1.1 集合的概念及表示方法课件-2024届高三中职数学一轮复习

第一节　集合的概念及表示方法 第一章　集　　合 第1页，共65页 第2页，共65页 考点 考纲解读 河北省近三年对口升学考试统计(题号) 常考 题型 2021 2022 2023 集合的概念及表示方法 1.理解集合的概念； 2.掌握常用数集的字母表示； 3.能够正确地判定元素与集合的关系，正确使用符号∈，∉； — — — 选择题 填空题 2 第3页，共65页 考点 考纲解读 河北省近三年对口升学考试统计(题号) 常考 题型 2021 2022 2023 集合的概念及表示方法 4.掌握集合的表示方法，了解空集的定义 — — — 选择题 填空题 续表 3 第4页，共65页 考点 考纲解读 河北省近三年对口升学考试统计(题号) 常考 题型 2021 2022 2023 集合的关系 1.理解子集、真子集、集合相等的概念和性质； 2.掌握用符号表示集合和集合之间的关系 — — — 选择题 续表 4 第5页，共65页 考点 考纲解读 河北省近三年对口升学考试统计(题号) 常考 题型 2021 2022 2023 集合的运算 理解交集、并集、补集的概念，能进行一些简单集合的运算 (1　31) (1　31) (1　31) 选择题解答题 充分条件与必要条件 掌握充分必要条件的意义，能够正确判断条件与结论的关系 (3) (3) (4) 选择题 续表 5 第6页，共65页 【分析解读】 集合在近几年对口升学考试中以选择题和解答题为主要的考查形式，主要考查的内容有以下几个方面． 1．集合元素的特征：确定性、互异性、无序性． 2．两类关系：元素与集合之间的关系，集合与集合之间的关系． 3．集合的交、并、补运算． 6 第7页，共65页 4．与方程相联系，考查对集合的概念和集合的表示法的掌握． 5．与不等式相联系，考查对集合的概念和运算知识的把握及数形结合的能力． 6．以集合为载体考查方程、函数、三角函数等新概念知识，体现集合的工具性． 7 第8页，共65页 7．以方程、函数、不等式、三角函数、向量等知识为载体，考查充要条件，起到了对数学思想、数学方法和数学能力进行综合考查的作用． 8 第9页，共65页 9 第10页，共65页 1．集合的有关概念 (1)由某些____________组成的________称为集合，简称集．组成集合的每个对象都称为这个集合的________．常用的集合可分为数集、点集、图集等． (2)集合中的元素有________、________、________三个特征． 确定的对象 整体 元素 确定性 互异性 无序性 10 第11页，共65页 (3)常用的数集符号(见表1－1－1所列)及数的分类： 表1－1－1 数集名称 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集 符号 N N＋或N* Z Q R R+ 11 第12页，共65页 数的分类： 12 第13页，共65页 (4)集合的分类： 集合按元素的个数可分为________集和________集．____________________称为空集，记作________． 有限 无限 不含任何元素的集合 ∅ 13 第14页，共65页 2．元素与集合的关系 如果a是集合A中的元素，就说元素a属于集合A，记作________；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作________． a∈A a ∉A 14 第15页，共65页 3．集合的表示方法 集合的表示方法有________、________和图示法(即韦恩图法)三种． (1)列举法： 把一个集合的元素________列出来，用逗号分隔并且写在一个大括号内．如：{2，4，6}． 列举法 描述法 一 一 15 第16页，共65页 (2)描述法： 在大括号内先写上集合的一个代表元素，再画一条竖线，在竖线右边写上这个集合中元素的________．如：{x|1≤x<3}． 特征 16 例1 变1 例2 【题型1】 集合的概念 【例1】　下面的四个说法中，正确的个数是(　　) ①地球周围的行星能确定一个集合； ②实数中不是有理数的所有数的全体能确定一个集合； ③集合{(1，2)}中有两个元素； ④{1，2，3}与{1，3，2}是不同集合． A．0 B．1 C．2 D．3 变2 第17页，共65页 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 B 第18页，共65页 【解析】　①是错误的，因为“周围”是个模糊概念，不满足集合元素的确定性． ②是正确的，虽然满足条件的数有无数个，但任何一个元素都能判断出来是否属于这个集合． ③是错误的，(1，2)代表一个点，所以集合里只有一个元素． ④是错误的，因为集合中元素是无序的． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 第19页，共65页 【变式训练1】　下列不可以组成集合的是(　　) A．某学校计算机教室中的所有计算机 B．某学校素质好的学生全体 C．某菜地里的所有黄瓜 D．某学校所有女老师 【解析】 B项错误，因为“素质好”是个模糊概念，无法判断一个学生是否为素质好的学生，因此它不满足集合元素的确定性． B 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 第20页，共65页 【思路点拨】　本题重点考查集合中元素的特征． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 第21页，共65页 【例2】　(2020年河北省对口升学考试试题)下列集合中不是空集的是(　　) A．{(x，y)||x|＋|y|＝0} B．{x|x2＋4x＋5＝0} C．{x|ex<0} D．∅ 【解析】　本题考查空集的概念．A项中，集合{(x，y)||x|＋|y|＝0}＝{(0，0)}，不是空集；B，C，D项中的集合都是空集． A 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 第22页，共65页 【变式训练2】　(1)下列集合是有限集的是(　　) A．{x|y＝x2} B．{y|y＝x2} C．{(x，y)|y＝x2} D．{x||x|＝1} 【解析】 弄清集合中的元素是什么． D 【思路点拨】　(1)本题主要考查集合的分类以及对集合的表示方法(描述法)的理解； 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 第23页，共65页 【变式训练2】　(2)下列集合中，与集合{y|y＝|x|}相同的 是(　　) A．{x|y＝x2} B．{y|y＝x2} C．{(x，y)|y＝x2} D．{y|y＝2x} 【解析】 由y＝|x|，知y∈[0，＋∞)，∴{y|y＝|x|}＝{y|y≥0}．A项中，代表元素x∈R；B项中，代表元素y∈[0，＋∞)；C项中，集合是点集；D项中，代表元素y∈(0，＋∞). B 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 第24页，共65页 【思路点拨】　(2)本题考查集合相等的概念以及描述法中对代表元素性质的理解． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 第25页，共65页 【例3】　(2017年河北省对口升学考试试题)已知集合A＝{x|kx2＋5x＋2＝0}．若A≠∅，且k∈N，求k的所有值组成的集合． 【答案】　{0，1，2，3} 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 第26页，共65页 【解析】　①当k＝0时，A＝{x|5x＋2＝0}＝ ≠∅，符合题意； ②当k≠0时，欲使A≠∅，须使方程kx2＋5x＋2＝0有实根，即Δ＝52－8k≥0，解得k≤ .又k∈N，且k≠0，故k＝1，2，3. 综上所述，k的取值集合为{0，1，2，3}． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 第27页，共65页 【变式训练3】　已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0，a∈R}． (1)若集合A是空集，求实数a的取值范围； (2)若集合A中只有一个元素，求实数a的值，并把这个元素表示出来； (3)若集合A中至多含有一个元素，求实数a的取值范围． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 第28页，共65页 解：(1)当a＝0时，方程为－3x＋2＝0， 解得x＝ ，不合题意； 当a≠0时，根据题意，得 Δ＝(－3)2－4a·2＝9－8a<0，解得a> 综上所述，实数a的取值范围是 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 第29页，共65页 (2)当a＝0时，方程为－3x＋2＝0， 方程有唯一解x＝ ，符合题意； 当a≠0时，根据题意，得 Δ＝(－3)2－4a·2＝9－8a＝0，解得a＝ 将a＝ 代入方程，得 x2－3x＋2＝0，解得x＝ 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 第30页，共65页 综上所述，当a＝0时，集合A中的元素为 ；当a＝ 时，集合A中的元素为 . 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 第31页，共65页 (3)当a＝0时，方程为－3x＋2＝0， 方程有唯一解x＝ ，符合题意； 当a≠0时，根据题意，得 Δ＝(－3)2－4a·2＝9－8a≤0，解得a≥ . 综上所述，实数a的取值范围是 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 第32页，共65页 【思路点拨】本题考查的是集合与方程解集的关系．集合A中的元素即为方程的解，所以求集合中元素个数的问题实际上是求方程解的个数的问题．已知集合A是空集，即方程无解；已知集合A只有一个元素，即方程有唯一解或两个相等的实数根；已知集合A中至多含有一个元素，即方程有唯一解或两个相等的实数根或无解． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 第33页，共65页 【例4】　设集合M＝{x|0≤x≤1}，则下列关系中正确的是(　　) A．0⊆M B．{0}∈M C．{0}⊆M D．M＝∅ C 【解析】　本题主要考查空集的概念，元素与集合以及集合与集合之间的关系．A、B两项符号使用错误；集合M是非空集合，D项错误．故选C. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 第34页，共65页 【变式训练4】　下列关系中，正确的是(　　) A．0＝∅ B．0∈∅ C．{0}＝∅ D．{x|x2＋1＝0}＝∅ D 【解析】 空集是不含任何元素的集合． 【思路点拨】　本题主要考查对元素0、空集的概念的理解及0，{0}，∅三者之间的关系． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 第35页，共65页 【例5】　有下列关系式：①∅⊆A，②∅∈A，③0∈{0}，④0∉∅，⑤∅≠{0}，⑥∅＝0，⑦{0}＝∅，⑧{x|x2＝－1}＝∅.其中正确的个数是(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 B 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 第36页，共65页 【解析】　解题时，需弄清各符号的含义．数字0是元素；一般用大写英文字母表示集合，∴A是集合；空集∅是集合；带花括号的是集合，{0}表示含有元素0的集合．故①③④⑤⑧正确，②⑥⑦错误． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 第37页，共65页 【变式训练5】　下列关系式中，错误的是(　　) A．0∈{0} B．∅⊆{0} C．∅∈{0} D．0∉∅ 【解析】 ∅表示一个集合，不是元素，所以C项错误． C 【思路点拨】　本题考查元素与集合的从属关系以及集合与集合之间的包含关系． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 第38页，共65页 【题型3】 集合的表示方法 【例6】　用适当的方法表示下列集合． (1)大于3且小于5的实数所组成的集合； (2)大于3且不大于5的整数所组成的集合； (3)方程组 的解集； (4)方程x2＝4的解集； (5)平面坐标系内第一象限的所有点． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 第39页，共65页 【答案】　(1){x|3<x<5} 【解析】　用适当的方法表示集合时，有限集常用列举法，无限集常用描述法．用描述法表示集合时，集合的意义取决于它的“代表”元素，如：A＝{y|y＝x2－1}表示函数y＝x2－1的值域，B＝{x|y＝x2－1}表示函数y＝x2－1的定义域，C＝{(x，y)|y＝x2－1}表示点集或解集． (1)中集合为无限集，无限集常用描述法． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 第40页，共65页 (2){4，5} 【解析】　(2)中集合为有限集，有限集常用列举法． (3){(2，3)} 【解析】　(3)解方程组 得 ∴方程组的解集为{(2，3)}． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 第41页，共65页 (4){－2，2} 【解析】　(4)解方程x2＝4，得x1＝2，x2＝－2，∴方程的解集为{－2，2}． 【解析】　(5){(x，y)|x＞0，y＞0}这个集合为平面点集，代表元素为有序实数对(x，y)，第一象限的点的特征是横、纵坐标都大于0. (5){(x，y)|x＞0，y＞0} 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 第42页，共65页 【变式训练6】　用适当的方法表示下列集合． (1)y轴上的所有点组成的集合； (2)不大于5的非负整数的集合； (3)方程组 的解集； (4)大于3.5且小于8.5的整数组成的集合； (5)不等式x－1<2的解集． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 第43页，共65页 (1){(x，y)|x＝0，y∈R}　 【解析】 这个集合为平面点集，代表元素为有序实数对(x，y)，y轴上的点的坐标特征是横坐标为0，纵坐标为任意实数． (2){0，1，2，3，4，5} (3){(3，2)} (4){4，5，6，7，8} (5){x|x<3} 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 第44页，共65页 【思路点拨】　本题重点考查集合的表示方法． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 第45页，共65页 【题型4】 集合中元素的特性 【例7】　已知a2∈{0，a，－1}，则a等于(　　) A．0 B．1 C．0或1 D．－1 【解析】　本题考查元素与集合的关系及集合中元素的性质． 由题意，得a2＝0或a2＝a，则a＝0或1，而当a＝0时不满足集合元素的互异性，舍去，∴a＝1.故选B. B 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 第46页，共65页 【变式训练7】　集合{2a，a2}中a的取值范围是(　　) A．{a|a≠0} B．{a|a∈R} C．{a|a≠2} D．{a|a≠0且a≠2} D 【解析】 根据题意，得a2≠2a，解得a≠0且a≠2. 【思路点拨】　本题考查集合中元素的互异性． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 第47页，共65页 一、选择题 1．下列各项中，不可以组成集合的是(　　) A．所有的正数 B．等于2的数 C．接近于0的数 D．不等于0的偶数 C 【解析】 接近于0，没有明确的标准，无法判断任何数是不是“接近”0的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第48页，共65页 2．设集合M＝{x|x<π}，a＝3.14，则(　　) A．a∈M B．a∉M C．a＝M D．M＝∅ A 【解析】 ∵π≈3.141 592 6，∴3.14<π，∴3.14∈M，故a∈M；M中的元素是小于π的所有实数，有无数个元素，不是空集，故M＝∅错误． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第49页，共65页 3．下列集合中不是空集的是(　　) A．{(x，y)|x2＋|y－1|＝0} B．{x|x2＋4x＋5＝0} C．{x| <0} D．{x||x|<0} A 【解析】 A.{(x，y)|x2＋|y－1|＝0}＝{(0，1)}；B.{x|x2＋4x＋5＝0}＝{x|(x＋2)2＋1＝0}＝∅；C.∵ ≥0，∴{x| <0}＝∅；D.∵|x|≥0，∴{x||x|<0}＝∅.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第50页，共65页 4．下列集合中，属于无限集的是(　　) A．{x|0<x<1} B．{x|0<x<1，x∈Z} C．{x|0≤x≤2，x∈N} D．{边长为4的等边三角形} A 【解析】 {x|0<x<1，x∈Z}＝∅是有限集，故B选项错误；{x|0 ≤x≤2，x∈N}＝{0，1，2}为有限集，C选项错误；{边长为4的等边三角形}就一个三角形，选项D也为有限集；只有{x|0<x<1}表示0与1之间的所有实数，所以为无限集．故选项A正确． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第51页，共65页 5．已知集合M＝{1，4，x2}，则x满足(　　) A．x≠1且x≠2 B．x≠±1 C．x≠±2 D．x≠±1且x≠±2 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第52页，共65页 6．下列命题中，正确的是(　　) A．集合Z中最小元素是0 　B．0∈∅ C．π∈Q 　D．集合{3，2}与{2，3}相等 D 【解析】 集合Z代表整数集，整数无最小值，故A错误；∅没有任何元素，故B错误；π是无理数，故C错误；集合中的元素具有无序性，故D正确． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第53页，共65页 7．已知x∈{2，4，x2}，则(　　) A．x＝4或x＝0或x＝1 B．x＝2或x＝4或x＝0或x＝1 C．x＝4或x＝1 D．x＝4或x＝0 A 【解析】 ∵x∈{2，4，x2}，∴x＝2或x＝4或x＝x2⇒x＝2或x＝4或x＝0或x＝1，经检验，当x＝2时，{2，4，22}不满足互异性，故x＝4或x＝0或x＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第54页，共65页 二、填空题 8．用符号“∈”或“∉”填空． (1)0________N， ________N， ________N； (2)0________N*，－1________Z，－3.14________Q； (3) ________R，0.1________Q，π________R，2________{(2，3)}； (4)等腰三角形________{三角形}． ∈ ∉ ∈ ∉ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∉ ∈ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第55页，共65页 9．集合{a2－1，a－1}中a的取值范围是______________． {a|a≠0且a≠1} 【解析】 由a2－1≠a－1，解得a≠0且a≠1，满足集合中元素互异性． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第56页，共65页 10．用列举法表示集合{x|x(x2－3x－4)＝0}为______________． {0，－1，4} 【解析】 x(x2－3x－4)＝0解得x＝0或x＝－1或x＝4，所以集合用列举法表示为{0，－1，4}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第57页，共65页 11．若集合M＝{x|ax2＋2x＋1＝0}只含一个元素，则a＝________． 0或1 【解析】 集合M中的元素是由关于x的方程的根构成的．当a＝0时，M＝{x|2x＋1＝0}＝ ，满足题意；当a≠0时，M中只含一个元素，即关于x的一元二次方程有两个相等的实根，即Δ＝22－4a＝0，解得a＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第58页，共65页 12．已知集合A＝{x|kx2＋2x＋1＝0}＝∅，且k∈N，则k的所有值组成的集合为________________． {k|k≥2，k∈N} 【解析】 A＝{x|kx2＋2x＋1＝0}＝∅⇒ ⇒k>1，又∵k∈N，∴k的所有值组成的集合为{k|k≥2，k∈N}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第59页，共65页 13．用列举法表示下列各集合． (1)不大于6的非负整数所组成的集合：_________________________； (2)M＝ ：____________________________________________； {0，1，2，3，4，5，6} {－11，－6，－3，－2，0，1，4，9} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第60页，共65页 (3){y|y＝x2－1，x<3，x∈N}：____________________； (4){(x，y)|y＝x2－1，－2≤x≤2，x∈Z}：____________________________________________； (5)全体正奇数组成的集合：____________________； (6)数轴上到原点的距离等于1的数组成的集合：____________. {－1，0，3} {(－2，3)，(－1，0)，(0，－1)，(1，0)，(2，3)} {1，3，5，7，…} {－1，1} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第61页，共65页 三、解答题 14．下列对象能否组成集合？若能组成集合，指出哪些是有限集，哪些是无限集，哪些是空集． (1)接近1的数； (2)|x|＝1的解集； (3)x2＋3＝0的解集； (4)小于2的无理数； (5)大于1且小于5的实数． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第62页，共65页 解：(1)不能组成集合； (2)(3)(4)(5)都能组成集合． 其中，(2){－1，1}是有限集， (3)是空集， (4)(5)为无限集． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第63页，共65页 15．已知集合A＝{a－2，2a2＋5a，12}，且－3∈A，求a的值． 解：∵集合A＝{a－2，2a2＋5a，12}，且－3∈A， ∴a－2＝－3或2a2＋5a＝－3.当a－2＝－3时，得a＝－1； 当2a2＋5a＝－3时，解得a＝－1或a＝－ . 经检验，当a＝－1时，2a2＋5a＝a－2， 与集合元素互异性矛盾，∴a＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢谢观看！ $$