第三单元小数除法（讲义）-2024-2025学年五年级上册数学人教版

小数除法 板块一：考点精讲 1．除数是小数的除法 【知识点归纳】 小数除以小数 ①除数是几位小数，被除数和除数的小数点就同时向右移动几位，使除数变成整数。 ②如果被除数的位数不够时，在被除数的末尾用“0”补足。 ③按除数是整数的小数除法的方法进行计算。 ④验算用乘法计算原来的算式。 【方法总结】 除数是小数的除法计算核心：把除数是小数的转化为整数，依据“商不变性质”被除数同时随着转化。 具体计算方法： 1、先移动除数的小数点，使它变成整数。 2、除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点就向右移动几位。被除数位数不够的时候，在末尾用“0”补足。 3、按除数是整数的小数除法进行计算。 温馨提醒： 小数除法只要把除数转化为整数，被除数是不是整数无所谓，但是被除数和除数向右移动小数点的位数一定要相等。 2．小数除法 【知识点归纳】 小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算． 小数除法的法则与整数除法的法则基本相同，注意两点： ①当除数是整数时，可以直接按照整数除法的法则进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐．如果有余数，就在余数的右边补上0，再继续除．商的整数部分或小数部分哪一位不够1时，要写上0，补足位数．如果需要求商的近似值时，要比需要保留的小数位数多商一位，再按照四舍五入法取近似商． ②当除数是小数时，要根据“被除数和除数同时乘相同的数商不变”的规律，先把除数的小数点去掉，使它变成整数，再看原来的除数有几位小数，被除数的小数点也向右移动相同的位数．如果位数不够，要添0补足，然后，按照除数是整数的小数除法法则进行计算． 3．小数四则混合运算 【知识点归纳】 1、加法、减法、乘法和除法统称四则运算。 2、在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。 3、在没有括号的算式里，既有乘、除法又有加、减法的，要先算乘除法，再算加减法。 4、算式有括号，要先算括号里面的，再算括号外面的；大、中、小括号的计算顺序为小→中→大。括号里面的计算顺序遵循以上1、2、3条的计算顺序。 【方法总结】 1、小数乘法的计算方法： （1）算：先按整数乘法的法则计算； （2）看：看两个乘数中一共有几位小数； （3）数：从积的右边起数出几位（小数位数不够时，要在前面用 0 补足）； （4）点：点上小数点； （5）去：去掉小数末尾的“0”。 2、小数除法的计算方法：先看除数是整数还是小数。 小数除以整数计算方法： （1）按整数除法的法则计算； （2）商的小数点要和被除数的小数点对齐 （3）如果有余数，要在余数后面添“0”继续除。 除数是小数的计算方法： （1）看：看清除数有几位小数 （2）移（商不变规律）：把除数和被除数的小数点同时向右移动相同的位数，使除数变成整数，当被除数的小数位数不足时，用“0”补足 （3）算：按照除数是整数的除法计算。注意：商的小数点要和被除数移动后的小数点对齐） 4．小数乘法的近似数 【知识点归纳】 求小数的近似数的方法 1，求一个小数的近似数，可以用（ 四舍五入 ）的方法； 2，保留整数时，要观察（ 小数部分第一位 ），再四舍五入； 3，保留一位小数时，要观察（小数部分第二位 ），再四舍五入； 4，保留两位小数时，要观察（ 小数部分第三位 ），再四舍五入。 注意说法： 求近似数时，保留整数，表示精确到个位，保留一位小数就是精确到十分位上，要看百分位上的数是否满5，满5进1，不满5舍去；保留两位小数，表示精确到百分位。 要注意根据题目的要求求近似数，在表示近似数时，小数末尾的0不能去掉。 【方法总结】 一、整数中求一个数的近似数，我们用的是“四舍五入”法。求小数的近似数的方法也是“四舍五入”法。 二、用“四舍五入”法取积的近似数的方法： 1．算出准确的积； 2．看要保留的小数位数； 3．循要保留的数位的下一位上的数字是几，按照“四舍五入”法取近似值。 5．小数除法的近似数 【知识点归纳】 取商的近似值的一般方法：求商的近似数，要比需要保留的小数位数多除出一位，然后再“四舍五入”。 2、解决实际应用的问题时会出现四不舍、五不入的情况，应根据题目的特点去求出近似数。 【方法总结】 求商的近似值和求积的近似值的异同点： （1）相同点都是按“四舍五入法”取近似值。 （2）不同点是取商的近似值只要计算时比要保留的小数位数多除出一位就可以了；而取积的近似值时则要计算出整个积的值以后再取近似值。 板块二：高频考点 一、选择题 1．商比被除数大的算式是（    ） A．1.056÷25 B．2.5÷2.5 C．1.764÷0.36 2．3.65÷25的商的最高位是（ ） A、个位 B、十分位 C、百分位 3．2.5×4÷2.5×4的计算结果是（ ） A．16 B．6.25           C．1 4．每个空瓶可装1.5kg色拉油，王老师要把15.5kg的色拉油装在这样的瓶子里，至少需要（    ）个这样的瓶子。 A．11 B．12 C．10 5．一袋大米53元，妈妈买了2袋，如果她付的都是十元一张的钱，要付（　　）张． A．6 B．10 C．11 6．3的里面有（    ）个0.75。 A．2 B．4 C．6 7．在下列算式中，得数小于1的是（    ）。 A． B． C． 二、填空题 8．把6.16，6.1 ，6.，6.166按照从大到小的顺序排列起来． ＞ ＞ ＞ ． 9．在计算8.4÷0.14时，应将其看作( )÷( )来计算。 10．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )5.6      ( ) ( ) 11．“包来了”加工厂买来8袋面粉，每袋面粉质量相等。如果从每袋面粉中各取出10.5千克面粉，则剩下的面粉与原来3袋面粉的质量相等。原来每袋面粉重( )千克。 12．3筐苹果比4筐梨轻12.5千克，已知梨每筐重25.4千克，苹果每筐重( )千克。 13．6.7585858…是( )小数，还可以用简便形式记作( )，它的循环节是( )，用“四舍五入”法把它保留三位小数约是( )。 14．请根据28×16＝448写出下面各题的得数。 2.8×16＝( )            0.28×1.6＝( )          4.48÷0.16＝( ) 15．一间教室长13米，宽8.4米，用面积0.09平方米的方砖铺地面，最少需要这种方砖( )块。 三、判断题 16．2.3÷0.6的商是3，余数是5。( ) 17．在，，0.57，0.578中，最大的数是0.578。( ) 18．3.928928928…的小数部分第30位是8。( ) 19．0.646÷19的商的最高位是十分位。( ) 20．5.44444444是循环小数。( ) 21．在除法算式中，被除数一定比商大。          　 ( ) 22．a×0.8＝b×1.2（a、b都不为0），那么a＞b。( ) 四、计算题 23．直接写得数。                                                                  24．列竖式计算，带★的要验算，带▲的商保留两位小数。 ★0.98×2.5    54.72÷1.8    ▲0.96÷2.3 25．用你喜欢的方法计算下面各题。 7.4＋7.6÷5               108÷（3.94＋6.86） 27.5÷2.5÷0.4             0.35×7.4－0.35÷2.8 五、解答题 26．书店里一本《智慧大迷宫》的价格是12.7元，一本《作文导学》的价格是9.6元，用买8本《智慧大迷宫》的钱买《作文导学》，可以买多少本？ 27．“双十一”网店进行促销活动，刘大妈网购了一个电水壶和4只玻璃杯，正好用了200元，平均每只玻璃杯多少元？ 28．惠邦小区某单元8户居民4个月共节约57.6吨水，平均每户居民每月节约水多少吨？ 29．超市里每个油桶最多装4.5千克油，要装60千克油，至少要准备多少个这样的油桶？ 30．8辆汽车5天节约汽油50.4千克，照这样计算，25辆汽车7天节约汽油多少千克？ 31．某施工队运水泥，4次运10.4吨．照这样计算，要运46.8吨水泥，需要运多少次？ 32．某市水费收费方式如下：用水量不超过6吨，每吨2元；超过6吨不到10吨的部分每吨4元；超过10吨的部分每吨8元。 （1）小明家4月份用水7.8吨，应缴水费多少元？ （2）宝丽纺织厂11月份用水22.5吨，应缴水费多少元？ 33．李阿姨在超市买了两件商品，由于把其中一件商品价格的小数点看错了一位，所以她只付给收银员18元，而收银员要她付40.95元，实际每件商品各多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C B A A C B B 1．C 【分析】根据—个数除以小于1的数商大于原数，除以大于1的数商小于原数即可解答。 【详解】A．1.056÷25＝0.04224，0.04224＜1.506，选项不合符题意。 B．2.5÷2.5＝1，1＜2.5，选项不合符题意。 C．1.764÷0.36＝4.9，4.9＞1.764，选项合符题意。 故答案为：C 【点睛】本题根据小数除法的运算规律进行解答即可。 2． B 【详解】3.65÷25的商的最高位是十分位． 【分析】由于36＞25，3.65的6在十分位上，根据小数除法的计算法则即可得到商的最高位，关键掌握小数除法的计算法则． 3．A 4．A 【分析】每个空瓶可装1.5kg色拉油，15.5kg里面有几个1.5kg，就需要几个这样的瓶子，即15.5÷1.5，注意用进一法求近似数。 【详解】15.5÷1.5≈11（个），至少需要11个这样的瓶子。 故选：A。 【点评】本题考查了运用小数除法解决实际问题的能力，注意用进一法求近似数。 5．C 【详解】试题分析：先根据“单价×数量=总价”求出买大米的总价，进而根据“总价÷每张钞票的面值=所付张数”进行解答即可． 解：53×2=106（元）， 106÷10=10（张）…6（元）， 10+1=11（张）； 答：要付11张； 故选C． 点评：解答此题的关键：根据总价、每张钞票的面值和所付张数三者之间的关系进行解答． 6．B 【分析】求一个数里有几个几，要用除法。 【详解】3÷0.75=4 故答案为：B。 【点睛】此题考查的是小数除法，熟练掌握小数除法的计算方法是解题的关键。 7．B 【分析】计算除数是整数的小数除法时，当被除数整数部分小于除数时，得数小于1；被除数的整数部分大于或等于除数时，得数大于1，据此分析。 【详解】A．被除数的整数部分5等于除数5，商大于1； B．被除数的整数部分0小于除数14，商小于1； C．被除数的整数部分63大于除数35，商大于1。 得数小于1的算式是。 故答案为：B 【点睛】关键是掌握小数除法的计算方法。 8． 6.1 6.166 6. 6.16 【详解】试题分析：比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数大的那个数就大；如果整数部分相同，十分位大的那个数就大．如果十分位上的那个数也相同，百分位上的数大的那个数就大，依此类推． 解：6.1＞6.166＞6.＞6.16． 故答案为6.1，6.166，6.＞，6.16． 【点评】掌握小数大小比较的方法，是解答此题的关键． 9． 840 14 【分析】除数是小数的小数除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；然后按除数是整数的小数除法进行计算；被除数的数用完时，在被除数的末尾添“0”继续除。 【详解】在计算8.4÷0.14时，应将其看作840÷14来计算。 10． ＜ ＞ ＝ 【分析】（1）一个大于0的数乘小于1的数，积比原来的数小； （2）被除数大于0时，被除数除以大于1的数，所得结果一定小于原来这个数；被除数大于0时，被除数除以小于1的数，所得结果一定大于原来这个数； （3）先求出括号两边式子的结果，再比较大小，据此解答。 【详解】（1）因为0.8＜1，所以＜5.6； （2）因为0.85＜1，则＞2.65，1.13＞1，则＜2.65，所以＞； （3）＝98.98，＝9.8×10＋9.8×0.1＝98＋0.98＝98.98，因为98.98＝98.98，所以＝。 由上可知，＜5.6，＞，＝。 【点睛】掌握积和乘数、商和被除数的关系是解答题目的关键。 11．16.8 【分析】由已知条件知，8袋面粉共取出（8×10.5）千克，由于剩下面粉正好与原来3袋面粉的重量相等，可以推出原来（8－3）袋面粉的重量是（8×10.5）千克。 【详解】8×10.5÷（8－3） ＝84÷5 ＝16.8（千克） 原来每袋面粉重16.8千克。 12．29.7 【分析】根据题意，用每筐梨的重量乘4，求出4筐梨的重量；已知3筐苹果比4筐梨轻12.5千克，用4筐梨的重量减去12.5千克，求出3筐苹果的重量，再除以3，即是每筐苹果的重量。 【详解】 （千克） 【点睛】找到苹果和梨的数量关系，求出3筐苹果的重量是解题的关键。 13． 循环 58 6.759 【分析】一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或多个数字依次不断重复出现，这样的数叫作循环小数；一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字就是这个循环小数的循环节；写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点；保留三位小数就是精确到千分位，要看万分位上的数字是几，然后根据四舍五入的方法取近似值。 【详解】6.7585858…＝ 6.7585858…≈6.759 6.7585858…是循环小数，还可以用简便形式记作，它的循环节是58，用“四舍五入”法把它保留三位小数约是6.759。 14． 44.8 0.448 28 【分析】（1）2.8×16一个因数缩小到原来，另一个因数不变，则积缩小到原来的； （2）0.28×1.6一个因数缩小到原来的，另一个因数缩小到原来的，则积缩小到原来的； （3）由28×16＝448可知，448÷16＝28，被除数和除数同时缩小到原来的，商不变；据此解答。 【详解】2.8×16＝（   44.8   ）            0.28×1.6＝（   0.448   ）          4.48÷0.16＝（   28   ） 【点睛】掌握积和商的变化规律是解答题目的关键。 15．111 【分析】需要方砖的块数＝教室的面积÷每块方砖的面积，结果用“进一法”取整数。 【详解】13×8.4÷0.99 ＝109.2÷0.99 ≈111（块） 【点睛】本题考查了小数除法中商的近似数在实际生活中的应用。 16．× 【分析】计算除数是小数的小数除法的计算方法：先移动除数的小数点使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数末尾用0补足），然后按照除数是整数的小数除法进行计算，列竖式计算，观察商是3时的余数，余数的小数点和被除数原来的小数点对齐，据此解答。 【详解】 由上可知，2.3÷0.6的商是3，余数是0.5。 故答案为：× 【点睛】计算小数除法时，余数的小数点和被除数原来的小数点对齐，注意余数一定小于除数。 17．√ 【分析】一个数的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫循环小数。 先把循环小数的简写形式改写成无限小数形式，然后根据小数大小的比较方法进行比较。 小数大小的比较：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大，依次往右进行比较，直到比出大小为止。 【详解】＝0.5757… ＝0.5777… 0.578＞0.5777…＞0.5757…＞0.57 0.578＞＞＞0.57 最大的数是0.578。 原题说法正确。 故答案为：√ 18．√ 【分析】3.928928928…是一个循环小数，循环节是928，因为30÷3＝10，所以循环节的第3个数是第30个数字，即8，据此解答即可。 【详解】3.928928928…的小数部分第30位是8，说法正确； 故答案为：√。 【点睛】本题主要考查了周期问题，解答周期问题的关键是找出周期。确定周期后，用总量除以周期，如果正好是整数个周期，结果为周期的最后一个。 19．× 【分析】按照计算除数是整数的小数除法，按整数除法的计算方法去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐，整数部分不够除，商0，点上小数点，继续除；如果有余数，要添0再除，得出得数即可解答。 【详解】因为0.646÷19＝0.034，商的最高位是百分位。 所以原题说法错误。 【点睛】此题主要考查学生对小数除法的掌握与理解，直接求出得数即可解答。 20．× 【分析】有限小数是位数有限的小数，所以3.42、3.42421，是有限小数；无限小数是位数无限的小数，3.4242…、3.1234…是无限小数；从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数；3.4242…是循环小数；据此可知，5.44444444是有限小数，不是循环小数。 【详解】根据分析可知， 5.44444444是有限小数，不是循环小数；故原题干说法错误。 故答案为：× 21．× 22．√ 【分析】根据题意，a÷b＝1.2÷0.8，计算出结果若商大于1，则a＞b；反之a＜b，据此判断即可。 【详解】a÷b ＝1.2÷0.8 ＝1.5 因为1.5＞1，所以a＞b，所以判断正确。 【点睛】本题主要考查小数乘法和小数除法之间的灵活转换。 23．3.9；3.2；0.3；0； 8.18；22；；25 24．2.45；30.4；0.42 【分析】小数乘小数的计算方法，先按照整数乘法的计算方法计算，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点；根据两个因数互换位置进行验算； 小数除法计算方法：先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位，位数不够时，在被除数的末尾用0补足；最后按照除数是整数的除法进行计算；保留两位小数就要除到小数点后面第三位，再根据“四舍五入”法取近似数即可。 【详解】0.98×2.5＝2.45；                      54.72÷1.8＝30.4    验算：     0.96÷2.3≈0.42 25．8.92；10； 27.5；2.465 【分析】（1）先算除法，再算加法； （2）先算小括号里的加法，再算括号外的除法； （3）运用除法的性质进行简算； （4）先算乘除法，再算减法。 【详解】7.4＋7.6÷5 ＝7.4＋1.52 ＝8.92 108÷（3.94＋6.86） ＝108÷10.8 ＝10 27.5÷2.5÷0.4 ＝27.5÷（2.5×0.4） ＝27.5÷1 ＝27.5 0.35×7.4－0.35÷2.8 ＝2.59－0.125 ＝2.465 26．10本 【分析】根据单价×数量＝总价，求出8本《智慧大迷宫》的总价，然后根据总价÷单价＝数量，进而求出可以买《作文导学》的本数，其结果根据实际情况运用去尾法保留整数。 【详解】12.7×8÷9.6 ＝101.6÷9.6 ≈10（本） 答：可以买10本。 【点睛】本题考查单价、数量和总价的关系，明确它们的关系是解题的关键。 27．7.8元 【详解】（200-168.8）÷4 =31.2÷4 =7.8（元） 答：平均每只玻璃杯7.8元． 28．1.8吨 【分析】利用57.6除以4先求出8户居民一个月节约的水量，再除以8求出每户每月的节水量即可。 【详解】57.6÷4÷8 ＝14.4÷8 ＝1.8（吨） 答：平均每户居民每月节约水1.8吨。 【点睛】明确先求出什么再求什么是解答本题的关键，一定要思路清晰。 29．14个 【分析】用油的总量除以每个油桶装油的数量，求出需要油桶的数量，剩下油还需要多一个油桶去装，用进一法，据此作答。 【详解】根据上述分析可得： 60÷4.5＝13（个）……1.5（千克） 13＋1＝14（个） 答：至少需要准备14个这样的油桶。 30．220.5千克 【分析】根据题意，用8辆汽车5天节约汽油的千克数先除以8再除以5，求出这辆汽车每天节约汽油的质量，再依次乘25和7即可。 【详解】50.4÷8÷5×25×7 ＝6.3÷5×25×7 ＝1.26×25×7 ＝31.5×7 ＝220.5（千克） 答：25辆汽车7天节约汽油220.5千克。 【点睛】本题主要考查了归一问题的解题方法，求出这辆汽车每天节约汽油的质量，是解答此题的关键。 31．18次 【详解】46.8÷（10.4÷4） =46.8÷2.6 =18（次） 答：需要运18次． 【点睛】先依据除法的意义计算出每次运的吨数，即10.4÷4=2.6吨，再用46.8除以2.6即可得解． 32．（1）19.2元 （2）128元 【分析】（1）6吨＜7.8吨＜10吨；小明家用水超过6吨，没有超过10吨；分两部分缴费；先用7.8－6＝1.8吨，求出小明家超出6吨部分的用水吨数，再用超出部分用水吨数×4元，求出超出部分应缴水费的钱数，用6×2，求出用水6吨应缴水费的钱数，再把它们相加，即可求出小明家4月份应缴水费的钱数； （2）22.5吨＞10吨，宝丽纺织厂应缴水费分3部分，第一部分是6吨部分应缴水费的钱数，用6×2，求出6吨水应缴水费；第二部分是（10－6）吨部分应缴水费的钱数；用（10－6）×4，超过6吨不到10吨部分应缴水费；第三部分用（22.5－10）吨，超出10吨部分应缴水费；用（22.5－10）×8，求出超出10吨应缴水费，再把3部分相加，即可求出应缴水费的钱数。 【详解】（1）6吨＜7.8吨＜10吨，小明家用水超过6吨，没有超过10吨。 6×2＋（7.8－6）×4 ＝12＋1.8×4 ＝12＋7.2 ＝19.2（元） 答：应缴水费19.2元。 （2）22.5吨＞10吨； 6×2＋（10－6）×4＋（22.5－10）×8 ＝12＋4×4＋12.5×8 ＝12＋16＋100 ＝28＋100 ＝128（元） 答：应缴水费128元。 33．25.5元   15.45元 【分析】从“她只付给收银员18元，而收银员要她付40.95元，可以知道，小数点向左移动了一位，即她只付了这件商品的0.1倍，而另一件商品的钱数不变，所以用40.95－18是第一件商品的0.9倍，故用40.95－18除以0.9，就得到第一件商品的钱数，再相减就得到第二件商品的钱数． 【详解】（40.95－18）÷（1－0.1） =22.95÷0.9 =25.5（元） 40.95－25.5=15.45（元） 答：两件商品分别是25.5元和15.45元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$