第一单元：混合运算（讲义）-2024-2025学年三年级上册数学北师大版

混合运算 ( 思维导图 ) ( 知识梳理 ) 【表内乘加、乘减】 1、 意义：几个几相加用乘法计算。相同的加数×相同加数的个数。 2、算式各部分名称及计算公式： （1）、乘法：因数×因数＝积 （2）、加法：加数+加数＝和 和﹣加数＝加数 （3）、减法：被减数﹣减数＝差　被减数＝差+减数 （4）、减数＝被减数﹣差 3、方法总结： （1）、求几个相同加数的和，除了可以用加法表示外，还可以用乘法表示。但用乘法表示更加简便。 （2）、相同加数相加写成乘法时，先看成几个几。如：5+5+5+5 看成4个5，可以表示：5×4或 4×5。 （3）、加法改写成乘法时，加法的和与乘法的积相同。 （4）、快速算乘法，背熟乘法口诀是关键。 （5）、乘法算式中，两个因数交换位置，积不变。 【表内除加、除减】 1、知识点： （1）理解平均分的意义。会根据表内乘法，计算简单的除法。 （2）会用乘法口诀求商。 （3）根据乘除法的意义解决一些简单的乘除法应用题。 2、除法：是四则运算之一，已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。 3、计算公式： （1）、被除数÷除数＝商； （2）、被除数÷商＝除数； （3）、除数×商＝被除数 4、平均分里有两种情况： （1）把一些东西平均分成几份，求每份是多少；用除法计算，总数÷份数＝每份数 （2）包含除（求一个数里面有几个几）把一个数量按每份是多少分成一份，求能平均分成几份；用除法计算，总数÷每份数＝份数 【表内乘除混合】 1、乘法规则： （1）两个因数交换位置，积不变。 （2）一个因数扩大或缩小几倍，另一个因数不变，乘积也随着扩大或缩小相同的倍数。 2、连乘、连除乘除混合运算的计算方法：无论是连乘、连除还是乘除混合运算都属于同级运算，都要按照从左到右的顺序依次计算。 3、加减乘除混合运算规则： （1）、同级运算时，从左到右依次计算。 （2）、两级运算时，先乘除后加减。 （3）、有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。 【表外乘除混合】 1、混合运算，先乘除，后加减，有括号的要先算括号里面的，再算括号外面的。只有加、减法或只有乘、除法，都要从左到右按顺序计算。 2、加减乘除混合运算规则： （1）同级运算时，从左到右依次计算。 （2）两级运算时，先乘除后加减。 （3）有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。 3、方法总结： （1）、想好先解决什么问题，再解决什么问题。 （2）、可以画图帮助分析。 （3）、可以分布计算，也可以列综合算式。 ( 典例分析 ) 【典例1】老师有一些作业本要奖励给8个小朋友，如果每个小朋友奖励3个本子，就还差2个。老师一共有多少个本子？ 【答案】22个。 【分析】根据“每个小朋友奖励的本子个数×小朋友的个数＝一共有的本数+2”进行解答即可。 【解答】解：3×8﹣2 ＝24﹣2 ＝22（个） 答：老师一共有22个本子。 【点评】考查了整数乘法和整数减法的实际应用，找出题中所给的等量关系，代入数值进行计算即可。 【典例2】同学们参加植树活动，第一小组有9个同学，每个同学种植5棵树。第一小组一共种植了多少棵树？第二小组比第一小组多种植9棵树，第二小组一共种植多少棵树？ 【答案】45棵，54棵。 【分析】用每个同学植树的棵数乘同学的个数，就是第一小组植树的棵数；用第一小组植树的棵数加上9，就是第二小组植树的棵数。 【解答】解：5×9＝45（棵） 45+9＝54（棵） 答：第一小组一共植树45棵，第二小组一共植树54棵。 【点评】考查了整数乘法和整数加法的实际应用。求几个相同加数的和，用乘法进行计算。 【典例3】教室里有36张课桌，每6张摆成1组，值日生已经擦完了4个组的课桌，还有多少张课桌没擦？ 【答案】12张。 【分析】根据整数乘法的意义，用每组有课桌的张数乘已经擦完的组数，求出已经擦完的课桌张数，再用一共有课桌的张数减去已经擦完的张数即可求解。 【解答】解：36﹣6×4 ＝36﹣24 ＝12（张） 答：还有12张课桌没擦。 【点评】考查了整数乘法和整数减法的灵活应用，先求出已经擦完课桌的张数是解答本题的关键。 【典例4】小灰兔和小白兔一起拔萝卜。小白兔拔了17根，如果把小白兔的萝卜给小灰兔2根后，那么小白兔的萝卜个数就是小灰兔的3倍。小灰兔原来拔了几根萝卜？ 【答案】小灰兔原来拔了3根萝卜。 【分析】小白兔拔了17根，它给小灰兔2根后，剩下的萝卜个数是小灰兔得到2根后的萝卜个数的3倍。据此解答。 【解答】解：（17﹣2）÷3﹣2 ＝15÷3﹣2 ＝5﹣2 ＝3（根） 答：小灰兔原来拔了3根萝卜。 【点评】此题主要考查了倍数关系应用题，关键在于理解谁是谁的倍数，进而列式计算。 【典例5】学校买来13包练习本，每包有12袋，每袋6本，一袋练习本3元，三年级有6个班，每班48人。 （1）一共买了多少本练习本？ （2）三年级学生每人发3本，够吗？ （3）你能提出其它数学问题并解答吗？ 【答案】（1）一共买了936本练习本。（2）够。（3）答案不唯一：三年级每班分多少袋练习本？26袋。 【分析】（1）根据整数乘法的意义，先用6×12求出每袋练习本有多少本，再乘13求出13包练习本的本数； （2）用三年级每班的人数乘以班数，求出三年级有6个班的总人数；再用13包练习本的总本数除以三年级有6个班的总人数即可判定； （3）答案不唯一：三年级每班分多少袋练习本？用13×12求出练习本的袋数，再除以6个班即可求解。 【解答】解：（1）6×12×13 ＝72×13 ＝936（本） 答：一共买了936本练习本。 （2）936÷（48×6） ＝936÷288 ＝3（本）......72（本） 答：三年级学生每人发3本，够。 （3）答案不唯一：三年级每班分多少袋练习本？ 13×12÷6 ＝156÷6 ＝26（袋） 答：三年级每班分26袋练习本。 【点评】本题主要考查了学生根据乘除法的意义来解答应用题的能力。 ( 高频考题 ) 1．学校买来8盒同样的钢笔，每盒12支，共用去480元，每支钢笔多少元？（请你用两种方法解答） 2．12箱蜜蜂一年可以酿900千克蜂蜜。小林家养了这样的5箱蜜蜂，一年可以酿多少千克蜂蜜？ 3．实验小学开展节约用电活动，前3个月共节约用电318度．照这样计算，一年（12个月）能节约用电多少度？ 4．小朋友们踢毽子比赛，小明踢了9个，小丽踢的个数是小明的5倍还多5颗，小丽踢了几个毽子？ 5．小丽看一本故事书，每天看9页，看了5天，还有38页没看，这本故事书一共多少页？ 6．一只啄木鸟2天能吃418只害虫，一只山雀6天能吃720只害虫，这只啄木鸟比这只山雀平均每天多吃多少只害虫？ 7．4月23日是“世界读书日”．新华书店原来每本12元的图书，在读书日这一天“买5本只需45元”．每本比原来便宜了多少元？ 8．小华读《一千零一夜》这本书，每天读24页，12天正好读完。小明也读这本书，每天读36页，几天可以读完？ 9．小明家有25只兔子，爸爸又买来15只，把它们平均放到8个笼子里，每个笼子放几只？ 10．钙对骨骼和牙齿的生长发育和健康非常重要．杨阿姨买了一瓶96片装的钙片，用量为一次2片，一日3次．这瓶钙片可以吃多少天？ 11．舞蹈队有40名女生，7名男生．摆一个造型，女生的人数必须是男生的5倍，如果男生的人数不变，需要减少几名女生？ 12．李老师为外出游玩的同学购买矿泉水，如果买大箱，需要买15箱，如果换成小箱，需要买多少箱？ 13．东江镇新建了972套廉租房．如果每幢楼房有3个单元，每个单元有12套．这个镇新建的廉租房有多少幢？ 14．王老师到新华书店买故事书，每本故事书8元，王老师买了6本后还剩12元，王老师原来有多少钱？ 15．每个药盒里有3板药，每板药的包装如图。根据说明，一盒药可以吃几天？ 16．一个收购站运走鸡蛋60箱，每箱鸡蛋重量一样，如果从每箱里拿出20千克，正好能装12箱，一共运走鸡蛋多少千克？ 17．小明感冒了，妈妈给他买来2盒感冒药，每盒有6袋．如果每天喝3袋，这些药可以喝几天？ 18．某快餐店的鸡腿堡原来12元一个，现在优惠促销3个27元，现在每个鸡腿堡比原来便宜多少钱？ 19．李强在市民图书馆借了一本历史故事书，如果每天看16页，15天能全部看完。如果要在规定期限内准时归还，而不必交延时服务费，李强每天至少要看几页？ 市民图书馆借阅规定 1借阅期限：10天。 2超过10天的，从第11天起，每天每册收取0.5元延时服务费。 20．果园里有30行梨树，每行棵数相等。如果再栽同样的6行，就比原来增加了144棵。果园里原来有梨树多少棵？ 21．水泥厂库存水泥900袋，每袋50千克，用载重9吨的汽车把这些水泥运往工地，需要几辆汽车一次运完？ 22．小黑猫钓了9条鱼，小白猫钓的鱼数是小黑猫的3倍，小灰猫比小白猫少钓5条，小灰猫钓了多少条鱼？ 23．幼儿园李老师给6个小朋友分糖，每个小朋友分5颗，还剩4颗，李老师一共有多少颗糖？ 答：李老师一共有 　 　颗糖。 24．七色花小队共有25名队员，给每名队员发2包饼干，买饼干至少需要多少钱？ A盒：每盒4包，共16元 B盒：每盒6包，共23元 25．文文对12月份的天气情况作了统计，晴天有27天，晴天的天数比阴天的6倍还多3天。阴天有多少天？ 26．六一儿童节，爸爸带小明去公园游玩，爸爸在公园停车场停车6小时，停车场每小时收费5元，付给停车场管理员50元，应找回多少钱？ 27．快餐店原来汉堡12元一个，现在优惠促销，一次买4个36元。现在促销的汉堡每个多少元？每个比原来便宜多少元？ 28．自在公园原来栽了22行香樟树，每行棵数相同。后来又增加了同样的3行，这样就比原来增加了45棵。自在公园里原来有多少棵香樟树？ 29．小红要写64个字，已经写了6页，每页写8个字，她还要写多少个字？（列综合算式） 30．水杯原来12元一个，同样的水杯现在优惠促销，一次买3个27元。促销时，每个水杯比原来便宜多少元？ ( 答案解析 ) 1．【答案】见试题解答内容 【分析】第一种方法：用每盒的钢笔数量乘盒数计算出钢笔的总数，用总价除以总数即可计算出单价； 第二种方法：用总价除以盒数计算出每盒钢笔的价格，再除以每盒钢笔的总数即可计算出单价． 【解答】解：第一种方法： 480÷（12×8） ＝480÷96 ＝5（元） 答：每支钢笔5元． 第二种方法： 480÷8÷12 ＝60÷12 ＝5（元）． 答：每支钢笔5元． 【点评】此题主要考查平均数的计算方法：平均数＝总数÷总份数． 2．【答案】见试题解答内容 【分析】要求5箱蜜蜂一年大约可以酿多少千克蜂蜜，根据题意，需要先求出平均每箱蜜蜂一年可以酿多少千克蜂蜜，进而乘5即可解答。 【解答】解：900÷12×5 ＝75×5 ＝375（千克） 答：一年可以酿4500千克蜂蜜。 【点评】此题的关键是先求得单一量，再由不变的单一量求得总量 3．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，先用“318÷3”求出一个月节约多少度，再乘上12，进而求出一年（12月）节约用电的度数． 【解答】解：318÷3×12 ＝106×12 ＝1272（度） 答：一年（12个月）能节约用电1272度． 【点评】解答此题的关键是先求得单一量，再由不变的单一量求得总量． 4．【答案】50个。 【分析】根据题意，用9乘5求出小明踢的个数的5倍，再加上5即可。 【解答】解：9×5+5 ＝45+5 ＝50（个） 答：小丽踢了50个毽子。 【点评】考查了运用整数乘法和加法的意义解决实际问题的能力。 5．【答案】83页。 【分析】根据题意，先将看了的页数用乘法算出来，再加上未看的页数即可。 【解答】解：9×5+38 ＝45+38 ＝83（页） 答：这本故事书一共有83页。 【点评】此题的关键是要找出题中存在的数量关系：总页数＝已看页数+未看页数。 6．【答案】见试题解答内容 【分析】根据平均分除法的意义，用啄木鸟吃的害虫的总只数除以天数，求出啄木鸟每天吃的只数；同理求出山雀每天吃的只数；然后作差即可． 【解答】解：418÷2﹣720÷6 ＝209﹣120 ＝89（只） 答：这只啄木鸟比这只山雀平均每天多吃89只害虫． 【点评】本题解答依据是平均分除法的意义：把一个数平均分成若干份，求一份是多少，用除法计算． 7．【答案】见试题解答内容 【分析】根据“总价÷数量＝单价”用45除以5求出现在每本的单价，再用原价减去现价即可． 【解答】解：12﹣45÷5 ＝12﹣9 ＝3（元） 答：每本比原来便宜了3元． 【点评】解答此题应根据总价、数量和单价三者之间的关系进行解答．单价×数量＝总价，总价÷数量＝单价，总价÷单价＝数量． 8．【答案】8天。 【分析】用小华每天读的页数乘天数，求出这本书一共有多少页，再除以小明每天读的页数，即可求出需要几天可以读完。 【解答】解：24×12÷36 ＝288÷36 ＝8（天） 答：8天可以读完。 【点评】本题主要考查了两位数乘两位数乘法、两位数除三位数除法的实际应用，先求出这本书一共有多少页是解答本题的关键。 9．【答案】5只。 【分析】用原有兔子的只数加上又买来的只数，求出一共有多少只兔子，再除以8，即可解答。 【解答】解：（25+15）÷8 ＝40÷8 ＝5（只） 答：每个笼子放5只。 【点评】本题考查表内除加法的计算，理解题意，找出数量关系，列式计算即可。 10．【答案】见试题解答内容 【分析】方法一：先用这瓶钙片的总片数除以2片，求出这瓶钙片可以吃多少次，再除以3次，即可求出这瓶钙片可以吃多少天； 方法二：先用每次吃的片数乘3次，求出每天吃多少片，再用总片数除以每次吃的片数即可． 【解答】解：方法一： 96÷2÷3 ＝48÷3 ＝16（天） 答：这瓶钙片可以吃16天． 方法二：96÷（2×3） ＝96÷6 ＝16（天） 答：这瓶钙片可以吃16天． 【点评】解决本题根据乘法的意义和除法的包含意义求解，注意从不同的角度出发得出不同的方法． 11．【答案】见试题解答内容 【分析】如果男生的人数不变，根据倍数关系，那么女生的人数就是7×5＝35人，然后再与40作差就是需要减少几名女生． 【解答】解：40﹣7×5 ＝40﹣35 ＝5（名） 答：如果男生的人数不变，需要减少5名女生． 【点评】解答依据是：求一个数的几倍是多少，用乘法计算． 12．【答案】见试题解答内容 【分析】先根据乘法的意义用24×15求出一共需要多少瓶矿泉水，再用总数量除以9即可． 【解答】解：24×15÷9 ＝360÷9 ＝40（箱） 答：需要买40箱． 【点评】根据整数乘法的意义求出一共需要矿泉水的瓶数是解答本题的关键． 13．【答案】见试题解答内容 【分析】由“每幢楼有3个单元，每个单元住12套”，可知每个单元有12×3＝36套，一共要新建了972套，要求一共要盖多少幢这样的楼房，也就是看看972里面有几个36，用除法计算． 【解答】解：972÷（12×3） ＝972÷36 ＝27（幢）； 答：这个镇新建的廉租房有27幢． 【点评】此题解答的关键是求出每个单元住的套数，然后根据“一个数里面有几个另一个数”应用题的方法，解决问题． 14．【答案】60元。 【分析】运用买6本故事书的钱数加上剩下的钱数即可得到总钱数。 【解答】解：8×6+12 ＝48+12 ＝60（元） 答：王老师原来有60元钱。 【点评】本题考查了单价×数量＝总价的应用。 15．【答案】9天。 【分析】从图上的服法可知：每天2次，每次3片，所以每天要吃6片药。再算出每个药盒一共有多少片药，用一盒药的药片数除以每天吃的药片数量，据此即可得出答案。 【解答】解：（3×18）÷（2×3） ＝54×6 ＝9（天） 答：一盒药可以吃9天。 【点评】此题主要根据求一个数里面包含多少个另一个数；用除法解决问题。 16．【答案】见试题解答内容 【分析】根据乘法的意义先求出从每箱里拿出20千克，60箱子拿出多少千克，即12箱的重量，再除以12箱就是一箱的重量，再用一箱的重量乘60即可解答． 【解答】解：20×60÷12×60 ＝100×60 ＝6000（千克） 答：一共运走鸡蛋600千克． 【点评】本题考查了整数乘除法的意义和计算方法，关键是求出一箱的重量． 17．【答案】4天。 【分析】用每盒有药的数量乘盒数，求出一共有多少袋，再除以每天喝的袋数，即可求出这些药可以喝几天。 【解答】解：6×2÷3 ＝12÷3 ＝4（天） 答：这些药可以喝4天。 【点评】本题主要考查了表内乘法、表内除法的实际应用，先求出一共有多少袋药是解答本题的关键。 18．【答案】3元。 【分析】用除法求出优惠促销后每个鸡腿的价钱，再用原价减去优惠后的价钱，即可求出比原来便宜多少元钱。 【解答】解：12﹣27÷3 ＝12﹣9 ＝3（元） 答：现在每个鸡腿堡比原来便宜3元钱。 【点评】本题主要考查了表内除法以及100以内减法的实际应用，先求出促销后每个鸡腿的价钱是解答本题的关键。 19．【答案】24页。 【分析】要想能准时归还而不交延时服务费，就必须10天看完这本书，所以要先求出这本书一共有多少页，就是求15个16页是多少，用乘法计算，即16×15；然后用总页数除以10天，就是她每天要看的页数，由此求解。 【解答】解：16×15÷10 ＝240÷10 ＝24（页） 答：李强每天至少要看24页。 【点评】本题主要考查了整数乘除法的意义和实际应用，要熟练掌握。 20．【答案】720棵。 【分析】如果再栽同样的6行，就比原来增加了144棵，则每行有树的棵数为（144÷6），再乘行数，即可求出果园里原来有梨树多少棵。 【解答】解：144÷6×30 ＝24×30 ＝720（棵） 答：果园里原来有梨树720棵。 【点评】本题主要考查了一位数除三位数除法、两位数乘两位数乘法的实际应用，先求出每行有多少棵树是关键。 21．【答案】需要5辆汽车一次运完。 【分析】需要几辆汽车一次运完，先根据“每袋面粉重量×袋数＝面粉总重”求出这批面粉的总重，然后根据“面粉总量÷汽车的载重量＝汽车的辆数”代入解答即可，注意换算单位。 【解答】解：9吨＝9000千克 50×900÷9000 ＝45000÷9000 ＝5（辆） 答：需要5辆汽车一次运完。 【点评】解答此题应结合题意，先求出这批面粉的总重，然后根据“面粉总量÷汽车的载重量＝汽车的辆数”代入解答即可。 22．【答案】22条。 【分析】用小孩们钓鱼的条数乘3，求出小白猫钓鱼的条数，再减去5条，就是小灰猫钓鱼的条数。 【解答】解：9×3﹣5 ＝27﹣5 ＝22（条） 答：小灰猫钓了22条鱼。 【点评】考查了整数乘法和整数减法的灵活应用。求一个数的几倍是多少，用乘法进行计算。 23．【答案】34。 【分析】根据整数乘法的意义，用每个小朋友分糖的颗数乘小朋友的个数，再加上还剩的颗数，就是一共有糖的颗数。 【解答】解：5×6+4 ＝30+4 ＝34（颗） 答：李老师一共有34颗糖。 故答案为：34。 【点评】考查了表内乘加的实际应用，先求出6个小朋友一共分糖的颗数是解答本题的关键。 24．【答案】193元。 【分析】先求出哪盒饼干便宜，多买便宜的饼干，竟可能没有剩余，再根据单价×数量＝总价，求出至少需要多少元钱即可。 【解答】解：A盒饼干每包4元；B盒饼干每盒不到4元，所以B盒饼干便宜。 一共需要：2×25＝50（包） 50＝6×7+4×2 23×7+16×2 ＝161+32 ＝193（元） 答：买饼干至少需要193元钱。 【点评】本题主要考查了整数四则混合运算的实际应用，先求出需要买每种饼干的数量是解答本题的关键。 25．【答案】4天。 【分析】晴天的天数比阴天的6倍还多3天，则晴天的天数减去3是阴天天数的6倍，用除法求出阴天有多少天。 【解答】解：（27﹣3）÷6 ＝24÷6 ＝4（天） 答：阴天有4天。 【点评】此题主要考查了一位数除两位数除法的实际应用，解答依据是：（晴天天数﹣3）÷6＝阴天天数。 26．【答案】20元。 【分析】用每小时停车收费的钱数乘停车的时间，求出停车费需要多少元钱，再用付的钱数减去停车收费的钱数，即可求出应找回多少元钱。 【解答】解：50﹣5×6 ＝50﹣30 ＝20（元） 答：应找回20元钱。 【点评】本题主要考查了表内乘法以及100以内减法的实际应用，先求出停车费是多少元钱是解答本题的关键。 27．【答案】9元，3元。 【分析】买4个36元，求每个多少元，就是求36里面有几个4，用（36÷4）即可解答；用原来汉堡的价钱减去促销后的价钱即可解答。 【解答】解：36÷4＝9（元） 12﹣9＝3（元） 答：现在促销的汉堡每个9元，每个比原来便宜3元。 【点评】本题主要考查了表内除法以及减法的运算，求一个数里面有几个几，用除法计算；求一个数比另一个数少（便宜）多少，用减法计算。 28．【答案】330棵。 【分析】用比原来增加的数量除以行数，即可求出每行有多少棵香樟树，再乘原来栽的行数，即可求出自在公园里原来有多少棵香樟树。 【解答】解：45÷3×22 ＝15×22 ＝330（棵） 答：自在公园里原来有330棵香樟树。 【点评】解决本题先根据除法平均分的意义，求出每行的棵数，再根据乘法的意义，用每行的棵数乘行数即可求解。 29．【答案】她还要写16个字。 【分析】根据乘法的关系，用8×6求出已经写的字，再用要写的字减去已经写的字，就是还要写的字。据此解答。 【解答】解：64﹣8×6 ＝64﹣48 ＝16（个） 答：她还要写16个字。 【点评】考查了整数乘法和整数减法的实际应用，先求出已经写的字数的个数是解决本题的关键。 30．【答案】3元。 【分析】一次买3个27元，则每个水杯（27÷3）元，再用水杯原来的价钱减去促销后的价钱，即可求出每个水杯比原来便宜多少元。 【解答】解：12﹣27÷3 ＝12﹣9 ＝3（元） 答：每个水杯比原来便宜3元。 【点评】本题主要考查了整数四则混合运算应用题，先求出促销后每个水杯多少元是关键。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$