并集，为最终值域，即可判断B选项，将代入，可判断C，在各自范围内，令其等于3，得到或，即可判断D选项. 【详解】由分段函数解析式可知其定义域为，故A错误； 当时，此时，在上单调递增，则此时； 当时，此时，对称轴为，则，且，故此时， 故值域为，作出如图所示图象，故B正确； ，故C正确， 当时，，；当时，，（舍去另一个负值）， 故若,则的值是或，故D错误； 故选：BC. 变式5．（20-21高一上·全国·课后作业）函数f(x)=的定义域为 ，值域为 . 【答案】 (-1，1) (-1，1) 【分析】由分段函数的各段的定义域求并集可得分段函数的定义域；由分段函数的各段的值域求并集可得分段函数的值域. 【详解】由已知得，f(x)的定义域为{x|0<x<1}∪{0}∪{x|-1<x<0}={x|-1<x<1}，即(-1，1)， 又当0<x<1时，0< - x2+1<1， 当-1<x<0时，-1<x2-1<0， 当x=0时，f(x)=0， 故值域为(-1，0)∪{0}∪(0，1)=(-1，1). 故答案为：(-1，1)；(-1，1). 【点睛】本题考查了求分段函数的定义域，考查了求分段函数的值域，属于基础题. 变式6．（2021高一·上海·专题练习）函数y＝的定义域为 ，值域为 . 【答案】 （－∞，0）∪（0，＋∞） {－2}∪（0，＋∞） 【分析】由分段函数的定义域为各段的并集，值域为各段的并集进行求解 【详解】定义域为各段的并集，即（－∞，0）∪（0，＋∞）. 因为x>0，所以x2>0，由于值域为各段的并集， 所以函数的值域为{－2}∪（0，＋∞）. 故答案为：（－∞，0）∪（0，＋∞）；{－2}∪（0，＋∞） 变式7．（2023高一·江苏·专题练习）已知函数 (1)求，，的值； (2)求函数的定义域、值域． 【答案】(1)，，. (2)定义域为，值域为 【分析】（1）根据分段函数的解析式求函数值； （2）作出分段函数的图象，由图象判断函数的定义域、值域． 【详解】（1）由函数， ，，. （2）作出图象如图所示．    利用数形结合易知的定义域为，值域为． 【方法技巧与总结】 分段函数的定义域是各段函数定义域的并集值域也是各段函数值域的并集， 【题型4：函数含参问题】 例4．（23-24高一上·上海·期末）若的最小值是3，则实数a的值为（    ） A．5或8 B．或5 C．或4 D．或8 【答案】D 【分析】分、、三种情况进行讨论即可得答案. 【详解】由题意，①当时，即，， 则当时，，解得或（舍）； ②当时，即，， 则当时，， 解得（舍）或； ③当时，即，，此时，不满足题意， 综上或， 故选：D. 变式1．（23-24高一上·重庆北碚·期末）设函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，先分段讨论求得，再分段讨论求得，从而得解. 【详解】因为， 令，则可化为， 当时，，即，解得（负值舍去），即， 当时，，即， 而，故上述不等式无解； 综上，， 若，则，解得（负值舍去）； 若，则，解得（舍去）； 综上：. 故选：A. 变式2．（22-23高一下·湖南张家界·开学考试）二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，点C在二次函数图象上，且到轴距离为4，，则a的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设出二次函数图象与x轴的交点及点的坐标，利用勾股定理及韦达定理建立方程，再借助点在图象上求解即得. 【详解】如图，二次函数的图象开口向上，由于，则点在x轴下方， 过作轴于，设点， 则，由，得， 于是，即有， 整理得，显然是方程的两个实根， 则，从而，即， 由点在二次函数的图象上，得，因此，解得， 所以a的值为. 故选：D 变式3．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）对于两个实数a，b，用表示其中较大的数，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析题意可得，分类讨论计算即可得. 【详解】由题意可得， 故当时，，即， 解得或（舍去）， 当时，，即， 解得，符合要求， 故方程的解是或. 故选：C. 变式4．（22-23高一上·广东湛江·期中）已知函数，若，则a的值是 ． 【答案】或4 【分析】利用分类讨论，分和两种情况，分别表示出，求解即可． 【详解】因为函数， 当时，，解得， 当时，，解得． 综上所述，a的值是或4． 故答案为：或4. 变式5．（23-24高一上·陕西汉中·期末）设集合，，函数，已知实数，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，函数的定义域、值域等知识求得正确答案. 【详解】依题意，， ，即，所以， 所以， 依题意， 而，所以的取值范围为. 故答案为： 【点睛】对于含有多层函数符合的函数的取值范围问题，可从最里面的函数符号来进行求解，如本题中的，则可从来开始求解.求解函数值域的问题，可根据函数的定义域和解析式的结构，选择恰当的方法来进行求解. 变式6．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数的图象与函数的图象交于点和点，则 ． 【答案】8 【分析】由与图象的对称性及中点坐标公式即可求值. 【详解】不妨设，可画出两函数的大致图象如下： 如图，由题意可知，点纵坐标为，点纵坐标为，且四边形为平行四边形， 设与的交点为，故为与的中点， 因为，，所以， 所以. 故答案为：8 变式7．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数 (1)求； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由分段函数解析式，代入计算，即可求解； （2）根据题意，由分段函数解析式列出不等式，代入计算，即可求解. 【详解】（1）函数，则， 所以. （2）函数， 由可得或或， 解得或或， 所以a的取值范围是. 变式8．（23-24高一下·青海西宁·开学考试）已知函数，且. (1)求； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据解析式和求得，进而确定解析式，再从内到外计算； （2）分，分别求解，注意检验即可得解. 【详解】（1）因为，， 故，解得，故， 所以，. （2）因为， 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得或（舍去）； 综上，. 1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）设，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】直接代入计算即可. 【详解】， ， . 故选：B. 2．（22-23高一上·福建泉州·期中）下列结论正确的有（    ） A．函数的定义域为 B．函数，的图象与轴有且只有一个交点 C．函数的图象与直线有且只有一个交点 D．与是相同函数 【答案】B 【分析】求出函数的定义域，判断A的真假；根据函数的概念判断BC的真假；化简函数解析式，根据对应关系判断是否为同一个函数，判断D的真假. 【详解】对A：由 且，所以函数的定义域为，故A错误； 对B：根据函数的概念，可判断B正确； 对C：由函数的概念，可得函数的图象与直线至多有一个交点，故C错误； 对D：因为的定义域为，所以，与对应关系不同，所以与不是同一个函数，所以D错误. 故选：B 3．（24-25高一上·全国·课后作业）若的图象经过点，则函数的图象必经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据即可求解. 【详解】的图象经过点，所以， 故的图象必经过点， 故选：C 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析各个阶段的路程与时间之间的关系可得结论. 【详解】解析：由这一过程中汽车的速度变化可知，速度由小变大→保持匀速→由大变小． 速度由小变大时，路程随时间变化的曲线上升得越来越快，曲线显得越来越陡峭； 匀速行驶时路程随时间变化的曲线上升速度不变； 速度由大变小时，路程随时间变化的曲线上升得越来越慢，曲线显得越来越平缓． 故选：A. 5．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如图的曲线，其中，则的值为（    ） 1 2 3 2 3 0 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据表格中的数据及图象可求函数值. 【详解】， 故选：A. 6．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）若函数的图象经过点，则函数的图象必经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由给定条件，可得，再求出函数的图象所过的点. 【详解】由函数的图象经过点，得， 所以函数的图象必经过点. 故选：C 7．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知，其中，若，则正实数t取值范围（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据给定条件，分段求解不等式即可. 【详解】令，解得， 当时，，，即，且，解得； 当时，，，即，且，解得， 当时，， ，而为正实数，则此种情况无解， 所以正实数的取值范围为或. 故选：A 8．（24-25高一上·湖北黄冈·阶段练习）若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件，结合不等式性质求的范围即可. 【详解】因为函数的值域是， 所以， 所以， 所以， 所以， 故函数的值域是. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高一上·全国·单元测试）下列函数中值域是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据解析式直接求值域，对选项逐一分析即可. 【详解】要使有意义，则， 故，故符合题意； ，故符合题意； ，故不符合题意； ，则，故不符合题意. 故选：. 10．（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数则下列说法中，正确的有（    ） A．若，则方程有实数根 B．若，则方程有2个实数根 C．若方程有3个不同实数根，则 D．若方程有4个不同实数根，则 【答案】ACD 【分析】根据一次函数、指数函数的图象与性质判断各个选项； 【详解】函数大致图象如图所示， 对于A，可知时，有实数根，选项A正确； 对于B，若，则有1个实数根，选项B错误； 对于C，若有3个不同实数根，则，选项C正确； 对于D，若方程有4个不同实数根，则，选项D正确． 故选：ACD 11．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）某工厂8年来某产品产量与时间的函数关系如图，则以下说法中正确的是（    ） A．前2年的产品产量增长速度越来越快 B．前2年的产品产量增长速度越来越慢 C．第2年后，这种产品停止生产 D．第2年后，这种产品产量保持不变 【答案】AD 【分析】根据给定的年产量与时间的函数关系图，结合函数的性质，即可求解. 【详解】根据题意，根据给定的年产量与时间的函数关系图， 可得：前2年的产品产量增长速度越来越快，所以A正确，B不正确； 第2年后，这种产品的年产量保持不变，所以C错误，D正确. 故选：AD. 三、填空题 12．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）设函数，满足，则＝ ；函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用待定系数法求解，进而得到的表达式；利用换元法，结合二次函数的性质即可得到的值域. 【详解】因为， 所以， 所以，解得， 即． 所以， 令，即, 所以，（）, 当时，， 即的值域为, 故答案为：；． 13．（24-25高一上·全国·课后作业）某商品的单价为5000元，若一次性购买超过5件，但不超过10件时，每件优惠500元；若一次性购买超过10件，则每件优惠1000元．某单位购买x件（），设总购买费用是元，则的解析式是 ． 【答案】 【分析】分三种情况，结合题意求解即可. 【详解】因为，则有： 若，则； 若，则； 若，则； 综上所述：. 故答案为：. 14．（24-25高一上·全国·课后作业）在实数的原有运算中，我们定义新运算“*”如下：当时，；当时，．设函数，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据定义的新运算，求出函数的表达式，进而求函数的值域. 【详解】由题意知， 即， 所以, 所以，且， 所以． 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高一上·山东聊城·阶段练习）已知，． (1)求的定义域； (2)求，的值，的值域 【答案】(1)且 (2)，，值域为 【分析】（1）要使该函数有意义，只需满足，即可求得结果； （2）直接代入求值即可，求值域时，根据解析式的范围直接求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，解得，且， 所以该函数的定义域为：且. （2）由知，， ， ， ，即的值域为. 16．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知函数，． (1)求，，，； (2)求． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）代入即可求解， （2）整体代入即可求解. 【详解】（1）．， ∵，∴． ∵，∴． （2）∵， ∴． 17．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数，． (1)求，的值； (2)求的值； (3)求，，． 【答案】(1)， (2) (3)，， 【分析】（1）根据函数解析式求得. （2）根据函数解析式求得. （3）根据函数解析式求得，，． 【详解】（1），． （2）由（1）得． （3）， ， ． 18．（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）已知，求； （2）已知为二次函数，且，求； （3）已知函数对于任意的x都有，求． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）利用换元法或配凑法求解即可； （2）利用待定系数法，令，然后结合已知条件化简列方程组可求出，从而可求出； （3）将已知等式中的用替换，得到另一个式子，与已知等式联立可求出. 【详解】（1）方法一  （换元法）： 令，则，， 所以， 所以的解析式为． 方法二  （配凑法）： ． 因为， 所以的解析式为． （2）设， 则 ， 所以，解得， 所以． （3）， 令，得， 于是得到关于与的方程组， 解得． 19．（23-24高一上·天津·期中）已知是二次函数，且满足． (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的最小值的表达式． (3)在（2）的条件下，对任意的，存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）求出的对称轴为，然后进行分类讨论求解； （3）将问题转化为，求出，然后得到不等式，对进行分类讨论求解． 【详解】（1）设， 又 即， ， 解得， 即， （2）由题意得，， 则二次函数的对称轴为， 若时，，当时，的最小值为； 若时，，当时，的最小值为； 若时，，当时，的最小值为； 所以； （3）在（2）的条件下，对任意的，存在， 使得成立， 即， 作如下图形： 故是单调递减函数， ，当时，， 当时，， ， ， ， 因为 所以时取最大值， 所以不等式， 解得：或； 综上所述：或． 【点睛】本题考查了求解二次函数的解析式，分段函数的解析式及最值问题、不等式中恒成立问题，利用分类讨论的思想及转化思想求解是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$