第1单元 长方体和正方体（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学苏教版

长方体和正方体 (思维导图+考点梳理+典例分析+高频考题+答案解析) 【长方体的特征】 1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同． 2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱． 3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高． 4．长方体相邻的两条棱互相垂直． 【正方体的特征】 1、8个顶点． 2、12条棱，每条棱长度相等． 3、相邻的两条棱互相垂直． 【正方体的展开图】 正方体展开图形如下情况： 【表面积的认识】 表面积是物体外表面所有的面积之和”，而不是某一个面的面积。当然，在现实生活中要根据实际情况来判断需要计算哪些面的面积之和。 【体积的认识】 1、 概念：物体所占空间的大小叫做该物体的体积 2、常用体积单位： 立方米、立方分米、立方厘米、立方毫米 2、 棱长为1的速记： 棱长是1毫米的正方体，体积是1立方毫米 棱长是1厘米的正方体，体积是1立方厘米 棱长是1分米的正方体，体积是1立方分米 棱长是1米的正方体，体积是1立方米 【容积的认识】 容积是一个汉语词汇，指箱子，油桶，仓库等所能容纳物体的体积。通常叫做它们的容积。计量容积，一般就用体积单位。计量液体的体积，如水，油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和mL。 【长方体和正方体的表面积】 1、长方体表面积：六个面积之和，即： 公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 2、正方体表面积：六个正方形面积之和，即： 公式：S＝6a2．（a表示棱长） 【长方体和正方体的体积】 长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长） 【典例1】健身中心新建一个游泳池，该游泳池长50米，宽20米，深2.5米。现在要在池的四周和底面都贴上瓷砖，有50cm×50cm和30cm×30cm两种规格的瓷砖。从节约材料的角度考虑，应选哪一种比较合适？（用文字叙述理由）选好后算一算一共需要多少块这种规格的瓷砖？ 【答案】（1）见详解；（2）5400块 【思路分析】根据题意可知：从节约材料的角度考虑，应选50cm×50cm的那种比较合适，因为50厘米能被各边整除，即所用块数正好； 然后根据“长方体的水池的5个面积的面积（四周和底面）＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”计算出铺方砖的面积，根据“正方形的面积＝边长×边长”求出每块方砖的面积，然后根据“铺方砖的面积÷一块的砖的面积＝所需块数”进行解答即可。 【详解】（1）50米＝5000厘米，20米＝2000厘米，2.5米＝250厘米，因为5000、2000和250都能被50整除，所以用50cm×50cm的那种方砖比较合适； （2）（50×20＋50×2.5×2＋20×2.5×2）÷（0.5×0.5） ＝（1000＋250＋100）÷0.25 ＝1350÷0.25 ＝5400（块）； 答：一共需要5400块这种规格的瓷砖。 【典例2】如图所示，用混凝土浇筑一个无盖的长方体水槽，从外面量，长10分米、宽8分米、高4分米，混凝土厚1分米，根据以上信息计算出这个水槽的容积。 【答案】144升 【思路分析】观察图形可知，这个水槽从里面测量的长为10－1×2＝8分米，宽为8－1×2＝6分米，高为4－1＝3分米，再根据长方体的容积公式：V＝abh，据此求出这个水槽的容积，结果再根据1立方分米＝1升，把结果化为升作单位。 【详解】（10－1×2）×（8－1×2）×（4－1） ＝（10－2）×（8－2）×（4－1） ＝8×6×3 ＝48×3 ＝144（立方分米） ＝144（升） 答：这个水槽的容积是144升。 【典例3】外卖给我们的生活带来了很大的便利，这种便利离不开外卖人员的辛苦付出。淘气的叔叔是一个外卖骑手，下图是他的外卖保温包的示意图，做一个这样的保温包至少需要多少平方厘米的材料？（重叠部分忽略不计） 【答案】10138平方厘米 【思路分析】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，用（50×37＋50×37＋37×37）×2即可求出做一个这样的保温包至少需要的材料面积。 【详解】（50×37＋50×37＋37×37）×2 ＝（1850＋1850＋1369）×2 ＝5069×2 ＝10138（平方厘米） 答：做一个这样的保温包至少需要10138平方厘米的材料。 【典例4】在学过“排水法测量体积”之后，聪聪想测量家中一个土豆的体积。他拿出一个长方体玻璃容器，并注入水，如下图。可这时水面高度只有3厘米，无法淹没土豆。聪聪灵机一动，把容器盖上盖子竖了起来，并确定没有漏水。 （1）玻璃容器原来盛了多少升水？ （2）该土豆的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）0.9升 （2）0.5立方分米 【思路分析】（1）观察左图，根据长方体体积公式，长方体玻璃容器的长×宽×水面高度＝水的体积，据此列式解答，注意统一单位； （2）观察右图，用竖起来的长方体玻璃容器底面积×现在水的高度，求出水和土豆的体积，再减去原来水的体积就是土豆的体积。 【详解】（1）30×10×3＝900（立方厘米）＝0.9（立方分米）＝0.9（升） 答：玻璃容器原来盛了0.9升水。 （2）10×10×14－900 ＝1400－900 ＝500（立方厘米） ＝0.5（立方分米） 答：该土豆的体积是0.5立方分米。 【典例5】一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长5分米，宽4分米，高3分米。 （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）在鱼缸里注入40升水，水深多少分米？（玻璃的厚度忽略不计） （3）再往水里放入一些鹅卵石，水面上升了0.3分米。鹅卵石的体积一共是多少立方分米？ 【答案】（1）74平方分米； （2）2分米； （3）6立方分米 【思路分析】（1）求做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米，就是求鱼缸前、后、左、右、下，5个面的面积，根据长方体表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2解答即可。 （2）水的体积不变，根据长方体体积公式：V＝abh可得：h＝V÷a÷b，代入数据计算即可； （3）鹅卵石的体积等于上升的水的体积，将数据代入长方体体积公式：V＝abh计算即可。 【详解】（1）5×4＋（5×3＋4×3）×2 ＝20＋（15＋12）×2 ＝20＋27×2 ＝20＋54 ＝74（平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要玻璃74平方分米。 （2）40升＝40立方分米 40÷5÷4 ＝8÷4 ＝2（分米） 答：水深2分米。 （3）5×4×0.3 ＝20×0.3 ＝6（立方分米） 答：鹅卵石的体积一共是6立方分米。 1．测量不规则物体体积时，可以把该物体放进盛有水的长方体容器里测量。一个长方体容器长10厘米，宽8厘米，高9厘米，里面水的高度是6厘米，现把一个马铃薯放进去后完全沉没于水中，这时水面高度是8厘米，这个马铃薯的体积是多少立方厘米？ 2．“六一”儿童节，姐姐给弟弟准备了一个小礼品，礼品盒长26厘米，宽14厘米，高8厘米，打结处彩带长15厘米（如图），包装这个礼品盒一共用了多少厘米长的彩带？ 3．一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽5分米，高6分米。先在鱼缸里注入128升水，再放入一些鹅卵石，浸没在水中，发现水面上升了3厘米。鹅卵石的体积一共是多少立方分米？ 4．1000个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有二面被油漆涂过的数目是多少个？ 5．给一个新修的长方体水池注水，这个长方体水池的长25米，宽18米，深6米，现在需要给水池注入5米的水深，如果每时注水150立方米，需要多少时间？ 6．在科学课上，同学们分组做物体的沉浮实验。在一个长8分米，宽4分米，高7分米的长方体玻璃水槽中装有一些水（如图一），小航放入4个同样大的小球后（如图二），水面上升了0.6分米。每个小球的体积是多少立方分米？ 7．一个小食堂长10米，宽8米，高5米，要粉刷四壁和顶棚。扣除门窗面积18.4平方米，平均每平方米用石灰0.2千克，一共用石灰多少千克？ 8．一个长方体的饼干盒，长8厘米，宽6厘米，高10厘米。如果围着它四周贴商标纸（上、下面不贴），这张商标纸的面积至少有多少平方厘米？ 9．素养提升：一个长10厘米、宽8厘米的长方体容器中的水深6厘米。现将一根底面积为20平方厘米的长方体铁棒竖直放入水中，其底面与容器底完全接触（水没有溢出），仍有部分铁棒露出水面，现在水深多少厘米？ 10．有一块长50厘米，宽45厘米的长方形铁皮，在四个角上分别减去面积相等的正方形，正好可以做成一个深10厘米的无盖铁盒。 （1）做这个铁盒用铁皮多少平方厘米？ （2）这个铁盒的容积是多少？ 11．一个长方体水箱，从里面量，长是40厘米，宽是35厘米，水箱中浸没一个钢球（水未溢出），水深15厘米。取出钢球后，水深12厘米。如果每立方分米钢重7.8千克，这个钢球重多少千克？ 12．某健身中心要修建一个游泳池，从里面量游泳池长为50米，宽为20米，高为2米。为了防止渗水，要在它的四壁和底部贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少？ 13．把长方体（如下图，单位：厘米）沿虚线切开后，得到8个小长方体，这些小长方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方厘米？ 14．一个正方体水槽，从里面量，棱长是10厘米。一个长方体水槽，从里面量，长是8厘米，宽是6厘米，高是5厘米。小江把长方体水槽装满水，然后把长方体水槽中的水倒进空的正方体水槽中，正方体水槽中的水高多少厘米？ 15．学校要粉刷一间教室的四壁和天花板（门窗不粉刷）。已知教室的长是9米，宽是7米，高是3米，门窗的面积共19平方米，每平方米涂料花4元涂料费，粉刷这间教室共需多少元涂料？ 16．温泉度假村要修建一个长20米、宽10米、深2米的长方体温泉池，在这个温泉池的四周和下底面铺上边长为2分米的正方形瓷砖，共需要多少块这样的瓷砖？ 17．希望小学有一间长10米、宽6.5米、高3米的长方体教室。现在需在教室四周的墙壁上贴上1.2米高的瓷砖，不需贴瓷砖部分中的门、窗、黑板面积共计6平方米，如果贴瓷砖的材料和工钱每平方米是60元，那贴完这个教室的瓷砖需要付多少工钱？ 18．如图，小明跟爷爷学木工，他在一块高2厘米的长方体木条上凿了两个边长都是2厘米的正方形的洞。竖直凿穿后这个长方体的表面积增加了多少平方厘米？ 19．一本故事书长26厘米，宽18厘米，厚1厘米。如果要在这本故事书的外面（三个面）包上一层书皮，那么至少需要多大面积的书皮？ 20．同学们，你们会爱惜书本吗？每学期的数学书，思思都会小心地用塑料膜包好。请你算一算，包装数学书的三个面至少需要多少平方厘米的塑料膜？（接头处不计） 21．一个长方体水箱，从里面量长40厘米，宽32厘米。水箱里装着水，并有一个铁块完全浸没在水中。当把水中的铁块取出后，水面下降了2厘米，铁块的体积是多少立方厘米？ 22．有一块长方形的铁皮，长32厘米，在这块铁皮的四个角各剪下一个边长4厘米的小正方形，做成一个无盖的长方体盒子，已知这个盒子的容积是768立方厘米。 （1）这个长方体盒子的底面积是多少平方厘米？ （2）原长方形铁皮的面积是多少平方厘米？ 23．如图，一个长和宽都是8厘米的玻璃容器内装有5厘米高的水，在玻璃容器内放入一个苹果后水面高度上升到7厘米，求这个苹果的体积是多少立方厘米？ 24．张叔叔准备做3根底面是正方形，高36厘米的长方体通风管，将通风管侧面展开后，恰好是一个正方形，（做每根通风管损耗铁皮10.5平方厘米），那么张叔叔做这些通风管至少需要准备多少平方厘米的铁皮？ 25．班级要评选红领巾文明小先锋，班主任设计了一个投票箱，在投票箱上挖了一个投票口，如图所示，现要在投票箱的上面及四周贴上红纸，至少要多少平方分米的红纸？（粘贴处忽略不计） 26．小思的卧室长5米，宽4米，高2.8米。妈妈想把小思卧室的天花板和四周重新装修粉刷，已知门窗共12平方米，如果每平方米涂料用20元，一共需多少钱？ 27．将长6厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体木块的六个面都涂上红色，然后分割成棱长1厘米的小正方体木块。在这些小正方体中，一面涂色的有几块？没有涂色的有几块？ 28．在一个长50厘米，宽40厘米的长方体玻璃缸中，放入一个棱长为10厘米的正方体铁块，这时水深为20厘米，如果把这块铁从缸中取出，缸中的水深是多少厘米？ 29．学校准备对一间长12米，宽8米，高3米的功能室进行粉刷，除去黑板及门窗的25.76平方米不用粉刷，粉刷的面积有多少平方米？如果粉刷一平方米需要工钱20元，那么粉刷这间功能室需要多少元工钱？ 30．李伯伯用一种背负式喷雾器给果树喷洒农药。药箱是长为2分米，宽为1.5分米，高为5分米的长方体，如果每分钟喷出农药600毫升，喷完一箱药液需要多少分钟？ 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1．160立方厘米 【思路分析】根据题意，把一个马铃薯浸没在一个有水的长方体容器里，水的高度由6厘米变成8厘米，水面上升了（8－6）厘米，则水上升部分的体积就是这个马铃薯的体积； 根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算，即可求出这个马铃薯的体积。 【详解】10×8×（8－6） ＝10×8×2 ＝160（立方厘米） 答：这个马铃薯的体积是160立方厘米。 2．127厘米 【思路分析】观察图形可知，捆扎礼品盒的彩带长度＝2条长＋2条宽＋4条高＋打结用的15厘米，代入数据计算即可。 【详解】26×2＋14×2＋8×4＋15 ＝52＋28＋32＋15 ＝80＋32＋15 ＝112＋15 ＝127（厘米） 答：包装这个礼品盒一共用了127厘米长的彩带。 3．12立方分米 【思路分析】鹅卵石的体积等于水面上升的体积，水面上升的体积等于长方体鱼缸的底面积乘水面上升的高度，长方体鱼缸的底面积＝长×宽，据此代入数据解答。 【详解】3厘米＝0.3分米 8×5×0.3 ＝40×0.3 ＝12（立方分米） 答：鹅卵石的体积一共是12立方分米。 4．104个 【思路分析】因为10×10×10＝1000，所以大正方体的每条棱上有10个小正方体，三面涂色的小正方体在大正方体的8个顶点处，有8个；二面涂色的小正方体在大正方体的12条棱上除了顶点处，有（10－2）×12个；其他的小正方体是没有涂色的和一面涂色的；所以这些小正方体至少有二面被油漆涂过的数目是三面涂色的加上二面涂色的；据此解答。 【详解】10×10×10 ＝100×10 ＝1000（个） （10－2）×12 ＝8×12 ＝96（个） 8＋96＝104（个） 答：这些小正方体至少有二面被油漆涂过的数目是104个。 5．15分钟 【思路分析】先根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出注入水的体积，再除以每小时的注水量求出需要的注水时间，据此解答。 【详解】25×18×5÷150 ＝450×5÷150 ＝2250÷150 ＝15（分钟） 答：如果每时注水150立方米，需要15分钟。 6．4.8立方分米 【思路分析】由题意可知，上升部分水的体积就是4个小球的体积，根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出上升部分水的体积，最后用除法求出1个小球的体积即可。 【详解】8×4×0.6÷4 ＝32×0.6÷4 ＝19.2÷4 ＝4.8（立方分米） 答：每个小球的体积是4.8立方分米。 7．48.32千克 【思路分析】根据题意，粉刷食堂的四壁和顶棚，即粉刷的是长方体的上面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，再减去门窗的面积，就是需粉刷的面积，再乘每平方米用石灰的质量，即是一共用石灰的总质量。 【详解】10×8＋10×5×2＋8×5×2 ＝80＋100＋80 ＝260（平方米） 260－18.4＝241.6（平方米） 0.2×241.6＝48.32（千克） 答：一共用石灰48.32千克。 8．280平方厘米 【思路分析】上、下面不贴商标纸，求这张商标纸的面积，实际是求长方体4个侧面的面积，根据长方体的表面积公式：S＝2ah＋2bh，代入数据即可求出这张商标纸的面积。 【详解】8×10×2＋6×10×2 ＝80×2＋60×2 ＝160＋120 ＝280（平方厘米） 答：这张商标纸的面积至少有280平方厘米。 9．8厘米 【思路分析】长方体容器中放入长方体铁棒后，水的体积没有变化，由于放入的铁棒占据了部分底面积，所以底面积等于原来长方体容器的底面积－铁棒的底面积；这时，水的形状变成一个中间被抽去一个长方体的中空的长方体，求这样一个中空的长方体的体积，根据：体积＝底面积×高，高＝体积÷底面积，即可求出现在水的高度。 【详解】10×8×6÷（10×8－20） ＝80×6÷（80－20） ＝480÷60 ＝8（厘米） 答：现在水深8厘米。 【名师点评】明确水的体积不变以及熟练掌握和运用长方体体积公式是解答本题的关键。 10．（1）1850平方厘米 （2）7500立方厘米 【思路分析】（1）求做这个铁盒用铁皮多少平方厘米，就是用长方形的面积减去4个边长是10厘米的正方形面积； （2）要求无盖铁盒的容积，需要知道它的长、宽、高；铁盒的长与宽即铁皮长、宽分别减去小正方形两个边长，铁盒的高即小正方形的边长，利用长方体的体积＝长×宽×高，代入相应数值计算即可解答。 【详解】（1）50×45－4×10×10 ＝2250－400 ＝1850（平方厘米） 答：做这个铁盒用铁皮1850平方厘米。 （2）（50－10×2）×（45－10×2）×10 ＝（50－20）×（45－20）×10 ＝30×25×10 ＝750×10 ＝7500（立方厘米） 答：这个铁盒的容积7500立方厘米。 11．32.76千克 【思路分析】根据题意，从长40厘米、宽35厘米、水深15厘米的长方体水箱中取出一个完全浸没的钢球，水深变成12厘米，水面下降了（15－12）厘米； 那么水下降部分的体积等于这个钢球的体积，根据长方体的体积公式V＝abh，求出钢球的体积，并根据进率“1立方分米＝1000立方厘米”换算单位。 然后用每立方分米钢的重量乘钢球的体积，即可求出这个钢球的重量。 【详解】40×35×（15－12） ＝40×35×3 ＝1400×3 ＝4200（立方厘米） 4200立方厘米＝4.2立方分米 7.8×4.2＝32.76（千克） 答：这个钢球重32.76千克。 12．1280平方米 【思路分析】求贴瓷砖的面积，就是求这个游泳池5个面积的面积和，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【详解】50×20＋（50×2＋20×2）×2 ＝1000＋（100＋40）×2 ＝1000＋140×2 ＝1000＋280 ＝1280（平方米） 答：贴瓷砖的面积是1280平方米。 13．736平方厘米 【思路分析】（1）沿虚线每切一刀，长方体一分为二，增加两个相同截面的面积。 （2）图中虚线显示共切三刀，增加的面恰好是原长方体上下、左右、前后六个面。因此实际就是求长方体的表面积。 【详解】 （平方厘米） 答：这些小长方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了736平方厘米。 14．2.4厘米 【思路分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出长方体水槽容积，长方体水槽容积÷正方体水槽底面积＝正方体水槽中的水的高度，据此列式解答。 【详解】8×6×5÷（10×10） ＝240÷100 ＝2.4（厘米） 答：正方体水槽中的水高2.4厘米。 15．560元 【思路分析】根据题意，粉刷教室的四壁和天花板，即粉刷的是长方体的上面、前后面、左右面共5个面； 根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，再减去门窗的面积，就是需粉刷的面积，最后用每平方米的涂料费乘粉刷的面积即可。 【详解】9×7＋9×3×2＋7×3×2 ＝63＋54＋42 ＝159（平方米）   159－19＝140（平方米）    4×140＝560（元） 答：粉刷这间教室共需560元涂料。 16．8000块 【思路分析】先求出铺瓷砖的面积，再用铺瓷砖的面积÷瓷砖面积即可。温泉池没有上面，铺瓷砖的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，据此列式解答，注意统一单位。 【详解】20×10＋20×2×2＋10×2×2 ＝200＋80＋40 ＝320（平方米） 2分米＝0.2米 320÷（0.2×0.2） ＝320÷0.04 ＝8000（块） 答：共需要8000块这样的瓷砖。 17．2016元 【思路分析】教室四周贴瓷砖，那么贴瓷砖的面是前、后、左、右四个面，根据“长×瓷砖高×2＋宽×瓷砖高×2”求出面积。将面积减去不需贴瓷砖的面积，求出四周需要贴瓷砖的面积。将需要贴瓷砖的面积乘60元，求出贴完这个教室的瓷砖需要付多少工钱。 【详解】（10×1.2×2＋6.5×1.2×2－6）×60 ＝（24＋15.6－6）×60 ＝33.6×60 ＝2016（元） 答：贴完这个教室的瓷砖需要付2016元工钱。 18．16平方厘米 【思路分析】长方体木条凿了两个正方形的洞，上下底面减少了4个边长为2厘米的正方形面积，侧面同时又增加了8个边长为2厘米的正方形面积，所以一共增加了（8－4）个正方形的面积，据此列式计算。 【详解】2×2×（8－4） ＝4×4 ＝16（平方厘米） 答：竖直凿穿后这个长方体的表面积增加了16平方厘米。 19．962平方厘米 【思路分析】把这本故事书近似看作是一个长方体，该长方体的长是26厘米，宽是18厘米，高是1厘米。要在这本故事书的外面（三个面）包上一层书皮，相当于是这个长方体上、下两个面和左面一个面这三个面包上书皮；上、下两个面均是长方形，面积＝长×宽；另一个面也是长方形，面积＝长×高，要求至少需要多大面积的书皮，也就是求长方体上、下两个面和左面这三个面的面积之和，左面的长方形长应该是26厘米，据此解答。 【详解】26×18×2＋26×1 ＝936＋26 ＝962（平方厘米） 答：至少需要962平方厘米的书皮。 20．954.2平方厘米 【思路分析】根据题意可知，用塑料膜包装数学书的三个面分别是数学书的前后面、左面；求需要塑料膜的面积，就是求长方体前后面与左面的面积之和，根据“长×宽×2＋宽×高”求出这三个面的面积之和即可求解。 【详解】18×26×2＋26×0.7 ＝936＋18.2 ＝954.2（平方厘米） 答：包装数学书的三个面至少需要954.2平方厘米的塑料膜。 21．2560立方厘米 【思路分析】长×宽×水面下降的高度求出水面下降的体积，铁块的体积就是水面下降的体积。 【详解】40×32×2 ＝1280×2 ＝2560（立方厘米） 答：铁块的体积是2560立方厘米。 22．（1）192平方厘米 （2）512平方厘米 【思路分析】（1）根据长方体的容积公式：V＝Sh，即S＝V÷h，据此进行计算即可； （2）观察图形可知，原长方形的长为32厘米，长方体盒子的宽为：192÷（32－4×2）＝8厘米；则原长方形的宽为：8＋4×2＝16厘米，然后根据长方形的面积公式：S＝ab，据此进行计算即可。 【详解】（1）768÷4＝192（平方厘米） 答：这个长方体盒子的底面积是192平方厘米。 （2）长方体盒子的宽： 192÷（32－4×2） ＝192÷（32－8） ＝192÷24 ＝8（厘米） 铁皮的面积： 32×（8＋4×2） ＝32×（8＋8） ＝32×16 ＝512（平方厘米） 答：原长方形铁皮的面积是512平方厘米。 23．128立方厘米 【思路分析】放入苹果后水面高度上升了（7－5）厘米，上升的这部分水的体积等于这个苹果的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数值计算，所得结果即为这个苹果的体积。 【详解】8×8×（7－5） ＝8×8×2 ＝64×2 ＝128（立方厘米） 答：这个苹果的体积是128立方厘米 24．3919.5平方厘米 【思路分析】根据题意，将高为36厘米的长方体通风管侧面展开后恰好是一个正方形，可知这个正方形的边长是36厘米，根据正方形的面＝边长×边长，再加上做每根通风管损耗铁皮的面积，求出做一根这样的通风管所需铁皮的面积，再乘3即可。 【详解】36×36＝1296（平方厘米） （1296＋10.5）×3 ＝1306.5×3 ＝3919.5（平方厘米） 答：做这些通风管至少需要准备3919.5平方厘米的铁皮。 25．66.5平方分米 【思路分析】求至少需要多少平方分米的红纸，就是求这个长方体5个面的面积，缺少下面，由此根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2求解，再减去上表面中间的长方形面积即可解答。 【详解】4×2＋（4×5＋2×5）×2－3×0.5 ＝8＋（20＋10）×2－1.5 ＝8＋30×2－1.5 ＝8＋60－1.5 ＝68－1.5 ＝66.5（平方分米） 答：至少要66.5平方分米的红纸。 26．1168元 【思路分析】根据题意，粉刷卧室的天花板和四周，即粉刷的是长方体的上面、前后面、左右面共5个面； 根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，再减去门窗的面积，就是需粉刷的面积； 最后用每平方米涂料的费用乘粉刷的面积，即可求出一共需要的钱数。 【详解】5×4＋5×2.8×2＋4×2.8×2 ＝20＋28＋22.4 ＝70.4（平方米） 70.4－12＝58.4（平方米） 20×58.4＝1168（元） 答：一共需1168元钱。 27．一面涂色的有52块；没有涂色的有24块 【思路分析】根据分析可知，根据长方体的体积＝长×宽×高，用（6×5×4）÷（1×1×1）即可求出被切成的小正方体的块数；三个面均为油漆的是各顶点处的小正方体，长方体有8个顶点，所以三面涂色的有8个； 在各棱处，除去顶点处的正方体，其他的是两面油漆，长被切成6个小正方体，所以一条长有（6－2）个两面油漆的小正方体，宽被切成5个小正方体，所以一条宽有（5－2）个两面油漆的小正方体，高被切成4个小正方体，所以一条高有（4－2）个两面油漆的小正方体，所以用（6－2）×4＋（5－2）×4＋（4－2）×4即可求出有几个两面涂色的小正方体； 在每个面上，除去棱上的正方体都是一面油漆，用[（6－2）×（5－2）＋（6－2）×（4－2）＋（5－2）×（4－2）]×2即可求出几个一面涂色的小正方体； 最后用所有的小正方体的个数减去有红色的小正方体的个数即是没有涂色的小正方体。根据上面的结论，即可求得答案。 【详解】小正方体的总个数：（6×5×4）÷（1×1×1） ＝120÷1 ＝120（个） 有8个顶点，所以三面涂色的小正方体有8个， 两面涂色的有：（6－2）×4＋（5－2）×4＋（4－2）×4 ＝4×4＋3×4＋2×4 ＝16＋12＋8 ＝36（个） 一面涂色的有：[（6－2）×（5－2）＋（6－2）×（4－2）＋（5－2）×（4－2）]×2 ＝[4×3＋4×2＋3×2]×2 ＝[12＋8＋6]×2 ＝26×2 ＝52（个） 没有涂色的有：120－8－36－52＝24（个） 答：一面涂色的有52块；没有涂色的有24块。 【名师点评】此题主要考查了染色问题，解题的关键是抓住三面涂色的在顶点处，两面涂色的在棱长上，一面涂色的在正方体的面中间上。 28．19.5厘米 【思路分析】根据题意，往有水的长方体玻璃缸中放入一个正方体铁块，此时水深为20厘米，根据长方体的体积公式V＝abh，求出此时水和铁块的体积之和； 根据正方体的体积公式V＝a3，求出铁块的体积； 再用水和铁块的体积之和减去铁块的体积，求出水的体积； 把这块铁从缸中取出，求缸中水的深度，根据长方体的高h＝V÷S求解。 【详解】水的体积： 50×40×20－10×10×10 ＝40000－1000 ＝39000（立方厘米） 取出铁块后水的深度： 39000÷（50×40） ＝39000÷2000 ＝19.5（厘米） 答：缸中的水深是19.5厘米。 29．190.24平方米；3804.8元 【思路分析】由题可知，需要粉刷的部分包含长方体的上面和侧面，再减去黑板及门窗的25.76平方米就是需要粉刷的面积，上面的面积＝长×宽，侧面的面积＝（长＋宽）×2×高；用需要粉刷的面积乘20就是需要的工钱，代入数据计算即可； 【详解】12×8＋（12＋8）×2×3－25.76 ＝96＋120－25.76 ＝216－25.76 ＝190.24（平方米） 190.24×20＝3804.8（元） 答：粉刷的面积有190.24平方米，需要3804.8元工钱。 30．25分钟 【思路分析】根据长方体容积公式：容积＝长×宽×高，代入数据，求出这个药箱的容积，再用药箱的容积除以每分钟喷出农药的容积，即可解答，注意单位名数的换算。 【详解】2×1.5×5 ＝3×5 ＝15（立方分米） 15立方分米＝15000毫升 15000÷600＝25（分钟） 答：喷完一箱药液需要25分钟。 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$