1.4.3一元二次不等式的应用（1知识点+4题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第一册）

4.3一元二次不等式的应用 课程标准 学习目标 1. 会解可化为一元二次不等式的简单分式不等式 2. 能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决(难点)。 1.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法; 2.掌握含参数的一元二次不等式的解法。 知识点用一元二次不等式解决实际问题的步骤 1.选取合适的字母表示题中的未知数 2.由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组) 3.求解所列出的不等式(组) 4.结合题目的实际意义确定答案 【即学即练1】（20-21高一·全国·课后作业）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：m）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】（23-24高一上·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 难点：恒成立问题 示例1：（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知关于x的不等式，若，则该不等式的解集是 ，若该不等式对任意的均成立，则实数的取值范围是 . 【题型1：一元二次不等式在R上恒成立问题】 例1．（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 变式1．（23-24高一下·江苏镇江·期中）若命题“，”是假命题，则实数的最小值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 变式2．（24-25高一·上海·课堂例题）若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 变式3．（24-25高一上·上海·单元测试）不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 变式4．（23-24高一上·江苏·阶段练习）不等式的解集为，则实数的取值范围为 变式5．（2024·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . 变式6．（24-25高一上·全国·课后作业）若，函数的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围． 变式7．（23-24高一·上海·课堂例题）若关于x的不等式对于一切实数x都成立，求实数k的取值范围． 变式8．（25-26高一上·上海·单元测试）已知关于x的不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围． 【方法技巧与总结】 一元二次不等式在R上恒成立问题 1.恒成立 2.恒成立 【题型2：给定区间恒成立问题】 例2．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式1．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知不等式. (1)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围. 变式2．（24-25高一上·全国·课堂例题）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 变式3．（23-24高一·上海·课堂例题）设函数，当时，其函数值恒大于等于零.求实数a的取值范围. 变式4．（24-25高一上·上海·随堂练习）关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 变式5．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知二次函数. (1)若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式（其中）. 变式6．（24-25高一·上海·课堂例题）（1）因式分解：； （2）画出二次函数的图象； （3）已知使不等式成立的任意一个x，都满足不等式，求实数a的取值范围． 【方法技巧与总结】 有关给定区间上的恒成立问题，通常处理方法有两种 (1)考虑能否进行参变量分离,若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值从而建立参变量的不等式 (2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解 【题型3：一元二次不等式有解问题】 例3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C．且 D．且 变式1．（23-24高二上·浙江·期中）若关于x的不等式在上有解，则实数m的最小值为（    ） A．9 B．5 C．6 D． 变式2．（23-24高一上·山东聊城·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式3．（24-25高一上·全国·随堂练习）若命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是 . 变式4．（22-23高一上·辽宁·阶段练习）若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 变式5．（21-22高一上·新疆哈密·期末）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ． 变式6．（23-24高一上·河北石家庄·期中）若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为 . 变式7．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数． (1)若，解关于的不等式； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 【题型4：一元二次不等式的实际应用】 例4．（24-25高一上·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1．（多选）（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）为配制一种药液，进行了两次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出3升后用水补满，若在第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的75％，则V的可能取值为（    ）． A．4 B．40 C．8 D．28 变式2．（24-25高一上·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是 . 变式3．（22-23高一下·江苏盐城·开学考试）某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：）和汽车刹车前的车速（单位：）之间有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于，则这辆汽车刹车前的车速至少为 ． 变式4．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. (1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. (2)要使总费用最小，求x的值. 变式5．（24-25高一上·全国·单元测试）某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件，若售价降低x成（1成），售出商品的数量就增加成，要求售价不能低于成本价． (1)设该商品一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式； (2)若要求该商品一天的营业额至少为10260元，求x的取值范围． 变式6．（23-24高一·上海·课堂例题）某船从甲码头顺流航行到达乙码头，停留后再逆流航行到达丙码头．如果水流速度为，该船要在内（包含）完成整个航行任务，那么船的速度至少要达到多少？ 变式7．（24-25高一上·上海·课后作业）已知学校超市准备制订新一年的热饮销售计划，根据去年的统计，当热饮单价为1.5元/杯时，每日可卖出800杯，且单价每提高0.1元时，日销售量就降低20杯．若该热饮成本为0.9元/杯，为使今年的日销售利润不低于720元，应如何控制热饮的单价？ 【方法技巧与总结】 1.阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量找准不等关系， 2.将文字语言转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型 3.解不等式，得到数学结论，要注意数学模型中元素的实际意义。 4.回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果， 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知“，不等式恒成立”，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）某产品的总成本为万元，与产量台的关系是，其中，若每台售价为25万元，那么生产厂家不亏本的最低产量是（　　） A．60台 B．90台 C．120台 D．150台 4．（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）设m为给定的实常数，命题，，则“”是“p为真命题”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高一上·云南大理·期末）不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·河南·阶段练习）对于任意的，定义运算：.若不等式对任意实数恒成立，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知对一切实数恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题中为假命题的有（    ） A．x＝0是方程的根 B．340能被5整除 C．对任意实数x，均有 D．方程有两个不等的实数根 10．（24-25高一上·全国·课后作业）不等式的解集非空的一个必要而不充分条件是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·黑龙江绥化·开学考试）若对于，都有，则的值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 三、填空题 12．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）若命题“”是假命题，则实数的最大值 . 13． （24-25高一上·全国·课后作业）某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km．问：从此时起，经 h后A市将受热带风暴影响，大约受影响 h. 14．（24-25高一上·全国·课后作业）若集合只有一个元素，则实数k的值为 ． 四、解答题 15．（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）夏秋交替时节， 某商家为了尽快清仓销货， 决定对短袖衬衫A进行打折处理．经过市场调查发现，每个月A的销量（单位: 件）与折扣（单位: 折）之间的关系近似满足一次函数．已知的成本价为50元/件，原售价为100元/件，设A每月的总利润为（单位: 元）． (1)求的最大值; (2)该商家将与A相同成本价的短袖恤按60元/件销售， 若每销售1件可销售1件， 要求A与的总利润不低于3000元， 求A售价的最小值． 16．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知命题p：，；命题q：， (1)若p是真命题，求实数a的取值范围； (2)若p与q有且只有一个为假命题，求实数a的取值范围. 17．（24-25高一上·全国·课后作业）设函数．已知关于的不等式的解集为． (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程在区间内有解，求实数的取值范围． 18．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）设． (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)解关于x的不等式． 19．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知函数，. (1)若关于的方程有两个实数根，，且，求实数的取值范围； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3一元二次不等式的应用 课程标准 学习目标 1. 会解可化为一元二次不等式的简单分式不等式 2. 能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决(难点)。 1.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法; 2.掌握含参数的一元二次不等式的解法。 知识点用一元二次不等式解决实际问题的步骤 1.选取合适的字母表示题中的未知数 2.由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组) 3.求解所列出的不等式(组) 4.结合题目的实际意义确定答案 【即学即练1】（20-21高一·全国·课后作业）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：m）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形相似列出方程，将矩形的另一边用表示，再根据矩形的面积不小于300m2列出不等式，即可求出结果. 【详解】设矩形的另一边长为m，则由三角形相似知，， 所以，因为，所以， 即，解得. 故选:C 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的应用，关键是建立数学模型，解一元二次不等式，属于基础题. 【即学即练2】（23-24高一上·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，列出一元二次不等式，结合实际意义求出范围即可. 【详解】依题意，，即，解得， 因为，则，所以这批台灯的销售单价x的取值范围是. 故选：A 难点：恒成立问题 示例1：（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知关于x的不等式，若，则该不等式的解集是 ，若该不等式对任意的均成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 ， . 【分析】代入，化简可得 ，根据一元二次不等式解法求结论，当时由条件求的取值范围，当时，化简不等式，由条件求的取值范围，由此可得结论. 【详解】当时，不等式可化为， 所以， 所以或， 所以不等式的解集是， 由已知对任意的，不等式恒成立， 当时，，此时， 当时，不等式，可化为， 所以，其中， 所以，所以， 所以不等式对任意的均成立时，的取值范围是. 故答案为：，. 【题型1：一元二次不等式在R上恒成立问题】 例1．（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况，结合不等式恒成立求参数的取值范围. 【详解】当时，不等式为对一切实数都成立，符合题意， 当时，要使得不等式对一切实数都成立， 则，解得， 综上所述，的取值范围为. 故选：D． 变式1．（23-24高一下·江苏镇江·期中）若命题“，”是假命题，则实数的最小值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由题意可得命题的否定为真命题，进而可得出答案. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以其否定“，”是真命题， 则，解得， 所以实数的最小值为. 故选：D. 变式2．（24-25高一·上海·课堂例题）若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】依题意可得不等式对任意实数x均成立，对二次项系数分类讨论即可得实数a的取值范围. 【详解】将不等式整理可得， 即不等式对任意实数x均成立， 当，即时，不等式变为，满足题意； 当时，需满足，解得； 综上可得实数a的取值范围是. 故选：B 变式3．（24-25高一上·上海·单元测试）不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况，结合二次函数的性质分析讨论即可得解. 【详解】当，即时，恒成立， 当时，因为对恒成立， 所以，解得， 综上，， 即实数a的取值范围为. 故选：C 变式4．（23-24高一上·江苏·阶段练习）不等式的解集为，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】分，讨论，当时，根据二次函数性质可解. 【详解】当时，恒成立，满足题意； 当时，由题知，解得. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 变式5．（2024·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将问题转化为“在上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解. 【详解】因为“，使”是假命题， 所以“，”为真命题， 其等价于在上恒成立， 又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 变式6．（24-25高一上·全国·课后作业）若，函数的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】根据判别式可恒成立， 【详解】因为函数的图象和x轴恒有公共点，所以对于方程， 恒成立， 即恒成立,由于，所以，故． 综上所述，实数a的取值范围是 变式7．（23-24高一·上海·课堂例题）若关于x的不等式对于一切实数x都成立，求实数k的取值范围． 【答案】 【分析】分类讨论，当满足题意；当时，列出不等式组求解即可． 【详解】当时，符合题意； 当时，由题可知，即，解得； 综上所述，． 变式8．（25-26高一上·上海·单元测试）已知关于x的不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】分及进行讨论，结合二次函数的图象性质即可得解. 【详解】当时，有，故时符合要求； 当时，则有，即，即； 综上所述，. 【方法技巧与总结】 一元二次不等式在R上恒成立问题 1.恒成立 2.恒成立 【题型2：给定区间恒成立问题】 例2．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】参变分离可得对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为对任意的，恒成立， 所以对任意的，恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，解得，即的取值范围为. 故选：D 变式1．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知不等式. (1)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次项系数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质，分与两类进行讨论求解即可； （2）根据二次项系数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质，分、和三类进行讨论求解即可； 【详解】（1）①若，则原不等式可化为，显然恒成立， ②若，则不等式恒成立， 等价于 ，解得， 综上，实数m的取值范围是. （2）①当时，则原不等式可化为，显然恒成立， ②当时，函数的图象开口向上，对称轴为直线， 若时不等式恒成立， 则，解得， ③当时，函数的图象开口向下， 若时不等式恒成立， 则，解得， 综上，实数m的取值范围是. 变式2．（24-25高一上·全国·课堂例题）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】. 【分析】条件可转化为的根一个小于1，另一个大于2，结合二次方程区间根结论列不等式求范围. 【详解】因为当时，不等式恒成立， 所以的根一个小于1，另一个大于2， 如图，可得，解得，    所以的取值范围是. 变式3．（23-24高一·上海·课堂例题）设函数，当时，其函数值恒大于等于零.求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】利用二次函数的单调性求解即可. 【详解】在上单调递增， 令， 因为对恒成立， 所以，则，解得：. 故实数a的取值范围为. 变式4．（24-25高一上·上海·随堂练习）关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】将问题转化为，时的最大值小于或等于． 【详解】设，，则的最大值小于等于0． 而，∴对称轴， 而当时，；当时，， ∴的最大值为，即，故实数的取值范围是． 变式5．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知二次函数. (1)若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式（其中）. 【答案】(1),． (2)答案见解析. 【分析】（1）分离参数a，转化为函数最值问题求解； （2）分类讨论求解即可． 【详解】（1）不等式即为：， 当,时，可变形为：， 即, 又，当且仅当，即时，等号成立， ，即， 实数的取值范围是：,． （2）不等式， 即， 等价于， 即， 当时， 当时，因为，解不等式得：； 当时，因为，不等式的解集为； 当时，因为，解不等式得：； 综上所述，不等式的解集为： 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． 变式6．（24-25高一·上海·课堂例题）（1）因式分解：； （2）画出二次函数的图象； （3）已知使不等式成立的任意一个x，都满足不等式，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2）图象见解析；（3）. 【分析】（1）利用十字相乘法直接分解即可； （2）根据二次函数图象性质对参数进行分类讨论即可； （3）对参数进行分类讨论得出不同情况下的解集，再由集合间的基本关系可得实数a的取值范围. 【详解】（1）易知； （2）当时，图象如下图所示： 当时，图象如下图所示： 当时，图象如下图所示： （3）由题意，，得， 由，得 因为使不等式成立的任意一个x，都满足不等式 ①若，则的解集为，满足，符合题意； ②若，则的解集为，则，故，于是； ③若，则的解集为，则，故． 综上，实数a的取值范围为． 【方法技巧与总结】 有关给定区间上的恒成立问题，通常处理方法有两种 (1)考虑能否进行参变量分离,若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值从而建立参变量的不等式 (2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解 【题型3：一元二次不等式有解问题】 例3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据给定条件，列出不等式组并求解即得. 【详解】由方程有两个不相等的实数根，得， 即，解得，因此且， 所以实数m的取值范围是且. 故选：C 变式1．（23-24高二上·浙江·期中）若关于x的不等式在上有解，则实数m的最小值为（    ） A．9 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】先通过分离参数得到，然后利用基本不等式求解出的最小值，则的最小值可求. 【详解】因为在上有解，所以在上有解， 所以， 又因为，当且仅当即时取等号， 所以，所以，即的最小值为， 故选：B. 变式2．（23-24高一上·山东聊城·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当时，由参变量分离法可得，利用基本不等式求出的最大值，即可求得实数的取值范围. 【详解】当时，由，可得，则， 因为，当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，当时，的最大值为，故. 故选：A. 变式3．（24-25高一上·全国·随堂练习）若命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是 . 【答案】或 【分析】根据题意可知，运算求解即可. 【详解】若命题“，”为真命题， 则，解得或， 所以实数m的取值范围是或. 故答案为：或. 变式4．（22-23高一上·辽宁·阶段练习）若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用分离参变量思想，再用换元法转化到对钩函数求最小值，即可得到取值范围. 【详解】由， 因为，所以，令， 由， 构造函数， 即，当且仅当时取等号， 所以 故答案为：. 变式5．（21-22高一上·新疆哈密·期末）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出在的最大值，然后可得关于a的不等式，解出即可. 【详解】设，则在的最大值为4， 因为关于的不等式在上有解， 即，解得， 故答案为：. 变式6．（23-24高一上·河北石家庄·期中）若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将不等式在区间上有解，转化为在区间上有解求解. 【详解】解：因为关于的不等式在区间上有解， 所以在区间上有解， 令在区间上递减， 所以， 所以， 故答案为： 变式7．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数． (1)若，解关于的不等式； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用因式分解法求解含参一元二次不等式即可. （2）利用分离参数法结合基本不等式求解参数范围即可. 【详解】（1）易得 当时，，所以解集为； 当时，，所以解集为； 当时，，所以解集为． （2）若在上有解， 则在上有解， 故，即在上有解， 由，得， 进而知，令，则， 设， 当且仅当时取等号，所以． 【题型4：一元二次不等式的实际应用】 例4．（24-25高一上·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果. 【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 变式1．（多选）（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）为配制一种药液，进行了两次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出3升后用水补满，若在第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的75％，则V的可能取值为（    ）． A．4 B．40 C．8 D．28 【答案】CD 【分析】求出第一次、第二次稀释后的浓度，根据第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的列式，解不等式可得结果. 【详解】第一次稀释后，药液浓度为， 第二次稀释后，药液浓度为， 依题意有，即，解得， 又，即，所以. 故选：CD. 变式2．（24-25高一上·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果. 【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故答案为： 变式3．（22-23高一下·江苏盐城·开学考试）某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：）和汽车刹车前的车速（单位：）之间有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于，则这辆汽车刹车前的车速至少为 ． 【答案】 【分析】设这辆汽车刹车前的车速，利用题设中的的关系式和不等式关系可得的一元二次不等式，求的范围可得． 【详解】设这辆汽车刹车前的车速为 ， 根据题意，有， 整理得， 解得或（舍去）， 所以这辆汽车刹车前的速度至少为 ． 故答案为： 变式4．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. (1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. (2)要使总费用最小，求x的值. 【答案】(1) (2)30 【分析】（1）由题得购买货物的次数为，于是依据题目所给的数据即可得一年的总费用y，再由即可求解的取值范围. （2）先由（1）得一年的总费用y，再直接利用基本不等式即可求出最小时x的值. 【详解】（1）因为公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨， 所以购买货物的次数为， 故， 化简得，解得， 所以x的取值范围为. （2）由（1）可知， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以当时，一年的总费用最小， 故x的值为30. 变式5．（24-25高一上·全国·单元测试）某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件，若售价降低x成（1成），售出商品的数量就增加成，要求售价不能低于成本价． (1)设该商品一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式； (2)若要求该商品一天的营业额至少为10260元，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求出售价降低x成商品售价和售出商品数量即可求该商品一天的营业额，再结合售价不能低于成本价求出变量的取值范围即可得y与x之间的函数关系式. （2）由（1）可得该商品一天的营业额和变量的取值范围，再结合已知条件列出不等式求解即可得解. 【详解】（1）依题意售价降低x成则商品售价为元/件， 售出商品数量为件， 所以该商品一天的营业额为， 又售价不能低于成本价，所以，解得， 所以. （2）由（1）商品一天的营业额为， 令，化简得， 解得，又， 所以x的取值范围为． 变式6．（23-24高一·上海·课堂例题）某船从甲码头顺流航行到达乙码头，停留后再逆流航行到达丙码头．如果水流速度为，该船要在内（包含）完成整个航行任务，那么船的速度至少要达到多少？ 【答案】 【分析】根据题意列出不等式，求解即可． 【详解】设船的速度为，由题可知， 由题意得，，由去分母，整理得， 解得（不合题舍去）或， 所以船的速度至少要达到． 变式7．（24-25高一上·上海·课后作业）已知学校超市准备制订新一年的热饮销售计划，根据去年的统计，当热饮单价为1.5元/杯时，每日可卖出800杯，且单价每提高0.1元时，日销售量就降低20杯．若该热饮成本为0.9元/杯，为使今年的日销售利润不低于720元，应如何控制热饮的单价？ 【答案】答案见解析. 【分析】根据题意列出不等式，即可根据一元二次不等式求解. 【详解】解：设该热饮的销售单价提高元，由题意可得， 化简得， 解得， 所以热饮的单价为，即． 故热饮的单价为 【方法技巧与总结】 1.阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量找准不等关系， 2.将文字语言转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型 3.解不等式，得到数学结论，要注意数学模型中元素的实际意义。 4.回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果， 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程的判别式，列出不等式组求解即得. 【详解】关于x的一元二次方程有实数根，则，解得且， 所以k的取值范围是且. 故选：C 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知“，不等式恒成立”，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式恒成立求参即可. 【详解】由不等式恒成立， 所以, 故选：A. 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）某产品的总成本为万元，与产量台的关系是，其中，若每台售价为25万元，那么生产厂家不亏本的最低产量是（　　） A．60台 B．90台 C．120台 D．150台 【答案】D 【分析】根据利润=销售额总成本，列出不等式，然后解一元二次不等式即可得解. 【详解】由题意，有，即， 所以，解得或（舍）． 故选：D. 4．（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）设m为给定的实常数，命题，，则“”是“p为真命题”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先由命题为真求得的范围，再根据充要条件的要求进行判断即得. 【详解】命题p：，为真等价于，即， 由“”显然推不出“”，故“”不是“p为真命题”的充分条件； 由“”可推出“”，故“”是“p为真命题”的必要条件. 故选：B. 5．（23-24高一上·云南大理·期末）不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判别式小于等于零解出a的范围即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以判别式，解得， 故选：A. 6．（23-24高一上·河南·阶段练习）对于任意的，定义运算：.若不等式对任意实数恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据运算法则得到恒成立，由根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】由已知得对任意实数恒成立， 所以，解得. 故选：C. 7．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用命题为假命题，得到为真命题，即恒成立，即可求出实数的取值范围． 【详解】命题的否定. 因为是假命题，所以是真命题，即恒成立， 所以，解得. 故选：. 8．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知对一切实数恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分和两种情况讨论即可求得答案. 【详解】当时，，成立. 当时，需满足， 所以. 综上，. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题中为假命题的有（    ） A．x＝0是方程的根 B．340能被5整除 C．对任意实数x，均有 D．方程有两个不等的实数根 【答案】AD 【分析】运用方程根的概念，整除知识，不等式性质，根的判别式逐项判断即可. 【详解】对于A，x＝0不满足方程，则A错误． 对于B, 340确实能被5整除，则B正确． 对于C,运用不等式性质知道对任意实数x，均有，则C正确. 对于D, ,则方程没有实数根,则D错误. 故选：AD． 10．（24-25高一上·全国·课后作业）不等式的解集非空的一个必要而不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先求出不等式的解集非空时的取值范围，再根据必要而不充分条件的定义分析判断即可. 【详解】因为的解集非空， 所以或，所以或， 综上， 对于A，是的解集非空的充要条件，所以A错误， 对于B，是的解集非空的一个必要而不充分条件，所以B正确， 对于C，是的解集非空的一个必要而不充分条件，所以C正确， 对于D，是的解集非空的一个充分而不必要条件，所以D错误. 故选：BC 11．（23-24高一下·黑龙江绥化·开学考试）若对于，都有，则的值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】AB 【分析】利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可； 【详解】依题意，命题等价于恒成立， 所以，解得，即，故AB正确，CD错误. 故选：AB. 三、填空题 12．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）若命题“”是假命题，则实数的最大值 . 【答案】 【分析】由命题的否定转化为能成立问题，利用分离参数法和基本不等式即可求解. 【详解】由题知命题的否定“”是真命题． 即，即，其中， 因为，当且仅当时等号成立，则 故实数的最大值为 故答案为：. 13． （24-25高一上·全国·课后作业）某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km．问：从此时起，经 h后A市将受热带风暴影响，大约受影响 h. 【答案】 【分析】根据给定条件，建立坐标系，求出热带风暴中心B随时间变化的坐标，再列出一元二次不等式求解作答. 【详解】如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系.    因为，所以热带风暴中心B的坐标为， 则x h后热带风暴中心B到达点处， 依题意，当A市受热带风暴影响时，有，即， 整理得，解得，， 所以在h后，A市会受到热带风暴的影响，时间长达h. 故答案为：； 14．（24-25高一上·全国·课后作业）若集合只有一个元素，则实数k的值为 ． 【答案】0或1 【分析】集合只有一个元素，讨论当，时，方程只有一个根，可得k的值. 【详解】集合只有一个元素， 即方程只有一个根， 当时，时，，，满足题意； 当时，，解得. 故答案为：0或1. 四、解答题 15．（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）夏秋交替时节， 某商家为了尽快清仓销货， 决定对短袖衬衫A进行打折处理．经过市场调查发现，每个月A的销量（单位: 件）与折扣（单位: 折）之间的关系近似满足一次函数．已知的成本价为50元/件，原售价为100元/件，设A每月的总利润为（单位: 元）． (1)求的最大值; (2)该商家将与A相同成本价的短袖恤按60元/件销售， 若每销售1件可销售1件， 要求A与的总利润不低于3000元， 求A售价的最小值． 【答案】(1)2450元 (2)元/件 【分析】（1）表达出，配方后得到最大值； （2）表达出A与的总利润为，从而得到不等式，求出A售价的最小值. 【详解】（1）由题意得，每件短袖补衫A的利润为（元）， 所以 ， 当时，取到最大值，最大值为2450元． （2）设A与的总利润为（单位：元）， 则， 得，得． 故打七折时，A售价最小，A售价的最小值为元/件． 16．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知命题p：，；命题q：， (1)若p是真命题，求实数a的取值范围； (2)若p与q有且只有一个为假命题，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）参变量分离等价变形后，转化为恒成立问题，再转化为求最值问题，即可得解； （2）分“p真q假”和“p假q真”两类进行讨论，根据题意，分别列出不等式组，即可得解. 【详解】（1）命题p：，为真， 则恒成立，等价于， 令，由基本不等式可得，， 当且仅当时，等号成立，即，所以 故实数a的取值范围为. （2）命题q为真命题：，， 故，解得或 由于p与q有且只有一个为假命题， ①p真q假：，故； ②p假q真：，故； 故实数a的取值范围为. 17．（24-25高一上·全国·课后作业）设函数．已知关于的不等式的解集为． (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程在区间内有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由题意可得的解集为，则－4和1是方程的两个根，然后利用根与系数的关系列方程可求出，从而可求出函数的解析式； （2）问题转化为在区间内有解，则，然后利用基本不等式可求得答案. 【详解】（1）不等式的解集为， 即的解集为， 所以－4和1是方程的两个根， 所以由根与系数的关系可得，解得， 所以． （2）因为关于的方程在区间内有解， 所以在区间内有解， 所以（）， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以． 18．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）设． (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)4 (3)答案见解析 【分析】（1）分和讨论，当时，根据相应二次函数开口方向和判别式列不等式组即可求解； （2）变形为，利用基本不等式求解可得； （3）整理得，根据二次系数是否为0、相应二次函数开口分析、两根的大小关系分类讨论即可. 【详解】（1）由恒成立得：对一切实数x恒成立. 当时，不等式为，不合题意； 当时，，解得：； 综上所述：实数m的取值范围为． （2），， ， （当且仅当，即时取等号），的最小值为4． （3）由得：； ①当时，，解得：，即不等式解集为； ②当时，令，解得：，； 1）当，即时，不等式解集为； 2）当，即时，不等式解集为； 3）当，即时，不等式可化为， ，不等式解集为； 4）当，即时，不等式解集为； 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． 19．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知函数，. (1)若关于的方程有两个实数根，，且，求实数的取值范围； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程根的情况，结合判别式与韦达定理列不等式，解不等式即可； （2）方法一：不等式可化为，变化主元，转化为关于的一次函数，结合一次函数值域可得不等式，解不等式；方法二：分情况讨论，分离参数，解决不等式恒成立问题. 【详解】（1）关于的方程有两个实数根，， 则，解得， 又， 则，即， 综上所述，实数的取值范围为； （2）方法一：不等式可化为（*）， 令， 由题知对恒成立 则有， 得， 得或， 综上得的取值范围是； 方法二：不等式可化为（*）. 由题知不等式（*）对恒成立. ①当，即时，得到，使得对恒成立，所以，解得或（舍）； ②当，时，不等式（*）显然不成立，此时不符合题意； ③当，时，得到，使得对恒成立，则，解得或（舍）， 综上得的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$