精品解析：山东省东营市广饶县乐安中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

九年级数学收心检测试题 (时间90分钟分值120分) 一、选择题：(每题3分，共30分) 1. 用配方法解方程时，方程可变形为（　　　） A. B. C. D. 2. 下列各式计算正确是（ ） A. B. C. D. 3. 若式子有意义，则实数的取值范围是（ ）　 A. B. C. 且 D. 且 4. 下列命题，其中是真命题的为（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 一组邻边相等的矩形是正方形 5. 在中，，，，那么等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形ABCD周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于( ) A. 3cm B. 4cm C. 2.5cm D. 2cm 7. 如图，正方形和正方形的边长都是，正方形绕点旋转时，两个正方形重叠部分的面积是（ ） A. B. C. D. 不能确定 8. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 已知反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. 图像经过点 B. 图像位于第二、四象限 C. 图像关于直线对称 D. 随的增大而增大 10. 如图，点P是正方形的对角线上一点，于点E；于点F，连接，给出下列五个结论：①；②；③；④；⑤，正确的有（　　）个． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题：(11-14每题3分，15-18每题4分，共28分) 11. 反比例函数的比例系数是_______． 12. _______． 13. 若，则 ______． 14. 已知，则___________． 15. 若函数y=（3+m）是反比例函数，则m=　__________． 16. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______． 17. 如图，正方形纸片的边长为，E是边上一点，连接、折叠该纸片，使点A落在上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕，点F在上，若，则的长为________． 18. 如图，在中，，，，点是斜边上的一个动点，于点，于点，连接，则线段的最小值为______． 三、解答题(5个题共62分)． 19. 计算： （1） （2） （3）解方程： （4） （5）先化简，再求值：，其中 20. 已知是的反比例函数，且当时，． （1）求与之间函数关系式． （2）当时，求值． （3）当取何值时，？ 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为 （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）连接，求的面积． 22. 某商店以每件40元的价格进了一批商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品． （1）求该商品平均每月的价格增长率； （2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时销售此商品每月的利润可达到4000元． 23. 如图1，在和中，，是线段上一动点，连接． （1）填空： ①的值为 ； ②的度数为 ． （2）类比探究 如图2，在和中，，是线段上一动点，连接．请求出的值及的度数，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学收心检测试题 (时间90分钟分值120分) 一、选择题：(每题3分，共30分) 1. 用配方法解方程时，方程可变形为（　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法可直接进行排除选项． 【详解】由配方法解方程时，方程可变形为； 故选A． 【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键． 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则计算各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：A. ，计算错误，故不符合题意； A. ，计算正确，故符合题意； A. 和不是同类二次根式，不能合并，计算错误，故不符合题意； A. ，计算错误，故不符合题意 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 3. 若式子有意义，则实数的取值范围是（ ）　 A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义条件和分式有意义的条件列出不等式组，通过解不等式组即可求出答案． 【详解】依题意得：． 解得 m≥−1且m≠3． 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式的条件，本题属于基础题型． 4. 下列命题，其中是真命题的为（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 一组邻边相等的矩形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定判断A选项，根据菱形的判定判断B选项，根据矩形的判定判断C选项，根据正方形的判定判断D选项，真命题选择选项说法正确的即可． 【详解】解：A选项，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A选项错误，不符合题意； B选项，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B选项错误，不符合题意； C选项，对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项错误，不符合题意； D选项，一组邻边相等矩形是正方形，故D选项正确，符合题意 故选D． 【点睛】本题考查了真命题、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定的知识点，熟练掌握这些判定是解答本题的关键． 5. 在中，，，，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的计算，根据正切的定义计算选择即可． 【详解】∵，，， ∴， 故选D． 6. 如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于( ) A. 3cm B. 4cm C. 2.5cm D. 2cm 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵菱形ABCD的周长为24cm， ∴AB=24÷4=6cm， ∵对角线AC、BD相交于O点， ∴OB=OD，∵E是AD的中点， ∴OE是△ABD的中位线， ∴OE=AB=×6=3cm． 故选A． 【点睛】本题考查菱形的性质和中位线的性质，掌握菱形和中位线的性质是解题关键． 7. 如图，正方形和正方形的边长都是，正方形绕点旋转时，两个正方形重叠部分的面积是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出，，，推出，证出≌，即可求出两个正方形重叠部分的面积． 【详解】解： 四边形和四边形都是正方形， ，，， ． 在与中， ， ≌， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，能推出四边形的面积等于三角形的面积是解此题的关键． 8. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解． 【详解】当时，，则一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一 、三象限，故排除A，C选项； 当时，，则一次函数经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限，故排除B选项， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像的性质，熟练掌握相关性质与函数图像的关系是解决本题的关键． 9. 已知反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. 图像经过点 B. 图像位于第二、四象限 C. 图像关于直线对称 D. 随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是熟知反比例函数的性质（当时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大）．根据反比例函数的图像及性质对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵反比例函数， 当时，， ∴图像必经过，故A选项说法正确，不符合题意； ∵反比例函数的比例系数， ∴图像的两支分别位于第二、第四象限，且在每一象限内随的增大而增大， 故选项B说法正确，不符合题意；选项D说法不正确，符合题意， ∴图像关于直线对称，故选项C说法正确，不符合题意． 故选：D． 10. 如图，点P是正方形的对角线上一点，于点E；于点F，连接，给出下列五个结论：①；②；③；④；⑤，正确的有（　　）个． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，有较强的综合性，构造适当辅助线，综合运用这些知识是解题的关键． 连接，可得四边形是矩形，则，再证明，则可得，从而可判定①；延长，交于点N，由平行线的性质及得，则得，即有，从而可判定②；由②的证明可判定③；易得是等腰直角三角形，则由勾股定理及矩形的性质得：，则可判定④；过点A作且，连接，证明，由勾股定理即可判定⑤． 【详解】解：连接， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； 故①正确； 延长，交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； 故②正确； 由②的证明知：，， ∴； 故③正确； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴； 故④错误， 过点A作且，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∵，， ∴． 故⑤正确， 所以正确的有4个：①②③⑤. 故选：B 二、填空题：(11-14每题3分，15-18每题4分，共28分) 11. 反比例函数的比例系数是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】将化为的形式或的形式即可． 【详解】解：可以化为：， ∴反比例函数的比例系数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数表达式，其常见的表达形式有：、、，其中 ；熟记这几种表达形式是解题的关键． 12. _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的运算，直接将特殊角的三角函数值代入计算即可．牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为． 13. 若，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】由，所以设，再代入求值可得答案． 详解】解： ， 设 故答案为： 【点睛】本题考查的是比例的性质，求分式的值，掌握以上知识是解题的关键． 14. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及负整数指数幂的计算，根据二次根式有意义的条件得出是解题关键． 【详解】解：由题意得：， ∴， 即： ∴， ∴， 故答案为：． 15. 若函数y=（3+m）是反比例函数，则m=　__________． 【答案】3 【解析】 【详解】解：根据反比例函数的定义可得： ， 解得：m=3. 【点睛】本题考查反比例函数的定义. 16. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义和一元二次方程根的判别式列不等式组求解即可． 【详解】解：根据题意，得 ， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 17. 如图，正方形纸片的边长为，E是边上一点，连接、折叠该纸片，使点A落在上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕，点F在上，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，涉及了勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，根据题意可得，进一步可推出；根据求出即可求解． 【详解】解：如图所示： 由题意得： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为： 18. 如图，在中，，，，点是斜边上的一个动点，于点，于点，连接，则线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，连接，即可证明四边形是矩形；由矩形得出，再由三角形的面积关系求出的最小值，即可得出结果，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当时，值最小， 此时，的面积， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题(5个题共62分)． 19. 计算： （1） （2） （3）解方程： （4） （5）先化简，再求值：，其中 【答案】（1） （2） （3）或 （4） （5）， 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的化简求值，解一元二次方程，实数的混合运算，三角函数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用二次根式性质化简，然后再进行计算即可解答； （2）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答； （3）利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可； （4）先根据乘方、绝对值的意义计算，再根据特殊角的三角函数值计算，然后合并即可； （5）直接利用二次根式的性质化简，进而把已知数据代入得出答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ， 或， ，； 【小问4详解】 解： ； 【小问5详解】 解： ， 当时，原式． 20. 已知是的反比例函数，且当时，． （1）求与之间的函数关系式． （2）当时，求的值． （3）当取何值时，？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了求反例函数的解析式求函数值和自变量值，熟练掌握待定系数法是解题的关键． (1)直接利用待定系数法求解即可； (2)把代入求解即可； (3)令，代入求解即可． 【小问1详解】 解：设， 因为当时，， 所以， 解得． 所以与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：当时，． 【小问3详解】 解：当时，，解得． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为 （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1）反比例函数的解析式为:，一次函数的解析式为：； （2）的面积为9． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，解决问题的关键是了解反比例函数图象上点的坐标特征和待定系数法确定函数解析式． （1）先把代入反比例函数解析式得到m的值，从而确定反比例函数的解析式；再利用反比例函数解析式确定B点坐标为，即可用待定系数法确定所求的一次函数的解析式； （2）先依据一次函数求得点C的坐标，分别求出和进而得到的面积； 【小问1详解】 解：将代入，得 反比例函数的解析式为：； 将代入，得， 解得， ， 将和分别代入，得 ， 解得， 所求的一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解： 连接，如图所示： 当时，， 解得：， ， ，， 22. 某商店以每件40元的价格进了一批商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品． （1）求该商品平均每月的价格增长率； （2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时销售此商品每月的利润可达到4000元． 【答案】（1）20%;（2）60元 【解析】 【分析】（1）设该商品平均每月的价格增长率为m，根据该商品的原价及经过两次涨价后的价格，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据总利润＝单价利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：（1）设该商品平均每月的价格增长率为m， 依题意，得：50（1+m）2＝72， 解得：m1＝0.2＝20%，m2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该商品平均每月的价格增长率为20%． （2）依题意，得：（x﹣40）[188+（72﹣x）]＝4000， 整理，得：x2﹣300x+14400＝0， 解得：x1＝60，x2＝240（不合题意，舍去）． 答：x为60元时商品每天的利润可达到4000元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23. 如图1，在和中，，是线段上一动点，连接． （1）填空： ①的值为 ； ②的度数为 ． （2）类比探究 如图2，在和中，，是线段上一动点，连接．请求出值及的度数，并说明理由． 【答案】（1）1； （2）； 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）①根据题意证明，进而由相似三角形的性质即可得出结论；②由即可得出结论； （2）根据题意证明，进而由相似三角形的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：①， ，，， ， ， ； ②， ， ． 【小问2详解】 ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$