第02章 轴对称图形 章节整合练习（18个知识点+40题练习）- 2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第02章 轴对称图形 章节整合练习（18个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 知识点2．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 知识点3．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 知识点4．等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 知识点5．等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 知识点6．等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 知识点7．等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 知识点8．等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 知识点9．含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 知识点10．直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 知识点11．生活中的轴对称现象 （1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． （2）轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合． 知识点12．轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 知识点13．轴对称图形 （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 知识点14．镜面对称 1、镜面对称： 有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）． 2、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴． 3、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果． 知识点15．作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． ④作出的垂线为最短路径． 知识点16．利用轴对称设计图案 利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 知识点17．剪纸问题 一张纸经过折和剪的过程，会形成一个轴对称图案．解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案． 知识点18．翻折变换（折叠问题） 1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换． 2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系． 首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 章节题型整合练习 一．角平分线的性质 1．（2023秋•秦淮区校级月考）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数　　 ①平分；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023秋•泗阳县校级月考）如图，在中，，平分，，，则的面积是 　　． 3．（2022秋•江都区期末）如图，中，为的中点，交的平分线于，，交于，，交的延长线于，试问：与的大小如何？证明你的结论． 二．线段垂直平分线的性质 4．（2023秋•仪征市校级月考）在三角形内部，有一点到三角形三个顶点的距离相等，则点一定是　　 A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三条垂直平分线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点 5．（2022秋•南京期末）在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、，若，则　　． 6．（2024春•沈丘县期末）如图，在中，，是的平分线，是的垂直平分线，求的度数． 三．等腰三角形的性质 7．（2023秋•崇川区校级期中）等腰三角形的顶角是，则这个三角形的底角的大小是　　 A． B．或 C． D． 8．（2023秋•江都区期末）等腰三角形的两边、满足，那么这个三角形的周长是　　． 9．（2023秋•溧阳市期末）如图，在中，，，，将扩充为等腰三角形，使扩充的部分是以为直角边的直角三角形，请用尺规作图画出图形，并直接写出的长． 四．等腰三角形的判定 10．（2022秋•镇江月考）如图，在的正方形网格中有两个格点、，连接，在网格中再找一个格点，使得是等腰三角形，满足条件的格点的个数是　　 A．5 B．6 C．8 D．9 11．（2023秋•南京月考）如图，平行线、是一条灌溉渠道的两岸，、是位于渠道两旁的两个村庄，今要在渠上架一座与岸垂直的桥梁，且使得两个村庄到桥头的距离相等，问：此桥应该架在何处？ 五．等腰三角形的判定与性质 12．（2023春•淄博期末）如图，已知平分，，若，则等于　　 A． B． C． D． 13．（2023秋•相城区校级月考）如图，在中，平分，平分，过点作，分别与、相交于点、．若的周长为18，的周长为12，则　　． 六．等边三角形的性质 14．（2023秋•通州区期中）如图，在等边三角形中，，垂足为，则　　． 15．（2023秋•淮安区校级月考）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”． 【理解概念】 （1）顶角为的等腰三角形 　　“准等边三角形”．（填“是”或“不是” 【巩固新知】 （2）已知△是“准等边三角形”，其中，．求的度数． 七．等边三角形的判定 16．（2022秋•盐都区期中）下列对的判断，错误的是　　 A．若，则是直角三角形 B．若，，则 C．若，，则是等边三角形 D．若，，则是等腰三角形 17．（2022秋•常州期中）如图，，，，． （1）求的度数； （2）求证：是等边三角形． 八．等边三角形的判定与性质 18．（2024春•锡山区校级期中）如图，△中，，，将△绕点逆时针旋转，得到△，连结，则的长是　　 A． B． C． D．3 19．（2023秋•亭湖区校级月考）将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知，点，表示的刻度分别为，，则线段的长为 　　． 九．含30度角的直角三角形 20．（2023秋•工业园区校级月考）如图，在中，，交于点，，，则的长为 　　． 21．（2023秋•邳州市期中）如图，中，于点，垂直平分，交于点，交于点．且，连接、． （1）若，求的度数； （2）若，，求的周长． 一十．直角三角形斜边上的中线 22．（2023秋•宝应县期末）如图，，，与交于点，点是的中点，．若，，则的长是　　 A． B．3 C． D． 23．（2023秋•邗江区期末）已知，如图，，，分别是，的中点． 求证：①；②． 一十一．生活中的轴对称现象 24．（2021秋•常州期中）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的　　 A．点 B．点 C．点 D．点 25．（2020秋•鼓楼区校级月考）已知：如图，是一个长方形的台球面，有、两球分别位于图中所在位置，试问怎样撞击球，才能使先碰到台边反弹后再击中球？在图中画出球的运动线路． 一十二．轴对称的性质 26．（2023秋•丹阳市校级月考）如图，、在的同侧，点为线段中点，，，，若，则的最大值为　　 A．18 B．16 C．14 D．12 27．（2023秋•盐都区月考）如图，与△关于直线对称，则的度数为 　　． 28．（2023秋•姜堰区校级月考）如图，分别作出点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、， （1）若，求的周长． （2）若，试判断△的形状并说明理由． 一十三．轴对称图形 29．（2023秋•工业园区校级期中）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 30．（2023秋•梁溪区校级期中）在线段、等腰三角形、直角三角形和圆这四个图形中，是轴对称图形的有 　　个． 31．如图，已知，．这个图形是否轴对称图形？为什么？如果是轴对称图形，它的对称轴是什么？ 一十四．镜面对称 32．（2022秋•兴化市校级月考）小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示，实际时间是　　 A． B． C． D． 33．（2023秋•铜山区校级月考）镜子里写着，则实际数字为 　　． 一十五．作图-轴对称变换 34．（2023秋•淮安区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1．的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的△； （2）将点先向上平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度得到点，则点的坐标为 　　； （3）的面积为 　　； 一十六．利用轴对称设计图案 35．（2022秋•常州期末）在“”的网格中，可以用有序数对表示这9个小方格的位置．如图，小方格①用表示，小方格②用表示．则下列有序数对表示的小方格不可以和小方格①、②组成轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 36．（2022秋•丹徒区期末）如图是由9个小等边三角形构成的图形，其中已有两个被涂黑，若再涂黑一个，则整个被涂黑的图案构成轴对称图形的方法有 　　种． 37．（2022秋•邳州市期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．请分别在下列图中画一个位置不同、顶点都在格点上的三角形，使其与成轴对称图形． 一十七．剪纸问题 38．（2023秋•宿豫区校级月考）一张正方形纸片按图1、图2箭头方向依次对折后，再沿图3虚线裁剪得到图4，把图4展开铺平的图案应是　　 A． B． C． D． 一十八．翻折变换（折叠问题） 39．（2023秋•句容市月考）如图，在中，，是边上一点，将沿折叠，点恰好能与的中点重合，若，则点到的距离是　　 A．3 B．4 C．5 D．6 40．（2021秋•武进区校级月考）如图，已知为边的中点，在边上，将折叠，使点落在上的处，若，求　　． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02章 轴对称图形 章节整合练习（18个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 知识点2．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 知识点3．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 知识点4．等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 知识点5．等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 知识点6．等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 知识点7．等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 知识点8．等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 知识点9．含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 知识点10．直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 知识点11．生活中的轴对称现象 （1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． （2）轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合． 知识点12．轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 知识点13．轴对称图形 （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 知识点14．镜面对称 1、镜面对称： 有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）． 2、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴． 3、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果． 知识点15．作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． ④作出的垂线为最短路径． 知识点16．利用轴对称设计图案 利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 知识点17．剪纸问题 一张纸经过折和剪的过程，会形成一个轴对称图案．解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案． 知识点18．翻折变换（折叠问题） 1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换． 2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系． 首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 章节题型整合练习 一．角平分线的性质 1．（2023秋•秦淮区校级月考）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数　　 ①平分；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【解答】解：①过点作于， 平分，平分，，，， ，， ， ，， 点在的角平分线上，故①正确； ②，， ， ， 在和中， ， ， ， 同理：， ， ， ，②正确； ③平分，平分， ，， ，③正确； ④由②可知， ，， ，故④正确， 故选：． 【点评】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 2．（2023秋•泗阳县校级月考）如图，在中，，平分，，，则的面积是 　2　． 【分析】直接利用角平分线的性质得出到的距离，进而利用三角形面积求法得出答案． 【解答】解：过点作于点 ，平分，， ， ， ． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，正确得出到的距离是解题关键． 3．（2022秋•江都区期末）如图，中，为的中点，交的平分线于，，交于，，交的延长线于，试问：与的大小如何？证明你的结论． 【分析】连、，根据角平分线性质得；根据垂直平分线的性质得；再根据“”定理证明，从而得． 【解答】解：相等． 证明如下：连、， 是的平分线， 且于，于， ． 于，是的中点， ． ， ． 【点评】本题考查了角平分线性质和垂直平分线的性质，利用了三角形全等的判定和性质解题．正确作出辅助线是解答本题的关键． 二．线段垂直平分线的性质 4．（2023秋•仪征市校级月考）在三角形内部，有一点到三角形三个顶点的距离相等，则点一定是　　 A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三条垂直平分线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点 【分析】由三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．即可求得答案． 【解答】解：在三角形内部，有一点到三角形三个顶点的距离相等， 点一定是三角形三条垂直平分线的交点． 故选：． 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握定理的应用是关键． 5．（2022秋•南京期末）在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、，若，则　或100　． 【分析】当为锐角时，如图1，设，，根据线段垂直平分线性质可得：，，再运用三角形内角和定理即可求得答案．当为钝角时，如图2，根据线段垂直平分线性质可得：，，，再结合三角形内角和定理即可求得答案． 【解答】解：当为锐角时，如图1，设，， ， ，，， 、分别垂直平分、， ，， ， ， ， ； 当为钝角时，如图2， 、分别垂直平分、， ，， ， ， ， ， ； 综上所述，或． 故答案为：或． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 6．（2024春•沈丘县期末）如图，在中，，是的平分线，是的垂直平分线，求的度数． 【分析】根据垂直平分线的性质可知，，即可得出，再根据角平分线的性质可知，根据三角形为直角三角形即可得出的度数． 【解答】解：是的垂直平分线， ，， ， ， ， ，是的平分线， ， ． 【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 三．等腰三角形的性质 7．（2023秋•崇川区校级期中）等腰三角形的顶角是，则这个三角形的底角的大小是　　 A． B．或 C． D． 【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：这个等腰三角形的一个底角为：， 故选：． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 8．（2023秋•江都区期末）等腰三角形的两边、满足，那么这个三角形的周长是　12　． 【分析】通过等式可以判断，的长度，已知等腰三角形的两边，通过两边相等及构造条件可以判断三边，求出周长即可． 【解答】解：因为，所以，． 又因为是等腰三角形，所以三边长为5，5，2，2或2，2，5（不满足三角形构造条件，舍去） 所以周长为． 故填12． 【点评】本题主要考查等腰三角形两边相等的性质及三角形的构造条件，三角形三边关系，同时也考查了方程的应用． 9．（2023秋•溧阳市期末）如图，在中，，，，将扩充为等腰三角形，使扩充的部分是以为直角边的直角三角形，请用尺规作图画出图形，并直接写出的长． 【分析】分三种情况讨论：①当时，容易得出的长；②当时，设，则，由勾股定理得出方程，解方程即可；③当时，由勾股定理求出，即可得出的长． 【解答】解：分三种情况： ①如图1所示： 当时， 由，可得； ②如图2所示： 当时， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， 解得：， ； ③如图3所示： 当时， 在中，， ， ； 综上所述：的长为3或或2． 【点评】本题主要考查对勾股定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能通过分类求出等腰三角形的所有情况是解此题的关键． 四．等腰三角形的判定 10．（2022秋•镇江月考）如图，在的正方形网格中有两个格点、，连接，在网格中再找一个格点，使得是等腰三角形，满足条件的格点的个数是　　 A．5 B．6 C．8 D．9 【分析】分三种情况：当时，当时，当时，然后进行分析即可解答． 【解答】解：如图： 分三种情况： 当时，以点为圆心，长为半径作圆，点，，即为所求； 当时，以点为圆心，长为半径作圆，点，，，，即为所求； 当时，作的垂直平分线，与正方形网格的交点不在格点上， 综上所述：满足条件的格点的个数是8， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论是解题的关键． 11．（2023秋•南京月考）如图，平行线、是一条灌溉渠道的两岸，、是位于渠道两旁的两个村庄，今要在渠上架一座与岸垂直的桥梁，且使得两个村庄到桥头的距离相等，问：此桥应该架在何处？ 【分析】先过点引直线的垂线，并在此垂线上截取等于渠道的宽度，然后找点关于直线的对称点为点，连接，作的垂直平分线交直线于点，再过点作出渠道的宽度，连接即可． 【解答】解：过点作直线，在上截取等于渠道的宽度，作点关于直线的对称点为点，连接，作的垂直平分线交直线于点，再过点作直线，连接， 连接，， ，， 四边形是平行四边形， ， 点与点关于直线对称， ， 点在的垂直平分线上， ， ， 桥应该架在的位置． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，学生必须学会分析是关键． 五．等腰三角形的判定与性质 12．（2023春•淄博期末）如图，已知平分，，若，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，可得，又因为，求得，则可求． 【解答】解：平分， ； 又， ， ； ． 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定定理和性质定理以及平行线的性质，注意等腰三角形的判定定理：等角对等边． 13．（2023秋•相城区校级月考）如图，在中，平分，平分，过点作，分别与、相交于点、．若的周长为18，的周长为12，则　6　． 【分析】根据平分，平分，且，结合等腰三角形的判定可证得，，得到三角形的周长，根据的周长即可求得． 【解答】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， 的周长为18， ， 的周长为12， ， ． 故答案为：6． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质，根据角平分线的定义即平行线的性质证得，是解决问题的关键． 六．等边三角形的性质 14．（2023秋•通州区期中）如图，在等边三角形中，，垂足为，则　30　． 【分析】由题意易得，，进而问题可求解． 【解答】解：是等边三角形， ， ， ， ； 故答案为30． 【点评】本题主要考查等边三角形的性质及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握等边三角形的性质及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键． 15．（2023秋•淮安区校级月考）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”． 【理解概念】 （1）顶角为的等腰三角形 　不是　“准等边三角形”．（填“是”或“不是” 【巩固新知】 （2）已知△是“准等边三角形”，其中，．求的度数． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出等腰三角形的两个底角，然后根据“准等边三角形”的定义，即可解答； （2）分两种情况：当时；当时；然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：（1）等腰三角形的顶角为， 等腰三角形的两个底角度数分别为， 顶角为的等腰三角形不是“准等边三角形”； 故答案为：不是； （2）△是“准等边三角形”， ，， 分两种情况： 当时， ， ； 当时， ， ， ， ； 综上所述：的度数为或． 【点评】本题考查了等边三角形和等腰三角形的性质，分情况讨论是解题的关键． 七．等边三角形的判定 16．（2022秋•盐都区期中）下列对的判断，错误的是　　 A．若，则是直角三角形 B．若，，则 C．若，，则是等边三角形 D．若，，则是等腰三角形 【分析】根据等腰三角形，等边三角形，直角三角形的判定以及三角形的内角和定理即可作出判断． 【解答】解：．若，则，，， 所以是直角三角形，故此选项正确，不符合题意； ．若，， 则，，故此选项错误，符合题意； ．若，，则，， 所以是等边三角形，故此选项正确，不符合题意； ．若，，则，， 所以是等腰三角形，故此选项正确，不符合题意． 故选：． 【点评】此题考查了等腰三角形的判定、直角三角形的判定以及等边三角形的判定．根据已知条件解出三角形中的角是解题的关键． 17．（2022秋•常州期中）如图，，，，． （1）求的度数； （2）求证：是等边三角形． 【分析】（1）因为，根据等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，又，根据三角形内角和，可求出的度数为． （2），，，三个角是的三角形是等边三角形． 【解答】（1）解：，， ， 故答案为：． （2）证明：，，． ， ， 是等边三角形． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的底角相等，以及等边三角形的判定定理，三个角是的三角形，是等边三角形． 八．等边三角形的判定与性质 18．（2024春•锡山区校级期中）如图，△中，，，将△绕点逆时针旋转，得到△，连结，则的长是　　 A． B． C． D．3 【分析】如图，连接，由题意得：，，得到△为等边三角形，根据，，得出垂直平分，于是求出，，最终得到答案． 【解答】解：如图，连接， 由题意得：，， △为等边三角形， ，； ，， ， ，， 垂直平分， ，， ，， ． 故选：． 【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键． 19．（2023秋•亭湖区校级月考）将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知，点，表示的刻度分别为，，则线段的长为 　2　． 【分析】先由平行线的性质可得的度数，根据等边三角形的判定和性质定理可得，则可得出的长． 【解答】解：直尺的两对边相互平行， ， ， ， ， 是等边三角形， ． 故答案为：2． 【点评】此题主要是考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，能够得出是解答此题的关键． 九．含30度角的直角三角形 20．（2023秋•工业园区校级月考）如图，在中，，交于点，，，则的长为 　9　． 【分析】根据，，可求出，，的度数，得等腰三角形，在根据含角的直角三角形的性质即可求解． 【解答】解：，， ， ， ， ，且， ， 在中，，， ， ， 故答案为：9． 【点评】本题主要考查等腰三角形，含角的直角三角形的综合，掌握等腰三角形的性质，含角的直角三角形的角与边的关系是解题的关键． 21．（2023秋•邳州市期中）如图，中，于点，垂直平分，交于点，交于点．且，连接、． （1）若，求的度数； （2）若，，求的周长． 【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出，求出和，即可得出答案； （2）根据已知能推出，即可得出答案． 【解答】解：（1）垂直平分， ， ， ； （2），，垂直平分， ， ， 周长． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 一十．直角三角形斜边上的中线 22．（2023秋•宝应县期末）如图，，，与交于点，点是的中点，．若，，则的长是　　 A． B．3 C． D． 【分析】根据直角三角形的性质得到，根据三角形外角的性质得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：， ， 点是的中点，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 23．（2023秋•邗江区期末）已知，如图，，，分别是，的中点． 求证：①；②． 【分析】（1）连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得； （2）根据等腰三角形三线合一的性质证明即可． 【解答】（1）证明：如图，连接、， ，是的中点， ， ； （2）点是的中点，， ． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并连接辅助线是解题的关键． 一十一．生活中的轴对称现象 24．（2021秋•常州期中）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的　　 A．点 B．点 C．点 D．点 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2022除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的位置即可． 【解答】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点， ， 当点第2022次碰到矩形的边时为第337个循环组的第6次反弹， 第2022次碰到矩形的边时的点为图中的点， 故选：． 【点评】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 25．（2020秋•鼓楼区校级月考）已知：如图，是一个长方形的台球面，有、两球分别位于图中所在位置，试问怎样撞击球，才能使先碰到台边反弹后再击中球？在图中画出球的运动线路． 【分析】首先作出点关于的对称点，再连接，然后可得球的运动路线． 【解答】解：如图所示：运动路线：． 【点评】此题主要考查了生活中的轴对称现象，关键是掌握轴对称的性质． 一十二．轴对称的性质 26．（2023秋•丹阳市校级月考）如图，、在的同侧，点为线段中点，，，，若，则的最大值为　　 A．18 B．16 C．14 D．12 【分析】如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，证明△为等边三角形，即可解决问题． 【解答】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点， ， ， ， ， ， △为等边三角形 ， 的最大值为14， 故选：． 【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题． 27．（2023秋•盐都区月考）如图，与△关于直线对称，则的度数为 　　． 【分析】根据轴对称的性质可△，再根据和的度数即可求出的度数． 【解答】解：与△关于直线对称， △， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了轴对称的性质以及全等的性质，熟练掌握轴对称的性质和全等的性质是解答此题的关键． 28．（2023秋•姜堰区校级月考）如图，分别作出点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、， （1）若，求的周长． （2）若，试判断△的形状并说明理由． 【分析】（1）根据轴对称的性质可得，，推出的周长，即可求解； （2）根据轴对称的性质可得，，，从而求出△是等边三角形． 【解答】解：（1）、分别是关于、的对称点， ，， 的周长； （2）解：、分别是关于、的对称点， ，，， ， ， ， △是等边三角形． 【点评】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质得到相等的边与角是解题的关键． 一十三．轴对称图形 29．（2023秋•工业园区校级期中）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的知识求解． 【解答】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 30．（2023秋•梁溪区校级期中）在线段、等腰三角形、直角三角形和圆这四个图形中，是轴对称图形的有 　3　个． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：线段、等腰三角形和圆都能找到一条（或多条）直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 直角三角形（等腰直角三角形除外）不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 所以是轴对称图形的有3个． 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 31．如图，已知，．这个图形是否轴对称图形？为什么？如果是轴对称图形，它的对称轴是什么？ 【分析】连接，则可证明，从而可判断这个图形是轴对称图形，对称轴是所在的直线． 【解答】解：连接， 在和中，， ， 这个图形是轴对称图形，对称轴是所在的直线． 【点评】本题考查了轴对称图形的知识，解答本题的关键是掌握轴对称及对称轴的定义． 一十四．镜面对称 32．（2022秋•兴化市校级月考）小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示，实际时间是　　 A． B． C． D． 【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为， 故选：． 【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 33．（2023秋•铜山区校级月考）镜子里写着，则实际数字为 　50281　． 【分析】利用镜面对称的性质求解即可． 【解答】解：根据镜面对称的性质，将“18502”按轴对称左右颠倒，即可得“50281”， 故答案为：50281． 【点评】本题考查镜面对称，解决此类题应认真观察，注意技巧． 一十五．作图-轴对称变换 34．（2023秋•淮安区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1．的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的△； （2）将点先向上平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度得到点，则点的坐标为 　　； （3）的面积为 　　； 【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出关于轴对称的△； （2）根据平移的性质即可将点先向上平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度得到点，进而可得点的坐标； （3）根据割补法即可求出的面积； 【解答】解：（1）由题意知，，，的点坐标分别为，，，在坐标系中描点，然后依次连接，如图，△即为所求； （2）如图，点即为所求；点的坐标为； 故答案为：； （3）如图所示，作出矩形， 则， 即， 故答案为：8； 【点评】本题考查了作图轴对称变换，作图平移变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 一十六．利用轴对称设计图案 35．（2022秋•常州期末）在“”的网格中，可以用有序数对表示这9个小方格的位置．如图，小方格①用表示，小方格②用表示．则下列有序数对表示的小方格不可以和小方格①、②组成轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据轴对称的图形的定义解题即可． 【解答】解：可知，，，四个选顶点的位置如图所示，则 ，，三个选顶点可以组成轴对称图形，不符合题意； 选顶点不能组成轴对称点，符合题意； 故选． 【点评】本题考查轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 36．（2022秋•丹徒区期末）如图是由9个小等边三角形构成的图形，其中已有两个被涂黑，若再涂黑一个，则整个被涂黑的图案构成轴对称图形的方法有 　3　种． 【分析】根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 【解答】解：如图所示：将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有3种． 故答案为：3． 【点评】本题考查了利用轴对称设计图案的知识，关键是掌握好轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 37．（2022秋•邳州市期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．请分别在下列图中画一个位置不同、顶点都在格点上的三角形，使其与成轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形的性质，不同的对称轴，可以有不同的对称图形，所以可以称找出不同的对称轴，再思考如何画对称图形． 【解答】画对任意三种即可．． 【点评】此题考查的是利用轴对称设计图案，基本作法：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点． 一十七．剪纸问题 38．（2023秋•宿豫区校级月考）一张正方形纸片按图1、图2箭头方向依次对折后，再沿图3虚线裁剪得到图4，把图4展开铺平的图案应是　　 A． B． C． D． 【分析】严格按照图中的顺序亲自动手操作一下即可． 【解答】解：严格按照图中的顺序向右对折，向上对折，从下面中间剪去一个半圆，展开得到的图形是． 故选：． 【点评】本题主要考查剪纸问题，学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现． 一十八．翻折变换（折叠问题） 39．（2023秋•句容市月考）如图，在中，，是边上一点，将沿折叠，点恰好能与的中点重合，若，则点到的距离是　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】首先过点作于，过点作于，由折叠的性质可得：，，由角平分线的性质，可得，然后利用三角形的面积，即可求得答案． 【解答】解：过点作于，过点作于， 由折叠的性质可得：，， ， 是的中点， ， ， 即， ， 解得：， 点到的距离是4． 故选：． 【点评】此题考查了折叠的性质以及三角形面积问题．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想的应用． 40．（2021秋•武进区校级月考）如图，已知为边的中点，在边上，将折叠，使点落在上的处，若，求　　． 【分析】首先证出，利用三角形内角和即可解决． 【解答】解：为边的中点， ， 将折叠，使点落在上的处， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了翻折的性质，等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，证明出是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$