精品解析：北京市人大附中朝阳校区2024-2025学年九年级上学期开学数学试题

2024-2025学年北京市人大附中朝阳校区九年级（上）开学 数学试卷 一、选择题（本题共24分，每小题3分） 1. 下列各根式中，与不是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，解题的关键是先化简二次根式，再看被开方数是否相同，被开方数相同的是同类二次根式． 【详解】解：A、，与是同类二次根式，故此选项不符合题意； B、，与是同类二次根式，故此选项不符合题意； C、，与不是同类二次根式，故此选项符合题意； D、与是同类二次根式，故此选项不符合题意， 故选：C． 2. 下列各式中，计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减、二次根式的乘法，根据二次根式的加减、乘法法则逐项判断即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算正确，符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、和不是同类二次根式，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； D、和不是同类二次根式，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 3. 一次函数y＝x+2的图象不经过( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据k，b的符号确定一次函数y＝x+2的图象经过的象限. 【详解】∵k＝1＞0，图象过一三象限，b＝2＞0，图象过第二象限， ∴直线y＝x+2经过一、二、三象限，不经过第四象限. 故选D. 【点睛】此题考查一次函数的性质，解题关键在于掌握其性质. 4. 如果直角三角形的边长为3，4，a，则a的值是（　　） A. 5 B. 6 C. D. 5或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，分边长为4的边为直角边和斜边两种情况利用勾股定理求解即可．． 【详解】解：当边长为4的边为直角边时，则， 当边长为4的边为斜边时，则， ∴a的值是5或， 故选：D． 5. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， 解得， 故选A． 6. 在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，，且，则的值可能为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，由题意得出随的增大而减小，从而得出，即可得解，熟练掌握正比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点，，，且， ∴随的增大而减小， ∴， ∴的值可能为， 故选：D． 7. 如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（ ） A. 乙前4秒行驶的路程为48米 B. 在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒 C. 两车到第3秒时行驶的路程相等 D. 在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度 【答案】C 【解析】 【详解】A．根据图象可得，乙前4秒行驶的路程为12×4=48米，正确，不符合题意； B．根据图象得：在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒，正确，不符合题意； C．根据图象可得两车到第3秒时速度相同，但是行驶的路程不相等，故本选项错误，符合题意； D．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度，正确，不符合题意； 故选C． 8. 如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与、交于点E、F，连结交于点M，连结、．若，，则下列结论中正确结论的个数是（ ） ①；②四边形是菱形；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．根据矩形的性质可得，先证明，再证明是等边三角形，即可判断①选项；由和是等边三角形，可得，即可判断②选项；由含角的直角三角形的性质即可判断③选项；先证明，可知，设，根据含角的直角三角形的性质，可得，根据，，可得，进一步即可判断④选项． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ， ，， 在等边中，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 平分， ，， 垂直平分， 如图，连接， 在矩形中，为的中点， ，，三点在同一直线上， 在线段的垂直平分线上， ， ， 是等边三角形， ， 故①符合题意； 由①得和是等边三角形， ， 四边形是菱形； 故②符合题意； 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ； 故③不符合题意； 在和中， ， ， ， 垂直平分， ， 设， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， 故④不符合题意， 综上所述，正确的结论有①②， 故选：B 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴x-1≥0， 解得x≥1． 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0． 10. 已知，点是上的一个动点，则线段长的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短得到当时，线段最短，勾股定理逆定理求出是直角三角形，等积法求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∵垂线段最短， ∴当时，线段最短， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 11. 如图，直线与相交于点M，则关于x，y的方程组的解是______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图像直接解答即可． 【详解】解：∵两直线的交点坐标为(2，4)， ∴方程组的解是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与方程组的关系：两个函数图象的交点坐标(x，y)中x，y的值是方程组的解． 12. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，在“勾股”中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程求出的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，设，可知，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵在中，， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 13. 用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则的值为______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了配方法的运用，掌握一元二次方程配方法的计算是解题的关键． 找到一次项系数，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，由此即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：14 ． 14. 如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD，请你添加一个适当的条件_______，使ABCD成为菱形（只需添加一个即可） 【答案】OA=OC（答案不唯一）． 【解析】 【详解】解：添加条件OA=OC即可； ∵OA=OC，OB=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵四边形ABCD对角线互相垂直， ∴平行四边形ABCD是菱形． 故答案为：OA=OC（答案不唯一） 15. 如图，已知四边形是矩形，，点E在上，．若平分则的长为___． 【答案】10 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，，由角平分线和平行线的性质可证，由勾股定理可求解．本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：平分， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：10． 16. 有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是________． 【答案】2026 【解析】 【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，…… ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026， 故答案为：2026． 三、解答题（共52分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式，二次根式化简和零次幂运算及其法则计算即可． 【详解】解：原式， ， ， 【点睛】此题考查了平方差公式，二次根式化简和零次幂的运算，解题的关键是灵活运用所学知识进行运算． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，先将常数项移到方程的右边，再将二次项系数变为1，最后利用直接开平方法计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 19. 已知，如图，在中，是的中线，F是的中点，连接并延长到E，使，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）24 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识点，熟悉掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据三角形中线性质可得，再由已知条件可证得；根据直角三角形斜边中线性质得，可证，进而可求解； （2）通过证明四边形是平行四边形，求得，利用勾股定理求得的长，再利用菱形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ， ∴四边形是平行四边形， ， 是中线， ， ， ， ∵四边形是菱形， ∴菱形的面积=． 20. 已知：如图1，． 求作：． 作法：①作的平分线； ②以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，作射线； ③以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，连接； ∴四边形为所求． （1）使用直尺和圆规，依作法在图2中补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面证明． ∵， ∴________， ∵是的平分线， ∴， ∴________， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形（___________）（填推理的依据）． 【答案】（1）见解析 （2）；；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线及平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题关键． （1）根据题意，补全图形即可； （2）根据角平分线的定义及平行四边形的判定定理即可得答案． 【小问1详解】 解：补全图形如图所示： 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点． （1）求的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，则的取值范围是 ． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）先将代入函数得出的值，从而得出，再利用待定系数法计算即可得出的值， （2）当时，由题意得，从而得出，结合题意即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意，点在函数的图象上， ∴． ∴ 将代入，得， ∴； 【小问2详解】 解：当时，由题意得：， 解得：， ∵当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值， ∴， ∴的取值范围是． 22. 如图，在正方形中，点E和F分别在和上，且关于对称，连接，过点F作，点G在的右侧，且连接交于H，连接 （1）请依题意补全图形，求证：； （2）猜想的数量关系并证明． 【答案】（1）见详解 （2），证明见详解 【解析】 【分析】（1）先根据题意，补全图形，然后结合正方形的性质证明可得结论； （2）结论：，连接交于点，连接．证明，即可． 本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【小问1详解】 证明：图形如图所示： 四边形是正方形， ，． ，关于对称， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ∴ ； 【小问2详解】 解：结论：． 理由：连接交于点，连接． ，， ， ， ∵ ， 四边形是正方形， ， ， 垂直平分线段， ， ， ，， ， ， ． 四、附加题． 23. 在平面直角坐标系中，对于两个点P，Q和图形W，给出如下定义：若射线与图形W的一个交点为M，射线与图形W的一个交点为N，且满足四边形为平行四边形，则称点Q是点P关于图形W的“平心点”．如图1中，点Q是点P关于图中线段的“平心点”． 已知点：． （1）点，F中，是点C关于直线“平心点”的有________； （2）若点C关于线段的“平心点”J的横坐标为a时，求a的取值范围； （3）已知点，点P是线段上的动点（点P不与端点C，K重合），若直线l：上存在点P关于矩形的“平心点”，请直接写出k的取值范围． 【答案】（1）D、F； （2） （3） 【解析】 【分析】题目主要考查新定义，平行四边形的判定和性质，一次函数的性质，坐标与图形，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）根据题意描出相应的点，然后利用一次函数确定函数解析式，确定交点，再由平行四边形的判定和性质即可求解； （2）根据题意结合图象，得出点的运动轨迹为点，即可求解； （3）“平心点”为平行四边形对角线的交点，如图所示，将各点描出，然后连线，得四边形为矩形，根据题意，平移，使得平移后的线段落在矩形上，O点平移后的对应点为N，P点平移后的对应点为点M，平移线段，平移后的线段可能落在矩形左下角或右上角，然后分情况结合图象求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意作图如下： ，，， 直线所在直线为， 设直线所在直线为， 将点代入得：， ∴， 交直线于点， 设直线所在直线为， ，解得， ∴直线所在直线为， 交直线于点， ∴两个交点之间的距离为， ∵所在直线平行于x轴， ∴四边形为平行四边形，符合题意； 同理点E不符合题意；点F符合题意； 故答案为：D、F； 【小问2详解】 根据题意结合图象，连接，则中点即， 连接，则中点即， ∴； 【小问3详解】 根据题意得：“平心点”为平行四边形对角线的交点， 如图所示，将各点描出，然后连线，得四边形为矩形， 根据题意，平移，使得平移后的线段落在矩形上，O点平移后的对应点为N，P点平移后的对应点为点M， 平移线段，平移后的线段可能落在矩形左下角或右上角， 当落在左下角时，如图所示： 点P接近点K时，点M接近点A，点P接近点C时，由（2）得点M接近中点， 所在直线即为直线l：， 将点代入得：， 将点 代入得：， ∴； 当落在右上角时，如图所示： 点P接近点K时，点M接近点， 点P接近点C时，，点M接近点， 所在直线即为直线l：， 将点代入得：， 将点 代入得：， ∴； 综上可得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年北京市人大附中朝阳校区九年级（上）开学 数学试卷 一、选择题（本题共24分，每小题3分） 1. 下列各根式中，与不是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 一次函数y＝x+2的图象不经过( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如果直角三角形的边长为3，4，a，则a的值是（　　） A. 5 B. 6 C. D. 5或 5. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，，且，则的值可能为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 7. 如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（ ） A. 乙前4秒行驶的路程为48米 B. 在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒 C. 两车到第3秒时行驶的路程相等 D. 在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度 8. 如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与、交于点E、F，连结交于点M，连结、．若，，则下列结论中正确结论的个数是（ ） ①；②四边形是菱形；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 10. 已知，点是上的一个动点，则线段长的最小值是______． 11. 如图，直线与相交于点M，则关于x，y的方程组的解是______________． 12. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，在“勾股”中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程求出的长为______． 13. 用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则的值为______． 14. 如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD，请你添加一个适当的条件_______，使ABCD成为菱形（只需添加一个即可） 15. 如图，已知四边形是矩形，，点E在上，．若平分则的长为___． 16. 有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是________． 三、解答题（共52分） 17. 计算： 18. 解方程：． 19. 已知，如图，在中，是的中线，F是的中点，连接并延长到E，使，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若求菱形的面积． 20. 已知：如图1，． 求作：． 作法：①作的平分线； ②以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，作射线； ③以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，连接； ∴四边形为所求． （1）使用直尺和圆规，依作法在图2中补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面证明． ∵， ∴________， ∵是的平分线， ∴， ∴________， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形（___________）（填推理的依据）． 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点． （1）求的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，则的取值范围是 ． 22. 如图，在正方形中，点E和F分别在和上，且关于对称，连接，过点F作，点G在的右侧，且连接交于H，连接 （1）请依题意补全图形，求证：； （2）猜想的数量关系并证明． 四、附加题． 23. 在平面直角坐标系中，对于两个点P，Q和图形W，给出如下定义：若射线与图形W的一个交点为M，射线与图形W的一个交点为N，且满足四边形为平行四边形，则称点Q是点P关于图形W的“平心点”．如图1中，点Q是点P关于图中线段的“平心点”． 已知点：． （1）点，F中，是点C关于直线“平心点”的有________； （2）若点C关于线段的“平心点”J的横坐标为a时，求a的取值范围； （3）已知点，点P是线段上的动点（点P不与端点C，K重合），若直线l：上存在点P关于矩形的“平心点”，请直接写出k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $