专题4 数列（考点精讲）-【中职专用】2025年对口招生数学一轮复习讲练测（湖南专用）

专题4 数列 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 4 考点一：数列的概念 4 考点二：等差数列 5 考点三：等比数列 6 考点四：数列的应用 8 【考纲要求】 1.了解数列及有关概念；理解数列的通项公式. 2.了解等差数列的概念，了解前n项和公式公式的推导过程；掌握等差数列的通项公式及前n项和公式. 3.了解等比数列的概念；了解等比数列前n项和公式的推导过程；掌握等比数列的通项公式及前n项和公式. 4.初步掌握从实际情境中抽象出等差数列和等比数列模型解决简单实际问题的方法. 【考向预测】 1.一般数列 主要考查已知数列的和,求数列的通项公式. 2.等差数列 主要考查等差数列的定义、通项公式、性质及求和公式. 3.等比数列 主要考查等比数列的定义、通项公式、性质及求和公式. 【知识导图】 【知识清单】 1. 数列的概念及通项公式 （1）数列的定义 ①按一定的顺序排成的一列数叫做数列. ②数列的一般形式是a1,a2,a₃,…,an,…, 简记为{an},其 中a, 是数列的第n项. （2）数列的分类 有穷数列： 的数列叫做有穷数列.如数列1,2,3,4,…,n 是一个有穷数列. 无穷数列： 的数列叫做无穷数列.如数列1,2,3,4,…,n, … 是一个无穷数列. （3）数列的通项公式 如果一个数列的第n 项an,能用 来表示，则称这个表达式为数列的通项公式. 【注意】(1)数列的通项公式是一个以正整数集N* 或它的有限子集{1,2,3, …,n}为定义域的函数的表达式. (2)不是所有的数列都有通项公式. (3)有的数列的通项公式不唯一. （2）数列通项公式的求法 ①已知数列的前几项，求通项公式的方法： (1)负号用或来调节，因为和的正负号相反. (2)项是分式形式的，分子和分母分别找通项，同时也要充分利用分子和分母的关系. (3)通过裂项变形寻找规律方法，将数列拆分为几个数列的和、差、积、商的形式. (4)观察数列中的每一项与它的项数之间的对应关系，进而找到各项的数值的变化规律. ②已知数列的前n项的和,求通项公式，一般利用= 来求. 2.等差数列 （1）等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做公差，通常用d 来表示.符号语言：在数列{} 中，若 ，则称数列{}为等差数列. （2）等差数列的通项公式 ①= ②=+. （3）等差数列的性质 ①若三个数a,A.b成等差数列，则A 叫做a,b的等差中项，且A= ②在等差数列{}中，若,且 , 则= （4）等差数列求和公式 等差数列的前n项和公式：或 3.等比数列 （1）等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做公比，通常用q 来表示.符号语言：在数列{} 中，若 ，则称数列{}为等比数列. （2）等比数列的通项公式 ①= ②=. （3）等差数列的性质 ①若三个数a,G,b成等比数列，则G 叫做a,b的等比中项，且= ②在等比数列{}中，若,且 , 则= （4）等比数列求和公式 等比数列的前n项和公式：或 4.数列的综合应用 （1）等差数列与等比数列的综合应用：实际问题建模 （2）等差等比数列求和的应用：①公式法；②分组求和；③裂项相消求和；④错位相减求和；⑤倒序相加法求和. 【考点分类剖析】 考点一：数列的概念 典例分析 例1．数列，，，，…的第9项是（    ） A． B．19 C． D．17 例2．已知数列，根据该数列的规律，8是该数列的（    ） A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 例3．已知数列满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 例4．写出下列各数列的一个通项公式，它们的前几项分别是： (1)1，3，7，15，31，…； (2)，，，，，…； (3)，，，，，…； (4)，，，，…. 变式探究 1．已知数列2，，，，，，，则是这个数列的（    ） A．第20项 B．第21项 C．第22项 D．第19项 2．已知数列的通项公式为，则257是这个数列的（    ） A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 3．在数列中，，，则（    ） A．8 B．1 C．18 D．19 4．写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数． (1)，，，； (2)，，，； (3)3，4，3，4； (4)6，66，666，6666． 考点二：等差数列 典例分析 例1．已知数列满足，，若，则n等于（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 例2．已知等差数列中，，公差，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 例3．在等差数列中，若，则（    ） A．5 B．7 C．9 D．10 例4.等差数列中，，，则 ． 例5.等差数列中，为的前n项和，，，则 ． 例6.已知等差数列的通项公式为，求首项和公差d． 例7.若是等差数列，且，求. 变式探究 1．数列3，5，7，9，…的通项公式（    ） A． B． C． D． 2．数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 3．在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 4．等差数列中，，，则的前和为 . 5．已知等差数列的前7项和，则 6．已知数列是等差数列. (1)如果，，求公差d和； (2)如果，，求公差d和. 7．已知数列为等差数列． (1)，，求； (2)若，求． 考点三：等比数列 典例分析 例1．已知等比数列的前2项和为12，， 则公比的值为（    ） A． B．2 C． D．3 例2．设数列为等比数列，若，，则公比 ． 例3.已知等比数列的前三项依次为，，，则 ． 例4.在两个非零实数a和b之间插入2个数，使它们成等比数列，试用a，b表示这个等比数列的公比． 例5.设公比不为1的等比数列的前项和为，且． (1)求的公比； (2)若，求数列的前项和． 变式探究 1．已知为等比数列，，，则（   ） A．3 B．2 C． D． 2．在等比数列中，已知，，则公比 ． 3．已知x，2x＋2，3x＋3是一个等比数列的前三项，则x的值为 4．设是等比数列，，. （1）求的通项公式； （2）求 5．在等比数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，求. 考点四：数列的应用 典例分析 例1．一个网上贷款平台在2024年初给出贷款的月利率为，某大学生此时从该平台贷款元，按照复利计算，他10个月后一次性还款的金额应为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 例2．某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加10%．从今年起10年内这家超市的总销售额为（    ）万元． A． B． C． D． 例3.某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个……按照此规律，6小时后细胞存活个数是（    ） A．33 B．64 C．65 D．127 例4.已知数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)设，证明是等比数列； (3)设，求数列的前项和 例5.已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 变式探究 1．某医院购买一台大型医疗机器价格为万元，实行分期付款，每期付款万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为，每月复利一次，则，满足（    ） A． B． C． D． 2．现存入银行10 000元钱，年利率是3.60%，那么按照复利，第5年末的本利和是（　　） A． B． C． D． 3．一种预防新冠病毒的疫苗计划投产两月后，使成本降64%，那么平均每月应降低成本（ ） A．20% B．32% C．40% D．50% 4．已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 5．计算. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4 数列 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 4 考点一：数列的概念 4 考点二：等差数列 7 考点三：等比数列 11 考点四：数列的应用 15 【考纲要求】 1.了解数列及有关概念；理解数列的通项公式. 2.了解等差数列的概念，了解前n项和公式公式的推导过程；掌握等差数列的通项公式及前n项和公式. 3.了解等比数列的概念；了解等比数列前n项和公式的推导过程；掌握等比数列的通项公式及前n项和公式. 4.初步掌握从实际情境中抽象出等差数列和等比数列模型解决简单实际问题的方法. 【考向预测】 1.一般数列 主要考查已知数列的和,求数列的通项公式. 2.等差数列 主要考查等差数列的定义、通项公式、性质及求和公式. 3.等比数列 主要考查等比数列的定义、通项公式、性质及求和公式. 【知识导图】 【知识清单】 1. 数列的概念及通项公式 （1）数列的定义 ①按一定的顺序排成的一列数叫做数列. ②数列的一般形式是a1,a2,a₃,…,an,…, 简记为{an},其 中a, 是数列的第n项. （2）数列的分类 有穷数列： 的数列叫做有穷数列.如数列1,2,3,4,…,n 是一个有穷数列. 无穷数列： 的数列叫做无穷数列.如数列1,2,3,4,…,n, … 是一个无穷数列. （3）数列的通项公式 如果一个数列的第n 项an,能用 来表示，则称这个表达式为数列的通项公式. 【注意】(1)数列的通项公式是一个以正整数集N* 或它的有限子集{1,2,3, …,n}为定义域的函数的表达式. (2)不是所有的数列都有通项公式. (3)有的数列的通项公式不唯一. （2）数列通项公式的求法 ①已知数列的前几项，求通项公式的方法： (1)负号用或来调节，因为和的正负号相反. (2)项是分式形式的，分子和分母分别找通项，同时也要充分利用分子和分母的关系. (3)通过裂项变形寻找规律方法，将数列拆分为几个数列的和、差、积、商的形式. (4)观察数列中的每一项与它的项数之间的对应关系，进而找到各项的数值的变化规律. ②已知数列的前n项的和,求通项公式，一般利用= 来求. 2.等差数列 （1）等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做公差，通常用d 来表示.符号语言：在数列{} 中，若 ，则称数列{}为等差数列. （2）等差数列的通项公式 ①= ②=+. （3）等差数列的性质 ①若三个数a,A.b成等差数列，则A 叫做a,b的等差中项，且A= ②在等差数列{}中，若,且 , 则= （4）等差数列求和公式 等差数列的前n项和公式：或 3.等比数列 （1）等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做公比，通常用q 来表示.符号语言：在数列{} 中，若 ，则称数列{}为等比数列. （2）等比数列的通项公式 ①= ②=. （3）等差数列的性质 ①若三个数a,G,b成等比数列，则G 叫做a,b的等比中项，且= ②在等比数列{}中，若,且 , 则= （4）等比数列求和公式 等比数列的前n项和公式：或 4.数列的综合应用 （1）等差数列与等比数列的综合应用：实际问题建模 （2）等差等比数列求和的应用：①公式法；②分组求和；③裂项相消求和；④错位相减求和；⑤倒序相加法求和. 【考点分类剖析】 考点一：数列的概念 典例分析 例1．数列，，，，…的第9项是（    ） A． B．19 C． D．17 【答案】D 【分析】观察可得数列的一个通项公式为，再代入计算可得. 【详解】数列，，，，…，的通项公式可以为， 所以. 故选：D 例2．已知数列，根据该数列的规律，8是该数列的（    ） A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 【答案】A 【分析】观察各项根据规律即可求解. 【详解】，由此可知数列的规律是前后两项的比值为定值， 故所以8是该数列的第7项， 故选:A 例3．已知数列满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据递推公式求出、即可. 【详解】因为且， 所以，解得，则，即，解得. 故选：C 例4．写出下列各数列的一个通项公式，它们的前几项分别是： (1)1，3，7，15，31，…； (2)，，，，，…； (3)，，，，，…； (4)，，，，…. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】通过观察每组数据的特征，找出对应的规律即可得出（1）（2）（3）（4）组数据的通项公式. 【详解】（1）由，，，，，…，可得 （2）由，，，，，…，可得. （3）由，，，，，…，可知奇数项为负数，偶数项为正数，可得. （4）由，，，，…，可得. 变式探究 1．已知数列2，，，，，，，则是这个数列的（    ） A．第20项 B．第21项 C．第22项 D．第19项 【答案】A 【分析】令，解出即可得. 【详解】令，解得， 即是这个数列的第项. 故选：A. 2．已知数列的通项公式为，则257是这个数列的（    ） A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 【答案】B 【分析】令求出即可. 【详解】，令，解得. 故选：B. 3．在数列中，，，则（    ） A．8 B．1 C．18 D．19 【答案】D 【分析】利用给定的递推公式，依次计算即得结果. 【详解】因为，， 所以，. 故选：D. 4．写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数． (1)，，，； (2)，，，； (3)3，4，3，4； (4)6，66，666，6666． 【答案】(1)； (2)； (3) ； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）观察给定的4项，结合数据特征写出一个通项作答. 【详解】（1）4个项都是分数，它们的分子依次为，分母是正奇数，依次为， 所以给定4项都满足的一个通项公式为. （2）4个项按先负数，后正数，正负相间排列，其绝对值的分子依次为，分母比对应分子多1， 所以给定4项都满足的一个通项公式为. （3）4个项是第1，3项均为3，第2，4项均为4，所以给定4项都满足的一个通项公式为. （4）4个项，所有项都是由数字6组成的正整数，其中6的个数与对应项数一致， 依次可写为， 所以给定4项都满足的一个通项公式为. 考点二：等差数列 典例分析 例1．已知数列满足，，若，则n等于（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义求得通项公式，即可求得的值. 【详解】由可得，，数列为等差数列，且公差为5. 所以， 令，所以. 故选：B. 例2．已知等差数列中，，公差，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】由等差数列通项公式计算即得. 【详解】依题意，等差数列通项， 所以. 故选：A. 例3．在等差数列中，若，则（    ） A．5 B．7 C．9 D．10 【答案】A 【分析】直接根据等差数列的定义结合已知得到答案. 【详解】由于是等差数列，故，所以. 故选：A. 例4.等差数列中，，，则 ． 【答案】260 【分析】根据等差数列求和公式求解即可． 【详解】利用等差数列求和公式：可得， ． 例5.等差数列中，为的前n项和，，，则 ． 【答案】9 【分析】设出公差，根据等差数列求和公式列出方程，求出公差，进而求出. 【详解】设公差为，由题意得， 因为，所以， 故. 故答案为：9 例6.已知等差数列的通项公式为，求首项和公差d． 【答案】 【分析】根据等差数列的定义及通项公式求解. 【详解】因为，则，， 所以． 例7.若是等差数列，且，求. 【答案】 【分析】利用等差数列的性质或基本量之间的关系求解即可. 【详解】方法1：根据等差数列的性质，知. 由，得，解得， 所以. 方法2：设等差数列的首项为，公差为， 根据等差数列的通项公式，得. 由，得，解得， 由题意，知，即，所以. 变式探究 1．数列3，5，7，9，…的通项公式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的定义求得. 【详解】由于， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以. 故选：C 2．数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定义法判断等差数列，写出其通项公式后直接求解即可. 【详解】由题意知，是首项为，公差为的等差数列， 所以， 则. 故选：B 3．在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差中项即可求解. 【详解】由可得， 故， 故选：D 4．等差数列中，，，则的前和为 . 【答案】 【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式计算即可. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得， 所以， 故答案为：. 5．已知等差数列的前7项和，则 【答案】3 【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式及性质计算即得. 【详解】在等差数列中，，解得，又， 又，所以. 故答案为：3 6．已知数列是等差数列. (1)如果，，求公差d和； (2)如果，，求公差d和. 【答案】(1)，； (2)，. 【分析】（1）根据等差数列通项公式代入计算即可； （2）根据等差数列通项公式代入计算即可； 【详解】（1）因为，，所以，所以， 所以； （2）因为，，所以， 所以，所以. 7．已知数列为等差数列． (1)，，求； (2)若，求． 【答案】(1)11 (2) 【分析】(1)根据等差数列的定义求出首项公差即可；(2)根据等差数列的性质和前项和公式求解. 【详解】（1）设公差为， 由，解得，所以， （2）因为，所以. 考点三：等比数列 典例分析 例1．已知等比数列的前2项和为12，， 则公比的值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】根据等比数列的通项公式建立方程组，解之即可求解. 【详解】由题意知，设等比数列的公比为， 则，即， 解得，. 所以. 故选：A 例2．设数列为等比数列，若，，则公比 ． 【答案】3 【分析】根据等比数列的性质即可求解． 【详解】数列为等比数列，，， 则， 所以， 故答案为：3． 例3.已知等比数列的前三项依次为，，，则 ． 【答案】 【分析】利用等比数列定义列式计算即得. 【详解】依题意，，解得， 于是等比数列的首项，公比， 所以. 故答案为： 例4.在两个非零实数a和b之间插入2个数，使它们成等比数列，试用a，b表示这个等比数列的公比． 【答案】 【分析】由已知结合等比数列的性质可求解. 【详解】解：由题意得： 等比数列的公比为，故可知 例5.设公比不为1的等比数列的前项和为，且． (1)求的公比； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列方程即可求解； （2）由题意得，结合等比数列求和公式即可求解. 【详解】（1）设的公比为， ，， ，， ，. （2），， （或） ， . 变式探究 1．已知为等比数列，，，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由等比数列基本量的计算依次求得，，进一步即可得解. 【详解】由题得，，故， ，故，即，， 所以. 故选：D. 2．在等比数列中，已知，，则公比 ． 【答案】 【分析】将用首项和公比来表示，建立关于公比的等式求解即可． 【详解】解：， 解得：． 故答案为：． 3．已知x，2x＋2，3x＋3是一个等比数列的前三项，则x的值为 【答案】 【分析】由是一个等比数列的连续三项，利用等比中项的性质列方程即可求出的值. 【详解】是一个等比数列的连续三项， ， 整理，得， 解得或， 当时，分别为，不能构成一个等比数列， ， 当时，分别为，能构成一个等比数列， ， 故答案为:. 4．设是等比数列，，. （1）求的通项公式； （2）求 【答案】（1）；（2）； 【解析】（1）由，可知等比数列的公比为， 从而可求出其通项； （2）等比数列的偶数项又组成一个新的等比数列，再用等比数的求和公式求和. 【详解】（1）设等比数列的公比为，所以， 因为，所以； （2）， 所以 ； 【点睛】此题考查的是等比数列的通项公式和前项和公式，属于基础题. 5．在等比数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，求. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）由等比数列的通项公式与前项和公式可求解； （2）先求出等比数列的公比与,进而可求数列的通项与前项和公式可求解. 【详解】（1）因为，， 所以，； （2）因为，， 所以，解得，所以， 所以，. 考点四：数列的应用 典例分析 例1．一个网上贷款平台在2024年初给出贷款的月利率为，某大学生此时从该平台贷款元，按照复利计算，他10个月后一次性还款的金额应为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】依据应还金额=贷款金额 (1+月利率) 月份进行求解即可. 【详解】应还金额=贷款金额 (1+月利率) 月份， 由题意知贷款金额为，月利率为，月份为10， 所以. 故选：D. 例2．某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加10%．从今年起10年内这家超市的总销售额为（    ）万元． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，后10年每年的销售额成等比数列，公比为1.1，首项为，进而根据等比数列求和公式求解即可. 【详解】设今后10年每年的销售额为， 因为超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加. 所以今年的销售额为，今后第年与第年的关系为， 所以今后10年每年的销售额构成等比数列， 公比为1.1，首项为. 所以今年起10年内这家超市的总销售额为 故从今年起10年内这家超市的总销售额为万元. 故选：D 例3.某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个……按照此规律，6小时后细胞存活个数是（    ） A．33 B．64 C．65 D．127 【答案】C 【分析】由题意可得，构造等比数列可求出，从而可求出结果 【详解】将开始时的细胞个数记为，1小时后的细胞个数记为，2小时后的细胞个数记为，3小时后的细胞个数记为，……， 由题意可得，当时，，则 ，所以 数列是以2为公比，1为首项的等比数列， 所以， 所以， 所以6小时后细胞存活个数为， 故选：C 例4.已知数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)设，证明是等比数列； (3)设，求数列的前项和 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据分段求出数列通项； （2）应用等比数列定义证明即可； （3）应用等差、等比求和公式分组求和即可. 【详解】（1）当时，， 当时，， 因此数列的通项公式为； （2）， 因为是常数，， 故是等比数列； （3）是等比数列，首项是，公比是， ， ， 所以． 例5.已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，数列为以为公差，以为首项的等差数列，即可得通项公式； （2）利用裂项相消法求和. 【详解】（1）根据题意，数列满足， 即， 所以根据题意，数列为以为公差的等差数列， 又，则， 所以； （2）根据题意，， 所以数列的前n项和为：. 变式探究 1．某医院购买一台大型医疗机器价格为万元，实行分期付款，每期付款万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为，每月复利一次，则，满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，结合放缩即可得解. 【详解】， 由，故， ， 由， 故，即有. 故选：D. 2．现存入银行10 000元钱，年利率是3.60%，那么按照复利，第5年末的本利和是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复利的性质进行求解即可； 【详解】由复利公式得第5年末的本利和是， 故选：C 3．一种预防新冠病毒的疫苗计划投产两月后，使成本降64%，那么平均每月应降低成本（ ） A．20% B．32% C．40% D．50% 【答案】C 【分析】设成本为，平均每月应降低成本，根据题意得解方程可得答案. 【详解】设成本为，平均每月应降低成本， 所以，解得， 平均每月应降低成本. 故选：C. 4．已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据题意及等差数列的通项公式计算出数列的通项公式，再根据等比数列的通项公式计算出数列的通项公式，即可计算出数列的通项公式； （2）根据数列的通项公式的特点运用分组求和法，以及等差数列和等比数列的求和公式即可计算出前项和． 【详解】（1）由题意，可得， 故，， 数列是公比为2的等比数列，且， ， ，． （2）由题意及（1），可得， 则 ． 5．计算. 【答案】 【分析】把和式中的每个分数裂成两个分数的差，再求和即得. 【详解】 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$