13.3.1 1. 相似三角形 课件 2024-2025学年华东师大版九年级数学上册

23.3.1 相 似 三 角 形 第23章 图形的相似 华师大版 九年级上册 复习导入 2、什么是相似图形？相似多边形？ 1、平行线分线段成比例定理及其推论是什么？ 1.相似三角形 定义：如果两个三角形的三个角分别相等，三条边对应成比例，我们就称这两个三角形相似.相似用符号“∽”表示，读作“相似于”． 数学表达式：如图所示， 在△ABC和△A′B′C′中， (1)两个三角形相似的必备条件:三个角分别相等，三条边对应成比例. 知识详解： (2)相似三角形的对应性：用“∽”表示两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应边和对应角. (3)相似三角形的等价关系： 相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 2.相似三角形的性质： ①对称性：若△ABC∽△A′B′C′ ，则△A′B′C′∽ △ABC . ②传递性：即若△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′∽△A″B″C″，则△ABC∽△A″B″C″. △ABC∽△A′B′C′ 全等三角形是相似三角形的特例 3.相似比的定义： 相似三角形对应边的比称为相似比. 要点精析： △ABC∽△A′B′C′，如果记 那么这个比值k就表示这两个相似三角形的相似比. 相似比为1的两个相似三角形为全等三角形．反过来两个全等三角形可以看作是相似比是1的相似三角形． 当k=1时，两个相似三角形有什么特点？ 例1 如图，已知△OAC∽△OBD，且OA＝4，AC＝2，OB＝2，∠C＝∠D. 求：(1) △OAC与△OBD的相似比； (2) BD的长． (1)由△OAC∽△OBD及∠C＝∠D，可找出两个三角形的对应边，即可求出相似比； (2)根据相似三角形对应边成比例，可以列出比例式求出BD的长． 导引： 如图，在△ABC中，D为边AB上的任一点，作DE∥BC，交边AC于点E，用刻度尺和量角器量一量，看看△ADE与△ABC的边角之间有什么关系，进而判断这两个三角形是否相似． 做一做 显然，∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∠A＝∠A. 我们可以用演绎推理证明这一结论． 又由平行线分线段成比例的基本事实，可推得 通过度量，还可以发现 因而有△ADE∽△ABC. 已知：如图，DE∥BC,并分别交AB、AC于点D、E. 求证：△ADE∽△ABC. 思考 如图23.3.4，DE∥BC, △AED和△ABC是否还是相似的？ 由此，可以得出下面常用的结论： 它通过平行证三角形相似，再由相似证对应角相等、对应边成比例． 本定理是相似三角形判定定理的预备定理： 平行于三角形一边的直线，和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似． 4.平行线截三角形相似的定理： 常见基本图形：如下图. (1)定理中“和其他两边相交”是指和其他两边所在直线相交． 知识详解： (2)根据定理得到的相似三角形的三个基本图形中都有 BC∥DE， 图(1)(2)很像大写字母A，故我们称之为“A”型相似； 图(3)很像大写字母X，故我们称之为“X”型相似(也像阿拉伯数字“8”)． 例2 如图，在△ABC中，点D是边AB的三等分点，DE∥BC，DE＝5.求BC的长． 巩固练习 巩固练习 1.相似三角形的定义具有两重性，即：若两个三角形的各角对应相等且各边对应成比例，则这两个三角形相似；反之，若两个三角形相似，则它们的对应角相等且对应边成比例．因此相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是相似三角形的判定方法．警示：求相似比时，不要忽视相似比的顺序性． 2.利用成比例线段求线段的长的方法：当三角形被平行线所截形成“A”型或“X”型的图形，并且所求的线段或已知线段在平行的边上，通常考虑通过证三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比例构建包含已知与未知线段的比例式，即可求出线段的长．当所求的线段或已知线段不在平行的边上时，则考虑直接用平行线截线段成比例求线段的长. 3.利用平行线证比例式或等积式的方法：当比例式或等积式中的线段不在平行线上时，可直接利用平行线分线段成比例定理证明；当比例式或等积式中的线段有的在平行线上时，可直接利用平行线截三角形相似的对应边成比例证明；当比例式或等积式中的线段不是对应线段时，利用转化思想，用等线段、等比例、等积替换进行论证． 课堂小结 知识详解： 这里，将对应顶点写在对应的位置上，这样可以比较容易地找到相似三角形的对应角和对应边. $$