第四单元运算律（讲义）-2024-2025学年四年级上册数学北师大版

运算律 板块一：考点精讲 1．带括号的表内乘加、乘减 【知识点归纳】 一、加减乘除混合运算规则： 1、同级运算时，从左到右依次计算。 2、两级运算时，先乘除后加减。 3、有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。 【方法总结】 1、含有小括号的两步混合运算的运算顺序： 算式里有小括号的，要先算小括号里面的，再算小括号外面的。 2．带括号的表内除加、除减 【知识点归纳】 加减乘除混合运算规则： 1、同级运算时，从左到右依次计算。 2、两级运算时，先乘除后加减。 3、有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。 【方法总结】 1、加法、减法、乘法和除法统称四则运算。 2、在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。 3、在没有括号的算式里，有乘、除法和加、减法、要先算乘除法，再算加减法。 4、算式有括号，要先算括号里面的，再算括号外面的；括号里面的算式计算顺序遵循以上的计算顺序。 3．乘法分配律 【知识点归纳】 1、乘法分配律：两个数的和（或差）与一个数相乘，可以把两个加数（或被减数、减数）分别与这个数相乘，在把两个积相加（或相减），结果不变。用字母表示数：（a+b）×c＝a×c+b×c或（a﹣b）×c＝a×c﹣b×c 2、式子的特点：在两个乘法式子中，有一个相同的因数；另为两个不同的因数之和（或之差）基本上是能凑成整十、整百、整千的数。 3、102×88、99×15这类题的特点：两个数相乘，把其中一个比较接近整十、整百、整千的数改写成整十、整百、整千与一个数的和（或差），再应用乘法分配律可以使运算简便。 【方法总结】 乘法分配律简算例子： （一）分解式 25×（40+4） ＝25×40+25×4 ＝1000+100 ＝1100 （二）合并式 135×12—135×2 ＝135×（12—2） ＝135×10 ＝1350 （三）特殊1 99×256+256 ＝99×256+256×1 ＝256×（99+1） ＝256×100 ＝25600 （四）特殊2 45×102 ＝45×（100+2） ＝45×100+45×2 ＝4500+90 ＝4590 （五）特殊3 99×26 ＝（100—1）×26 ＝100×26—1×26 ＝2600—26 ＝2574 （六）特殊4 35×8+35×6—4×35 ＝35×（8+6—4） ＝35×10 ＝350 4．运算定律与简便运算 【知识点归纳】 1、加法运算： ①加法交换律：两个加数交换位置，和不变．如a+b＝b+a ②加法结合律：先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．如：a+b+c＝a+（b+c） 2、乘法运算： ①乘法交换律：两个因数交换位置，积不变．如a×b＝b×a． ②乘法结合律：先乘前两个数，或先乘后两个数，积不变．如a×b×c＝a×（b×c） ③乘法分配律：两个数的和，乘以一个数，可以拆开来算，积不变．如a×（b+c）＝ab+ac ④乘法分配律的逆运算：一个数乘另一个数的积加它本身乘另一个数的积，可以把另外两个数加起来再乘这个数．如ac+bc ＝（a+b）×c 3、除法运算： ①除法性质：一个数连续除以两个数，可以先把后两个数相乘，再相除．如a÷b÷c＝a÷（b×c） ②商不变规律：被除数和除数同时乘上或除以相同的数（0除外）它们的商不变．如a÷b＝（an）÷（bn）＝（a÷n）÷（b÷n） （n≠0 b≠0） 4、减法运算： 减法性质：一个数连续减去两个数，可以用这个数减去两个数的和．如a﹣b﹣c＝a﹣（b+c） 板块二：高频考点 一、选择题 1．妙想在计算时，不小心把“24”抄成了“34”，这样计算出的得数与正确得数相差（    ）。 A． B． C． D． 2．用简便方法计算365＋251＋49＝365＋（251＋49），运用了（    ）。 A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法结合律和加法交换律 3．下面各算式中，与36×101的结果相等的是（    ）。 A．36×100÷1 B．36×100＋36 C．36×100－36 D．36×1＋100 4．笑笑把1000÷（□×10）算成了100÷□×10，她想得到正确结果，需要再（    ）。 A．×10 B．×100 C．÷10 D．÷100 5．下面算式中，与98×101的结果不相等的是（    ）。 A．98×（100＋1） B．100×101－2×101 C．98×1＋98×100 D．98×100＋98×2 6．两个数相乘，如果一个乘数乘2，另一个乘数乘3，那么积会（    ）。 A．保持不变 B．扩大5倍 C．扩大6倍 D．扩大3倍 7．下列算式中，按照先算加法，再算除法，最后算减法的顺序计算的是（    ）。 A．120＋60÷6－4 B．120＋（60÷6－4） C．（120＋60）÷6－4 D．120＋60÷（6－4） 8．计算96÷[（18﹣16）×3+10]时，最后一步是（） A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法 二、填空题 9．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 423×37＋37( )37×（423＋1）                     125×48( )6×8×125 86×27( )26×87                                450×28( )45×280 10．用乘法分配律可以把a（b＋c）改写成( )。 11．在计算102×79时，可以把102当作( )，把79看作( )，这两个新数的乘积是( )，所以102×79≈( )。 12．东东读一本250页的故事书。第一天读了75页，第二天读了115页，还剩( )页没读。 13．36＋27＋64＝36＋64＋27，这里运用了加法( )律。 14．淘气粗心大意，把□错算成□，正确的结果与淘气计算得到的结果相差( )。 15．乘法分配律反过来运用，可以使计算简便。如在计算13×25＋13×75时，可以变换成( )，先计算( )法，得到( )，再与( )相乘，乘法分配律用字母表示为( )。 三、判断题 16．先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，这是加法交换律。 ( ) 17．25×15×4×2＝（25×4）×（15×2），运用了乘法交换律和乘法结合律。( ) 18．交换律只适用于加法和乘法，不适用于减法和除法。( ) 19．一道混合运算的算式里，不可能同时出现两个小括号。( ) 20．运用乘法交换律计算4.8×37+4.8×63能简便。　 ( ) 21．680加100的和再乘20，积是2680。( ) 四、计算题 22．直接写出得数。                             23．列竖式计算下面各题，并用乘法交换律或加法交换律进行验算。 234＋797＝    64×125＝    103×24＝ 16×25＝    76＋97＝    359＋83＝ 24．计算下面各题，能简算的要简算。 736÷（43－20）×23        178＋38＋62        451－71－29 8×（28＋32）÷15        25×（27×4）        27×25－6×25＋25×79 五、解答题 25．商场里某品牌的驼绒被在4月的上半月卖了37条，下半月卖了43条，每条驼绒被125元。这个月该品牌的驼绒被一共收入多少元？ 26．服装店购进中码和小码的儿童服装各28套，中码的每套54元，小码的每套46元，一共应付多少元？ 27．国庆节期间小萌到姥姥家玩，她从家先坐了5小时的火车，又坐了2小时的汽车到姥姥家。小萌家离姥姥家有多远？ 28．少先队员种杨树和柳树共135棵，柳树的棵数比杨树的3倍多15棵，两种树各种多少棵？ 29．两个工程队共同修一条公路，甲队每月修325米，乙队每月修274米，6个月完成修路任务，这条路长多少米？ 30．1吨废纸可以生产纸张700千克．如果1千克这样的纸张能制成25本练习本，那么16吨废纸生产的纸张能制成多少本练习本？ 31．在运动会开幕式上，共有4个方阵进行了大型团体操表演，每个方阵有15行，每行有25人。这4个方阵一共有多少人？ 32．冷饮店运来25箱雪糕，每箱有24根，每根雪糕售价4元，这批雪糕全部售完可以收回多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B B C D C C D 1．B 【分析】根据题意，这样计算出的得数与正确得数相差34×25－24×25，再根据乘法分配律进行计算。 【详解】34×25－24×25 ＝（34－24）×25 ＝10×25 这样计算出的得数与正确得数相差。 故答案为：B 【点睛】乘法分配律用字母表示为：a×b＋a×c＝a×（b＋c）、 a×b－a×c＝a×（b－c）。 2．B 【分析】加法结合律的特点是三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；加法交换律的特点是两个数相加，交换加数的位置，和不变；依此即可选择。 【详解】365＋251＋49＝365＋（251＋49），算式中是将251与49结合，因此运用了加法结合律。 故答案为：B 3．B 【分析】计算36×101时，可将101写成100＋1，然后再运用乘法分配律的特点进行简算，乘法分配律的特点是两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加，依此选择。 【详解】36×101＝36×（100＋1）＝36×100＋36×1＝36×100＋36 故答案为：B 【点睛】熟练掌握乘法分配律的特点是解答此题的关键。 4．C 【分析】1000÷（□×10）根据除法的性质可以化为1000÷□÷10，算成1000÷□×10相当于多乘100，被除数由1000变成100，相当于除以10，由此求解。 【详解】1000÷（□×10） ＝1000÷□÷10 1000÷□÷10变成1000÷□×10，相当于多乘100，被除数由1000变成100，相当于除以10，所以相当于多乘10。 要想得到正确结果，需要除以10。 故答案为：C 【点睛】解决本题关键是把1000÷（□×10）根据除法的性质进行变化，再找出两个算式的区别，从而解决问题。 5．D 【分析】两个数的和与一个数相乘，可以用这两个数分别和这个数相乘，再把它们的积相加，这叫乘法分配律，用字母表示为：（a＋b）×c＝a×c＋b×c。运用乘法分配律把各选项中算式写成两个数相乘形式，再与98×101作比较。 【详解】A．98×（100＋1）＝98×101 B．100×101－2×101 ＝（100－2）×101 ＝98×101 C．98×1＋98×100 ＝98×（1＋100） ＝98×101 D．98×100＋98×2 ＝98×（100＋2） ＝98×102 与98×101的结果不相等的是98×100＋98×2。 故答案为：D 【点睛】熟记乘法分配律的定义并灵活运用是解题关键。 6．C 【分析】根据积的变化规律： 1、当一个因数乘（或除以）一个数（不为0），积也随着乘（或除以）这个数。 2、当一个因数乘（或除以）一个数（不为0），另一个因数除以（或乘）同一个数时，积不变。 3、一个因数乘a，一个因数乘b，积就乘（a×b）。 【详解】2×3=6 两个数相乘，如果一个乘数乘2，另一个乘数乘3，那么积乘6，所以积会扩大6倍。 故答案为：C 【点睛】熟练掌握积的变化规律是解答此题的关键。 7．C 【分析】四则混合运算顺序是：如果是同级运算，按从左往右依次进行计算；如果既有加减、又有乘除法，先算乘除，再算加减；如果有中括号、小括号，先算小括号里的，再算中括号里的。 【详解】A．120＋60÷6－4，先算除法，再算加法，最后算减法； B．120＋（60÷6－4），先算除法，再算减法，最后算加法； C．（120＋60）÷6－4，先算加法，再算除法，最后算减法； D．120＋60÷（6－4），先算减法，再算除法，最后算加法； 故答案为：C 【点睛】本题考查的是对四则混合运算法则的掌握，小括号会改变运算顺序。 8．D 【分析】计算96÷[（18﹣16）×3+10]时，先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，然后算中括号里面的加法，最后算中括号外面的除法． 【详解】96÷[（18﹣16）×3+10]   =96÷[2×3+10] =96÷[6+10] =96÷16 =6 所以计算96÷[（18﹣16）×3+10]时，最后一步是除法． 故选D． 9． ＝ ＝ ＞ ＝ 【分析】（1）根据乘法分配律，先写出37×（423＋1）去掉小括号后的算式，再根据算式的特点比较大小； （2）48可以写成6×8，则125×48＝125×6×8，再根据算式的特点比较大小； （3）计算出两个算式的结果，再比较大小； （4）450×28、45×280的积都是在45×28的积后面再加个0，据此解答即可。 【详解】（1）37×（423＋1）＝37×423＋37，423×37＋37＝37×423＋37，故423×37＋37＝37×（423＋1）； （2）125×48＝125×6×8，125×6×8＝6×8×125，故125×48＝6×8×125； （3）86×27＝2322，26×87＝2262，2322＞2262，故86×27＞26×87； （4）450×28＝45×280。 【点睛】此题考查了根据算式的特点灵活选择合适的方法比较大小，还考查了两位数乘两位数的计算方法，仔细计算，再进行比较。 10．ab＋ac 【分析】乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。 【详解】a（b＋c）＝ab＋ac 故答案为：ab＋ac 【点睛】本题考查的是乘法分配律，牢记定理是关键。 11． 100 80 8000 8000 【分析】估算三位数乘两位数时，把乘数看成与它接近的整百数、整十数或几百几十数，再用新的乘数相乘，据此解答。 【详解】在计算102×79时，可以把102当作100，把79看作80，这两个新数的乘积是8000，所以102×79≈8000。 【点睛】熟练掌握用“四舍五入”的方法来进行估算是解答此题的关键。 12．60 【分析】用这本书的总页数减去第一天读的页数，再减去第二天读的页数，就可以求出还剩多少页没有读，计算时可运用整数减法的性质a－b－c＝a－（b＋c）进行简算。 【详解】250－75－115 ＝250－（75＋115） ＝250－190 ＝60（页） 所以还剩60页没读。 13．交换 【分析】观察式子，发现式子左右27和64的位置发生了互换，所以运用的是加法交换律。 【详解】36＋27＋64＝36＋64＋27，这里运用了加法交换律。 【点睛】本题考查了加法运算律，掌握加法交换律的特征是解题的关键。 14．2 【分析】根据乘法分配律，把□算出来，即为：3×□＋3×1，与□相比即可找到相差多少。 【详解】□－（□） ＝3×□＋3×1－□－1 ＝3×□＋3－□－1 ＝3－1 ＝2 【点睛】本题考查乘法分配律，应用乘法分配律时要注意括号外的数和括号里的每一个数都相乘。 15． 13×（25＋75） 加 100 13 a×（b＋c）＝a×b＋a×c 【分析】乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加；据此解答。 【详解】乘法分配律反过来运用，可以使计算简便。如在计算13×25＋13×75时，可以变换成13×（25＋75），先计算加法，得到100，再与13相乘，乘法分配律用字母表示为a×（b＋c）＝a×b＋a×c。 【点睛】熟练掌握乘法分配律的定义是解答此题的关键。 16．× 【分析】根据加法结合律的意义：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。据此解答。 【详解】三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，这是加法结合律，不是加法交换律。 故答案为：× 【点睛】本题考查加法运算律的意义，要注意区分交换律和结合律。 17．√ 【分析】计算25×15×4×2＝（25×4）×（15×2）时，首先应用乘法交换律，可得：25×15×4×2＝25×4×15×2，然后应用乘法结合律，可得：25×15×4×2＝（25×4）×（15×2）。 【详解】25×15×4×2 ＝25×4×15×2 ＝（25×4）×（15×2） ＝100×30 ＝3000 运用了乘法交换律和乘法结合律。 故答案为：√ 【点睛】此题主要考查了运算定律与简便运算，熟练掌握并注意乘法运算定律的应用。 18．√ 【分析】加法有加法交换律，用字母表示为a＋b＝b＋a。乘法有乘法交换律，用字母表示为a×b＝b×a。减法没有交换律，有减法的性质，用字母表示为a－b－c＝a－（b＋c）。除法也没有交换律，有除法的性质，用字母表示为a÷b÷c＝a÷（b×c）。据此判断。 【详解】交换律只适用于加法和乘法，不适用于减法和除法。减法有减法的性质，除法有除法的性质。原说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题考查学生对运算定律的理解和掌握。 19．× 【详解】混合运算中可以同时出现两个小括号，例如：（123＋113）×（55－34），所以原题说法错误。 20．× 【分析】根据乘法分配律：（a+b）×c＝a×c+b×c，所以运用乘法分配律计算4.8×37+4.8×63能简便，据此判断. 【详解】4.8×37+4.8×63 ＝4.8×（37+63） ＝4.8×100 ＝480 所以，运用乘法分配律计算4.8×37+4.8×63能简便；原题说法错误. 故答案为：×. 【点睛】此题考查的目的是理解掌握乘法分配律的意义，并且能够灵活运用乘法分配律进行简便计算. 21．× 【分析】先计算加法，再算乘法，据此即可解答。 【详解】（680＋100）×20 ＝780×20 ＝15600 所以判断错误。 【点睛】本题主要考查学生对整数混合运算知识的掌握和灵活运用。 22．600；2000；16800；100； 100；200；37000；10800 23．1031；8000；2472 400；173；442 【分析】列竖式计算时，数位对齐，相同数位要对齐，个位对个位，十位对十位，以此类推。 从个位算起：先计算个位上的数字。当某一位上的数字相加满十时，要向前一位进一，并且在计算前一位相加时要加上进位的“1”。用乘法或加法交换律验算，就是把两个因数或者两个加数交换位置进行计算，看结果是否一致。据此解题。 【详解】 234＋797＝1031                           64×125＝8000 验算：           验算： 103×24＝2472                                      16×25＝400 验算：             验算： 76＋97＝173                                        359＋83＝442 验算：                  验算： 24．736；278；351 32；2700；2500 【分析】（1）先算减法，再算除法，最后算乘法；（2）利用加法结合律进行简算； （3）利用减法的性质进行简算；（4）先算加法，再算乘法，最后算除法； （5）利用乘法交换律和结合律进行简算；（6）利用乘法分配律进行简算。 【详解】736÷（43－20）×23 ＝736÷23×23 ＝32×23 ＝736        178＋38＋62 ＝178＋（38＋62） ＝178＋100 ＝278         451－71－29 ＝451－（71＋29） ＝451－100 ＝351 8×（28＋32）÷15   ＝8×60÷15 ＝480÷15 ＝32       25×（27×4）     ＝25×4×27 ＝100×27 ＝2700    27×25－6×25＋25×79 ＝（27－6＋79）×25 ＝100×25 ＝2500 25．10000元 【分析】根据单价×数量＝总价，可以先求出这个月一共卖出某品牌的驼绒被的总条数，即用37加43，再用它们的和乘每条驼绒被的单价125元；也可以先分别求出上半月和下半月各卖了多少元，再相加。据此解答。 【详解】方法一： （37＋43）×125 ＝80×125 ＝10000（元） 方法二： 37×125＋43×125 ＝4625＋5375 ＝10000（元） 答：这个月该品牌的驼绒被一共收入10000元。 26．2800元 【详解】(54＋46)×28＝100×28＝2800(元) 答：一共应付2800元． 27．675千米 【分析】根据题意，结合所学知识，本题先用乘法分别计算出乘坐火车和汽车所行驶的路程，最后两者相加即为小萌家到姥姥家的距离， 【详解】依题意，列式解答如下： 105×5＋2×75 ＝525＋150 ＝675（千米） 答：小萌家离姥姥家有675千米。 【点睛】本题考查学生分析问题和解决问题的能力，学生能清楚用路程、速度和时间的要素来解答是关键。 28．柳树：105棵；杨树：30棵 【分析】根据“柳树的棵树比杨树的3倍多15棵”，用135减去15，求杨树的棵数和杨树的3倍的棵数之和；再用求出的差除以4，求出杨树的棵数；最后用135减去杨树的棵数，求出柳树的棵数。 【详解】（135－15）÷（1＋3） ＝120÷4 ＝30（棵） 135－30＝105（棵） 答：柳树种了105棵，杨树种了30棵。 【点睛】本题考查的是和差倍问题，理清题中的数量关系，再确定先算什么，最后再算什么。 29．3594米 【分析】根据题意，先计算出甲队和乙队每月修的米数，再乘6个月，即是这条路一共长多少米，据此解答。 【详解】（325＋274）×6 ＝599×6 ＝3594（米） 答：这条路长3594米。 【点睛】本题解答的关键是先求出甲队和乙队每月修的总米数。 30．700×25×16＝280000(本) 31．1500人 【分析】根据题意，用15乘4，求出4个方阵共有的行数，再乘25，求出这4个方阵一共有多少人。 【详解】15×4×25 ＝15×（4×25） ＝15×100 ＝1500（人） 答：这4个方阵一共有1500人。 【点睛】本题主要考查了整数乘法结合律的计算及应用，解题的关键是理清题中的数量关系，再确定先算什么，最后再算什么。 32．2400元 【分析】每箱的根数乘运来雪糕的箱数等于这批雪糕的根数，再乘每根的售价即等于全部售完可以收回的钱数，计算时注意利用乘法结合律进行简算，据此即可解答。 【详解】24×25×4 ＝24×（25×4） ＝24×100 ＝2400（元） 答：这批雪糕全部售完可以收回2400元。 【点睛】用连乘解决实际问题，熟练掌握整数乘法的计算方法是解答本题的关键。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$