4.2一元二次不等式及其解法（5知识点+5题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第一册）

4.2一元二次不等式及其解法 课程标准 学习目标 1.正确理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系，掌握一二次不等式的解法; 2.通过看图象找解集，培养学生“从形到数”的转化能力和从“特殊到一般”的归纳能力; 1.一元二次不等式及一元二次不等式解集的概念. 2.一元二次方程、一元二次函数与一元二次不等式的内在联系: 3.运用函数、方程以及一元二次函数的图象求解一元二次不等式的解集 4.理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的关系 知识点01 一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 【即学即练1】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下列不等式是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据一元二次不等式的定义判断即可. 【详解】对于A：，符合一元二次不等式的定义，是一元二次不等式，故A正确； 对于B：，符合一元二次不等式的定义，是一元二次不等式，故B正确； 对于C：，含有两个未知数，故不是一元二次不等式，故C错误； 对于D：，当时不是一元二次不等式，故D错误. 故选：AB 【即学即练2】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列不等式是否是一元二次不等式？ (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)是 (2)答案见解析 (3)不是 (4)不是 【分析】根据一元二次不等式的概念判断即可. 【详解】（1）是一元二次不等式. （2）时，为一元一次不等式.； 不等于0时，是一元二次不等式 （3）是二元二次不等式. （4）是一元一次不等式. 知识点02一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【即学即练3】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）设为实数，若二次函数在区间上有两个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意方程在区间内有两个不同的根，根据二次方程根的分布即可求出参数的取值范围. 【详解】二次函数的对称轴为，且开口向上， 因为二次函数在区间上有两个零点， 所以方程在区间内有两个不同的根， 记方程的两根为，则， 解得，所以. 故答案为： 【即学即练4】（23-24高一·上海·课堂例题）已知关于x的一元二次方程无实数解，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】根据方程无解得出判别式小于零得出参数范围. 【详解】因为无实数解， 所以, 所以. 知识点03 二次函数与与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 【即学即练5】（2021高一·上海·专题练习）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则y>0的解集为（    ） A．{x|-2<x<1} B．{x|-1<x<2} C．{x|1<x≤2} D．{x|x<0或x>3} 【答案】B 【分析】直接根据图象求解即可. 【详解】由题图知y>0的解集为{x|-1<x<2}. 故选B. 【即学即练6】（24-25高一上·全国·课前预习）作出二次函数的图象，其图象与x轴有两个交点，你能从二次函数的图象上找到的解集吗？ 【答案】能，解集为. 【分析】解一元二次不等式即可. 【详解】 从图象上看，位于x轴上方的图象使得函数值大于零，位于x轴下方的图象使得函数值小于零， 又方程的根为或， 故的解集为. 知识点04 一元二次不等式的解法 1.将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)． 2.求出相应的一元二次方程的根． 3.利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 方程的根→函数草图→观察得解，对于的情况可以化为的情况解决 注：对于二次型一元二次不等式应首先考虑二次项系数的情况，当二次项系数为0时，按照一次不等式来解决，对于二次项系数为负数的情况一般将二次项系数变为正数之后再解。 注：对于含参一元二次不等式内容首先考虑能不能因式分解，然后就二次方程根进行分类讨论，同时注意判别式韦达定理的应用。 注意：三个“二次”之间的关系 1.三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 2.讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 注意：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式． 【即学即练7】（2017高二·安徽·学业考试）不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】利用“三个二次”的关系解二次不等式. 【详解】不等式的解集为或. 故选：A. 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 【即学即练8】（多选）（24-25高一上·浙江温州·开学考试）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．关于x的不等式的解集可以是 B．关于x的不等式的解集可以是 C．函数在上可以有两个零点 D．“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“” 【答案】BCD 【分析】解含参的一元二次不等式判断A,B,根据含参的一元二次不等式解集得出参数范围判断C,D. 【详解】对A，若不等式的解集是，则且，得， 而当，时，不等式，即，得，与矛盾，故A错误； 对B，取，，此时不等式的解集为，故B正确； 对C，取，，则由，得或3，故C正确； 对D，若关于x的方程有一个正根和一个负根，则，得， 若，则，故关于x的方程有两个不等的实根，， 且，关于x的方程有一个正根和一个负根. 因此“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”，故D正确. 故选：BCD. 知识点05 含参一元二次不等式的步骤 【即学即练9】（23-24高一下·全国·课堂例题）若是关于的一元二次不等式，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由一元二次不等式定义可知二次项系数不为零，可求得结果. 【详解】根据一元二次不等式的定义可得， 解得. 因此可得的取值范围是. 故答案为： 【即学即练10】（24-25高一上·全国·随堂练习）若，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由题可知，对应的一元二次函数开口向上，因此根据口诀“大于取两边，小于取中间”即可一元二次不等式. 【详解】因为， 所以, 所以由， 得, 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 难点：分类讨论思想的运用 示例1：（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】分，和三种情况，在时，再分三种情况，求出不等式解集. 【详解】①当时，原不等式化为，解得． ②当时，原不等式化为，解得或． ③当时，原不等式化为. 当，即时，解得； 当，即时，解得满足题意； 当，即时，解得． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【题型1：一元二次不等式的概念及辨析】 例1．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下列是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据一元二次不等式的定义判断即可. 【详解】由于含有根式（）不是一元二次不等式，是分式不等式， 因此只有、是一元二次不等式，即只有A、D符合题意. 故选：AD． 变式1．（多选）（20-21高一上·全国·课后作业）下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（    ） A．3x+4<0 B．x2+mx-1>0 C．ax2+4x-7>0 D．x2<0 【答案】BD 【分析】利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可. 【详解】选项A是一元一次不等式，故错误；选项B，D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当时，选项C是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误. 故选：BD. 变式2．（2023高一·全国·专题练习）给出下列不等式()：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是一元二次不等式的有 ．(填序号) 【答案】⑥⑦ 【分析】根据一元二次不等式的定义逐一分析每个选项即可. 【详解】①不是，是二元一次不等式； ②不一定是，当时是一元二次不等式，当时不是一元二次不等式； ③不是，未知数的最高次数是； ④不是，是二元二次不等式； ⑤不一定是，原因同②； ⑥是，因为，二次项系数非零，也符合一元二次不等式的定义； ⑦是，因为符合一元二次不等式的定义． 故答案为：⑥⑦ 变式3．（20-21高一·全国·课后作业）写出一个解集为的一元二次不等式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由一元二次不等式的解法，即可写出不等式，得到答案. 【详解】由一元二次不等式的解法可知，解集为的一元二次不等式可以是. 故答案为：.（答案不唯一） 变式4．（24-25高一上·全国·课前预习）观察下面几个式子或不等式，它们有什么区别？ ①；②；③；④. 【答案】答案见解析 【分析】略 【详解】①为二次函数；②为一元一次不等式；③④为一元二次不等式. 变式5．（21-22高一上·全国·课后作业）下列不等式中哪些是一元二次不等式?（其中a，b，c，m为常数） (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)是 (2)是 (3)不是 (4)不是 (5)不是 (6)不是 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）根据一元二次不等式的定义判断. 【详解】（1）符合一元二次不等式的定义，所以（1）是一元二次不等式. （2）符合一元二次不等式的定义，所以（2）是一元二次不等式. （3）不是，因为当时，不符合一元二次不等式的定义. （4）不是，因为x的最高次数为3，不符合一元二次不等式的定义. （5）不是，因为当时，它为一元一次不等式；当时，它为二元二次不等式. （6）不是，因为当时，不符合一元二次不等式的定义. 【题型2：不含参一元二次不等式】 例2．（25-26高一上·全国·课后作业）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可． 【详解】由，解得， 因为， 故“”是“”的必要不充分条件． 故选：A． 变式1．（23-24高一上·浙江台州·开学考试）使不等式成立的一个充分不必要条件是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】解不等式并找出不等式解集的真子集即可得出结论. 【详解】解不等式可得或， 检验可知选项C是的真子集，即是成立的一个充分不必要条件， 故选：C 变式2．（2024高二下·云南·学业考试）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】由一元二次不等式求解即可． 【详解】由，得， 则不等式的解集为：， 故选：D 变式3．（2024高三·全国·专题练习）在上定义运算“”：，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据规定的新定义运算法则化简不等式，然后直接求解一元二次不等式就可以得到正确答案 【详解】根据给出在上定义运算， 由得，解之得， 故该不等式的解集是． 故选：B 变式4．（2024高一上·浙江宁波·专题练习）已知则的取值范围是 . 【答案】 【分析】因为方程的解是函数图象与轴的交点的横坐标，所以先求出方程的解，再作出函数图象即可得到的解集，进而得到原不等式的解集. 【详解】由题， 解得，. 作出函数的图象如图所示：    由图可得不等式的解集为， 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 变式5．（24-25高一上·全国·课后作业）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】将左边配成完全平方式，即可解得. 【详解】由，即，解得， 所以不等式的解集是. 故答案为： 变式6．（25-26高一上·全国·课后作业）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质性质即可求解. 【详解】原不等式等价于，由于恒成立， 因此原不等式的解集为． 故答案为： 变式7．（23-24高一下·全国·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）不等式可化为，根据一元二次不等式的解法，即可求得答案. （2）移项化简，根据一元二次不等式的解法，即可求得答案. （3）不等式可化为，根据一元二次不等式的解法，即可求得答案. （4）不等式可化为，根据一元二次不等式的解法，即可求得答案. 【详解】（1）可以转化为 的解集为：. （2）移项可得， 的解集为 （3）化简可得， 的解集为 （4）因式分解可得，的解集为 【方法技巧与总结】 解一元二次不等式的常见方法 (1)图象法： ①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)； ②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图； ③由图象得出不等式的解集． 【题型3：含参一元二次不等式】 例3．（23-24高二下·福建福州·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对参数进行分类讨论得到一元二次不等式的解集后求解即可. 【详解】对于，当时，变为， 此时解得， 当时，解得， 当时，解得， 当时，此时解集为空集， 当时，解得， 综上讨论，并未在任何情况出现， 故不可能是原不等式解集，故B正确. 故选：B 变式1．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）已知实数，则不等式的解集可能是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】AD 【分析】分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集，即可判断. 【详解】由， 当时，不等式即为，解得，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，不等式即为，即， 解得或，即不等式的解集为或； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或，结合选项可知只有AD符合题意. 故选：AD 变式2．（23-24高一下·全国·课堂例题）解关于x的不等式：（）； 【答案】答案见解析 【分析】根据两种情况，进行求解； 【详解】 ①当，即时，原不等式无解． ②当，即或时， 方程的两根为，， 则原不等式的解集为 综上所述，当时，原不等式无解； 当或时，原不等式的解集为； 变式3．（23-24高一下·全国·课后作业）已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先对求解得，对化简得，再结合是的必要不充分条件，对进行分类讨论，即可求解. 【详解】由，解得，所以， 对于，即， 若，解得，要使是的必要不充分条件，则，所以； 若，解得，要使是的必要不充分条件，则，所以； 若，则为，符合题意， 所以实数的取值范围是. 变式4．（15-16高一下·天津·期中）解关于变量的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】 根据题意，分2种情况讨论：①当时，不等式为：，解可得的范围，②若，的两个根为3和，结合一元二次不等式的解集，讨论的取值范围，分别分析可得不等式的解集，综合即可得答案． 【详解】 根据题意，， 分2种情况讨论： ①当时，不等式为：，解可得，此时不等式的解集为； ②若，的两个根为3和， 当时，不等式的解集为，，； 当时， 若，不等式的解集为， 若，不等式的解集为， 若，不等式的解集为，． 综合可得：当时，不等式的解集为，，； 当时，不等式的解集为； 当，不等式的解集为， 当，不等式的解集为， 当，不等式的解集为，． 变式5．（2024高一·全国·专题练习）求不等式的解集． 【答案】答案见解析 【分析】根据二次函数图象性质对参数进行分类讨论即可. 【详解】不等式，可化为， 即， 令，解得，， 当时，，解集为或； 当时，，解集为； 当时，，解集为或. 变式6．（23-24高一·上海·课堂例题）设，解下列关于x的不等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为R；当时，原不等式的解集为或. (2)当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或. (3)或 【分析】对于含参的一元二次不等式，采用分类讨论的方法求解即可. 【详解】（1）当时，由解得：或； 当时，由得，所以； 当时，由解得：或. 综上，当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为R；当时，原不等式的解集为或. （2）当时，由解得：或； 当时，由得，所以； 当时，由解得：或. 综上，当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或. （3）由得：， 解得或， 所以原不等式的解集为或. 变式7．（24-25高一·上海·课堂例题）已知关于x的不等式的解集为M． (1)若，求不等式的解集； (2)若M中的一个元素是0，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据是不等式的解集，得到，再根据两个不等式的关系求解； （2）将不等式转化为 ，再根据M中的一个元素是0，将x=0代入求解. 【详解】（1）解：因为是不等式的解集， 所以， 不等式，即为， 所以或， 所以不等式的解集是； （2）不等式转化为： ， 因为M中的一个元素是0， 所以， 解得 或 ， 所以实数a的取值范围是 . 【方法技巧与总结】 含参一元二次不等式的解法有以下几种： 1、当△=b2-4ac≥0时，二次三项式,ax2+bx+c=0有两个实根，那么ax2+bx+c=0，总可分解为a(x-x1)(x-x2)的形式。这样，解—元二次不等式就可归结为解两个一元一次不等式组。一元二次不等式的解集，就是这两个—元一次不等式组的解集的交集。 2、用配方法解—元二次不等式。 3、通过一元二次函数图象进行求解，二次函数图象与X轴的两个交点，然后根据题目所需求的"<0"或">0"而推出答案。 【题型4：由一元二次不等式的解确定参数】 例4．（多选）（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据一元二次不等式的解与二次方程的根的关系，利用韦达定理即可求解. 【详解】由于不等式的解集为， 所以和是方程的两个实数根， 故且，解得，， 故选：AC 变式1．（25-26高一上·上海·单元测试）若不等式的解集是，则实数a、b的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】借助解集是可得，计算即可得解. 【详解】由不等式的解集是，故， 且， 即，. 故选：D. 变式2.（21-22高一上·广东湛江·阶段练习）若不等式的解集为则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．R 【答案】B 【分析】由条件可得，，是方程的两个实根，运用韦达定理求出p，q，再由二次不等式的解法，即可得到． 【详解】由题意可知：，是方程的两个实根， 则，解得，， 则不等式，即为， 即为，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B． 变式3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知关于的不等式的解集是或，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，且和是方程的的两个根，利用韦达定理，对所求不等式进行变形求解即可. 【详解】关于的不等式的解集是或， ∴1和3是方程的两个实数根，且． 则解得 所以不等式等价于，即， 解得． 所以不等式的解集是 故选:B． 变式4．（24-25高一上·河北石家庄·开学考试）已知不等式的解集为，则= ，= 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解集列方程来求得. 【详解】依题意，不等式的解集为， 所以，解得. 故答案为：； 变式5．（23-24高二下·陕西宝鸡·期末）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据不等式的解集求出，代入不等式，再解不等式可得答案. 【详解】因为不等式的解集为， 所以是的两个根，且， 可得，所以， 所以得， 即，由得， 所以,所以或， 则不等式的解集为. 故答案为：. 变式6．（24-25高一上·江苏淮安·开学考试）已知不等式的解是或． (1)用字母a表示出b，c； (2)求不等式的解 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）由韦达定理可得； （2）把（1）的结论代入求解． 【详解】（1）由不等式的解为或， 可知且的两根为2和3， 由得韦达定理，，所以，； （2）由（1）可得：可变为， 因为，所以，整理得， 解得或，所以不等式的解是或． 变式7．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知关于x的不等式的解集为，求关于x的不等式的解集． 【答案】． 【分析】根据跟与系数的关系可得且以及，代入化简，由因式分解即可求解. 【详解】由根与系数的关系知且且． ∴，， 故不等式，即， 即．解得， 故原不等式的解集为． 【题型5：一元二次方程根的分布】 例5．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】由条件可得二次方程有解，列不等式求的范围即可. 【详解】由已知二次方程有解， 所以，且， 所以且. 故选：D. 变式1．（24-25高一上·河南南阳·开学考试）“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是 ； 【答案】（答案不唯一，即可） 【分析】根据题意分析可得，结合充分、必要条件可得结果. 【详解】由解得或， 若一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根， 则，解得， 所以“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是. 故答案为：（答案不唯一，即可）. 变式2．（23-24高一上·重庆·期末）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次函数图像特征，满足，即得a的取值范围. 【详解】设，开口向上， 由题意知， 即，解得， 所以． 故答案为：． 变式3．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知函数的图象与轴有交点，求的取值范围. 【答案】 【分析】分别在，条件下转化条件，列关系式求的范围. 【详解】当时，函数可化为， 函数与轴有交点，满足要求， 当时，由已知可得二次方程有解， 所以，且， 所以且. 综上，. 变式4．（23-24高一·上海·课堂例题）已知一元二次方程有两个同号实根，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】依题意，方程的判别式大于等于0，且两根之积大于0，由此列出不等式求解即可. 【详解】依题意, 即, 解得 所以实数的范围为. 变式5．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知方程． (1)若关于的方程总有实数解，求的取值范围； (2)求证：无论取何实数，关于的方程必有互异实数根． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据一元二次方程有实数根，判别式即可求解； （2）根据一元二次方程有互异实数根,根据韦达定理即可求解. 【详解】（1）已知关于的方程有实根， ∴， 整理得，∴或． 所以的取值范围为． （2）∵， ∴无论为何值，关于的方程有两个不相等的实数根． 又根据韦达定理两根之积为， 故无论为何值，关于的方程有两个异号实数根． 变式6．（24-25高一上·上海·假期作业）已知关于的方程有两个相异实根，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】首先保证二次项系数不为，其次保证即可算出的取值范围. 【详解】方程有两个相异实根，首先，即， ，解得， 所以的取值范围为. 变式7．（23-24高一下·辽宁·期末）已知函数 (1)解关于的不等式； (2)若方程有两个正实数根，求的最小值. 【答案】(1)答案见解析； (2)6. 【分析】（1）解含参一元二次不等式，即可得答案； （2）根据方程有两个正实数根可得相应不等式组，进而表示出，采用换元法结合基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）不等式即为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 综上可知：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2）方程有两个正实数根， 即有两个正实数根 故，解得， 所以 令，则，故 当且仅当即时取得等号， 故的最小值为6. 一、单选题 一、单选题 1．（2023高二·安徽·学业考试）不等式的解集为（    ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解的特征即可求解. 【详解】由可得， 解得或， 故不等式的解为或， 故选：B 2．（23-24高二下·山东威海·期末）若“”是“”的必要条件，则实数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元二次不等式，由必要条件的定义即可判断的范围. 【详解】或， “或”是的必要条件，所以，即实数的最大值为. 故选：B. 3．（23-24高一下·广西南宁·期末）“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用一元二次不等式的解法，结合推出关系，即可得出判断. 【详解】由“”可以推出“”， 反之，由“”不一定推出“”，也可以推出“”． 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 4．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知不等式的解集为,则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．的解集为 【答案】D 【分析】根据二次函数,一元二次不等式,一元二次方程之间的关系,得出,且,代入消元即可. 【详解】根据题意,可以知道,的两根为. 由根与系数的关系得到： . 因为开口向下,则,故A正确. ,故B正确. 且,对称轴为,,故C正确. ,两边同时除以, 得到,解得,故D错误. 故选:D. 5．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）不等式的解集为（ ） A．R B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次不等式的解法直接求解即可. 【详解】由，得， 得，解得， 所以不等式的解集为， 故选：C 6．（23-24高一上·云南昭通·期末）不等式的解集是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，，和是方程的根，然后结合方程的根与系数关系即可求解． 【详解】因为不等式的解集是， 所以，和是方程的根， 所以，即，，则． 故选：D． 7．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，直接求解不等式即可. 【详解】由，得，解不等式，得， 所以不等式的解集是. 故选：A 8．（23-24高一上·安徽亳州·期末）一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的 解集可得到，，，把结果代入到所求不等式中即可求解. 【详解】根据题意可知，，，则，， 所求的不等式可化为：，即，解得：或. 故选：C 二、多选题 9．（23-24高一上·湖北十堰·期末）已知关于的不等式.的解集为.则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 【答案】AC 【分析】由条件可得为方程的两根，且，结合根与系数关系可得的关系，再逐项判断各选项. 【详解】因为不等式.的解集为， 所以为方程的两根，且， 所以，， 所以，，， 因为，所以A正确； 因为，，， 所以不等式可化为，B错误； 因为，，， 所以，C正确； 因为，，， 所以不等式可化为， 解得，，所以D错误； 故选：AC. 10．（23-24高一上·广东茂名·期中）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为 C．不等式的解集是 D．设，则的最小值为4. 【答案】ABD 【分析】根据分式不等式的解法可判断选项A、C；先写出命题的否定，结合题意利用求解可判断选项B；利用基本不等式可判断选项D. 【详解】对于选项A:因为或. 所以“”是“”的充分不必要条件，故选项A正确； 对于选项B：命题“，使”的否定是. 因为命题“，使”是假命题， 所以为真命题， 则，解得，故选项B正确； 对于选项C：.故选项C错误； 对于选项D：因为， 则，当且仅当，即时取最小值4，故选项D正确. 故选：. 11．（23-24高一下·广东潮州·开学考试）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】对进行分、和讨论即可. 【详解】当时，此时解集为； 当时，此时解集为； 当时，此时解集为； 故选：CD. 三、填空题 12．（25-26高一上·全国·课后作业）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，且，则实数的值为 ． 【答案】1 【分析】根据韦达定理即可求解. 【详解】为方程的两个实数根， ,，故 则， ，解得． 符合题意． 故答案为：1 13．（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）若集合，，且“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先求解一元二次不等式得出集合，由题意推得是的真子集,求解不等式组即得. 【详解】由可得，，即， 因“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集, 故有，或，解得：. 故答案为：. 14．（23-24高一下·北京石景山·期中）不等式的解集是 ． 【答案】或. 【分析】化简不等式为，结合一元二次不等式的解法和绝对值的定义，即可求解. 【详解】由不等式可化为， 解得或（舍去），所以或， 即不等式的解集为或. 故答案为：或. 四、解答题 15．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知命题：，： (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)是的必要不充分条件； (2) 【分析】（1）通过集合间的包含关系即可判断； （2）由条件得到是的充分条件，转换成集合的包含关系即可求解. 【详解】（1）解：实数：，解得：， ：，解得：， 令，， 若，则，可知是A的真子集， 那么是的必要不充分条件； （2）若是的充分条件，则是的充分条件. 即，则解得：， ． 16．（24-25高一上·云南文山·阶段练习）已知函数，． (1)当时，，求的最小值； (2)当时，，求关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，化简不等式为，结合不等式的解法，即可求解. 【详解】（1）解：因为时，，可得， 又因为，可得， 所以， 当且仅当时取等号，即当且仅当，时取得最小值为． （2）解：因为当时，，可得， 则， 因为，所以，则解不等式可得或， 则不等式的解集为或． 17．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）已知：，：. (1)若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围； (2)若是的既不充分也不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）解不等式化简命题，由充分不必要条件列出不等式求解； （2）根据命题的关系，可得对应集合互不包含，列出不等式求解. 【详解】（1）由，可得，则：， 又由，可得，则：， 若q是p的充分不必要条件，可得是的真子集， 有，解可得； （2）若q是p的既不充分也不必要条件，则和互不包含， 可得或，解得或. 18．（23-24高一上·河南郑州·期中）已知函数； (1)若不等式的解集是且，求实数的值； (2)若，，解不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由不等式解集得方程的根，由韦达定理待定系数即可； （2）结合二次函数图象的开口方向、判别式的符号、以及根在不在区间内（即根的正负）进行分类讨论，最后整合结论即可. 【详解】（1）由得，， 因为不等式的解集是， 则是方程的两根， 所以有，解得. 则， 验证：由解得，或，满足题意. 故实数的值为. （2）若，则， 不等式即， 当时，恒成立，则，又已知，则； 当时，. ①当时，，且函数开口向下，过定点， 则方程有且只有一个正根， 设方程的两根为，由，则 ， 由不等式解得，又，所以； ②当时，，且函数开口向上， 则恒成立，则； ③当时，，不等式为， 解得，由，得，或； ④当时，，且函数开口向上， 设方程的两根为， 则由韦达定理知，，则方程两根均为正根， 且，， 故由不等式解得，或， 又，所以，或； 综上所述，若， 则当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19．（23-24高一上·重庆·期中）已知关于的不等式． (1)当，时，求原不等式的解集； (2)在（1）的条件下，若原不等式恰有个整数解，求的取值集合． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）直接解不等式即可； （2）根据恰有个整数解可得，分情况讨论整数解中最小值与最大值的情况，列不等式解不等式. 【详解】（1）当时，不等式为，即， 又，则 所以， 即不等式的解集为； （2）在（1）的条件下，原不等式的解集为， 要使得原不等式恰有个整数解，则需满足，解得， 若个整数解的最小值为，则最大值为，则， 解得，此时，原不等式恰有个整数解． 若个整数解的最小值为，则最大值为，则， 解得，此时，原不等式恰有个整数解． 若个整数解的最小值为，则最大值为，则， 解得，此时，原不等式恰有个整数解． 综上，的取值集合是或或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2一元二次不等式及其解法 课程标准 学习目标 1.正确理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系，掌握一二次不等式的解法; 2.通过看图象找解集，培养学生“从形到数”的转化能力和从“特殊到一般”的归纳能力; 1.一元二次不等式及一元二次不等式解集的概念. 2.一元二次方程、一元二次函数与一元二次不等式的内在联系: 3.运用函数、方程以及一元二次函数的图象求解一元二次不等式的解集 4.理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的关系 知识点01 一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 【即学即练1】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下列不等式是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列不等式是否是一元二次不等式？ (1)； (2)； (3)； (4). 知识点02一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【即学即练3】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）设为实数，若二次函数在区间上有两个零点，则的取值范围是 . 【即学即练4】（23-24高一·上海·课堂例题）已知关于x的一元二次方程无实数解，求实数a的取值范围． 知识点03 二次函数与与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 【即学即练5】（2021高一·上海·专题练习）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则y>0的解集为（    ） A．{x|-2<x<1} B．{x|-1<x<2} C．{x|1<x≤2} D．{x|x<0或x>3} 【即学即练6】（24-25高一上·全国·课前预习）作出二次函数的图象，其图象与x轴有两个交点，你能从二次函数的图象上找到的解集吗？ 知识点04 一元二次不等式的解法 1.将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)． 2.求出相应的一元二次方程的根． 3.利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 方程的根→函数草图→观察得解，对于的情况可以化为的情况解决 注：对于二次型一元二次不等式应首先考虑二次项系数的情况，当二次项系数为0时，按照一次不等式来解决，对于二次项系数为负数的情况一般将二次项系数变为正数之后再解。 注：对于含参一元二次不等式内容首先考虑能不能因式分解，然后就二次方程根进行分类讨论，同时注意判别式韦达定理的应用。 注意：三个“二次”之间的关系 1.三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 2.讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 注意：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式． 【即学即练7】（2017高二·安徽·学业考试）不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D．或 【即学即练8】（多选）（24-25高一上·浙江温州·开学考试）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．关于x的不等式的解集可以是 B．关于x的不等式的解集可以是 C．函数在上可以有两个零点 D．“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“” 知识点05 含参一元二次不等式的步骤 【即学即练9】（23-24高一下·全国·课堂例题）若是关于的一元二次不等式，则的取值范围是 . 【即学即练10】（24-25高一上·全国·随堂练习）若，则不等式的解集为 ． 难点：分类讨论思想的运用 示例1：（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）解关于的不等式：． 【题型1：一元二次不等式的概念及辨析】 例1．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下列是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（多选）（20-21高一上·全国·课后作业）下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（    ） A．3x+4<0 B．x2+mx-1>0 C．ax2+4x-7>0 D．x2<0 变式2．（2023高一·全国·专题练习）给出下列不等式()：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是一元二次不等式的有 ．(填序号) 变式3．（20-21高一·全国·课后作业）写出一个解集为的一元二次不等式： ． 变式4．（24-25高一上·全国·课前预习）观察下面几个式子或不等式，它们有什么区别？ ①；②；③；④. 变式5．（21-22高一上·全国·课后作业）下列不等式中哪些是一元二次不等式?（其中a，b，c，m为常数） (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【题型2：不含参一元二次不等式】 例2．（25-26高一上·全国·课后作业）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式1．（23-24高一上·浙江台州·开学考试）使不等式成立的一个充分不必要条件是（     ） A． B．或 C． D．或 变式2．（2024高二下·云南·学业考试）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 变式3．（2024高三·全国·专题练习）在上定义运算“”：，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式4．（2024高一上·浙江宁波·专题练习）已知则的取值范围是 . 变式5．（24-25高一上·全国·课后作业）不等式的解集是 ． 变式6．（25-26高一上·全国·课后作业）不等式的解集是 ． 变式7．（23-24高一下·全国·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4) 【方法技巧与总结】 解一元二次不等式的常见方法 (1)图象法： ①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)； ②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图； ③由图象得出不等式的解集． 【题型3：含参一元二次不等式】 例3．（23-24高二下·福建福州·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 变式1．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）已知实数，则不等式的解集可能是（    ） A． B． C．或 D．或 变式2．（23-24高一下·全国·课堂例题）解关于x的不等式：（）； 变式3．（23-24高一下·全国·课后作业）已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 变式4．（15-16高一下·天津·期中）解关于变量的不等式：． 变式5．（2024高一·全国·专题练习）求不等式的解集． 变式6．（23-24高一·上海·课堂例题）设，解下列关于x的不等式： (1)； (2)； (3)． 变式7．（24-25高一·上海·课堂例题）已知关于x的不等式的解集为M． (1)若，求不等式的解集； (2)若M中的一个元素是0，求实数a的取值范围． 【方法技巧与总结】 含参一元二次不等式的解法有以下几种： 1、当△=b2-4ac≥0时，二次三项式,ax2+bx+c=0有两个实根，那么ax2+bx+c=0，总可分解为a(x-x1)(x-x2)的形式。这样，解—元二次不等式就可归结为解两个一元一次不等式组。一元二次不等式的解集，就是这两个—元一次不等式组的解集的交集。 2、用配方法解—元二次不等式。 3、通过一元二次函数图象进行求解，二次函数图象与X轴的两个交点，然后根据题目所需求的"<0"或">0"而推出答案。 【题型4：由一元二次不等式的解确定参数】 例4．（多选）（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26高一上·上海·单元测试）若不等式的解集是，则实数a、b的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 变式2.（21-22高一上·广东湛江·阶段练习）若不等式的解集为则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．R 变式3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知关于的不等式的解集是或，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 变式4．（24-25高一上·河北石家庄·开学考试）已知不等式的解集为，则= ，= 变式5．（23-24高二下·陕西宝鸡·期末）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . 变式6．（24-25高一上·江苏淮安·开学考试）已知不等式的解是或． (1)用字母a表示出b，c； (2)求不等式的解 变式7．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知关于x的不等式的解集为，求关于x的不等式的解集． 【题型5：一元二次方程根的分布】 例5．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 变式1．（24-25高一上·河南南阳·开学考试）“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是 ； 变式2．（23-24高一上·重庆·期末）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 变式3．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知函数的图象与轴有交点，求的取值范围. 变式4．（23-24高一·上海·课堂例题）已知一元二次方程有两个同号实根，求实数m的取值范围． 变式5．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知方程． (1)若关于的方程总有实数解，求的取值范围； (2)求证：无论取何实数，关于的方程必有互异实数根． 变式6．（24-25高一上·上海·假期作业）已知关于的方程有两个相异实根，求实数的取值范围. 变式7．（23-24高一下·辽宁·期末）已知函数 (1)解关于的不等式； (2)若方程有两个正实数根，求的最小值. 一、单选题 一、单选题 1．（2023高二·安徽·学业考试）不等式的解集为（    ） A． B．，或 C． D．，或 2．（23-24高二下·山东威海·期末）若“”是“”的必要条件，则实数的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·广西南宁·期末）“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知不等式的解集为,则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．的解集为 5．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）不等式的解集为（ ） A．R B． C． D． 6．（23-24高一上·云南昭通·期末）不等式的解集是，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·安徽亳州·期末）一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·湖北十堰·期末）已知关于的不等式.的解集为.则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 10．（23-24高一上·广东茂名·期中）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为 C．不等式的解集是 D．设，则的最小值为4. 11．（23-24高一下·广东潮州·开学考试）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高一上·全国·课后作业）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，且，则实数的值为 ． 13．（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）若集合，，且“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ． 14．（23-24高一下·北京石景山·期中）不等式的解集是 ． 四、解答题 15．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知命题：，： (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围． 16．（24-25高一上·云南文山·阶段练习）已知函数，． (1)当时，，求的最小值； (2)当时，，求关于x的不等式的解集． 17．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）已知：，：. (1)若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围； (2)若是的既不充分也不必要条件，求实数m的取值范围. 18．（23-24高一上·河南郑州·期中）已知函数； (1)若不等式的解集是且，求实数的值； (2)若，，解不等式. 19．（23-24高一上·重庆·期中）已知关于的不等式． (1)当，时，求原不等式的解集； (2)在（1）的条件下，若原不等式恰有个整数解，求的取值集合． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$