专题04 平面向量的线性运算（三大题型，40题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（上海专用）

专题04 平面向量的线性运算（三大题型，40题）（原卷版） 实数与向量相乘 1．（23-24九年级上·上海长宁·期中）下列命题中，错误的是（    ） A．如果或，那么 B．如果、为实数，那么 C．如果（为实数），那么 D．如果或，那么 2．（23-24九年级上·上海崇明·期中）已知（其中k为实数）．下列说法中错误的是（    ） A．若，那么 B．若，那么一定是非零向量 C．若，那么与的方向相反 D．若是单位向量，那么的模是 3．（23-24九年级上·上海闵行·期中）已知是非零向量，如果与同方向的单位向量记作，那么下列式子中正确的是（        ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·上海杨浦·期中）已知向量与单位向量方向相反，且，那么 ．（用向量的式子表示） 5．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）如果为单位向量，与方向相反，且长度是5，那么 ．（用示） 6．（22-23九年级上·上海·期中）已知的长度为2，的长度为6且与方向相反，则 ． 7．（23-24九年级上·上海普陀·期中）如果向量与单位向量的方向相反，且长度为4，那么 ，（用表示） 向量的相关概念 8．（23-24九年级上·上海·期中）下列判断不正确的是（     ） A．； B．如果向量与均为单位向量，那么或； C．如果，那么； D．对于非零向量，如果，那么． 9．（23-24九年级上·上海杨浦·期中）下列说法中，正确的是（　　） A．如果和是相反向量，那么 B．如果和是平行向量，那么 C．如果，那么 D．如果（为非零向量），那么 10．（23-24九年级上·上海虹口·期中）已知向量与单位向量方向相同，且，那么 ．（用向量的式子表示） 11．（23-24九年级上·上海宝山·期中）向量和单位向量的方向相反，且，那么 ．（用表示）． 12．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）已知，，如果向量与向量方向相反，那么用向量表示向量为: ． 向量的线性运算 13．（23-24九年级上·上海青浦·期中）已知、为非零向量，下列判断错误的是（        ）． A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么或 D．如果为单位向量，且，那么 14．（23-24九年级上··上海宝山·期中）如图，正六边形，连接，如果，那么 ．    15．（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，点D、E分别是边上的点，，如果，那么 ．（用表示） 16．（23-24九年级上·上海松江·期中）如图，已知点M、N分别在的边、上，，且，设，用表示，则 ． 17．（23-24九年级上·上海·期中）如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点．交于点，，设，． (1)用向量、分别表示下列向量： _____________，_____________，_____________． (2)在图中求作向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，但要写出结论） 18．（23-24九年级上·上海·期中）如图，在平行四边形中，点为上的一点，，与相交于点，如果，， (1)用向量、分别表示下列向量； ； ； (2)在图中求作分别在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 19．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，在平行四边形中，点F是的中点，和相交于点E，如果，， (1)_________，___________； (2)在图中求作向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，但要写出画图结论） 20．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）如图，平行四边形中，点E是上的一点，，和相交于点F．    (1)求的值； (2)如果，请用表示． 21．（23-24九年级上·上海松江·期中）如图，已知在平行四边形中，对角线、交于点，点E在BC上，且，与交于点． (1)求的值； (2)设，，试用，表示． 22．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，已知D、E分别是的边、上的点，，．    (1)求的值； (2)联结，设，，试用向量、表示向量． 一、单选题 23．（22-23九年级上·上海徐汇·期中）下列说法中正确的是（    ） A．如果或，那么 B．如果与均是单位向量，那么 C．如果是单位向量，的长度为5，那么 D．如果、为非零实数，为非零向量，那么． 24．（22-23九年级上·上海宝山·期末）已知为非零向量，，那么下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 25．（22-23九年级上·上海·期中）如图，梯形中，，、分别是、上的点，且，，若，，则向量可用、表示为 ． 26．（22-23九年级上·上宝中学·期中）已知点是的重心，如果，那么向量用向量表示为 ． 27．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）已知梯形ABCD中，AB//CD，CD=2AB，点M、N分别是腰AD、BC的中点，若，用表示，则( ) 28．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，经过的重心，设，，那么可以用向量，表示为： ．    29．（23-24九年级上·上海普陀·期中）计算： ． 三、解答题 30．（23-24九年级上·上海长宁·期中）如图，在平行四边形中，点在边上，，、相交于点． (1)求的值； (2)如果，，用、表示向量． 31．（23-24九年级上·上海长宁·期中）如图，已知在中，，，点是边上的一点，．    (1)试用和表示，即______； (2)在图中分别作出向量在、方向上的分向量，并分别用、表示（写出结论，不要求写作法）． 32．（23-24九年级上·上海崇明·期中）已知、．    (1)化简：． (2)求作，使． 33．（23-24九年级上·上海静安·期中）如图，是的边上的中线，相交于点G，连接，设，． (1)用请用，表示向量和； (2)在图中，画出向量在和方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 34．（23-24九年级上·上海普陀·期中）如图，已知两个不平行的向量．先化简，再求作：． （不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量．）    35．（23-24九年级上·上海闵行·期中）已知：如图，平行四边形中，点M、N分别在边、上，对角线分别交、于点E、F，且．    (1)求证：； (2)设，，请直接写出和关于、的分解式： ； ． 36．（23-24九年级上·上海普陀·期中）已知：如图，在梯形中，，点是边的中点，．    (1)填空：________，________．（结果用表示）． (2)先化简，并在图中求作向量的结果．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量） 37．（23-24九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知在平行四边形中，点是边的中点，和交于点，设，．    (1)用向量、表示向量，即___________； (2)在图中分别作出向量在、方向上的分向量（不要求写做法，但要指出所作图中表示结论的向量）． 38．（22-23九年级上·上海青浦·期中）如图，在梯形中，，，对角线相交于点，设．    (1)用的式子表示向量________．________，________； (2)在图中作出向量在方向上的分向量，并写出结论． 39．（22-23九年级上·上海静安·期中）如图，在梯形ABCD中，，E是CD的中点，且，与交于点． (1)若，，请用，来表示、； (2)请直接在图中画出在，方向上的分向量． 40．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）如图，中，点为上的一点，，AC与BE相交于点F，如果，． (1)用向量、分别表示下列向量：______；_____；_____． (2)在图中求作分别在、方向上的分向量．（不写作法，但要写出画图结果） 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 平面向量的线性运算（三大题型，40题）（解析版） 实数与向量相乘 1．（23-24九年级上·上海长宁·期中）下列命题中，错误的是（    ） A．如果或，那么 B．如果、为实数，那么 C．如果（为实数），那么 D．如果或，那么 【答案】C 【分析】本题主要考查平面向量，解题的关键是熟练掌握平面向量的性质， 根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】解：A．如果或，那么，正确，故本选项不符合题意． B．如果、为实数，那么，正确，故本选项不符合题意． C． 如果（为实数），那么，错误，时，不成立，故本选项符合题意． D． 如果或，那么，正确，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．（23-24九年级上·上海崇明·期中）已知（其中k为实数）．下列说法中错误的是（    ） A．若，那么 B．若，那么一定是非零向量 C．若，那么与的方向相反 D．若是单位向量，那么的模是 【答案】B 【分析】本题考查了平面向量，根据零向量的意义，共线向量以及模的定义进行判断即可．解题的关键是掌握平面向量的性质，平面向量既有大小，也有方向． 【详解】解：A、若，那么，故本选项正确； B、若，则可能是零向量，也可能是非零向量， ∴可能是零向量，也可能是非零向量，故本选项错误； C、若，那么与的方向相反，故本选项正确； D、若是单位向量，那么的模是，故本选项正确； 故选：B． 3．（23-24九年级上·上海闵行·期中）已知是非零向量，如果与同方向的单位向量记作，那么下列式子中正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实数与向量相乘，对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，A错误，故不符合要求； ，B错误，故不符合要求； ，C正确，故符合要求； ，D错误，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了实数与向量相乘．解题的关键在于熟练掌握实数与向量相乘结果是向量． 4．（23-24九年级上·上海杨浦·期中）已知向量与单位向量方向相反，且，那么 ．（用向量的式子表示） 【答案】 【分析】根据单位向量与相反向量的知识，即可求得答案. 【详解】∵向量与单位向量方向相反，且 故答案为： 【点睛】此题考查了平面向量的知识. 此题难度不大，注意掌握单位向量与相反向量的定义. 5．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）如果为单位向量，与方向相反，且长度是5，那么 ．（用示） 【答案】 【分析】根据向量的表示方法可直接进行解答． 【详解】解：的长度为5，向量是单位向量， ， 与单位向量的方向相反， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平面向量的知识，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，解决本题的关键是注意单位向量只规定大小没规定方向． 6．（22-23九年级上·上海·期中）已知的长度为2，的长度为6且与方向相反，则 ． 【答案】 【分析】根据的长度为2，的长度为6 ， 且和方向相反，即可得到． 【详解】解：∵的长度为2，的长度为6，且和方向相反， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了向量的计算，解题的关键在于能够熟练掌握向量的相关知识． 7．（23-24九年级上·上海普陀·期中）如果向量与单位向量的方向相反，且长度为4，那么 ，（用表示） 【答案】 【分析】根据向量的表示方法可直接进行解答． 【详解】解：∵的长度为4，向量是单位向量， ∴， ∵与单位向量的方向相反， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平面向量的知识，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，解决本题的关键是注意单位向量只规定大小没规定方向． 向量的相关概念 8．（23-24九年级上·上海·期中）下列判断不正确的是（     ） A．； B．如果向量与均为单位向量，那么或； C．如果，那么； D．对于非零向量，如果，那么． 【答案】B 【分析】本题考查了平面向量、平行向量、单位向量，根据平面向量的性质逐一判断即可得出答案，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【详解】解：A、，计算正确，原说法正确，故本选项不符合题意； B、如果向量与均为单位向量，那么它们的模相等，即，原说法错误，故本选项符合题意； C、如果，那么，原说法正确，故本选项不符合题意； D、对于非零向量，如果，那么，原说法正确，故本选项不符合题意； 故选：B． 9．（23-24九年级上·上海杨浦·期中）下列说法中，正确的是（　　） A．如果和是相反向量，那么 B．如果和是平行向量，那么 C．如果，那么 D．如果（为非零向量），那么 【答案】D 【分析】根据向量的定义与性质，逐一对选项判断即可． 【详解】解：A、相反向量的和为零向量，而不是数字0，故本选项不符合题意； B、平行向量为方向相同或相反，模不一定相等，故本选项不符合题意； C、两个向量的模相等，不能保证方向相同，故本选项不符合题意； D、两个向量方向相同，所以是平行向量，故本选项符合题意； 答案：D． 【点睛】本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解本题的关键． 10．（23-24九年级上·上海虹口·期中）已知向量与单位向量方向相同，且，那么 ．（用向量的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平面向量，熟练掌握单位向量以及向量同向的定义是解题的关键．根据“单位向量是指模等于1的向量”以及“向量同向意味着它们的方向角度相同”即可解答． 【详解】解：∵向量与单位向量方向相同，， ∴， 故答案为：． 11．（23-24九年级上·上海宝山·期中）向量和单位向量的方向相反，且，那么 ．（用表示）． 【答案】 【分析】本题考查了向量的定义，根据向量和单位向量的方向相反，且向量的长度为即可求解． 【详解】解：由题意得：； 故答案：． 12．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）已知，，如果向量与向量方向相反，那么用向量表示向量为: ． 【答案】 【分析】先得出，再根据方向相反即可作答． 【详解】∵，， ∴， ∵向量与向量方向相反， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了向量的计算，解答本题的关键是掌握向量的相关知识． 向量的线性运算 13．（23-24九年级上·上海青浦·期中）已知、为非零向量，下列判断错误的是（        ）． A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么或 D．如果为单位向量，且，那么 【答案】C 【分析】本题考查了平面向量，根据单位向量、平行向量以及模的定义进行判断即可，熟记单位向量、平行向量以及模的定义是解题的关键． 【详解】解：、如果，那么，故本选项正确； 、如果，那么，故本选项正确； 、如果，没法判断与之间的关系，故本选项错误 ； 、如果为单位向量，且，那么，故本选项正确； 故选：． 14．（23-24九年级上··上海宝山·期中）如图，正六边形，连接，如果，那么 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了向量的线性计算，平行线的性质与判定，正多边形内角和定理，等边对等角等等，连接，先由正六边形的性质可得，，进而求出，则可证明，得到，则． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得，，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：．    15．（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，点D、E分别是边上的点，，如果，那么 ．（用表示） 【答案】 【分析】本题考查平面向量、相似三角形的性质与判定，证明，可得，再根据，即求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，即， ∴， 故答案为：． 16．（23-24九年级上·上海松江·期中）如图，已知点M、N分别在的边、上，，且，设，用表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，向量的定义．先根据，得，再根据相似三角形的性质及向量的定义即可，本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 17．（23-24九年级上·上海·期中）如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点．交于点，，设，． (1)用向量、分别表示下列向量： _____________，_____________，_____________． (2)在图中求作向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，但要写出结论） 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，向量的线性运算和平行四边形法则等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键． （1）利用向量的线性运算，求解即可； （2）过点分别作、的平行线，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 由题意得：； 由平行四边形的性质可得：，，， ， ， ， ， ， ； ，， ， ， ， ， ； 故答案为：，， ； （2）如图：过点作交于点，过点作交于点， 则向量、是向量分别在、方向上的分向量． 18．（23-24九年级上·上海·期中）如图，在平行四边形中，点为上的一点，，与相交于点，如果，， (1)用向量、分别表示下列向量； ； ； (2)在图中求作分别在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 【答案】(1)；； (2)见解析． 【分析】本题考查了向量的线性计算，平行四边形的性质，相似三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据已知条件得出，根据三角形法则得出，根据相似三角形得出，，即可求解； （2）根据平行四边形法则构造平行四边形，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴； ∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴； （2）如图，即为分别在、方向上的分向量． 19．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，在平行四边形中，点F是的中点，和相交于点E，如果，， (1)_________，___________； (2)在图中求作向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，但要写出画图结论） 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则． （1）利用三角形法则，平行线分线段成比例定理求解即可； （2）过点A作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，则，即为所求． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：，； （2）解：如图过点A作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，则，即为所求． 20．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）如图，平行四边形中，点E是上的一点，，和相交于点F．    (1)求的值； (2)如果，请用表示． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，平面向量，解决本题的关键是理解平面向量． （1）由平行四边形的性质得，从而，利用相似三角形的性质得比例式，从而解得的值； （2）先求出再利用向量的加法可得答案． 【详解】（1）解：（1）四边形是平行四边形， ，， ， ， ，， ． ； （2）四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ． 21．（23-24九年级上·上海松江·期中）如图，已知在平行四边形中，对角线、交于点，点E在BC上，且，与交于点． (1)求的值； (2)设，，试用，表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质，中位线的性质，平行线分线段成比例定理即可解决问题； （2）利用三角形法则计算即可． 【详解】（1）解：取中点，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，中位线的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 22．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，已知D、E分别是的边、上的点，，．    (1)求的值； (2)联结，设，，试用向量、表示向量． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，平面向量，熟练掌握相似三角形的判定方法及性质、平面向量三角形法则是解答本题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，则， ∴； （2）∵， ∴，则， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． 一、单选题 23．（22-23九年级上·上海徐汇·期中）下列说法中正确的是（    ） A．如果或，那么 B．如果与均是单位向量，那么 C．如果是单位向量，的长度为5，那么 D．如果、为非零实数，为非零向量，那么． 【答案】A 【分析】根据向量的性质一一判断即可得到答案． 【详解】解：A、如果或，那么，原说法正确，符合题意，选项正确； B、如果与均是单位向量，那么，原说法错误，模相等，方向不一定相同，不符合题意，选项错误；， C、如果是单位向量，的长度为5，那么，原说法错误，不符合题意，选项错误； D、如果、为非零实数，为非零向量，那么，原说法错误，不符合题意，选项错误， 故选A． 【点睛】本题考查了向量，熟练掌握向量的性质是解题关键． 24．（22-23九年级上·上海宝山·期末）已知为非零向量，，那么下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， ∴A，C，D正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 二、填空题 25．（22-23九年级上·上海·期中）如图，梯形中，，、分别是、上的点，且，，若，，则向量可用、表示为 ． 【答案】 【分析】过点A作交EF于点G，交BC于H，可得AD=GF=CH，然后用BH表示出CH，再求出，根据相似三角形对应边成比例可得，再用BH表示出EG、EF，根据向量的三角形法则求出BH，即可得解． 【详解】解：如图，过点A作交EF于点G，交BC于H 四边形ADFG、GFCH、ADCH均为平行四边形 ， 若， 则 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面向量、梯形、平行四边形与相似三角形相结合，关键在于作平行线表示出BH，熟记向量的平行四边形法则和三角形法则是解题的关键． 26．（22-23九年级上·上宝中学·期中）已知点是的重心，如果，那么向量用向量表示为 ． 【答案】 【分析】如图，延长AE到H，使得EH=AE，连接BH，CH．求出，证明 即可解决问题． 【详解】如图，延长AE到H，使得EH=AE，连接BH，CH． ∵AE=EH，BE=EC， ∴四边形ABHC是平行四边形， ∴AC=BH，AC∥BH， ∵， ∵G是重心， ∴， ∵AE=EH， ∴， ∴. 【点睛】本题考查三角形的重心，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 27．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）已知梯形ABCD中，AB//CD，CD=2AB，点M、N分别是腰AD、BC的中点，若，用表示，则( ) 【答案】 【分析】先画出示意图，然后可得MN是梯形ABCD的中位线，继而可用若表示出． 【详解】解：示意图如下： ∵CD=2AB，， ∴， ∵点M、N分别是腰AD、BC的中点， ∴MN是梯形ABCD的中位线， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面向量的知识及梯形的知识，解答本题的关键是判断出MN是梯形ABCD的中位线，注意熟练掌握梯形中位线的性质． 28．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，经过的重心，设，，那么可以用向量，表示为： ．    【答案】 【分析】先求出，再根据重心是三角形三条中线的交点得到，由此可由求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵经过的重心， ∴是的中线， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，重心的定义，正确表示出是解题的关键． 29．（23-24九年级上·上海普陀·期中）计算： ． 【答案】 【分析】利用向量加法的三角形法则求解； 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题． 三、解答题 30．（23-24九年级上·上海长宁·期中）如图，在平行四边形中，点在边上，，、相交于点． (1)求的值； (2)如果，，用、表示向量． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平面向量等知识， （1）利用相似三角形的判定与性质即可解决问题； （2）利用三角形法则即可解决问题． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 31．（23-24九年级上·上海长宁·期中）如图，已知在中，，，点是边上的一点，．    (1)试用和表示，即______； (2)在图中分别作出向量在、方向上的分向量，并分别用、表示（写出结论，不要求写作法）． 【答案】(1) (2)作图见详解，， 【分析】本题考查了平面向量的三角形法则和平行四边形法则等知识， （1）根据三角形法则求解即可； （2）利用平行四边形法则求解，再利用平行线分线段成比例求出向量，向量． 解题的关键是理解题意，灵活运用平面向量的相关知识解决问题． 【详解】（1）， ∵， ∴， 故答案为； （2）   如图，，即为所求． ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，． 32．（23-24九年级上·上海崇明·期中）已知、．    (1)化简：． (2)求作，使． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了实数与向量相乘，向量的线性运算．熟练掌握向量的运算是解题的关键． （1）先计算实数与向量相乘，然后进行线性运算即可； （2）根据，作图即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， 如图，即为所求；    33．（23-24九年级上·上海静安·期中）如图，是的边上的中线，相交于点G，连接，设，． (1)用请用，表示向量和； (2)在图中，画出向量在和方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 【答案】(1)， (2)见解析图，． 【分析】（）根据平面向量运算法则即可求出答案； （）根据平面向量的基本定理进行求解即可． 【详解】（1）∵，分别是边，上的中线， ∴是的重心，是的中位线， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ． （2）作图如下：，即为所求； ∴． 【点睛】此题考查了平面向量，解题的关键是熟练运用平面向量的运算法则． 34．（23-24九年级上·上海普陀·期中）如图，已知两个不平行的向量．先化简，再求作：． （不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量．）    【答案】见解析 【分析】根据平面向量的加减运算法则解答；由平面向量的几何意义作图． 【详解】解： ． 作图：    ∴如图，为所求向量． 【点睛】本题主要考查了平面向量，注意：三角形法则在解题过程中的应用． 35．（23-24九年级上·上海闵行·期中）已知：如图，平行四边形中，点M、N分别在边、上，对角线分别交、于点E、F，且．    (1)求证：； (2)设，，请直接写出和关于、的分解式： ； ． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）证明，推出，同法得到，进而得到，即可得到； （2）利用三角形法则表示出，再根据与的数量关系，表示出，即可． 【详解】（1）证明：在平行四边形中，，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． 同理可得， ∴． ∴． （2）由图可知：， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：， 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，以及向量的线性计算，证明三角形相似，掌握三角形法则分解向量，是解题的关键． 36．（23-24九年级上·上海普陀·期中）已知：如图，在梯形中，，点是边的中点，．    (1)填空：________，________．（结果用表示）． (2)先化简，并在图中求作向量的结果．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量） 【答案】(1)； (2)；作图见解析 【分析】（1）由在梯形中，，，可求得，然后由点是边的中点，求得，再利用三角形法则求解即可求得； （2）先化简，然后利用平行四边形法则作图求解即可． 【详解】（1）解：在梯形中，，，， ， 点是边的中点， ； 即 ； 故答案为：；； （2）， ， ， 如图所示，取的中点E，过点E作的平行线交于F点，连接， 即，，    ， 四边形是平行四边形， 由平行四边形法则可得，， 故图中即为所求． 【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键． 37．（23-24九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知在平行四边形中，点是边的中点，和交于点，设，．    (1)用向量、表示向量，即___________； (2)在图中分别作出向量在、方向上的分向量（不要求写做法，但要指出所作图中表示结论的向量）． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先根据平行四边形的法则得到，，进而求得，再根据三角形法则求得，证明，利用相似三角形的性质得到，进而可求解； （2）过F作，，分别交、于N、M，则、分别为在、方向上的分向量． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∵点是边的中点， ∴，则， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，过F作，，分别交、于N、M， 则、分别为向量在、方向上的分向量．    【点睛】本题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键． 38．（22-23九年级上·上海青浦·期中）如图，在梯形中，，，对角线相交于点，设．    (1)用的式子表示向量________．________，________； (2)在图中作出向量在方向上的分向量，并写出结论． 【答案】(1)，， (2)作图见详解，向量，向量 【分析】（1）取的中点，连接，根据平面向量定理得，，再证明，得，再根据平面向量定理即可； （2）过点作交于点，得，再根据平面向量定理画图即可． 【详解】（1）解：取的中点，连接，    ， ，同向， ， ， ， ， ，即 且， 四边形是平行四边形， ， ，，与同向， ，， ． 故答案为：，， ． （2）解：如图所示：过点作交于点，过点作交于点．    向量在方向上的分向量为：向量，向量． 【点睛】本题考查了梯形、平面向量定理，解决本题的关键是掌握平面向量定理． 39．（22-23九年级上·上海静安·期中）如图，在梯形ABCD中，，E是CD的中点，且，与交于点． (1)若，，请用，来表示、； (2)请直接在图中画出在，方向上的分向量． 【答案】(1)，． (2)见解析 【分析】（1）利用平行向量的性质，以及三角形法则求解即可； （2）利用平行四边形法则画出图形即可． 【详解】（1），， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ； （2）过点作交于点，，即为所求． 【点睛】本题考查作图复杂作图，平面向量，三角形法则，平行四边形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则，属于中考常考题型． 40．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）如图，中，点为上的一点，，AC与BE相交于点F，如果，． (1)用向量、分别表示下列向量：______；_____；_____． (2)在图中求作分别在、方向上的分向量．（不写作法，但要写出画图结果） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据已知条件得出，根据三角形法则得出，根据相似三角形得出，则即可求解； （2）根据平行四边形法则构造平行四边形，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ 故答案为：； （2）如图，即为分别在、方向上的分向量 【点睛】本题考查了向量的线性计算，平行四边形的性质，相似三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$