21.3 实际问题与一元二次方程（二）同步练习2024-2025学年人教版 数学 九年级上册

数学（人教版）| 九年级（上） 同步练习 第二十一章 一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程（二） · 商品销售问题 · 数字问题 · 几何问题 一．商品销售问题 1．某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．该店要想平均每天盈利12160元，则每顶帐篷应降价多少元？设降价x元，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 2．上党腊驴肉是山西长治的传统名吃，其肉质肥而不腻、瘦而不柴，香味四溢、回味无穷．某特产专卖店购进一批袋装上党腊驴肉，进价为40元/袋，经市场调查发现，当销售单价为60元时，每天可售出300袋；销售单价每降低1元，每天可多售出20袋．若销售单价降低x元，该专卖店每天销售这种腊驴肉可获得利润5000元，则可列方程为（　　） A．（60﹣40+x）（300+20x）＝5000 B．（60﹣40+x）（300﹣20x）＝5000 C．（60﹣40﹣x）（300﹣20x）＝5000 D．（60﹣40﹣x）（300+20x）＝5000 3．某型号的手机连续两次降价，每台售价由原来的2185元降到1580元，设平均每次降价的百分率为x，则列出的方程正确的是（　　） A．1580（1+x）2＝2185 B．2185（1﹣2x）＝1580 C．2185（1﹣x）2＝1580 D．1580（1﹣x）2＝2185 4．某超市用600元购买一种文具，若商品的进价上涨20%，则少买20件．在销售过程中发现：售价为6（元/件）时，当天的销售量为100件，售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件． （1）求该文具的进价； （2）设当天销售单价统一为x（元/件）（x≥6，且x是0.5的倍数），当天销售利润为y元．求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）若每件文具的利润不超过80%，要使当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润． 5．某商店销售某种商品，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出2件． （1）若降价3元，则平均每天销售数量为 　 　件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为2100元？ 6．企鹅塔祖尼是2023年女足世界杯的吉祥物，塔祖尼造型的玩偶非常畅销．某特许经销店销售一种塔祖尼造型玩偶，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件售价为8元时，每天的销售量为110件；当每件售价为10元时，每天的销售量为100件． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为多少元？ （3）设该商店销售这种玩偶每天获利w（元），当每件玩偶的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 7．2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州举行，亚运会期间，某专营店直接从工厂购进某种纪念品，进价为25元/件，售价为37元/件，亚运会结束后，该店计划降价销售，根据经验，如果按照原价销售，平均每天可售出4件，每降价1元，平均每天可多售出2件． （1）设每件降价x元，则每天可销售 　 　件； （2）当售价为多少时，才能使平均每天销售利润为90元？ 二．数字问题 8．根据“一个数比它本身的平方小4”列方程时，若设这个数为x，则可列出方程（　　） A．x2﹣4＝x B．x﹣4＝x2 C．（x+4）2＝x D．（x﹣4）2＝x 9．已知两个相邻奇数的积是195，则较大的一个奇数是（　　） A．19 B．13 C．17 D．15 10．一个两位数比它的个位数字的平方小2．并且个位数字比十位数字大3．下列的各数中，是符合要求的两位数的是（　　） A．25 B．36 C．47 D．59 11．有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求这个两位数． 12．“五一国际劳动节”是世界上80多个国家的全国性节日，中国中央人民政府政务院于1949年12月作出决定，将5月1日确定为“劳动节”．如图是2024年5月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为136，求这个最小的数（请用方程知识解答）． 13．读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄） 大江东去浪淘尽，千古风流数人物； 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十位恰小个位三，个位平方与寿符； 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ 三．几何问题 14．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百步，一只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为800平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多（　　）步？ A．15 B．12 C．20 D．6 15．在数学实践课上，小华要给一幅长30cm，宽20cm的手抄报加一个边框，如图所示，上下左右边框的宽度相等，且整个图形面积为704cm2，则小华添加的边框的宽度是（　　） A．1cm B．2cm C．1.5cm D．3cm 16．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2.求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为x m，根据题意所列方程为（　　） A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520 B．（40﹣x）（22﹣x）＝520 C．（40﹣x）（22﹣2x）＝520 D．（40﹣x）（22+x）＝520 17．如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料． （1）当矩形花园的面积为300平方米时，求AB的长； （2）能否围成500平方米的矩形花园，为什么？（计算说明） 18．某校园内有一块长为40m，宽为30m的矩形场地，计划在这个场地上修建等宽的道路，剩余部分种上草坪． （1）如图①，测得草坪的面积是1064m2，求道路的宽度； （2）学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重新规划，打算修建两横两竖等宽的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），如图②所示，剩余部分建为学生综合实践种植园，如果要使种植园的面积是场地面积的二分之一，道路的宽度应设计为多少？ 19．有一块长28cm，宽16cm的矩形纸片． （1）如图1，如果在纸片的四个角裁去四个边长相等的小正方形（阴影部分）后，将其折成无盖长方体盒子．若折成的盒子的底面积为220cm2，求裁去的小正方形的边长； （2）若需要制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，小颖设计了如图2的裁剪方案（阴影部分为裁剪下来的边角料），其中左侧的两个阴影部分为正方形，右侧的两个阴影部分为矩形，问能否折出底面积为144cm2的有盖盒子（接缝忽略不计）？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由． 答案 一．商品销售问题 1．某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．该店要想平均每天盈利12160元，则每顶帐篷应降价多少元？设降价x元，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 2．上党腊驴肉是山西长治的传统名吃，其肉质肥而不腻、瘦而不柴，香味四溢、回味无穷．某特产专卖店购进一批袋装上党腊驴肉，进价为40元/袋，经市场调查发现，当销售单价为60元时，每天可售出300袋；销售单价每降低1元，每天可多售出20袋．若销售单价降低x元，该专卖店每天销售这种腊驴肉可获得利润5000元，则可列方程为（　　） A．（60﹣40+x）（300+20x）＝5000 B．（60﹣40+x）（300﹣20x）＝5000 C．（60﹣40﹣x）（300﹣20x）＝5000 D．（60﹣40﹣x）（300+20x）＝5000 【答案】D 3．某型号的手机连续两次降价，每台售价由原来的2185元降到1580元，设平均每次降价的百分率为x，则列出的方程正确的是（　　） A．1580（1+x）2＝2185 B．2185（1﹣2x）＝1580 C．2185（1﹣x）2＝1580 D．1580（1﹣x）2＝2185 【答案】C 4．某超市用600元购买一种文具，若商品的进价上涨20%，则少买20件．在销售过程中发现：售价为6（元/件）时，当天的销售量为100件，售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件． （1）求该文具的进价； （2）设当天销售单价统一为x（元/件）（x≥6，且x是0.5的倍数），当天销售利润为y元．求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）若每件文具的利润不超过80%，要使当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润． 【答案】解：（1）设该玩具的进价为x元/件，根据题意，得： ， 解得：x＝5， 经检验：x＝5是原方程的解，也符合题意， ∴该玩具的进价为5元/件； （2）由题意，得， 故y与x的函数关系式为：y＝﹣10x2+210x﹣800； （3）∵每件文具利润不超过80%， ∴，得x≤9， ∴文具的销售单价为6≤x≤9， 由（1）得y＝﹣10x2+210x﹣800＝﹣10（x﹣10.5）2+302.5， ∵对称轴为x＝10.5， ∴6≤x≤9在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大， ∴当x＝9时，取得最大值，此时y＝﹣10（9﹣10.5）2+302.5＝280， 即每件文具售价为9元时，最大利润为280元． 5．某商店销售某种商品，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出2件． （1）若降价3元，则平均每天销售数量为 　42　件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为2100元？ 【答案】解：（1）根据题意得：30+×2 ＝30+6×2 ＝30+12 ＝42（件）， ∴平均每天销售数量为42件． 故答案为：42； （2）设每件商品降价x元，则每件的销售利润为（40﹣x）元，平均每天的销售量为30+×2＝（30+4x）件， 根据题意得：（40﹣x）（30+4x）＝2100， 整理得：2x2﹣65x+450＝0， 解得：x1＝10，x2＝， 当x＝10时，40﹣x＝40﹣10＝30＞25，符合题意； 当x＝时，40﹣x＝40﹣＝＜25，不符合题意，舍去． 答：每件商品应降价10元． 6．企鹅塔祖尼是2023年女足世界杯的吉祥物，塔祖尼造型的玩偶非常畅销．某特许经销店销售一种塔祖尼造型玩偶，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件售价为8元时，每天的销售量为110件；当每件售价为10元时，每天的销售量为100件． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为多少元？ （3）设该商店销售这种玩偶每天获利w（元），当每件玩偶的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】解：（1）设每天的销售量y（件）与每件售价x（元）函数关系式为：y＝kx+b（k≠0）， 由题意可知：， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+150； （2）根据题意得：（﹣5x+150）（x﹣8）＝360， 解得：x1＝12，x2＝26（舍去）， 答：若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为12元； （3）根据题意得：w＝y（x﹣8） ＝（﹣5x+150）（x﹣8） ＝﹣5x2+190x﹣1200 ＝﹣5（x﹣19）2+605， ∵8≤x≤15，且x为整数， 当x＜19时，w随x的增大而增大， ∴当x＝15时，w有最大值，最大值为525． 答：每件玩偶的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 7．2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州举行，亚运会期间，某专营店直接从工厂购进某种纪念品，进价为25元/件，售价为37元/件，亚运会结束后，该店计划降价销售，根据经验，如果按照原价销售，平均每天可售出4件，每降价1元，平均每天可多售出2件． （1）设每件降价x元，则每天可销售 　（4+2x）　件； （2）当售价为多少时，才能使平均每天销售利润为90元？ 【答案】解：（1）∵如果按照原价销售，平均每天可售出4件，每降价1元，平均每天可多售出2件， ∴若每件降价x元，则每天可销售（4+2x）件． 故答案为：（4+2x）； （2）根据题意得：（37﹣x﹣25）（4+2x）＝90， 整理得：x2﹣10x+21＝0， 解得：x1＝3，x2＝7， 当x＝3时，37﹣x＝37﹣3＝34（元）， 当 x＝7时，37﹣x＝37﹣7＝30（元）． 答：当售价为34或30元/件时，才能使平均每天销售利润为90元． 二．数字问题 8．根据“一个数比它本身的平方小4”列方程时，若设这个数为x，则可列出方程（　　） A．x2﹣4＝x B．x﹣4＝x2 C．（x+4）2＝x D．（x﹣4）2＝x 【答案】A 9．已知两个相邻奇数的积是195，则较大的一个奇数是（　　） A．19 B．13 C．17 D．15 【答案】D 10．一个两位数比它的个位数字的平方小2．并且个位数字比十位数字大3．下列的各数中，是符合要求的两位数的是（　　） A．25 B．36 C．47 D．59 【答案】C 11．有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求这个两位数． 【答案】解：设原来个位为x，则十位上的数字为8﹣x， 由题意得，[10×（8﹣x）+x][10x+8﹣x]＝1855 解得：x1＝3，x2＝5， 原来十位上的数字为5或3， 答：原来这个两位数53或35． 12．“五一国际劳动节”是世界上80多个国家的全国性节日，中国中央人民政府政务院于1949年12月作出决定，将5月1日确定为“劳动节”．如图是2024年5月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为136，求这个最小的数（请用方程知识解答）． 【答案】解：设这个最小的数为x，则最大的数为（x+9）． 依题意得x（x+9）＝136． 解得x1＝8，x2＝﹣17（不合题意，舍去）． 答：这个最小的数为8． 13．读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄） 大江东去浪淘尽，千古风流数人物； 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十位恰小个位三，个位平方与寿符； 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ 【答案】解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣3．由题意得； 10（x﹣3）+x＝x2， 解得：x1＝5，x2＝6 当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去； 当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意． 答：周瑜去世时的年龄为36岁． 三．几何问题 14．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百步，一只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为800平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多（　　）步？ A．15 B．12 C．20 D．6 【答案】C 15．在数学实践课上，小华要给一幅长30cm，宽20cm的手抄报加一个边框，如图所示，上下左右边框的宽度相等，且整个图形面积为704cm2，则小华添加的边框的宽度是（　　） A．1cm B．2cm C．1.5cm D．3cm 【答案】A 16．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2.求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为x m，根据题意所列方程为（　　） A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520 B．（40﹣x）（22﹣x）＝520 C．（40﹣x）（22﹣2x）＝520 D．（40﹣x）（22+x）＝520 【答案】B 17．如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料． （1）当矩形花园的面积为300平方米时，求AB的长； （2）能否围成500平方米的矩形花园，为什么？（计算说明） 【答案】解：（1）设矩形花园BC的长为x米，则其宽为（60﹣x+2）米，依题意得： （60﹣x+2）x＝300， x2﹣62x+600＝0， 解得：x1＝12，x2＝50， ∵28＜50， ∴x2＝50（不合题意，舍去）， ∴x＝12， ∴（60﹣12+2）＝25（米）， 答：AB的长为25米； （2）不能围成500平方米的矩形花园，理由如下： 若矩形花园面积为500平方米，则： （60﹣x+2）x＝500， 化简得：x2﹣62x+1000＝0， ∵Δ＝622﹣4000＝﹣156＜0， ∴该方程无解， ∴不能围成500平方米的矩形花园． 18．某校园内有一块长为40m，宽为30m的矩形场地，计划在这个场地上修建等宽的道路，剩余部分种上草坪． （1）如图①，测得草坪的面积是1064m2，求道路的宽度； （2）学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重新规划，打算修建两横两竖等宽的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），如图②所示，剩余部分建为学生综合实践种植园，如果要使种植园的面积是场地面积的二分之一，道路的宽度应设计为多少？ 【答案】解：（1）设道路的宽度为x m，则剩余部分可合成长为（40﹣x）m，宽为（30﹣x）m的矩形， 根据题意得：（40﹣x）（30﹣x）＝1064， 整理得：x2﹣70x+136＝0， 解得：x1＝2，x2＝68（不符合题意，舍去）． 答：道路的宽度为2m； （2）设道路的宽度应设计为y m，则剩余部分可合成长为（40﹣2y）m，宽为（30﹣2y）m的矩形， 根据题意得：（40﹣2y）（30﹣2y）＝40×30×， 整理得：y2﹣35y+150＝0， 解得：y1＝5，y2＝30（不符合题意，舍去）． 答：道路的宽度应设计为5m． 19．有一块长28cm，宽16cm的矩形纸片． （1）如图1，如果在纸片的四个角裁去四个边长相等的小正方形（阴影部分）后，将其折成无盖长方体盒子．若折成的盒子的底面积为220cm2，求裁去的小正方形的边长； （2）若需要制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，小颖设计了如图2的裁剪方案（阴影部分为裁剪下来的边角料），其中左侧的两个阴影部分为正方形，右侧的两个阴影部分为矩形，问能否折出底面积为144cm2的有盖盒子（接缝忽略不计）？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由． 【答案】解：（1）设裁去的小正方形的边长为x cm，则折成的无盖长方体盒子的底面长为（28﹣2x）cm，宽为（16﹣2x）cm， 根据题意得：（28﹣2x）（16﹣2x）＝220， 整理得：x2﹣22x+57＝0， 解得：x1＝3，x2＝19（不符合题意，舍去）． 答：裁去的小正方形的边长为3cm； （2）设裁去的小正方形的边长为y cm，则折成的有盖长方体盒子的底面长为＝（14﹣y）cm，宽为（16﹣2y）cm， 根据题意得：（14﹣y）（16﹣2y）＝144， 整理得：y2﹣22y+40＝0， 解得：y1＝2，y2＝20（不符合题意，舍去）， ∴144y＝144×2＝288． 答：能折出底面积为144cm2的有盖盒子，盒子的体积为288cm3． 学科网（北京）股份有限公司 $$