第17章 一元二次方程 章节整合练习（14个知识点+40题练习）- 2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第17章 一元二次方程 章节整合练习（14个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点2．一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点3．一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 知识点4．估算一元二次方程的近似解 用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 知识点5．解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点6．解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 知识点7．解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 知识点8．解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 知识点9．换元法解一元二次方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 知识点10．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 知识点11．根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 知识点12．由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 知识点13．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 知识点14．配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 章节题型整合练习 一．一元二次方程的定义 1．（2023秋•金山区校级月考）下列方程是关于的一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•浦东新区期中）已知关于的方程是一元二次方程，那么的取值范围是　　． 3．（2021秋•浦东新区校级月考）已知方程是关于的一元二次方程，求的值． 二．一元二次方程的一般形式 4．（静安区期中）一元二次方程的二次项系数与一次项分别是　　 A．3， B．， C．3， D．，． 5．一元二次方程化为一般形式为　　． 6．（闵行区校级月考）一元二次方程化成二项系数为正的一般式是 　　． 三．一元二次方程的解 7．（2021秋•杨浦区校级期中）已知为方程的一个根，则下列正确的是　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•徐汇区月考）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值等于 　　． 9．（浦东新区校级月考）是否存在某个实数，使得方程和有且只有一个共同根，如果存在，求出这个实数及两个方程的公共根；如果不存在，请说明理由． 四．估算一元二次方程的近似解 10．设，如表列出了与的6对对应值： 0 1 2 2 9 根据表格能够发现一元二次方程的一个解的大致范围是　　 A． B． C． D． 五．解一元二次方程-直接开平方法 11．（徐汇区期中）方程的根为　　 A． B． C．， D．， 12．（2022秋•闵行区校级期中）方程的根是 　　． 13．（2022秋•嘉定区期中）解方程：． 六．解一元二次方程-配方法 14．（2021秋•浦东新区期中）把方程化成的形式，下列变形正确的是　　 A． B． C． D． 15．（2021秋•金山区校级期中）一元二次方程的实数根是　　． 16．（2023秋•静安区校级期末）解方程：． 七．解一元二次方程-公式法 17．（2020秋•浦东新区校级期末）方程的解是　　 A．， B．， C．， D．， 18．（2020秋•金山区校级期中）方程的根是 　　． 19．（2023秋•静安区校级期末）解方程：． 八．解一元二次方程-因式分解法 20．（2022秋•徐汇区校级期中）已知为等腰三角形，已知它的两条边的长度分别是方程的两个根，那么该三角形的周长是　　 A．或6 B． C．5 D．6 21．（2023秋•虹口区校级期末）方程的根为 　　． 22．（2023秋•长宁区校级期末）解方程：． 九．换元法解一元二次方程 23．（上海期末）如果，那么的值为　　 A．1 B． C．1或 D．或3 24．（2020秋•浦东新区校级月考）若、为实数，且，则的值是 　　． 25．（2021秋•金山区校级期中）解方程：． 一十．根的判别式 26．（2023秋•静安区校级期末）下列关于的一元二次方程中一定没有实数根的是　　 A． B． C． D． 27．（2023秋•松江区期末）关于的一元二次方程的根的判别式的值为，则的值为 　　． 28．（2023秋•静安区校级期中）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个相等的实数根，试写出一组满足条件的、的值； （2）当，时，试判断方程根的情况． 一十一．根与系数的关系 29．（徐汇区校级月考）若方程的一个根大于1，另一个根小于1，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 30．（2023秋•松江区期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程为“差1方程”．例如是“差1方程”．若关于的一元二次方程是常数，且是“差1方程”，则的值为 　　． 31．（2022秋•静安区校级期中）数学家对一元二次方程经过漫长的探索．我国数学家赵爽在他的著作：《勾股圆方图注》对给出两根和、积的关系．请你跟随他的脚步开始你的探索之旅． （1）用，表示一元二次方程的两个实根，填写表格． 一元二次方程 0 ① ② ③ （2）数学家韦达对规律进行归纳：对于；若，则　　；　　（用含，，的代数式表示）． （3）设，是方程的两个实根，利用上述结论求的值． （4）类比探索，若一元三次方程可以转化为，则　　；　　（用含，，，的代数式表示）． 一十二．由实际问题抽象出一元二次方程 32．（2022秋•静安区校级期中）已知某商场一月份营业额为10万元，二月份经营不善，营业额减少，三月份开始菸顿，到四月份营业额为12.32万元．若三、四月份月增长率相同，设三月份的增长率为，则可以列出方程　　 A． B． C． D． 33．（2023秋•闵行区校级期末）某件商品原价为200元，经过两次促销降价后的价格为164元，如果连续两次降价的百分率相同，设两次降价的百分率都是，那么可以列出方程 　　． 34．（2022秋•松江区校级期中）某企业今年4月的工业总产值为450万元，第二季度总产值为1638万元，设4月、5月平均每月的增长率为，则可列方程 　　． 一十三．一元二次方程的应用 35．（2022秋•宝山区校级期中）容器内盛满60升纯酒精，倒出一部分后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，则第一次倒出了酒精多少升　　 A．10或96 B．10 C．96 D．26 36．（2023秋•闵行区期中）某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1200元降到588元，若每次降价的百分率相同，则平均每次降价的百分率为 　　． 37．（2023秋•徐汇区月考）如图，利用长20米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆34米，为了使大长方形的面积为96平方米，求大长方形的长和宽各为多少米？ 一十四．配方法的应用 38．已知实数，有，，，对于，，，有以下结论：①对任意实数，恒成立；②的最小值是；③若为正整数，则整数值有3个．其中正确的个数为　　 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 39．（浦东新区期中）配方：　　　 　． 40．在学习有关整式的知识时我们发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合上面的思考过程，运用此定义解决下列问题： （1）多项式关于　　对称； （2）若关于的多项式关于对称，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17章 一元二次方程 章节整合练习（14个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点2．一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点3．一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 知识点4．估算一元二次方程的近似解 用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 知识点5．解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点6．解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 知识点7．解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 知识点8．解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 知识点9．换元法解一元二次方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 知识点10．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 知识点11．根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 知识点12．由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 知识点13．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 知识点14．配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 章节题型整合练习 一．一元二次方程的定义 1．（2023秋•金山区校级月考）下列方程是关于的一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的次数是2的整式方程叫做一元二次方程，据此判断即可． 【解答】解：、不是整式方程，所以不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 、是一元二次方程，故此选项不符合题意； 、，整理得，是一元二次方程，故此选项符合题意； 、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解题的关键． 2．（2023秋•浦东新区期中）已知关于的方程是一元二次方程，那么的取值范围是　　． 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程． 【解答】解：由题意，得 ， 解得， 故答案为： 【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程． 3．（2021秋•浦东新区校级月考）已知方程是关于的一元二次方程，求的值． 【分析】根据一元二次方程的定义得出且，再求出答案即可． 【解答】解：方程是关于的一元二次方程， 且， 解得：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 二．一元二次方程的一般形式 4．（静安区期中）一元二次方程的二次项系数与一次项分别是　　 A．3， B．， C．3， D．，． 【分析】根据一元二次方程的一般形式是：，，是常数且，在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项即可得到答案． 【解答】解：一元二次方程的二次项系数是3，一次项是， 故选：． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式：，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 5．一元二次方程化为一般形式为　　． 【分析】把方程展开，移项、合并同类项后再根据一元二次方程的一般形式进行排列各项即可． 【解答】解：， 可化为：， 化为一元二次方程的一般形式为． 【点评】去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号． 6．（闵行区校级月考）一元二次方程化成二项系数为正的一般式是 　　． 【分析】直接利用多项式乘以多项式，进而得到一元二次方程一般形式． 【解答】解： ， 则， 故． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确整理为一般式是解题关键． 三．一元二次方程的解 7．（2021秋•杨浦区校级期中）已知为方程的一个根，则下列正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用一元二次方程解的定义，把代入方程，然后两边除以得到、的关系式． 【解答】解：把代入方程得， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 8．（2023秋•徐汇区月考）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值等于 　　． 【分析】根据一元二次方程的解得到，进而得到，，再把所求式子转化为，据此整体代入求解即可． 【解答】解：是关于的一元二次方程的一个根， ， ，， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的含义、分式的化简求值，解题的关键是根据方程的解的含义，将解代入原方程，从而求得代数式的解． 9．（浦东新区校级月考）是否存在某个实数，使得方程和有且只有一个共同根，如果存在，求出这个实数及两个方程的公共根；如果不存在，请说明理由． 【分析】联立两方程，解方程组即可求得共同的根，把根代入方程可求得的值． 【解答】解：存在． 由题意联立两方程可得，解得， 把代入可得， 即当时，两方程有公共根，公共根为1． 【点评】本题主要考查方程根的定义及解方程，联立方程求得的值是解题的关键． 四．估算一元二次方程的近似解 10．设，如表列出了与的6对对应值： 0 1 2 2 9 根据表格能够发现一元二次方程的一个解的大致范围是　　 A． B． C． D． 【分析】利用表中的对应值得到时，；时，，所以当在之间取某一个值时，，从而得到方程的一个解的大致范围． 【解答】解：当时，； 当时，， 当在之间取某一个值时，， 一元二次方程的一个解的大致范围是． 故选：． 【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．利用二次函数的增减性是解题关键． 五．解一元二次方程-直接开平方法 11．（徐汇区期中）方程的根为　　 A． B． C．， D．， 【分析】两边直接开平方法求解可得． 【解答】解：， 或， 解得：或， 故选：． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 12．（2022秋•闵行区校级期中）方程的根是 　，　． 【分析】把方程两边开方得到，然后解一次方程即可． 【解答】解：， ， 所以，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 13．（2022秋•嘉定区期中）解方程：． 【分析】先移项，再利用公式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可． 【解答】解：， ， 则，即， 或， 解得，． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 六．解一元二次方程-配方法 14．（2021秋•浦东新区期中）把方程化成的形式，下列变形正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后将方程的左边化成完全平方公式即可． 【解答】解：， ， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 15．（2021秋•金山区校级期中）一元二次方程的实数根是　　． 【分析】先把左边直接配方，得，直接开平方即可． 【解答】解：配方，得， 直接开平方，得， 方程的解为， 故答案为． 【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 16．（2023秋•静安区校级期末）解方程：． 【分析】先配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【解答】解：， 配方得：， ， 开方得：， 解得：，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方得出是解此题的关键． 七．解一元二次方程-公式法 17．（2020秋•浦东新区校级期末）方程的解是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】首先把方程化为一般形式，利用公式法即可求解． 【解答】解：， ， ， 化为， ，． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是公式法． 18．（2020秋•金山区校级期中）方程的根是 　，　． 【分析】利用因式分解法求解即可． 【解答】解：方程， 移项得：， 分解因式得：， 可得或， 解得：，， 故答案为：，． 【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 19．（2023秋•静安区校级期末）解方程：． 【分析】先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解． 【解答】解：方程化为一般式为， ，，， △， ， ，． 【点评】本题考查了解一元二次方程公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 八．解一元二次方程-因式分解法 20．（2022秋•徐汇区校级期中）已知为等腰三角形，已知它的两条边的长度分别是方程的两个根，那么该三角形的周长是　　 A．或6 B． C．5 D．6 【分析】先解方程，再根据等腰三角形的边的特点，分两种情况讨论，注意“两边之和大于第三边”这条原则． 【解答】解：， ， 解得，． ①当为腰时，则周长． ②当为腰时，因为，不符合三角形三边关系，故舍去； 三角形的周长为6． 故选：． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系及解一元二次方程的综合运用． 21．（2023秋•虹口区校级期末）方程的根为 　，　． 【分析】移项后再因式分解求得两根即可． 【解答】解：， ， 或， 解得，， 故答案为：，． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 22．（2023秋•长宁区校级期末）解方程：． 【分析】把方程看作关于的一元二次方程，利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：， ， ， 或， 所以，． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 九．换元法解一元二次方程 23．（上海期末）如果，那么的值为　　 A．1 B． C．1或 D．或3 【分析】在本题中有两个未知数，且通过观察最后结果，可采用换元法，把当成一个整体进行考虑． 【解答】解：设，则原方程变形为， 解得或． 故选． 【点评】此题主要是把当成一个整体，把求代数式的值的问题转化为解关于这个整体的方程，利用求根公式求解． 24．（2020秋•浦东新区校级月考）若、为实数，且，则的值是 　2　． 【分析】设，则原方程可化为，解得的值即可． 【解答】解：设，则原方程可化为， ， 解得：，， ， ， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了运用换元法解一元二次方程，解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 25．（2021秋•金山区校级期中）解方程：． 【分析】将看作整体，利用因式分解法求解可得． 【解答】解：， ， ，即， 或， ，． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 一十．根的判别式 26．（2023秋•静安区校级期末）下列关于的一元二次方程中一定没有实数根的是　　 A． B． C． D． 【分析】分别计算四个方程的根的判别式的值，然后利用根的判别式的意义判断方程根的情况即可． 【解答】解：．△，方程有两个不相等的实数根，所以选项不符合题意； ．△，方程有两个不相等的实数根，所以选项不符合题意； ．方程化为一般式为，△，方程有两个不相等的实数根，所以选项不符合题意； ．△，方程没有实数根，所以选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 27．（2023秋•松江区期末）关于的一元二次方程的根的判别式的值为，则的值为 　5　． 【分析】根据判别式的值，构建方程求解． 【解答】解：一元二次方程的根的判别式的值为， ， ． 故答案为：5． 【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 28．（2023秋•静安区校级期中）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个相等的实数根，试写出一组满足条件的、的值； （2）当，时，试判断方程根的情况． 【分析】（1）利用根的判别式的意义得到，然后取一值，从而得到对应的值； （2）利用和的范围可判断△，从而根据根的判别式的意义可判断根的情况． 【解答】解：（1）根据题意得△， 即， 当时，； （2），， ， 即△， 原方程没有实数解． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 一十一．根与系数的关系 29．（徐汇区校级月考）若方程的一个根大于1，另一个根小于1，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】先利用判别式的意义得到或设方程的两根为、，利用根与系数的关系得到，，再利用，得到， 则，然后解关于的不等式从而得到的范围． 【解答】解：根据题意得△， ， 或 设方程的两根为、，则，， ，，即，， ， 即， ，解得， 的范围为． 故选：． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． 30．（2023秋•松江区期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程为“差1方程”．例如是“差1方程”．若关于的一元二次方程是常数，且是“差1方程”，则的值为 　或　． 【分析】根据题意可得，可得，求得，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得，求得，从而可得，再解分式方程即可． 【解答】解：关于的一元二次方程是“差1方程”， ， ，即， ， ， 又， ，即， ， ，即， 解得或， 故答案为：或． 【点评】本题考查新定义、一元二次方程的根与系数的关系、解分式方程、完全平方公式，理解新定义求得，，是解题的关键． 31．（2022秋•静安区校级期中）数学家对一元二次方程经过漫长的探索．我国数学家赵爽在他的著作：《勾股圆方图注》对给出两根和、积的关系．请你跟随他的脚步开始你的探索之旅． （1）用，表示一元二次方程的两个实根，填写表格． 一元二次方程 0 ① ② ③ （2）数学家韦达对规律进行归纳：对于；若，则　　；　　（用含，，的代数式表示）． （3）设，是方程的两个实根，利用上述结论求的值． （4）类比探索，若一元三次方程可以转化为，则　　；　　（用含，，，的代数式表示）． 【分析】（1）根据根与系数的关系计算即可； （2）依据 根与系数关系解得即可； （3）将因式分解乘两根积与两根和的形式，代入计算即可． （4）根据恒等式可得和，变形即可得到答案． 【解答】解：（1）①，②，③． 所以：①，②，③； （2）；； 故答案为：，； （3），是方程的两个实根， ，． ； （4）， ， ， ， 故答案为：；． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系式解答本题的关键． 一十二．由实际问题抽象出一元二次方程 32．（2022秋•静安区校级期中）已知某商场一月份营业额为10万元，二月份经营不善，营业额减少，三月份开始菸顿，到四月份营业额为12.32万元．若三、四月份月增长率相同，设三月份的增长率为，则可以列出方程　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意可以列出相应的方程，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得， ， 故选：． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 33．（2023秋•闵行区校级期末）某件商品原价为200元，经过两次促销降价后的价格为164元，如果连续两次降价的百分率相同，设两次降价的百分率都是，那么可以列出方程 　　． 【分析】利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率），即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：依题意得． 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 34．（2022秋•松江区校级期中）某企业今年4月的工业总产值为450万元，第二季度总产值为1638万元，设4月、5月平均每月的增长率为，则可列方程 　　． 【分析】由题意可分别示出5月、6月的工业总产值，由等量关系：第二季度总产值为1638万元，即可列出方程． 【解答】解：5月、6月的工业总产值分别为万元、万元， 根据等量关系得：； 故答案为：． 【点评】本题考查了从实际问题抽象出一元二次方程，根据题意找出等量关系并列出方程是关键． 一十三．一元二次方程的应用 35．（2022秋•宝山区校级期中）容器内盛满60升纯酒精，倒出一部分后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，则第一次倒出了酒精多少升　　 A．10或96 B．10 C．96 D．26 【分析】设第一次倒出了酒精升，则第二次倒出溶液升，根据倒出两次后容器内纯酒精还剩下升，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设第一次倒出了酒精升，则第二次倒出溶液升， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 第一次倒出了酒精10升． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 36．（2023秋•闵行区期中）某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1200元降到588元，若每次降价的百分率相同，则平均每次降价的百分率为 　　． 【分析】设平均每次降价的百分率为，每个售价由原来的1200元降到588元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设平均每次降价的百分率为， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 即每次降价的百分率为， 故答案为：． 【点评】此题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 37．（2023秋•徐汇区月考）如图，利用长20米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆34米，为了使大长方形的面积为96平方米，求大长方形的长和宽各为多少米？ 【分析】设长为米，则长为米，根据大长方形的面积为96平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设长为米，则长为米，即米， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，（不合题意，舍去）； 当时，，符合题意； 答：大长方形的长为12米，宽为8米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 一十四．配方法的应用 38．已知实数，有，，，对于，，，有以下结论：①对任意实数，恒成立；②的最小值是；③若为正整数，则整数值有3个．其中正确的个数为　　 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【分析】由不等式性质可判断①，由配方法可判断②，由数的整除性可判断③． 【解答】解：， ，故①正确； ， 的最小值为，故②正确； 若为正整数，为整数，则或或， 整数可取2或或，共3个，故③正确； 正确的有①②③共3个； 故选：． 【点评】本题考查配方法的应用，涉及分式的值，不等式性质，解题的关键掌握相关运算的法则． 39．（浦东新区期中）配方：　　　 　． 【分析】原式左边第三项应为一次项系数3一半的平方，配方后即可得到等式右边为完全平方式，得到相应的结果． 【解答】解：． 故答案为：； 【点评】此题考查了配方法的应用，当二次三项式的二次项系数为1时，常数项为一次项系数一半的平方时，二次三项式能写出完全平方式． 40．在学习有关整式的知识时我们发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合上面的思考过程，运用此定义解决下列问题： （1）多项式关于　2　对称； （2）若关于的多项式关于对称，求的值． 【分析】（1）利用配方法可得，进行计算即可解答； （2）利用配方法可得，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）， 多项式关于对称， 故答案为：2； （2）， 多项式关于对称， 关于的多项式关于对称， ， ， 的值为． 【点评】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$