2.3 有理数的乘方【8大题型】-2024-2025学年七年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版2024）

2.3 有理数的乘方 【考点归纳】 · 考点一：有理数幂的理解 · 考点二：有理数的乘方（逆)运算 · 考点三：乘方运算的符号规律 · 考点四：含乘方的有理数四则混合运算 · 考点五：科学记数法 · 考点六：近似数 · 考点七：程序框图 · 考点八：有理数乘方的综合应用 【知识梳理】 知识点一.乘方的概念 求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 中，a 叫做底数，n 叫做指数。 知识点二：乘方的性质 （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。 （2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。 知识点三：.有理数的混合运算 做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序： （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。 知识点四：科学记数法 把一个大于10的数表示成 的形式（其中， n是正整数），这种记数法是科学记数法。 【题型归纳】 题型一：有理数幂的理解 1．（23-24七年级上·广西河池·期中）算式可以表示为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·福建福州·期中）关于说法正确的是（    ） A．结果是 B．底数是4，指数是 C．可以表示为 D．底数是，指数是4 3．（22-23七年级上·福建厦门·期末）下列算式的运算结果可以表示为的是（    ） A． B． C． D． 题型二：有理数的乘方（逆)运算 4．（23-24七年级上·山东德州·期末）下列各组数中，运算结果相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 5．（2023七年级上·江苏·专题练习）计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 6．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)；(7)； (8)． 题型三：乘方运算的符号规律 7．（23-24七年级上·全国·课堂例题）有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 8．（23-24七年级上·全国·课堂例题）当时，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 9．（2024七年级上·江苏·专题练习）如果一个有理数的奇次幂是正数，那么这个有理数（　　） A．一定是正数 B．是正数或负数 C．一定是负数 D．可以是任意有理数 题型四：含乘方的有理数四则混合运算 10．（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24七年级上·四川达州·期末）计算： (1)； (2)． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型五：科学记数法 13．（23-24七年级上·浙江丽水·期末）文化和旅游部数据显示，2023年的中秋、国庆假期全国国内旅游出游人数8.26亿人次，实现国内旅游收入7534.3亿元．数据8.26亿用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 14．（23-24七年级上·安徽·期末）2023年《政府工作报告》提出，改善普通高中学校办学条件补助资金安排100亿元，支持改善县域普通高中基本办学条件．其中数据“100亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超次．将数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 题型六：近似数 16．（2024·陕西渭南·一模）精确到个位，则近似值为（    ） A．1080 B． C．1079 D．1070 17．（23-24七年级上·广东汕头·期中）用四舍五入法得到的近似数0.270，其准确数的范围是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）用四舍五入按要求对取近似值，其中错误的是（　　） A．（精确到十分位） B．（精确到） C．（精确到千分位） D．（精确到） 题型七：程序框图 19．（23-24八年级下·广西贵港·期中）按如图所示运算程序，输入，则输出结果为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24七年级下·山东济南·期中）根据如图所示的运算程序计算y的值，若输入，，则输出y的值是（    ） A．8 B．6 C． D． 21．（23-24七年级上·重庆南岸·期末）按下列图示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是（     ） A．6 B．21 C．115 D．231 题型八：有理数乘方的综合应用 22．（2024七年级上·江苏·专题练习）水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素） (1)假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 … … (2)假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？ 23．（2024七年级上·江苏·专题练习）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作：“的圈4次方”．一般地，把n个a相除记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：___________，___________． (2)关于除方，下列说法错误的是 ___________． A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1 C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 (3)算一算：． 24．（23-24·山东烟台·期末）观察下列式子： ； ； ； ； (1)猜想： ； ； (2)根据以上发现的规律计算：，并直接写出计算结果的个位数字． 【高分演练】 一、单选题 25．（23-24七年级上·广东肇庆·期末）国铁集团预计2021年底中国高铁运营总长度将达到37900公里，37900用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24七年级上·四川达州·期末）下列各式一定成立的个数是（   ） ①     ②     ③      ④ A．4 B．3 C．2 D．1 27．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）用四舍五入法对取近似值，精确到的结果是（    ） A． B． C． D． 28．（2024七年级上·全国·专题练习）若a，b（，）互为相反数，n是正整数，则（　　） A．和互为相反数 B．和互为相反数 C．和互为相反数 D．和互为相反数 29．（2024·河北邯郸·一模）如表所示的是琳琳作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，琳琳查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（    ） 已知：60，求的值 A．4 B．5 C．6 D．7 30．（23-24六年级下·山东威海·期末）根据图中的程序，当输入，输出的结果，将计算结果再次输入，记为第二次输入，则第2024次输出的结果为（    ） A． B． C．2 D．无法确定 31．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．已知“！”是一种数学运算符号，且，，若公式为正整数），则为（    ） A．28 B．64 C．70 D．84 32．（24-25七年级上·全国·假期作业）观察下列算式：①；②；③寻找规律，并判断的值的末位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 二、填空题 33．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： ， ， ． 34．（24-25七年级上·山东聊城·开学考试）2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在中国浙江省杭州市举行．杭州奥体博览城是本届亚运会的主场馆，该场馆核心区占地面积为一百五十四万三千七百平方米，建筑总面积为272万平方米．“一百五十四万三千七百”写作( )平方米，用“四舍五入”法精确到“万”位是( )万平方米． 35．（2024七年级上·江苏·专题练习）你会玩“二十四点”游戏吗？请你在“，，，”这四个数中利用有理数的混合运算，使四个数的运算结果为（每个数只能用一次），写出你的算式 ． 36．（2024七年级上·全国·专题练习）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克．现在请你来计算按某国人口13亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米 千克？（用科学记数法表示） 37．（2024七年级上·江苏·专题练习）在数学中，为了简便计算记，，，，．则 ． 三、解答题 38．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8) ； (9)． 39．（23-24七年级上·四川内江·期末）计算： (1) (2) 40．（2024七年级上·江苏·专题练习）我们平常用的数都是十进制的，如：．表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．电子计算机中用的二进制只有两个数码：0，1．二进制数可以转化为十进制数，如：二进制数，等于十进制数5；二进制数，等于十进制数22，那么二进制数11010等于十进制数多少呢？ 41．（24-25七年级上·全国·假期作业）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)； (3)． (4) 42．（24-25七年级上·全国·随堂练习）观察下列运算过程： ，① ，得，② ，得，． 用上面的方法计算：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 有理数的乘方 【考点归纳】 · 考点一：有理数幂的理解 · 考点二：有理数的乘方（逆)运算 · 考点三：乘方运算的符号规律 · 考点四：含乘方的有理数四则混合运算 · 考点五：科学记数法 · 考点六：近似数 · 考点七：程序框图 · 考点八：有理数乘方的综合应用 【知识梳理】 知识点一.乘方的概念 求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 中，a 叫做底数，n 叫做指数。 知识点二：乘方的性质 （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。 （2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。 知识点三：.有理数的混合运算 做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序： （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。 知识点四：科学记数法 把一个大于10的数表示成 的形式（其中， n是正整数），这种记数法是科学记数法。 【题型归纳】 题型一：有理数幂的理解 1．（23-24七年级上·广西河池·期中）算式可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的加法及乘方运算，解题的关键是理解题意；因此此题可根据有理数的加法及乘方可进行求解． 【详解】解：由题意得； 故选C． 2．（23-24七年级上·福建福州·期中）关于说法正确的是（    ） A．结果是 B．底数是4，指数是 C．可以表示为 D．底数是，指数是4 【答案】D 【分析】根据乘方的运算法则，幂的有关定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意； 底数是，指数是4， 故B不正确，不符合题意；D正确，符合题意； C、，故C不正确，不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了乘方的运算在，幂的有关定义，解题的关键是掌握表示n个a相乘，a为底数，n为指数． 3．（22-23七年级上·福建厦门·期末）下列算式的运算结果可以表示为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数幂的概念．根据有理数幂的概念“表示个连乘”即可解答． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：C． 题型二：有理数的乘方（逆)运算 4．（23-24七年级上·山东德州·期末）下列各组数中，运算结果相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方是解题的关键．根据有理数的乘方解答此题即可． 【详解】解：、，，故相等，符合题意； 、，，故不相等，不符合题意； 、，，故不相等，不符合题意； 、，，故不相等，不符合题意； 故选：． 5．（2023七年级上·江苏·专题练习）计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【答案】B 【分析】根据有理数乘方的逆运算法则计算即可得． 【详解】解：原式． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题关键． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)；(7)； (8)． 【答案】(1) (2)1 (3) (4) (5) (6) (7)1000 (8)0 【分析】本题主要考查了有理数乘方运算，熟练掌握乘方定义是解题的关键．分别根据有理数的乘方的定义进行计算即可． （1）根据有理数乘方运算法则计算即可； （2）根据有理数乘方运算法则计算即可； （3）根据有理数乘方运算法则计算即可； （4）根据有理数乘方运算法则计算即可； （5）根据有理数乘方运算法则计算即可； （6）根据有理数乘方运算法则计算即可； （7）根据有理数乘方运算法则计算即可； （8）根据有理数乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解：． 题型三：乘方运算的符号规律 7．（23-24七年级上·全国·课堂例题）有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据有理数的乘方，以及相反数的求法，逐项判定即可． 【详解】解：①， ②， ③， ④， ∴其中结果等于的是：①②③④． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘方，以及相反数的求法，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”． 8．（23-24七年级上·全国·课堂例题）当时，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数即可解答． 【详解】解：当时， 是负数，故①正确； ，故②正确，④错误； ，故③正确； 综上所述，①②③正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律：一个负数的奇次幂是负数，一个负数的偶次幂是正数． 9．（2024七年级上·江苏·专题练习）如果一个有理数的奇次幂是正数，那么这个有理数（　　） A．一定是正数 B．是正数或负数 C．一定是负数 D．可以是任意有理数 【答案】A 【分析】根据有理数的乘方法则进行判断即可．此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方运算法则是解本题的关键． 【详解】解：∵正数的任何次幂是正数，负数的奇次幂数负数，0正整数次幂是0 ∴一个有理数的奇次幂是正数，这个数一定是正数． 故选：A． 题型四：含乘方的有理数四则混合运算 10．（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意； B、，故B不正确，不符合题意； C、，故C正确，符合题意； D、，故D不正确，不符合题意． 故选：C． 11．（23-24七年级上·四川达州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可得到结果； （2）先算乘方和绝对值，再算乘法，最后算加减． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （3）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （4）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型五：科学记数法 13．（23-24七年级上·浙江丽水·期末）文化和旅游部数据显示，2023年的中秋、国庆假期全国国内旅游出游人数8.26亿人次，实现国内旅游收入7534.3亿元．数据8.26亿用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：8.26亿， 故选：C． 14．（23-24七年级上·安徽·期末）2023年《政府工作报告》提出，改善普通高中学校办学条件补助资金安排100亿元，支持改善县域普通高中基本办学条件．其中数据“100亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 科学记数法的表现形式为：的形式，其中，为整数，由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：由科学记数法的定义，得100亿． 故选：C． 15．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超次．将数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.据此进行进行解答即可. 【详解】解：， 故选：D. 题型六：近似数 16．（2024·陕西渭南·一模）精确到个位，则近似值为（    ） A．1080 B． C．1079 D．1070 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的近似数，精确度个数即对十分位上的数字进行四舍五入，据此求解即可． 【详解】解：精确到个位，则近似值为1079， 故选：C． 17．（23-24七年级上·广东汕头·期中）用四舍五入法得到的近似数0.270，其准确数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了近似数，熟练掌握近似数的确定方法是解题关键．近似数精确到哪一位，是对下一位的数字进行四舍五入得到的，由于的近似值为0.270，则由四舍五入近似可得的取值范围，即看万分位上的数． 【详解】解：由题意得，当满足时，得到的近似数为0.270． 故选：D． 18．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）用四舍五入按要求对取近似值，其中错误的是（　　） A．（精确到十分位） B．（精确到） C．（精确到千分位） D．（精确到） 【答案】C 【分析】本题主要考查了近似数，“精确到第几位”是精确度的表示形式，熟练掌握四舍五入是解题关键． 根据近似数的精确度逐项判断即可． 【详解】解：（精确到十分位），选项A正确，不符合题意； （精确到），选项B正确，不符合题意； （精确到千分位），选项C错误，符合题意； （精确到），选项D正确，不符合题意， 故选：C． 题型七：程序框图 19．（23-24八年级下·广西贵港·期中）按如图所示运算程序，输入，则输出结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的减法运算，根据运算程序将代入对应的算式进行计算即可求解，正确理解运算程序是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴输出结果为， 故选：． 20．（23-24七年级下·山东济南·期中）根据如图所示的运算程序计算y的值，若输入，，则输出y的值是（    ） A．8 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的计算，根据即可求解； 【详解】解：∵， ∴ 故选：C 21．（23-24七年级上·重庆南岸·期末）按下列图示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是（     ） A．6 B．21 C．115 D．231 【答案】D 【分析】观察图示我们可以得出关系式为：，因此将的值代入就可以计算出结果．如果计算的结果等于100则需要把结果再次代入关系式求值，直到算出的值为止，即可得出的值．解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．一要注意结果才可以输出，二是当等于100是就是重新计算，且输入的就是这个数． 【详解】解：依据题中的计算程序列出算式：由于， 应该按照计算程序继续计算， 应该按照计算程序继续计算， 输出结果为231． 故选：D． 题型八：有理数乘方的综合应用 22．（2024七年级上·江苏·专题练习）水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素） (1)假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 … … (2)假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？ 【答案】(1)见解析； (2)35天 【分析】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义并读懂图表信息是解题的关键． （1 ）根据有理数乘方的定义填写即可； （2 ）根据（1 ）的结论列出方程求出n，然后乘以5即可． 【详解】（1）根据题意得，当天数为15时，总株数为， 当天数为25时，总株数为， ∴当天数为时，总株数为， 填表如下： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 8 … 32 … （2）根据题意得，， 解得， （天）． 答：按照上述生长速度，35天时有1280株水葫芦． 23．（2024七年级上·江苏·专题练习）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作：“的圈4次方”．一般地，把n个a相除记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：___________，___________． (2)关于除方，下列说法错误的是 ___________． A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1 C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 (3)算一算：． 【答案】(1) (2)C (3) 【分析】（1）分别按公式计算即可； （2）根据定义依次判定即可； （3）分别按公式计算即可． 本题考查的是正数与负数、有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义的计算公式逐步计算． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，． （2）解：A．任何非零数的圈2次方表示的是两个相同非零数的商，结果都等于1，正确，不符合题意； B．对于任何正整数n，1的圈n次方表示的是n个1相除，都等于1，正确，不符合题意； C. ， ， 故，错误，符合题意； D．负数的圈奇数次方表示奇数个负数相除，结果是负数，负数的圈偶数次方表示偶数个负数相除，结果是正数，正确，不符合题意； 故选C． （3） ． 24．（23-24六年级下·山东烟台·期末）观察下列式子： ； ； ； ； (1)猜想： ； ； (2)根据以上发现的规律计算：，并直接写出计算结果的个位数字． 【答案】(1)，； (2)，4 【分析】本题考查了找规律，以及含乘方的有理数混合运算，解题的关键在于根据示例找出运算规律． （1）由题易得运算规律为 ，再分别表示和即可； （2）先将表示为题干规律形式，在寻找的个位数规律即可解题． 【详解】（1）解：由题可知：运算规律为 ， ， ， 故答案为：，； （2）解：根据题规律可得：， ，，，，，，，， 的个位数变化规律为2、4、8、6，4个数字为一个循环， ， 的个位数字为6， 的个位数字为4． 【高分演练】 一、单选题 25．（23-24七年级上·广东肇庆·期末）国铁集团预计2021年底中国高铁运营总长度将达到37900公里，37900用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：. 故选：B． 26．（23-24七年级上·四川达州·期末）下列各式一定成立的个数是（   ） ①     ②     ③      ④ A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值及乘方的运算，掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，①正确； ∵， ∴，②错误； ∵， ∴，③错误； ∵，不一定为非负数， ∴与不一定相等，④错误； 综上所述，正确的有①，共1个， 故选：D ． 27．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）用四舍五入法对取近似值，精确到的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的近似数，精确到即对千分位上的数字进行四舍五入即可得到答案． 【详解】解：用四舍五入法对取近似值，精确到的结果是， 故选：D． 28．（2024七年级上·全国·专题练习）若a，b（，）互为相反数，n是正整数，则（　　） A．和互为相反数 B．和互为相反数 C．和互为相反数 D．和互为相反数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，以及相反数概念，掌握有理数的乘方法则是解题关键； 有理数的乘方法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0； 然后根据相反数的定义结合有理数的乘方法则分别对每一项进行分析，即可得出正确答案． 【详解】解：A、，， 和不是相反数，选项结论错误，不符合题意； B、a，b（，）互为相反数，为奇数， 和互为相反数，选项结论正确，符合题意； C、，， 和不是相反数，选项结论错误，不符合题意； D、a，b（，）互为相反数， 当n为偶数时，和不是相反数，选项结论错误，不符合题意； 故选：B． 29．（2024·河北邯郸·一模）如表所示的是琳琳作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，琳琳查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（    ） 已知：60，求的值 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法的定义，掌握表示一个的数的方法：“从右往左数到最后一个非“”数字，小数点移动的位数为就是．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， 破损处“0”的个数为， 故选：A． 30．（23-24六年级下·山东威海·期末）根据图中的程序，当输入，输出的结果，将计算结果再次输入，记为第二次输入，则第2024次输出的结果为（    ） A． B． C．2 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题是规律探索问题，找到规律是关键；求出部分输出结果，发现输出的结果以，，2循环，据此求解即可． 【详解】解：第1次输入，则输出的结果， 第2次输入，则输出的结果， 第3次输入，则输出的结果， … 输出的结果以，，2循环， ∵， ∴第2024次输出的结果为， 故选：B． 31．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．已知“！”是一种数学运算符号，且，，若公式为正整数），则为（    ） A．28 B．64 C．70 D．84 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算及有理数的混合运算，理解的含义及“”的运算方法是解决本题的关键． 先表示出，再利用新定义的运算符号“”计算得结论． 【详解】解： ． 故选：D． 32．（24-25七年级上·全国·假期作业）观察下列算式：①；②；③寻找规律，并判断的值的末位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了整式的规律探究，有理数的乘方．根据题意得到式子的规律，再根据幂的运算得到尾数的规律是解题的关键． 由题意可推导一般性规律为：，当时代入求解，然后找出2的次方末尾数字规律，进而可得结果． 【详解】解：由题意可推导一般性规律为：， 当时， ， ∴， ∵，，，，， ∴尾数是4个一循环， ∵， ∴尾数为：， 故选：C． 二、填空题 33．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： ， ， ． 【答案】 4 【分析】本题考查有理数的乘方运算，根据有理数的乘方法则计算即可，熟记相关法则，正确计算出结果是解题的关键． 【详解】解：；；； 故答案为：，4，． 34．（24-25七年级上·山东聊城·开学考试）2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在中国浙江省杭州市举行．杭州奥体博览城是本届亚运会的主场馆，该场馆核心区占地面积为一百五十四万三千七百平方米，建筑总面积为272万平方米．“一百五十四万三千七百”写作( )平方米，用“四舍五入”法精确到“万”位是( )万平方米． 【答案】 1543700 154 【分析】此题考查了数的写作和求近似数，要求学生掌握． 万以内数的写法，从最高位写起，先写万级再写个级，哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0；四舍五入到万位，就是把万位后的千位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“万”字． 【详解】解：一百五十四万三千七百写作：1543700， 万， 故答案为：1543700；154． 35．（2024七年级上·江苏·专题练习）你会玩“二十四点”游戏吗？请你在“，，，”这四个数中利用有理数的混合运算，使四个数的运算结果为（每个数只能用一次），写出你的算式 ． 【答案】 【分析】认真读题，完全掌握，，，各数之间的相互计算的结果，培养学生的计算能力． 首先将12与相加得8，然后和2与1的和相乘，结果得24． 【详解】解：，， ． 故答案为： 36．（2024七年级上·全国·专题练习）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克．现在请你来计算按某国人口13亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米 千克？（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的乘法运算，科学记数法的应用，先计算一粒大米重约克，再计算一年的总量结合科学记数法表示即可． 【详解】解：（克）． 故一粒大米重约克． （千克）． 答：一年大约能节约大米千克． 37．（2024七年级上·江苏·专题练习）在数学中，为了简便计算记，，，，．则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，依照题目给出的范例，正确理解“”是计算关键，“”是阶乘的符号，“”表示从1到n的n个连续自然数的乘积．此题先用自定义变成常规式子，再按照运算顺序计算． 【详解】解：， ． 故答案为：1． 三、解答题 38．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8) ； (9)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)． 【分析】（）直接利用乘方的运算即可； （）先算乘方运算，然后计算乘法即可； （）先算乘方运算，然后计算乘法即可； （）先算乘方运算，然后计算乘法即可； （）先算乘法运算，然后计算乘方即可； （）利用乘方逆运算即可； （）直接利用乘方的运算即可； （）直接利用乘方的运算即可； （）先算乘方运算，然后计算加法即可； 本题考查了乘方的运算，有理数的乘法，有理数的加法，解题的关键是熟记负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，的任何正整数次幂都是，熟练掌握运算法则． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ； （6）原式 ； （7）原式； （8）原式； （9）原式 ． 39．（23-24七年级上·四川内江·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据有理数的混合运算法则进行计算是解题的关键． （1）先计算乘方，再计算乘除，然后计算加减，即可求解； （2）先根据有理数的乘方和有理数的乘法分配律计算，再计算乘法，然后计算加减，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 40．（2024七年级上·江苏·专题练习）我们平常用的数都是十进制的，如：．表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．电子计算机中用的二进制只有两个数码：0，1．二进制数可以转化为十进制数，如：二进制数，等于十进制数5；二进制数，等于十进制数22，那么二进制数11010等于十进制数多少呢？ 【答案】26 【分析】本题考查了二进制数转化为十进制数的方法，掌握二进制数转化十进制数之间的规则是关键．根据题目信息，参照题中两个二进制数转化为十进制数的方法，可得，利用有理数的乘方法则及加法法则得出结果． 【详解】解：根据二进制数转化为十进制数的方法，可得， 二进制数 ． 故二进制数11010等于十进制数26． 41．（24-25七年级上·全国·假期作业）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)； (3)． (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，逆用分配律简便计算是关键； （1）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （2）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （3）逆用乘法分配律计算即可； （4）先计算乘方，再计算乘除，最后进行加减计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： = = =． 42．（24-25七年级上·全国·随堂练习）观察下列运算过程： ，① ，得，② ，得，． 用上面的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，仿照题目中所给的方法计算即可得出答案，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 【详解】解：设，则， 得，即， 则． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$