第02章 实数 章节整合练习（22个知识点+40题练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第02章 实数 章节整合练习（22个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 知识点2．算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 知识点3．非负数的性质：算术平方根 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 知识点4．立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 知识点5．计算器—数的开方 正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是： 当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍． 知识点6．无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如4＝4.0，＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如＝1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 知识点7．实数 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数： 或 实数： 知识点8．实数的性质 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 知识点9．实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 知识点10．实数大小比较 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 知识点11．估算无理数的大小 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 知识点12．实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 知识点13．二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 知识点14．二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点15．二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 知识点16．最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 知识点17．二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 知识点18．分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①＝＝；②＝＝． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数． 知识点19．同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 知识点20．二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 知识点21．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 知识点22．二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 章节题型整合练习 一．平方根 1．（2024春•临清市期中）一个正数的两个平方根是和，则　　． 2．（2024春•阳谷县校级月考）求下列各式中的 （1）； （2）． 二．算术平方根 3．（2023秋•宜宾期末）9的算术平方根是　　 A．3 B． C． D．9没有算术平方根 4．（2024•芙蓉区模拟）的算术平方根是 　　． 三．非负数的性质：算术平方根 5．（2024春•崇阳县校级月考）已知，为实数，且，则　　 A． B．1 C． D．3 6．（2024春•襄州区月考）解答题． （1）一个正数的平方根是与，则是多少？ （2）已知、满足，求的平方根． 四．立方根 7．（2023秋•郑州期末）下列说法错误的是　　 A．的平方根是 B．是81的平方根 C．16的算术平方根是 D． 8．（2024春•旌阳区校级月考）求的值： （1）； （2）． 五．计算器—数的开方 9．（2023•遵义三模）某同学在用计算器估算6的算术平方根时，需要用到以下哪个键　　 A． B． C． D． 10．（2022•惠阳区校级开学）（1）用计算器计算：　　 　 　 　 　 　 　 （2）观察题（1）中各式的计算结果，你能发现什么规律？ （3）试运用发现的规律猜想：　 　，并通过计算器验证你的猜想． 六．无理数 11．（2024春•东昌府区校级期末）下列各数是无理数的是　　 A． B．3.1415926 C． D． 12．（2023秋•成都期末）在，3.14，，，，，中是无理数的个数有 　　个． 七．实数 13．（2024春•河北区校级期末）下列说法：①无限小数都是无理数；②无理数都是带根号的数；③负数没有立方根；④的平方根是；⑤无理数减去任意一个有理数仍为无理数．其中正确的有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 14．（2024春•新安县月考）定义：设为实数，表示不大于的最大整数，称为的整数部分，称为的小数部分，则方程的解是 　　． 八．实数的性质 15．（2023秋•青山湖区期末）实数的相反数是　　 A． B． C． D． 16．（2024•泰兴市二模）的倒数为 　　． 九．实数与数轴 17．（2023秋•南阳期末）如图，根据尺规作图痕迹，判断数轴上点所表示的数是　　 A． B．3.7 C．3.8 D． 18．（2024春•通榆县期末）如图，数轴的正半轴上有、、三点，表示1和的对应点分别为，，点到点的距离与点到点的距离相等，设点所表示的数为． （1）请你直接写出的值； （2）求的平方根． 一十．实数大小比较 19．（2024•营山县一模）比较大小：4 　　（填入“”或“”号）． 20．（2023秋•泗县校级月考）比较：与的大小． 一十一．估算无理数的大小 21．（2024春•滑县月考）若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（　　） A．1 B．5 C． D． 22．（2023秋•南阳期末）【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分． 结合以上材料，回答下列问题： （1）的小数部分是 　　，的整数部分是 　　； （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； （3）已知，其中是整数，且，请直接写出的平方根． 一十二．实数的运算 23．（2024春•河东区期末）计算　　． 24．（2024春•祥云县期末）计算： （1）； （2）． 一十三．二次根式的定义 25．（2024春•赛罕区校级期末）下列式子不是二次根式的是　　 A． B． C． D． 26．（2023春•东莞市期中）若是一个正整数，则正整数的最小值是 　　． 一十四．二次根式有意义的条件 27．（2024•西城区校级二模）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 28．（2024春•安州区月考）（1）已知，，求： ①的值； ②求的值． （2）若，求的算术平方根． 一十五．二次根式的性质与化简 29．（2024春•博兴县期末）实数、在数轴上的位置如图，则化简的结果是　　 A． B． C． D．0 30．（2023秋•陈仓区期末）如图，实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果． 一十六．最简二次根式 31．（2023•兴宁区二模）若最简二次根式与是同类二次根式，则　　． 32．把下列根式化成最简二次根式： （1） （2） （3） （4） 一十七．二次根式的乘除法 33．（2024春•横州市期末）计算：的结果是　　． 34．（2023秋•姑苏区校级期中）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简． 一十八．分母有理化 35．（2024春•滨海新区校级期中）计算：　　　　　　 一十九．同类二次根式 36．（2024•宛城区校级开学）若最简二次根式与是同类二次根式，则　　． 二十．二次根式的加减法 37．（2023秋•河源期末）计算：． 二十一．二次根式的混合运算 38．（2023秋•鼓楼区校级期末）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 二十二．二次根式的化简求值 39．（2024春•五莲县期末）若的整数部分为，小数部分为，则的值是　　 A． B．3 C． D． 40．（2024•雁塔区校级开学）阅读材料，解答下列问题． 材料：我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉．比如遇到一样的式子，可以将其进一步化简：． 问题： （1）　　； （2）已知，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02章 实数 章节整合练习（22个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 知识点2．算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 知识点3．非负数的性质：算术平方根 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 知识点4．立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 知识点5．计算器—数的开方 正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是： 当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍． 知识点6．无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如4＝4.0，＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如＝1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 知识点7．实数 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数： 或 实数： 知识点8．实数的性质 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 知识点9．实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 知识点10．实数大小比较 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 知识点11．估算无理数的大小 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 知识点12．实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 知识点13．二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 知识点14．二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点15．二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 知识点16．最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 知识点17．二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 知识点18．分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①＝＝；②＝＝． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数． 知识点19．同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 知识点20．二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 知识点21．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 知识点22．二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 章节题型整合练习 一．平方根 1．（2024春•临清市期中）一个正数的两个平方根是和，则　4　． 【分析】根据正数有两个平方根，且它们互为相反数和互为相反数的两个数的和为0，即可得到关于的方程． 【解答】解：根据题意，得 ， 解，得． 则． 故答案为：4． 【点评】此题考查了平方根的性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；负数没有平方根；0的平方根是0． 2．（2024春•阳谷县校级月考）求下列各式中的 （1）； （2）． 【分析】（1）先移项、合并，再运用开平方知识进行求解； （2）先化系数为1，再运用平方根知识进行求解． 【解答】解：（1）移项并合并，得， ， ； （2）两边都除以4，得， ， ， 解得或． 【点评】此题考查了运用平方根进行有关运算的能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 二．算术平方根 3．（2023秋•宜宾期末）9的算术平方根是　　 A．3 B． C． D．9没有算术平方根 【分析】利用算术平方根的定义，进行求解即可． 【解答】解：9的算术平方根是； 故选：． 【点评】本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 4．（2024•芙蓉区模拟）的算术平方根是 　2　． 【分析】根据算术平方根，即可解答． 【解答】解：，4的算术平方根是2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义． 三．非负数的性质：算术平方根 5．（2024春•崇阳县校级月考）已知，为实数，且，则　　 A． B．1 C． D．3 【分析】被开方数需大于或等于零，以及完全平方式的值大于或等于零，由此可以求得、的值． 【解答】解：有意义， ， ，且， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了非负数的性质：算术平方根，非负数的性质：偶次方，解答本题的关键要明确：被开方数需大于或等于零，以及完全平方式的值大于或等于零． 6．（2024春•襄州区月考）解答题． （1）一个正数的平方根是与，则是多少？ （2）已知、满足，求的平方根． 【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数，列出方程求出的值，进而求出的值； （2）根据非负性，求出，的值，再进行计算即可． 【解答】解：（1）由题意，得：， 解得：， ； （2）， ， ， ． 【点评】本题考查平方根的性质，熟练掌握平方根的性质，以及绝对值和算术平方根的非负性，是解题的关键． 四．立方根 7．（2023秋•郑州期末）下列说法错误的是　　 A．的平方根是 B．是81的平方根 C．16的算术平方根是 D． 【分析】根据平方根及立方根的定义依次判断即可． 【解答】解：的平方根是，故正确，不符合题意； 是81的一个平方根，故正确，不符合题意； 16的算术平方根是4，故错误，符合题意； ，故正确，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查平方根与立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 8．（2024春•旌阳区校级月考）求的值： （1）； （2）． 【分析】（1）根据平方根解方程即可； （2）根据立方根解方程即可． 【解答】解：（1）， ， ， 或； （2）， ， ， ， ． 【点评】本题考查了平方根、立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． 五．计算器—数的开方 9．（2023•遵义三模）某同学在用计算器估算6的算术平方根时，需要用到以下哪个键　　 A． B． C． D． 【分析】首先了解各个符号的含义，解决计算器各个按键的功能，就可以选出正确的结果． 【解答】解：根据计算器的相关知识，可知答案为． 故选：． 【点评】本题考查计算器—数的开方，解题的关键是知道算术平方根的对应按键． 10．（2022•惠阳区校级开学）（1）用计算器计算：　3　 　 　 　 　 　 　 （2）观察题（1）中各式的计算结果，你能发现什么规律？ （3）试运用发现的规律猜想：　 　，并通过计算器验证你的猜想． 【分析】（1）用计算器分别计算出各题的答案； （2）再根据得出的答案找出规律，根号内被开方数是个数字1和个数字2的差，结果为个数字3； （3）利用（2）中规律得出答案，从而用计算器验证即可． 【解答】解：（1）， ， ， ； 故答案为：3，33，333，3333； （2）根据以上可以得出：根号内被开方数是个数字1和个数字2的差，结果为个数字3； （3）试运用发现的规律可得：． 故答案为：33333． 【点评】此题考查了数的开方，解题的关键是根据用计算器计算得出规律即根号内被开方数是个数字1和个数字2的差，结果为个数字3． 六．无理数 11．（2024春•东昌府区校级期末）下列各数是无理数的是　　 A． B．3.1415926 C． D． 【分析】根据无理数的定义解答即可． 【解答】解：．，是有理数，不符合题意； ．3.1415926是有限小数，是有理数，不符合题意； ．是无理数，符合题意； ．是分数，是有理数，不符合题意， 故选：． 【点评】本题考查的是无理数的定义，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键． 12．（2023秋•成都期末）在，3.14，，，，，中是无理数的个数有 　3　个． 【分析】根据无理数的概念判断即可． 【解答】解：， 在，3.14，，，，，中， 无理数有：，共有3个． 故答案为：3． 【点评】本题考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 七．实数 13．（2024春•河北区校级期末）下列说法：①无限小数都是无理数；②无理数都是带根号的数；③负数没有立方根；④的平方根是；⑤无理数减去任意一个有理数仍为无理数．其中正确的有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据无理数，立方根，平方根的意义，逐一判断即可解答． 【解答】解：①无限不循环小数都是无理数，故①不正确； ②无理数不一定是带根号的数，例如：是有理数，故②不正确； ③负数有立方根，故③不正确； ④的平方根是，故④不正确； ⑤无理数减去任意一个有理数仍为无理数，故⑤正确； 所以，上列说法中正确的有1个， 故选：． 【点评】本题考查了实数，熟练掌握无理数，立方根，平方根的意义是解题的关键． 14．（2024春•新安县月考）定义：设为实数，表示不大于的最大整数，称为的整数部分，称为的小数部分，则方程的解是 　或　． 【分析】原方程化为，，从而可得为整数，这样即可得出的值及的值，继而得出方程的解． 【解答】解：表示不大于的最大整数，称为的小数部分， ， 原方程化为， 则可得是正整数，即可得为整数， 或， ①当时，，此时； ②当时，，此时； 综上可得方的解为或， 故答案为：或． 【点评】本题考查了取整函数的知识，根据题意得出及为整数是解答本题的关键，比较抽象，难度较大，注意分类讨论的值． 八．实数的性质 15．（2023秋•青山湖区期末）实数的相反数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【解答】解：的相反数是． 故选：． 【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键． 16．（2024•泰兴市二模）的倒数为 　　． 【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案． 【解答】解：的倒数是， 故答案为：． 【点评】本题考查了实数的性质，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 九．实数与数轴 17．（2023秋•南阳期末）如图，根据尺规作图痕迹，判断数轴上点所表示的数是　　 A． B．3.7 C．3.8 D． 【分析】由图可得的长度和点到原点的长度，即可得出点到原点的距离，即可得到答案． 【解答】解：点表示的数为3， 点到原点的距离为3， 由图可得， 点到原点的距离， 点到原点的距离和点到原点的距离相等， 点到原点的距离为， 点表示的数为， 故选：． 【点评】本题考查实数在数轴上的应用，解题的关键是将求点到原点的距离转化为求点到原点的距离． 18．（2024春•通榆县期末）如图，数轴的正半轴上有、、三点，表示1和的对应点分别为，，点到点的距离与点到点的距离相等，设点所表示的数为． （1）请你直接写出的值； （2）求的平方根． 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离求出之间的距离即为的值； （2）把的值代入所求代数式进行计算即可． 【解答】解：（1）点．分别表示1，， ，即； （2）， 原式， ， 所求式子的平方根为． 【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上的点是一一对应关系是解答此题的关键． 一十．实数大小比较 19．（2024•营山县一模）比较大小：4 　　（填入“”或“”号）． 【分析】根据和，即可求出答案． 【解答】解：， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，注意：，题目较好，难度不大． 20．（2023秋•泗县校级月考）比较：与的大小． 【分析】根据实数大小比较的方法解答即可． 【解答】解：∵3＞1， ∴ ∴， ∴，即． 【点评】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握比较方法是解答本题的关键． 一十一．估算无理数的大小 21．（2024春•滑县月考）若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（　　） A．1 B．5 C． D． 【分析】先估算出的范围，进而求出x的值和y的值． 【解答】解：∵1＜2， ∴x＝1， ∴y＝﹣1， 故选：C． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键． 22．（2023秋•南阳期末）【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分． 结合以上材料，回答下列问题： （1）的小数部分是 　　，的整数部分是 　　； （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； （3）已知，其中是整数，且，请直接写出的平方根． 【分析】（1）根据题干中给出的方法估算的取值范围，即可得出其小数部分；根据题干中给出的方法估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可得出其整数部分； （2）根据题干中给出的方法分别估算、的取值范围，即可求出、的值，再代入要求的式子计算即可； （3）根据题干中给出的方法估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可得出、的值，再代入要求的式子计算，求其结果的平方根即可． 【解答】解：（1）， ， 的整数部分是4，小数部分是； ， ， ， ， 的整数部分是1； 故答案为：，1； （2）， ， 的整数部分是2，小数部分是， ， ， ， 的整数部分为6， ， ； （3）， ， ， 的整数部分是24，小数部分是， ，其中是整数，且， ，， ， 的平方根是， 的平方根是． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，平方根，熟练掌握利用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键． 一十二．实数的运算 23．（2024春•河东区期末）计算　　． 【分析】首先计算乘方、开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 24．（2024春•祥云县期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先计算乘方运算，括号内减法，再计算乘除法，最后计算加减法即可； （2）先计算乘方运算，立方根，算术平方根，绝对值，再计算除法，最后计算加减法即可． 【解答】解（1）：原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 一十三．二次根式的定义 25．（2024春•赛罕区校级期末）下列式子不是二次根式的是　　 A． B． C． D． 【分析】形如的式子是二次根式，依据定义即可判断． 【解答】解：、是二次根式，故本选项不符合题意； 、是二次根式，故本选项不符合题意； 、是二次根式，故本选项不符合题意； 、不是根式，故本选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的定义．熟记定义是解题的关键． 26．（2023春•东莞市期中）若是一个正整数，则正整数的最小值是 　6　． 【分析】利用二次根式的化简求出． 【解答】解：是一个正整数． 是一个平方数． 最小的既是6的倍数，又是平方数的数是6． 的最小值是36． 故答案为：6． 【点评】本题考查二次根式的化简，化简二次根式后判断是个平方数是求解本题的关键． 一十四．二次根式有意义的条件 27．（2024•西城区校级二模）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】二次根式的被开方数是非负数． 【解答】解：依题意，得 ， 解得，． 故选：． 【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 28．（2024春•安州区月考）（1）已知，，求： ①的值； ②求的值． （2）若，求的算术平方根． 【分析】（1）①运用完全平方公式的变形解题即可；②运用完全平方公式的变形解题即可； （2）根据二次根式有意义的条件得到，，然后计算的值，最后求出算术平方根解题即可． 【解答】解：（1）①； ②； （2）由题意可知， 解得， ， ， 的算术平方根为2． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，算术平方根，完全平方公式的变形，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 一十五．二次根式的性质与化简 29．（2024春•博兴县期末）实数、在数轴上的位置如图，则化简的结果是　　 A． B． C． D．0 【分析】根据数轴上点的位置关系，可得，根据二次根式的性质，绝对值的性质，可得答案． 【解答】解：由数轴上点的位置关系，得 ， 所以 ， 故选：． 【点评】本题考查了实数与数轴，利用数轴上点的位置关系得出是解题关键． 30．（2023秋•陈仓区期末）如图，实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果． 【分析】根据实数，，在数轴上对应点的位置确定，，的符号，再根据二次根式的性质和化简方法，绝对值的定义进行计算即可． 【解答】解：由实数，，在数轴上对应点的位置可知，， ，，， 原式 ． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握数轴表示数的方法，绝对值的定义以及二次根式的性质和化简方法是正确解答的关键． 一十六．最简二次根式 31．（2023•兴宁区二模）若最简二次根式与是同类二次根式，则　2　． 【分析】根据二次根式的性质把化简，再根据同类二次根式的概念列式计算即可． 【解答】解：， 则， 解得：， 故答案为：2． 【点评】本题考查的是最简二次根式、同类二次根式，掌握同类二次根式的概念是解题的关键． 32．把下列根式化成最简二次根式： （1） （2） （3） （4） 【分析】根据最简二次根式的定义和最简二次根式必须满足两个条件进行化简计算即可． 【解答】解：（1）； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 一十七．二次根式的乘除法 33．（2024春•横州市期末）计算：的结果是　　． 【分析】直接利用二次根式除法运算法则计算得出答案． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二次根式的除法，正确掌握运算法则是解题关键． 34．（2023秋•姑苏区校级期中）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简． 【分析】直接利用数轴上，，的位置得出，，，进而化简得出答案． 【解答】解：由数轴可得：，，， 则原式 ． 【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各式的符号是解题关键． 一十八．分母有理化 35．（2024春•滨海新区校级期中）计算：　　　　　　 【分析】运用二次根式的性质进行求解即可． 【解答】解：； ； ， 故答案为：，6，． 【点评】本题主要考查二次根式的性质和分母有理化，分母有理化是指把分母中的根号化去． 一十九．同类二次根式 36．（2024•宛城区校级开学）若最简二次根式与是同类二次根式，则　2.5　． 【分析】根据同类二次根式的定义列出方程组解答即可． 【解答】解：最简二次根式与是同类二次根式， ，解得． ． 故答案为：2.5． 【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 二十．二次根式的加减法 37．（2023秋•河源期末）计算：． 【分析】首先将和化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题主要考查了二次根式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 二十一．二次根式的混合运算 38．（2023秋•鼓楼区校级期末）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用二次根式的减法运算对选项进行判断；利用二次根式的加法运算对选项进行判断；利用二次根式的乘法法则对选项进行判断；利用二次根式的性质对选项进行判断． 【解答】解：．，所以选项符合题意； ．与不能合并，所以选项不符合题意； ．，所以选项不符合题意； ．，所以选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键． 二十二．二次根式的化简求值 39．（2024春•五莲县期末）若的整数部分为，小数部分为，则的值是　　 A． B．3 C． D． 【分析】首先根据的整数部分，确定的整数部分的值，则即可确定，然后代入所求解析式计算即可求解． 【解答】解： ， 的整数部分， 则小数部分是：， ， 则 ． 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是关键． 40．（2024•雁塔区校级开学）阅读材料，解答下列问题． 材料：我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉．比如遇到一样的式子，可以将其进一步化简：． 问题： （1）　　； （2）已知，求的值． 【分析】（1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）利用平方差公式得到，然后利用可得的值． 【解答】解：（1）原式 ； 故答案为：； （2）， 即， ． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．灵活应用平方差公式是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$