3.2任意角的三角比课件-2024-2025学年高一上学期劳保版（第七版）中职数学（上册）

l 任意角的三角函数定义 l 如图是一个摩天轮 ，假设它的中 心离地面的高度为h， 半径为 r ， 摩天轮按逆时针方向匀速转动,转 动一周需要360秒， 若现在你坐在 座舱中,从与地面平行的初始位置 OA出发， 过了30秒后 ，你离地面 的高度为多少? O h h 情 境 问 题 A α r C B l c a 斜边 对边 A b邻边 C 解：过了30秒后， α=30° , BC= r .sin30O = 在Rt△ABC中 ： s inα = = 邻边 b cosα = = 斜边 c 斜边 对边 r O A h 因此过了30秒后你离地面的高度为h + r . 情 境 问 题 对边 a tanα = 邻边 = b 锐角三角函数的定义 ： h α C B B α l | 距|=离|x为|，r| P， 问题2 ：你能表示角α的正弦 、余弦和正切吗？ r r x 的 OM 点O 中， 原 M P到 ΔOP 设点 在 Rt 设角α 为平面直角坐标系Oxy中的任意 一个角，在其终边上任取与原点O不重 合的一点P(x,y)，过点 P作 x轴的垂线， 交 x 轴于点 M 。 y P(x, y) r y x x 问题1 ：你能找到直角三角形， 并 说出它的边长吗？ 任意角的三角函数定义 α O M 思 考 思 考 l sinα = ， cosα = ， tanα = ≠ 0) . r y 问题3 ：比值 与点P 在角α 终边上的位置有关吗？ 由相似三角形的性质可知 ：比值 、 、 (x ≠0) 只依赖于角α 的大小, r r x 与点 P在角α终边上的位置无关。 x 考 思 任意角的三角函数定义 α O x M y x y P(x, y) l 当 时， 对于每个确定的角α, 都有唯一确定的正切值与 之对应，因此tanα也是以角α为自变量的函数 ，称为正切函数， 其定 义域为 正弦函数 、余弦函数 、 正切函数都是三角函数 任意角α终边上任意一点(x,y)到原点的距离为r y 称为角α 的正弦， 记作s inα , 即sin α = y 称为角α 的余弦， 记作cosα , 即 cos α = 称为角α 的正切， 记作tanα , 即 tanα = r 对于每一个确定的角 α , 都有唯一确定的正弦值 、余弦值与之对应 ， 即 ：s inα 与 cosα 都是以角α 为自变量的函数， 分别称为正弦函数与 余弦函数， 它们的定义域都是 R . 思 问题4 ：对于 tanα = ， 角α可取任意值吗？ 任意角的三角函数定义 定 义 考 l 所以 : sin cos α = 例1 如图， 已知角α终边经过点P(-4,3)， 求角α 的正弦 、余弦和正切. y 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 O x 任意角的三角函数定义 P(-4,3) 解 因为x = -4，y = 3 ， α l 解 在射线 y=2x(x≥0) 上取点(1,2)，则x = 1，y = 2 ， y 所以 r=、FF=、5. 3 - cos α = -- : x tan α = -- : 4 3 1 2 3 -3 -2 -1 2 1 O 4 : sin : " (1,2) 1 2 注意 ：角α 的三角函数值只与这个角的大小有关, 与点P在角终边上 的位置无关， 因此, 点P的坐标的选取应尽量使计算简便 . 例2 求终边在射线y=2x(x≥0)上的角的正弦 、余弦和正切. 任意角的三角函数定义 l l 单位圆与三角函数 l 任意角三角函数的定义 ： 设角α为平面直角坐标系中的任意一个角， 在其终边上任取与原点不重合的一 点P (x,y) ， 点P到原点的距离为r， 则 正弦函数 sinα = 余弦函数 cosα = ， 正切函数 tanα = . l 复 习 回 顾 当P点在以原点为圆心， 半径为1的圆上时， r = 1 y x 问题：怎样适当选取点P的位置， 使得三角函数定义式变得 更简洁呢? 1 α -1 O 1 -1 P(x, y) 思 考 1 单位圆与三角函数 半径为1 的圆称为单位圆。 在平面直角坐标系中， 以原点O为圆心， 1 为半径的圆就是单位圆 . 1 P(x, y) 若角α 的终边与单位圆的交点为P(x，y)， 那么 sinα = y ， cosα = x ， tanα = . y x 解： 90°角的终边与单位圆的交点坐标为(0,1) 那么s inα = 1，cosα = 0， tanα不存在. 例1 求 90°角的正弦 、余弦和正切. -1 O 1 -1 定 义 P(0 ,1) α 1 单位圆与三角函数 . 因此， 角α 的终边与单位圆的交点P的坐标可以 表示为(cosα , sinα). 那么 sinα = y ， cosα = x ， tanα = 1 P(cosα, sin α) y x （3）120 °角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为 . （1）30 °角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为 . （2）60 °角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为 . 若角α 的终边与单位圆的交点为P(x，y)， -1 O 1 -1 例2 填空 ： |( - 2 ，2 ,| |( 2 , 2 ,| |( 2 ，2,| ( 1 - ) P(x, y) ( 1 3 ) ( 1) α 1 解： (1)因为－325° = 35°- 360° , 所以－325°角是第一象限角，故s in(－325°)＞0. (2)因为 弧度的角是第二象限角， 所以cos <0. (3)因为4252° = 292° + 11×360° , 所以4252°角是第四象限角 ，故tan4252°＜0. 因为 + 2π , 所以 弧度的角是第三象限角，故 单位圆与三角函数 因为角α 的终边与单位圆的交点P的坐标可表示为(cosα, s inα) ，根据点P的横 、纵 坐标 x 和 y 的符号， 可确定当角α 的终边在不同象限时s inα 、 cosα 与tanα 的符号 . 例3 判断下列各三角函数值的符号 ： (1)s in(－325°) ； (3)tan4252° ; - + O + x y y - + +O x O x - - sinα y + + tanα cosα 例4 已知cos9＞0， 且tan9＜0， 试确定角9是第几象限角 . 解： 因为cos9＞0，所以角9可能是第一或第四象限角， 也可能终边在x轴的正半轴上. 又因为tan9＜0， 所以角9可能是第二或第四象限角， 因此满足 cos9＞0 且 tan9＜0 的角9是第四象限角 . 单位圆与三角函数 因为角α 的终边与单位圆的交点P的坐标可表示为(cosα, s inα) ，根据点P的横 、纵 坐标 x 和 y 的符号， 可确定当角α 的终边在不同象限时s inα 、 cosα 与tanα 的符号 . - + O + x y y - + +O x O x - - sinα y + + tanα cosα α 角度制 0° 90° 180° 270° 360° α弧度制 0 π 2 π 3π 2 2π s inα 0 1 0 -1 0 cosα 1 0 -1 0 1 tanα 0 不存在 0 不存在 0 0°角 、 90°角 、 180°角 、 270°角和360°角的正弦 、余弦和正切值如下表 ： 单位圆与三角函数 总 结 l 谢谢学习 再见！ $$