新高考数学选填压轴题好题汇编(五).-遇见最美的数学系列——选填压轴好题汇编

47 新高考数学选填压轴题好题汇编 (五) 一、 238. (2024· 盐 ·模拟 )《九章 》中 为矩 且 一 棱与 直 四棱 称为“ 马”， 一 马P-ABCD，PA⊥ ABCD，PA=AB=AD= 2，M为 ABCD 其内部 一 个 点且满足PM= 5， PM  ⋅BM  取 围 ( ) A. [1- 2 2 ,1+ 2 2] B. [-1,2] C. [1- 2 , -1] D. -1,1  239. (2024· 盐 ·模拟 ) △ABC中，已知 tanA+ tanB+ tanAtanB= 1， cos2C+ sinC 为 ( ) A. 2 2 B. - 2 2 C. 2 D. - 2 240. (2024· ·一模) 棱 为 2a a>0  正方 ABCD-A1B1C1D1中，点M ,N 为棱AB，D1C1 中点．已知 点P 该正方 表 上，且PM  ⋅PN  = 0， 点P 轨迹 为 ( ) A. 12a B. 12πa C. 24a D. 24πa 241. (2024· ·一模) min x,y 表示 x，y中 数．已知函数 f x = x ex ， min f x ,f x+ln2   大 为 ( ) A. 2 e2 B. 1 e C. ln2 2 D. ln2 242. (2024· ·一模) Lemoine 定 出：过△ABC 三个 点A,B,C 它 外 线， BC,CA,AB 直线交于点P,Q,R， P,Q,R三点 一 直线上，这 直线被称为三角 Lemoine线 . 直角 系 xOy中，若三角 三个 点 为 A 0,1 ,B 2,0 , C 0,-4 ， 该三角 Lemoine线 方 为 ( ) A. 2x- 3y- 2= 0 B. 2x+ 3y- 8= 0 C. 3x+ 2y- 22= 0 D. 2x- 3y- 32= 0 243. (2024· ·一模)已知正 数 an 满足 1a1a2 + 1 a2a3 +⋯+ 1 anan+1 = n 2n+1 n∈N * ，若 a5- 2a6= 7， a1= ( ) A. 1 3 B. 1 C. 3 2 D. 2 244. (2024· ·二模)设 物线C :y2= 4x 点为 F，C 准线与 x轴交于点A，过A 直线与C 一 交点为M，N，且 |FM | = 3|FN |， 直线MN 斜 为 ( ) A. 3 2 B. 1 2 C. 3 3 D. 2 3 48 245. (2024· ·二模)若 cosα，cos α- π 6 ，cos α+ π 3  比数 ， sin2α= ( ) A. 3 4 B. - 3 6 C. 1 3 D. - 1 4 246. (2024· ·模拟 ) △ABC中，角A、B、C 对边 为 a、b、c，若 c= 3,b= 2,∠BAC 线AD 为 4 6 5 ， BC边上 高线AH 于 ( ) A. 4 3 B. 4 2 3 C. 2 D. 4 3 3 247. (2024· ·模拟 )已知M O:x2+ y2= a2(a> 0)上 点，点N满足MN  = (a,λa) (λ> 0)， 记点N 轨迹为C，若 O与轨迹C 公共 方 为 2x+ y- 5= 0， ( ) A. a= 4,λ= 1 B. a= 2,λ= 1 C. a= 4,λ= 1 2 D. a= 2,λ= 1 2 248. (2024·高三· · 段练习)如图，已知 E: x 2 a2 + y 2 b2 = 1(a> b> 0) 左、右 点 为F1,F2，左、 右 点 为A,B，过 点 直线与 E交于M ,N两点， 上 于M ,N 点P满足PM  ⋅PN  = 0，PM  +PN   = F1F2   = 2c，NM  ⋅AB  = 2ac， E 离 为 ( )    A. 3- 1 B. 4- 2 3 C. 2 2 D. 3 3 249. (2024·高三· · 段练习) 、乙 6人 A,B,C三个不 览，每个人 一个 ，每个 都 人 览，若 、乙两人不 一 览， 不 览方法 种数为 ( ) A. 342 B. 390 C. 402 D. 462 250. (2024· 州·模拟 )已知 物线T:y2= 2px p>0  点为F，直线 l交 物线T于A，B两 点，M为线段AB 中点，过点M 物线T 准线 线， 足为N，若 MF = AM ， MN  AB  大 为 ( ) A. 1 B. 2 2 C. 1 2 D. 1 3 251. (2024· 州·模拟 )某 装设计部门为一 料 具设计一种正四 状 外 装盒 (盒子 忽 不计)，已知该 具 直 为 2，每盒 放入 10个 料 ， 该种外 装盒 棱 49 为 ( ) A. 2+ 2 6 B. 2+ 4 6 C. .4+ 2 6 D. 4+ 4 6 252. (2024· 州·一模)设 a,b为 负整数，m为正整数，若 a b被m 数相 ， 称 a b对 模m ，记为 a≡ b modm ．若 p为质数，n为不能被 p整 正整数， np-1≡ 1 modp ，这个定 费马 1636 提出 费马 定 ，它 数论中 一个 要定 ． 以下 4个 ： ① 230+ 1≡ 65 mod7 ； ②对于任 正整数 x,x13- x≡ 0 mod13 ； ③对于任 正整数 x,x13- x≡ 0 mod7 ； ④对于任 正整数 x,x12- 1≡ 1 mod5 ． 为 ( ) A. ①④ B. ② C. ①②③ D. ①②④ 253. (2024· 州·一模)已知 比数 an  n 为 Sn,a1> 1,S3= eS4， 数 an  公比 q满 足 ( ) A. 0< q≤ 1 B. - 1< q< 0 C. q> 1 D. q≤-1 254. (2024·新 ·二模)斐波 契数 称黄金 数 ，它 多方 与大自 神奇 契 ， 上 物，如 日 、 、 螺 过 ，大 、飓 、宇宙 系 变，都 这个规 ，人们 亲 称斐波 契数 为自 “数学之 ”， 数学上斐波 契数 an 一 以 方 被定 义：a1= a2= 1,an+2= an+ an+1， 下 说法正 ( ) A. 记Sn为数 an  n ， S7= 31 B. 斐波 契数 中，从不大于 34 中任取一个数， 好取 数 为 1 3 C. a1+ a3+ a5+⋯+a2023= a2025 D. a21+ a23+ a25+⋯+a22023= a2024a2025 255. (2024· 西·一模)已知函数 f x  定义 x∣x≠0 上不 为零 函数，若 f xy = f x  y2 + f y  x2 ， ( ) A. f 1 = 1 B. f -1 = 1 C. f x 为 函数 D. f x 为奇函数 256. (2024· 西·一模)如图， 积为 1 三棱 A-BCD 棱AB,AC ,AD上 取点 E,F,G， AE:EB=AF :FC= 1:1,AG:GD= 2:1，记O为 BCG、 CDE、 DBF 交点， 三棱 O -BCD 积 于 ( ) 50 A. 1 4 B. 1 5 C. 1 6 D. 1 7 二、多 257. (2024·高三· · )已知函数 f x  其导函数 f x  定义域 为R，且 f x-1 - f 1-x = 2x - 2，f x  图 关于点 1,0 对称， ( ) A. f 0 = 1 B. y= f x - x为 函数 C. f x  图 关于点 1,0 对称 D. f 2024 =-2023 258. (2024·高三· · ) 三角学 三角 边、角关系 一门学科.如图， O 为 R，A，B，C为 上三点， BC 记为 a，设Oa表示以O为 ，且过B，C ， ， Ob，Oc AC，AB 记为 b，c，曲 ABC( 部 )叫 曲 三角 ，若 a= b= c， 称其为曲 边三角 ，线段OA，OB，OC与曲 △ABC围 闭几 叫 三棱 ，记为 O-ABC.设∠BOC= α，∠AOC= β，∠AOB= γ， 下 结论正 ( ) A. 若 △ABC 积为 3 4 R2 边三角 ， a= b= c=R B. 若 a2+ b2= c2， α2+ β2= γ2 C. 若 a= b= c= π 3 R， O-ABC 积V> 2 12 R3 D. 若 △ABC为直角三角 ，且∠ACB= π 2 ， a2+ b2> c2 259. (2024· ·一模) n(n∈N ∗，n≥ 10)个 号 为 1，2，3，⋯，n 盒子，1号盒子中 2个 1个黑 ，其 盒子中 1个 1个黑 ． 从 1号盒子任取一 放入 2号盒子；再从 2号盒 子任取一 放入 3号盒子；⋯；以此类 ，记“从 i号盒子取出 ”为事件Ai(i= 1，2，3，⋯， 51 n)， ( ) A. P A1A2 = 13 B. P A1|A2 = 4 5 C. P A1+A2 = 79 D. P A10 = 1 2 260. (2024· ·一模)已知 物线E：x2= 4y 点为F，过F 直线 l1交E于点A x1,y1 ，B x2,y2 ，E B处 线为 l2，过A 与 l2 行 直线 l3，交 E于另一点 C x3,y3 ，记 l3与 y轴 交点为D， ( ) A. y1y2= 1 B. x1+ x3= 3x2 C. AF=DF D. △ABC 积 为 16 261. (2024· ·一模)已知函数 f x = sinx 2-cos2x， ( ) A. f x  正 为 π B. f x  图 关于点 π,0 对称 C. 不 f x > x无解 D. f x  大 为 2 4 262. (2024· ·一模)如图， 棱 为 2 正方 ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1 中点，点F满足A1F  = λA1B1  0≤λ≤1 ， ( ) A. λ= 0时，AC1⊥ BDF B. 任 λ∈ 0,1 ，三棱 F-BDE 积 定 C. 存 λ∈ 0,1 ， AC与 BDF 角为 π 3 D. λ= 2 3 时， BDF 该正方 外 积为 56 19 π 263. (2024· ·二模)已知函数 f x ，g x  定义域 为R，f x  图 关于点 (2，0)对称，g(0) = g(2) = 1，g(x+ y) + g(x- y) = g(x)f(y)， ( ) A. f x 为 函数 B. g x 为 函数 C. g(-1- x) =-g(-1+ x) D. g(1- x) = g(1+ x) 264. (2024· ·二模)已知P(A) = 1 5 ，P(B|A) = 1 4 .若 事件A，B相互独 ， ( ) A. P(B) = 1 3 B. P(AB) = 1 20 C. P(A  |B) = 4 5 D. P(A+B  )= 4 5 52 265. (2024· ·模拟 )已知直线 a,b α,β,α与 β 二 角为 θ. 下 结论正 ( ) A. 若 a⊥ α,b⊥ β， a与 b 角为 θ B. 若 a⎳ α,b⎳ β， a与 b 角为 θ C. 若 a⊂ α， a与 β 角 大 为 θ D. 若 b⊥ β， b与 α 角为 π 2 - θ 266. (2024· ·模拟 )已知 曲线C : x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 a>0,b>0  左 点为A，右 点为 F，过 点A且 斜角为 π 6 直线 l 次交两 近线 C 右支于M、N、B，且 AM = MN ， 下 结论 正 ( ) A. 离 为 3 B. AB⊥OM C. S△OAM=S△OBN D. S△ABF= 3a  2 267. (2024·高三· · 段练习) △ABC中，B= π 2 ,AB= 2,BC= 3,E为AC 中点，点 F 线段BC 上，且 CF= 2BF， △ABC以直线 BC为轴 时针转一 围 一个 ，D为 上一点，满足 AD  = π， ( ) A. BA⊥BD B. FE  AB  上 1 2 BA  C. 直线EF与直线CD 角 为 6 65 65 D. 直线EF与 ACD 角 正 为 4 110 55 268. (2024·高三· · 段练习)已知 数函数 f x  定义域为R，且 f x f y = f xy + xy x+y ， ( ) A. f 0 = 0 B. f 1 =-2 f 1 = 1 C. f x  x x x∈R 且x≠0 上 函数 D. f x  R上 函数 269. (2024· 州·模拟 )已知函数 f(x) = ax2ex- 2lnx- x- a， ( ) A. a= 1时，f x  B. a= 1时，f x  大 C. 若 f x ≥ 0， a= 1 D. 函数 f x  零点 多 1个 270. (2024· 州·模拟 )已知函数 f(x) = sin ωx+ π 5 (ω> 0) 0,2π 上 且仅 5个零点， ( ) A. ω 取 围 6 5 , 23 10    B. f x  图 0,2π 上 且仅 3个 高点 53 C. f x  图 0,2π 上 多 3个 点 D. f x  0, π 6 上 271. (2024· 州·一模)已知函数 f x = sin 2x+φ  φ ≤ π 2 ，且 f x = f 2π 3 -x ，若函数 f x  右 移 a(a> 0)个 为 函数， ( ) A. φ=- π 6 B. 函数 f x  间 2π 3 ,π 上 C. a 为 π 6 D. a 为 5π 12 272. (2024· 州·一模)已知函数 f x = ex与函数 g x = 1+ 2 x-1 图 相交于A x1,y1 ,B x2,y2  两点，且 x1< x2， ( ) A. y1y2= 1 B. yx21 = 1e C. y2-y1 x2-x1 > 1 D. x2y2= 1 273. (2024 ·新 ·二模)如图， △ABC中，内角 A ,B ,C 对边 为 a ,b ,c，若 sinA = sinB，且 3 acosB+bcosA = 2csinC,D △ABC外一点，DC= 2,DA= 6， 下 说法正 ( ) A. △ABC 边三角 B. 若AC= 2 13， A,B,C,D四点共 C. 四边 ABCD 积 为 10 3- 12 D. 四边 ABCD 积 大 为 10 3+ 12 274. (2024·新 ·二模)已知 f x  定义域为R 函数，满足 f x+1 = f x-3 ,f 1+x = f 3-x ， 0 ≤ x≤ 2时，f x = x2- x， 下 说法正 ( ) A. f x  正 为 4 B. f x  图 只关于直线 x= 2对称 C. 0≤ x≤ 6时，函数 f x  5个零点 D. 6≤ x≤ 8时，函数 f x  为- 1 2 275. (2024· 西·一模)已知函数 f x = sin ωx- π 3 (ω> 0)， ( ) A. ω= 1 2 时，函数 f x  为 4π B. 函数 f x 图 对称轴 x= π 6ω + kπ ω ,k∈ Z C. ω= 1 2 时，x= 5π 3 函数 f x  一个 大 点 54 D. 函数 f x  间 0,1 内不 ， ω> 5π 6 276. (2024· 西·一模) 念 法国天 数学家 瓦 (1811- 1832) 19世纪 30 代 ， 论虽起 于对代数多 方 ， 子 学、 结 学 其他学科中也 泛 .设G 一个 ，“∘” 一个 于G中元 运 ，若 时满足以下四个 件， 称G对“∘” 一 个 ：(1) 闭 ， 若 a,b∈G， 存 一 定 c∈G， c= a ∘ b；(2)结 ， 对G中任 元 a,b,c都 a∘b ∘ c= a ∘ b∘c ；(3) 元存 ， 存 e∈G，对任 a∈G，满足 a ∘ e= e ∘ a= a， e称为 元；(4) 元存 ， 任 a∈G，存 b∈G， a ∘ b= b ∘ a= e， 称 a与 b互为 元，b记 a-1.一 ，a ∘ b可 记 ab,a ∘ a可 记 a2,a2 ∘ a可 记 a3，以此类 .正八边 ABCDEFGH 中 为O.以 e表示 变 ， 不对正八边 任 变 ；以 r表示以点O为中 ， 正八边 时针旋转 π 4 旋转变 ；以m表示以OA 直线为轴， 正八边 进行轴对称变 . 定义运 “∘”表示复 变 ， f ∘ g表示 正八边 先进行 g变 再进行 f变 变 .以 如 rpmq p,q∈N ， 规定 r0=m0=e  变 为元 ，可组 G， G对运 “∘”可 ，称之为“正 八边 对称变 ”，记 D8. 以下关于D8 其元 说法中，正 ( ) A. mr2∈D8，且mr2= r2m B. r3m与 r5m互为 元 C. D8中 无 多个元 D. D8中至 存 三个不 元 ，它们 元都 其 三、 277. (2024·高三· · ) 1，2，3，⋯，9这 9个数 入如图 示 子中 (要 每个数都要 入，每个 子中只能 一个数)，记 1行中 大 数为 a， 2行中 大 数为 b， 3行中 大 数为 c， a < b< c 法共 种. 278. (2024· ·一模)已知 α,β ∈ 0, π 2 ，且 sinα - sinβ =- 1 2 ，cosα - cosβ = 1 2 ， tanα + tanβ = ． 279. (2024· ·一模)设 曲线C：x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a> 0，b> 0) 一个 点为 F，过F 一 近线 线， 足为E．若线段EF 中点 C上， C 离 为 ． 280. (2024· ·一模)已知 a,b∈ 0,1 ∪ 1,+∞ ，4logab+ logba= 4， 2 b + ln a b 为 . 55 281. (2024· ·一模) 直角 系 xOy中，已知点P -1,1  物线C :y2= 4x，过C 点F且 斜 为 k(k> 0) 直线与C交于A,B两点.记线段AB 中点为M，若线段MP 中点 C上， k 为 ；AF ⋅ BF  为 . 282. (2024· ·二模)若正四棱 棱 为 2， 以 棱 中点为 点 积为 ，该 外 表 积为 . 283. (2024· ·二模) △ABC中，AB= 7，AC= 1，M为 BC 中点，∠MAC= 60°， AM= . 284. (2024· ·模拟 )已知四 ABCD中，AB=CD,BC=AD,AC=BD，过A点 其外 直 AH与AB、AC夹角正 为 2 3 、 3 3 ， AH与AD夹角正 为 . 285. (2024· ·模拟 )已知 x 表示不超过 x 大整数，x = x- x ，设 n∈N *，且 n 3  + n 4   + n 6  = 1， n 为 ； 1≤n≤ 2024时，满足 件 n S= . 286. (2024·高三· · 段练习)已知 曲线C : x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a> 0,b> 0) 左、右 点 为F1,F2，过F1 一 近线 线交 曲线 C 左支于点 P，已知 PF1  PF2  = 2 5 ， 曲线 C 近线方 为 ． 287. (2024·高三· · 段练习) △ABC中，内角A,B,C 对 边 为 a,b,c，若 a,b,c 比数 ， 且 b= acosC+ 3csinA， A= ，bsinB c = ． 288. (2024· 州·模拟 )自 中某些 物 基因 子 基因组 ，这种 物 下一代时， 对 基因相互 离 子， 子 结 下一代 基因 ．若某 物 基因 为Aa， 该 物个 交 过 中，基因 为 aa 子代因无法 自 被自 淘 ． 如 亲代只 Aa 基因 个 时，其子一代 基因 如下表 示： 1 2 A 1 2 a 1 2 A 1 4 AA 1 4 Aa 1 2 a 1 4 Aa × 上表可知，子一代中AA:Aa= 1:2，子一代产 子中A 2 3 ，a 1 3 ，以此类 ，子七代中Aa 个 比 为 ． 56 289. (2024· 州·模拟 )已知 T: x 2 a2 + y 2 b2 = 1(a> b> 0) 左、右 点 为F1，F2，P为 T上一点，且∠F1PF2= 60°，若△PF1F2 外 积 其内 积 25 ， T 离 e= ． 290. (2024· 州·一模)如图，已知点A 台O1O 上 O1上 点，B,C 下 O上， AO1= 1,OO1= 2,BO= 3,BC= 2 5， 直线AO与 O1BC 角 为 ． 291. (2024·高二·贵州 义· 中)已知三棱 P-ABC 四个 点 O 上，PA= PB= PC， △ABC 边 为 2正三角 ，E,F PA,AB 中点，∠CEF= 90°， O 积为 ． 292. (2024· 西·一模)已知A x1,y1 ,B x2,y2 为 物线 y2= 8x上两个不 点，且满足 y1y2=-16， x1+y1+2 + x2+y2+2  为 . 故 为：a> c> b 新高 数学 轴 好 (五) 一、 238. (2024· 盐 ·模拟 )《九章 》中 为矩 且 一 棱与 直 四棱 称为“ 马”， 一 马P-ABCD，PA⊥ ABCD，PA =AB=AD= 2，M为 ABCD 其内部 一个 点且满足 PM= 5， PM  ⋅ BM  取 围 ( ) A. [1- 2 2 ,1+ 2 2] B. [-1,2] C. [1- 2 , -1] D. -1,1  【 】D 【解 】PA⊥ ABCD，PA=AB=AD= 2，连 PM ,AM，由 |PM | = 5，可 AM = PM 2- PA 2 = 1， 四边 ABCD为矩 ，以AB,AD,AP为 x,y,z轴建立 如图 示 系， B 2,0,0 ,D 0,2,0 ，P 0,0,2 ，设 M cosθ,sinθ,0 ，θ∈ 0, π 2    ， PM  = cosθ,sinθ,-2 ,BM  = cosθ-2,sinθ,0 ， 以PM  ⋅BM  = cosθ cosθ-2 + sin2θ = cos2θ+ sin2θ- 2cosθ= 1- 2cosθ 因为 θ∈ 0, π 2    ， cosθ∈ 0,1 ， 1- 2cosθ∈ -1,1 ， 以PM  ⋅BM  ∈ -1,1 . 故 ：D 239. (2024 · 盐 ·模拟 ) △ABC中，已知 tanA+ tanB+ tanAtanB= 1， cos2C+ sinC 为 ( ) A. 2 2 B. - 2 2 C. 2 D. - 2 【 】A 【解 】 △ABC中，A+B≠ 90°， tanAtanB= tanAtan(90° -A) = sinA cosA ⋅ sin(90°-A) cos(90°-A) = sinA cosA ⋅ cosA sinA = 1， tanA+ tanB= 0，A+B= 180°，矛盾， 且 tanAtanB≠ 1， tanA+ tanB+ tanAtanB= 1⇔ tan(A+B) (1- tanAtanB) = 1- tanAtanB， 因此 tan(A+B) = 1， 0<A+B< π， A+B= π 4 ，C= 3π 4 ， 以 cos2C+ sinC= cos 3π 2 + sin 3π 4 = 2 2 . 故 ：A 240. (2024· ·一模) 棱 为 2a a>0  正方 ABCD-A1B1C1D1中，点M ,N 为棱AB，D1C1 中点．已知 点P 该正方 表 上，且PM  ⋅PN  = 0， 点P 轨迹 为 ( ) A. 12a B. 12πa C. 24a D. 24πa 【 】B 【解 】因为PM  ⋅PN  = 0，故P点轨迹为以MN为直 ， 如图， 知MN中点 为正方 中 O， 每个 上 为 中 ， 设O ABCD上 为O1， 正方 棱长 为 2a， 以MN= 2 2a， 知OO1= a，O1M= a， 点P 正方 表 上 运 ， 以点P 轨迹 个 为 a ，轨迹长 为 6 × 2πa= 12πa， 故 ：B． 241. (2024· ·一模) min x,y 表示 x，y中 数．已知函数 f x = x ex ， min f x ,f x+ln2   大 为 ( ) ·111· A. 2 e2 B. 1 e C. ln2 2 D. ln2 【 】C 【解 】∵ f x = x ex ，∴ f x = 1-x ex ， 导数 知 f x  -∞,1 上 ， 1,+∞ 上 减; 由 令 f x = f x+ln2 ， x ex = x+ln2 ex+ln2 ，解 x = ln2； 出图 ： min f x ,f x+ln2   大 为两函数图 交点 处函数 ，为 ln2 2 ． 故 ：C． 242. (2024· ·一模) Lemoine 定 出：过 △ABC 三个 点A,B,C 它 外 线， BC,CA,AB 直线交于点P,Q,R， P,Q, R三点 一 直线上，这 直线被称为三角 Lemoine线. 直角 系 xOy中，若三角 三个 点 为A 0,1 ,B 2,0 ,C 0,-4 ， 该三角 Lemoine线 方 为 ( ) A. 2x- 3y- 2= 0 B. 2x+ 3y- 8= 0 C. 3x+ 2y- 22= 0 D. 2x- 3y- 32= 0 【 】B 【解 】△ABC 外 设为 x2+ y2+Dx+Ey+F= 0， ∴ 1+E+F=0 4+2D+F=0 16-4E+F=0  ，解 D=0 E=3 F=-4  ， ∴外 方 为 x2+ y2+ 3y- 4= 0， x2+ y+ 3 2  2 = 25 4 ， 知外 A处 线方 为 y= 1， BC: x 2 + y-4 = 1，令 y= 1 ，x= 5 2 ，∴P 5 2 ,1 ， C 0,-4 处 线方 为 y=-4， AB: x 2 + y= 1，令 y=-4 x= 10，∴R 10,-4 ， 三角 Lemoine线 方 为 y+4 1+4 = x-10 5 2 -10 ， 2x+ 3y- 8= 0 故 ：B. 243. (2024· ·一模)已知正 数 an 满足 1a1a2 + 1 a2a3 +⋯+ 1 anan+1 = n 2n+1 n∈N * ，若 a5- 2a6= 7， a1= ( ) A. 1 3 B. 1 C. 3 2 D. 2 【 】D 【解 】n= 1时， 1 a1a2 = 1 3 ; n≥ 2时， 1 anan+1 = n 2n+1 - n-1 2n-1 = 1 4n2-1 1 a5a6 = 1 99 , ∴ a5a6= 99, ∴ a6 2a6+7 = 99,， ∴ a6= 112 ,a5= 18, a4a5= 63, ∴ a4= 72 ∵ a3a4= 35, ∴ a3= 10, ∵ a2a3= 15, ∴ a2= 32 , a1a2= 3, ∴ a1= 2. 故 ：D. 244. (2024· ·二模)设 物线C :y2= 4x 点 为 F，C 准线与 x轴交于点 A，过 A 直线与 C 一 交点为M，N，且 |FM | = 3|FN |， 直 线MN 斜 为 ( ) A. 3 2 B. 1 2 C. 3 3 D. 2 3 【 】A 【解 】 可 物线C:y2= 4x 焦点F(1,0)， 线方 为 x=-1， A(-1,0)，设MN直线方 为 y= k x+1 ,k> 0， 立 y=k(x+1) y2=4x  ，可 k 2x+ 2k2-4 x+ k2= 0， Δ= 2k2-4 2- 4k2 ⋅ k2=-16 k-1 k+1 > 0， -1< k< 1，故 0< k< 1， 设M x1,y1 ,N x2,y2 ,0< x2< x1，x1+ x2= 4-2k 2 k2 , x1x2= 1， ·112· M 线距离为 MM  ，N 线距离为 NN  ， |FM | = 3 |FN |， MM  = 3 NN  ， 1 + x 1 = 3 1+x2 ， x1= 2+ 3x2， ∴ x1x2= 2+3x2 x2= 1， 0< x2< x1，解 x2= 13 , x1= 3， ∴ x1+ x2= 4-2k 2 k2 = 3+ 1 3 ， k> 0，解 k= 3 2 . 故 ：A 245. ( 2024 · ·二模 ) 若 cosα，cos α- π 6 ， cos α+ π 3  比数 ， sin2α= ( ) A. 3 4 B. - 3 6 C. 1 3 D. - 1 4 【 】B 【解 】由 cosα，cos α- π 6 ，cos α+ π 3  比数 ， cos2 α- π 6 = cosαcos α+ π 3 ， 1 2 1+cos 2α- π 3  = cosα 1 2 cosα- 3 2 sinα = 1 2 ⋅ 1+cos2α 2 - 3 4 sin2α， 1 2 + 1 4 cos2α+ 3 4 sin2α= 1 4 + 1 4 cos2α- 3 4 sin2α， 以 sin2α=- 3 6 . 故 ：B 246. (2024· ·模拟 ) △ABC中，角A、B、C 对边 为 a、b、c，若 c= 3,b= 2,∠BAC 线 AD 为 4 6 5 ， BC边上 高线AH 于 ( ) A. 4 3 B. 4 2 3 C. 2 D. 4 3 3 【 】B 【解 】由 知，设∠BAD=∠CAD= α， ∠BAC = 2α，如图 示， 由S△ABC=S△ABD+S△ACD可 1 2 × 3× 2sin2α= 1 2 × 3× 4 6 5 sinα+ 1 2 × 2× 4 6 5 sinα， 整 3sin2α= 2 6sinα， sinα(3cosα- 6 ) = 0， 因为 sinα≠ 0， 以 cosα= 6 3 ， 以 cos2α= 2cos2α- 1= 1 3 ， 以 sin2α= 1-cos22α= 2 2 3 ， △ABC中，由 定 a2= 32+ 22- 2× 3× 2cos2α= 13- 4= 9， 以 a= 3， 由S△ABC= 1 2 bcsin2α= 1 2 a ⋅ |AH |可 1 2 × 3× 2× 2 2 3 = 1 2 × 3|AH |，解 |AH | = 4 2 3 . 故 ：B. 247. (2024· ·模拟 )已知M O:x2+ y2= a2 (a> 0)上 点，点N满足MN  = (a,λa) (λ> 0)， 记点N 轨迹为C，若 O与轨迹C 公共 方 为 2x+ y- 5= 0， ( ) A. a= 4,λ= 1 B. a= 2,λ= 1 C. a= 4,λ= 1 2 D. a= 2,λ= 1 2 【 】C 【解 】因为点M O:x2+ y2= a2上 点，点N满 足MN  = (a,λa)， 设M (x1,y1)，N (x,y)， MN  = (x- x1,y- y1)， 以 x-x1=a y-y1=λa  ， x1=x-a y1=y-λa  ， 代 O 方 ，可 x-a 2+ y-λa 2= a2， x2 + y2- 2ax- 2λay+ λ2a2= 0， 可 两 方 为 2ax+ 2λay- a2- λ2a2= 0， 2x+ 2λy- a- λ2a= 0， 因为两 方 为 2x+ y- 5= 0，可 2λ=1 a+aλ2=5  ，解 a= 4,λ= 1 2 . 故 ：C. 248. (2024·高三· · 段练习)如图，已知 E: x 2 a2 + y 2 b2 = 1(a> b> 0) 左、右 点 为 F1,F2，左、 ·113· 右 点 为 A,B，过 点 直线与 E交于 M ,N两点， 上 于M ,N 点P满足PM  ⋅PN  = 0，PM  +PN   = F1F2   = 2c，NM  ⋅AB  = 2ac， E 离 为 ( )    A. 3- 1 B. 4- 2 3 C. 2 2 D. 3 3 【 】A 【解 】 连 OP， 可 PM⊥PN , PM  +PN   = 2 PO    = F1F2   = 2c, ∴ OP = c， 以 OM = ON = c， 以NM  ⋅AB  = NM   AB   ⋅ cos‹NM  ,AB  ›= 2c ⋅ 2acos∠MOB= 2ac， 以 cos∠MOB= 1 2 ， 以∠MOB= 60°，OM cos∠MOB= 1 2 c, OM sin∠MOB= 3 2 c M 为 c 2 , 3c 2 ， 以 c2 4a2 + 3c 2 4b2 = 1， c 2 a2 + 3c 2 a2-c2 = 4， 可 e2+ 3e 2 1-e2 = 4， e4- 8e2+ 4= 0，解 e2= 4- 2 3， e= 3- 1． 故 ：A 249. (2024·高三· · 段练习) 、乙 6人 A,B,C 三个不 览，每个人 一个 ，每个 都 人 览，若 、乙两人不 一 览， 不 览方法 种数为 ( ) A. 342 B. 390 C. 402 D. 462 【 】B 【解 】 A,B,C三个不 览，每个人 一个 ，每个 都 人 览， 三个 人数 3种 ：① 1，1，4 ， 不 种 数为 C46-C24 A33= 54； ② 1，2，3 ， 不 种数为C16C 2 5C 3 3A 3 3-C14A33- C14C 1 3A 3 3= 264； ③ 2，2，2 ， 不 种数为C26C 2 4C 2 2- C24C 2 2 2! A 3 3= 72． 以 54+ 264+ 72= 390种. 故 ：B 250. (2024 · 州 ·模拟 )已知 物线 T :y2= 2px p>0  点为 F，直线 l交 物线 T于A，B 两点，M为线段AB 中点，过点M 物线T 准线 线， 足为 N，若 MF = AM ， MN  AB  大 为 ( ) A. 1 B. 2 2 C. 1 2 D. 1 3 【 】B 【解 】设 AF =m，BF =n，因为 MF = AM = MB ， 以AF⊥BF， 以 AB = m2+n2，过点A，B AG，BW 直 线于点G，W， 由 物线 定义可知 AF = AG ，BF = BW ， 由 中 线可知 MN = AG + BW  2 = AF + BF  2 = m+n 2 ． 因为m2+n2≥ 2mn， 以 2 m2+n2 ≥ 2mn+m2+ n2= m+n 2， 且仅 m=n时， 号 立， 以 AB = m2+n2 ≥ m+n 2 = 2 MN  以 MN  AB  ≤ 2 2 ，故 MN  AB  大 为 2 2 ． 故 ：B 251. (2024· 州·模拟 )某 装设计部门为一 ·114· 料 具设计一种正四 状 外 装盒 (盒子 忽 不计)，已知该 具 直 为 2， 每盒 放入 10个 料 ， 该种外 装盒 棱 为 ( ) A. 2+ 2 6 B. 2+ 4 6 C. .4+ 2 6 D. 4+ 4 6 【 】C 【解 】设正四 棱长为 a，高为 h， 为 r a2= h2+ 3 2 a× 2 3  2 ，可 h= 6 3 a， 4 × 1 3 × 1 2 a2× 3 2 × r= 1 3 × 1 2 a2× 3 2 × h，可 r= 6 12 a， 正四 高 于 棱长 6 3 ，正四 于 棱长 6 12 ． 如图，10个直 为 2 放进棱长为 a 正四 ABCD中， 三棱锥 状， 3 ，从上 下每 个数 次为 1，3，6． a取 时，从上 下每 中放 边 都与正四 相 ， 每个 都与正四 相 ，任 相 两个 都外 ， 于 正三角状 点 相 连线为一个正四 EFGH， BCD 中 为O，AO与 FGH 交点为P， 该正四 EFGH 棱长为 1+ 2+ 1= 4， 可 高为EP= 4× 6 3 = 4 6 3 ，AE= 1× 12 6 × 6 3 - 1= 3， 以正四 ABCD 高为AO=AE+EP+PO= 3+ 4 6 3 + 1= 4+ 4 6 3 ， 进 可 棱长 a 为 4+ 4 6 3 × 3 6 = 4+ 2 6． 故 ：C. 252. (2024· 州·一模)设 a,b为 负整数，m为正 整数，若 a b被m 数相 ， 称 a b对 模m ，记为 a≡ b modm ．若 p为质数，n为 不能被 p整 正整数， np-1≡ 1 modp ，这个定 费马 1636 提出 费马 定 ，它 数论中 一个 要定 ． 以下 4个 ： ① 230+ 1≡ 65 mod7 ； ②对于任 正整数 x,x13- x≡ 0 mod13 ； ③对于任 正整数 x,x13- x≡ 0 mod7 ； ④对于任 正整数 x,x12- 1≡ 1 mod5 ． 为 ( ) A. ①④ B. ② C. ①②③ D. ①②④ 【 】C 【解 】对于①：因为 230= 810= (7+ 1)10=C1010710+ C9107 9+⋯+C1107+ 1， 以 230被 7 数为 1， 以 230+ 1被 7 数为 2， 以 230+ 1≡ 65 mod7 ，正 ； 对于②：若正整数 x能被 13整 ， x13- x= x x12-1 能被 13整 ， 以 x13- x≡ 0 mod13 ； 若正整数 x不能被 13整 ，由费马 定 ：x12≡ 1 mod13 ， x13- x≡ 0 mod13 ，正 ； 对于③：若正整数 x能被 7整 ， x13- x= x x12-1 能被 7整 ， 以 x13- x≡ 0 mod13 ； 若正整数 x不能被 7整 ，由费马 定 ：x6≡ 1 mod7 ， x6- 1≡ 0 mod7 ， x13- x= x(x12- 1) = x(x6- 1) (x6+ 1)， 以 x13- x≡ 0 mod7 ，正 ； 对于④：由费马 定 ：x4≡ 1 mod5 ， x4- 1≡ 0 mod5 ， x12- 1= (x4- 1) (x8+ x4+ 1)， 以 x12- 1≡ 0 mod5 ，错误. 故 ：C ·115· 253. (2024· 州·一模)已知 比数 an  n 为 Sn,a1> 1,S3= eS4， 数 an  公比 q满 足 ( ) A. 0< q≤ 1 B. - 1< q< 0 C. q> 1 D. q≤-1 【 】B 【解 】设函数 f(x) = ex- x- 1， f(x) = ex- 1， x< 0时，f(x)< 0，f(x)为减函数； x> 0时，f (x)> 0，f(x)为 函数； 以 f(x)≥ f(0) = 0， ex≥ x+ 1. 因为S3= eS4≥S4+ 1， 以S3-S4≥ 1， a4≤-1. 因为 a4= a1q3,a1> 1， 以 q< 0， A,C. 若 q=-1，a1= 2> 1， S3= 2,S4= 0，不满足S3= eS4， D. 故 ：B 254. (2024·新 ·二模)斐波 契数 称黄金 数 ，它 多方 与大自 神奇 契 ， 上 物，如 日 、 、 螺 过 ，大 、飓 、宇宙 系 变，都 这个规 ， 人们亲 称斐波 契数 为自 “数学之 ”， 数学上斐波 契数 an 一 以 方 被定义：a1= a2= 1,an+2= an+ an+1， 下 说法 正 ( ) A. 记Sn为数 an  n ， S7= 31 B. 斐波 契数 中，从不大于 34 中任取一 个数， 好取 数 为 1 3 C. a1+ a3+ a5+⋯+a2023= a2025 D. a21+ a23+ a25+⋯+a22023= a2024a2025 【 】B 【解 】对于A，∵ an+2= an+ an+1,a1= a2= 1， ∴ a3= 2,a4= 3,a5= 5,a6= 8,a7= 13， ∴S7= 1+ 1+ 2+ 3+ 5+ 8+ 13= 33， 以A错误； 对于B，斐波 契数 数 中不大于 34 数 次 1, 1,2,3,5,8,13,21,34， 中 数 3个， 以任取一个数字，取 数 为 3 9 = 1 3 ， 以B正 ； 对于C，由 a1= a2，a3= a4- a2，a5= a6- a4，⋯，a2023 = a2024- a2022， 上 相 ：a1+ a3+ a5+⋯+a2023= a2024， 以C错 误； 对于D，由 an+2= an+1+ an， an+1= an+2- an， a21= a1a2，a22= a2 a3-a1 = a2a3- a1a2，a23= a3 a4-a2 = a3a4- a2a3， ⋯，a22023= a2023 a2024-a2022 = a2023a2024- a2022a2023， 上 相 ：a21+ a23+ a25+⋯+a22023= a2023a2024， 以D 错误. 故 ：B. 255. ( 2024 · 西 ·一模 ) 已知函数 f x  定义 x∣x≠0 上不 为零 函数，若 f xy = f x  y2 + f y  x2 ， ( ) A. f 1 = 1 B. f -1 = 1 C. f x 为 函数 D. f x 为奇函数 【 】C 【解 】令 x= y= 1， f 1 = 2f 1 ，故 f 1 = 0，A 错误； 令 x= y=-1， f 1 = 2f -1 ，故 f -1 = 0，B 错误； 令 y=-1， f -x = f x + f -1  x2 = f x ，故 f x  为 函数，C 正 ； 因为 f x 为 函数， 函数 f x  定义 x∣x≠0  上不 为零 函数，D 错误. 故 ：C 256. (2024· 西·一模)如图， 积为 1 三棱 A- BCD 棱 AB,AC ,AD上 取点 E,F ,G， AE:EB=AF :FC= 1:1,AG:GD= 2:1，记O为 BCG、 CDE、 DBF 交点， 三棱 O- BCD 积 于 ( ) A. 1 4 B. 1 5 C. 1 6 D. 1 7 【 】B 【解 】如图 示， 设ED∩BG= J,CG∩DF= I，连 BI,CJ， 知BI∩CJ=O， ·116· △ABD中，设GJ  = λGB  ,EJ  = μED  ， 以AJ  =AG  +GJ  = 2 3 AD  + λ AB  - 2 3 AD   = λAB  + 2 3 1-λ AD  ， AJ  =AE  + μED  = 1 2 AB  + μ AD  - 1 2 AB   = 1 2 1-μ AB  + μAD  ， λ= 12 1-μ  2 3 1-λ =μ  ⇒ λ= 14 μ= 12  ， GJ GB = 1 4 ， GI GC = 1 4 ， JI BC = 1 4 ⇒ BO BI = 4 5 ， 设O,I,G,A 距离 为 hO,hI,hG,hA， hO hI = 4 5 , hI hG = 3 4 , hG hA = 1 3 ⇒ hO hA = 1 5 ， 以 VO-BCD VA-BCD = hO hA = 1 5 . 故 ：B 二、多 257. (2024·高三· · )已知函数 f x  其导函数 f  x  定义域 为 R，且 f x-1 - f 1-x = 2x - 2，f x  图 关于点 1,0 对称， ( ) A. f 0 = 1 B. y= f x - x为 函数 C. f x  图 关于点 1,0 对称 D. f 2024 =-2023 【 】ABD 【解 】由 f x-1 - f 1-x = 2x- 2，可 f x - f -x = 2x， f x + f -x = 2，令 x= 0， f 0  = 1，A正 . 令 g x = f x - x， g -x = f -x + x= f x - x = g x ，故 y= f x - x为 函数，B正 . 设 f x  图 于点 1,0 对称， f x-1 + f 1-x = 0， f x-1 - f 1-x = 0， f x - f -x = 0， f x = 1， 这与 f x  图 于点 1,0 对称矛盾， 设不 立，C不正 . 因为 f x  图 于点 1,0 对称， 以 f 1+x + f 1-x = 0， 令 h x = f 1+x - f 1-x ， h x = f 1+x + f 1-x = 0， h x = f 1+x - f 1-x =C(C为 数)， f x-1 - f x+1 = 2x- 2-C， 从 f x-1 - f x+1 = 2， f x+2 = f x - 2， 由 f 0 = 1， f 2024 = f 0 - 2× 2012=-2023， D正 . 故 ：ABD. 258. (2024·高三· · ) 三角学 三 角 边、角关系 一门学科.如图， O 为 R，A，B，C为 上三点， BC 记为 a， 设 Oa表示以 O为 ，且过 B，C ， ， Ob，Oc AC，AB 记为 b，c，曲 ABC( 部 )叫 曲 三角 ，若 a= b= c， 称其为曲 边三角 ，线段OA，OB，OC与曲 △ABC围 闭几 叫 三棱 ，记为 O - ABC .设 ∠BOC = α，∠AOC = β，∠AOB = γ， 下 结论正 ( ) A. 若 △ABC 积为 3 4 R2 边三角 ， a= b= c=R B. 若 a2+ b2= c2， α2+ β2= γ2 C. 若 a= b= c= π 3 R， O-ABC 积V ·117· > 2 12 R3 D. 若 △ABC为直角三角 ，且∠ACB= π 2 ， a2+ b2> c2 【 】BC 【解 】若 △ABC 积为 3 4 R2 边三角 ， AB=BC=AC=R， α= β= γ= π 3 ，a= b= c = π 3 R.A不正 . 若 a2+ b2= c2， αR 2+ βR 2= γR 2， α2+ β2= γ2.B正 . 若 a= b= c= π 3 R， α= β= γ= π 3 ，AB=BC= AC=R， △ABC 外 为 1 2 R sin π3 = 3R 3 ， O ABC 距离 h= R2- 3R 3  2 = 6 3 R， 三棱锥O-ABC 积VO-ABC= 1 3 S△ABC ⋅ h= 2 12 R3， O-ABC 积V>VO-ABC= 2 12 R3.C正 . 由 定 可知 BC2=2R2-2R2cosα, AC2=2R2-2R2cosβ, AB2=2R2-2R2cosγ,  因为C= π 2 ， 以BC2+AC2=AB2， cosα+ cosβ- cosγ= 1. 取 α= β= π 3 ，γ= π 2 ， a= b= π 3 R，c= π 2 R， a2+ b2= 2π 2 9 R2< π 2 4 R2= c2.D不正 . 故 ：BC 259. (2024· ·一模) n(n∈N ∗，n≥ 10)个 号 为 1，2，3，⋯，n 盒子，1号盒子中 2个 1个黑 ，其 盒子中 1个 1个黑 ． 从 1号盒子任取一 放入 2号盒子；再从 2号盒 子任取一 放入 3号盒子；⋯；以此类 ，记“从 i号 盒子取出 ”为事件 Ai(i= 1，2，3，⋯， n)， ( ) A. P A1A2 = 13 B. P A1|A2 = 4 5 C. P A1+A2 = 79 D. P A10 = 1 2 【 】BC 【解 】对A，P A1A2 = 23 × 2 3 = 4 9 ， 以A错误； 对B，P A2 = 23 × 2 3 + 1 3 × 1 3 = 5 9 ，故P A1|A2 = P A1A2  P A2  = 4 5 ， 以B正 ； 对 C，P A1+A2 = P A1 + P A2 - P A1A2 = 23 + 5 9 - 4 9 = 7 9 ， 以C正 ； 对D，由 ：P An = 23 P An-1 + 1 3 1-P An-1  ， 以P An - 12 = 1 3 P An-1 - 12    ， P A1 = 23 ，P A1 - 1 2 = 2 3 - 1 2 = 1 6 ， 以 P An  - 1 2 = 1 6 × 1 3  n-1 = 1 2 × 1 3  n ， 以P An = 12 ⋅ 1+ 1 3n ， P A10 = 12 ⋅ 1+ 1 310 ， 以D错误． 故 ：BC． 260. (2024· ·一模)已知 物线 E：x2= 4y 点 为 F，过 F 直线 l1交 E于点A x1,y1 ，B x2,y2 ， E B处 线为 l2，过A 与 l2 行 直线 l3，交 E于另一点 C x3,y3 ，记 l3与 y轴 交点为 D， ( ) A. y1y2= 1 B. x1+ x3= 3x2 C. AF=DF D. △ABC 积 为 16 【 】ACD 【解 】A ，由 F 0,1 ， 线方 为 y=-1， 直线 l1 斜 存 ，故设直线 l1 方 为 y= kx+ 1， 立 x2= 4y， x2- 4k- 4= 0，x1x2=-4，故 y1y2= 1 16 x21x 2 2= 1，A正 ； B ，y= 1 2 x，直线 l2 斜 为 1 2 x2，故直线 l3 方 为 y- y1= x2 2 x-x1 ， y = x2 2 x + y 1 + 2， 立 x 2 = 4y， x 2 - 2x 2x - 2 y1+2 = 0，故 x1+ x3= 2x2， 以B错误； C ，由直线 l3 方 y- y1= x2 2 x-x1 ，令 x= 0 y= x2 2 -x1 + y1， x1x2=-4， 以 y= y1+ 2， 故D 0,y1+2 ，故 DF = y1+ 1， 由焦 AF = y1+ 1， 以C正 ； ·118· D ，不妨设 x1< x2，过B l3 行于 y轴 直线 交 l3于M， B 知，x1+ x3= 2x2， 故S△ABC= 2S△ABM， 直线 l3 方 y- y1= x2 2 x-x1 ， x= x2时，y= x2 2 x2-x1 + y1= x22 2 + y1- x1x2 2 = x22 2 + y1+ 2， 故M x2, x22 2 +y1+2 ， 故 BM = x22 2 + y1+ 2 - y2= x22 2 + x 2 1 4 - x 2 2 4 = x 2 1 4 + 16 4x21 + 2= 1 4 x1+ 4x1  2 ， 故 S △ABM = 1 2 x1-x2 ⋅ 14 ⋅ x1+ 4 x1  2   = 1 8 x1+ 4x1 ⋅ x1+ 4 x1  2   = 1 8 x1+ 4x1  3  ≥ 18 2 x1⋅ 4x1  3  = 8， 且仅 x1= 4x1 ， x1= 2时， 号 立， 故△ABC 积 为 16，D正 . 故 ：ACD 261. (2024· ·一模)已知函数 f x = sinx 2-cos2x， ( ) A. f x  正 为 π B. f x  图 关于点 π,0 对称 C. 不 f x > x无解 D. f x  大 为 2 4 【 】BD 【解 】对于 A:f π+x = sin π+x  2-cos2 π+x  = -sinx 2-cos2x ≠ f x , ∴ π不 f x  ，故A错误; 对于 B:f 2π-x = sin 2π-x  2-cos2 2π-x  = -sinx 2-cos2x =-f x , ∴ f x  于 π,0 对称，故B正 ； 对于 C:f -π = 0>-π, ∴ f x > x 解，故C错 误； 对于 D:f x = sinx 2- 1-2sin2x  = sinx 2sin2x+1 ，若 sinx≤ 0， f x ≤ 0， 若 sinx> 0, f x = 1 2sinx+ 1sinx ≤ 1 2 2 = 2 4 ， 且仅 2sinx= 1 sinx ， sinx= 2 2 时， 取 ， 故D正 . 故 :BD. 262. (2024 · ·一模 ) 如图， 棱 为 2 正方 ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1 中点，点 F满足 A1F  = λA1B1  0≤λ≤1 ， ( ) A. λ= 0时，AC1⊥ BDF B. 任 λ∈ 0,1 ，三棱 F-BDE 积 定 C. 存 λ∈ 0,1 ， AC与 BDF 角 为 π 3 D. λ= 2 3 时， BDF 该正方 外 积为 56 19 π 【 】ACD 【解 】如图 示建系，D 0,0,0 ,B 2,2,0 ,A1 2,0,2 , A 2,0,0 ,C1 0,2,2 ， 以DB  = 2,2,0 ,DA1  = 2,0,2 ,AC1  = -2,2,2 ， 从 AC1  ⋅DB  =-4+ 4= 0,AC1  ⋅DA1  =-4+ 4= 0， 以AC1⊥DB,AC1⊥DA1， ·119· DB∩DA1=D,DB,DA1⊂ BDA1， 以AC1⊥ BDA1， λ= 0时，F与A1重 ， BDF为 BDA1， 因为AC1⊥ BDA1，∴AC1⊥ BDF，A对. ∵A1B1不与 BDE 行，∴F BDE 距离不 为定 ， ∴三棱锥F-BDE 积不为定 ，B错. 设 BDA1 法 量为 n1  = x1,y1,z1 ， n1  ⋅DB  =2x1+2y1=0 n1  ⋅DA1  =2x1+2z1=0  ，令 x1= 1，解 y1=-1,z1= -1， 可取n1  = 1,-1,-1 ， AC  = -2,2,0 ， 以AC与 BDF 角 正 为 cosAC  ,n1    = AC  ⋅n1    AC   ⋅ n1    = 4 2 2× 3 = 6 3 ， BD  = -2,-2,0 ,BB1  = 0,0,2 ， 以AC  ⋅BD  = 4- 4= 0,AC  ⋅BB1  = 0， 以AC⊥BD,AC⊥BB1， BD∩BB1=B,BD,BB1⊂ DBB1， 以AC⊥ DBB1， F A1时，AC与 BDF 角 正 为 6 3 < 3 2 ，此时AC与 BDF 角 于 π 3 ， F B1时，AC与 BDF 角为 π 2 > π 3 ， 以存 λ∈ 0,1  AC与 BDF 角为 π 3 ， C正 . D 0,0,0 ,B 2,2,0 ,F 2,2λ,2 ， 设 BDF 法 量为 n= x,y,z , n⋅DB  =0 n⋅DF  =0 ,∴ 2x+2y=02x+2λy+2z=0 ， 不妨设 x= 1， y=-1,z= λ- 1,n= 1,-1,λ-1 , AC  = -2,2,0 . λ= 2 3 ， F 2, 4 3 ,2 ， BDF 法 量 n= 1,-1,- 1 3 ， 然 O 1,1,1 ， O BDF 距离 d= OD  ⋅n  n  = 1 19 = 19 19 ，外 R= 4+4+4 2 = 3， ∴ 方为 r2= R2- d2= 56 19 ， 以 S= πr2= 56 19 π，D对. 故 ：ACD. 263. (2024· ·二模)已知函数 f x ，g x  定义 域 为 R，f x  图 关于点 (2，0)对称，g(0) = g(2) = 1，g(x+ y) + g(x- y) = g(x)f(y)， ( ) A. f x 为 函数 B. g x 为 函数 C. g(-1- x) =-g(-1+ x) D. g(1- x) = g(1+ x) 【 】ACD 【解 】令 y=-y， g(x- y) + g(x+ y) = g(x)f(-y)， 注 g x 不 为 0， 故 f y = f -y ，故A正 ； 因为 f x  图 于点 (2，0)对称， 以 f(2) = 0， 令 x= 0,y= 2， g(2) + g(-2) = g(0)f(2) = 0， 故 g(-2) =-1≠ g 2 ，故B错误； 令 x= y=-1， g(-2) + g(0) = g(-1)f(-1) = 0， 令 x= y= 1， g(2) + g(0) = g(1)f(1) = 2，故 g(1), f(1) ≠ 0， 从 f(-1) ≠ 0，故 g(-1) = 0, 令 x=-1， g(-1+ y) + g(-1- y) = 0， g(-1 - y) =-g(-1+ y)，故C正 ； 令 y= 2， g(x+ 2) + g(x- 2) = 0， g(1- x) = -g(x- 3) = g 1+x ，故D正 . 故 ：ACD. 264. (2024· ·二模)已知P(A) = 1 5 ，P(B|A) = 1 4 .若 事件A，B相互独 ， ( ) A. P(B) = 1 3 B. P(AB) = 1 20 C. P(A  |B) = 4 5 D. P(A+B  )= 4 5 【 】BCD 【解 】对B，P(B ∣A) = P(AB) P(A) = P(AB) 1 5 = 1 4 , ∴P (AB) = 1 20 ，B正 ； 对A，P(AB) =P(A)P(B) = 1 5 P(B)，∴P(B) = 1 4 ， A错误； 对C，P(A  B) =P(A  )P(B) = 4 5 × 1 4 = 1 5 ，P(A  ∣B) = P(A  B) P(B) = 1 5 1 4 = 4 5 ，C正 ； 对D，P(A+B  )=P(A) +P(B  ) -P(AB  ) =P(A) +P(B  ) -P A P(B  )= 1 5 + 3 4 - 1 5 × 3 4 = ·120· 4 5 ，D正 . 故 ：BCD. 265. (2024· ·模拟 )已知直线 a,b α,β,α 与 β 二 角为 θ . 下 结论正 ( ) A. 若 a⊥ α,b⊥ β， a与 b 角为 θ B. 若 a⎳ α,b⎳ β， a与 b 角为 θ C. 若 a⊂ α， a与 β 角 大 为 θ D. 若 b⊥ β， b与 α 角为 π 2 - θ 【 】ACD 【解 】对于A，因为 a⊥ α,b⊥ β，α与 β 锐二 角为 θ， 以 a与 b 角为 θ，故A正 ； 对于B，若 a⎳ α,b⎳ β，此时不能 定 a与 b 角， 如直线 a⎳ b时，此时 a与 b 角为 0，故B错误； 对于C，如图，设 α,β 交线为直线 l， a⎳ l时，a与 β 角为 0， a与 l不 行时，设 a∩ l=C， 直线 a上取点A，过 点A AB⊥ β于点B， OA⊥ l于点O，连 OB， 因为OA⊥ β,OB,l⊂ β， 以OA⊥OB,OA⊥ l， OA⊥ l,OA∩OB=O， 以 l⊥ OAB， OB⊂ OAB， 以OB⊥ l， ∠AOB 为 α与 β 锐二 角 角， ∠AOB= θ， 因为AB⊥ β,a∈ a， 以∠ACB 为 a与 β 角 角， tan∠ACB= AB BC ≤ AB OB = tanθ， 且仅 a⊥ l时，取 号， 以 a与 β 角 大 为 θ，故C正 ； 对于D，因为 b⊥ β，α与 β 锐二 角为 θ， 以 b与 α 角为 π 2 - θ，故D正 . 故 ：ACD. 266. (2024 · ·模拟 )已知 曲线 C : x  2 a  2 - y  2 b  2 = 1 a>0,b>0  左 点为A，右 点为 F， 过点A且 斜角为 π 6 直线 l 次交两 近线 C 右支于M、N、B，且 AM = MN ， 下 结论正 ( ) A. 离 为 3 B. AB⊥OM C. S△OAM=S△OBN D. S△ABF= 3a   2 【 】BC 【解 】如图 示， 由 知，A(-a,0)，直线OM方 为 y=- b a x，直线 ON方 为 y= b a x， 设直线AB方 为 y= 3 3 (x+ a)， y=- bax y= 33 (x+a)  ⇒ x= -a 2 a+ 3b y= ab a+ 3b  ， M -a 2 a+ 3b , ab a+ 3b ， y= bax y= 33 (x+a)  ⇒ x= a 2 3b-a y= ab 3b-a  ， N a 2 3b-a , ab 3b-a ， 对于A ，因为 |AM | = |MN |， 以M为AN中点， 以 -a+ a 2 3b-a 2 = -a 2 a+ 3b ，整 b a = 3， 以离 e= c a = 1+ b 2 a2 = 1+( 3)2= 2，故A 错误； 对于B ，由A 知，直线OM方 为 y=- 3x， kOM=- 3， 因为 kAB= tan π 6 = 3 3 ， 以 kAB× kOM=-1， 以AB⊥OM，故B 正 ； 对于C ，过M ME⊥AF 足为E，过N NG⊥ AF 足为G，过B BH⊥AF 足为H，如图 示， ·121· 由A 知，b= 3a， 以双曲线方 为 x 2 a2 - y 2 3a2 = 1，M - a 4 , 3a 4 ，N a 2 , 3a 2 ， x2 a2 - y 2 3a2 =1 y= 33 (x+a)  ⇒ x= 5a4 y= 3 3a4  ， B 5a 4 , 3 3a 4 ， 以 |ME| = 3a 4 ，|NG| = 3a 2 ，|BH | = 3 3a 4 ， 以 |ME|：|NG|：|BH | = 1:2:3， 以M、N为线段AB 三 点， |AM | = |MN | = |BN |， 设O 直线AB距离为 h， S△OAM= 1 2 |AM | ⋅ h， S△OBN= 1 2 |BN | ⋅ h， 以S△OAM=S△OBN，故C 正 ； 对于D ，如图 示， 由A 知，c= 2a， 以S△ABF= 1 2 |AF| ⋅ |BH | = 1 2 × (a+ c) × 3 3a 4 = 9 3a 2 8 ，故D 错误. 故 ：BC. 267. (2024·高三· · 段练习) △ABC中，B= π 2 , AB= 2,BC= 3,E为 AC 中点，点 F 线段 BC 上，且CF= 2BF， △ABC以直线BC为轴 时针 转一 围 一个 ，D为 上一点，满足 AD  = π， ( ) A. BA⊥BD B. FE  AB  上 1 2 BA  C. 直线EF与直线CD 角 为 6 65 65 D. 直线EF与 ACD 角 正 为 4 110 55 【 】ABD 【解 】 △ABC旋转一 锥 点为C， 为 B， AB= 2， 以 长为 4π， 以AD  对 角为∠ABD = π 2 ，A正 ； 知B正 ；以B为 点，建立如图 示 间直角 系， A 0,2,0 ,D 2,0,0 ，C 0,0,3 ,E 0,1, 3 2 , F 0,0,1 ， 以EF  = 0,-1,- 1 2 ,CD  = 2,0,-3 ,CA  = 0,2,-3 ， 以 cos‹EF  ,CD  ›= EF  ⋅CD  EF   CD    = 3 65 65 ，C错误． 设 ACD 法 量为 n= x,y,z ， n·CD  =2x-3z=0, n·CA  =2y-3z=0,  令 z= 2， n= 3,3,2 ．设直线EF与 ACD 角为 θ， sinθ= EF  ⋅n EF   n  = 4 11055 ，D正 . 故 ：ABD 268. (2024·高三· · 段练习)已知 数函数 f x  定义域为R，且 f x f y = f xy + xy x+y ， ( ) A. f 0 = 0 B. f 1 =-2 f 1 = 1 C. f x  x x x∈R 且x≠0 上 函数 D. f x  R上 函数 【 】AC ·122· 【解 】 f x f y = f xy + xy x+y 中， 令 y= 0， f 0 f x = f 0 ， ∀ x∈R, f 0  f x -1 = 0． 因为函数 f x 为 数函数， 以 f 0 = 0，A正 ． 令 g x = f x  x ,x≠ 0， g x g y = g xy + x+ y． 令 x= y=-1， g -1  2= g 1 - 2，① 令 x= y= 1， g 1  2= g 1 + 2，② 由①②，解 g 1 = 2,g -1 = 0，从 f 1 = 2，B错 误． 令 y= 1， g x g 1 = g x + x+ 1， g x = x+ 1， 因为 f 0 = 0， 以 f x = x x+1 ， 以C正 ，D 错误． 故 ：AC 269. (2024· 州·模拟 )已知函数 f(x) = ax2ex - 2lnx- x- a， ( ) A. a= 1时，f x  B. a= 1时，f x  大 C. 若 f x ≥ 0， a= 1 D. 函数 f x  零点 多 1个 【 】AC 【解 】对于AB： a= 1时，f(x) = x2+2x ex- 2x - 1= (x+2)(e xx2-1) x (x> 0)， 令 exx2- 1= 0， ex= 1 x2 ， 以 lnex= ln 1 x2 ， 2lnx =-x， 结 函数图 可知，存 x0∈ 0,1 ， f(x0) = 0， 令 exx2- 1> 0， 2lnx>-x， x> x0， 以 x∈ (0,x0)时，f(x)< 0，函数 f x  减， x∈ (x0, +∞)时，f(x)> 0，函数 f x  ，故 A 正 ，B 错误． 若 f x ≥ 0， ax2ex≥ lnx2+ lnex+ a， a(x2ex- 1) ≥ ln(x2ex)． 设 t= x2ex> 0， a t-1 ≥ lnt． 设G t = a t-1 - lnt，可知G t ≥ 0， G(t) = a - 1 t ，t> 0． 若 a≤ 0， G t < 0，G t 为减函数，注 G 1  = 0，可知 t> 1时，G t < 0，不 ． 若 a> 0， G(t) = at-1 t ， t∈ 0, 1 a 时，G(t)< 0，G t 为减函数， t∈ 1 a ,+∞ 时，G(t)> 0，G t 为 函数， 以G(t)≥G 1 a = 1- a+ lna≥ 0．设 φ(a) = lna - a+ 1，a> 0， φ a = 1 a - 1= 1-a a ，a> 0． a> 1时，φ a < 0，φ a 为减函数， 0< a< 1 时，φ a > 0，φ a 为 函数， φ a ≤ φ 1 = 0， 以只 a= 1时，G t ≥ 0 能 立． 综上 述，a= 1，故C 正 ． 由C 可知，t= x2ex，x> 0， t= ex(x2+ 2x)> 0， 以 t= x2ex(x> 0)为 函数． a> 1时，φ(a) =G 1 a < 0， t无 趋近于 0时，G t 无 趋近于+∞，且G e  = a e-1 - 1> 0， 此时G t  两个零点，因为 t= x2ex x>0 为 函 数，且 t> 0， 以此时 f x  两个零点． 可 ， 0< a< 1时，f x  两个零点． a= 1时，φ(a) =G 1 a = 0，此时G t  一个零点 1， 以 f x  一个零点． a≤ 0时，G t 为减函数，G 1 = 0，此时G t  一 个零点 1， f x 只 一个零点． 综上，函数 f x  多 两个零点，故D 错误． 故 ：AC. 270. (2024 · 州 ·模拟 ) 已知函数 f (x ) = sin ωx+ π 5 (ω> 0) 0,2π 上 且仅 5个零 点， ( ) A. ω 取 围 6 5 , 23 10    B. f x  图 0,2π 上 且仅 3个 高点 C. f x  图 0,2π 上 多 3个 点 D. f x  0, π 6 上 【 】BC 【解 】由ωx+ π 5 = kπ，k∈ Z， x=- π 5ω + kπ ω ，k ∈ Z， 以函数 f x  0,+∞ 上由 大 5个零点 ·123· 为- π 5ω + 5π ω = 24π 5ω ， 6个零点为- π 5ω + 6π ω = 29π 5ω ， 由 知， 24π 5ω ≤2π 29π 5ω >2π  ，解 12 5 ≤ω< 29 10 ，A 错误． 令ωx+ π 5 = π 2 + 2kπ，解 x= 3π 10ω + 2kπ ω = (20k+3)π 10ω ，k∈ Z， x∈ (0,2π)时，k≥ 0，因为 12 5 ≤ω< 29 10 ， 以 (20k+3)π 29 < x≤ (20k+3)π 24 ，k∈ Z， 且仅 k= 0，1，2时，x∈ (0,2π)，故 f x  (0,2π) 上 且仅 3个 高点，B 正 . 令ωx+ π 5 =- π 2 + 2kπ，解 x=- 7π 10ω + 2kπ ω = (20k-7)π 10ω ，k∈ Z， 上可知， (20k-7)π 29 < x≤ (20k-7)π 24 ，k∈ Z， k= 1，2时，x∈ (0,2π)， k= 3时，令 53π 10ω < 2π， 解 ω> 53 20 ， 以 53 20 <ω< 29 10 时，f x  (0,2π)上 3个 点，C 正 ． 由- π 2 ≤ωx+ π 5 ≤ π 2 ， - 7π 10ω ≤ x≤ 3π 10ω ， 以 f x  间 0, 3π 10ω 上 ， 因为 12 5 ≤ ω< 29 10 ， 以 3π 29 < 3π 10ω ≤ π 8 ， 因为 π 8 < π 6 ， 以 f x  间 0, π 6 上不 ，D 错误． 故 ：BC. 271. ( 2024 · 州 ·一 模 ) 已 知 函 数 f x = sin 2x+φ  φ ≤ π 2 ，且 f x = f 2π 3 -x ，若函数 f x  右 移 a(a> 0)个 为 函数， ( ) A. φ=- π 6 B. 函数 f x  间 2π 3 ,π 上 C. a 为 π 6 D. a 为 5π 12 【 】AC 【解 】对于A，因为 f x = f 2π 3 -x ， 以函数 f x  于 x= π 3 轴对称， 以 2π 3 + φ= π 2 + kπ,k∈ Z，解 φ=- π 6 + kπ,k∈ Z， φ ≤ π 2 ， 以 k= 0时，φ=- π 6 ，故A正 ； 对于B，f x = sin 2x- π 6 ， 2π 3 < x< π时，7π 6 < 2x- π 6 < 11π 6 ， 因为 y= sinx 间 7π 6 , 11π 6 上不 ，故B 错误； 对于CD， 函数 f x  右 移 a(a> 0)个 长 g x = sin 2x-2a- π 6 ， 由 g(x) 函数，可 ：-2a- π 6 = π 2 + kπ,k∈ Z，解 a=- π 3 - kπ 2 ,k∈ Z， a> 0， 以 k=-1时，a 为 π 6 ，故C正 ，D错误. 故 ：AC 272. (2024· 州·一模)已知函数 f x = ex与函数 g x = 1+ 2 x-1 图 相交于 A x1,y1 ,B x2,y2  两点，且 x1< x2， ( ) A. y1y2= 1 B. yx21 = 1e C. y2-y1 x2-x1 > 1 D. x2y2= 1 【 】AC 【解 】由 ex= 1+ 2 x-1 两个不 实数 ，e x = x+1 x-1，x= ln x+1 x-1， 令 h(x) = x- ln x+1 x-1， h(-x) =-x- ln -x+1 -x-1 = -h(x)， h(x)为奇函数； x> 1时，h(x) = x 2+1 x2-1 > 0，h(x)为 函数； 若 h(x1) = 0， h(-x1) = 0， h(x2) = 0， 以 x1+ x2 = 0. 对于A，y1y2= ex1ex2= ex1+x2= 1，正 . 对于B，若 yx21 = ex1x2= 1e 立， x1x2=-1，与 x1+ x2= 0矛盾， 以B不正 . 对于C，由 数 不 e x2-ex1 x2-x1 > e x1+x2 2 可 ·124· ex2-ex1 x2-x1 > 1， 以 y2-y1 x2-x1 > 1，C正 . 对于D，令F(x) = xex，F (x) = x+1 ex， x> 1时， F (x)> 0，F(x)为 函数， 以F(x2)>F(1) = e， x2y2> e，D不正 . 故 ：AC. 273. (2024·新 ·二模)如图， △ABC中，内角A,B,C 对 边 为 a , b , c ，若 sinA = sinB ，且 3 acosB+bcosA = 2csinC ,D △ABC 外一 点，DC= 2,DA= 6， 下 说法正 ( ) A. △ABC 边三角 B. 若AC= 2 13， A,B,C,D四点共 C. 四边 ABCD 积 为 10 3- 12 D. 四边 ABCD 积 大 为 10 3+ 12 【 】ABD 【解 】∵ 3 acosB+bcosA = 2csinC， ∴ 正 定 3 sinAcosB+sinBcosA = 2sin2C， 3sin A+B = 2sin2C， ∴ 3sinC= 2sin2C， 然 sinC≠ 0， sinC= 3 2 ， ， C= π 3 ， sinA= sinB，可 a= b, ∴A=B=C= π 3 , ∴ △ABC为 边三角 ，故A正 ； ∵DC= 2,DA= 6， △ADC中，AC2= 62+ 22- 2× 2× 6cosD= 40- 24cosD， AC= 2 13时，cosD=- 1 2 , ∴D= 2π 3 ， B+D = π, ∴A,B,C,D ，B正 . S△ADC= 1 2 AD ⋅CDsinD= 6sinD, ∴四边 ABCD 积S=S△ABC+S△ADC= 3 4 AC2+ 6sinD= 3 4 40-24cosD + 6sinD = 10 3+ 12sin D- π 3 ,0<D< π， ∴D- π 3 ∈ - π 3 , 2π 3 ， sin D- π 3 ∈ - 3 2 ,1 ， 以四边 ABCD 积 ，C错误. D- π 3 = π 2 ， D= 5π 6 时，四边 ABCD 积取 大 10 3+ 12，故D正 . 故 ：ABD. 274. (2024·新 ·二模)已知 f x  定义域为R 函数， 满足 f x+1 = f x-3 ,f 1+x = f 3-x ， 0≤ x ≤ 2 时，f x = x 2 - x， 下 说法正 ( ) A. f x  正 为 4 B. f x  图 只关于直线 x= 2对称 C. 0≤ x≤ 6时，函数 f x  5个零点 D. 6≤ x≤ 8时，函数 f x  为- 1 2 【 】AC 【解 】由 f x+1 = f x-3  ，f x = f x-1 +1 = f  x-1 -3 = f x-4 ，故函数 f x  为 4，A正 ； 由 f 1+x = f 3-x 可 f 2+x = f 2-x ， 以函数 f x  图 于直线 x= 2对称，且 于直 线 x= 6对称 ( )，B不正 ； 出函数 f x  0,8 上 大致图 如图 示， 由图可知， 0≤ x≤ 6时，函数 f x  5个零点，C正 ； 6≤ x≤ 8时，函数 f x  为 f 15 2 = f 1 2  =- 1 4 ，D错误. 故 ：AC. 275. (2024· 西·一模)已知函数 f x = sin ωx- π 3 (ω > 0)， ( ) A. ω= 1 2 时，函数 f x  为 4π B. 函数 f x 图 对称轴 x= π 6ω + kπ ω ,k∈ Z C. ω= 1 2 时，x= 5π 3 函数 f x  一个 大 点 D. 函数 f x  间 0,1 内不 ， ω> 5π 6 【 】ACD ·125· 【解 】对A， ω= 1 2 时，函数 f x  为 2π ω = 4π，故A正 ； 对B，令ωx- π 3 = kπ+ π 2 ， x= 5π 6ω + kπ ω ,k∈ Z，故 函数 f x 图 对称轴 x= 5π 6ω + kπ ω ,k∈ Z，故B 错误； 对C， ω= 1 2 时，f x = sin 1 2 x- π 3 ,f 5π 3 = 1 为 大 ， 故 x= 5π 3 函数 f x  一个 大 点，故C正 ； 对D，函数 f x  间 0,1  不 ， f x = ωcos ωx- π 3 = 0 0,1  解，且左右函数 号， 令 t=ωx- π 3 ∈ - π 3 ,ω- π 3 ， ω- π 3 > π 2 ，解 ω > 5π 6 ，故D正 . 故 ：ACD. 276. (2024· 西·一模) 念 法国天 数学家 瓦 (1811- 1832) 19世纪 30 代 ， 论虽 起 于对代数多 方 ， 子 学、 结 学 其他学科中也 泛 .设 G 一个 ，“∘” 一个 于G中元 运 ，若 时满足以下四个 件， 称G对“∘” 一个 ：(1) 闭 ， 若 a,b∈G， 存 一 定 c∈G， c= a ∘ b；(2)结 ， 对G中 任 元 a,b,c都 a∘b ∘ c= a ∘ b∘c ；(3) 元存 ， 存 e∈G，对任 a∈G，满足 a ∘ e= e ∘ a= a， e称为 元；(4) 元存 ， 任 a∈ G，存 b∈G， a ∘ b= b ∘ a= e， 称 a与 b互 为 元，b记 a-1.一 ，a ∘ b可 记 ab,a ∘ a 可 记 a2,a2 ∘ a可 记 a3，以此类 .正八边 ABCDEFGH 中 为O.以 e表示 变 ， 不 对正八边 任 变 ；以 r表示以点O为中 ， 正八边 时针旋转 π 4 旋转变 ；以m表示以 OA 直线为轴， 正八边 进行轴对称变 .定 义运 “∘”表示复 变 ， f ∘ g表示 正八边 先进行 g 变 再进行 f 变 变 . 以 如 rpmq p,q∈N ， 规定 r0=m0=e  变 为元 ， 可组 G， G对运 “∘”可 ，称之为 “正八边 对称变 ”，记 D8. 以下关于D8 其元 说法中，正 ( ) A. mr2∈D8，且mr2= r2m B. r3m与 r5m互为 元 C. D8中 无 多个元 D. D8中至 存 三个不 元 ，它们 元都 其 【 】ABD 【解 】 们 ： 1°由于两次轴对称 价与不变 ，故m2= e； 由于旋转 45°施行 8次 价于旋转 360°也 不变， 故 r8= e； 由于 旋转 于OA对称 于OA对称 旋转 效，故 rm=mr. 2°D8一 16个 ，变 ABCDEFGH 时针 8个， 时针 8个. 这 说 ：mr2= r2m，A正 ； r3m  r5m = r3r5m2= r8= e，B正 ； D8一 16个 ，C错误； D8中，m 2= e, r4 2= r8= e, mr4 mr4 =m2r8= e， D正 . 故 ：ABD 三、 277. (2024·高三· · ) 1，2，3，⋯，9这 9个数 入如图 示 子中 (要 每个数都要 入，每 个 子中只能 一个数)，记 1行中 大 数为 a， 2行中 大 数为 b， 3行中 大 数为 c， a < b< c 法共 种. 【 】60480 【解 】 3行，c= 9，可 3个， 2个 任取 2个数， C13A 2 8种 . 2行，取 下 6个数中 大 数为 b，可 3个， 2个 任取 2个数， C13A 2 5种 ， 1行， 下 3个数任 ， A33种 ， 故 C13A 2 8C 1 3A 2 5A 3 3= 60480种 法. 故 为：60480 278. (2024 · ·一模)已知 α,β ∈ 0, π 2 ，且 sinα - ·126· sinβ =- 1 2 ，cosα - cosβ = 1 2 ， tanα + tanβ = ． 【 】 8 3 /2 2 3 【解 】由 可知 sinα- sinβ=-cosα+ cosβ， 以 sinα+ cosα= sinβ+ cosβ， 以 2sin α+ π 4 = 2sin β+ π 4 ， 因为 α,β∈ 0, π 2 ， 以 α+ π 4 ∈ π 4 , 3π 4 ,β+ π 4 ∈ π 4 , 3π 4 ， α≠ β， 以 a+ π 4 + β+ π 4 = π，故 α+ β= π 2 ， 以 sinα- sinβ= sinα- cosα=- 1 2 ， 两边 方 sin2α- 2sinαcosα+ cos2α= 1 4 ，故 sinαcosα= 3 8 ， tanα+ tanβ= tanα+ 1 tanα = sinα cosα + cosα sinα = 1 sinαcosα = 8 3 ． 故 为： 8 3 279. (2024· ·一模)设 曲线 C：x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a> 0，b> 0) 一个 点为 F，过 F 一 近线 线， 足为E．若线段EF 中点 C上， C 离 为 ． 【 】 2 【解 】直线 EF与 近线方 立 y= bax, y=- ab x-c ,  解 xE= a2 c ，yE= ab c ， ∴EF中点M 为 a 2+c2 2c , ab 2c ， M点 双曲线上，代 方 ， a2+c2 2 4a2c2 - a2 4c2 = 1， c2= 2a2，∴ e2= 2，e= 2． 故 为： 2． 280. (2024 · ·一模)已知 a ,b ∈ 0,1 ∪ 1,+∞ ， 4 log a b + log b a = 4， 2 b + ln a b 为 . 【 】ln2+ 1/1+ ln2 【解 】∵ 4logab+ logba= 4，a,b∈ 0,1 ∪ 1,+∞ ， ∴ 4logab+ 1logab = 4，∴ logab= 12 ，∴ b= a， a= b2， 以 2 b + ln a b = 2 b + ln b 2 b = lnb+ 2 b ， 令 f x = lnx+ 2 x ，x∈ 0,+∞ ， f x = 1 x - 2 x2 = x-2 x2 ， 以 0< x< 2时 f x < 0， x> 2时 f x < 0， 以 f x  0,2 上 减， 2,+∞ 上 ， 以 f(x)min= f 2 = ln2+ 1， 以 2 b +ln a b min= ln2+ 1， 且仅 b= 2,a= 2 时取 . 故 为：ln2+ 1 281. (2024· ·一模) 直角 系 xOy中，已知 点P -1,1  物线C:y2= 4x，过C 点F且斜 为 k(k> 0) 直线与 C交于 A,B两点.记线段 AB 中点为M，若线段MP 中点 C上， k 为 ；AF ⋅ BF  为 . 【 】 2 5 【解 】令A x1,y1 ，B x2,y2 ，AB:y= k x-1 ，线段 PM 中点为N 立 y=k x-1  y2=4x  ， x可 y 2- 4 k y- 4= 0， y1+ y2= 4k，y1y2=-4, 以 x1+ x2= y1+y2 k + 2= 4 k2 + 2， M 2 k2 +1, 2 k ， 以线段MP 中点 N 1 k2 , 1 k + 1 2 ，由于线段MP 中点N 物线上， 1 k + 1 2  2 = 4 k2 ，解 k= 2 k=-6( )， k= 2， 由于 物线中 AF = x1+ 1，BF = x2+ 1， 以 AF ⋅ BF = x1+1 x2+1 = y21 4 +1  y 2 2 4 +1 = y21y 2 2 16 + y1+y2 2-2y1y2 4 + 1 = 16 16 + 4+8 4 + 1= 5. ·127· 故 为：2 ；5. 282. (2024· ·二模)若正四棱 棱 为 2， 以 棱 中点为 点 积为 ，该 外 表 积为 . 【 】 5 2 6 / 5 6 2 4π 【解 】正四棱锥P-ABCD 棱长为 2，点A, B,C,D,E,F,M ,N 棱 中点，如图， 然PB2+PD2= 8=BD2， PB⊥PD， 正四棱 锥P-ABCD 高为 2， 于 VP-ABCD= 1 3 × 4 × 2 = 4 2 3 ,VP-ABCD= 1 3 × 1× 2 2 = 2 6 ， S△AMN = 1 2 × 1 × 1= 1 2 ,A AMN 距离 d= 2 2 ,VA-AMN= 1 3 × 1 2 × 2 2 = 2 12 ， 以 积为V=VP-ABCD-VP-ABCD- 4VA-AMN= 4 2 3 - 2 6 - 4× 2 12 = 5 2 6 ； 令AC∩BD=O，以直线OA,OB,OP 为 x,y,z轴 建立 间直角 系，如图， A( 2 ,0,0),P(0,0, 2 ),B(0, 2 ,0),D(0, - 2 ,0)， A 2 2 ,0, 2 2 ,B 0, 2 2 , 2 2 ， M 2 2 , 2 2 ,0 ,N 22 ,- 2 2 ,0 ，设外 O (x,y,z)， R， OA=R OB=R OM=R ON=R      ，因此 x- 22  2+y2+ z- 22  2=R2 x2+ y- 22  2+ z- 22  2=R2 x- 22  2+ y- 22  2+z2=R2 x- 22  2+ y+ 22  2+z2=R2          ，解 x=0 y=0 z=0 R2=1      ， 以 外 表 积为 S= 4π. 故 为： 5 2 6 ；4π 283. (2024· ·二模) △ABC中，AB = 7， AC= 1，M为 BC 中点，∠MAC= 60°， AM= . 【 】 3 2 【解 】 △ABC中，取AC 中点N，连 MN，由M 为BC 中点， MN= 1 2 AB= 7 2 ， △AMN中，由 定 MN 2=AM 2+AN 2- 2AM ⋅ANcos∠CAM， 7 4 =AM 2+ 1 4 - 1 2 AM， AM 2- 1 2 AM- 3 2 = 0， AM> 0， 以AM= 3 2 . 故 为： 3 2 284. (2024· ·模拟 )已知四 ABCD中，AB = CD,BC=AD,AC= BD，过A点 其外 直 AH与 AB、AC夹角正 为 2 3 、 3 3 ， AH与AD夹角正 为 . 【 】 2 3 / 1 3 2 【解 】由 ， 四 ABCD放 长方 中，如图 示， AH 为长方 AGDF-ECHB 对角线， 设BE= a,BH= b,BF= c， AH= a2+b2+c2 ,AB= a2+c2 ,AC= b2+c2， 因为BH⊥ AEBF，AB⊂ AEBF， 以BH ⊥AB， 因为CH⊥ AECG，AC⊂ AECG， 以CH ⊥AC， 因为DH⊥ AGDF，AD⊂ AGDF， 以 DH⊥AD， 因为AH与AB、AC夹角正 为 2 3 、 3 3 ， 以 sin∠BAH= b a2+b2+c2 = 2 3 ,sin∠CAH= ·128· a a2+b2+c2 = 3 3 ， b a2+b2+c2 + a a2+b2+c2  2 + c a2+b2+c2  2 = 1， 4 9 + 3 9 + c a2+b2+c2  2 = 1， 以 c a2+b2+c2 = 2 3 ， sin∠DAH= c a2+b2+c2 = 2 3 ， 以AH与AD夹角正 为 2 3 . 故 为： 2 3 . 285. (2024· ·模拟 )已知 x 表示不超过 x 大整数，x = x- x ，设 n∈ N *，且 n 3  + n 4   + n 6  = 1， n 为 ； 1 ≤ n ≤ 2024时，满足 件 n S= . 【 】 4 342732 【解 】由 ， 1≤n< 3时， n 3    = n 4    = n 6    = 0， n 3  + n 4  + n 6  = n 3 + n 4 + n 6 = 3n 4 = 1，解 n= 4 3 ( )， n= 3时， n 3    = 1, n 4    = n 6    = 0， n 3  + n 4  + n 6  = n 3 - 1+ n 4 + n 6 = 3n 4 - 1= 1，解 n= 8 3 ( )， 4≤n< 6时， n 3    = n 4    = 1, n 6    = 0， n 3  + n 4  + n 6  = n 3 - 1+ n 4 - 1+ n 6 = 3n 4 - 2= 1，解 n= 4， 以n 为 4， 6≤n< 8时， n 3    = 2, n 4    = n 6    = 1， n 3  + n 4  + n 6  = n 3 - 2+ n 4 - 1+ n 6 - 1= 3n 4 - 4= 1，解 n= 20 3 ( )， n= 8时， n 3    = n 4    = 2, n 6    = 1， n 3  + n 4  + n 6  = n 3 - 2+ n 4 - 2+ n 6 - 1= 3n 4 - 5= 1，解 n= 8， 9≤n≤ 11时， n 3    = 3, n 4    = 2, n 6    = 1， n 3  + n 4  + n 6  = n 3 - 3+ n 4 - 2+ n 6 - 1= 3n 4 - 6= 1，解 n= 28 3 ， n= 12时， n 3  + n 4  + n 6  = 4 + 3 + 2  = 0≠ 1，故n= 12 ， 因为 3,4,6 数为 12， 以 4为 12为 差 差数 ，设为 am ， am= 12m- 8， 以 8为 12为 差 差数 ，设为 bm ， bm= 12m- 4， 以数 am  bm  满足 件 n ， 令 am= 12m- 8≤ 2024，解 m≤ 169， 令 bm= 12m- 4≤ 2024，解 m≤ 169， 1≤n≤ 2024时，满足 件 n S= 4+12×169-8 ×169 2 + 8+12×169-4 ×169 2 = 342732. 故 为：4；342732. 286. (2024·高三· · 段练习)已知 曲线 C : x 2 a2 - y2 b2 = 1(a> 0,b> 0) 左、右 点 为F1,F2，过F1 一 近线 线交 曲线C 左支于点P，已 知 PF1  PF2  = 2 5 ， 曲线 C 近线方 为 ． 【 】y=±2x 【解 】 画出图 如下： 由 PF1  PF2  = 2 5 PF1 = 25 PF2 ， PF2 - PF1 = 2a， ·129· 以 PF2 = 10a3 , PF1 = 4a 3 ， 双曲线C : x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a> 0,b> 0) 近线方 为 bx± ay= 0， 点 F2 c,0  近线 距离 d= bc  b2+a2 = b， 以 △PF1F2中，cos∠PF2F1= bc ， 由 定 PF1  2 = PF2 2 + F1F2 2 - 2 PF2 F1F2 cos∠PF2F1， 16a2 9 = 100a 2 9 + 4c2- 40ab 3 ， 3 b a  2 - b a + 10= 0， b a -2  3ba +5 = 0， 解 b a = 2 b a =- 5 3 ，因为 a> 0,b> 0， 以 b a = 2. 双曲线C 近线方 为 y=±2x． 故 为：y=±2x. 287. (2024·高三· · 段练习) △ABC中，内角A, B,C 对 边 为 a,b,c，若 a,b,c 比数 ， 且 b = acosC + 3 csinA， A = ，bsinB c = ． 【 】 π 6 /30° 1 2 /0.5 【解 】因为 b= acosC+ 3csinA，由正 定 知 sinB= sinAcosC+ 3sinCsinA， 以 ：sinAcosC+ 3sinCsinA= sinB= sin A+C = sinAcosC+ cosAsinC． 故 3sinCsinA= cosAsinC， 3sinA= cosA，从 tanA= 3 3 ， 以A= π 6 ． 因为 a,b,c 比数 ， 以 b c = a b ，从 bsinB c = asinB b = sinAsinB sinB = sinA= 1 2 ． 故 为： π 6 ； 1 2 . 288. (2024· 州·模拟 )自 中某些 物 基因 子 基因组 ，这种 物 下一代时， 对 基因相互 离 子， 子 结 下一代 基因 ．若某 物 基因 为Aa， 该 物个 交 过 中，基因 为 aa 子代因无法 自 被自 淘 ． 如 亲代只 Aa 基因 个 时， 其子一代 基因 如下表 示： 1 2 A 1 2 a 1 2 A 1 4 AA 1 4 Aa 1 2 a 1 4 Aa × 上表可知，子一代中AA:Aa= 1:2，子一代产 子中A 2 3 ，a 1 3 ，以此类 ，子七代中Aa 个 比 为 ． 【 】 2 9 /2:9 【解 】设子 n代中Aa 比为 an， AA 比为 1- an， 以A:a= 2 1-an +an :an= 2-an :an， 子 n+1 代 基因 如下表 示： 2-an 2 A an 2 a 2-an 2 A 2-an 2  2 AA (2-an)an 4 Aa an 2 a (2-an)an 4 Aa × 由表可知，表 中 份数为 2-an 2  2 + 2× (2-an)an 4 ( 中淘 了 a 2 n 4 份)， 因此子 n+1 代中Aa 比为 (2-an)an 2 2-an 2  2+ (2-an)an2 = an+1， an+1= 2an 2+an ， 1 an+1 = 1 an + 1 2 ， 1 an+1 - 1 an = 1 2 ， 以数 1 an   为 3 2 ， 差为 1 2 差数 ， 以 1 an = 1 2 n+ 1，an= 2n+2，因此 a7= 2 7+2 = 2 9 ． 故 为： 2 9 . 289. (2024· 州·模拟 )已知 T : x 2 a2 + y 2 b2 = 1(a> b> 0) 左、右 点 为 F1，F2，P为 T上一点，且∠F1PF2= 60°，若△PF1F2 外 积 其内 积 25 ， T 离 e = ． ·130· 【 】 5 7 【解 】 因为 PF1 + PF2 = 2a，且 F1F2 = 2c，∠F1PF2= 60°， 以 cos∠F1PF2= PF1  2+ PF2 2- F1F2 2 2 PF1 PF2  = PF1 + PF2  2-2 PF1 PF2 - F1F2 2 2 PF1 PF2  = 4a2-2 PF1 PF2 -4c2 2 PF1 PF2  = 1 2 ， 以 PF1 PF2 = 4b 2 3 ， 以△PF1F2 积S△PF1F2= 1 2 PF1 PF2 sin60° = 12 × 4b 2 3 × 3 2 = 3b 2 3 ． 设△PF1F2 外 为R， 为 r， 由正 定 可 F1F2  sin∠F1PF2 = 2R= 2c sin60° = 4 3 3 c， 可 R= 2 3 3 c． 知△PF1F2 长 l= PF1 + PF2 + F1F2 = 2a+ 2c， 用 积法可知S△PF1F2= 1 2 lr= 3b 2 3 = (a+ c)r， 解 r= 3b 2 3(a+c) = 3 3 (a- c)． △PF1F2 外 积 积 25 ， πR2 πr2 = 25， 以 R r = 5， R r = 2 3 3 c 3 3 (a-c) = 2c a-c = 5， 以 7c= 5a，故离 e= c a = 5 7 ． 故 为： 5 7 290. (2024· 州·一模)如图，已知点A 台O1O 上 O1上 点，B,C 下 O上， AO1= 1,OO1= 2,BO= 3,BC= 2 5， 直线AO与 O1BC 角 为 ． 【 】 10 10 【解 】连 OC，过C CH 直于BO 延长线于 点H，以O为 点，建立 间直角 系如下 示： 三角 OBC中，因为OB= 3,OC= 3,BC= 2 5， 故 cosB= OB 2+BC2-OC2 2OB ⋅BC = 9+20-9 2×3×2 5 = 5 3 ， BH=BC ⋅ cosB= 2 5 × 5 3 = 10 3 ， CH= BC2-BH 2= 20- 100 9 = 4 5 3 ，OH= BH-OB= 1 3 ，故点C - 1 3 , 4 5 3 ,0 ； B 3,0,0 ,O 0,0,0 ,O1 0,0,2 ，设点A m,n,2 ,m, n∈ -1,1 ，由O1A= 1， 可 m2+n2= 1； BC  = - 10 3 , 4 5 3 ,0 ,BO1  = -3,0,2 ， 设 O1BC 法 量m  = x,y,z ， m ⋅BC  =0 m ⋅BO1  =0  ， - 103 x+ 4 5 3 y=0 -3x+2z=0  ，取 y= 5， x = 2,z= 3， 故 O1BC 法 量m  = 2, 5,3 ， OA  = m,n,2 ， 设直线AO与 O1BC 角为 θ,θ∈ 0, π2    ， sinθ= cos OA  ,m  = m OA    m OA    = 2m+ 5n+6  3 2× m2+n2+4 = 2m+ 5n+6  3 10 因为m,n∈ -1,1 ，且m2+n2= 1，故令m= cosα,n = sinα,α∈ 0,2π ， 2m+ 5n+ 6= 5sinα+ 2cosα+ 6= 3sin α+φ  + 6,tanφ= 2 5 5 ,φ∈ - π 2 , π 2  α∈ 0,2π ，故 sin α+φ ∈ -1,1 ，3sin α+φ + 6 ·131· ∈ 3,9 ，也 2m+ 5n+ 6∈ 3,9 ， 故 sinθ 大 为 9 3 10 = 3 10 10 ， θ∈ 0, π 2    ，故 cosθ 为 1-sin2θ= 10 10 . 直线AO与 O1BC 角 为 10 10 . 故 为： 10 10 . 291. (2024·高二·贵州 义· 中)已知三棱 P-ABC 四个 点 O 上，PA = PB = PC， △ABC 边 为 2正三角 ，E,F PA,AB 中点，∠CEF= 90°， O 积为 ． 【 】 6π 【解 】 △PAC中，设∠PAC= θ，PA=PB=PC= 2x，EC= y，x> 0,y> 0， 因为点E，点F PA，AB 中点， 以EF= 1 2 PB= x，AE= x， △PAC中，cosθ= 4x 2+4-4x2 2×2x×2 ， △EAC中， cosθ= x 2+4-y2 2×x×2 ， 整 x2- y2=-2， 因为△ABC 边长为 2 正三角 ， 以CF= 3， 因为∠CEF= 90°， 以 x2+ y2= 3，由 x 2-y2=-2 x2+y2=3  ， 解 x= 2 2 ， 以PA=PB=PC= 2x= 2． 因为△ABC 边长为 2 正三角 ， 以PA2+ PB2= 4=AB2， 以PA⊥PB， 以PA，PB，PC两两 直， O为以PA为棱 正方 外 ， 外 直 为 d= 3|PA|2= 6， 以 O 积为V= 4 3 πr3= 4 3 π× d 2  3 = 4 3 π× 6 2  3 = 6π, 故 为 6π. 292. (2024· 西·一模)已知A x1,y1 ,B x2,y2 为 物 线 y2= 8x上两个不 点，且满足 y1y2=-16， x1+y1+2 + x2+y2+2  为 . 【 】6 【解 】由A x1,y1  物线 y2= 8x上可知：y21= 8x1， 以 x1+ y1+ 2= y21 8 + y1+ 2= y1+4 2 8 ≥ 0； 可 ：x2+ y2+ 2= y22 8 + y2+ 2≥ 0， 故 x1+y1+2 + x2+y2+2 = y21+y22 8 + y1+ y2+ 4①， 设直线AB方 为 x=my+n，直线与 物线 立， ： x=my+n y2=8x  x整 ：y 2- 8my- 8n= 0， 由韦达定 ：y1+ y2= 8m， y1y2=-16， 故① 为：8m2+ 8m+ 8= 8 m+ 1 2  2 + 6，故： x1+y1+2 + x2+y2+2  为 6. 故 为：6 新高 数学 轴 好 ( ) 一、 293. ( 2024 · 东 韶 关 ·二 模 ) 定 义 max a,b = a, a≥b b, a<b  ,min a,b = b, a≥b a, a<b  ，对于任 实数 x > 0,y> 0， min max 2x,3y, 1 4x2 + 1 9y2    ( ) A. 3 2 B. 2 C. 3 D. 3 3 【 】A 【解 】设max 2x,3y, 1 4x2 + 1 9y2  =M， M≥ 2x,M ≥ 3y,M≥ 1 4x2 + 1 9y2 ， 3M≥ 2x+ 1 4x2 + 3y+ 1 9y2 = 2x+ 1 (2x)2 + 3y+ 1 (3y)2 ， 设 f(x) = x+ 1 x2 (x> 0)， f(x) = 1- 2 x3 = x 3-2 x3 ， 令 f(x)< 0⇒ 0< x< 3 2，f(x)> 0⇒ x> 3 2， 以函数 f(x) (0, 3 2 )上 减， ( 3 2 , +∞)上 ， 故 f(x)min= f( 3 2 ) = 3 2+ 1( 3 2)2 = 3 2 2 3 ， f(x)≥ 3 2 2 3 ， ·132·