第1单元圆常考易错复习（讲义）-2024-2025学年数学六年级上册北师大版

第1单元圆常考易错复习讲义-数学六年级上册北师大版 【知识汇总】+【例题精讲】+【针对性训练】 目录导航 第一部分：知识汇总 第二部分：例题精讲 第三部分：针对性训练 【第一部分】 知识汇总 1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。 2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。 一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等． 3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。 直径是一个圆内最长的线段。 5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。 7．在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的。 用字母表示为：d＝2r或r ＝ 8、轴对称图形： 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。 折痕所在的这条直线叫做对称轴。（经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线） 9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。 10、只有1一条对称轴的图形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。 只有2条对称轴的图形是： 长方形 只有3条对称轴的图形是： 等边三角形 只有4条对称轴的图形是： 正方形; 有无数条对称轴的图形是： 圆、圆环。 二、圆的周长 1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。 2、圆周率实验： 在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。 发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数（π）。 3．圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。 用字母π（pai） 表示。 （1）、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。 圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时，一般取π ≈ 3.14。 （2）、在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍。 （3）、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。 4、圆的周长公式： C= πd d = C ÷π 或C=2π r r = C ÷ 2π 5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 6、区分周长的一半和半圆的周长： （1） 周长的一半：等于圆的周长÷2 计算方法：2π r ÷ 2 即 π r （2）半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。 计算方法：πr＋2r 即 5.14 r 三、圆的面积 1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母S表示。 2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。 3、圆面积公式的推导： （1）、用逐渐逼近的转化思想： 体现化圆为方，化曲为直；化新为旧，化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为具体。 （2）、把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。 （3）、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。 圆的半径 = 长方形的宽 圆的周长的一半 = 长方形的长 因为： 长方形面积 = 长 × 宽 所以： 圆的面积 = 圆周长的一半 × 圆的半径 S圆 = πr × r 圆的面积公式： S圆 = πr2 r2 = S ÷ π 4、环形的面积： 一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r。（R＝r＋环的宽度．） S环 = πR²－πｒ²　 或 环形的面积公式： S环 = π（R²－ｒ²）。 5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。 而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。 例如： 在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大9倍。 6、两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。 例如： 两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3，而面积比是4∶9 7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4∶π 8、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。 9、确定起跑线： （1）、每条跑道的长度 = 两个半圆形跑道合成的圆的周长 + 两个直道的长度。 （2）、每条跑道直道的长度都相等，而各圆周长决定每条跑道的总长度。（因此起跑线不同） （3）、每相邻两个跑道相隔的距离是： 2×π×跑道的宽度 （4）、当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加２πａ厘米；当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加πａ厘米。 【第二部分】 例题精讲 1．一只挂钟经过45分钟后，分针的尖端所走的路程是94.2厘米，这只挂钟的分针长多少厘米？ 【答案】20厘米 【分析】挂钟可看作一个圆，分针走一圈是60分，45分则是走了四分之三圈，则分针走的路程就等于周长的四分之三，用分针尖端走的路程除以四分之三就等于分针走的圆的周长，结合半径r＝周长÷2÷π即可求出分针的长短，据此解答。 【详解】94.2÷÷2÷3.14 ＝94.2×÷2÷3.14 ＝125.6÷2÷3.14 ＝62.8÷3.14 ＝20（厘米） 答：这只挂钟的分针长20厘米。 2．要为一个水缸做一个盖子，这个盖子的面积至少是多少平方米？ 【答案】0.785平方米 【分析】看图可知，盖子至少是直径1米的圆，根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，列式解答即可。 【详解】3.14×（1÷2）2 ＝3.14×0.52 ＝3.14×0.25 ＝0.785（平方米） 答：这个盖子的面积至少是0.785平方米。 3．有一种方圆桌，它既可以是方桌，也可以变成圆桌，如图①是方桌的桌面，它边长为8分米，如果把它的四边撑开，就成了圆桌，圆桌桌面如图所示，圆桌桌面的面积是多少平方分米？（结果用含的式子表示） 【答案】16π平方分米 【分析】根据题意可知，圆桌的直径等于正方形的边长，根据圆的面积公式：面积＝π×r2，代入数据，即可解答。 【详解】π×（8÷2）2 ＝π×42 ＝π×16 ＝16π（平方分米） 答：圆桌桌面的面积是16π平方分米。 【第三部分】 针对性训练 一、选择题 1．圆的位置由（    ）决定。 A．圆心 B．半径 C．直径 D．面积 2．在边长是8cm的正方形彩纸中剪半径是2cm的圆，最多可剪（    ）个。 A．5 B．8 C．4 D．6 3．一个圆的周长和正方形的周长都是6.28分米，圆的面积（    ）正方形的面积。 A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定 4．在一张长120cm，宽50cm的长方形画纸上画若干个半径为10cm的圆并剪下来，最多可以剪下（    ）个这样的圆。 A．10 B．12 C．18 D．60 5．篮球场的三分线由两部分组成（如图），一部分是半径为6.75m的半圆弧线，另一部分是与端线垂直的两条线段，每段长1.575m。三分线大约长（    ）m。    A．21 B．24 C．38 D．42 6．如图所示，直角三角形（阴影部分）的面积是10cm2，那么，图中圆的面积是（    ）cm2。 A．31.4 B．62.8 C．78.5 D．314 二、填空题 7．一个圆的直径是6分米，半径是( )分米，周长是( )分米，面积是( )平方分米。 8．如图，我们在研究圆时，利用( )的思想，将圆在直尺上滚动一周，得出这个圆的周长是( )厘米。 9．将圆平均分成若干份拼成一个近似长方形，已知长方形的宽是2厘米，原来的圆面积是( )。 10．在一个长12厘米，宽8厘米的长方形里剪下一个最大的半圆，这个半圆的面积是( )平方厘米。 11．把一个圆形沿半径剪成若干等份拼成一个近似的长方形，已知长方形的长是25.12厘米，这个圆形的周长是( )厘米。 12．如图，这个直角梯形的上底和下底分别长6cm，15cm，则阴影部分的面积是( )。 13．如图，把一张圆形纸片平均分成若干份，拼成一个近似的长方形，这个长方形的周长是24.84dm，那么原来这张圆形纸片的周长是( )dm，面积是( )dm2。 三、判断题 14．一个圆的周长与一个正方形的周长相等，那么圆的面积大些。( ) 15．如图，梯形的高是3厘米。( ) 16．如果圆的半径扩大3倍，那么它的周长扩大3倍，面积扩大6倍。( ) 17．因为圆的周长等于，所以半圆的周长是。( ) 18．求挂钟的时针针尖12小时所走的路程就是求以时针为半径的圆的周长。( ) 四、计算题 19．求下图图形阴影部分的周长和面积。 20．计算下面图形中涂色部分的周长和面积。（单位：cm）             五、解答题 21．一辆自行车的车轮外直径是0.7米，每分钟转100圈，要通过一座长1099米的大桥，需要多少分钟？ 22．王爷爷靠墙围了一个半圆形的菜地（如图所示），用了9.42米的篱笆，这个半圆形菜地的面积是多少？ 23．公园里准备把一个半径为3米的圆形花坛进行扩建（如图所示）；如果这个圆形花坛的半径增加2米，则面积增加多少平方米？ 24．中国古钱币是文化艺术宝库中的一朵奇葩，现在人们运用它的造型创作了许多精美的饰品。如图所示，制作一件这种形状的饰品需要钢板多少平方厘米？ 25．草地上有一个木桩，把一头牛用绳拴在木桩上，若绳子长4米，这头牛最多可以吃到多少平方米的草？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A C A B B B 1．A 【详解】圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。以半径为3.5cm的圆为例，如图：    A点决定这个圆的位置。 故答案为：A 2．C 【分析】先求一条边内有几个圆的直径，求出每行可以剪几个圆；以及每列可以剪几个圆，再用行数×列数，即可解答。 【详解】2×2＝4（cm） （8÷4）×（8÷4） ＝2×2 ＝4（个） 在边长是8cm的正方形彩纸中剪半径是2cm的圆，最多可剪4个。 故答案为：C 【点睛】本题主要考查图形的拼组，注意分辨直径和半径。 3．A 【分析】根据圆的周长公式和正方形的周长公式，分别求出圆的半径和正方形的边长，然后根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出圆的面积和正方形的面积，再比较。 【详解】圆的半径是：（分米） 正方形的边长是：（分米） 圆的面积是： （平方分米） 正方形的面积是：（平方分米） 所以圆的面积大于正方形的面积。 故答案为：A 【点睛】本题主要考查了圆、正方形的周长公式和面积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。 4．B 【分析】在同一个圆中，直径是半径的2倍，求出圆的直径。分别计算长方形的长和宽分别有几个直径的长度，再将两次的结果相乘就是可以剪下的圆的个数。 【详解】10×2＝20（cm） 120÷20＝6（个） 50÷20＝2（个）……10（cm） 6×2＝12（个） 所以，最多可以剪下12个这样的圆。 故答案为：B 【点睛】解题关键是要求出长方形的长和宽分别包含几个直径的长度。 5．B 【分析】根据“C＝2πr”求出圆的周长，再除以2即可求出圆周长的一半，即半圆弧线长度，再加上两条线段的长度即可。 【详解】2×3.14×6.75÷2＋1.575×2 ＝21.195＋3.15 ＝24.345（m） ≈24（m） 三分线大约长24m； 故答案为：B 【点睛】本题主要考查圆的周长计算方法，熟记公式是关键。 6．B 【分析】由图可知：三角形直角边等于圆的半径，根据三角形的面积＝底×高÷2可得：半径的平方等于三角形面积×2，代入圆的面积公式：S＝πr2计算即可。 【详解】 （cm2） 这个圆的面积是62.8cm2。 故答案为：B 【点睛】理解半径的平方等于三角形面积×2是解题的关键。 7． 3 18.84 28.26 【分析】圆的半径是直径的一半，先用6除以2算出半径为3分米，再根据周长公式C＝πd，面积公式S＝π分别求出周长和面积。 【详解】半径：6÷2＝3（分米） 周长：3.14×6＝18.84（分米） 面积：3.14×＝28.26（平方分米） 这个圆的半径是3分米，周长是18.84分米，面积是28.26平方分米。 8． 化曲为直 6 【分析】根据题意，结合圆的特点，在研究圆时，运用化曲为直的方法进行计算；根据图示可知将圆在直尺上滚动一周，得出这个圆的周长是6厘米。 【详解】如图，我们在研究圆时，利用化曲为直的思想，将圆在直尺上滚动一周，得出这个圆的周长是6厘米。 9．12.56平方厘米/12.56cm2 【分析】根据圆面积公式的推导过程可知，把一个圆剪拼成一个近似长方形，这个长方形的宽等于圆的半径，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 【详解】2×2×3.14 ＝4×3.14 ＝12.56（平方厘米） 原来的圆面积是12.56平方厘米。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握圆面积公式的推导过程及应用. 10．56.52 【分析】因为以宽为半径时，直径为8×2＝16厘米，16＞12，所以以长方形的长为直径的半圆是面积最大的半圆，半圆的面积等于整个圆面积的一半，根据圆的面积公式：S＝πr2，据此进行计算即可。 【详解】3.14×（12÷2）2÷2 ＝3.14×62÷2 ＝3.14×36÷2 ＝113.04÷2 ＝56.52（平方厘米） 则这个半圆的面积是56.52平方厘米。 【点睛】本题考查圆的面积，明确该圆的直径相当于长方形的长是解题的关键。 11．50.24 【分析】根据圆面积公式的推导过程可知，把一个圆沿半径分成若干等份，然后拼成一个近似的长方形，这个长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径，据此用该长方形的长乘2即可。 【详解】由分析可得： 25.12×2＝50.24（厘米） 综上所述：把一个圆形沿半径剪成若干等份拼成一个近似的长方形，已知长方形的长是25.12厘米，这个圆形的周长是50.24厘米。 【点睛】本题考查了圆的面积公式推导过程及应用，要求学生熟练掌握圆的周长巧算的方法。 12．34.74cm2 【分析】根据图，阴影部分的面积为梯形面积减去个圆的面积，该圆的半径等于梯形的上底，同时也等于梯形的高，根据圆的面积公式：S＝r2，梯形面积公式：S＝（上底＋下底）×高÷2，将数据代入，求解即可。 【详解】由分析可得： （6＋15）×6÷2－3.14×62× ＝21×6÷2－3.14×36× ＝126÷2－3.14×9 ＝63－28.26 ＝34.74（cm2） 综上所述：这个直角梯形的上底和下底分别长6cm，15cm，则阴影部分的面积是34.74cm2。 【点睛】本题考查了梯形和圆形面积公式的灵活运用，解题的关键是牢记公式。 13． 18.84 28.26 【分析】观察图形可知，拼成的近似长方形的长等于圆周长的一半，长方形的宽等于圆的半径。设圆的半径为rdm，则长方形的周长＝（＋r）×2。已知长方形的周长是24.84dm，据此列方程解答求出圆的半径。再根据圆的面积公式：S＝πr2和圆的周长公式：C＝2πr，即可求出这张圆形纸片的周长和面积。 【详解】解：设圆的半径为rdm。 （＋r）×2＝24.84 （πr＋r）×2＝24.84 （π＋1）r×2＝24.84 4.14 r×2＝24.84 8.28r＝24.84 8.28r÷8.28＝24.84÷8.28 r＝3 3.14×（3×2） ＝3.14×6 ＝18.84（dm） 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（dm2） 则把一张圆形纸片平均分成若干份，拼成一个近似的长方形，这个长方形的周长是24.84dm，那么原来这张圆形纸片的周长是18.84dm，面积是28.26dm2。 【点睛】本题考查了圆的周长和面积公式的应用。明确长方形的长、宽与圆的关系，继而列方程求出圆的半径是解题的关键。 14．√ 【分析】假设圆的周长和正方形的周长是12.56厘米，根据圆、正方形的周长公式分别求出圆的半径及正方形的边长，再分别代入圆的面积、正方形的面积公式求出面积，再比较即可。 【详解】假设圆的周长和正方形的周长是12.56厘米。 则正方形的边长a＝C÷4＝12.56÷4＝3.14（厘米） 正方形的面积S＝a2＝3.14×3.14＝9.8596（平方厘米） 圆的半径r＝C÷2π＝12.56÷（2×3.14）＝2（厘米） 圆的面积 S＝πr2＝3.14×22＝12.56（平方厘米） 12.56＞9.8596 则圆的面积大于正方形的面积。 故答案为：√ 【点睛】本题也可根据“周长相等，圆的面积最大；面积相等，圆的周长最小”直接解答。 15．× 【分析】通过观察可知，梯形中的半圆半径是6厘米，与梯形的高相等。 【详解】根据分析可知，半圆的半径是6厘米，梯形的高也应该是6厘米。 故答案为：× 【点睛】此题主要考查学生对圆和梯形特征的理解与认识，圆内所有的半径都相等。 16．× 【分析】因为圆的周长C＝2πr，由积的变化规律：当一个因数不变时，另一个因数扩大（或缩小）几倍，积就扩大（或缩小）几倍；知道半径扩大几倍，周长就分别扩大几倍；因为S＝πr2，所以当圆的半径扩大3倍，面积扩大32倍，由此得出答案。 【详解】因为圆的周长C＝2πr，所以圆的半径扩大3倍，它的周长扩大3倍； 因为S＝πr2，所以当圆的半径扩大3倍，面积扩大32＝9倍。 故答案为：× 【点睛】此题主要是利用圆的面积、周长与半径的关系及积的变化规律解决问题。 17．× 【分析】半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，据此解答。 【详解】由分析可知，半圆的周长为＋，原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】此题考查了半圆的周长计算，记得加上直径。 18．√ 【分析】根据生活经验可知，时针12个小时转一圈，经过12时，这根时针的针尖所走的路程等于以时针为半径的圆的周长。 【详解】由分析可知，求挂钟的时针针尖12小时所走的路程就是求以时针为半径的圆的周长，此说法正确。 故答案为：√ 【点睛】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用。 19．周长：28.56厘米；面积：6.88平方厘米 【分析】阴影部分的周长＝长方形的长＋两条宽＋半径是4厘米的圆的周长一半，根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，代入数据，即可解答； 阴影部分的面积＝长是8厘米，宽是4厘米长方形面积－半径是4厘米圆的面积的一半，根据长方形面积公式：面积＝长×宽；圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 【详解】周长：8＋4×2＋3.14×8÷2 ＝8＋8＋25.12÷2 ＝16＋12.56 ＝28.56（厘米） 面积：8×4－3.14×42÷2 ＝32－3.14×16÷2 ＝32－50.24÷2 ＝32－25.12 ＝6.88（平方厘米） 20．（1）周长：37.68cm；面积：25.12cm2；（2）周长：12.56cm；面积：2.28cm2 【分析】（1）该图形涂色部分的周长等于直径为（4＋8）cm的圆的周长，根据圆的周长公式：C＝πd，据此计算即可；该图形涂色部分的面积等于直径为（4＋8）cm圆的面积的一半分别减去直径是4cm和8cm的圆的面积的一半，然后根据圆的面积公式：S＝πr2，据此计算即可； （2）该图形的涂色部分的周长等于两个直径是2cm的圆的周长，根据圆的周长公式：C＝πd，据此计算即可；如图：空白部分①＋空白部分②的面积等于正方形面积的一半减去直径为2cm的圆的面积的一半，进而求出原图中4个空白部分的面积，则涂色部分的面积等于正方形的面积减去4个空白部分的面积，根据正方形的面积公式：S＝a2，圆的面积公式：S＝πr2，据此计算即可。 【详解】（1）周长：3.14×（4＋8） ＝3.14×12 ＝37.68（cm） 面积：（4＋8）÷2 ＝12÷2 ＝6（cm） ＝ ＝ ＝56.52－6.28－25.12 ＝50.24－25.12 （cm2） （2）周长：3.14×2×2 ＝6.28×2 ＝12.56（cm） 面积：如图所示： 2×2÷2－3.14×（2÷2）2÷2 ＝2×2÷2－3.14×12÷2 ＝2×2÷2－3.14×1÷2 ＝2－1.57 ＝0.43（cm2） 0.43×4＝1.72（cm2） 2×2－1.72 ＝4－1.72 ＝2.28（cm2） 21．5分钟 【分析】已知自行车的车轮外直径是0.7米，先根据圆的周长公式C＝πd，求出自行车车轮转一圈所走的距离，再乘100，即是自行车每分钟所走的距离，也就是自行车的速度； 然后根据“时间＝路程÷速度”，即可求出自行车通过一座长1099米的大桥需要的时间。 【详解】3.14×0.7＝2.198（米） 2.198×100＝219.8（米） 1099÷219.8＝5（分钟） 答：需要5分钟。 【点睛】本题考查圆的周长公式的运用以及利用时间、速度、路程之间的关系求解。 22．14.13平方米 【分析】由题意可知，篱笆的长度就是半圆的长度，根据圆的周长公式：C＝2πr，即用9.42除以3.14即可求出圆的半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，据此求出圆的面积，再除以2即可求出这个半圆形菜地的面积。 【详解】9.42÷3.14＝3（米） 3.14×32÷2 ＝3.14×9÷2 ＝28.26÷2 ＝14.13（平方米） 答：这个半圆形菜地的面积是14.13平方米。 23．50.24平方米 【分析】由题意可知，求增加的面积就是求圆环的面积，根据圆环的面积公式：S＝π（R2－r2），据此进行计算即可。 【详解】3.14×[（3＋2）2－32] ＝3.14×[52－32] ＝3.14×[25－9] ＝3.14×16 ＝50.24（平方米） 答：面积增加了50.24平方米。 24．11.92平方厘米 【分析】观察题意可知，饰品的面积等于圆面积减去正方形的面积，根据圆面积公式和正方形面积公式，用3.14×（4÷2）2－0.8×0.8即可求出饰品的面积。 【详解】3.14×（4÷2）2－0.8×0.8 ＝3.14×22－0.8×0.8 ＝3.14×4－0.8×0.8 ＝12.56－0.64 ＝11.92（平方厘米） 答：制作一件这种形状的饰品需要钢板11.92平方厘米。 【点睛】本题主要考查了圆面积公式、正方形面积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。 25．50.24平方米 【分析】根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出半径是4米的圆的面积，也就是牛最多可以吃到多少平方米的草，据此解答。 【详解】3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方米） 答：这头牛最多可以吃到50.24平方米的草。 【点睛】熟练掌握圆的面积公式是解答本题的关键。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$