函数与导数-河南省部分市2023-2024学年高三下学期数学模拟试题分类汇编

河南省部分市2023-2024学年下学期高三模拟试题分类汇编 ----函数与导数 一、单选题 1．（2024·河南驻马店·二模）已知函数的定义域为，若存在零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河南郑州·模拟预测）在半径为R的球内作内接于球的圆柱，则圆柱体积取得最大值时，圆柱的高为（    ） A．R B． C． D． 3．（2024·河南濮阳·模拟预测）已知函数，满足，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 4．（2024·河南周口·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2024·河南信阳·三模）动点P在函数的图像上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（2024·河南郑州·三模）设，且，则（    ） A．若，则 B．若，则存在且不唯一 C． D． 7．（2024·河南信阳·模拟预测）已知曲线与，下面结论不正确的是（    ） A．有公切线 B．在区间上均达到一个极大值点和极小值点，则 C．不等式在一定成立 D．记点处的切线夹角的正切值绝对值是 8．（2024·河南新乡·三模）设，其中是自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·河南周口·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数且在上可导，若恒成立，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 10．（2024·河南南阳·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024·河南开封·三模）已知，则（    ） A． B． C． D．3 12．（2024·河南新乡·二模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系式为，其中是正的常数，若在前消除了的污染物，则常数k所在的区间为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 13．（2024·河南郑州·模拟预测）若函数的定义域为R，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若对，，则 C．若对，且，，则是R上的增函数 D．若对，，则 14．（2024·河南濮阳·模拟预测）已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．是周期函数 D． 15．（2024·河南郑州·模拟预测）已知函数，下列结论中正确的是（    ） A．函数在时，取得极小值 B．对于，恒成立 C．若，则 D．若对于，不等式恒成立，则的最大值为，的最小值为 16．（2024·河南信阳·模拟预测）已知是定义在上的函数，且满足：①；②，则（    ） A． B．为奇函数 C．在上单调递增 D．在处取得极小值 17．（2024·河南新乡·三模）已知定义在上的函数满足，且，若，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．是周期函数 D． 18．（2024·河南洛阳·模拟预测）下列正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 19．（2024·河南濮阳·模拟预测）设实数x，y，z满足，则的最大值是 ． 20．（2024·河南信阳·模拟预测）若实数，满足，则 . 21．（2024·河南洛阳·模拟预测）若函数在区间上有两个零点，则的取值范围为 . 22．（2024·河南洛阳·模拟预测）在高度为的竖直墙壁面上有一电子眼，已知到天花板的距离为，电子眼的最大可视半径为．某人从电子眼正上方的天花板处贴墙面自由释放一个长度为0.2m的木棒（木棒竖直下落且保持与地面垂直），则电子眼A记录到木棒通过的时间为 s．（注意：位移与时间的函数关系为，重力加速度取） 23．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为 . 四、解答题 24．（2024·河南郑州·模拟预测）已知函数，，． (1)讨论：当时，的极值点的个数； (2)当时，，使得，求实数a的取值范围． 25．（2024·河南驻马店·二模）已知函数. (1)讨论的最值； (2)若，且，求的取值范围. 26．（2024·河南周口·模拟预测）已知函数. (1)当时，若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)设，若是的两个极值点，证明：. 27．（2024·河南濮阳·模拟预测）黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．它与函数（为常数）密切相关，请解决下列问题： (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，证明有唯一极值点． 28．（2024·河南信阳·模拟预测）已知函数，． (1)试比较与的大小； (2)若恒成立，求的取值范围． 29．（2024·河南开封·三模）已知函数，为的导函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值． 参考答案： 1．C 【分析】利用指数与对数的运算性质将变形为，构造函数得，由的单调性即可求解. 【详解】由题意得，令，则. 令，因为函数在上单调递增， 单调递增， 所以，可化为，即. 令，则， 当时，，在单调递增，当时，在单调递减， 又，当时，，所以，解得. 故选：C 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 2．B 【分析】设出球的内接圆柱的高，再表示出圆柱底面圆半径，列出圆柱体积的函数关系，借助导数求解作答. 【详解】设内接圆柱的高为h，底面半径为r，则，所以， 则圆柱体积， 令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故当时，V取得最大值． 故选：B． 3．B 【分析】将的值依次代入解析式，解出的值即可求解. 【详解】， 即，则. 故选：. 4．B 【分析】根据对数函数单调性求集合N，进而求交集. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 5．C 【分析】求出定义域，求导，结合基本不等式得到，求出以P为切点的切线的倾斜角取值范围. 【详解】令，解得，故的定义域为， ，当且仅当，即时，等号成立， 故，故以P为切点的切线的倾斜角取值范围是. 故选：C 6．C 【分析】构造函数，根据零点存在性定理即可求解A，构造函数，求导根据函数的单调性，求解最值即可求解B，令，得构造函数，利用导数求解函数的单调性即可求解CD. 【详解】对于A，当时，则，记，由于均为单调递增函数，故为单调递增， 由于，故零点大于，故A错误， 对于B，若，由得，记， 则，由于均为上的单调递增函数， 故在单调递增，且当时，， ， 故存在唯一的，使得，即， 且在单调递减，当在单调递增， 故，又， 故，故无零点，故不存在使得，故B错误， 对于C， 先证，记，， 当单调递增，当单调递减， 所以，故， 设，由于，所以，故 则，由于， 所以，故在单调递增，故， 故故C正确， 对于D, ， 所以在单调递减，故, 则，故D错误， 故选:C 【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 7．C 【分析】选项A，利用的图象可由的图象向左平移个单位得到，得到是的一条公切线，即可求解；选项B，两曲线的最小正周期为，而的图象可由的图象向左平移个单位得到，再利用的图象与性质，即可求解；选项C，根据条件得到，即可求解；选项D，利用导数的几何意义，求出切线的斜率，即可求解. 【详解】对于选项A，因为的图象可由的图象向左平移个单位得到， 则是的一条公切线，所以选项A正确， 对于选项B，因为和的最小正周期均为， 又的图象可由的图象向左平移个单位得到， 所以在区间上均达到一个极大值点和极小值点，则，所以选项B正确； 对于选项C，由，得到， 即， 所以，即， 当时，， 又，所以不满足，所以选项C错误， 对于选项D，由，得到， 由，得到， 所以点处的切线的斜率分别为，， 所以两切线夹角的正切值绝对值是，所选项D正确， 故选：C. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于选项A和B的判断，利用的图象可由的图象向左平移个单位得到，即可求解. 8．B 【分析】根据给定数据，构造函数，利用导数探讨单调性并比较大小即得. 【详解】令函数，求导得，即函数在上单调递减， 而，又，因此， 所以. 故选：B 【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键. 9．D 【分析】借助复合函数的导数计算与函数奇偶性的性质可得函数的周期性，结合赋值法计算即可得解. 【详解】由，则， 即， 由函数为奇函数，故， 则， 则， 即， 即，故为周期为的周期数列， 故， 对，令，有，即， 故. 故选：D. 10．A 【分析】表示出，并适当变形，观察式子，构造函数,，利用导数即可证明当时，有，，从而即可比较大小. 【详解】得. 由得， 又. 取，则. 设， 则， 所以在区间内单调递增， 又，则， 即，所以. 令， 则， 所以在区间内单调递增， 则， 故，则，即， 所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关键是构造适当的函数，利用导数证明当时，有，，由此即可顺利得解. 11．C 【分析】运用对数与指数的运算性质以及指数式与对数式的互化即可求得. 【详解】由可得，即，，故. 故选：C. 12．B 【分析】首先由题意列式，再利用指对互化，求解方程，再确定范围. 【详解】由条件可知，当时，，由题意可知，， 得，即， 因为，，所以， 所以. 故选：B 13．AC 【分析】对于A项，直接计算即可判定；对于B项，通过递推关系可判定 即可；对于C项，利用函数单调性的定义即可判定；对于D项，举出反例即可判定. 【详解】A选项中，因为，所以，所以，故A正确； B选项中，因为，所以， 所以，故B错误； C选项中，不妨设，则，所以是R上的增函数，故C正确； D选项中，若，满足，但不成立，故D错误． 故选:AC． 14．ACD 【分析】令，可判定A正确；令，得到，可判定B错误；根据题意，推得，得到的周期为，令，求得，结合函数的周期性，求得，可判定D正确． 【详解】对于A，由对于任意都满足， 令，则，所以A正确； 对于B，令，可得，即， 所以函数关于点对称，所以B错误； 对于C，又由为偶函数知关于直线对称，即， 可得，则，所以， 所以函数的周期为，故C正确； 对于D，令，则， 可得， 所以，所以D正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是得出函数的周期为，并利用函数性质求出，由此即可顺利得解. 15．BCD 【分析】对求导，利用导函数的符号判断在上的单调性判断AB，构造，结合AB中结论求解的单调性判断CD. 【详解】选项A：由题意可得， 所以当时，在单调递减， 所以在上不存在极值点，A说法错误； 选项B：因为且由A可知在单调递减， 所以，恒成立，B说法正确； 选项C：令，，则， 由B可知在恒成立，所以在上单调递减， 所以当时，，即，C说法正确； 选项D：由C可知当时，， 所以对于，不等式恒成立，则的最大值为，的最小值为，D说法正确； 故选：BCD 16．AB 【分析】对于A：令，即可得结果；对于B：令，可得，结合奇函数的定义分析判断；对于CD：举反例，即可判断. 【详解】因为， A：令，可得，故A正确； B：令，可得，则，即， 若，可得；若，则，满足； 综上所述：，所以为奇函数，故B正确； C、D：例如，显然不恒为0，且， ，即， 所以符合题意，但在上单调递减，无极值点，故C、D错误； 故选：AB. 17．BCD 【分析】根据给定的等式，结合赋值法推导出函数及对称轴，再逐项分析计算得解. 【详解】由，得， 则，即，因此是周期为4的周期函数，C正确； 令，得，则，因此，A错误； 由，得，则， 因此的图象关于直线对称，B正确； 由，得的图象关于直线对称， 因此直线及均为图象的对称轴， 从而，令，得， 即，则， 故 ，D正确. 故答案为：BCD 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 18．BCD 【分析】利用指数函数的性质判断A；由对数函数的性质判断B，C；由对数函数的性质可得，由指数函数的性质可得，即可判断． 【详解】解：对于，因为，所以，所以错误； 对于，因为，所以正确； 对于，因为，所以，所以C正确； 对于D，因为，所以，所以D正确. 故选：BCD． 19．/0.75 【分析】根据给定条件，消去并变形，借助二次函数最值求解即得. 【详解】实数x，y，z满足，则， 于是 ， 当且仅当且时取等号，所以当时，. 故答案为： 20． 【分析】先利用对数的运算法则进行化简，，右边使用不等式，根据不等式的传递性，，换元后利用函数的单调性得，所以只能，再根据取等条件求出即可. 【详解】， ，即， 根据不等式得，， 令，所以， 因为，所以. ，， 所以，单调递增，单调递减， 所以，即，， 所以只能，即， 所以，当成立，即， 所以. 故答案为：. 21． 【分析】将题意转化为与有两个交点，对求导，得出的单调性和最值，画出的图象，结合图象即可得出答案. 【详解】由题意可得， 当时，则； 当时，，可得，令， 原题意等价于与有两个交点，． 当时，，可得，则， 所以在上单调递增，可得，当趋近于时，趋近于正无穷； 当时，，可得，则， 所以在上单调递减，可得， 当趋近于时，趋近于正无穷． 故的大致图象如图所示． 若与有两个交点，则， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 22． 【分析】由题意中的函数关系建立方程组，解之即可求解. 【详解】由已知得，木棒做自由落体运动， 设从开始下落到木棒的下端开始进入电子眼的视线和木棒的上端开始离开电子眼的视线所需要的时间分别为， 位移分别为， 所以，则， 所以电子眼A记录到木棒通过的时间为． 故答案为： 23．4 【分析】由奇函数性质可求得的值，结合计算即可. 【详解】由题得，解得， 所以当时，， 所以. 故答案为：4. 24．(1)答案见解析 (2)． 【分析】（1）对函数求导，分别讨论当和导函数的正负，即可得到函数的单调性，从而求出极值点的个数； （2）对求导，确定其最小值，从而将问题转化成不等式成立，进而构造函数，求导确定其单调性，即可求解. 【详解】（1），，     ①当时，为增函数， 因为时，；时，， 所以有唯一的零点，当时，，当时，， 所以有一个极小值点，无极大值点．     ②当时，令，则，     令，得，     当时，，单调递增；当时，，单调递减． 所以，即，所以的极值点的个数为0． 综上所述，当时，的极值点个数为1， 当时，的极值点个数为0． （2）， 由，得，由，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，     因为当时，，使得， 所以只需成立，即不等式成立．     令，则， 则， 则在上恒成立， 故在上单调递增，     又，所以， 故实数a的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用导数求出，从而转化为求出不等式成立． 25．(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用导数分类讨论分析函数的单调性，求解最值即可； （2）当时，恒成立，分离参数，构造函数，利用导数分析函数的单调性求出最大值，即可得解. 【详解】（1）由题意得的定义域为， 当时，， 所以在区间内单调递减，无最大值，无最小值； 当时，令，得， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 故当时，取得最小值，且最小值为，无最大值. 综上，当时，无最大值，无最小值； 当时，的最小值为，无最大值. （2）当时，由， 得， 整理得， 即. 令， 则 ， 由（1）知，当时，的最 小值为， 即恒成立， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减. 故当时，取得最大值，即， 故的取值范围为. 26．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导得出函数的单调递减区间，由题意列不等式组求解即可； （2）由题意分析得知，只需证明，进一步变形可得只需证明，换元构造函数证明即可得证. 【详解】（1）的定义域为，. 令，解得，所以的单调递减区间是. 又在上单调递减，所以， 解得，故实数的取值范围为. （2）， 由题意知，是方程的两根， 又，则，所以，， 要证， 即证， 只需证， 即证， 只需证. 令，则只需证. 设， 则， 所以， 函数在上单调递减，所以，因此， 由得，，所以， 故. 【点睛】关键点点睛：第二问的关键是通过极值点的关系得出的关系，进而分析得出只需证明，由此即可顺利得证. 27．(1)． (2)证明见解析 【分析】（1）求导可得，进而求得，可求切线方程； （2）易知当时，由可知存在唯一变号零点，即可知有唯一极大值点. 【详解】（1）当时，， 此时，又， 所以在点处的切线方程为， 即． （2）由题意得， 令， ，令，可得，依题意得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 又，所以，又因为， 所以，存在唯一． 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以存在唯一极大值点，且． 28．(1)答案见详解 (2) 【分析】（1）因为，构建，利用导数判断的单调性，结合分析判断； （2）构建，原题意等价于在内恒成立，利用导数分类讨论的单调性和最值，结合恒成立问题分析求解. 【详解】（1）因为， 构建，则在内恒成立， 可知在内单调递减，且，则有： 若，则，即； 若，则，即； 若，则，即. （2）若恒成立，则， 构建， 原题意等价于在内恒成立， 则， 1.若，则 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则，不符合题意； 2.若，则有： （ⅰ）若，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，符合题意； （ⅱ）若时，令，解得或， ①若，即时，当时，， 可知在内单调递减，此时，不合题意； ②若，即时，则， 可知在内单调递增， 当时，此时，不合题意； ③若，即时，则， 由（1）可知：当时，， 则， 可得，不合题意； 综上所述：的取值范围为. 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． （2）函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 29．(1) (2)见解析 【分析】（1）利用导数求出，，，代入直线的点斜式方程即可求出切线方程； （2）求出导函数，用列表法求出极值即可． 【详解】（1）因为的定义域为，， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）依题意，，则， 令，解得或． 当变化时，，的变化情况如表所示： 1 2 ＋ 0 － 0 ＋ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 函数的单调递减区间为，单调递增区间为，． 故的极小值为，的极大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$