2.2函数的基本性质（2）（课件）《中职数学》同步教学（劳保版第七版）

函数的单调性（二） 用定义判断函数的单调性 1 函数的的单调性（二） 利用增函数、减函数的定义来判断函数的单调性，这种方法我们把它叫做定义法. 2 函数的的单调性（二） 增函数 x1 x2 f(x1) f(x2) 增函数的图像是呈上升趋势，随着自变量增大，函数值也越来越大． 如果在图上任取两个自变量x1<x2， 它们所对应的函数值 设函数y=f(x)的定义域为D，区间I⊆D． 如果对于区间I上的任意两点x1和x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么称函数y=f(x)在区间I上是增函数，区间I称为函数y=f(x)的增区间． 定义 f(x1)<f(x2)． 区间I一定要在定义域内 y=f(x) 3 函数的的单调性（二） 增函数 x1 x2 f(x1) f(x2) 二次函数y=f(x)在[0，+∞)上，确实存在两个自变量x1和x2，满足当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)． 二次函数y=f(x)在[0，+∞)上是增函数？ 不是 设函数y=f(x)的定义域为D，区间I⊆D． 如果对于区间I上的任意两点x1和x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么称函数y=f(x)在区间I上是增函数，区间I称为函数y=f(x)的增区间． 定义 4 函数的的单调性（二） 减函数 x1 x2 f(x1) f(x2) 减函数的图像是呈下降趋势，随着自变量增大，函数值越来越小． 如果在图上任取两个自变量x1<x2， 它们所对应的函数值 设函数y=f(x)的定义域为D，区间I⊆D． 如果对于区间I上的任意两点x1和x2，当x1<x2时，都有f(x1) f(x2)，那么称函数y=f(x)在区间I上是 ，区间I称为函数y=f(x)的 ． 定义 f(x1)>f(x2)． y=f(x) 增区间 < 增函数 > 减函数 减区间 5 定义 设函数y=f(x)的定义域为D，区间I⊆D． (1)如果对于区间I上的任意两点x1和x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么称函数y=f(x)在区间I上是增函数，区间I称为函数y=f(x)的增区间． (2)如果对于区间I上的任意两点x1和x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么称函数y=f(x)在区间I上是减函数，区间I称为函数y=f(x)的减区间． 函数的的单调性（二） 口诀：同向为增、异向为减 6 函数的的单调性（二） 例1 讨论函数f(x)=2x+1在R上的单调性． 解：任取x1，x2∈R，且x1<x2， 判断与之对应的函数值f(x1)和f(x2)之间的大小关系. 作差 则f(x1)-f(x2)=(2x1+1)-(2x2+1) =2x1-2x2 =2(x1-x2) 因为x1<x2，即x1-x2<0， 所以f(x1)-f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)． 所以函数f(x)=2x+1在R上是增函数． 同向为增 7 函数的的单调性（二） 例1 讨论函数f(x)=2x+1在R上的单调性． 解：任取x1，x2∈R，且x1<x2， 取值排序 则f(x1)-f(x2)=(2x1+1)-(2x2+1) =2x1-2x2 =2(x1-x2) 因为x1<x2，即x1-x2<0， 所以f(x1)-f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)． 所以函数f(x)=2x+1在R上是增函数． 作差化简 定号结论 “用定义判断函数单调性"的步骤 8 归纳 (1)取值排序：在定义域内任取两个自变量x1、x2，满足x1<x2； “用定义判断函数单调性"的步骤 (2)作差化简：将两个函数值f(x1)和f(x2)作差，然后把式子f(x1)−f(x2)朝着含x1−x2的方向进行化简变形，直到可以判断它的正负； (3)定号结论：判断整个式子f(x1)−f(x2)的符号，如果小于0，那么函数值和自变量同向变化，那它就是增函数；如果大于0，函数值和自变量反向变化，那它就是减函数. 函数的的单调性（二） 9 函数的的单调性（二） 证明：任取x1，x2∈(-∞,0)，且x1<x2， 因为x2-x1>0，x1x2>0， 所以f(x1)-f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)． 异向为减 例2 证明函数 在(-∞,0)上是减函数． 取值排序 作差化简 定号结论 则 所以函数 在(-∞,0)上是减函数． 10 判断一次函数f(x)=kx+b(k≠0)在R上的单调性． 思 考 解：任取x1，x2∈R，且x1<x2， 则f(x1)-f(x2)=(kx1+b)-(kx2+b) =kx1-kx2 =k(x1-x2) 因为x1-x2<0， f(x1)-f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)． 所以函数f(x)=kx+b在R上是增函数． 当k>0时， f(x1)-f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)． 所以函数f(x)=kx+b在R上是减函数． 当k<0时， 取值排序 作差化简 定号结论 结论：一次函数f(x)=kx+b，当k>0时，函数在R上是增函数；当k<0时，函数在R上是减函数． 函数的的单调性（二） 同向为增 异向为减 11 $$