第一单元 分数乘法（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学人教版

分数乘法 板块一：考点精讲 1．部分占总数的几分之几 【知识点归纳】 1、求一个部分占总数的几分之几用除法，部分÷总数＝部分占总数的几分之几。 【方法总结】 已知一个部分量占总量的几分之几，求另一个部分量的解题方法： 1、单位“1”的量﹣单位“1”的量×一个量占单位“1”的几分之几＝另一个量 2、单位“1”的量×（1﹣一个量占单位“1”的几分之几）＝另一个量 3、通过对关键句的分析，熟悉不同类型解决问题的题目特征。可借用线段图的方式直观呈现不同之处，加深对题目的理解。 2．分数大小的比较 【知识点归纳】 分数比较大小的方法： （1）真、假分数或整数部分相同的带分数；分母相同，分子大则分数大；分子相同，则分母小的分数大；分子和分母都不相同，通分后化成同分母或者同分子的分数再进行比较大小． （2）整数部分不同的带分数，整数部分大的带分数就比较大． 3．分数乘整数 【知识点归纳】 分子乘整数，可以求出一共有多少个这样的分数单位，而分数单位的个数其实就是分子乘整数的积，因此整数乘分子作分子。求几个分数单位的和，分数单位不变，也就是分母不变。 【方法总结】 1、分数乘整数的意义。 分数乘整数，也是表示几个相同加数相加，与整数乘法的意义相同。 2、分数乘整数的计算方法。 分数乘整数，用分子乘整数的积作分子，分母不变。其实就是计算分数单位的个数。 4．分数乘分数 【知识点归纳】 分数乘法的计算法则 1、整数和分数相乘：整数和分子相乘的积作分子，分母不变。 2、分数和分数相乘：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。 3、注意：能约分的先约分，然后再乘，得数必须是最简分数。当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。 【方法总结】 分数大小的比较： 1、一个数（0除外）乘以一个真分数，所得的积小于它本身。一个数（0除外）乘以一个假分数，所得的积等于或大于它本身。一个数（0除外）乘以一个带分数，所得的积大于它本身。 2、如果几个不为0的数与不同分数相乘的积相等，那么与大分数相乘的因数反而小，与小分数相乘的因数反而大。 5．分数乘法 【知识点归纳】 分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算． 乘积是1的两个数叫做互为倒数． 分数乘法法则： （1）分数乘以整数或整数乘以分数：由于任何整数（0除外）都可以化成分母是1的假分数，分数乘以整数或整数乘以分数，都可以转化成分数乘以分数的形式．因此，在计算中，是用分数的分子和整数相乘的积作为分子，分母不变．在乘的过程中，如果有可以约分的数，可以先约分，这样，可以使计算的数字缩小，从而使计算变得简便． （2）分数乘以分数：用分子相乘的积作为分子，用分母相乘的积作为分母．为了使计算简便，在计算的过程中，能够约分的，要约分． （3）带分数乘法：先把带分数化成假分数，然后再乘．结果是假分数时，要把假分数化成带分数或整数． 分数乘法的运算定律： （1）交换律：两个分数相乘，交换分数的位置，它们的积不变． （2）结合律：三个分数相乘，先把前两个分数相乘，再乘以第三个分数，或者先把后两个分数相乘，再乘以第一个分数，它们的积不变． （3）乘法分配律：两个分数的和与一个分数相乘所得的积，等于每一个加数分别与这个分数相乘所得的积的和． 板块二：高频考点 一、选择题 1．12吨货物，平均7次运完．5次运完这批货物的（     )． A． B． C． D． 2．下列算式中，（    ）的计算结果最大。 A．×​ B．1× C．× D．× 3．、、 按从小到大的顺序排列，正确的答案是（　　） A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜ 4．一个饲养场，养鸭1200只，养的鸡比鸭多，养的鸡有多少只？正确列式是（    ）。 A． B． C． D． 5．运用了（  ）． A．加法交换律 B．乘法交换律 C．乘法结合律 D．乘法分配律 6．一根钢管，第一次用去，第二次用去m，两次用去的长度相比（    ）。 A．第一次用去的长 B．第二次用去的长 C．两次用去的一样长 D．无法确定 7．有甲乙两根绳子，甲剪去全长的，乙剪去米，两根绳子都还剩米。那么原来甲乙两根绳子的长度相比，（    ）。 A．甲绳长 B．乙绳长 C．两绳长度相等 D．无法比较 二、填空题 8．在( )里填上＞、＜、或＝ ×( )        2×( ) 6×0( )       1×( )2× 1÷( )1÷1 9．用分数表示下面1、2个图中的阴影部分．在第3个图中涂上表示的分数． 10．的分数单位是( )，有( )个这样的单位，从中去掉( )个这样的分数单位，得到最小自然数． 11．科龙电脑城四月份售出台式计算机120套，售出笔记本电脑的数量是台式计算机的。售出笔记本电脑( )套。 12．45千米的是( )千米；小时的是( )小时。 13．把一个饼平均分成8份，吃了7份，还剩( )份，剩下的占这块饼的． 14．小明和爸爸都感冒了，要连续服用4天的药。每盒药有8小袋，那么要买( )盒药。（小明刚满12周岁。用法：成人：1袋/次，一日3次。儿童：袋/次，一日3次。） 15．一本72页的故事书，小明读了这本书的，还剩( )页没读． 三、判断题 16．一条公路长2千米，修了千米，剩下全长的没修。( ) 17．2千克黄铜的比1千克棉花的重。( ) 18．其实，分数乘法的意义是整数乘法意义的扩展。( ) 19．一根绳子先剪去全长的，再剪去米，两次剪去的长度一定是不相等的。( ) 20．把5吨煤平均分成6份，每份是1吨煤的。( ) 21．千克减少 ，还剩 千克．( ) 22．如果（a、b均不为0），那么a＞b。( ) 四、计算题 23．计算。                                                           24．计算下面各题，能简算的要简算。                          ×        × 五、解答题 25．商店运来360箱牛奶，上午卖出总数的，下午卖出的是上午的。商店还剩下多少箱牛奶？ 26．一件外套，原价240元，商家搞促销活动，准备按原价的出售，现在这件外套的标价应该是多少元？ 27．希望小学六年级有学生96人，四年级的人数比六年级多，四年级和六年级一共有多少人？ 28．一堆煤8吨，第一天用去，第二天用去第一天用的． （1）第一天用去多少吨？ （2）第二天用去多少吨？ 29．一个饲养厂，养鸭1200只，养的鸡比鸭多，养的鸡有多少只？ 30．篮球从高处下落后，每次接触地面后弹起的高度是原来高度的，如果一个篮球从30米的楼上落下，它第三次弹起的高度是多少米？ 31．一个长方体游泳池，底面长是50米，宽是20米，如果注入水的高度是米，需要注入多少立方米的水？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B D D B B D B 1．B 2．D 【分析】分子比分母小的分数叫做真分数，真分数＜1； 分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数≥1。 一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大； 一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小； 一个数（0除外）乘1，积等于原来的数。 【详解】A．＜1，所以×＜； B．1×＝ C．＜1，所以×＜； D．＞1，所以×＞； 综上所述，×的计算结果最大。 故答案为：D 【点睛】掌握不用计算判断积与因数之间大小关系的方法是解题的关键。 3．D 【详解】试题分析：根据分数的意义可知，分母相同，分子越大，分数值就越大，所以；分子相同，分母越小，分数值就越大，所以，即＜． 解：根据分数的意义可知， 、、 按从小到大的顺序排列为：＜． 故选D． 点评：根据分数的意义进行分析是完成本题的关键． 4．B 【分析】将鸭的只数看成单位“1”，则鸡的只数是鸭的（1＋），根据分数乘法的意义，用鸭的只数×鸡占鸭的分率即可求出鸡的只数；据此解答。 【详解】由分析可得鸡的只数为：1200×（1＋） ＝1200× ＝1920（只） 故答案为：B 【点睛】本题主要考查求比一个数多/少几分之几的数是多少。 5．B 6．D 【分析】把这根钢管的长度看作单位“1”，第一次用去，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算：用钢管的长度乘即可求出第一次用去的长度；但题干中并没有说明这根钢管的长度，所以也无法求出第一次用的长度，也就无法与第二次用的长度进行对比。 【详解】由分析可知： 因为题干没有说明钢管的长度，所以无法求出第一次用去的长度，则两次用去的长度无法比较。 故答案为：D 【点睛】本题考查分数带单位和不带单位的区别，明确分数带单位表示具体的量，不带单位表示分率是解题的关键。 7．B 【分析】由题意可知，甲剪去全长的，还剩米，则原来的长度是×2＝米；乙剪去米，还剩米，则原来的长度是＋＝米，然后进行对比即可。 【详解】×2＝（米） ＋＝（米） ＜，所以原来乙绳子的长度长。 故答案为：B 【点睛】本题考查分数乘法和加法，明确其计算方法是解题的关键。 8． ＜ ＜ ＜ ＝ ＞ 9．，1 【详解】试题分析：分数的意义为：将单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数为分数．据此意义对题目中的图形进行分析即可． 解：图一，此长方形被平均分成8份，其中阴影部分为3份，则阴影部分是这个长方形的； 图二，图中共有两个相同的三角形，其中一个被平均分成4份，阴影部分为1份，则阴影部分是这个三角形的，另一个全部为阴影，则全部阴影部分为每个三角形的1； 图三，图中共有14个小三角形，则其中的为14×=6个． 如图： 故答案为，1． 点评：本题通过图形考查了学生对于分数意义的理解． 10．，12，12 【详解】试题分析：（1）判定一个分数的单位看分母，分母是几，分数单位就是几分之一； （2）最小的自然数是0，只要减去相同的数2所得结果就为0，再看2里面有几个分数单位即可解答． 解：（1）2的分母是5，所以分数单位是，2=，有，12个这样的单位； （2）最小的自然数是0，2=，即再去掉12个这样的分数单位就是最小的自然数． 故答案为，12，12． 点评：此题主要考查分数的单位：把单位“1”平均分成几份，表示其中一份的数就是它的分数单位． 11．18 【分析】求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用售出台式计算机的数量乘即可求出售出笔记本电脑的数量。 【详解】120×＝18（套） 售出笔记本电脑18套。 12． 25 【分析】求一个数的几分之几是多少用乘法，据此列式计算。 【详解】45×＝25（千米） ×＝（小时） 45千米的是25千米；小时的是小时。 【点睛】关键是理解分数乘法的意义，掌握分数乘法的计算方法。 13．1， 【详解】试题分析：在这里，把这个饼看作单位“1”，把它平均分成8份，每份是这块饼的，吃了7份，还剩1份，剩下的占这块饼的． 解：把一个饼平均分成8份，吃了7份，还剩1份，剩下的占这块饼的； 故答案为1，． 点评：本题主要是考查分数的意义，把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数．把单位“1”平均分成n份，每份是（n≠0）． 14．3 【分析】爸爸是成人，成人：1袋/次，一日3次，则爸爸一天要喝3袋药，连续服用4天，则共需要（3×4）袋药；小明是儿童，儿童：袋/次，一日3次，则小明一天要喝（×3）袋，连续服用4天，则共需要（×3×4）袋药；把爸爸和小明需要服用的药加起来，即可求出一共需要18袋药，每盒药有8小袋，用18除以8，商是2，但考虑实际情况，小数点后面的数还需要一盒药才够吃，所以需要买2＋1＝3盒药。 【详解】根据分析得，3×4＋×3×4 ＝12＋×4 ＝12＋6 ＝18（袋） 18÷8＝2.25（盒）≈3（盒） 即需要购买3盒。 【点睛】本题是简单的分数乘法应用题，解题的关键是看清楚服药人员是成人还是儿童，严格按照说明书用药。 15．45 16．× 【分析】由题意可知，一条公路长2千米，修了千米，则还剩下2－没有修。 【详解】2－＝（千米） 2×＝1（米） ≠1，故原题干说法错误。 【点睛】本题考查求一个数的几分之几是多少，明确用乘法是解题的关键。 17．× 【分析】求出2千克黄铜的是2×＝千克；1千克棉花的是：1×＝千克；黄铜和棉花都是千克，质量相同，一样重。 【详解】2×＝（千克） 1×＝（千克） 千克＝千克 所以黄铜和棉花一样重，原题的说法是错误的。 故答案为：× 【点睛】此题考查的是分数的比较，解答此题应注意由于黄铜和棉花的密度不同，相同质量的黄铜和棉花体积不同，不要被这一表象所迷惑。 18．√ 【分析】根据分数乘法和整数乘法的意义，分析判断即可。 【详解】分数乘法的意义和整数乘法意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。所以，分数乘法的意义是整数乘法意义的扩展。 所以判断正确。 【点睛】本题考查了乘法的意义，掌握分数乘法和整数乘法的意义是解题的关键。 19．× 【分析】假设这根绳子长1米，第一次先剪去全长的，是米，据此解答。 【详解】如果这根绳子长1米，第一次剪去全长的，剪去的长度是： 1×＝（米） 两次剪的长度相等。 故答案为：× 【点睛】本题考查了学生对和米两个数量的认识。 20．√ 【分析】根据分数的意义把5吨煤平均分成6份，每份是这“5吨煤”，所以每份重5×＝吨，要求每份是1吨煤的几分之几用除以1即可。 【详解】5×÷1 ＝÷1 ＝ 故答案为：√ 【点睛】本题主要考查了分数的意义，A是B的几分之几的计算方法：A÷B＝，结果化为最简分数。 21．× 22．× 【分析】根据乘法的意义，在积一定的情况下，其中的一个因数越小，另一个因数就越大，据此解答。 【详解】（a、b均不为0），因为＞ ，所以a＜b。 故答案为：×。 【点睛】此题也可用赋值法使它们的积都等于1，分别求出a、b的值，直接比较。 23．；；；； ；；； 24．；82； ；；3 【分析】小数混合运算的运算顺序与整数混合运算的运算顺序（相同），没有小括号的，要先算（乘除），再算（加减），有小括号的要先算（括号）里的；第二题、第三题，用乘法分配率简便计算。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝54＋28 ＝82 ＝ ＝ ＝5 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝3 25．140箱 【分析】把牛奶的总箱数看作单位“1”，根据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少，用乘法，用360乘即可求出上午卖出的箱数，再把上午卖出的箱数看作单位“1”，同样根据求一个数的几分之几是多少，用乘法，用上午卖出的箱数乘，求出下午卖出的箱数，最后用牛奶的总箱数减去上午、下午卖出的箱数，即可求出商店还剩下多少箱牛奶。 【详解】360×＝120（箱） 120×＝100（箱） 360－120－100＝140（箱） 答：商店还剩下140箱牛奶。 【点睛】此题的解题关键是理解分数乘法的意义，理解前后单位“1”的不同，掌握求一个数的几分之几是多少的计算方法，从而解决问题。 26．192元 【详解】240×=192（元） 27．208人 【详解】96×（1+ ）+96=208（人） 28．（1）答：第一天用去2.5吨；（2）答：第二天用去2吨 【详解】（1）8×=2.5（吨） 答：第一天用去2.5吨 （2）2.5×=2（吨） 答：第二天用去2吨 29．1920只 【分析】由题意可知，鸡的只数是鸭的（1＋），根据“鸭的只数×（1＋）＝鸡的只数”进行解答即可。 【详解】 ＝1200× ＝1920（只） 答：养的鸡有1920只。 【点睛】明确鸡的只数是鸭的几分之几是解答本题的关键。 30．米 【详解】30×××=（米） 31．1800立方米 【分析】需要注入的水的体积＝长×宽×注入水的高度，代入数据解答即可。 【详解】50×20× ＝1000× ＝1800（立方米） 答：需要注入1800立方米的水。 【点睛】此题考查长方体体积的实际应用，掌握长方体体积公式并学会灵活运用。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$