第10讲 解直角三角形的应用（4个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第10讲 解直角三角形的应用（4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 知识点2．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 知识点3．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 知识点4．解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 题型强化 题型一．解直角三角形的应用 1．（2023秋•虹口区期末）如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点到球心的长度为50厘米，小球在左、右两个最高位置时，细绳相应所成的角为，那么小球在最高位置和最低位置时的高度差为　　 A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 2．（2023秋•普陀区期末）如图，为了测量塔的高度，现选取两个测量点和（点、、在一条直线上），测得，．如果，那么塔高　　．（结果用含字母的代数式表示） 3．（2024•杨浦区三模）如图1是光的反射规律示意图，是入射光线，是反射光线，法线平面镜，入射角等于反射角． 如图2，水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板、挡板、平面镜，在挡板的正上方有一可上下移动的挡板（挡板的厚度都忽略不计）．已知厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，测得入射角为．（参考数据：， （1）点到平面镜的距离是 　　厘米． （2）移动挡板，使空隙的长度是20厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，求入射角的度数． （3）在（2）的条件下，如果从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上的最高点为，最低点为，那么的长度是 　　厘米． 题型二．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 4．（2020秋•虹口区期末）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那么该物体所经过的路程是　　 A．10米 B．24米 C．25米 D．26米 5．（2024•徐汇区三模）一斜坡的坡角为，坡长比坡高多100米，那么斜坡的高为 　　（用的锐角三角比表示）． 6．（2022秋•静安区校级期末）某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与层平行，层高为9米，、间的距离为6米，． （1）请问身高1.9米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在处会不会碰到头？请说明理由． （2）若采取中段平台设计（如图虚线所示）．已知平台，且段和段的坡度，求平台的长度． 【参考数据：，，】 题型三．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 7．（2023秋•普陀区月考）如图，已知直线为水平线，，从甲楼的楼顶处观测乙楼的楼顶处的俯角是　　 A． B． C． D． 8．（2024•徐汇区校级三模）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在处测得旗杆顶部的仰角为，，则旗杆的高度为 　　． 9．（2024•崇明区）如图，某校九年级兴趣小组在学习了解直角三角形知识后，开展了测量山坡上某棵大树高度的活动．已知小山的斜坡的坡度，在坡面处有一棵树（假设树垂直水平线，在坡底处测得树梢的仰角为，沿坡面方向前行30米到达处，测得树梢的仰角为．（点、、在一直线上） （1）求、两点的距离； （2）求树的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据： 题型四．解直角三角形的应用-方向角问题 10．（2020•徐汇区二模）如果从货船测得小岛在货船的北偏东方向500米处，那么从小岛看货船的位置，此时货船在小岛的　　 A．南偏西方向500米处 B．南偏西方向500米处 C．南偏西方向米处 D．南偏西方向米处 11．（2023秋•徐汇区期末）如图，一段东西向的限速公路长500米，在此公路的南面有一监测点，从监测点观察，限速公路的端点在监测点的北偏西方向，端点在监测点的东北方向，那么监测点到限速公路的距离是 　　米（结果保留根号）． 12．（2023秋•青浦区校级期中）如图，一艘军舰以每小时72海里的速度向东北方向（北偏东航行，在处观测灯塔在军舰的北偏东的方向，航行20分钟后到达处，这时灯塔恰好在军舰的正东方向．已知距离此灯塔55海里以外的海区为航行安全区域，这艘军舰是否可以继续沿东北方向航行？请说明理由．（参考数据：，，，，， 分层练习 一、单选题 1．如图，学校在小明家北偏西方向，且距小明家千米，那么学校所在位置点坐标为（ ） A． B． C． D． 2．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，电梯坡面BC的坡度i=1：，则电梯坡面BC的坡角α为（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 3．如图，在点A处测得某建筑物顶端B的仰角为，并测得点A至建筑物底部点C的水平距离为b，则建筑物的高度为（    ） A． B． C． D． 4．如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡向上行驶了米，则此时该小车离水平面的垂直高度为（    ） A．25米 B．米 C．30米 D．35米 5．如图，某中学九年级数学兴趣小组测量校内旗杆AB的高度，在C点测得旗杆顶端A的仰角∠BCA=30°，沿旗杆方向向前走了20米到达D点，在D点测得旗杆顶端A的仰角∠BDA=60°，则旗杆AB的高度是（     ） A．10米 B．10米 C．米 D．15米 6．如图，小强从热气球上测量一栋高楼顶部的仰角为30°，测量这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为45米，则这栋高楼高为多少（单位：米）（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．小明沿着坡比为1：2的山坡向上走了10m，则他升高了 cm． 8．小红沿坡比为的斜坡上走了100米，则她实际上升了 米． 9．某仓储中心有一斜坡AB，其坡比，顶部A处的高为4米，B、C在同一水平面上．则斜坡AB的水平宽度为 米．    10．如图是拦水坝的横断面，堤高BC为5米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为 米． 11．如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树间的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为 m（精确到0.1m）．（可能用到的数据≈1.41，≈1.73） 12．一架直升飞机执行海上搜救任务，在空中A处发现海面上有一目标B，仪器显示这时飞机距目标5km，俯角为30°，求这时飞机的飞行高度为 km． 13．如图，在点B处测得塔顶A的仰角为30°，点B到塔底C的水平距离BC是30m，那么塔AC的高度为 m（结果保留根号）． 14．如图，要测量楼房的高度，在热气球上的观测点处测得楼顶的俯角为，测得楼底的俯角为，热气球与楼房的水平距离为，则楼房的高度为 取，按四舍五入法将结果保留整数位 15．如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为，看这栋楼底部C的俯角β为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为 ．    16．如图，小亮为了测量校园里教学楼的高度，将测角仪竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为，测得教学楼的顶部处的仰角为，则教学楼的高度是 ． 17．图①表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10cm．图②表示当钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16cm，若钟面显示3点55分时，A点距桌面的高度为 ． 18．为出行方便，近日来越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，点，，在同一条直线上，点，，在同一条直线上，坐垫可沿射线方向调节．已知，，，车轮半径为，．小明体验后觉得当坐垫离地面高度为时骑着比较舒适，此时的长约为 ．(结果精确到，参考数据：，，) 三、解答题 19．已知小玫家、学校、妈妈工作单位分别位于点A、B、C处，点B在点A的北偏西方向上，点C在点B的北偏东方向上，且千米，千米．某天妈妈从家送小玫上学，然后到单位领取文件后回家（途中上下楼路程忽略不计），求妈妈从离家到回家全程所走的路程．（参考数据：，，，，，，，，） 20．为支持潍坊第届国际风筝会举办，我市某社会团体组织自行车骑行爱好者进行骑行宣传活动．某市民骑自行车由潍坊北辰湿地公园地出发，途经地去往地，如图．当他由地出发时，发现他的北偏东方向有一信号发射塔．他由地沿正东方向骑行到达地，此时发现信号塔在他的北偏东方向，然后他由地沿北偏东方向骑行到达地．    (1)求地与信号发射塔之间的距离； (2)求地与信号发射塔之间的距离．（计算结果保留根号） 21．某数学社团开展实践性研究，测量翠岛湖公园的信号塔．小明站在点处仰望塔顶，测得仰角为，小明沿着坡向下走了13米后，到达了处，坡的坡度为5：12，从到塔底的距离为75米，请帮助小明计算信号塔的高度． 22．图①是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图②，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离、身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？（精确到，参考数据：，） 23．综合与实践活动中，某数学兴趣小组利用所学的知识测量矩形广告牌的高度． 如图，在地面处测得广告牌顶端顶点的仰角为，走向广告牌到达处，在处测得广告牌低端顶点的仰角为，已知，立柱垂直于，且点，，在同一条水平直线上．（矩形广告牌与立柱垂直）过点作，垂足为．设（单位：）．      (1)用含有和的式子表示线段的长； (2)求广告牌低端顶点到地面的距离的长．（取，结果取整数） 24．如图，平顶山市鲁山县的中原大佛是世界上最高的佛教造像．它由莆田兴胜工艺、国家非物质文化遗产技艺传承人、福建省工艺美术大师协会副会长林胜标大师于年设计制作．中原大佛坐落须弥座、金刚座和莲花座之上．某无人机兴趣小组利用周末时间测量中原大佛的身高，测量场景抽象出的示意图如图．在无人机在与中原大佛脚底齐平的水平线的点处，测得中原大佛的顶部的仰角是．无人机沿水平线向前飞行米至点处，测得中原大佛的顶部的仰角是．请你计算中原大佛的身高．（注：点在同一水平线上．参考数据：结果保留整数） 25．某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：         (1)探究原理 制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合(如图①)，绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线(如图②)，此时目标P的仰角．请求证这两个角相等． (2)拓展应用 公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH(如图④)，同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E、F(E、F、H在同一直线上)，分别测得点P的仰角、，再测得E、F间的距离2米，点、到地面的距离、均为米．求． 26．西安人民大厦是我国著名的大型庭院式园林宾馆之一，其整体建筑采用中国古典院落的中轴对称布局，又完美结合欧式古典建筑手法，是西安近现代建筑的经典之作．某校科技小组开展了测量该大厦高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告． 活动课题 测量西安人民大厦的高度 活动目的 运用三角函数解决实际问题 活动工具 测角仪、皮尺等测量工具 方案示意图    测量过程 如图，无人机在空中水平飞行，当飞行到点A时测得大厦尖C的俯角，无人机沿方向飞过大厦到达点B时，测得大厦尖C的俯角 测量数据 无人机在A处时到地面的距离为61米，米， 说明 与地面平行，，点A，B，C，D，M，N均在同一平面内 请你根据实践报告求出该大厦的高度．（参考数据） 27．新学期，小华和小明被选为升旗手，为了更好地完成升旗任务，他们将“测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动进行研究，活动报告如下： 课题 测量学校旗杆的高度 测量人员 小明 小华 测量工具 测角仪， 皮尺， 无人机 测角仪，皮尺 测量方案示意图 说明 如图1，在距离旗杆一定水平距离的B处， 无人机垂直上升到A处，测得D点的仰角为，C点的俯角为（图中各点均在同一竖直平面内） ． 如图2，为旗杆，，为同一测角仪，在测量点A，E测得点 D 的仰角分别为， （图中各点均在同一竖直平面内，点B， F， C在同一条直线上） ． 测量数据 ，， ，，， 参考数据 ， ， ，， (1)按照小明的方案，可求得旗杆的高度约为_______（结果保留整数）； (2)按照小华的方案，求出旗杆的高度 （写清楚计算过程，结果保留整数）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 解直角三角形的应用（4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 知识点2．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 知识点3．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 知识点4．解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 题型强化 题型一．解直角三角形的应用 1．（2023秋•虹口区期末）如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点到球心的长度为50厘米，小球在左、右两个最高位置时，细绳相应所成的角为，那么小球在最高位置和最低位置时的高度差为　　 A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【分析】当小球在最高位置时，过小球作小球位置最低时细绳的垂线，在构建的直角三角形中，可根据偏转角的度数和细绳的长度，求出小球最低位置时的铅直高度，进而可求出小球在最高位置与最低位置时的高度差． 【解答】解：如图：过作于， 中，厘米，， ． （厘米）． 故选：． 【点评】此题考查了解直角三角形的应用，三角函数的基本概念，主要是余弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算． 2．（2023秋•普陀区期末）如图，为了测量塔的高度，现选取两个测量点和（点、、在一条直线上），测得，．如果，那么塔高　　．（结果用含字母的代数式表示） 【分析】根据三角形内角和定理求出，进而根据等腰三角形的判定得出，再在直角三角形中，由30度角所对的直角边等于斜边一半即可． 【解答】解：，， ， ， 在中，，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握等腰三角形的判定和性质，直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 3．（2024•杨浦区三模）如图1是光的反射规律示意图，是入射光线，是反射光线，法线平面镜，入射角等于反射角． 如图2，水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板、挡板、平面镜，在挡板的正上方有一可上下移动的挡板（挡板的厚度都忽略不计）．已知厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，测得入射角为．（参考数据：， （1）点到平面镜的距离是 　40　厘米． （2）移动挡板，使空隙的长度是20厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，求入射角的度数． （3）在（2）的条件下，如果从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上的最高点为，最低点为，那么的长度是 　　厘米． 【分析】（1）作于点，且，得出，则，根据等腰三角形三线合一可得，进而解直角三角形，即可求解； （2）作于，使得，得出 是等腰直角三角形，进而即可求解； （3）作关于的对称点，连接，并延长交，分别为，，得出△△，△△，根据相似三角形的性质，即可求解． 【解答】解：（1）如图1所示，作于点，且， ， ， ， ， 故答案为：40； （2）如图2所示，作于，使得， 同理可得， ，， 是等腰直角三角形， ， 则入射角为； （3）如图所示，作关于的对称点，连接，并延长交分别为，， ，， ， △△，△△， ，． ，， ， 故答案为：35． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，轴对称的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握轴对称的 性质是解题的关键． 题型二．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 4．（2020秋•虹口区期末）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那么该物体所经过的路程是　　 A．10米 B．24米 C．25米 D．26米 【分析】根据坡度的概念求出，根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】解：作于， 由题意得，米， 斜坡的坡度， ，即， 解得，， 由勾股定理得，（米， 故选：． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 5．（2024•徐汇区三模）一斜坡的坡角为，坡长比坡高多100米，那么斜坡的高为 　米　（用的锐角三角比表示）． 【分析】设斜坡的高为米，根据正弦的定义用表示出，根据题意列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：设斜坡的高为米， 在中，， ， 米， 由题意得：， 解得：， 故答案为：米． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 6．（2022秋•静安区校级期末）某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与层平行，层高为9米，、间的距离为6米，． （1）请问身高1.9米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在处会不会碰到头？请说明理由． （2）若采取中段平台设计（如图虚线所示）．已知平台，且段和段的坡度，求平台的长度． 【参考数据：，，】 【分析】（1）先过点作，交于点，根据，，得出，再根据正切定理求出的长，然后与人的身高进行比较，即可得出答案； （2）根据的长求出，再过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，设，则，根据段和段的坡度，求出和的长，最后根据，即可求出答案． 【解答】解：（1）过点作，交于点， ，， ， 不会碰到头部； （2）， ， 过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 设，则， 段和段的坡度， ，， ， （米． 【点评】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度角，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形． 题型三．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 7．（2023秋•普陀区月考）如图，已知直线为水平线，，从甲楼的楼顶处观测乙楼的楼顶处的俯角是　　 A． B． C． D． 【分析】根据俯角是往下看，观测者的视线与水平线的夹角即为俯角，结合图形，即可求解． 【解答】解：直线为水平线，， 从甲楼的楼顶处观测乙楼的楼顶处的俯角是， 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确记忆相关知识点是解题关键． 8．（2024•徐汇区校级三模）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在处测得旗杆顶部的仰角为，，则旗杆的高度为 　　． 【分析】依据题意，直接利用锐角三角函数关系即可计算得解． 【解答】解：由题意可得：， 又， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用仰角俯角，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 9．（2024•崇明区）如图，某校九年级兴趣小组在学习了解直角三角形知识后，开展了测量山坡上某棵大树高度的活动．已知小山的斜坡的坡度，在坡面处有一棵树（假设树垂直水平线，在坡底处测得树梢的仰角为，沿坡面方向前行30米到达处，测得树梢的仰角为．（点、、在一直线上） （1）求、两点的距离； （2）求树的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据： 【分析】（1）延长交于点，交于点，根据题意可得：，，米，，，从而可得，再根据已知易得：在中，，从而可得，然后利用平行线的性质可得，从而可得，，再利用三角形的外角性质可得，从而可得米，即可解答； （2）在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）延长交于点，交于点， 由题意得：，，米，，， ， 小山的斜坡的坡度， ， 在中，， ， ， ， ，， 是的一个外角， ， ， 米， 、两点的距离为30米； （2）在中，，米， （米， （米， 在中，， （米， （米， 树的高度约为17.3米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 题型四．解直角三角形的应用-方向角问题 10．（2020•徐汇区二模）如果从货船测得小岛在货船的北偏东方向500米处，那么从小岛看货船的位置，此时货船在小岛的　　 A．南偏西方向500米处 B．南偏西方向500米处 C．南偏西方向米处 D．南偏西方向米处 【分析】根据方位角画出图形解答即可． 【解答】解：如图所示： 小岛在货船的北偏东方向500米处， 货船在小岛的南偏西方向500米处， 故选：． 【点评】此题考查解直角三角形的方位角问题，关键是根据题意画出图形解答． 11．（2023秋•徐汇区期末）如图，一段东西向的限速公路长500米，在此公路的南面有一监测点，从监测点观察，限速公路的端点在监测点的北偏西方向，端点在监测点的东北方向，那么监测点到限速公路的距离是 　　米（结果保留根号）． 【分析】过点作于点，则，设米，证是等腰直角三角形，得米，再由锐角三角函数定义得米，然后由，求出，即可得出结论． 【解答】解：如图，过点作于点， 则， 设米， 由题意可知，，， 是等腰直角三角形， 米， ， （米， ， ， 解得：， 即监测点到限速公路的距离是米， 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 12．（2023秋•青浦区校级期中）如图，一艘军舰以每小时72海里的速度向东北方向（北偏东航行，在处观测灯塔在军舰的北偏东的方向，航行20分钟后到达处，这时灯塔恰好在军舰的正东方向．已知距离此灯塔55海里以外的海区为航行安全区域，这艘军舰是否可以继续沿东北方向航行？请说明理由．（参考数据：，，，，， 【分析】过点作，交的延长线于点，设海里，则（海里），解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：可以，理由如下： 过点作，交的延长线于点， 设海里，则（海里）， 在直角中，， 在直角中，， ， ， ， ， 可以继续沿东北方向航行． 【点评】此题考查了解直角三角形的应用方向角问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意能借助于方向角构造直角三角形并解此直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用． 分层练习 一、单选题 1．如图，学校在小明家北偏西方向，且距小明家千米，那么学校所在位置点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用方位角求得对应角度，再利用直角三角形中的勾股定理求三角形的对应边，即可求得A点坐标． 【详解】∵学校在小明家北偏西30方向,且距小明家6千米, ∴∠BOA=30，OA=6. ∵∠ABO=90， ∴AB=3,OB=3. 即A点坐标为(−3,3). 故选D. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题,将实际问题转化为直角三角形是解题的关键. 2．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，电梯坡面BC的坡度i=1：，则电梯坡面BC的坡角α为（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】B 【分析】根据坡比的值等于坡角的正切值，据此即可求得坡角． 【详解】解：tanα=i=1:， 则∠α=30°． 故选B． 【点睛】本题考查了坡度与坡角，理解坡比的值等于坡角的正切值是关键． 3．如图，在点A处测得某建筑物顶端B的仰角为，并测得点A至建筑物底部点C的水平距离为b，则建筑物的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， 熟记正切函数的定义是解决问题的关键. 【详解】由题意得，在中,， ， ， 故选: D. 4．如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡向上行驶了米，则此时该小车离水平面的垂直高度为（    ） A．25米 B．米 C．30米 D．35米 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡比问题，设此时小车离水平面的垂直高度为米，则水平前进了米，由题意得出，求解即可得出答案． 【详解】解：斜坡的坡度为， 设此时小车离水平面的垂直高度为米，则水平前进了米， 由题意得：， 解得：， 此时该小车离水平面的垂直高度为25米， 故选：A． 5．如图，某中学九年级数学兴趣小组测量校内旗杆AB的高度，在C点测得旗杆顶端A的仰角∠BCA=30°，沿旗杆方向向前走了20米到达D点，在D点测得旗杆顶端A的仰角∠BDA=60°，则旗杆AB的高度是（     ） A．10米 B．10米 C．米 D．15米 【答案】B 【分析】根据三角形的外角性质得到∠DAC＝∠C，根据等腰三角形的性质得到AD＝CD，根据正弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：由题意得，∠ADB＝60°，∠C＝30°，CD＝20， ∴∠DAC＝∠ADB−∠C＝30°， ∴∠DAC＝∠C， ∴AD＝CD＝20， ∴AB＝AD•sin∠ADB＝10（米）， 故选B． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 6．如图，小强从热气球上测量一栋高楼顶部的仰角为30°，测量这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为45米，则这栋高楼高为多少（单位：米）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过A作AD⊥BC，垂足为D，在直角△ABD与直角△ACD中，根据三角函数即可求得BD和CD，即可求解． 【详解】过A作AD⊥BC，垂足为D， 在Rt△ABD中， ∵∠BAD=30°，AD=45m， ∴BD=AD•tan30°=45×=15m， 在Rt△ACD中， ∵∠CAD=60°，AD=45m， ∴CD=AD•tan60°=45×=45m， BC=15+45=60m． 故选D． 【点睛】本题主要考查了仰角与俯角的计算，一般三角形的计算，常用的方法是利用作高线转化为直角三角形的计算． 二、填空题 7．小明沿着坡比为1：2的山坡向上走了10m，则他升高了 cm． 【答案】 【分析】根据坡比等于坡角的正切值，以及正切的定义可设升高了，则水平距离为，再根据勾股定理求得答案． 【详解】解：设升高了，根据坡比为1：2，可得水平距离为， ∴由勾股定理得， 解得． 即升高了，转化单位后为： 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，坡度坡角问题，熟练掌握坡比等于坡角的正切是解题的关键． 8．小红沿坡比为的斜坡上走了100米，则她实际上升了 米． 【答案】50 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，此题关键是用同一未知数表示出上升高度和水平前进距离.根据题意设铅直距离为x，则水平距离为，根据勾股定理求出x的值，即可得到结果． 【详解】解：设垂直距离为x米，则水平距离为米， 根据题意得：， 解得：（负值舍去）， ∴她实际上升了50米， 故答案为：50 9．某仓储中心有一斜坡AB，其坡比，顶部A处的高为4米，B、C在同一水平面上．则斜坡AB的水平宽度为 米．    【答案】8 【分析】根据坡比即可求解． 【详解】解：由题意结合坡比，代入， ∴米， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了坡比的定义，属于基础题，熟练掌握坡比定义即可． 10．如图是拦水坝的横断面，堤高BC为5米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为 米． 【答案】 【分析】根据斜面坡度为1：2，堤高BC为5米，可得AC=10m，然后利用勾股定理求出AB的长度． 【详解】解：∵斜面坡度为1：2，BC=5， ∴AC=10， 则在Rt△ABC中，AB=米． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解． 11．如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树间的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为 m（精确到0.1m）．（可能用到的数据≈1.41，≈1.73） 【答案】2.3 【分析】利用特殊直角三角形中的三角函数值，三角函数定义，即可求解 【详解】解：∵∠BCA=90°， ∴cos∠BAC=． ∵∠BAC=30°，AC=2， ∴AB=≈2.3． 答∶相邻两棵树的斜坡距离AB约为2.3m． 故答案为：2.3 12．一架直升飞机执行海上搜救任务，在空中A处发现海面上有一目标B，仪器显示这时飞机距目标5km，俯角为30°，求这时飞机的飞行高度为 km． 【答案】2.5 【分析】根据题意求出∠B，根据正弦的定义解答即可． 【详解】解： 由题意得,∠B=∠α= 30°， 在Rt△ABC中，AC=AB⋅sinB=2.5km， 故答案为2.5. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角和俯角问题，解题关键是熟练掌握三角函数定义. 13．如图，在点B处测得塔顶A的仰角为30°，点B到塔底C的水平距离BC是30m，那么塔AC的高度为 m（结果保留根号）． 【答案】 【详解】分析：根据三角函数和直角三角形的性质解答即可． 详解：∵在点B处测得塔顶A的仰角为30°， ∴∠B=30°， ∵BC=30m， ∴tan∠B= ∴AC=BC＝30×＝10m， 故答案为10. 点睛：此题考查了考查仰角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用． 14．如图，要测量楼房的高度，在热气球上的观测点处测得楼顶的俯角为，测得楼底的俯角为，热气球与楼房的水平距离为，则楼房的高度为 取，按四舍五入法将结果保留整数位 【答案】 【分析】过作于，求这栋楼的高度，即的长度，根据，在和中分别求出，就可以． 【详解】解：过作于， ， ， ， ， 在中，，，， ，． 在中，，， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了利用三角函数解直角三角形，掌握三角函数的定义是解题的关键． 15．如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为，看这栋楼底部C的俯角β为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为 ．    【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，作于点D，利用三角函数分别解和即可． 【详解】解：如图，作于点D，则，    在中，， ， 在中，， ， ， 即这栋楼的高度为， 故答案为：． 16．如图，小亮为了测量校园里教学楼的高度，将测角仪竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为，测得教学楼的顶部处的仰角为，则教学楼的高度是 ． 【答案】20 【分析】作于E，根据正切的定义求出AE，解答即可． 【详解】解：过作， 在处测得教学楼的顶部的仰角为， ， ， ， ， 故答案为：20． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键． 17．图①表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10cm．图②表示当钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16cm，若钟面显示3点55分时，A点距桌面的高度为 ． 【答案】 【分析】根据当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分得出AD＝10，进而得出A′C＝16，从而得出FA″＝3，得出答案即可． 【详解】解：∵当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分． ∴AD＝10， ∵钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16公分， ∴A′C＝16， ∴AO＝A″O＝6， 则钟面显示3点55分时， ∠A″OA′＝60°， 在Rt△A″OA′中，sin∠A″OA′＝ ∴FA″＝3， ∴A点距桌面的高度为（16+3）公分． 故答案为：16+3． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形以及钟面角，得出∠A′OA＝60°，进而得出FA″＝3是解决问题的关键． 18．为出行方便，近日来越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，点，，在同一条直线上，点，，在同一条直线上，坐垫可沿射线方向调节．已知，，，车轮半径为，．小明体验后觉得当坐垫离地面高度为时骑着比较舒适，此时的长约为 ．(结果精确到，参考数据：，，) 【答案】 【分析】过点作，交于，交地面于，构造直角三角形，利用三角函数，求出，再用减去即可． 【详解】解：过点作，交于，交地面于 由题意可知，当时， 在中，， ， ， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，将所给角放到直角三角形中是解题的关键． 三、解答题 19．已知小玫家、学校、妈妈工作单位分别位于点A、B、C处，点B在点A的北偏西方向上，点C在点B的北偏东方向上，且千米，千米．某天妈妈从家送小玫上学，然后到单位领取文件后回家（途中上下楼路程忽略不计），求妈妈从离家到回家全程所走的路程．（参考数据：，，，，，，，，） 【答案】总路程为千米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线，熟练掌握三角函数的相关知识是解题的关键． 过A点作交于点D，先求出，然后解，再对运用勾股定理即可． 【详解】解：如图，过A点作交于点D，则， 由题得：，，， ∴， 则， ∴在中，，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴总路程为千米． 20．为支持潍坊第届国际风筝会举办，我市某社会团体组织自行车骑行爱好者进行骑行宣传活动．某市民骑自行车由潍坊北辰湿地公园地出发，途经地去往地，如图．当他由地出发时，发现他的北偏东方向有一信号发射塔．他由地沿正东方向骑行到达地，此时发现信号塔在他的北偏东方向，然后他由地沿北偏东方向骑行到达地．    (1)求地与信号发射塔之间的距离； (2)求地与信号发射塔之间的距离．（计算结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理．解题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的问题．（1）根据题意得出，，，过点作于点，根据锐角三角函数求得，求得，根据锐角三角函数求得，即可求解； （2）根据锐角三角函数求得，过点作于，求得，根据锐角三角函数求得，，结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：依题意知：，，，过点作于点，如图：    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 过点作于，    ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 21．某数学社团开展实践性研究，测量翠岛湖公园的信号塔．小明站在点处仰望塔顶，测得仰角为，小明沿着坡向下走了13米后，到达了处，坡的坡度为5：12，从到塔底的距离为75米，请帮助小明计算信号塔的高度． 【答案】 【分析】过点作于点，作交的延长线与点得四边形DEBF是矩形，解得BF=DE=5m，解得AF，从而可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点，作交的延长线与点． ∵ ∴四边形DEBF是矩形 ∴， ∵坡的坡度为5：12 ∴设， 在中，   ∵ ∴ 解得， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵在直角中，∵，， ∵， ∴， ∴． 答：信号塔的高为78.08米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 22．图①是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图②，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离、身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？（精确到，参考数据：，） 【答案】小杜最少需要下蹲才能被识别 【分析】根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，从而求出蹲下的高度． 【详解】解：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示，    ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形，， ∴，， 在中，． ． ， ． ． ，， 小杜下蹲的最小距离． ∴小杜最少需要下蹲才能被识别． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，涉及到的知识点有锐角三角函数中的正切值、矩形的性质、三角形的全等，解题的关键在于是否能根据生活实际题结合数学相关知识．解题的重点在于熟练掌握相关概念、性质和全等方法． 23．综合与实践活动中，某数学兴趣小组利用所学的知识测量矩形广告牌的高度． 如图，在地面处测得广告牌顶端顶点的仰角为，走向广告牌到达处，在处测得广告牌低端顶点的仰角为，已知，立柱垂直于，且点，，在同一条水平直线上．（矩形广告牌与立柱垂直）过点作，垂足为．设（单位：）．      (1)用含有和的式子表示线段的长； (2)求广告牌低端顶点到地面的距离的长．（取，结果取整数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用： （1）直接解直角三角形即可得到答案； （2）解法一：先解得到，再由得到，代值计算即可；解法二：先解得到，则，进而得到，代值计算即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ． （2）解：解法一：在中，，， ． ， ．即． 解得． 答：广告牌低端顶点到地面的距离的长约为． 解法二：： 在中，，， ． 在中，，， ， ． 答：广告牌低端顶点到地面的距离的长约为． 24．如图，平顶山市鲁山县的中原大佛是世界上最高的佛教造像．它由莆田兴胜工艺、国家非物质文化遗产技艺传承人、福建省工艺美术大师协会副会长林胜标大师于年设计制作．中原大佛坐落须弥座、金刚座和莲花座之上．某无人机兴趣小组利用周末时间测量中原大佛的身高，测量场景抽象出的示意图如图．在无人机在与中原大佛脚底齐平的水平线的点处，测得中原大佛的顶部的仰角是．无人机沿水平线向前飞行米至点处，测得中原大佛的顶部的仰角是．请你计算中原大佛的身高．（注：点在同一水平线上．参考数据：结果保留整数） 【答案】原大佛的身高约为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角问题，由题意得，，，米，则，在中，代入求解即可，掌握解直角三角形的方法是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，米， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：原大佛的身高约为米． 25．某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：         (1)探究原理 制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合(如图①)，绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线(如图②)，此时目标P的仰角．请求证这两个角相等． (2)拓展应用 公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH(如图④)，同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E、F(E、F、H在同一直线上)，分别测得点P的仰角、，再测得E、F间的距离2米，点、到地面的距离、均为米．求． 【答案】(1)见解析 (2)米 【分析】本题考查解直角三角形—仰角、俯角问题 （1）根据图形和同角的余角相等可以说明理由； （2）根据锐角三角函数和题目中的数据，可以求出． 【详解】（1）证明，， ， ； （2）解：由题意可得， ，米， 由图可得，，， ，， ， ， ， 米． 故的 值为米． 26．西安人民大厦是我国著名的大型庭院式园林宾馆之一，其整体建筑采用中国古典院落的中轴对称布局，又完美结合欧式古典建筑手法，是西安近现代建筑的经典之作．某校科技小组开展了测量该大厦高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告． 活动课题 测量西安人民大厦的高度 活动目的 运用三角函数解决实际问题 活动工具 测角仪、皮尺等测量工具 方案示意图    测量过程 如图，无人机在空中水平飞行，当飞行到点A时测得大厦尖C的俯角，无人机沿方向飞过大厦到达点B时，测得大厦尖C的俯角 测量数据 无人机在A处时到地面的距离为61米，米， 说明 与地面平行，，点A，B，C，D，M，N均在同一平面内 请你根据实践报告求出该大厦的高度．（参考数据） 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，延长交于E，设，先证明，再解得到，解得到，进而得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长交于E， 设， ∵， ∴， 由题意得，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴该大厦的高度为．    27．新学期，小华和小明被选为升旗手，为了更好地完成升旗任务，他们将“测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动进行研究，活动报告如下： 课题 测量学校旗杆的高度 测量人员 小明 小华 测量工具 测角仪， 皮尺， 无人机 测角仪，皮尺 测量方案示意图 说明 如图1，在距离旗杆一定水平距离的B处， 无人机垂直上升到A处，测得D点的仰角为，C点的俯角为（图中各点均在同一竖直平面内） ． 如图2，为旗杆，，为同一测角仪，在测量点A，E测得点 D 的仰角分别为， （图中各点均在同一竖直平面内，点B， F， C在同一条直线上） ． 测量数据 ，， ，，， 参考数据 ， ， ，， (1)按照小明的方案，可求得旗杆的高度约为_______（结果保留整数）； (2)按照小华的方案，求出旗杆的高度 （写清楚计算过程，结果保留整数）． 【答案】(1)18 (2)旗杆的高约为18米 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，深入理解题意，把实际问题转化成数学问题是解决问题的关键． （1）过A作于E，得到，解直角三角形即可得到结论； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，设米，得到，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）解：（1）过A作于E， 则， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：18； （2）在中，， ∴， ∴， 设米， 根据题意得，四边形为矩形， ∴， 则， 在中，，， ∴， 解得：， ∵平行线间的距离处处相等， ∴米， ∴（米）， 答：旗杆的高约为18米． 学科网（北京）股份有限公司 $$