精品解析：浙江省湖州市2021届高三高职复习一模数学试卷

湖州市2020学年高职复习第一次模拟考试 数学试卷 注意事项： 1．所有试题均需在答题纸上作答，在试卷和草稿纸上作答无效． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸和试卷上． 一、单项选择题：（1—10小题每题2分；11—20小题每题3分；共50分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. 7 B. 17 C. 20 D. 23 4. 函数的定义域是（ ） A 且 B. C. 且 D. 且 5. 已知，两点，则向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 7. 已知，，若，则（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 1或9 8. 已知平行线，，则这两条直线间距离是（ ） A. B. C. D. 9. 已知球的表面积是，则此球的体积是（ ） A B. C. D. 10. 若命题，命题，，成等比数列，则命题是命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 11. 函数在区间上是减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 已知等差数列前项和为，且，则（ ） A. 60 B. 80 C. 96 D. 100 13. （ ） A. B. C. D. 14. 在中，，角钝角，则（ ） A. B. C. D. 15. 在等比数列中，，，则（ ） A. 3 B. 81 C. 81或 D. 16. 袋中装有三个红球和两个白球（五个球的大小完全相同），从中随机取出两个球，则取出的两个球不全是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 17. 若双曲线的渐近线方程是，焦点为，则双曲线标准方程是（ ） A. B. C. D. 18. 已知，，，表示三条不同的直线，表示一个平面，有以下命题：①若，，则；②若，，则；③若线段的两个端点，点和点到平面的距离相等，则线段；④若直线和直线与平面所成的角相等，则；其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 19. 已知二次函数的图象经过两点，，且最大值是5，则该函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 20. 已知直线与曲线只有一个交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 21. 已知圆的圆心是，且圆与轴相切，则圆的标准方程是________. 22. 若，则__________. 23. 已知抛物线上一点P到焦点的距离是6，则点P的横坐标是________. 24. 已知扇形圆心角为，半径为6，则扇形的弧长是_____________________. 25. 已知函数，则此函数的最小值是___________________. 26. 直线的倾斜角是______________. 27. 设函数，则_________. 三、解答题（本大题共8小题，共72分）（解答题应写出文字说明及演算步骤） 28. 计算：. 29. 已知的二项展开式中，各项系数之和是256， （1）求的值； （2）二项展开式中是否存在常数项？若存在，请求出常数项；若不存在，请说明理由. 30. 在中，角的对应边分别为，，，已知角成等差数列，且，，求的周长和面积. 31. 已知函数，求： （1）函数的最小正周期； （2）函数的最大值和所对应的的集合. 32. 如图，已知三棱锥底面是边长为4的正三角形，侧棱底面，且体积，求： （1）棱的长； （2）侧面与底面所成的二面角的正切值. 33. 已知等差数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）已知，求数列的前n项和． 34. 某电子厂生产一种产品，这种产品分十个档次，最低档次为第一档次，最高档次为第十档次，已知生产第一档次产品每件利润为8元，一条生产线上每天可生产60件，如果产品每提高一个档次，则利润增加2元，但数量将减少4件，假设生产第档次的产品所获利润元，那么生产第几档次的产品一天的利润最大，并求出最大利润. 35. 已知椭圆中心在原点且对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，椭圆的离心率是. （1）求椭圆的标准方程； （2）直线过点且倾斜角为，直线与椭圆交于，两点，求的面积（点为坐标原点）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖州市2020学年高职复习第一次模拟考试 数学试卷 注意事项： 1．所有试题均需在答题纸上作答，在试卷和草稿纸上作答无效． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸和试卷上． 一、单项选择题：（1—10小题每题2分；11—20小题每题3分；共50分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的概念求解. 【详解】∵集合，， ∴，即， 故选：C. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性建立一元一次不等式，即可求解. 【详解】对于函数在定义域上单调递减， 所以不等式中，， 解得，即. 故选：A. 3. 已知，则（ ） A. 7 B. 17 C. 20 D. 23 【答案】D 【解析】 【分析】利用换元法求函数，再将即可. 【详解】令，则， 则. 故选：D. 4. 函数的定义域是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】根据分母不等于0，0和负数无对数，列不等式组求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则必须，即， 解得且， 所以函数的定义域是且. 故选：A. 5. 已知，两点，则向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量坐标的定义求解. 【详解】∵，， ∴向量. 故选：C. 6. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值不等式基本解法求解. 【详解】不等式可化为， 得到或， 解得或，即或. 故选：D. 7. 已知，，若，则（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 1或9 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点的坐标距离公式，即可求得参数. 【详解】∵，，且， ∴，化简得， 解得或. 故选：D. 8. 已知平行线，，则这两条直线间距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将直线化简为同系数的情况，再利用两平行直线间的距离公式计算. 【详解】∵直线，平行， 可化为， 则这两条直线间距离是. 故选：D. 9. 已知球的表面积是，则此球的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据球的表面积得到球的半径，再根据球的体积公式求解. 【详解】设球的半径为，则表面积为， 解得， 球的体积. 故选：B. 10. 若命题，命题，，成等比数列，则命题是命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用条件的充分性与必要性的判断可求. 【详解】若，，成等比数列，由等比中项有，则命题是命题的必要条件； 若，为零，满足，但不是等比数列，则命题不是命题的充分条件； 综上命题是命题的必要不充分条件； 故选：B. 11. 函数在区间上是减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将函数配方化简，分析其单调区间，建立不等式即可求解参数范围. 【详解】函数， 根据二次函数的性质可知，是对称轴为，开口向上的抛物线， 且函数在上单调递减， 题目已知，函数在区间上是减函数， 所以，解得. 故选：B. 12. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 60 B. 80 C. 96 D. 100 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的性质得到，进而得到求解. 【详解】∵是等差数列，， ∴， ∴. 故选：A. 13. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】逆用两角和正切公式和特殊角三角函数值易得答案. 【详解】. 故选：D. 14. 在中，，角为钝角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据角的范围，分析余弦值的正负，再根据同角三角函数的平方关系求解. 【详解】∵角为钝角，∴， 即. 故选：C. 15. 在等比数列中，，，则（ ） A. 3 B. 81 C. 81或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列通项公式可求. 【详解】，，则， 则，； 故选：C. 16. 袋中装有三个红球和两个白球（五个球的大小完全相同），从中随机取出两个球，则取出的两个球不全是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不全是红球，则有一个或两个白球，然后利用古典概型求概率即可. 【详解】从五个球中选两个球共有种选法； 不全是红球，则有一个或两个白球，有一个白球有种； 两个全是白球有种，共有种； 则取出的两个球不全是红球的概率是； 故选：C. 17. 若双曲线的渐近线方程是，焦点为，则双曲线标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线渐近线方程和焦点坐标求得，即可求解. 【详解】∵双曲线的渐近线方程是， 题目已知，双曲线的渐近线方程是，焦点为， ∴双曲线的焦点在轴上，且，即，， 又，代入， 得到，解得，， 所以双曲线方程为. 故选：D. 18. 已知，，，表示三条不同的直线，表示一个平面，有以下命题：①若，，则；②若，，则；③若线段的两个端点，点和点到平面的距离相等，则线段；④若直线和直线与平面所成的角相等，则；其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行公理，空间中的线面关系逐个分析即可. 【详解】若，，则；符合平行公理，故①正确. 若，，还可能，故②错误. 若线段的两个端点，点和点到平面的距离相等， 则线段可能与相交，故③错误. 若直线和直线与平面所成的角相等，则可能异面，故④错误. 正确的有1个， 故选：A. 19. 已知二次函数的图象经过两点，，且最大值是5，则该函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得对称轴，最大值是，故可设，代入其中一个点的坐标即可求出的值，问题得以解决． 【详解】二次函数的图象经过两点，,则对称轴为，最大值为, 可设, 则,解得, 故. 故选： 20. 已知直线与曲线只有一个交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】首先将曲线化简得，结合图像分情况讨论即可得到的取值范围. 【详解】已知直线与曲线只有一个交点， 则曲线化简得， 所以该曲线为半径为，圆心为的半圆， 其图像位于一，二象限（包含与x轴的交点）， 则直线与曲线只有一个交点， 需考虑三种情况， 当直线与曲线在第一象限与圆相切时， 即圆心到直线的距离，解得， 当直线过这一点时，，此时直线与曲线有两个交点，且过点， 当直线过这一点时，，此时直线与曲线有一个交点， 如图所示，或时，直线与曲线只有一个交点. 故选：D. 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 21. 已知圆的圆心是，且圆与轴相切，则圆的标准方程是________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据圆与轴相切，得到圆的半径，结合圆心坐标，即可得到圆的标准方程. 【详解】∵圆的圆心是，且圆与轴相切， ∴圆的半径是圆心到轴的距离，即， 故圆的标准方程为. 故答案为：. 22. 若，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】将式子的分子分母同时除以，再将代入式子即可求解. 【详解】解：，则， . 故答案为：3. 23. 已知抛物线上一点P到焦点的距离是6，则点P的横坐标是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据焦半径公式列方程求解即可. 【详解】设点P的横坐标为，已知抛物线， 其中焦点在轴上，开口向左，所以， 且， 所以抛物线上的点到焦点的距离. 即，解得. 故答案为：. 24. 已知扇形圆心角为，半径为6，则扇形的弧长是_____________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用弧长公式可求. 【详解】扇形圆心角，半径为6， 则； 故答案为：. 25. 已知函数，则此函数的最小值是___________________. 【答案】 【解析】 【分析】用基本不等式即可求出最小值. 【详解】因为，所以，即， 所以， 即当且仅当，时（不合条件）， 函数有最小值. 故答案为： 26. 直线的倾斜角是______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的一般式方程得到斜率，再根据斜率的定义求得倾斜角. 【详解】令直线的倾斜角为，， 直线的斜率， 所以得到. 故答案为：. 27. 设函数，则_________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据自变量的范围，将代入分段函数，分析，再代入解析式，即可求解. 【详解】根据函数的解析式可得，， 而. 故答案为：. 三、解答题（本大题共8小题，共72分）（解答题应写出文字说明及演算步骤） 28. 计算：. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂运算、对数运算及三角函数计算即可. 【详解】 . 29. 已知的二项展开式中，各项系数之和是256， （1）求的值； （2）二项展开式中是否存在常数项？若存在，请求出常数项；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在常数项，为 【解析】 【分析】（1）赋值法令代入二项式，根据求得的系数和等于256，即可求得. （2）根据二项式的通项式，将的指数设为零，即可求得常数项. 【小问1详解】 对于二项式，其各项系数之和可通过令来求解， 即， 解得. 【小问2详解】 的展开式通项为， 令，得到. 此时. 所以存在常数项，为. 30. 在中，角的对应边分别为，，，已知角成等差数列，且，，求的周长和面积. 【答案】周长为，面积为 【解析】 【分析】根据三角形内角和为以及其成等差数列，得到角，再根据正弦定理得到关系，最后根据余弦定理解三角形，即可求解周长和面积. 【详解】∵角成等差数列，即，且, 得到，解得. 又，根据正弦定理可得到， 由余弦定理可知，，代入，，， 得到，化简得， 解得. 所以的周长为， 面积为. 31. 已知函数，求： （1）函数的最小正周期； （2）函数的最大值和所对应的的集合. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式与辅助角公式化简解析式，然后利用周期公式可求； （2）利用正弦函数值域可求最值，利用正弦型函数的性质可求对应的的集合. 【小问1详解】 ； 则； 函数最小正周期为. 【小问2详解】 由（1）知函数解析式为； 因为，则； 即， 则函数最大值为； 当时，可知； 由正弦函数性质可知，解得. 则函数的最大值为和所对应的的集合. 32. 如图，已知三棱锥的底面是边长为4的正三角形，侧棱底面，且体积，求： （1）棱的长； （2）侧面与底面所成的二面角的正切值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三棱锥的面积公式易得答案； （2）根据二面角的定义找到二面角的平面角，再根据三角函数的定义易得答案. 【小问1详解】 取的中点记为，连接， 因为是边长为的正三角形， 所以，， 因为是的中点， 所以， 因为平面， 所以， 所以， 解得. 【小问2详解】 连接， 因为平面，平面， 所以， ，， 所以， 所以， 所以是等腰三角形， 因为是中点， 所以，又， 所以是侧面与底面所成的二面角的平面角， 因为， 所以， 所以侧面与底面所成的二面角的正切值为. 33. 已知等差数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）已知，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合条件列出等差数列基本量的两个方程求解，再代入等差数列通项公式即可. （2）求出数列通项公式，证等比数列后再代等比数列前n项和公式即可. 【小问1详解】 设等差数列公差为， 则由，可得： ，，则， 数列的通项公式为：. 【小问2详解】 ， 则由，可知： 数列是首项为，公比为的等比数列， 则前n项和. 34. 某电子厂生产一种产品，这种产品分十个档次，最低档次为第一档次，最高档次为第十档次，已知生产第一档次产品每件利润为8元，一条生产线上每天可生产60件，如果产品每提高一个档次，则利润增加2元，但数量将减少4件，假设生产第档次的产品所获利润元，那么生产第几档次的产品一天的利润最大，并求出最大利润. 【答案】或，元 【解析】 【分析】由已知列出二次函数解析式，求最值即可. 【详解】第档时，单件产品利润为，每天生产， 则有； ； 因为，可知当或时，有最大值， 时，最大值为， 时，最大值为. 则生产第或档次的产品一天的利润最大，最大利润为元. 35. 已知椭圆中心在原点且对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，椭圆的离心率是. （1）求椭圆的标准方程； （2）直线过点且倾斜角为，直线与椭圆交于，两点，求的面积（点为坐标原点）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求抛物线焦点坐标，然后根据椭圆离心率可求椭圆方程； （2）先求出直线方程，然后与椭圆方程联立，然后利用韦达定理求出，利用点到直线距离求出三角形的高，然后利用三角形面积公式底乘高除二可求. 【小问1详解】 抛物线，，，焦点，即； 则椭圆焦点为，焦点在轴， 则，又因离心率， 则，，， 则椭圆标准方程为； 【小问2详解】 如图，直线过点且倾斜角为， 则直线方程为， 即 椭圆方程为，变形得， 联立方程组有，则，即； ，设，， 由韦达定理有，； 则， 则； 则； 原点到直线的距离为； 在中，若以为底，则原点到直线的距离即为高； 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$