第三章 概率的进一步认识 同步训练课件2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第三章　概率的进一步认识 1　用树状图或表格求概率 第1课时　用树状图或表格求概率 同步训练 九年级上册 知识点1 列表格求概率 1. 不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差 别.随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一 个，则两次都摸到相同颜色的小球的概率是(　A　) A. B. C. D. A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 1星题　夯实基础 2. [2023汉中模拟 教材P64习题T2变式]经过某十字路口的汽 车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能 性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，第一辆向 右转，第二辆向左转的概率是(　D　) A. B. C. D. D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 3. [立德树人 社会责任担当意识]在“争做小小志愿者”的 活动中，班级决定从四名同学(两名男生，两名女生)中随 机抽取两名同学做志愿者，那么抽取的两名同学恰好是一 名男生和一名女生的概率是 ⁠. 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 4. [2024西安模拟 教材P62习题T2变式]有甲、乙两个不透明 的袋子，甲袋子中装有1个白球、1个蓝球和1个红球，乙 袋子中装有1个白球和1个红球，这些球除颜色外无其他差 别.从甲、乙两个袋子中分别随机摸出1个球，则恰好1个 是白球、1个是红球的概率为 ⁠. 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 知识点2 画树状图求概率 5. [教材P61随堂练习变式]柜子里放着张明和爸爸的两双不 同的鞋，如果张明从中随机地取出两只，那么取出的鞋恰 好是张明的鞋的概率为(　D　) A. B. C. D. D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 6. [2024西安高新一中月考]不透明的箱子里有三个小球，分 别标有数字1，2，3，各小球除所标的数字外其他均相同. 从箱子中随机摸出一个小球，记下小球上的数字，放回并 摇匀，再随机摸出一个小球，记下小球上的数字.则两个 数字的积是偶数的概率为(　B　) A. B. C. D. B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 7. [2023西安期末 陕西人文信息传统手工艺]为弘扬传统文 化，某校开展“传统手工技艺”学习实践活动，共设五个 项目：剪纸、马勺脸谱制作、泥塑创作、皮影制作、其他 手工技艺.甲、乙同学用抽卡片的方式选择，五张卡片正 面分别是上述的五个项目，除此之外完全相同.将这五张 卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随 机抽出一张，则两人恰好抽到同一项目的概率是(　D　) D A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 8. [立德树人 传承中华传统文化]我国古代把一昼夜划分成十 二个时段，每一个时段叫一个时辰，古时与今时的对应关 系(部分)如下表： 古时 子时 丑时 寅时 卯时 今时 23：00～ 1：00 1：00～ 3：00 3：00～ 5：00 5：00～ 7：00 天文兴趣小组的4名同学从今夜23：00至明晨7：00进行接 力观测，每人两小时，观测的先后顺序随机抽签确定，小 组成员小铭和晓岚抽到的观测时间相邻的概率为 ⁠. 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 9. [2023西安模拟 新趋势·跨学科综合]亮亮在学校物理兴趣 小组活动中设计了如下的电路图.已知电路图中有两个灯 泡L1，L2，三个开关S1，S2，S3，随机闭合开关S1，S2， S3中的两个开关，能让灯泡L1发光的概率是(　B　) A. B. C. D. B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2星题　提升能力 10. 【新视角·新定义题】若十位上的数字比个位上的数字、 百位上的数字都大的三位数叫做中高数，如796就是一个 “中高数”.若十位上的数字为7，则从3，4，5，6，8中 任选两数，与7组成“中高数”的概率是(　D　) A. B. C. D. D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 点拨：列表如下： 　 个位数 百位数 3 4 5 6 8 3 － 374 375 376 378 4 473 － 475 476 478 5 573 574 － 576 578 6 673 674 675 － 678 8 873 874 875 876 － 共有20种等可能的结果，其中与7组成“中高数”的结果有 12种，故与7组成“中高数”的概率是 ＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 11. [2024西安陕师大附中期末 陕西人文信息旅游]近些年， 西安依托丰富的历史文化资源频频“出圈”，吸引大量 游客来西安旅游打卡.春节放假期间，小明和小华准备到 西安大唐芙蓉园(记为A)、秦始皇帝陵博物院(记为B)、 陕西历史博物馆(记为C)、西安城墙(记为D)中的一景点 去游玩，他们各自在这四个景点中随机任选一个，每个 景点被选中的可能性相同. (1)小明选择去西安大唐芙蓉园旅游的概率为 ⁠； (2)用画树状图或列表的方法求小明和小华选择去不同景 点旅游的概率. 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 共有16种等可能的结果，其中小明和小华选择去不同景点旅游的结果有12种，所以小明和小华选择去不同景点旅游的概率是 ＝ . 解：画树状图如下： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 12. [2024广州白云区期中]在一个不透明的盒子中装有四个 球，它们分别印有“我”“爱”“白”“云”字样.这些 球的大小、质地等完全相同. (1)随机摸出一个球，恰好摸到“爱”字球的概率为 ⁠； 　 (2)随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球，用列表法或画树状图法，求两次摸到的球中，至少有一次摸到“云”字球的概率. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 　　第一次 第二次　　 我 爱 白 云 我 (我，我) (爱，我) (白，我) (云，我) 爱 (我，爱) (爱，爱) (白，爱) (云，爱) 白 (我，白) (爱，白) (白，白) (云，白) 云 (我，云) (爱，云) (白，云) (云，云) 解：列表如下： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 共有16种等可能的结果，其中两次摸到的球中，至少 有一次摸到“云”字球的结果有7种，∴两次摸到的 球中，至少有一次摸到“云”字球的概率为 . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 13. 【新趋势·学科内综合】4张相同的卡片正面分别写有数 －1，－3，4，6，将卡片的背面朝上，并洗匀. (1)从中任意抽取1张，抽到的数是奇数的概率是 ⁠； 　 (2)从中任意抽取1张，并将所取卡片上的数记作一次函 数 y ＝ kx ＋ b 中的 k ；再从余下的卡片中任意抽取1 张，并将所取卡片上的数记作一次函数 y ＝ kx ＋ b 中 的 b .利用画树状图或列表的方法，求这个一次函数的 图象经过第一、二、四象限的概率. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 3星题　发展素养 共有12种等可能的结果，其中 k ＜0， b ＞0的结果有4 种，所以这个一次函数的图象经过第一、二、四象限 的概率为 ＝ . 解：画树状图如图. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 $$第三章　概率的进一步认识 1　用树状图或表格求概率 第2课时　利用概率判断游戏的公平性 同步训练 九年级上册 知识点 用概率判断游戏的公平性 1. 【情境题】小明、小颖和小凡都想去参观西安自然博物馆 贝林馆，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁 获胜谁就去.游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币， 若两枚正面朝上，则小明获胜；若两枚反面朝上，则小颖 获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜.关 于这个游戏，下列判断正确的是(　D　) D 2 3 4 5 1 A. 三个人获胜的概率相同 B. 小明获胜的概率大 C. 小颖获胜的概率大 D. 小凡获胜的概率大 1星题　夯实基础 2. [教材P63做一做变式]小明和小军两人一起做游戏，游戏 规则如下：每人从1，2，…，7这7个数中任意选择一个 数，然后两人各掷一次质地均匀的骰子，谁事先选择的数 等于两人掷得的点数之和谁就获胜；若两人选择的数都不 等于掷得的点数之和，就再做一次上述游戏，直至决出胜 负.若你是游戏者，为了获胜，你会选择数(　A　) A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 A 2 3 4 5 1 3. 小明和小红玩抛硬币游戏，将一枚质地均匀的硬币连续抛 两次，小明说：“如果两次都是正面，那么你赢；如果两 次是一正一反，则我赢.”该游戏对双方 .(填 “公平”或“不公平”) 不公平　 2 3 4 5 1 4. [立德树人 传承中国传统文化]某班准备从甲、乙两名热爱诗词的同学中选出一名参加学校组织的“弘扬民族文化，品味诗词精华”活动，他们想通过做游戏的方式来决定谁去参加活动，于是让班长设计了一个游戏，规则如下：现有两个不透明的盒子，其中一个装入分别标有字母A，B，C的三个小球，另一个装入分别标有字母B，C，D的三个小球，这些小球除字母不同外，其余完全相同，从两个盒子中分别摸出一个小球，若所摸出的两个小球上的字母相同，则甲去参加活动，否则乙去.甲说：“这个规则 不公平.”你认同他的说法吗？请说明理由. 2 3 4 5 1 2星题　提升能力 解：认同.理由如下：画树状图如图. 共有9种等可能的结果，其中字母不同的结果有7种，字母 相同的结果有2种， ∴ P (甲去)＝ ， P (乙去)＝ . ∵ ≠ ， ∴这个规则不公平. 2 3 4 5 1 5. 【2024榆林期中 新趋势·学科内综合】在甲、乙两个不透 明的口袋中，分别装有4个和3个大小、材质完全相同的小 球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙 口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲口袋中任 意摸出1个小球，记下数字为 m ，再从乙口袋中摸出1个 小球，记下数字为 n . (1)请用列表或画树状图的方法表示出所有( m ， n )可能的结果； 2 3 4 5 1 　　 m n 　　 1 2 3 4 2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) 3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3) 4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4) 解：（1）列表如下： 2 3 4 5 1 5. 【2024榆林期中 新趋势·学科内综合】在甲、乙两个不透 明的口袋中，分别装有4个和3个大小、材质完全相同的小 球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙 口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲口袋中任 意摸出1个小球，记下数字为 m ，再从乙口袋中摸出1个 小球，记下数字为 n . (2)若 m ， n 都是方程 x2－7 x ＋12＝0的解，则小明获胜； 若 m ， n 都不是方程 x2－5 x ＋6＝0的解，则小利获 胜，问他们两人中谁获胜的概率大？ 2 3 4 5 1 解：(2)方程 x2－7 x ＋12＝0的解为 x1＝3， x2＝4，方程 x2－5 x ＋6＝0的解为 x1＝2， x2＝3. 若 m ， n 都是方程 x2－7 x ＋12＝0的解， 则 m ＝4， n ＝3或 m ＝3， n ＝4或 m ＝ n ＝4或 m ＝ n ＝3. 若 m ， n 都不是方程 x2－5 x ＋6＝0的解， 则 m ≠2， m ≠3， n ≠2， n ≠3. 2 3 4 5 1 由(1)中的表格可得小明获胜的概率为 ＝ ，小利获 胜的概率为 ＝ . ∵ ＞ ，∴小明获胜的概率大. 2 3 4 5 1 $$第三章　概率的进一步认识 1　用树状图或表格求概率 第3课时　“配紫色”游戏 同步训练 九年级上册 知识点 “配紫色”游戏及其应用 1. [教材P67随堂练习变式]用如图的两个转盘(分别进行二等 分和三等分)设计一个“配紫色”的游戏：分别转动两个 转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫 色(指针指向分界线时，忽略不计)，那么可配成紫色的概 率为(　B　) A. B. C. D. B 2 3 4 5 1 1星题　夯实基础 2. [2024西安爱知中学月考]如图是一次数学活动课制作的一 个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数1， 0，－1，2.若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所 指区域的数(当指针恰好指在分界线上时，重转)，则记录 的两个数都是正数的概率为(　C　) A. B. C. D. C 2 3 4 5 1 3. [教材P68习题T1变式]如图是两个可以自由转动的转盘， 转动两个转盘各一次，如果一个转出红色，另一个转出蓝 色即可配成紫色(指针指向区域分界线时，忽略不计)，那 么可配成紫色的概率为(　B　) A. B. C. D. B 2 3 4 5 1 点拨：将转盘 A 标“蓝”的部分平均分成两部分，分别记为 蓝1、蓝2，将转盘 B 标“红”的部分平均分成两部分，分别 记为红1、红2，画树状图如图. 共有12种等可能的结果，其中可以配成紫色的结果有5种， 故可配成紫色的概率为 . 2 3 4 5 1 4. [2024咸阳模拟]在四张完全相同的卡片正面分别写上数－ 2，－1，－1，3，再将卡片的背面朝上并洗匀，然后从中 任意抽取一张，将卡片上的数记作 a ，再从余下的卡片中 任意抽取一张，将卡片上的数记作 b ，则点( a ， b )在第 二象限的概率为 ⁠. 　 2 3 4 5 1 2星题　提升能力 共有12种等可能的结果，其中点( a ， b )在第二象限的结 果有3种，故点( a ， b )在第二象限的概率为 ＝ . 点拨：画树状图如图. 2 3 4 5 1 5. [2023渭南期中]在一次数学兴趣小组活动中，李燕和刘凯两名同学设计了如图所示的两个转盘做游戏(每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字).游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数之和小于12，则李燕获 胜；若指针所指区域内两数之和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数之和大于12，则刘凯获胜(若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一区域内为止). (1)请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏 中两数之和所有可能的结果； 2 3 4 5 1 解：(1)根据题意列表如下： 　　乙 甲 6 7 8 8 4 10 11 12 12 5 11 12 13 13 6 12 13 14 14 2 3 4 5 1 (2)分别求出李燕和刘凯获胜的概率. 2 3 4 5 1 解：(2)由(1)可知，共有12种等可 能的结果，其中两数之和小于12 的结果有3种，两数之和大于12的 结果有5种，∴李燕获胜的概率为 ＝ ， 刘凯获胜的概率为 . $$第三章　概率的进一步认识 2　用频率估计概率 同步训练 九年级上册 知识点1 概率与频率的关系 1. 【新考法·概念辨析法】关于频率和概率的关系，说法正 确的是(　C　) A. 频率等于概率 B. 试验得到的频率与概率不可能相等 C. 当试验次数很大时，频率稳定在概率附近 D. 当试验次数很大时，概率稳定在频率附近 C 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1星题　夯实基础 2. 某人在做抛掷一枚质地均匀的骰子的试验中，抛掷 n 次， 6点朝上有 m 次，则6点朝上的频率是 P ＝ .下列说法正 确的是(　D　) D A. P 一定等于 B. 多投一次， P 更接近 C. P 一定不等于 D. 随着抛掷次数逐渐增加， P 稳定在 附近 2 3 4 5 6 7 8 9 1 知识点2 用频率估计概率 3. [2023扬州 教材P69做一做变式]县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示： 移植的棵数a 100 300 600 1 000 7 000 15 000 成活的棵数b 84 279 505 847 6 337 13 581 成活的频率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905 根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为(精确到0.1)(　C　) A. 0.905 B. 0.90 C. 0.9 D. 0.8 C 2 3 4 5 6 7 8 9 1 4. [2024延安期末]做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1 000 次，经过统计得“凹面向上”的频率约为0.53，则可以估 计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为(　D　) A. 0.53 B. 0.06 C. 0.50 D. 0.47 D 2 3 4 5 6 7 8 9 1 5. [2024西安陕师大附中模拟]某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是(　A　) A A. 不透明袋中装有大小和质地都相同的1个 红球和2个黄球，从中随机取1个，取到 红球 B. 任意写一个整数，它能被2整除 C. 掷一枚正六面体的骰子，出现1点朝上 D. 先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2星题　提升能力 6. [2023延安期中 教材P70随堂练习T2变式]在一个不透明的 盒子中装有 a 个除颜色外完全相同的球，其中只有2个白 球.若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再 放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳 定在20％左右，则 a 的值约为 ⁠. 10　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 7. 【新趋势·跨学科综合】《卖油翁》中，翁曰：“我亦无 他，惟手熟尔.”如图，已知铜线的直径为3 cm，厚度为 0.2 cm ，一枚铜钱的平均密度约为9 g/cm3.为计算铜钱的 质量，做如下试验：将一滴油随机滴在铜钱上，重复m 次，记录下油恰好穿过中心孔的次数为n次.由此可以估 计，一枚铜钱的质量约为 g. (用含 m ， n ，π的式子表示) 　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 8. [2024西安铁一中月考]一个不透明的袋子中装有1个黄球和若干个蓝球，这些球除颜色外质量、大小、表面光滑度等都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回；搅匀后再摸出1个球，记下颜色后放回；不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 100 200 300 400 500 摸到黄球的频数 26 51 75 98 126 摸到黄球的频率 0.260 0.255 0.250 0.245 0.252 (1)该学习小组发现，摸到黄球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是 (精确到0.01)，由此估算出蓝球有 个； 0.25　 3　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (2)现从该袋中一次摸出2个球，请用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个黄球、1个蓝球的概率. 8. [2024西安铁一中月考]一个不透明的袋子中装有1个黄球和若干个蓝球，这些球除颜色外质量、大小、表面光滑度等都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回；搅匀后再摸出1个球，记下颜色后放回；不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 100 200 300 400 500 摸到黄球的频数 26 51 75 98 126 摸到黄球的频率 0.260 0.255 0.250 0.245 0.252 2 3 4 5 6 7 8 9 1 共有12种等可能的结果，其中恰好摸到1个黄球、1个 蓝球的结果有6种， ∴恰好摸到1个黄球、1个蓝球的概率为 ＝ . （2）画树状图如图. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 9. 【新考法·过程辨析法】阅读下面的解题过程： 妈妈给小明一串钥匙，共有4把，小明决定先试试哪把是 防盗门的钥匙.如果不开门，你能说明他第一次试开就成 功的概率有多大吗？写出用计算器或其他替代物模拟试验 的方法. 解：因为共有4把钥匙，只有1把是防盗门的钥匙，所以他 第一次试开就成功的概率是 . 用计算器或其他替代物模拟试验的方法如下： 方法一：可以用一枚质地均匀的正四面体骰子，掷得4点 为试开成功； 2 3 4 5 6 7 8 9 1 方法二：可以用4张扑克牌，红桃，黑桃，方块，梅花各1 张，摸到红桃为试开成功； 方法三：可用计算器模拟，在1～4之间产生一个随机数， 若产生的是1，则表示试开成功. 你认为上述解法对吗？为什么 2 3 4 5 6 7 8 9 1 解：我认为上述解法对.因为模拟试验没有改变试验结果. 点拨：在解答此类题目时要先计算出他第一次试开就成功的 概率，然后再计算出模拟试验的概率，只要结果不变，方法 就正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 $$