精品解析：北京市海淀区十一学校2024-2025学年九年级上学期开学测试数学试题

常规初三数学暑假学习效果诊断（2024.9） 考试时间：100分钟 满分：100分 一、选择题（共16分，每小题2分） 1. 在《2023北京市数字经济标杆企业评价报告》中，昌平区共有7家重点企业成功获评北京市数字经济标杆企业． 以下是四家标杆企业的商标，其中商标图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．是中心对称图形，故本选项符合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 在 中， 的对边分别为a，b，c，下列条件中可以判断 的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴，即，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∴ ，故C不符合题意； D、∵， ∴， ∴，即，故D不符合题意； 故选：C。 3. 如图，在平行四边形 中，，E为 上一动点，M，N分别为 ， 的中点，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关基础性质．根据平行四边形的性质可得，再根据三角形中位线的性质，求解即可． 【详解】解：在平行四边形 中，， ∴， ∵M，N分别为 ， 的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：A 4. 某商店销售5种领口大小分别为，，，，（单位：）的衬衫，一个月内的销量如下表： 领口大小 销量/件 你认为商店最感兴趣的是这组数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．根据众数的意义求解可得． 【详解】解：商店最感兴趣的是这组数据的众数，众数是这组数据中出现次数最多的，即销量最大的就是众数． 所以商店最感兴趣的是这组数据的众数． 故选：C． 5. 一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数和反比例函数的图象的性质进行判断即可． 【详解】A.由函数的图象可知 ，由函数的图象可知 ，相矛盾，此选项不符合题意； B、由函数的图象可知 ，由函数的图象可知 ，此选项不符合题意； C、由函数的图象可知，由函数的图象可知 ，此选项符合题意； D、由函数的图象可知 ，，一次函数与 轴交与负半轴，相矛盾，故错误，此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是一次函数、反比例函数的图象和性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 6. 如图， 是 的弦， 是 的直径，于点E．在下列结论中，不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理，熟练掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键． 根据垂径定理、圆周角定理判断求解即可． 【详解】解：是 的直径，， ，，，， 故A、B、C不符合题意，D符合题意； 故选：D． 7. 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（　　） A. 小球的飞行高度不能达到15m B. 小球的飞行高度可以达到25m C. 小球从飞出到落地要用时4s D. 小球飞出1s时的飞行高度为10m 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用h＝15以及结合配方法求出二次函数最值分别分析得出答案． 【详解】A、当h＝15时，15＝20t﹣5t2， 解得：t1＝1，t2＝3， 故小球的飞行高度能达到15m，故此选项错误； B、h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20， 故t＝2时，小球的飞行高度最大为：20m，故此选项错误； C、∵h＝0时，0＝20t﹣5t2， 解得：t1＝0，t2＝4， ∴小球从飞出到落地要用时4s，故此选项正确； D、当t＝1时，h＝15， 故小球飞出1s时的飞行高度为15m，故此选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，灵活运用所学知识是解题关键． 8. 如图，四边形 是正方形， 点分别在的延长线上， 且 ，设． 给出下面三个结论：①；②；③上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明，结合三角形的三边关系判断①；完全平方公式结合勾股定理判定②；勾股定理判断③． 【详解】解：∵正方形 ， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；故①正确； ∵，即：， ∴， ∴；故②正确； ∵，且 为动点， ∴无法确定和的关系，故③错误； 故选A． 二、填空题（共17分，9~15题每小题2分，第16题3分） 9. 函数中，自变量 的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可求解，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 10. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有实数根”是解题的关键．根据二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解： 关于 的一元二次方程有实数根， 且， 解得：且， 故答案为：且． 11. 如图，在正方形 中．点E，F，G分别在边 ， ， 上，．若，，则的度数为_____（用含 的式子表示）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，过点G作于点H，证明，得出，求出，根据，即可求出结果． 【详解】解：过点G作于点H，如图所示： ∵四边形 为正方形， ∴，， ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，将直线向左平移 个单位长度，得到直线，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：将直线向左平移 个单位长度得， ∵， ∴，解得， 故答案为：． 13. 如图，将△ABC纸片绕点C顺时针旋转40°得到，连接，若AC⊥，则的度数为 _________ ， 【答案】20°##度 【解析】 【分析】设 与交于点 ，根据旋转的性质可得，根据等边对等角以及三角形的内角和定理求得，根据直角三角形的两个锐角互余即可求得的度数． 【详解】解：设 与交于点 ，如图， ∵将△ABC纸片绕点C顺时针旋转40°得到， ∴ AC⊥， 故答案为： 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，等边对等角，掌握以上知识是解题的关键． 14. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，，在抛物线上，若，则，，的大小关系为_____（用“<”表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质，将三点转化到对称轴的一侧，根据二次函数的性质进行比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， 令关于直线 对称的点坐标为， 则， ∴， ∵ ， ∴当时， 随 的增大而增大， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 15. 如图， 为 的直径，，分别与⊙O相切于点B，C，过点C作 的垂线，垂足为E，交 于点D．若，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，作于H，证明，，四边形为矩形，可得，证明，再进一步可得答案． 【详解】解：如图，作于H， ∵直径于H，，为 的切线， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，分别切 于C，B， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，关键是通过辅助线构造直角三角形，求出 的长． 16. 已知反比例函数．则： （1）当时，y的取值范围为______； （2）当时，y的取值范围为______； （3）当且时，y的取值范围为______． 【答案】 ①. ②. ③. 或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质； （1）根据反比例函数的增减性求解即可； （2）根据反比例函数的增减性求解即可； （3）根据反比例函数的增减性求解即可． 【详解】∵反比例函数， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，在每一象限内， 随 增大而增大； （1）当时，该函数图象在第一象限，且 随 增大而增大， 当时，；当时，； ∴当时，y的取值范围为； 故答案为：； （2）当时，该函数图象位于第二象限，且 随 增大而增大， 当时，； ∴当时，y的取值范围为； 故答案为：； （3）当时，；当时，； 当时，该函数图象在第二象限，且 随 增大而增大，此时y的取值范围为； 当时，该函数图象在第四象限，且 随 增大而增大，此时y的取值范围为； ∴当且时，y的取值范围为或； 故答案为：或． 三、解答题（共67分，第17题6分，第18-22题每小题5分，第23-26题每题7分，第27题4分，第28题4分） 17. （1）计算：． （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，解不等式组； （1）先根据零指数幂，算术平方根化简，再加减计算即可； （2）分别解不等式，再取它们解集的公共部分即可． 【详解】（1）原式 ； （2）解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为． 18. 已知，求分式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，根据可得，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式． 19. 已知 是 的反比例函数， 是 的正比例函数． （1）当时，．当时，．求 与 之间的函数关系式； （2）证明： 是 的反比例函数． 【答案】（1） 与 之间的函数关系式为； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】（ ）利用待定系数法求解即可； （ ）根据反比例函数的定义即可求证； 本题考查了求正比例函数解析式，反比例函数定义及求解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【小问1详解】 解：∵ 是 的反比例函数， 是 的正比例函数， 设，， ∴， ∵时，， ∴，解得：， 当时，， ∴，解得：， ∴， ∴ 与 之间的函数关系式为； 【小问2详解】 ∵ 是 的反比例函数， 是 的正比例函数， 设，， ∴， ∴ 是 的反比例函数． 20. 如图，在四边形 中，，对角线交于点平分角，过点 作交 的延长线于点 ，连接 ． （1）求证：四边形 是菱形； （2）若，求 的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行线和角的平分线，证明 ，继而判断四边形 是平行四边形，结合 得证； （2）利用勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，计算即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵ 平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形 是平行四边形， ∵ ， ∴四边形 是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形 是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 21. 小明的爸爸买了甲、乙两种不同的一年期理财产品共20万元．甲种理财产品的预期年利率为，乙种理财产品的预期年利率为．按预期，小明的爸爸一年共可获得收益14400元．小明的爸爸购买甲、两种不同的理财产品各多少万元？ 【答案】甲种理财产品12万元，乙种理财产品8万元． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出关于收益的等量关系，列出方程，再求解．设甲种理财产品 万元，乙种理财产品万元，根据本题中的等量关系：甲种理财产品的收益乙种理财产品的收益万元，列方程进行解答即可． 【详解】解：设甲种理财产品 万元，乙种理财产品万元， 依题意可得：， 解得：， 万元， 答：甲种理财产品12万元，乙种理财产品8万元． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数的图象平行，且过点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当时，对于 的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出 的取值范围． 【答案】（1）这个一次函数的表达式为； （2）． 【解析】 【分析】（ ）一次函数的图象与函数的图象平行，得， 再把点代入求出 的值，进而可得出结论； （ ）当时，，把点代入，得，然后根据图象即可求解； 本题考查了一次函数的图象，一次函数和不等式的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与函数的图象平行， ∴， ∵一次函数的图象过点， ∴， ∴， ∴这个一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图， 当时，， ∴把点代入， ∴， ∵当时，对于 的每一个值，函数的值都大于函数的值， ∴． 23. 糖类是一类有机化合物，有研究表明，不同种类的糖熔化过程中的温度变化不同．某校兴趣小组为研究糖的种类对其熔化过程中温度变化随时间的影响，选取了两种不同种类的糖，在其他方面均相同的情况下，记录糖初始温度，每隔测定其温度与初始温度的温度差为，部分实验结果如下： 【说明】 a．此实验中均在同一实验室进行，糖的初温均相同； b．可使用函数刻画温度差y（单位：）与时间t（单位：）之间的关系． c．糖完全熔化后持续吸热，温度保持不变，将保持不变的这个温度称为其熔点． 【实验结果】 白砂糖： t 饴糖： t 根据上述结果，回答下列问题： （1）建立平面直角坐标系，根据表格所给数据，分别画出与t，与t所满足的函数关系图象； （2）在相同条件下，更容易熔化的糖是 （填“白砂糖”或“饴糖”）； （3）查阅资料得知，该白砂糖的熔点在，该饴糖的熔点在． 若初始温度为整数． ①初始温度是 ； ②对于饴糖，当与初始温度的温度差为时，其加热时间t为 ，此时白砂糖的温度为 （结果均保留一位小数） 【答案】（1）见解析 （2）饴糖 （3）① 【解析】 【分析】 （1）利用描点法画图象，规范画出图象即可； （2）根据物质的熔点解答，熔点低的更容易融化； （3）①根据资料得到的白砂糖与饴糖的熔点、试验得到的白砂糖与饴糖的熔点比较，可得初始温度是； ②根据题意，得，此时时间为，解得即可． 本题考查了函数图象的信息处理，跨学科学习，平均数的计算，熟练掌握函数图象信息是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，画图如下： 【小问2详解】 解：根据熔点低的容易融化， 故饴糖更易融化， 故答案为：饴糖． 【小问3详解】 解：①，；，， 即白砂糖的初始温度为到之间，饴糖的初始温度为到之间， 因初始温度为整数，故取17℃； 答案为：17． ②根据题意，得，此时时间为，， 故答案为：①；②． 24. 如图， 是 的直径， 是 的弦，于点 ，点 在 上且 ，连接 ． （1）求证：； （2）连接．若，求 的长． 【答案】（1） 证明：∵ 是 的直径，， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由垂径定理可得，则，，进而可得． （2）如图，连接 ，连接，设 的半径为 ，由 是 的直径，可得，由，可得，，则，证明，则，即，可求 ，则，，由勾股定理得，，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接 ，连接， 设 的半径为 ， ∵ 是 的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即． 解得 ， ∴，， 由勾股定理得，， ∵ 是 的直径，， ∴， 由勾股定理得，， ∴ 的长为． 【点睛】本题考查了垂径定理，同弧或等弧所对的弦长相等，直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理，同弧或等弧所对的弦长相等，直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 25. 为了培养学生的爱国情感，某校在每周一或特定活动日举行庄严的升国旗仪式．该校的国旗护卫队共有18名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：），数据整理如下： a．18名学生的身高： 170，174，174，175，176，177，177，177，178， 178，179，179，179，179，181，182，183，186 b．18名学生的身高的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 178 m n （1）写出表中m，n的值； （2）该校的国旗护卫队由升旗手、护旗手、执旗手组成，其中12名执旗手分为两组： 甲组学生的身高 175 177 177 178 178 181 乙组学生的身高 170 174 174 176 177 179 对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组的执旗效果越好． 据此推断：在以上两组学生中，执旗效果更好的是 （填“甲组”或“乙组”）； （3）该校运动会开幕式的升国旗环节需要6名执旗手，因甲组部分学生另有任务，已确定四名执旗手的身高分别为175，177，178，178．在乙组选另外两名执旗手时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的六名执旗手的身高的方差最小，则选出的另外两名学生的身高分别为 和 ． 【答案】（1） 的值为，的值为 （2）甲组 （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的概念，即可解答； （2）根据方差的概念和意义，即方差越大，这组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小，即可解答； （3）根据方差的概念和意义，可确定另外两名学生的身高应该在，据此可解答． 【小问1详解】 将18名学生的身高从小到大排列为：170，174，174，175，176，177，177，177，178，178，179，179，179，179，181，182，183，186， 从中可以看出第9个数据和第10个数据分别是178，178，所以这组数据的中位数为，故； 其中，179出现的次数最多，所以这组数据的众数为179，故； 故答案为：178，179． 【小问2详解】 甲组学生的身高分布于，乙组学生的身高分布于， 据此可以看出甲组学生的身高波动比乙组学生的小，稳定性较大， 所以执旗效果更好的是甲组， 故答案为：甲． 【小问3详解】 根据题意，为保证方差最小，另外两名学生的身高应该在175厘米厘米， 从乙组的数据可以知道，在175厘米厘米的身高有2个，分别是176、177， 故答案为：176、177． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线上有两点，，它的对称轴为直线． （1）若该抛物线经过点，求 的值； （2）当时， 若，则 0；（填“”“”或“”） 若对于，都有，求 的取值范围． 【答案】（1）； （2）；或． 【解析】 【分析】（ ）把点代入解析式求得，然后利用对称轴公式即可求得 的值； （ ）根据图象上点的坐标特征即可求解； 由，得，又，则，再根据抛物线的对称轴为直线，且经过原点，得与 轴的另一个交点为，从而有或，解出不等式即可； 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵ ， ∴抛物线图象开口向下， ∵时，， ∴抛物线过原点， ，， ∴对称轴， ∴ 故答案为：； ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线，且经过原点， ∴与 轴的另一个交点为， ∵， ∴或， 解得：或． 27. 如图，正方形 中，点E为边 上任一点（不与C、D重合），作射线 ，过点C作于点F，连接 ， ． （1）直接写出 的度数； （2）判断线段， ，之间的数量关系（用等式表示），并证明你的结论； （3）过点B作于点H，直接写出，，之间的数量关系（用等式表示）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接 ，利用四点共圆，圆周角定理解答即可； （2）连接 ，过点A作，交的延长线于点H，利用等腰直角三角形的判定和性质，圆的内接四边形的判定和性质，勾股定理解答即可． （3）过点C作于点Q，根据矩形的判定和性质，三角形全等判定和性质，线段和证明即可． 【小问1详解】 解：连接 ， ∵四边形 是正方形， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴． 【小问2详解】 解：，证明如下： 连接 ，过点A作，交的延长线于点H， ∵四边形 是正方形， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵正方形 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴． 【小问3详解】 证明：，证明如下： 过点C作于点Q， 则四边形是矩形， ∴． ∵正方形 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵, ∴， ∴ ， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 28. 【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边 中， ，点 、 分别在边 、 上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】 小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】 如图②，过点 、 分别作、 的平行线，并交于点 ，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的大小为 度，线段长度的最小值为________． 【方法应用】 某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④， 是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点 在 上，点 在 上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米． 【答案】问题解决：（1）证明：过点 、 分别作、 的平行线，并交于点 ，作射线， 四边形是平行四边形， ； （2）30，； 方法应用：线段长度的最小值为米 【解析】 【分析】（1）过点 、 分别作、 的平行线，并交于点 ，作射线，根据平行四边形性质证明结论即可； （2）先证明，根据垂线段最短求出最小值； （3）过点 、 分别作、 的平行线，并交于点 ，作射线，连接 ，求出，进而得，利用垂线段最短求出即可． 【详解】问题解决：（1）略； （2）在等边 中，， ； 当时，最小，此时最小， 在中， ， 线段长度的最小值为； 方法应用：过点 、 分别作、 的平行线，并交于点 ，作射线，连接 ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 当时，最小，此时最小， 作于点R， 在中， ， 在中， ， 线段长度的最小值为米． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质，垂线段最短及矩形性质，熟练掌握相关性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常规初三数学暑假学习效果诊断（2024.9） 考试时间：100分钟 满分：100分 一、选择题（共16分，每小题2分） 1. 在《2023北京市数字经济标杆企业评价报告》中，昌平区共有7家重点企业成功获评北京市数字经济标杆企业． 以下是四家标杆企业的商标，其中商标图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在 中， 的对边分别为a，b，c，下列条件中可以判断 的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平行四边形 中，，E为 上一动点，M，N分别为 ， 的中点，则 的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 不确定 4. 某商店销售5种领口大小分别为，，，，（单位：）的衬衫，一个月内的销量如下表： 领口大小 销量/件 你认为商店最感兴趣的是这组数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5. 一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　　） A. B. C. D. 6. 如图， 是 的弦， 是 的直径，于点E．在下列结论中，不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（　　） A. 小球的飞行高度不能达到15m B. 小球的飞行高度可以达到25m C. 小球从飞出到落地要用时4s D. 小球飞出1s时的飞行高度为10m 8. 如图，四边形 是正方形， 点分别在的延长线上， 且 ，设． 给出下面三个结论：①；②；③上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 二、填空题（共17分，9~15题每小题2分，第16题3分） 9. 函数中，自变量 的取值范围是______． 10. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______． 11. 如图，在正方形 中．点E，F，G分别在边 ， ， 上，．若，，则的度数为_____（用含 的式子表示）． 12. 在平面直角坐标系中，将直线向左平移 个单位长度，得到直线，则______． 13. 如图，将△ABC纸片绕点C顺时针旋转40°得到，连接，若AC⊥，则的度数为 _________ ， 14. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，，在抛物线上，若，则，，的大小关系为_____（用“<”表示） 15. 如图， 为 的直径，，分别与⊙O相切于点B，C，过点C作 的垂线，垂足为E，交 于点D．若，则线段的长为______． 16. 已知反比例函数．则： （1）当时，y的取值范围为______； （2）当时，y的取值范围为______； （3）当且时，y的取值范围为______． 三、解答题（共67分，第17题6分，第18-22题每小题5分，第23-26题每题7分，第27题4分，第28题4分） 17. （1）计算：． （2）解不等式组： 18. 已知，求分式的值． 19. 已知 是 的反比例函数， 是 的正比例函数． （1）当时，．当时，．求 与 之间的函数关系式； （2）证明： 是 的反比例函数． 20. 如图，在四边形 中，，对角线交于点平分角，过点 作交 的延长线于点，连接 ． （1）求证：四边形 是菱形； （2）若，求 的长． 21. 小明的爸爸买了甲、乙两种不同的一年期理财产品共20万元．甲种理财产品的预期年利率为 ，乙种理财产品的预期年利率为．按预期，小明的爸爸一年共可获得收益14400元．小明的爸爸购买甲、两种不同的理财产品各多少万元？ 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数的图象平行，且过点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当时，对于 的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出 的取值范围． 23. 糖类是一类有机化合物，有研究表明，不同种类的糖熔化过程中的温度变化不同．某校兴趣小组为研究糖的种类对其熔化过程中温度变化随时间的影响，选取了两种不同种类的糖，在其他方面均相同的情况下，记录糖初始温度，每隔测定其温度与初始温度的温度差为，部分实验结果如下： 【说明】 a．此实验中均在同一实验室进行，糖的初温均相同； b．可使用函数刻画温度差y（单位：）与时间t（单位：）之间的关系． c．糖完全熔化后持续吸热，温度保持不变，将保持不变的这个温度称为其熔点． 【实验结果】 白砂糖： t 饴糖： t 根据上述结果，回答下列问题： （1）建立平面直角坐标系，根据表格所给数据，分别画出与t，与t所满足的函数关系图象； （2）在相同条件下，更容易熔化的糖是 （填“白砂糖”或“饴糖”）； （3）查阅资料得知，该白砂糖的熔点在，该饴糖的熔点在． 若初始温度为整数． ①初始温度是 ； ②对于饴糖，当与初始温度的温度差为时，其加热时间t为 ，此时白砂糖的温度为 （结果均保留一位小数） 24. 如图， 是 的直径， 是 的弦，于点，点 在 上且 ，连接 ． （1）求证：； （2）连接．若，求的长． 25. 为了培养学生的爱国情感，某校在每周一或特定活动日举行庄严的升国旗仪式．该校的国旗护卫队共有18名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：），数据整理如下： a．18名学生的身高： 170，174，174，175，176，177，177，177，178， 178，179，179，179，179，181，182，183，186 b．18名学生的身高的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 178 m n （1）写出表中m，n的值； （2）该校的国旗护卫队由升旗手、护旗手、执旗手组成，其中12名执旗手分为两组： 甲组学生的身高 175 177 177 178 178 181 乙组学生的身高 170 174 174 176 177 179 对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组的执旗效果越好． 据此推断：在以上两组学生中，执旗效果更好的是 （填“甲组”或“乙组”）； （3）该校运动会开幕式的升国旗环节需要6名执旗手，因甲组部分学生另有任务，已确定四名执旗手的身高分别为175，177，178，178．在乙组选另外两名执旗手时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的六名执旗手的身高的方差最小，则选出的另外两名学生的身高分别为 和 ． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线上有两点，，它的对称轴为直线． （1）若该抛物线经过点，求的值； （2）当时， 若，则 0；（填“”“”或“”） 若对于，都有，求的取值范围． 27. 如图，正方形 中，点E为边 上任一点（不与C、D重合），作射线 ，过点C作于点F，连接 ， ． （1）直接写出的度数； （2）判断线段，，之间的数量关系（用等式表示），并证明你的结论； （3）过点B作于点H，直接写出， ，之间的数量关系（用等式表示）． 28. 【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边 中， ，点 、分别在边 、 上，且，试探究线段 长度的最小值． 【问题分析】 小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】 如图②，过点 、 分别作 、 的平行线，并交于点 ，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的大小为 度，线段 长度的最小值为________． 【方法应用】 某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④， 是等腰三角形，四边形是矩形，米，． 是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点 在 上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳 长度的最小值为多少米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $