专题4.1 幂函数（考点精讲）-【中职专用】2025年职教高考数学一轮复习讲练测（福建专用）

专题4.1 幂函数 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识清单】 1 【考点分类剖析】 2 考点一：幂函数的定义 2 考点二：幂函数的性质 3 【考纲要求】 1.理解"次方根、"次根式和分数指数幂的概念，能进行根式和分数指数幂的互化：理解实数指数幂的概念，识记实数指数幂的运算法则，并会利用法则进行化简和求值。 2.了解幂函数的概念，了解幂函数的图像与性质。 【考向预测】 1.幂函数的定义 2.幂函数的性质 【知识清单】 1．幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2．幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示： 3．幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增函数 x∈[0，＋∞) 时，增函数 x∈(－∞，0] 时，减函数 增函数 增函数 x∈(0，＋∞) 时，减函数 x∈(－∞，0) 时，减函数 【考点分类剖析】 考点一：幂函数的定义 例1．若幂函数的图象过点，则该幂函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 例2．函数是幂函数，则实数的值是（    ） A． B． C．或 D．且 例3．已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．2 B． C． D． 例4．下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 例5．已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式探究】1．已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 2．若幂函数的图象经过点，则＝（　　） A． B．2 C．4 D． 3．已知幂函数的定义域为，且，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．下列函数中定义域为的是（    ） A． B． C． D． 5．给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 考点二：幂函数的性质 例1．幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B． 或 C．是奇函数 D．是偶函数 例2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 例3．若幂函数在区间上是严格减函数，则实数的值可能为（    ）． A．1 B． C． D．2 例4．下列函数中与的奇偶性相同，且在上单调性相同的是（    ） A． B． C． D． 例5．已知，且，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．已知幂函数是定义域上的奇函数，则（    ） A．或3 B．3 C． D． 2．下列函数中，既是奇函数，又是在区间上单调递减的函数为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数是幂函数，则下列关于说法正确的是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．定义域为 D．在单调递减 4．下列函数既是幂函数又是偶函数的是（　　） A． B． C． D． 5．在下列幂函数中，是偶函数且在(0，＋∞)上是增函数的是(　　) A．y＝x－2 B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.1 幂函数 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识清单】 1 【考点分类剖析】 2 考点一：幂函数的定义 2 考点二：幂函数的性质 3 【考纲要求】 1.理解"次方根、"次根式和分数指数幂的概念，能进行根式和分数指数幂的互化：理解实数指数幂的概念，识记实数指数幂的运算法则，并会利用法则进行化简和求值。 2.了解幂函数的概念，了解幂函数的图像与性质。 【考向预测】 1.幂函数的定义 2.幂函数的性质 【知识清单】 1．幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2．幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示： 3．幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增函数 x∈[0，＋∞) 时，增函数 x∈(－∞，0] 时，减函数 增函数 增函数 x∈(0，＋∞) 时，减函数 x∈(－∞，0) 时，减函数 【考点分类剖析】 考点一：幂函数的定义 例1．若幂函数的图象过点，则该幂函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数设解析式，再代入点求出解析式即可. 【详解】设幂函数解析式为，代入点可得，即，所以 所以该幂函数的解析式是. 故选：B 例2．函数是幂函数，则实数的值是（    ） A． B． C．或 D．且 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义列方程求解即可. 【详解】由幂函数的定义知， 即，解得或． 故选：C 例3．已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】将点的坐标代入函数解析式即可求得. 【详解】将代入得：，解得：. 故选：A 例4．下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义即可得解. 【详解】根据幂函数的定义，A、B、C均不是幂函数，只有D选项，形如（为常数），是幂函数，所以D正确 故选：D. 例5．已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出的解析式，然后可求出. 【详解】设，由，得， ，则. 故选：D 【变式探究】1．已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设幂函数，将点的坐标代入即可. 【详解】设幂函数，将点代入得，所以, 所以幂函数的解析式为. 故选：B. 2．若幂函数的图象经过点，则＝（　　） A． B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】利用已知条件求得幂函数解析式，然后代入求解即可. 【详解】设幂函数，因为的图象经过点，所以，解得， 所以，所以. 故选：C 3．已知幂函数的定义域为，且，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据幂函数定义域得到不等式，结合求出，检验后得到答案. 【详解】因为幂函数的定义域为R，故， 解得， 又，所以， 检验，时，，即，满足题意． 故选：C 4．下列函数中定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将分数指数幂化为根式，再根据幂函数的图像与性质即可得到答案. 【详解】，定义域为，故A错误； ，定义域为，故B错误； ，定义域为，故C正确； ，定义域为，故D错误， 故选：C. 5．给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义域求得正确答案. 【详解】①的定义域为，不符合. ②的定义域为，符合. ③的定义域为，不符合. ④的定义域为，符合. ⑤的定义域为，不符合. 所以符合的是②④. 故选：C 考点二：幂函数的性质 例1．幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B． 或 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】C 【分析】利用幂函数的定义和单调性可求的值，故可判断AB的正误，再根据奇偶性的定义可判断CD的正误. 【详解】函数为幂函数，则，解得或. 当时，在区间上单调递增，不满足条件，排除A，B； 所以，定义域关于原点对称，且， 所以函数是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误. 故选：C. 例2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对数函数、指数函数以及幂函数的单调性即可比较大小. 【详解】因为，，所以. 又，所以. 故选：A. 例3．若幂函数在区间上是严格减函数，则实数的值可能为（    ）． A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据幂函数的单调性可得答案. 【详解】若幂函数在区间上是严格减函数，只要即可． 故选：C. 例4．下列函数中与的奇偶性相同，且在上单调性相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性和单调性逐项判断即可. 【详解】为非奇非偶函数，且在上递增， 为奇函数，故A错误； 在上递减，故B错误； 为非奇非偶函数，且在上递增，故C正确； 为偶函数，故D错误. 故选：C 例5．已知，且，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举反例排除ABC，由指数函数单调性即可说明D. 【详解】取，则，无意义，故ABC错误； 对于D，由指数函数在实数域上关于单调递增，且，所以，故D正确. 故选：D. 【变式探究】1．已知幂函数是定义域上的奇函数，则（    ） A．或3 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用幂函数的定义及性质列式计算即得. 【详解】由函数是幂函数，得，解得或， 当时，是R上的偶函数，不符合题意， 当时，是上的奇函数，符合题意， 所以. 故选：D 2．下列函数中，既是奇函数，又是在区间上单调递减的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本初等函数的奇偶性和单调性进行判断即可. 【详解】对于A，为偶函数，不符合题意； 对于B，为奇函数，且在区间上单调递减，符合题意； 对于C，为偶函数，不符合题意； 对于D，为奇函数，且在区间上单调递增，不符合题意． 故选：B． 3．已知函数是幂函数，则下列关于说法正确的是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．定义域为 D．在单调递减 【答案】C 【分析】根据函数为幂函数，得到，从而求出定义域和单调性，并得到既不是奇函数，也不是偶函数. 【详解】为幂函数，故，解得：， 所以，定义域为，不关于原点对称， 所以既不是奇函数，也不是偶函数，AB错误， 在上单调递增，D错误. 故选：C 4．下列函数既是幂函数又是偶函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数过定点排除A，由偶函数性质判断B、C不是偶函数，排除. 【详解】由幂函数性质可知幕函数的图象都经过点，排除A； 根据偶函数性质可知，与不是偶函数，排除B，D， 所以C既是幂函数又是偶函数， 故选：C. 5．在下列幂函数中，是偶函数且在(0，＋∞)上是增函数的是(　　) A．y＝x－2 B． C． D． 【答案】D 【分析】逐一判断每一个选项函数的奇偶性和单调性得解. 【详解】对于A，有f(－x)＝f(x)，是偶函数，但在(0，＋∞)上递减，则A不满足； 对于B，定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，不具有奇偶性，则B不满足； 对于C，有f(－x)＝－f(x)，为奇函数，则C不满足； 对于D，定义域R关于原点对称，f(－x)＝f(x)，则为偶函数，且在(0，＋∞)上递增，则D满足. 故选D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$