专题01 勾股定理（15大题型79题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（辽宁专用）

专题01 勾股定理 题型一 判断直角三角形 1．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 2．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）已知的三个内角分别为、、，三边分别为，下列条件不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·辽宁本溪·期中）满足下列条件的三角形中，不能判断直角三角形的是（    ） A．三个内角之比为 B．三边长的平方之比为 C．三边长之比为 D．三个内角的比为 4．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（　　） A．0.6，0.8，1 B．，， C．， D．7，24，25 5．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期中）以下列各组数作为三边的长，不能围成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）的三条边分别为，下列条件不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期中）下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）满足下列条件时，不是直角三角形的是(　　) A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期中）已知中，所对边长分别为a、b、c，请解决下列问题． (1)若，，求b； (2)若a、b、c三边满足，试判断的形状． 题型二 折叠问题与勾股定理 10．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，将长方形折叠，使顶点D恰好落在边上点F处，折痕交于点E，已知，则长为（    ） A．5 B．3 C． D． 11．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，矩形纸片中，，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，则 ．    12．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在矩形中，，，在边上取一点，将折叠，使点恰好落在边上的点．则等于（　　）    A．5 B．4 C．3 D．2 13．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期中）如图，点O是矩形的中心，E是上的点，沿折叠后，点B恰好与点O重合，若，则折痕的长为() A． B． C． D．6 14．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，正方形的边长为，点，分别在边，上，将四方形沿折叠得到四边形，点的对应点恰好落在直线上．若，则线段的长度为 ． 15．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在长方形纸片中，，，将纸片沿对角线折叠，点C落在点处，交于点F，求的长．    16．（23-24八年级上·辽宁锦州·期中）如图所示，把长方形纸片放在平面直角坐标系中，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，C点坐标为．求D点坐标为多少？    题型三 网格问题与勾股定理 17．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期中）如图所示，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　） A． B． C．点A到直线的距离为2 D． 18．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）在如图的网格中，小正方形的边长均为1，三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．点到直线的距离是2 19．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）    A． B． C． D． 20．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图是规格为8×8的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作： (1)在网格中建立平面直角坐标系，A点，B点． (2)在第二象限内的格点上画一点C，使点C与线段组成一个以为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则C点坐标是　 　． (3)画出关于y轴对称的． (4)求的周长＝　 　（保留根号）；的面积＝　 　（直接写答案）． 21．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，且． (1)点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)画出关于y轴对称的； (3)的面积为 ； (4)已知点P为y轴上一点，若使得的周长最小，周长最小值为 ． 题型四 勾股定理与无理数 22．（23-24八年级上·辽宁锦州·期中）如图，长方形的边在数轴上，点表示数，点表示数，以点为圆心，长为半径作弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的数为 ． 23．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在数轴上点A表示的实数是（　　）    A． B． C． D． 题型五 勾股树 25．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S9的值为（ ） A．（）6 B．（）7 C．（）6 D．（）7 26．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，是直角三角形，，分别以、为边向两侧作正方形．若图中两个正方形的面积和，则 ． 27．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（    ） A．直角三角形的面积 B．最大正方形的面积 C．较小两个正方形重叠部分的面积 D．最大正方形与直角三角形的面积和 28．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的边长为 ． 29．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为5，4，4，9，则最大的正方形G的面积为 ．    30．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形。其中阴影部分面积是 ．    31．（23-24八年级上·辽宁本溪·期中）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为8、6、18，则正方形A的面积为 ． 32．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题．（其中表示图中第个三角形的面积），，；，；，；…… (1)用含有（是正整数）的式子表示：________，________； (2)若一个三角形的面积是，则说明这是第________个三角形． (3)的值为________． 题型六 三角形的面积与周长 33．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）已知，周长为9的为等边三角形，则的面积是（　　） A． B． C． D． 34．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）在中，，，则点C到斜边的距离是（　　） A． B． C．9 D．6 35．（23-24八年级上·辽宁本溪·期中）如图，在中，，D为上一点．若，的面积为90，则的长是（    ） A．24 B．12 C．3 D．9 36．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期中）如图，在长方形内有两个相邻的正方形A，B，正方形A的面积为2，正方形B的面积为4，则图中阴影部分的面积是 ． 37．（23-24八年级上·辽宁本溪·期中）一直角三角形的两边长为3和4，则该三角形的面积为 ． 38．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期中）已知等腰的两边长分别为和，则等腰的周长是 ． 39．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图所示，已知中是上一点，且，．求的面积．    40．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，中，D是边上的一点，若A． (1)求证：； (2)求的面积． 41．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB=1.8． （1）求CD，AD的值；（2）判断△ABC的形状，并说明理由． 题型七 立体图形求最短距离 42．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，一个长方体木箱长、宽、高分别为，，，则能放入此木箱中的木棒最长为（    ） A． B． C． D． 43．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（    ）    A． B．25 C． D．35 44．（23-24八年级上·辽宁本溪·期中）圆柱形杯子的高为，底面周长为，已知蚂蚁在外壁处(距杯子上沿)发现一滴蜂蜜在杯子内(距杯子下沿)，则蚂蚁从处爬到处的最短距离为(    )    A．10 B．28 C．20 D．24 45．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期中）如图，圆柱底面半径为，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点B在点A的正上方，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（　　） A．21cm B．24cm C．30cm D．32cm 46．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期中）如图正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为(    )    A． B．5 C． D． 47．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长为，高为，在杯子内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为（　　）    A． B． C． D． 48．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图：一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路线的长是 cm. 49．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上,如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且>AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点.A处，到达C处需要走的最短路程是多少米？ 题型八 赵爽弦图 50．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若每个直角三角形的面积为，大正方形的面积为，则小正方形的边长为（  ） A． B． C． D． 51．（23-24八年级上·辽宁锦州·期中）我国数学家赵爽（又名婴，字君卿．三国时吴国人，一说魏晋人或汉人．籍贯、生卒年不详，约生活于公元3世纪初，数学家，天文学家．）为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，，，和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形．如果大正方形的面积为25，，，，且．试求小正方形的边长．    题型九 将军饮马与勾股定理 52．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，，AD平分交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则的最小值为　　 A． B． C． D．6 53．（23-24八年级上·辽宁本溪·期中）正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．9 54．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中．    (1)在图中作出关于轴对称的图形，并分别写出的对应点的坐标； (2)在第一象限找到格点，使是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点坐标； (3)在轴上找一点，使得点到、两点的距离之和最小，请直接写出最小值及此时点的坐标． 55．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）人教版八年级上册课本第85页中有下面这道题： 问题1．如图1，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，可使所走的路径最短？      问题解决： 如图3，作出点B关于l的对称点，利用轴对称的性质，问题就转化为：当点C在直线l的什么位置时，与的和最小？ 如图4，在连接A，两点的线中，线段与直线l的交点C的位置即为所求．    数学思考： 有很多问题都可用类似的方法去思考解决． (1)如图5，在等边三角形中，是边上的高，E为的中点，P为上一动点，若，求周长的最小值； (2)如图6，在中，，是边上的中线，点E是上一动点，P为上一动点，，则的最小值为 ． 题型十 梯子问题与勾股定理 56．（23-24八年级上·辽宁本溪·期中）如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米．若保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面1.5米,则小巷的宽度为（    ） A．1.8米 B．2米 C．2.5米 D．2.7米 57．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，一座城墙高，墙外有一条护城河宽为，那么一架长为的云梯能否到达城墙的顶端？请说明理由． 题型十一 勾股定理的应用 58．（15-16八年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高5米，两树相距12米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ） A．8米 B．10米 C．13米 D．14米 59．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，一棵树被雷电击中在C点处折断倒下，点C到树根A的距离3米，树尖B离树根A的水平距离是米，则树原来高度 米． 60．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在一棵树的10米高的处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到处（离树20米）的池塘边，另一只爬到树顶后直接跃到处，距离以直线计算，若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米． 61．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）在平静的湖面上，有一朵红莲，高出水面1 m，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵贴到水面，已知红莲移动的水平距离为2 m，则这里的水深是 m. 62．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高 米的市民正对门缓慢走到离门米的感应器地方时（即米），则人头顶离测温仪的距离等于 米．    63．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，四边形的对角线，交于点O，若，，，则 ． 64．（23-24八年级上·辽宁锦州·期中）有一棵高的大树被大风吹折，折断处A与地面的距离．在大树倒下的方向上的点D处停着一辆小轿车，的距离为，求的距离（点B为大树顶端着地处）．    65．（23-24八年级上·辽宁阜新·期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？    66．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米（小明的身高忽略不计）． (1)求风筝的垂直高度； (2)在小明收风筝线的过程中，若风筝沿方向下降的高度与未收回的风筝线的长度相等，求风筝下降的高度为多少米． 67．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．求原来的路线的长． 题型十二 分类讨论压轴小题 68．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图所示，等腰三角形的底边为，腰长为，一动点P（与B、C不重合）在底边上从B向C以的速度移动，当P运动 秒时，是直角三角形．      69．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）把两个同样大小含角的直角三角尺（，，）按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若，则 ． 70．（23-24八年级上·辽宁本溪·期中）如图，长方形中，，，，点M是射线BD上一点（不与点B，D重合），连接AM，过点M作交直线BC于点N，若是等腰三角形，则 ． 71．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）如图，在中， ，，点是边上一动点，连接将沿着线翻折后得，当时，的长是 ． 72．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期中）Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 ． 题型十三 勾股定理逆定理 73．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，一块四边形空地，经测量，，，，，求空地的面积． 74．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）一块试验田的形状如图，已知，，，，，，求这块试验田的面积．    75．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）如图，，，，，，求四边形的面积．    76．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期中）如图，在四边形中，，，，． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 题型十四 受台风影响问题 77．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）如图，有一架救火飞机沿东西方向，由点飞向点，在直线的正下方有一个着火点，且点与两点的距离分别为和，又两点距离为，飞机与着火点距离在以内可以受到洒水影响．    (1)请通过计算说明，着火点是否受洒水影响； (2)若救火飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要13秒，请你通过计算说明在救火飞机从点飞到点的过程中，着火点能否被扑灭． 78．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期中）如图，公路和公路在点P处交汇，且，点Q处有一座火箭发射塔，，假设龙卷风来临时，周围150km内都会受到大风影响．    (1)若龙卷风恰好沿公路由B向A处行进，火箭发射塔是否会受到影响？请说明理由； (2)已知龙卷风的速度为300km/h，若受影响，那么火箭发射塔受影响的时间为多少分钟？ 题型十五 方位角问题 79．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，甲乙两船从港口同时出发，甲船以16海里时速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，3小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．若、两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 勾股定理 题型一 判断直角三角形 1．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：A、因为，所以不能构成直角三角形； B、因为，所以不能构成直角三角形； C、因为，所以能构成直角三角形； D、因为，所以不能构成直角三角形． 故选：C． 2．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）已知的三个内角分别为、、，三边分别为，下列条件不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形的判定，可以利用直角三角形的定义，三角形内角和定理，勾股定理的逆定理；关键是证明三角形中有一个角等于，即可判定为直角三角形． 【详解】解：A、，假设，则，， ∴，解得：，即：， ∴是直角三角形，本选项不符合题意； B、，则， ∴， ∴是直角三角形，本选项不符合题意； C、，假设，则，， ∵，，则， ∴不是直角三角形，本选项符合题意； D、， ∴是直角三角形，本选项不符合题意； 故选：C． 3．（23-24八年级上·辽宁本溪·期中）满足下列条件的三角形中，不能判断直角三角形的是（    ） A．三个内角之比为 B．三边长的平方之比为 C．三边长之比为 D．三个内角的比为 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理及勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A、三内角之比为，最大内角是，不能构成直角三角形，故本选项符合题意； B、三边长的平方之比为，，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、设三边长分别为，，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、三内角之比为，最大内角是，能构成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：A． 4．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（　　） A．0.6，0.8，1 B．，， C．， D．7，24，25 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，， ， 能组成直角三角形， 故此选项不符合题意； B、，， ， 不能组成直角三角形， 故此选项符合题意； C、，， ， 能组成直角三角形， 故此选项不符合题意； D、，， ， 能组成直角三角形， 故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键 5．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期中）以下列各组数作为三边的长，不能围成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】根据勾股定理逆定理判断即可． 【详解】解：A．，， ， ，，作为三边的长，能围成直角三角形， 选项正确，不符合题意； B．，， ， ，，作为三边的长能围成直角三角形， 选项正确，不符合题意； C．，， ， ，，作为三边的长不能围成直角三角形， 选项错误，符合题意； D．，， ， ，，作为三边的长能围成直角三角形， 选项正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 6．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）的三条边分别为，下列条件不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、三角形内角和定理，根据勾股定理逆定理以及三角形内角和定理逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，，故是直角三角形，不符合题意； B、，，故是直角三角形，不符合题意； C、，， ，故是直角三角形，不符合题意； D、， ， 故不是直角三角形，符合题意； 故选：D． 7．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期中）下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的内角和，以及勾股定理的逆定理．根据三角形的内角和为，即可判断A、D；根据平方差公式和勾股定理，即可判断C；根据勾股定理，即可判断B． 【详解】解：A、∵，， ∴，解得：， 能判定是直角三角形，不符合题意； B、设， ， 能判定是直角三角形，不符合题意； C、∵， ∴， 能判定是直角三角形，不符合题意； D、∵， ∴，，， 不能判定是直角三角形，符合题意； 故选：D． 8．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）满足下列条件时，不是直角三角形的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理逐个判断即可． 【详解】解：A、：：：：，， ，，，即不是直角三角形，符合题意； B、设，则，， ， 是直角三角形，不符合题意； C、， 是直角三角形，不符合题意； D、，，， ，即BC是直角三角形，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理的应用，能理解勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键． 9．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期中）已知中，所对边长分别为a、b、c，请解决下列问题． (1)若，，求b； (2)若a、b、c三边满足，试判断的形状． 【答案】(1)7 (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】 （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）先根据非负数的性质求出，证明，则由勾股定理的逆定理可知是直角三角形． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2） 解：是直角三角形，理由如下 ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，非负数的性质，熟知勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 题型二 折叠问题与勾股定理 10．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，将长方形折叠，使顶点D恰好落在边上点F处，折痕交于点E，已知，则长为（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理；解题的关键是先利用勾股定理求出长，然后在中运用勾股定理计算． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠得， ， ∴， ∵，且， ∴， ∴解得， 故选：A． 11．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，矩形纸片中，，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，则 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了矩形和折叠，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理．根据矩形性质得出，根据平行线的性质得出，根据折叠得出，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出即可． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，， ， 由折叠性质，得， ， ， 设， 则， 在中，， 解得， 的长为． 故答案为：． 12．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在矩形中，，，在边上取一点，将折叠，使点恰好落在边上的点．则等于（　　）    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，勾股定理，掌握折叠的性质和勾股定理是解决此题关键． 根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得到，，在中，利用勾股定理易得，则，设，则，，在中，利用勾股定理可求出的值，即可求解． 【详解】解：∵矩形， ，， 又将折叠使点恰好落在边上的点， ，， 在中，，， ， ， 设，则，， 在中，，即，解得， 即的长为5， ． 故选：B． 13．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期中）如图，点O是矩形的中心，E是上的点，沿折叠后，点B恰好与点O重合，若，则折痕的长为() A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查的是翻折变换，勾股定理,等腰三角形的性质和判定定理，矩形的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键； 先根据图形翻折变换的性质求出的长，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出结论； 【详解】∵是翻折而成， ∴，， ∴， ∵是矩形的中心， ∴是等腰三角形， ∴ ∴， 在中，， 即，解得， 在中，设， 则， 即， 解得， ∴． 故选：A． 14．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，正方形的边长为，点，分别在边，上，将四方形沿折叠得到四边形，点的对应点恰好落在直线上．若，则线段的长度为 ． 【答案】或 【分析】存在两种情况，一是点在边上，连接交于点，作于点，则四边形是矩形，所以，由折叠得点与点关于直线对称，则垂直平分，所以，可证明，则，由勾股定理得，求得，则；二是点在边的延长线上，连接交的延长线于点，作于点，则四边形为矩形，所以，可证明，则，由勾股定理得，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，点在边上，连接交于点，作于点，则， 四边形是边长为的正方形， ，， 四边形是长方形， ， 由折叠得点与点关于直线对称， 垂直平分， ，， ， ， ， ，且， ， 解得：， ； 如图，点在边的延长线上，连接交的延长线于点，作于点， ， 四边形为矩形， ， 垂直平分， ，，， ， ， ， ， ，且， ， 解得： ， 综上所述，线段的长度为或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了折叠问题、勾股定理、全等三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 15．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在长方形纸片中，，，将纸片沿对角线折叠，点C落在点处，交于点F，求的长．    【答案】3 【分析】此题重点考查矩形的性质、平行线的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键． 由矩形的性质得，，，则，由折叠得，所以，则，由勾股定理得，列出方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长是3． 16．（23-24八年级上·辽宁锦州·期中）如图所示，把长方形纸片放在平面直角坐标系中，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，C点坐标为．求D点坐标为多少？    【答案】D点坐标为 【分析】本题考查的是翻折变换、勾股定理，根据折叠的性质可以得到，然后根据题目中的数据，即可得到，最后根据勾股定理即可求得及的长，即可得出结论． 【详解】解：（按步骤酌情赋分） ∵， ∴， ∵C点坐标为， ∴，由勾股定理得，． 在直角三角形ABC中， 设，由折叠可知，则， 由勾股定理得，， 解得， ∴， ∴D点坐标为． 题型三 网格问题与勾股定理 17．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期中）如图所示，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　） A． B． C．点A到直线的距离为2 D． 【答案】B 【分析】根据格点及勾股定理可得，，，然后根据勾股定理逆定理及等积法可进行求解． 【详解】解：由图可得：，，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， 设点A到直线的距离为h， ∴， ∴， 综上可知只有B选项错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 18．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）在如图的网格中，小正方形的边长均为1，三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．点到直线的距离是2 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积公式，根据勾股定理求得进而根据勾股定理的逆定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故A,B选项正确； ∴，故C选项错误； 设点到直线的距离是，则， ∴，故D选项正确 故选：C． 19．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积和差关系可求的面积，由三角形的面积法求高即可． 【详解】解：由勾股定理得：AC＝＝， ∵S△ABC＝3×3﹣＝， ∴， ∴， ∴BD＝， 故选：D． 【点睛】本题考查了网格与勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键． 20．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图是规格为8×8的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作： (1)在网格中建立平面直角坐标系，A点，B点． (2)在第二象限内的格点上画一点C，使点C与线段组成一个以为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则C点坐标是　 　． (3)画出关于y轴对称的． (4)求的周长＝　 　（保留根号）；的面积＝　 　（直接写答案）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4)，4 【分析】本题主要考查作图﹣轴对称变换，坐标与图形以及勾股定理等知识． （1）根据题意画出平面直角坐标系即可； （2）作线段的垂直平分线，与格点相交于点C，则C点即为所求点； （3）画出关于 y轴对称的即可； （4）运用勾股定理求出可得三角形的周长，利用分割法可求出三角形的面积． 【详解】（1）如图所示： （2）如图，即为所作，点 故答案为：； （3）如图，即为所作； （4）如图， 所以, 的周长; , 故答案为: ，4 21．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，且． (1)点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)画出关于y轴对称的； (3)的面积为 ； (4)已知点P为y轴上一点，若使得的周长最小，周长最小值为 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）由图可得出答案． （2）根据轴对称的性质作图即可． （3）利用割补法求三角形的面积即可． （4）使的周长最小，即最小，连接，交y轴于点P，连接，此时满足最小，最小值为的长，利用勾股定理分别求出，的长，即可得出答案． 本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题、勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，， 故答案为：． （2）如图，即为所求． （3）的面积=． 故答案为：． （4）∵使的周长最小， ∴最小， ∵，为定值， ∴使最小， 连接，交y轴于点P，连接， 此时满足最小，最小值为的长， ∵， ∴的周长最小值为． 故答案为：． 题型四 勾股定理与无理数 22．（23-24八年级上·辽宁锦州·期中）如图，长方形的边在数轴上，点表示数，点表示数，以点为圆心，长为半径作弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的数为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理与无理数，二次根式的性质，实数与数轴，根据勾股定理计算出的长度，进而求得该点与点的距离，再根据点表示的数，可得该点表示的数． 【详解】解：由题意得：， ∵，四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：． 23．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了表示数轴上的点，实数，及勾股定理，能求出的长是解此题的关键．根据图示，可得：点是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，再根据两点间的距离的求法，求出的值． 【详解】解：如图， 由勾股定理得：， ， 点在以为圆心，以为半径的圆上， ． 故选：D． 24．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在数轴上点A表示的实数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了数轴上点的表示方法，利用勾股定理求斜边．根据勾股定理求出斜边长为，弧的半径等于，点A在的左边，表示的数为． 【详解】解：根据勾股定理得：， 点A表示的数为． 故选：D． 题型五 勾股树 25．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S9的值为（ ） A．（）6 B．（）7 C．（）6 D．（）7 【答案】A 【详解】解：如图所示． ∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形， ∴DE2+CE2=CD2，DE=CE， ∴S2+S2=S1．观察发现规律：S1=22=4，S2=S1=2，S3=S2=1，S4=S3=，…， 由此可得． 当n=9时，， 故选：A． 26．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，是直角三角形，，分别以、为边向两侧作正方形．若图中两个正方形的面积和，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，由勾股定理得，， ∵，，， ∴， 故答案为：6． 27．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（    ） A．直角三角形的面积 B．最大正方形的面积 C．较小两个正方形重叠部分的面积 D．最大正方形与直角三角形的面积和 【答案】C 【分析】根据勾股定理得到c2=a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可． 【详解】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a， 由勾股定理得，c2=a2+b2， 阴影部分的面积=c2-b2-a（c-b）=a2-ac+ab=a（a+b-c）， 较小两个正方形重叠部分的长=a-（c-b），宽=a， 则较小两个正方形重叠部分底面积=a（a+b-c）， ∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积， 故选C． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 28．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的边长为 ． 【答案】10 【分析】如图，先根据正方形的面积公式可得的值，再利用勾股定理可得的值，由此即可得． 【详解】解：如图，∵， ∴， 则A所代表的正方形的面积为100， ∴A所代表的正方形的边长为10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． 29．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为5，4，4，9，则最大的正方形G的面积为 ．    【答案】 【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形的面积和即为最大正方形G的面积． 【详解】设正方形A，B，C，D，E，F，G的边长分别为， 正方形A，B，C，D的面积分别为， 根据正方形的面积公式得：， 正方形A，B的边长正好是直角三角形的两条直角边， 由勾股定理可得：， 正方形E的面积为：， 同理可得正方形F的面积为：， 同理可得正方形G的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够发现正方形的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形的面积和即为最大正方形面积． 30．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形。其中阴影部分面积是 ．    【答案】25 【分析】本题主要考查了勾股定理在几何图形中的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． 【详解】解：如图， 在，，， 则， ∵四边形为正方形， ∴， 在中，， ∴阴影部分面积是25， 故答案为：25． 31．（23-24八年级上·辽宁本溪·期中）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为8、6、18，则正方形A的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理，得正方形E的面积=正方形B的面积+正方形A的面积，得正方形E的面积=正方形D的面积-正方形C的面积， 则正方形A的面积， 故答案为：4． 32．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题．（其中表示图中第个三角形的面积），，；，；，；…… (1)用含有（是正整数）的式子表示：________，________； (2)若一个三角形的面积是，则说明这是第________个三角形． (3)的值为________． 【答案】(1)n， (2)28 (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理，图形类的规律探索，化简二次根式，正确理解题意和熟知勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出推出，即可得到； （2）根据（1）所求把代入中进行求解即可； （3）根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得： ，…，， ∴． ∴， 故答案为：n，． （2）解：若一个三角形的面积是，则， ∴，即， ∴这是第28个三角形， （3）解： ． 题型六 三角形的面积与周长 33．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）已知，周长为9的为等边三角形，则的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，三角形的面积，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质和三角形的面积公式是解答此题的关键． 过点作于点，首先求出等边三角形的边长为3，再根据等边三角形的性质得，据此可求出高，进而可得出的面积． 【详解】解：过点作于点，如图： 为等边三角形， ，， 又的周长为9， ， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ． 故选：A． 34．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）在中，，，则点C到斜边的距离是（　　） A． B． C．9 D．6 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理．勾股定理求出的长，等积法求出点C到斜边的距离即可． 【详解】解：设点C到斜边的距离h， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 35．（23-24八年级上·辽宁本溪·期中）如图，在中，，D为上一点．若，的面积为90，则的长是（    ） A．24 B．12 C．3 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了三角形面积公式及勾股定理，根据为中上的高及面积，可得，再利用勾股定理可求得，即可求解． 【详解】解：∵，的面积为90， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 36．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期中）如图，在长方形内有两个相邻的正方形A，B，正方形A的面积为2，正方形B的面积为4，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】/ 【分析】根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是 ，2，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算． 【详解】∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为4和2， ∴两个正方形的边长分别是，2， ∴阴影部分的面积=(2+)×2-2-4=2-2． 故答案为2-2． 【点睛】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是要能够由正方形的面积表示出正方形的边长，再进一步表示矩形的各边长． 37．（23-24八年级上·辽宁本溪·期中）一直角三角形的两边长为3和4，则该三角形的面积为 ． 【答案】6或 【分析】利用分类讨论：长度为4的边为直角边时和长度为4的边为斜边时，根据三角形面积公式和勾股定理即可求解． 【详解】分类讨论：①当长度为4的边为直角边时，那么长度为3的边即是另一条直角边， ∴这个三角形的面积为； ②当长度为4的边为斜边时，那么长度为3的边即为一条直角边， 根据勾股定理可知另一条直角边的长度为， ∴这个三角形的面积为． 故答案为：6或． 【点睛】本题主要考查勾股定理，利用分类讨论的思想是解答本题的关键． 38．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期中）已知等腰的两边长分别为和，则等腰的周长是 ． 【答案】/ 【分析】 分两种情况：当等腰的腰长为，底边长为时，当等腰的腰长为，底边长为时，然后分别进行计算即可解答． 【详解】 解：分两种情况： 当等腰的腰长为，底边长为时， ， 不能组成三角形； 当等腰的腰长为，底边长为时， 等腰的周长； 综上所述：等腰的周长是， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况进行计算是解题的关键． 39．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图所示，已知中是上一点，且，．求的面积．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理等知识，设，由勾股定理的逆定理证是直角三角形，推出，再由勾股定理求出x的值，即可解决问题． 【详解】解：设， 中， ， ， 根据勾股定理逆定理得， ， ， ， 解得， 的面积． 40．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，中，D是边上的一点，若A． (1)求证：； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理．熟练掌握勾股定理逆定理，证明三角形是直角三角形，是解题的关键． （1）利用勾股定理逆定理，得到是直角三角形，即可证明； （2）在中，利用勾股定理求得，从而求得,最后利用三角形的面积公式，进行计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴； （2）解：∵， ∴ ． 41．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB=1.8． （1）求CD，AD的值；（2）判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】【小题1】CD=，AD= 【小题2】△ABC为直角三角形，理由见解析 【分析】（1）利用勾股定理求出CD和AD则可； （2）运用勾股定理的逆定理即可判定△ABC是直角三角形． 【详解】（1）∵CD⊥AB且CB=3，BD=，故△CDB为直角三角形， ∴在Rt△CDB中，CD=== ， 在Rt△CAD中，AD===， （2）△ABC为直角三角形. 理由：∵AD=，BD=， ∴AB=AD+BD=+=5， ∴AC2+BC2=42+32=25=52=AB2， ∴根据勾股定理的逆定理，△ABC为直角三角形. 【点睛】本题考查勾股定理和它的逆定理，题目比较典型，利用公式即可解出. 题型七 立体图形求最短距离 42．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，一个长方体木箱长、宽、高分别为，，，则能放入此木箱中的木棒最长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，首先根据勾股定理求出，再在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB的长即可 【详解】解：如图，由勾股定理得，， 在中，，由勾股定理得， 即能放入此木箱中的木棒最长为 故选：A． 43．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（    ）    A． B．25 C． D．35 【答案】B 【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1，    ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴，， 在直角三角形中，根据勾股定理得：； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2，    ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ∴； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3，    ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ∴； ∵， ∴蚂蚁爬行的最短距离是25， 故选：B． 【点睛】本题主要考查两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 44．（23-24八年级上·辽宁本溪·期中）圆柱形杯子的高为，底面周长为，已知蚂蚁在外壁处(距杯子上沿)发现一滴蜂蜜在杯子内(距杯子下沿)，则蚂蚁从处爬到处的最短距离为(    )    A．10 B．28 C．20 D．24 【答案】C 【分析】将杯子侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图所示，将杯子侧面展开，作关于的对称点，    连接，则即为最短距离， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、最短路径等知识．将圆柱侧面展开，化曲面为平面并作出关于的对称点是解题的关键． 45．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期中）如图，圆柱底面半径为，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点B在点A的正上方，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（　　） A．21cm B．24cm C．30cm D．32cm 【答案】C 【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，常用“化曲面为平面”的思想，将圆柱体的侧面展开，利用勾股定理计算斜边长度． 【详解】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的最短路线是； 即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分为3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的最短路线：； 圆柱体地面半径为cm， cm 圆柱体的高cm， cm 在中， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查勾股定理在计算最短路径中的应用，要求学生具有一定空间想象能力，利用化曲面为平面的思想，准确画出侧面展开图并结合勾股定理进行计算是本题的解题关键． 46．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期中）如图正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为(    )    A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】把此正方体的点所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于2，另一条直角边长等于3，利用勾股定理可求得． 【详解】解：如图示，将正方体展开，连接、，    根据两点之间线段最短，． 答：蚂蚁从点爬行到点的最短距离为． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． 47．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长为，高为，在杯子内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将容器侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图：是侧面展开图的一半， 高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与一滴蜂蜜相对的点A处， ，， 将容器侧面展开，作A关于的对称点， 连接，则即为最短距离， ． 故选：A．    【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 48．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图：一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路线的长是 cm. 【答案】130 【分析】只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】将台阶展开，如图： 因为BC=30×3+10×3=120，AC=50， 所以AB2=AC2+BC2=16900， 所以AB=130（cm）， 所以壁虎爬行的最短线路为130cm． 故答案是：130． 【点睛】考查了利用台阶的平面展开图求最短路径问题，根据题意判断出长方形的长和宽是解题关键． 49．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上,如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且>AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点.A处，到达C处需要走的最短路程是多少米？ 【答案】2.6 【分析】首先将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】由题意可知，将木块展开， 相当于是AB+2个正方形的宽， ∴长为2+0.2×2=2.4米；宽为1米 于是最短路径为： (米). 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是根据题意将木块展开进行求解. 题型八 赵爽弦图 50．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若每个直角三角形的面积为，大正方形的面积为，则小正方形的边长为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据大正方形的面积为，每个直角三角形面积为，设直角三角形较短直角边长为a，较长直角边长为b，得出，即可求解． 【详解】解：设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为， 大正方形的面积为，每个直角三角形面积为， ， ， 即小正方形的边长为． 故选：． 【点睛】本题考查了以弦图为背景的计算，根据大正方形的面积等于个直角三角形的面积加上小正方形的面积求解是解题的关键． 51．（23-24八年级上·辽宁锦州·期中）我国数学家赵爽（又名婴，字君卿．三国时吴国人，一说魏晋人或汉人．籍贯、生卒年不详，约生活于公元3世纪初，数学家，天文学家．）为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，，，和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形．如果大正方形的面积为25，，，，且．试求小正方形的边长．    【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理的证明，根据大正方形可以看成边长为c的正方形，也可以看成4个全等的直角三角形与一个小正方形的和，从而用不同的方法表示大正方形的面积，从而得到等式，再整理即可得出结论． 【详解】解：∵，，，和是四个全等的直角三角形， ， ， 小正方形的面积， ， ∴小正方形的边长为3． 题型九 将军饮马与勾股定理 52．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，，AD平分交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则的最小值为　　 A． B． C． D．6 【答案】C 【详解】解：如图所示：在AB上取点C′，使AC′=AC，过点C′作C′F⊥AC，垂足为F，交AD于点E． 在Rt△ABC中，依据勾股定理可知BA=10． ∵AC=AC′，∠CAD=∠C′AD，AE=AE， ∴△AEC≌△AEC′， ∴CE=EC′，∴CE+EF=C′E+EF， ∴当C′F⊥AC时，CE+EF有最小值． ∵C′F⊥AC，BC⊥AC， ∴C′F∥BC， ∴△AFC′∽△ACB， ∴，即，解得FC′=． 故选C． 53．（23-24八年级上·辽宁本溪·期中）正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．9 【答案】C 【分析】要使DN＋MN最小,首先应分析点N的位置，根据正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分，知点D的对称点是点B，连接MB交AC于点N，此时DN＋MN最小值及时BM的长． 【详解】根据题意，连接BN，BM， 三点共线时，DN＋MN取得最小值， 则BM就是DN＋MN的最小值， 在Rt△BCM中，BC=8，CM=6， 根据勾股定理得：， 即DN＋MN的最小值是10， 故选C 【点睛】本题主要考查了正方形性质的应用，结合勾股定理判断最小路径是解题的关键． 54．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中．    (1)在图中作出关于轴对称的图形，并分别写出的对应点的坐标； (2)在第一象限找到格点，使是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点坐标； (3)在轴上找一点，使得点到、两点的距离之和最小，请直接写出最小值及此时点的坐标． 【答案】(1)见解析；，， (2) (3)最小值为5； 【分析】（1）先分别作点A、B、C关于y轴的对称点，，，再顺次连接即可得到，然后根据点，，在平面直角坐标轴中的位置即可得它们的坐标； （2）根据格点特点作出等腰直角三角形，然后求出点D的坐标即可； （3）先作点B关于轴的对称点，再连接，与轴的交点即为点P，再求出先P的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形；    点，，； （2）解：如图，点D的坐标为；    ∵，，， ∴，， ∴为等腰直角三角形． （3）解：作点B关于轴的对称点，连接，与轴交于一点，即为点P，连接，如图所示：    ∵点B与关于x轴对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当、、在同一直线上时，最小，即最小， 则此时的最小值为：， 设直线的函数解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴此时点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查了轴对称作图，求一次函数解析式，一次函数与x轴的交点坐标，两点间距离公式，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出对应点的坐标，熟练掌握勾股定理和逆定理． 55．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）人教版八年级上册课本第85页中有下面这道题： 问题1．如图1，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，可使所走的路径最短？      问题解决： 如图3，作出点B关于l的对称点，利用轴对称的性质，问题就转化为：当点C在直线l的什么位置时，与的和最小？ 如图4，在连接A，两点的线中，线段与直线l的交点C的位置即为所求．    数学思考： 有很多问题都可用类似的方法去思考解决． (1)如图5，在等边三角形中，是边上的高，E为的中点，P为上一动点，若，求周长的最小值； (2)如图6，在中，，是边上的中线，点E是上一动点，P为上一动点，，则的最小值为 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，则的长度即为与的和的最小值，再求出的长度，得到，即可得到答案； （2）作于E，交于点P，则的长度即为与和的最小值． 【详解】（1）解：如图5，连接交于点P，此时最小，    ∵是等边三角形，， ∴，，， ∴，， 即就是的最小值， ∵，E为的中点，， ∴． ∴的最小值是12． ∵， ∴， 解得， ∴ ∴的最小值是，即周长的最小值是． （2）作于E，交于点P，则的长度即为与和的最小值，    ∵，， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴是边上的高线，即垂直平分， ∴， ∴， ∴的最小值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，等腰三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短、等边三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 题型十 梯子问题与勾股定理 56．（23-24八年级上·辽宁本溪·期中）如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米．若保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面1.5米,则小巷的宽度为（    ） A．1.8米 B．2米 C．2.5米 D．2.7米 【答案】D 【分析】此题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是解决此题的关键．先根据题意求得，再求得，，，从而利用勾股定理求得的长；然后再利用勾股定理求得的长，进而利用线段的和差关系，求得即可． 【详解】解：如图，，，，， 在中， ∵， ∴， ∴ ∴，即小巷的宽度为2.7米． 故选：D． 57．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，一座城墙高，墙外有一条护城河宽为，那么一架长为的云梯能否到达城墙的顶端？请说明理由． 【答案】云梯不能到达城墙的顶端，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据已知得出斜边与直角边，再利用勾股定理求出梯子能够到达的墙的最大高度即可．正确的记忆勾股定理确定好斜边与直角边是解题的关键． 【详解】解：云梯不能到达城墙的顶端． 理由：连接， 由题意， 当时， 在中，， ∴， ∵， ∴云梯不能到达城墙的顶端． 题型十一 勾股定理的应用 58．（15-16八年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高5米，两树相距12米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ） A．8米 B．10米 C．13米 D．14米 【答案】C 【详解】根据题意，可得图形如下图，因此可构成直角三角形，因此可得. 故选C 59．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，一棵树被雷电击中在C点处折断倒下，点C到树根A的距离3米，树尖B离树根A的水平距离是米，则树原来高度 米． 【答案】9 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，正确运用勾股定理是解题关键． 先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的和即可得出结论． 【详解】解：如图， 是直角三角形，，， （米）， （米）， 故答案为：9． 60．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在一棵树的10米高的处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到处（离树20米）的池塘边，另一只爬到树顶后直接跃到处，距离以直线计算，若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米． 【答案】15 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，理解题意，构造直角三角形是解题关键．设米，则米，结合两只猴子所经过的距离相等，可得米，然后在中，利用勾股定理列式并求解，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，米，米， 设米，则米， ∵两只猴子所经过的距离相等， ∴，即， ∴米， 在中，可有， 即， 解得， ∴米， 即这棵树高15米． 故答案为：15． 61．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）在平静的湖面上，有一朵红莲，高出水面1 m，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵贴到水面，已知红莲移动的水平距离为2 m，则这里的水深是 m. 【答案】 【详解】由题意如图所示： 设这里的水深为，即，则 在中，， 即这里的水深是 . 62．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高 米的市民正对门缓慢走到离门米的感应器地方时（即米），则人头顶离测温仪的距离等于 米．    【答案】1 【分析】过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：过点D作，如图所示，    ∵，，， ∴，， ∴， ∴在中，由勾股定理得：米， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度． 63．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，四边形的对角线，交于点O，若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先利用勾股定理求出，，再在和中得出，，等量代换即可求出的值． 【详解】解：，，， 在中，， 在中，， 又在中，， 在中，， ， 故答案为：． 64．（23-24八年级上·辽宁锦州·期中）有一棵高的大树被大风吹折，折断处A与地面的距离．在大树倒下的方向上的点D处停着一辆小轿车，的距离为，求的距离（点B为大树顶端着地处）．    【答案】的距离（点B为大树顶端着地处）为 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟记在直角三角形中两直角边的平方的和等于斜边的平方是解题关键． 【详解】解：由图可知，为直角三角形， 在中，，， ∴， ∴． 答：的距离（点B为大树顶端着地处）为． 65．（23-24八年级上·辽宁阜新·期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？    【答案】水池的深度是12尺， 芦苇的长度是13尺 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，此题是一道古代问题，体现了我们的祖先对勾股定理的理解，也体现了我国古代数学的辉煌成就．找到题中的直角三角形，设水池的深度为x尺，则芦苇的长为尺，根据勾股定理列出关于x的方程，解此方程即可解答． 【详解】解∶ 设水池的深度为x尺，则芦苇的长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， ∴ 即水池的深度是12尺， 芦苇的长度是13尺． 66．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米（小明的身高忽略不计）． (1)求风筝的垂直高度； (2)在小明收风筝线的过程中，若风筝沿方向下降的高度与未收回的风筝线的长度相等，求风筝下降的高度为多少米． 【答案】(1)20米 (2)米 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是掌握勾股定理“直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方”． （1）直接利用勾股定理求解； （2）在上取点D，使得，设米，则（米），利用勾股定理解即可． 【详解】（1）解：在Rt中，由勾股定理可得： （米）， 答：风筝的垂直高度为20米； （2）解：如图，在上取点D，使得， 设米，则（米）， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得：， 答：风筝下降的高度为米． 67．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．求原来的路线的长． 【答案】千米 【分析】先利用勾股定理的逆定理证明，得出，再利用勾股定理列出方程，解方程即可求出的长度． 【详解】解：∵千米，千米，千米，即， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴， 设， ∴， ∴，即， 解得：， 答：原来的路线的长为千米． 【点睛】本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解决问题的关键． 题型十二 分类讨论压轴小题 68．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图所示，等腰三角形的底边为，腰长为，一动点P（与B、C不重合）在底边上从B向C以的速度移动，当P运动 秒时，是直角三角形．      【答案】或8 【分析】先利用等腰三角形“三线合一”求出、以及边上的高，再分别讨论和为直角的情况，利用勾股定理分别求出两种情况下的长，即可求出所需时间． 【详解】解：如图，作于点D，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 当点P运动到与点D重合时，是直角三角形， 此时， ∴运动时间为（秒）； 当时，设， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 所以运动时间为（秒）； 综上可得：当P运动8秒或秒时，是直角三角形． 故答案为：或8． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理等内容，要求学生能通过做辅助线构造直角三角形，列出关系式，求出对应线段的长，本题蕴含了分类讨论的思想方法． 69．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）把两个同样大小含角的直角三角尺（，，）按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若，则 ． 【答案】/ 【分析】作于F，根据等腰直角三角形的性质求出AF，BF，CF，在中根据勾股定理求出，得到，在中，根据勾股定理求出，可得，即可求得 【详解】过点A作于点F， 在中，， ∴， ∴，， ∵两个同样大小的含角的三角尺， ∴， 在中，根据勾股定理得， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键． 70．（23-24八年级上·辽宁本溪·期中）如图，长方形中，，，，点M是射线BD上一点（不与点B，D重合），连接AM，过点M作交直线BC于点N，若是等腰三角形，则 ． 【答案】 【分析】连接，先确定是等腰三角形，只存在一种情况，再证明，得，再证明是等边三角形， 求出，得，然后由勾股定理求解即可． 【详解】解：连接AN， ∵四边形ABCD是长方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰三角形， ∴只存在一种情况， 在和中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查了长方形的四个角都是直角、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 71．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）如图，在中， ，，点是边上一动点，连接将沿着线翻折后得，当时，的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理解直角三角形，等腰三角形三线合一的性质；作于，勾股定理求得，根据等腰三角形的性质，进而求得．分两种情形分别画出图形，勾股定理解直角三角形求出，即可解决问题． 【详解】解：如图中，作于． ，，， ， ， ， ， ， ， ． 如图中，当点在上时同理可得 综上所述，满足条件的的值为或． 故答案为：或． 72．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期中）Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 ． 【答案】3.6或4.32或4.8 【分析】在Rt△ABC中，通过解直角三角形可得出AC=5、S△ABC=6，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可． 【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=3，BC=4， ∴AB==5，S△ABC=AB•BC=6． 沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况： ①当AB=AP=3时，如图1所示， S等腰△ABP=•S△ABC=×6=3.6； ②当AB=BP=3，且P在AC上时，如图2所示， 作△ABC的高BD，则BD=， ∴AD=DP==1.8， ∴AP=2AD=3.6， ∴S等腰△ABP=•S△ABC=×6=4.32； ③当CB=CP=4时，如图3所示， S等腰△BCP=•S△ABC=×6=4.8； 综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8， 故答案为3.6或4.32或4.8．    【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键． 题型十三 勾股定理逆定理 73．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，一块四边形空地，经测量，，，，，求空地的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，由勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形即可得出结果． 【详解】如图，连接， 在中，，， 由勾股定理得，，即， 在中，∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积：（）． 74．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）一块试验田的形状如图，已知，，，，，，求这块试验田的面积．    【答案】 【分析】连接，在直角中，由勾股定理可得的长，在中根据三边长度和勾股定理的逆定理可得也是直角三角形，然后再由直角和直角的面积和求得这块试验田的面积即可； 【详解】解：如图，连接，    在中，，，， 由勾股定理可得， ∵，，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴该试验田面积， 故这块试验田的面积是； 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握相关定理是解题关键． 75．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）如图，，，，，，求四边形的面积．    【答案】24 【详解】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，先根据勾股定理求出的长度， 再根据勾股定理的逆定理判断出的形状， 再利用三角形的面积公式求解即可 ． 【解答】解： 连接，如图所示： ， ， ， 是直角三角形，， 四边形的面积的面积的面积．    76．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期中）如图，在四边形中，，，，． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）连接，在中，利用勾股定理求出的长，，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后进行计算即可解答； （2）根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：连接， ，， ， ， ，， ，， ， 是直角三角形， ， ， 的度数为； （2）解：由题意得：四边形的面积的面积的面积 ， 四边形的面积为． 题型十四 受台风影响问题 77．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）如图，有一架救火飞机沿东西方向，由点飞向点，在直线的正下方有一个着火点，且点与两点的距离分别为和，又两点距离为，飞机与着火点距离在以内可以受到洒水影响．    (1)请通过计算说明，着火点是否受洒水影响； (2)若救火飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要13秒，请你通过计算说明在救火飞机从点飞到点的过程中，着火点能否被扑灭． 【答案】(1)着火点洒水影响，见解析 (2)着火点能被扑灭，见解析 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质， （1）过点作，垂足为，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，与500进行比较即可求得答案； （2）以点为圆心，为半径作圆，交于点，勾股定理求得，进而求得的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题． 【详解】（1）解：着火点C受洒水影响，理由如下， 如图，过点作，垂足为，   ，，， ，， ， 是直角三角形， ， （米）， ， 着火点C受洒水影响 （2）解：如图，当时，飞机正好喷到着火点，   ， ， 在中，， ， 飞机的速度为， （秒）， 14秒13秒， 着火点能被扑灭， 答：着火点能被扑灭． 78．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期中）如图，公路和公路在点P处交汇，且，点Q处有一座火箭发射塔，，假设龙卷风来临时，周围150km内都会受到大风影响．    (1)若龙卷风恰好沿公路由B向A处行进，火箭发射塔是否会受到影响？请说明理由； (2)已知龙卷风的速度为300km/h，若受影响，那么火箭发射塔受影响的时间为多少分钟？ 【答案】(1)受影响，理由见解析 (2)火箭发射塔受影响的时间为36分钟 【分析】（1）过点Q作于点H，只要计算的长与150作比较，若比150小，则受影响，反之，则不受影响； （2）设龙卷风行至点E处开始影响火箭发射塔，在点F处结束影响，连接，勾股定理求出的长，则可得的长，再除以其速度即得时间． 【详解】（1）受影响．理由如下： 过点Q作于点H， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，在中，， ∴． ∴火箭发射塔会受到大风的影响．    （2）设龙卷风行至点E处开始影响火箭发射塔，在点F处结束影响，连接，则， 在中，． ∵，， ∴， ∴， ∴（小时）（分钟）． ∴火箭发射塔受影响的时间为36分钟． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键． 题型十五 方位角问题 79．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，甲乙两船从港口同时出发，甲船以16海里时速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，3小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．若、两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？ 【答案】乙船的航速是12海里/时． 【分析】根据甲船和乙船航行的角度，可知∠CAB＝90°，用勾股定理即可求出AB的长度，最后求出乙船的速度即可． 【详解】解：∵甲船沿北偏东40°方向航行，乙船沿南偏东50°方向航行， ∴∠CAB＝90°， 在Rt△ABC中，∠CAB＝90°， ∵AC＝16×3＝48，BC＝60， ∴AB36， ∴乙船的航速是36÷3＝12海里/时， 答：乙船的航速是36÷3＝12海里/时． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练的掌握“在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边大的平方”是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$