特训06 全等三角形高频考点 一线三等角模型-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

特训06 全等三角形高频考点——一线三等角模型 【基本模型】 （1）条件：如图，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上的两点，且，，， 结论：. （2）条件：如图，直线经过的外部，，E、F分别是直线上的两点，且，， 结论：①；②. （3）条件：如图，，，， 结论：①；②. （4）条件：如图，，，， 结论：①；②. （5）条件：如图，，，，， 结论：. 【特训过关】 1．如图，已知，，，，则等于（　　） A． B． C． D． 2．如图，，，，，，，则等于（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm 3．如图所示，在中，，，于点E，于点D，， ，则的长是（　　） A．7 B．8 C．15 D．22 4．如图，，，，则的面积为（　　） A．8 B．12 C．14 D．16 5．如图，，，P是射线上一动点，连接，以B为直角顶点向上作等腰直角三角 形，在上取一点D，使，当P在射线上自O向A运动时，的长度的变化（　　） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．保持不变 6．如图，在中，，，D为边上的点，且，连接．过点 B作，并截取，连接交于点F．则下列结论： ①； ②F是的中点； ③； ④．其中正确的结论共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，在等腰直角三角形中，，，点B在直线l上，过A作于D， 过C作于E．下列给出四个结论：①；②与互余；③．其 中正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 8．如图，且，且，请按照图中所标注的数据，则的面积 是 　 　． 9．如图，为等腰直角三角形，，于点E，与交于点F，若， 则　 　°；若，，则　 　． 10．如图，在中，，D，E，F分别是，，上的点，且，， ，则的度数是 　 　．（用含的代数式表示） 11．如图，中，，，点D、E分别在、上（点D不与B、C两点重 合），且，若，则的长为 　 　． 12．如图，在四边形中，，，．过点B作，垂足为点E．若 ，，则四边形的面积是 　 　． 13．如图，已知四边形是长方形，以为直角边作等腰直角三角形，且， 交于点N，连接．若长方形的周长为14，，则的面积为 　 　． 14．如图，在中，，，点E是边上的一点，过点B作交 的延长线于点F，延长至点G，使得，连接交于点H，连接．若，， 则的长度为 　 　． 15．在学习完“探索全等三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以 下问题给同桌解决：如图，做一个“U”字形框架，其中，，足够长， 于点A，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，点M，N运动的速度之比为，当两 点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，则线段的长为 　 　cm． 16．为了测量一幢6层高楼的层高，在旗杆与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C的视线与地面的夹 角，测楼顶A的视线与地面的夹角，量得点P到楼底的距离与旗杆 的高度都等于12米，量得旗杆与楼之间距离为米，求每层楼的高度大约多少米？ 17．在中，，，直线经过点C，且于D，于E． （1）当直线绕点C旋转到图（1）的位置时， 求证：①； ②； （2）当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：； （3）当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系． 18．（1）猜想：如图1，已知：在中，，，直线m经过点A，直线m， 直线m，垂足分别为点D、E．试猜想、、有怎样的数量关系，请直接写出； （2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A、E三点都在直线m上，并且有（其中为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； （3）解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且和均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点，D、E、A互不重合，在运动过程中线段的长度始终为n，连接、，若，试判断的形状，并说明理由． 19．如图所示，在中，，点D是线段延长线上一点，且．点F是线段 上一点，连接，以为斜边作等腰．连接，且． （1）若，，则　 　°； （2）过D点作，垂足为G． ①填空：　 　； ②求证：； （3）如图2，若点F是线段延长线上一点，其他条件不变，请写出线段，，之间的数量关系，并简要说明理由． 20．已知和，，．连接、，过点A作于点H， 反向延长线段交于点F． （1）如图1，当时 ①请直接写出与的数量关系：　 　（填“＞”、“＜”、“＝”） ②求证： （2）如图2，当时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训06 全等三角形高频考点——一线三等角模型 【基本模型】 （1）条件：如图，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上的两点，且，，， 结论：. （2）条件：如图，直线经过的外部，，E、F分别是直线上的两点，且，， 结论：①；②. （3）条件：如图，，，， 结论：①；②. （4）条件：如图，，，， 结论：①；②. （5）条件：如图，，，，， 结论：. 【特训过关】 1．如图，已知，，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．如图，，，，，，，则等于（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm 【答案】B． 【解析】解：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 3．如图所示，在中，，，于点E，于点D，， ，则的长是（　　） A．7 B．8 C．15 D．22 【答案】B． 【解析】解：∵，于点E，于点D， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 4．如图，，，，则的面积为（　　） A．8 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【解析】解：作于E，交延长线于F， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．如图，，，P是射线上一动点，连接，以B为直角顶点向上作等腰直角三角 形，在上取一点D，使，当P在射线上自O向A运动时，的长度的变化（　　） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．保持不变 【答案】D． 【解析】解：过点C作于H，于G， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的长度保持不变， 故选：D． 6．如图，在中，，，D为边上的点，且，连接．过点 B作，并截取，连接交于点F．则下列结论： ①； ②F是的中点； ③； ④．其中正确的结论共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C． 【解析】解：过点E作，垂足为H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴点F是的中点； ∵， ∴； 故①②③都正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故④不正确； 所以，上列结论，其中正确的结论共有3个， 故选：C． 7．如图，在等腰直角三角形中，，，点B在直线l上，过A作于D， 过C作于E．下列给出四个结论：①；②与互余；③．其 中正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D． 【解析】解：∵，， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， 即与互余，故②正确； ∵， ∴，， ∵， ∴，故③正确． 故选：D． 8．如图，且，且，请按照图中所标注的数据，则的面积 是 　 　． 【答案】15． 【解析】解：∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， 同理， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：15． 9．如图，为等腰直角三角形，，于点E，与交于点F，若， 则　 　°；若，，则　 　． 【答案】115，5． 【解析】解：①∵，于点D， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴； ②∵，于点D，于点E， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：，5． 10．如图，在中，，D，E，F分别是，，上的点，且，， ，则的度数是 　 　．（用含的代数式表示） 【答案】． 【解析】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．如图，中，，，点D、E分别在、上（点D不与B、C两点重 合），且，若，则的长为 　 　． 【答案】2． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 12．如图，在四边形中，，，．过点B作，垂足为点E．若 ，，则四边形的面积是 　 　． 【答案】40． 【解析】解：∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形的面积的面积的面积 ， 故答案为：40． 13．如图，已知四边形是长方形，以为直角边作等腰直角三角形，且， 交于点N，连接．若长方形的周长为14，，则的面积为 　 　． 【答案】． 【解析】解：如图，过M作交的延长线于点G， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵长方形的周长为14， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．如图，在中，，，点E是边上的一点，过点B作交 的延长线于点F，延长至点G，使得，连接交于点H，连接．若，， 则的长度为 　 　． 【答案】2.3． 【解析】解：作于M点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2.3． 15．在学习完“探索全等三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以 下问题给同桌解决：如图，做一个“U”字形框架，其中，，足够长， 于点A，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，点M，N运动的速度之比为，当两 点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，则线段的长为 　 　cm． 【答案】18或28． 【解析】解：设，则，因为，使与全等，可分两种情况： 情况一：当，时， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 情况二：当，时， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，或． 16．为了测量一幢6层高楼的层高，在旗杆与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C的视线与地面的夹 角，测楼顶A的视线与地面的夹角，量得点P到楼底的距离与旗杆 的高度都等于12米，量得旗杆与楼之间距离为米，求每层楼的高度大约多少米？ 【答案】每层楼的高度大约为3米． 【解析】解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵米，米， ∴（米）， 在和中， ， ∴， ∴米， ∴每层楼的高度（米）， ∴每层楼的高度大约为3米． 17．在中，，，直线经过点C，且于D，于E． （1）当直线绕点C旋转到图（1）的位置时， 求证：①； ②； （2）当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：； （3）当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系． 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【解析】解：（1）①∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴； ②∵， ∴，， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴； ∴，， ∴； （3）当旋转到题图（3）的位置时，，，所满足的等量关系是：． 理由如下：∵，， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 18．（1）猜想：如图1，已知：在中，，，直线m经过点A，直线m， 直线m，垂足分别为点D、E．试猜想、、有怎样的数量关系，请直接写出； （2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A、E三点都在直线m上，并且有（其中为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； （3）解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且和均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点，D、E、A互不重合，在运动过程中线段的长度始终为n，连接、，若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）为等边三角形，理由见解析． 【解析】解：（1）， 理由如下：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）结论成立， 理由如下：∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）为等边三角形， 理由如下：由（2）得，， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形． 19．如图所示，在中，，点D是线段延长线上一点，且．点F是线段 上一点，连接，以为斜边作等腰．连接，且． （1）若，，则　 　°； （2）过D点作，垂足为G． ①填空：　 　； ②求证：； （3）如图2，若点F是线段延长线上一点，其他条件不变，请写出线段，，之间的数量关系，并简要说明理由． 【答案】（1）60；（2）①；②证明见解析；（3），理由见解析． 【解析】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为，60． （2）①解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：． ②证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：，理由如下， 如图2，过点D作，交的延长线于点G，则， ∵， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 20．已知和，，．连接、，过点A作于点H， 反向延长线段交于点F． （1）如图1，当时 ①请直接写出与的数量关系：　 　（填“＞”、“＜”、“＝”） ②求证： （2）如图2，当时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）①＝；②证明见解析；（2）成立，证明见解析． 【解析】解：（1）∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：＝； ②∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）成立，证明如下： 作于点M，作交的延长线于点N， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$