2.2.3 直线的一般式方程（教学课件）数学湘教版2019选择性必修第一册

湘教版2019高一数学（选修一） 第二章 平面解析几何初步 2.2 直线的方程 2.2.3 直线的一般式方程 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 随堂检测 错因分析 学习目标 1.直线的一般式方程（重点） 2.理解二元一次方程能表示所有直线（重点、难点） 3.掌握各直线方程形式之间的转化（重点） 直线的方程 名称 已知条件 方程 适用范围 点斜式 过点 P0(x0， y0)，斜率为 k 斜截式 纵截距为 b， 斜率为 k 两点式 过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) 截距式 横截距和纵截距分别为 a 和 b y －y0 = k (x－x0) y = k x + b (y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)=0 不表示垂直x轴的直线 即斜率不存在的直线 所有直线 不表示垂直于坐标轴和经过原点的直线 不表示垂直x轴的直线 即斜率不存在的直线 复习导入 4 情景导入 前面我们学习了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，可以发现它们都是二元一次方程.现在请同学们思考一下，在平面直角坐标系中的每一条直线是否都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示呢？ 问题1　平面直角坐标系中的任何一条直线的方程都是关于x，y的二元一次方程吗？ 新知探究 直线的一般式方程 当直线与x轴不垂直时，直线的斜率存在，于是经过点P1(x1，y1)，斜率为k的直线的方程为y－y1＝k(x－x1)，即kx－y＋y1－kx1＝0，此方程是关于x，y的二元一次方程. 当直线与x轴垂直时，直线的斜率不存在，于是经过点P1(x1，y1)的直线的方程为x＝x1，即x＋0·y－x1＝0，此方程也可看作是关于x，y的二元一次方程. 因此，平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)来表示. 问题2　每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示平面直角坐标系中的一条直线吗？ 因此，在平面直角坐标系中，关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示一条直线. 平面直角坐标系中任意一条直线都可以用关于x，y的二元一次方程 Ax十By+C=0（A，B不同时为0）来表示． 关于x，y的二元一次方程都表示一条直线． 我们把方程 Ax十By+C=0（A，B不同时为0） 称为直线的一般式方程，简称一般式． 概念归纳 8 例6已知直线 l 的方程为3x十4y－12=0． （1）求直线 l 的斜率； （2）求直线 l 与两条坐标轴所围成的三角形的面积． 解： （1）将直线 l 的一般式方程化为斜截式，得到 因此直线 l 的斜率为 ． 课本例题 9 例6 已知直线 l 的方程为3x十4y－12=0． （2）求直线 l 与两条坐标轴所围成的三角形的面积． 解：方法一：（2）如图，设直线 l 交x轴于点A(a，0)， 交y轴于点B(0，b)． 对于直线方程3x十4y－12=0，令y=0，得x=4； 令x =0，得y=3． 于是得a=4，b=3 ． 因此 10 例6 已知直线 l 的方程为3x十4y－12=0． （2）求直线 l 与两条坐标轴所围成的三角形的面积． 解：方法二：（2）设直线 l 交x轴于点A(a，0)，交y轴于点B(0，b)． 将直线的一般式方程3x十4y－12=0化为截距式， 得到： 于是得a=4，b=3 ． 因此 11 课堂练习：课本第67页 典例剖析 题型1　求直线的一般式方程 例1　根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式． (1)斜率是－，经过点A(8，－2)； (2)经过点B(4，2)，平行于x轴； (3)在x轴和y轴上的截距分别是，－3； (4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)． 解析：选择合适的直线方程形式． (1)由点斜式得y－(－2)＝－(x－8)， 即x＋2y－4＝0. (2)由斜截式得y＝2，即y－2＝0. (3)由截距式得＝1，即2x－y－3＝0. (4)由两点式得＝，即x＋y－1＝0. 求直线的一般式方程的策略 归纳总结 【变式练】(1)过点P(－2，3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是(　　) A．x－y＋1＝0 B．x－y＋1＝0或3x＋2y＝0 C．x－y－5＝0 D．x－y＋5＝0或3x＋2y＝0 D 解析：若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为y＝kx(x≠0)， 因为直线过点P(－2，3)，所以3＝－2k，即k＝－， 所以直线方程为y＝－x，即3x＋2y＝0； 若直线在坐标轴上的截距不为0，设直线方程为＝1(a≠0)， 因为直线过点P(－2，3)，所以＝1，解得a＝－5， 所以直线方程为＝1，即x－y＋5＝0. 故所求直线方程为x－y＋5＝0或3x＋2y＝0. (2)过点A(－2，1)，且倾斜角的余弦值为－的直线的一般式方程为______________． 2x＋y＋3＝0 解析：设直线的倾斜角为θ，则θ∈[0，π)， 因为cos θ＝－，所以sin α＝＝＝， 所以直线的斜率k＝tan θ＝＝＝－2， 所以直线的方程为y－1＝－2(x＋2)， 所以直线的一般式方程为2x＋y＋3＝0. 题型2　用直线的一般式方程解决直线与坐标轴形成三角形问题 例2　设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)，若a＞－1，直线l与x，y轴分别交于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN面积取最小值时，直线l的方程． 解析：令y＝0，求得M点坐标为M(，0)， 令x＝0，求得N点坐标为N(0，2＋a)， ∵a＞－1，∴S△OMN＝··(2＋a)＝＝(a＋1＋＋2)≥2， 当且仅当a＋1＝，即a＝0时等号成立． 故所求直线l的方程为x＋y－2＝0. 典例剖析 归纳总结 由直线的一般式方程表示直线与坐标轴形成三角形的面积的步骤 【变式练】已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0，(k∈R)与x轴负半轴和y轴正半轴坐标轴围成的三角形面积为，求k的值． 解析：设直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，则k＞0， 令y＝0，得A(－，0)；令x＝0，得B(0，1＋2k)， 三角形OAB的面积为·OA·OB＝×(1＋2k)＝， 即4k2－5k＋1＝0，解得k＝1或. 题型3　由含参数的一般式方程求参数(或取值范围) 例3　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； 典例剖析 解析：方法一　将直线l的方程整理为y－＝a(x－)， ∴直线l的斜率为a，且过定点A()， 而点A()在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限． 方法二　直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0. ∵上式对任意的a总成立， 必有即 即l过定点A()．以下同方法一． (2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围． 解析：直线OA的斜率为k＝＝3. 如图所示，要使l不经过第二象限， 需斜率a≥kOA＝3， ∴a的取值范围为[3，＋∞)． 变式探究1　本例中若直线不经过第四象限，则a的取值范围是什么？ 解析：由本例(2)解法可知直线OA的斜率为3，要使直线不经过第四象限，则有a≤3. 变式探究2　本例中将方程改为“x－(a－1)y－a－2＝0”，若直线不经过第二象限，则a的取值范围又是什么？ 解析：①当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不经过第二象限，满足要求． ②当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝x－，因为直线不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在y轴的截距小于等于零，即解得，所以a＞1. 综上可知a≥1. 归纳总结 求直线过定点的2种方法 【变式练】已知(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0为直线l的方程，求证：不论k取何实数，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标． 证明：整理直线l的方程得(x＋y)＋k(x－y－2)＝0.无论k取何值，该式恒成立， 所以解得 所以直线l经过定点M(1，－1)． 已知直线l1：mx＋8y＋m－10＝0和直线l2：x＋2my－4＝0垂直，则m＝________. 0 错因分析 易错分析：忽视斜率不存在 错因分析 注意：含参数的直线方程中，一定注意垂直于x轴的情况， 此情况直线方程存在而斜率不存在，常常忽视而漏解. 易错分析：忽视斜率不存在，把直线的一般式化为斜截式得 ，导致出错. 错因分析 分析：讨论截距是否0,分别求出直线即可. 错因分析 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程来表示．(　　) (2)任意一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．(　　) (3)直线l：Ax＋By＋C＝0的斜率为－.(　　) (4)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)表示过原点的直线．(　　) √ √ √ × 分层练习-基础 2．直线3x＋4y＋12＝0的斜率为(　　)   A． B．C．－ D．－ 解析：直线方程的斜截式为：y＝－x－3，斜率为－. D 3．直线x－y－1＝0的倾斜角α为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° B 解析：根据题意，易知直线x－y－1＝0的斜率k＝1，由tan α＝k＝1，得α＝45°. 4．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为(　　) A．A≠0 B．B≠0 C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0 解析：根据直线方程的一般式可知，要使得Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B不能同时为零，即A2＋B2≠0. D 5．斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为____________． 解析：由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化为一般式为：2x－y＋1＝0. 2x－y＋1＝0 6.直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是（ ） D 分层练习-巩固 7.已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为_____________. 2x＋3y＋4＝0 ∵两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)， ∴2a1＋3b1＋4＝0,2a2＋3b2＋4＝0， 因此过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线的方程为2x＋3y＋4＝0. 8.若点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则 的最小值为____. 8 分层练习-拓展 9.直线l过原点，且垂直于向量(1，－3).若角α的终边落在直线l上，则 ＝_______. 因为直线l过原点，且垂直于向量(1，－3)，所以直线l的方程为x－3y＝0， 10.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R). (1)证明：直线l过定点； 直线l的方程可化为y－1＝k(x＋2)，由点斜式方程可知，直线l过定点(－2,1). (2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； 解得k>0； 当k＝0时，直线l的方程为y＝1，符合题意， 故k的取值范围是[0，＋∞). (3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程. 由题意可知k≠0，再由l的方程， ∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0. 解得k>0. 课堂小结 直线的方程 点斜式 × √ √ 斜截式 × √ √ 两点式 × × √ 截距式 × × × 一般式 √ √ √ 当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可以写成y＝－x－，它表示过点，斜率为－的直线. 当B＝0时，由于A，B不同时为0，方程Ax＋By＋C＝0可以写成x＝－，它表示一条与y轴平行或重合的直线. 解析：若m≠0时，kl1＝－eq \f(m,8)，kl2＝－eq \f(1,2m) ∵kl1·kl2＝(－eq \f(m,8))×(－eq \f(1,2m))＝eq \f(1,16)≠－1， 显然不成立，因此两条直线不能垂直； 若m＝0时，直线l1的方程为y＝eq \f(5,4)和x＝4， 这两条直线垂直．综上m＝0. kl1＝－eq \f(m,8)，kl2＝－eq \f(1,2m) 易错分析：截距式方程，其中截距都不为 求经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 错解: 设截距为,则直线为， 将代入解得， 所以直线为，即. 求经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 解：(1) 当截距为0时，即直线经过原点，方程为； (2) 当截距不为0时，设截距为,则直线为， 将代入解得，所以直线为，即. 综上所述：直线为或. A. B.∪ C. D. ∵k＝－，∴－1≤k<0. ∴倾斜角的取值范围是. ＋ 因为点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，所以2m＋n＝1，即＋＝(2m＋n)＝4＋＋≥4＋4＝8， 当且仅当n＝2m，即n＝，m＝时，等号成立， 故＋的最小值为8. 当x<0时，取终边上的点(－3，－1)，可得tan α＝＝， 所以若角α的终边落在直线l上，则tan α＝， ＝＝＝－. － 当x>0时，取终边上的点(3,1)，可得tan α＝， 由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线l不经过第四象限，则必须有 得A，B(0,1＋2k). 依题意得 ＝·＝≥×(2×2＋4)＝4， ∵S＝|OA|·|OB|＝·|1＋2k| 当且仅当k>0且4k＝， 即k＝时，等号成立， $$