21.1一元二次方程 复习讲义2024-2025学年人教版数学九年级上册

21.1一元二次方程复习讲义-数学九年级上册人教版 知识梳理 知识点一 一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： 1 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二 一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 典例分析 1．已知关于的一元二次方程（）的一个根是，且，满足，求，，的值． 【答案】，， 【分析】由二次根式有意义的条件可得，进而可求；将代入方程即可求． 【详解】解：由题意得： ∴ ∴ 故方程为： 将代入方程得： ∴ 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、一元二次方程的解．确定的值是解题关键． 2．已知是一元二次方程的一个根．求的值，并写出此时的一元二次方程的一般形式． 【答案】，一般形式是： 【分析】把代入一元二次方程，求出的值，并写出此时的一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， ， 解得或， ， ， ， 此时的一元二次方程的一般形式是：． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 3．某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题： (1)是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程； (2)是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值． 【答案】(1)存在，时；时 (2)存在， 【分析】（1）根据一元一次方程的定义，分情况求解即可； （2）根据一元二次方程的定义，列出式子，求解即可． 【详解】（1）解：存在，由题可知或或时方程能为一元一次方程， 当时，解得，此时程为，解得； 当时，解得，此时方程为，解得． 当时，方程无解； （2）存在． 根据一元二次方程的定义可得，解得． 【点睛】此题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数并且未知数的次数为1的整式方程为一元一次方程，只含有一个未知数并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程． 精选好题 一、单选题 1．下列关于x的方程中，一元二次方程的个数是（　　） （1） （2） （3） （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若是一元二次方程的一个解，则的值是（    ） A． B．2 C．0 D．或0 3．方程的二次项系数和一次项系数分别为（    ） A．2和3 B．1和 C．2和 D．2和 4．把方程化成一般形式，正确的是（    ）． A． B． C． D． 5．关于的方程是一元二次方程，则（     ） A． B． C． D． 6．关于x的方程是一元二次方程，那么m的取值范围应满足（    ） A． B． C． D． 7．若是方程的根，则的值为（　　） A．2021 B．2023 C．2025 D．2029 8．根据下表的对应值，估算一元二次方程（b，c为常数）的其中一个解的取值范围是（     ） x 1 1.1 1.2 1.3 x²+bx+c -2 -0.59 0.84 2.29 A． B． C． D． 二、填空题 9．一元二次方程的二次项为 ． 10．若关于x的方程的一个根为3，则k的值为 ． 11．把方程化为一元二次方程的一般形式是 ． 12．若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 ． 13．如果关于x 的一元二次方程的一个解是，则 ． 14．已知是方程的一个根，试求的值 ． 三、解答题 15．已知a是方程的一个根，求代数式的值． 16．先化简，再求值：，其中x的值为一元二次方程的根． 17．已知关于的方程． (1)当为何值时，该方程是一元二次方程？ (2)当为何值时，该方程是一元一次方程？ 18．关于的一元二次方程化为一般形式后为．求，的值． 19．阅读下列材料： 方程两边同时除以，得，即．因为，所以． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知方程，则_____；_____． (2)若m是方程的根，求的值． 20．如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． (2)已知是关于x的凤凰方程，求m的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A C B B D C B 1．A 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为是一元二次方程． 【详解】解：（1）符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； （2）由已知方程得到，属于一元一次方程，不是一元二次方程； （3）方程二次项系数可能为0，不是一元二次方程； （4）不是整式方程，不是一元二次方程． ∴是一元二次方程是（1），共有1个， 故选：A． 2．A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程，再解出的值． 【详解】解：把代入方程 得， 解得． 故选：A． 3．C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 根据方程的一般形式和二次项系数以及一次项系数的定义即可直接得出答案． 【详解】解： 整理得， ∴二次项系数和一次项系数分别为2和． 故选：C． 4．B 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式，进行去括号、移项、合并同类项求解即可． 【详解】解：方程化成一般形式为， 故选：B． 5．B 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程． 【详解】解：若关于x的方程是一元二次方程，则． 故选：B． 6．D 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程中二次项系数不为0，可得m的取值范围． 【详解】解：关于x的方程是一元二次方程， ， ， 故选D． 7．C 【分析】本题考查一元二次方程的解（使方程左右两边相等的未知数的值），根据题意可得，从而可得，然后代入式子中进行计算即可．掌握方程解的定义是解题的关键．也考查了求代数式的值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．利用时，，而时，可判断当时，其中有一个x的值满足，即可得答案． 【详解】解：∵时， ， 时，， ∴当时，其中有一个x的值满足， 即一元二次方程其中一个解的取值范围是． 故选：B． 9． 【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程，其中叫做二次项判断． 本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴二次项为， 故答案为：． 10．1 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 直接把代入方程中，求解关于的方程即可． 【详解】解：把代入方程中，得， 解得：， 故答案为：1． 11． 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：，，是常数且． 【详解】解：由，得 ， 即方程化为一元二次方程的一般形式为； 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，即经整理后，如果方程含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程为一元二次方程，掌握此概念是关键，千万不要忘记二次项系数不为零．根据一元二次方程的概念，最高项系数为2，二次项系数不为零，由这两点即可确定a的值． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得：． 故答案为：． 13．2023 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解答本题的关键是明确方程的解一定使得原方程成立． 把代入，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个解是， ， 即， ． 14．2009 【分析】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值；由是方程的一个根，将其代入方程，得到关于A的等式，变形后代入所求式子中计算，即可求出值． 【详解】∵是方程的一个根， ∴，即， 则 故答案为：2009． 15． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，由题意得出，再将变形为，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 16．，14 【分析】本题考查整式运算中的化简求值，一元二次方程的解，利用整式的运算法则进行化简，根据，得到，整体代入计算即可． 【详解】解： 原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 17．(1)； (2)． 【分析】（）根据一元二次方程的概念进行求解即可； （）根据一元一次方程的概念进行求解即可； 本题考查了一元二次方程和一元一次方程的概念，正确理解概念是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，， 解得：， 故当时，该方程是一元二次方程； （2）解根据题意，且， 解得：， 故当时，该方程是一元一次方程． 18．， 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，正确记忆相关知识是解决本题的关键．展开后的系数等于6，常数项等于． 【详解】解：∵， ∴， ∵一元二次方程化为一般式后为， ∴，， ∴． 19．(1)4，18 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，完全平方公式，分式的求值： （1）仿照题意求解即可； （2）根据一元二次方程解的定义得到，进而得到，再仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4；18； （2）解：∵m是方程的根， ∴， ∴（时不满足原方程）， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．(1)一元二次方程是凤凰方程，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，准确理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． （1）根据凤凰方程的意义进行计算即可； （2）根据凤凰方程的意义得到关于的方程计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ， 故一元二次方程是凤凰方程； （2）解：由题意得：， 是关于x的凤凰方程， ， 即， 解得：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$