新高考数学选填压轴题好题汇编(十一)-遇见最美的数学系列——选填压轴好题汇编

115 新高考数学选填压轴题好题汇编 (十一) 一、 633. (2024·全国·模拟 )已知函数 f x = -xex+1, x≤0 lnx- 14 , x>0  ，h x = f x   2- 2af x + 4 a∈R ，若函 数 h x  6个零点， 实数 a 取 围 ( ) A. 5 2 ,+∞  B. 52 ,4  C. 1,+∞  D. 0,+∞  634. (2024· 州·二模)已知数 an  n 为Sn，2an+ 1= 3Sn，若 tSn< 2n对任 n∈N * ， 实数 t 取 围为 ( ) A. (-4,2) B. -3,2  C. -6,2  D. -3,2  635. (2024·高三· 西 州· 段练习)设A、B 为 2 O表 上 两定点，且∠AOB= π 2 ， O表 上 点M满足MA= 3MB， 点M 轨迹 为 ( ) A. 4 6 7 π B. 2 30 5 π C. 4 15 11 π D. 2 33 11 π 636. (2024·高一·天 · 段练习) △ABC中，S△ABC= 3 6 AB  ⋅AC  = 3 2 ，sinB= cosAsinC，P为线段 AB上 点不 括端点，且CP  = x CA  CA    + y CB  CB    ， 1 x + 3 y 为 ( ) A. 2+ 4 3 3 B. 1+ 4 3 3 C. 2+ 3 3 D. 1+ 3 3 637. (2024· ·模拟 )设实数 a，b，c满足，a2+ b2≤ c≤ 1 a+ b+ c 为 ( ) A. 2 2 - 1 B. - 1 2 C. - 2 2 D. - 1 638. (2024· 州·模拟 )已知定义 间 (-m,m) (m> 0)上， 域为R 函数 f(x)满足：① 0 < x<m时，f(x)> 0；②对于定义域内任 实数 a、b 满足：f(a+ b) = f(a)+ f(b) 1- f(a)f(b) ． ( ) A. f(0) = 1 B. ∀ x1,x2, -m< x1< x2 m,f x1  f x2  C. 函数 f(x) 间 (0,m)上 减 D. 函数 f(x) 间 (-m,m)上 639. (2024· 州·模拟 )如图，ABCD 边 为 2 正方 纸片， 某 直线 l为 痕 正方 其下方 部 上翻 ， 每次翻 点B都 边AD上，记为B； 痕 l与AB交于点E，点M 满足关系 EM  = EB  + EB  ．以点B为 点建 系，若曲线 T 点M 轨迹 其关于 边AB对称 曲线组 ， A1B1C1D1 A1B1,B1C1,C1D1 与曲线T 于点P、Q、R，且 A1,D1 x轴上． A1B1C1D1 积 为 ( ) 116 A. 6 B. 2 2 C. 2 10 D. 3 11 640. (2024· 州·模拟 )设 E: x 2 a2 + y 2 b2 = 1(a> b> 0) 离 于 3 2 ， 物线 x2= 4y 点F E 一个 点，A、B 左右 点． 点P、Q为 上 于A、B两点，设直 线AP、BQ 斜 为 k1,k2，且 k2= 2k1． ( ) A. AP 斜 可能不存 ，且不为 0 B. P点纵 为 4k1 4k21+2 C. 直线AP 斜 k21≠ 18 D. 直线PQ过定点 2 3 ,0  641. (2024· ·二模)已知A x1,y1 ，B x2,y2  x2+ y2= 9上 两个 点，且 x1x2+ y1y2=- 92 ，若点 M满足AM  = 2MB  ，点P 直线 x+ 3y- 4 3= 0上， MP  为 ( ) A. 4 3 B. 3 3 C. 2 3 D. 3 642. (2024· ·二模)某 计 对如图 示 为 a 直角 域ABC 以下方 进行 建改 ， ABC内取一点P BP= 6 4 a，以BP为 PBE，且满足∠PBE= 2∠PBC= 2θ， 其中 0< θ≤ θ0< π2 ，cosθ0= 6 4 ， 图中 部 积取 时 θ 大 为 ( ) A. π 12 B. π 6 C. π 4 D. π 3 643. (2024·高三·全国·专 练习)已知函数 f x = ex，g x = lnx，正实数 a，b，c满足 f a = g a ， f b g b = g a ，g c + f g ac  = 0， ( ) A. b< a< c B. c< a< b C. a< c< b D. c< b< a 644. (2024· 信 ·一模)已知实数 a,b满足 a2+ b2- |a| -|b| = 0， |a+ b- 3| 与 大 之 117 为 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 645. (2024· 台·二模)设A，B，C，D为 物线 x2= 4y上不 四点，点A，D关于该 物线 对称 轴对称，BC 行于该 物线 点D处 线 l，设点D 直线AB 直线AC 距离 为 d1，d2， 且 d1+ d2=AD， sin∠CAB= ( ) A. 1 2 B. 3 2 C. 1 4 D. 3 4 646. (2024·高三·四川 都· 中)已知F1,F2 为 曲线 x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a> 0,b> 0) 左、右 点，过F2与 曲线 一 近线 行 直线交 曲线于点P，若 PF1 = 3 PF2 ， 曲线 离 为 ( ) A. 3 B. 5 C. 3 D. 2 647. (2024· ·模拟 )已知正数 a，b，c满足 ea= 1.13，5b2+ 10b- 3= 0，ec= 1.3， ( ) A. a< c< b B. b< a< c C. c< a< b D. c< b< a 648. (2024· 郸·二模)对任 两个 零 a b  ，定义：a⊕ b  = a ⋅b  a 2+ b   2 ，a⊙ b  = a ⋅b  b   2 ．若 a,b  满足 a > b   > 0，且 a⊕ b  a⊙ b  都 n 4 |n∈Z,0<n≤4 中， a ⊕ b  + a⊙ b  = ( ) A. 1 B. 3 2 C. 1 7 4 D. 1 5 4 649. (2024· 郸·二模)已知O为 点，F1,F2 曲线C : x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a> 0,b> 0) 左、右 点，P 曲线C上一点，若直线PF1 OP 斜角 为 α 2α，且 tanα= 34 ， 曲线C 离 为 ( ) A. 3 B. 5 C. 2 D. 7 5 650. (2024·安 ·二模)记△ABC 内角A,B,C 对边 为 a,b,c，已知 c= 2, 1 tanA + 1 tanB + 1 tanAtanB = 1． △ABC 积 大 为 ( ) A. 1+ 2 B. 1+ 3 C. 2 2 D. 2 3 651. (2024·安 ·二模)已知 曲线C : x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a> 0,b> 0) 左、右 点 为 F1,F2，点P 曲线左支上，线段PF2交 y轴于点 E，且PF2  = 3PE  ．设O为 点，点G满足：PO  = 3GO  ,GF2  ⋅ 118 PF1  = 0， 曲线C 离 为 ( ) A. 1+ 2 2 B. 1+ 2 C. 1+ 5 D. 2+ 2 652. (2024·高三· 东 泽· 段练习)已知 曲线 E：x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a> 0，b> 0) 左，右 点 为 F1， F2，过F2 一 近线 线， 足为A，延 F2A与另一 近线交于点B，若 S△BOF1= 3S△AOB(O为 点)， 曲线 离 为 ( ) A. 3 B. 2 C. 5 D. 6 653. (2024·高三· 东 泽· 段练习)已知实数 a，b 满足 ln a+1 = 0.01，eb= 1.01，且 c= 1 101 ， ( ) A. a< b< c B. b< c< a C. c< b< a D. b< a< c 654. (2024 · 东 ·二模 )已知函数 f x = 3 x-1 3x+1 ，数 an 满足 a 1 = 1，a n+3 = a n n∈N * ，f a1 + f a2+a3 = 0， 2023 i=1 ai = ( ) A. 0 B. 1 C. 675 D. 2023 655. (2024·全国·模拟 ) 比数 an 中，a2= 2,a4a6- 16a5= 0，若 bn= -2,n为 数 an,n为奇数  ，且 bn  n 为Sn， 满足S2n> 360 正整数n 为 ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、多 656. (2024· ·二模) △ABC中，角A,B,C 对 边 为 a,b,c，且 c= b 2cosA+1 ， 下 结论正 ( ) A. A= 2B B. 若 a= 3b， △ABC为直角三角 C. 若△ABC为 角三角 ， 1 tanB - 1 tanA 为 1 D. 若△ABC为 角三角 ， c a 取 围为 2 2 , 2 3 3  657. (2024· ·二模)如图，棱 为 2 正方 ABCD-A1B1C1D1中，E为棱DD1 中点，F为正方 C1CDD1内一个 点 ( 括边 )，且B1F⎳ A1BE， 下 说法正 ( ) 119    A. 点F轨迹 为 2 B. 三棱 B1-D1EF 积 为 13 C. B1F与A1B不可能 直 D. 三棱 B1-D1DF 积 大时，其外 表 积为 252 π 658. (2024·高一· · 段练习)△ABC 内角A，B、C 对边 为 a，b，c，若AB  ⋅AC  = 2,a= 2， ( ) A. bccosA= 2a B. b2+ c2= 8 C. 角A 大 为 π 3 D. △ABC 积 大 为 3 659. (2024·辽宁 ·二模) 直角 系中，定义 d A,B = x1-x2 + y1-y2 为点A x1,y1  点 B x2,y2  “ 线距离”．点O 点，点Q 直线 2x+ y- 2 5= 0上，点P x2+ y2= 1上， 点R 物线 y2=-4x上．下 结论中正 结论为 ( ) A. d O,Q  为 2 B. d O,P  大 为 2 C. d P,Q  为 5 2 D. d R,Q  为 5- 1 4 660. (2024· ·模拟 )直线 l与 物线C :x  2= 2py p>0  相交于A，B两点，过A，B两点 该 物线 线，与直线 y=-p 交于点P， 下 正 ( ) A. 直线 l过定点 0,p  B. A，B两点 纵 之 为 2p C. 存 某一 直线 l， ∠APB为直角 D. 设点Q 0,2p  直线 l上 为H， 直线FH斜 取 围 -∞,- 3 ∪  3,+∞  661. (2024· 州·模拟 )已知函数 f(x) = x+ 1，设 g1(x) = f(x)，gn(x) = f gn-1(x) n>1,n∈N * ． 且关于 x 函数 y= x2+ n i=1 gi (x) n∈N * ． ( ) A. gn(x) = x+n gn(x) =nx+ 1 120 B. y= n 2+2n 4 + x+ n 2  2 C. n≤ 2时，存 关于 x 函数 y 间 (-∞,-1]上 为 6，n= 0 D. n> 2时，存 关于 x 函数 y 间 (-∞,-1]上 为 6，n= 4 662. (2024· ·二模)已知 m+x 4= a0+ a1x+ a2x2+ a3x3+ a4x4，x-1 m+x 4= b0+ b1x+ b2x2+ b3x 3+ b4x4+ b5x5，其中m∈R，m≠ 0．若 a2= 3b2， ( ) A. m= 2 B. a0+ a1+ a2+ a3+ a4= 81 C. b1+ b2+ b3+ b4+ b5=-16 D. b1+ 2b2+ 3b3+ 4b4+ 5b5= 80 663. (2024· ·二模)一 ，如 一个四 存 一点出发 三 棱两两 直， 们 这种四 叫 直角四 ，记该点为直角四 直角 点，两两 直 三 棱叫直角四 直角棱，任 两 直角棱 定 叫直角四 直角 ， 三个直角 外 一个 叫斜 ．若一个直角四 三 直角棱 为 a，b，c，直角 点 斜 距离为 d，其内 为 r，三个直角 积 为S1，S2，S3，三个直角 与斜 角 为 α，β，γ，斜 积为S， ( ) A. 直角 点 斜 上 斜 内 B. cos2α+ cos2β+ cos2γ= 1 C. S<S1+S2+S3≤ 3S D. 1a + 1 b + 1 c + 1 d = 1 r 664. (2024· 信 ·一模)若关于 x 不 ex-2+ x≥ 2ax2- xlnx 0，+∞ 上 ， 实数 a 可以 ( ) A. 1 e B. 1 2 C. e 3 D. 2 665. (2024· 东 ·一模) 为 且母线与 都 直 柱 称为“ 柱”.如图， 柱 (OO 中 轴AB= 4，短轴 CD= 2 3，F1,F2为下 左右 点，F2为上 右 点， AA= 4，P为线段BB上 点，E 为线段AB上 点，MN 为过点F2 下 一 (不 与AB )， 下 正 ( )    A. F1F2⎳ PMN时，P为BB 中点 B. 三棱 F2-F2CD外 表 积为 8π C. 若点Q 下 上 点，Q 点Q 上 ，且QF1，QF2与下 角 121 为 α,β， tan α+β  大 为- 16 13 D. 三棱 E-PMN 积 大 为 8 666. (2024·高三· 京· 段练习)已知函数 f(x),g(x) 定义域为R，g x 为 g(x) 导函数，且 f(x) + g x = 2，f(x) - g 4-x = 2，若 g(x)为 函数， 下 结论一定 ( ) A. f(4) = 2 B. g 2 = 0 C. f(-1) = f(-3) D. f(1) + f(3) = 4 667. (2024·高三·安 · 学 试)如图 示， 一个棱 为 4 正四 P-ABC容器，D PB 中点，E CD上 点， 下 说法正 ( )    A. 直线AE与PB 角为 π 2 B. △ABE 为 4+ 34 C. 如 这个容器中放入 1个 (全部进入)， 大 为 6 3 D. 如 这个容器中放入 4个完全相 (全部进入)， 大 为 2 6-2 5 668. (2024·辽宁 ·一模)如图，点A,B,C 函数 f x = sin ωx+φ (ω> 0) 图 与直线 y= 3 2 相 三个交点，且 BC - AB = π 3 ,f - π 12 = 0， ( ) A. ω= 4 B. f 9π 8 = 1 2 C. 函数 f x  π 3 , π 2 上 减 D. 若 函数 f x  图 x轴 移 θ个 ， 一个 函数 图 ， θ  为 π 24 669. (2024· 郸·二模)已知函数 f x  定义域为R，其导函数为 f x ，若函数 f 2x-3  图 关于 122 点 2,1 对称，f 2+x - f 2-x = 4x，且 f 0 = 0， ( ) A. f x  图 关于点 1,1 对称 B. f x+4 = f x  C. f 1026 = 2 D. 50 i=1 f (i) = 2499 670. (2024· 郸·二模)设 物线E:x2= 2py(p> 0) 点为F，过点P 0,3  直线与 物线E相交 于点A,B，与 x轴相交于点C, AF = 2, BF = 10， ( ) A. E 准线方 为 y=-2 B. p 为 2 C. AB = 4 2 D. △BFC 积与△AFC 积之比为 9 671. (2024·安 ·二模)已知函数 f x = sin x+ π 6 - sinx- sin π 6 ， ( ) A. 函数 f x  π 2 ,π  上 减 B. 函数 y= f x+ 5π 12 + 1 2 为奇函数 C. x∈ - π 2 , π 2    时，函数 y= 4f x + 1 两个零点 D. 设数 an  为 π 6 ，公差为 π 6 差数 ， 2024 i=1 = f ai =- 20272 672. (2024·安 ·二模)已知 比数 an  公比为 q， n 为Sn， ( ) A. Sn+1=S1+ qSn B. 对任 n∈N *,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 比数 C. 对任 n∈N *，都存 q， Sn,2S2n,3S3n 差数 D. 若 a1< 0， 数 S2n-1  充要 件 -1< q< 0 673. (2024·安 黄 ·二模)已知数 {an}满足：an+1= a2n+ 2an+ λ(n∈N *)，其中 λ∈R，下 说法正 ( ) A. a1= 2,λ= 54 时，an≥n+ 1 B. λ∈ 1 4 ,+∞ 时，数 {an} 数 C. λ=-2时，若数 an  数 ， a1∈ -∞,-3 ∪ 1,+∞  D. a1= 3,λ= 0时， 1a1+2 + 1 a2+2 +⋯+ 1 an+2 < 1 3 三、 674. (2024· 州·二模)设A，B，C，D为 内四点，已知 |AB  | = 2，|AC  | = 1，AB  与AC  夹角为 60°，M为AB 中点，|MD  |= 1， AC  ⋅AD  大 为 ． 675. (2024·高二· 东 · 段练习)已知定义 R上 函数 f x ，其导函数为 f  x ，若 xf  x - 123 2f x > 0，f -1 = 1 2 ， 不 2f x < x2 解 . 676. (2024·高三· · 段练习)记R上 可导函数 f x  导函数为 f x ，满足 xn+1= xn- f xn  f xn  数 xn 称为“牛 数 ”．若函数 f x = x2- x，且 f  x = 2x- 1，数 xn 为牛 数 ．设 an= ln xn xn-1 ，已知 a1= 2,xn> 1， a2= ，数 an  n 为 Sn，若不 tSn- 14≤ S2n对任 n∈N * ， t 大 为 ． 677. (2024·高一·四川 · 段练习)若函数 f x = sinωx+ cosωx(ω> 0) 图 0, π 3 内 且仅 两 对称轴，一个对称中 ， 实数ω 取 围 . 678. (2024· ·模拟 ) 方 ABCD-A1B1C1D1中，AB= 4，BC=BB1= 2，E，F 棱 AB，A1D1 中点， CEF 该 方 为 边 ， 积为 . 679. (2024· 州·模拟 )已知“a> 0,b> 0”与“a+ b= 1”互为充要 件，“ 1 a + 4a b ”“ 1 a + 1 b + 8 a2+b2 ” 之 为 ． 680. (2024· ·模拟 )已知 事件A，B，P(A) = 1 3 ，P(B) = 1 4 ，P(A ∣ B) = 3 4 ， P(B  ∣A) = . 681. (2024· ·二模)已知 差数 an  n 积为Tn，a1+ a9= 43 ，a1> 0，a10> 29 21 ， Tn取 时，n= ． 682. (2024· ·二模) 读下 两 料： 料 1． 曲线 轴与 点 定义：对 内一 曲线C，若存 直线 l， 对于曲线C上任 一点A，要么点A 直线 l上，要么曲线C上存 与点A相 一点B， 点A与点B关于直线 l对 称， 称曲线C关于直线 l对称，直线 l称为曲线C 轴，曲线C与其轴 交点称为曲线C 点． 料 2．某课外学习兴趣 组 过对 比 函数 y= k x k≠0  图 发 ： 比 函数 y= k x k≠0  图 曲线，其两 近线为 x轴 y轴，两 近线 夹角为 π 2 ． ①若 曲线绕其中 旋转可 其 近线变为直线 y=±x， 此可 其离 为 2． ②若 k> 0， y= k x 与 y= x 可 曲线 点 为 k, k ，- k,- k ． 完 下 ： 已知函数 y= 3 3 x+ 2 x  图 曲线C，直线 y= 3 3 x y轴 曲线C 两 近线， 曲线C 于 一 点 为 ． 124 683. (2024· 台·二模)如图，四边 ABCD EFGH 两个相 矩 ， 积 为 300，图中 部 也 四个相 矩 ， 部 MN，NP，PQ，QM 起， 一个无盖 方 ， 该 方 积 大 为 ． 684. (2024·宁夏·一模) △ABC中，BC= 3AC，∠BAC= π 3 ，点D与点B 直线AC 两 ，且 AD= 1，DC= 3， BD 大 ． 685. (2024· ·二模)已知 差数 an (公差不为 0) 差数 bn  n 为 Sn,Tn，如 关于 x 实系数方 1003x2- S1003x + T1003= 0 实数解， 以下 1003个方 x2- a ix + b i= 0 i=1,2,⋯,1003 中， 实数解 方 至 个. 686. (2024· 郸·二模)正五角 一个 几 图 ，其与黄金 密 系， 如图 示 五角 中，以 A,B,C ,D,E为 点 多边 为正边边 ，设 ∠CAD = α， cosα + cos2α + cos3α+ cos4α= ，cosαcos2αcos3αcos4α= ．    687. (2024· 郸·二模) 方 ABCD- A1B1C1D1中，AB= 5,AD= 3,AA1= 4， α⎳ A1ABB1， α 四 ACD1B1 积 大 为 ． 688. (2024·安 ·二模)已知实数 x,y,z，满足 y + z - 2 = 0， x2+y2+z2 + (x-2)2+y2+z2 + (x-1)2+y2+(z-2)2+ (x-1)2+(y-2)2+z2 为 ． 689. (2024·安 ·二模) 物线C :y2= 4x 点为F，准线为 l,A为C上一点，以点F为 ，以 AF  为 与 l交于点B,D，与 x轴交于点M ,N，若AB  =FM  ， AM   = ． 690. (2024·高三· 东 泽· 段练习)如图， O内 于 柱O1O2， 柱 高为 2，EF为 O1 一 直 ，D为 O2上任 一点， DEF O 积 为 ；若M为 柱 交线上 一点， △MEF 取 围为 ． 125    691. (2024·高三· · 段练习)已知定义 R上 函数 y= f x  函数， x≥ 0时，f x = 2sin πx2 , 0≤x≤1 1 2  x+ 32 , x>1  ，若关于 x 方 f x   2+ 2af x + b= 0 a,b∈R  且仅 6个不 实数 ， 实数 a 取 围 . 2+ -(a+2)(3a-2) a ， x2重 ，若 x2= 114a， 11 4a = 2+ -(a+2)(3a-2) a (a> 0)， 解 a= 229-8 12 ∈ 4 7 , 2 3 ，满足 ； 若 x2= 74a， 7 4a = 2+ -(a+2)(3a-2) a ， - 1 4 = -(a+2)(3a-2)，无解； 若 x2= 34a， 3 4a = 2+ -(a+2)(3a-2) a ， - 5 4 = -(a+2)(3a-2)，无解； x1重 ，若 x1= 34a， 3 4a = 2- -(a+2)(3a-2) a ，解 a= ± 181-8 12 < 4 7 ( )； 若 x1= 74a， 7 4a = 2- -(a+2)(3a-2) a ，解 a= 253-8 12 > 4 7 ， ； 若 x1= 114a， 11 4a = 2- -(a+2)(3a-2) a ， - 3 4 = -(a+2)(3a-2)，无解， ； (iv) 0< a< 4 7 ，g 2 = g 5 < 0，此时 g x = 0 1 个解， 设为m， m∈ 1,2 ，t= aπx- 3π 4 ∈ - 3π 4 ,5aπ- 3π 4    ，故 2π≤ 5aπ- 3π 4 < 3π，解 11 20 ≤ a< 3 4 ， 0< a< 4 7 ，综 11 20 ≤ a< 4 7 ， (iii) ，3 4a ∈ 21 16 , 15 11 ⊆ 1,2 ， 7 4a ∈ 7 2 , 35 11 ⊆ 2,5 ， 此时 h x = 0 三个解，且与 g x = 0 解不重 ， ， 综上 述： 11 20 ≤ a< 4 7 19 20 ≤ a< 23 20 a= 2 3 故 为： 11 20 , 4 7   ∪ 34 , 19 20   ∪ 23 ∪ 253-8 12   ∪ 229-8 12   632. ( 2024 · 绍 兴 ·二 模 ) 已 知 函 数 f x = sinωx ω>0 ，若 ∃ x 1 ,x 2 ∈ π3 ,π    ，f x1 =-1， f x2 = 1， 实数ω 取 围 . 【 】{ω|ω= 3 2 ω≥ 5 2 } 【解 】设 θ=ωx，x∈ π 3 ,π  ， θ∈ π 3 ω,πω  ， 以问 转 为 y= sinθ θ∈ π 3 ω,πω  上存 大 ， 由正 函数图 可 ， π 3ω≤kπ+ π 2 kπ+ π2 +π≤πω  ，解 k+ 3 2 ≤ω≤ 3k+ 3 2 ， 以 k≥ 0,k∈ Z， k= 0时，3 2 ≤ω≤ 3 2 ，∴ω= 3 2 ； k= 1时，5 2 ≤ k≤ 9 2 ， k= 2时，7 2 ≤ω≤ 15 2 ， k= 3时，9 2 ≤ω≤ 21 2 ， k=n，n∈N *时，n+ 3 2 ≤ω≤ 3n+ 3 2 ， k=n+ 1时，n+ 5 2 ≤ω≤ 3n+ 9 2 ， n+ 5 2 - 3n+ 3 2 =-2n+ 1< 0， n+ 5 2 < 3n + 3 2 ， 以 k∈N *时， ω 围 为 ω ω≥ 5 2 ； 综上，实数ω 取 围 {x|ω= 3 2 ω≥ 5 2 }. 故 为：{ω|ω= 3 2 ω≥ 5 2 }. 新高 数学 轴 好 ( 一) 一、 633. ( 2024 ·全 国 ·模 拟 ) 已 知 函 数 f x = -xex+1, x≤0 lnx- 14 , x>0  ，h x = f x   2 - 2 af x + 4 a∈R ，若函数 h x  6个零点， 实数 a 取 围 ( ) A. 5 2 ,+∞  B. 52 ,4  C. 1,+∞  D. 0,+∞  【 】A 【解 】 x≤ 0时，f x =-xex+1，f x =- x+1 ⋅ ex+1， 令 f x = 0， x=-1， x<-1时，f x > 0，f x  ·273· ， -1< x≤ 0时，f x < 0，f x  减， f -1 = 1，f 0 = 0， x趋近于-∞时，f x 趋近 于 0， 结 对数函数 图 及绝对 义可 出函数 f x  图 如图 示． 令 f x = t， h x = t2- 2at+ 4，数 结 可知要 h x  6个零点， g t = t2- 2at+ 4= 0 两个不相 实数 t1、 t2，不妨令 t1> t2， 如下两种 ： 若 t2= 0< t1< 1， g(0) = 4≠ 0，故 此种 ， 若 t1> 1> t2> 0，对于二次函数 g t  口 上， g 0 = 4> 0， g 1 = 12- 2a× 1+ 4< 0， a> 5 2 ， 综上，实数 a 取 围 5 2 ,+∞ ． 故 ：A 634. (2024· 州·二模)已知数 an  n 为Sn，2an+ 1= 3Sn，若 tSn< 2n对任 n∈N * ， 实数 t 取 围为 ( ) A. (-4,2) B. -3,2  C. -6,2  D. -3,2  【 】B 【解 】由 2an+ 1= 3Sn， an= 3Sn-1 2 ， n≥ 2时，an=Sn-Sn-1， 3Sn-1 2 =Sn-Sn-1， 整 Sn=-2Sn-1+ 1， Sn- 13 =-2 Sn-1- 1 3 ， 3S1= 2a1+ 1= 2S1+ 1，解 S1= 1， 于 S1- 13 = 2 3 ≠ 0，数 Sn- 13   为 2 3 ， 比为-2 比数 ， 因此Sn- 13 = 2 3 ⋅ (-2)n-1， Sn= 1-(-2)n 3 ， 由 tSn< 2n， 1-(-2)n 3 ⋅ t< 2n， n为奇数时，1+2 n 3 ⋅ t< 2n， t< 3×2 n 1+2n = 3- 3 1+2n ， 然 3- 3 1+2n  为 数 ， n= 1时，3- 3 1+2n min= 2，于 t< 2， n为 数时，1-2 n 3 ⋅ t< 2n， t> 3×2 n 1-2n =-3+ 3 1-2n ， 然 -3+ 3 1-2n <-3，于 t≥-3， 以实数 t 取 围为 -3,2 . 故 ：B 635. (2024·高三· 西 州· 段练习)设 A、B 为 2 O表 上 两定点，且∠AOB= π 2 ， O表 上 点M满足MA= 3MB， 点M 轨迹 为 ( ) A. 4 6 7 π B. 2 30 5 π C. 4 15 11 π D. 2 33 11 π 【 】B 【解 】以AOB 建立 直角 系，AB 为 x轴，AB 直 线为 y轴， 知A -1,0 ,B 1,0 ,O 0,1 ， 设M x,y ，由MA= 3MB，可 x+1 2+ y2= 3 x-1 2+ 3y2⇒ x-2 2+ y2= 3， 故M 轨迹 以C 2,0 为 ， 3为 ， 转 间M 轨迹为以C为 ， 3为 ， 时M O上， 故M 两 交线上，轨迹为 . OM= 2，MC= 3， OC= 5， △OCM 为直角三角 ， 对 为= 2× 3 5 = 30 5 ， M 轨迹长 对 长为 2 30 5 π. 故 ：B． 636. (2024·高一·天 · 段练习) △ABC中，S△ABC= 3 6 AB  ⋅ AC  = 3 2 ，sinB= cosAsinC，P为线段 AB 上 点不 括端点，且 CP  = x CA  CA    + ·274· y CB  CB    ， 1 x + 3 y 为 ( ) A. 2+ 4 3 3 B. 1+ 4 3 3 C. 2+ 3 3 D. 1+ 3 3 【 】A 【解 】因为 sinB= cosAsinC，由正 定 可 ：b= ccosA， 由 定 可 ：b= c ⋅ b 2+c2-a2 2bc ， 以 a2+ b2= c2，三角 为直角三角 ，角C为直角， 因为S△ABC= 3 6 AB  ⋅AC  = 3 2 ， 由三角 积 1 2 bcsinA= 3 6 bccosA= 3 2 ， 以 tanA= 3 3 ， 0<A< π， A= π 6 ， 由 定 可 3 6 bc ⋅ b 2+c2-a2 2bc = 3 2 ， ： b2+ c2- a2= 6， 以 2b2= 6，b= 3， 因为A= π 6 ， 以可 a= 1，c= 2， 因为CP  = x CA  CA    + y CB  CB    = x 3 CA  + yCB  ， A，B，P三点 线， 以 x 3 + y= 1，且 x> 0，y> 0， 以 1 x + 3 y = 1 x + 3 y  x 3 +y = 3+ 13 + x y + y x ≥ 2+ 4 3 3 ， 且仅 x= y时取 号. 故 ：A. 637. (2024· ·模拟 )设实数 a，b，c满足，a2 + b2≤ c≤ 1 a+ b+ c 为 ( ) A. 2 2 - 1 B. - 1 2 C. - 2 2 D. - 1 【 】B 【解 】由 a2+ b2≤ c≤ 1可 ： a+ b+ c≥ a+ b+ a2+ b2= a+ 1 2  2 + b+ 1 2  2 - 1 2 ≥- 1 2 ， a= b=- 1 2 时取 号， 以 a+ b+ c 为- 1 2 . 故 ：B 638. (2024· 州·模拟 )已知定义 间 (-m, m) (m> 0)上， 域为R 函数 f(x)满足：① 0 < x<m时，f(x) > 0；②对于定义域内任 实数 a、b 满足：f(a+ b) = f(a)+ f(b) 1- f(a)f(b) ． ( ) A. f(0) = 1 B. ∀ x1,x2, -m< x1< x2 m,f x1  f x2  C. 函数 f(x) 间 (0,m)上 减 D. 函数 f(x) 间 (-m,m)上 【 】D 【解 】对A，令 a= b= 0， f(0) = 2f(0) 1- f2(0) ， f(0) - f3(0) = 2f(0)， f(0) f2(0)+1 = 0， 故 f(0) = 0， 以A不正 ； 对B，取 a= x,b=-x代 ：f(0) = f(a)+ f(b) 1- f(a)f(b) = f(x)+ f(-x) 1- f(x)f(-x) ， f(x) =-f(-x)， f(x) (-m,m)上为奇函数， 设∀ x1,x2,0< x1< x2<m， 以 f(x2- x1)> 0，且 f(x2)> 0,f(x1)> 0， 故：f(x2) - f(x1) = f(x2) + f(-x1) = f x2+(-x1)  1- f(x2)f(x1)  = f(x2- x1) 1+ f(x2)f(x1) > 0 ：f(x2)> f(x1)，故B错误； 对C，由B知函数 0,m 上 ，故C错误； 对D，由C结 函数为奇函数且 f(0) = 0， 以 f(x) (-m,m)上 ，故D正 . 故 ：D. 639. (2024· 州·模拟 )如图，ABCD 边 为 2 正方 纸片， 某 直线 l为 痕 正方 其下方 部 上翻 ， 每次翻 点B都 边AD上，记为 B； 痕 l与AB交于点 E，点 M满足关系 EM  = EB  + EB  ．以点B为 点建 系，若曲线T 点M 轨迹 其关于 边 AB对称 曲线组 ， A1B1C1D1 A1B1,B1C1,C1D1 与曲线T 于点P、Q、R，且 A1,D1 x轴上． A1B1C1D1 积 为 ( ) ·275· A. 6 B. 2 2 C. 2 10 D. 3 11 【 】B 【解 】建立如图 示 系，设M x,y ,B x0,2 , E 0,b ， 然直线 l 斜 存 ，故不妨设直线 l 方 为 y= kx+ b， 由 B与B 于直线 l对称 ， 以 kBB= 2 x0 = - 1 k ⇒ k=- x0 2 ， BB 中点 x0 2 ,1  直线 l上，故 b= 1+ x 2 0 4 ，① 由于EM  =EB  +EB  ， x,y-b = 0,-b + x0,2-b ⇒ x=x0 y=2-b  ， x=x0 y=2-b  代 ① y=- x2 4 + 1， 由每次翻 点B都 边AD上， 以 0≤ x0≤ 2， 0≤ x≤ 2， 以点M 轨迹方 y=- x 2 4 + 1，(0≤ x≤ 2)， 以曲线T 方 为 y=- x 2 4 + 1，-2≤x≤2 ， 设 A1B1C1D1 积为S， 点P 为 t,- t 2 4 +1 0<t≤2 ， 物线 对称 ，点Q 为 0,1 ，直线B1C1 方 为 y= 1． 对于 y=- x 2 4 + 1， y=- x 2 ， 以 y x=t=- t 2 ， 以直线A1B1 方 为 y- - t 2 4 +1 =- t2 x-t ， ：y=- t 2 x+ 1 4 t2+ 1，令 y= 0， x= t 2+4 2t ， 以 A1 t2+4 2t ,0 ， 令 y= 1， x= t 2 ， 以B1 t 2 ,1 ， 以S= 1 2 t 2 + t 2+4 2t × 2= t+ 2 t ≥ 2 2， 且仅 t= 2 t ， t= 2时，取 号且 2 ∈ 0,2 ， 以 t= 2时， A1B1C1D1 积 为 2 2， 故 ：B 640. (2024· 州·模拟 )设 E: x 2 a2 + y 2 b2 = 1 (a> b> 0) 离 于 3 2 ， 物线 x2= 4y 点 F E 一个 点，A、B 左 右 点． 点P、Q为 上 于A、B两点，设直 线 AP、BQ 斜 为 k1,k2，且 k2= 2k1． ( ) A. AP 斜 可能不存 ，且不为 0 B. P点纵 为 4k1 4k21+2 C. 直线AP 斜 k21≠ 18 D. 直线PQ过定点 2 3 ,0  【 】D 【解 】A ，由 F 0,1 ，故 b= 1， 因为 c a = 3 2 ，且 a2- c2= 1，解 a= 2,c= 3， 故 方 为 x2 4 + y2= 1，故A -2,0 ,B 2,0 ， 若AP 斜 不存 ， A,P重 ， 因为 点P、Q为 上 于A、B两点，故A错误； B ，因为 点P、Q为 上 于A、B两点， 以直线AP 斜 存 且不为 0，设直线AP:y= k1x+ 2k1， 立 x2 4 + y2= 1 ，1+4k21 x2+ 16k21x+ 16k21- 4= 0， -2+ xP=- 16k21 1+4k21 ，故 xP=- 16k21 1+4k21 + 2= -8k21+2 1+4k21 ， 故 yP= k1xP+ 2k1= 4k1 1+4k21 ，B错误； C ，直线BQ:y= k2x- 2k2， 立 x2 4 + y2= 1 ，1+4k22 x2- 16k22x+ 16k22- 4= 0， 2+ xQ= 16k22 1+4k22 ，故 xQ= 16k22 1+4k22 - 2= 8k 2 2-2 1+4k22 ， ·276· yQ= k2xQ- 2k2= 8k32-2k2 1+4k22 - 2k2= -4k2 1+4k22 ， 因为 k2= 2k1， 以 xQ= 32k21-2 1+16k21 ，yQ= -8k1 1+16k21 ， 若 k21= 18 ， xP= -1+2 1+ 12 = 2 3 ，yP= 4k1 1+4k21 = 8k1 3 ， xQ= 4-2 1+2 = 2 3 ，yQ= -8k1 1+2 = -8k1 3 ，此时P,Q不与 A,B重 ，两 也不重 ，满足要 ，C错误； D ，若 k21= 18 ，此时 xP= xQ= 2 3 ，故直线PQ与 x 轴 直，且过点 2 3 ,0 ； 若 k21≠ 18 ， 由于P -8k21+2 1+4k21 , 4k1 1+4k21 ，Q 32k21-2 1+16k21 , -8k1 1+16k21 ， 故 kPQ= -8k1 1+16k21 - 4k1 1+4k21 32k21-2 1+16k21 - -8k 2 1+2 1+4k21 = -8k1 1+4k21 -4k1 1+16k21  32k21-2  1+4k21 - -8k21+2  1+16k21  = -12k1-96k 3 1 256k41-4 = -3k1 1+8k21  8k21+1 8k21-1  = -3k1 8k21-1 ， 故直线PQ方 为 y- -8k1 1+16k21 = -3k1 8k21-1 x- 32k 2 1-2 1+16k21 ， 令 y= 0 x= 64k 2 1-8 -3 1+16k21  + 32k 2 1-2 1+16k21 = 64k21-8-3 32k21-2  -3 1+16k21  = -2 1+16k21  -3 1+16k21  = 2 3 . 故直线PQ过定点 2 3 ,0 ， 综上，直线PQ过定点 2 3 ,0 ，D正 . 故 ：D 641. (2024· ·二模)已知A x1,y1 ，B x2,y2  x2 + y2= 9上 两个 点，且 x1x2+ y1y2=- 92 ，若点 M满足AM  = 2MB  ，点P 直线 x+ 3y- 4 3 = 0上， MP  为 ( ) A. 4 3 B. 3 3 C. 2 3 D. 3 【 】D 【解 】如图，连 OM、OA、OB， 由A x1,y1 ，B x2,y2  x2+ y2= 9上 两个 点， 且 x1x2+ y1y2=- 92 ， OA  ⋅OB  = x1x2+ y1y2=- 92 ， AM  = 2MB  ， OM  -OA  = 2 OB  -OM   ，可 OM  = 1 3 OA  + 2 3 OB  ， 以 OM   = 13 OA  + 2 3 OB    2 = 1 9 OA  2+ 4 9 OA  ⋅OB  + 4 9 OB 2= 1-2+4= 3， 点M 轨迹方 为 x2+ y2= 3， 且 O 直线 x+ 3y- 4 3= 0 距离为 d= -4 3  1+3 = 2 3， 以 MP  为 2 3- 3= 3 . 故 ：D 642. (2024· ·二模)某 计 对如图 示 为 a 直角 域ABC 以下方 进行 建改 ， ABC内取一点P BP= 6 4 a，以BP为 PBE，且满足∠PBE= 2∠PBC= 2θ， 其中 0< θ≤ θ0< π2 ，cosθ0= 6 4 ， 图中 部 积取 时 θ 大 为 ( ) ·277· A. π 12 B. π 6 C. π 4 D. π 3 【 】A 【解 】由 知∠PBC=∠EBC= θ， 图中 部 积 S= π 4 a2+ 1 2 a ⋅ 6 4 asinθ- 1 2 a ⋅ 6 4 asin π 2 -θ - 1 2 ⋅ 2θ ⋅ 6 4 a  2 = π 4 a2+ 6 8 a2 sinθ-cosθ- 6 2 θ ， 因为 0< θ0< π2 ，cosθ0= 6 4 ， 以 π 4 < θ0< π3 ， 以 0< θ≤ θ0< π3 ， 令 f θ = sinθ- cosθ- 6 2 θ,θ∈ 0,θ0 ， f θ = cosθ+ sinθ- 6 2 = 2sin θ+ π 4 - 6 2 ， 由 θ∈ 0,θ0 ， θ+ π4 ∈ π 4 ,θ0+ π4 ， 因为 π 4 < θ0< π3 ， 以 θ0+ π 4 ∈ π 2 , 7π 12 ， 令 f θ = 0， sin θ+ π 4 = 3 2 ， 以 θ+ π 4 = π 3 ， 以 θ= π 12 ， 0< θ< π 12 时，f θ < 0， π 12 < θ< θ0时，f θ  > 0， 以函数 f θ  0, π 12 上 减， π 12 ,θ0 上 ， 以 θ= π 12 时，f θ  ， 图中 部 积 取 . 故 ：A. 643. (2024·高三·全国·专 练习)已知函数 f x = ex， g x = lnx，正实数 a，b，c 满足 f a = g  a ， f b g b = g a ，g c + f g ac  = 0， ( ) A. b< a< c B. c< a< b C. a< c< b D. c< b< a 【 】B 【解 】由 ，g x = 1 x ， 由 f a = g a ， ea= 1 a ， 1 a > 1， 以 0< a< 1． 由 f b g b = g a ， eblnb= lna， 因为 lna< 0，eb> 0， 以 lnb< 0， eb> 1， 以 lna= eblnb< lnb， 以 0< a< b< 1． 由 g c + f g ac  = 0， lnc+ elna c = 0， lnc+ ac= 0． 知 ac> 0， 以 lnc< 0， 以 0< c< 1，故 a< ac． ea= 1 a ， 以 a=-lna， 以-lnc= ac> a=-lna， 以 lnc< lna， 以 c< a， 以 c< a< b． 故 ：B． 644. (2024· 信 ·一模)已知实数 a,b满足 a2+ b2- |a| -|b| = 0， |a+ b- 3| 与 大 之 为 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【 】C 【解 】由 知点 (a,b) 曲线C:x2+ y2- |x| -|y| = 0上，曲线C 于 点以及 轴 对称； 由于 x≥ 0,y≥ 0时，曲线 方 为 x2+ y2- x- y= 0， x- 1 2  2 + y- 1 2  2 = 1 2 ， 故结 曲线对称 ， 出曲线C如图： d= |a+b-3| 2 表示曲线C上 点 (a,b) 直线 l:x + y- 3= 0 距离， 可知 d= |a+b-3| 2 取 大 时，(a,b) 于 曲线 一、三 上， x≥ 0,y≥ 0时，曲线 方 为 x2+ y2- x- y= 0， x- 1 2  2 + y- 1 2  2 = 1 2 ， 此时 d 为 1 2 + 1 2 -3  2 - 2 2 = 2 2 ， x< 0,y< 0时，曲线 方 为 x2+ y2+ x+ y= 0， x+ 1 2  2 + y+ 1 2  2 = 1 2 ， 此时 d 大 为 - 12 - 1 2 -3  2 + 2 2 = 5 2 2 ， 故 d= |a+b-3| 2 与 大 之 为 2 2 + 5 2 2 = 3 2， 以 |a+ b- 3| 与 大 之 为 3 2 × 2 = 6， 故 ：C． ·278· 645. (2024· 台·二模)设A，B，C，D为 物线 x2 = 4y上不 四点，点A，D关于该 物线 对称 轴对称，BC 行于该 物线 点D处 线 l，设 点D 直线 AB 直线 AC 距离 为 d1，d2， 且 d1+ d2=AD， sin∠CAB= ( ) A. 1 2 B. 3 2 C. 1 4 D. 3 4 【 】B 【解 】如图，过D DE⊥AC,DF⊥AB，设 A x0, x20 4 ,B x1, x21 4 ,C x2, x22 4 ， D -x0, x20 4 ， 以 kBC= x22 4 - x21 4 x2-x1 = 1 4 (x2+ x1)，设 物线 点D处 线 l 方 为 y- x 2 0 4 = k(x+ x0)， 由 y- x 2 0 4 =k(x+x0) y= 14 x 2  ， y 1 4 x2- kx- kx0- x20 4 = 0，由Δ= k2+ kx0+ x20 4 = 0， k=- 1 2 x0， 以由 x1+x2 4 =- 1 2 x0， x2= -2x0- x1， 以 kAC= x22 4 - x20 4 x2-x0 = x2+x0 4 =- x0+x1 4 ， kAB= x0+x1 4 ， 以 kAC=-kAB， AD为∠CAB 角 线， d1+ d2=AD， 以 d1= d2= 12 AD ， △AED,△AFD 为直角三角 ， 以∠EAD= ∠FAD= π 6 ， ∠CAB= π 3 ， 以 sin∠CAB= sin π 3 = 3 2 ， 故 ：B. 646. (2024·高三·四川 都· 中)已知F1,F2 为 曲 线 x2 a2 - y 2 b2 = 1(a> 0,b> 0) 左、右 点，过 F2与 曲线 一 近线 行 直线交 曲线于点 P， 若 PF1 = 3 PF2 ， 曲线 离 为 ( ) A. 3 B. 5 C. 3 D. 2 【 】C 【解 】设过F2与双曲线 一 近线 y= ba x 行 直线交双曲线于点P， 由双曲线 定义可 |PF1| -|PF2| = 2a， 由 |PF1| = 3|PF2|，可 |PF1| = 3a，|PF2| = a，|F1F2| = 2c， 由 tan∠F1F2P= ba 可 cos∠F1F2P= 1 1+ b 2 a2 = a c ， 三角 PF1F2中，由 定 可 ： |PF1|2= |PF2|2+ |F1F2|2- 2|PF2| ⋅ |F1F2|cos∠F1F2P， 9a2= a2+ 4c2- 2a× 2c× a c ， 可 c2= 3a2， 以双曲线 离 e= c a = 3． 故 ：C． 647. (2024· ·模拟 )已知正数 a，b，c满足 ea= 1.13，5b2+ 10b- 3= 0，ec= 1.3， ( ) A. a< c< b B. b< a< c C. c< a< b D. c< b< a 【 】D 【解 】由 5b2+ 10b- 3= 0解 b=-1+ 2 2 5 ， 函数 f(x) = x- 1 2 x2- ln(x+ 1)，(x>-1)， 然 f(x) = -x 2 x+1 < 0， 故 f(x) 减函数，结 f(0) = 0，故 x> 0时，f(x)< 0， 故 ln(x+ 1)> x- 1 2 x2，(x> 0)， 令 g(x) = x- 1 2 x2+ 1 3 x3- ln(x+ 1)，(x>-1)，g (x) = x 3 1+x， x> 0时，g (x)> 0， 故 g(x) (0, +∞) ，结 g(0) = 0， 故 ln(x+ 1)< x- 1 2 x2+ 1 3 x3，(x> 0)， c= ln1.3= ln(1+ 0.3)< 0.3- 1 2 × 0.09+ 1 3 × 0.027= 0.264， a= 3ln1.1> 3× 0.1- 1 2 ×0.01 = 0.285， 以 (a+ 1)2>(1+ 0.285)2= 1.651225，(b+ 1)2= 8 5 = 1.6，(c+ 1)2= (1+ 0.264)2= 1.597696， 故 (a+ 1)2>(b+ 1)2>(c+ 1)2， 由 a，b，c都 正数，故 a> b> c． 故 ：D． ·279· 648. (2024· 郸·二模)对任 两个 零 a b  ，定义：a⊕ b  = a ⋅b  a 2+ b   2 ，a⊙ b  = a ⋅b  b   2 ．若 a,b  满足 a > b   > 0，且 a⊕ b  a⊙ b  都 n 4 |n∈Z,0<n≤4 中， a  ⊕ b  + a ⊙ b  = ( ) A. 1 B. 3 2 C. 1 7 4 D. 1 5 4 【 】D 【解 】因为 n 4 |n∈Z,0<n≤4 = 1 4 , 1 2 , 3 4 ,1 ， 设 量 a b  夹角为 θ，因为 a > b   > 0， 以 a 2 + b   2> 2 a  b   ， a⊕ b  = a ⋅b  a 2+ b   2 = a  b   cosθ a 2+ b   2 < a  b   cosθ 2 a ⋅ b    = cosθ 2 ， θ∈ 0,π ， 以 cosθ 2 ≤ 1 2 ， a⊕ b  n 4 |n∈Z,0<n≤4 中， 以 cosθ 2 > 1 4 ， cosθ> 1 2 ， a⊕ b  = 1 4 ， 因为 a⊙ b  = a ⋅b  b   2 = a ⋅ b   cosθ b   2 = a  b    cosθ> cosθ > 1 2 ， 以 a⊙ b  = 3 4 1， 以 a⊕ b  + a⊙ b  = 1 5 4 ， 故 ：D. 649. (2024· 郸·二模)已知O为 点，F1,F2 曲线C : x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a> 0,b> 0) 左、右 点，P 曲线C上一点，若直线PF1 OP 斜角 为 α 2α，且 tanα= 3 4 ， 曲线C 离 为 ( ) A. 3 B. 5 C. 2 D. 7 5 【 】B 【解 】由 tan2a= 2tanα 1-tan2α = 2× 34 1- 34  2 = 24 7 ， 以直线PF1 斜 为 tanα= 34 ，直线OP 斜 为 24 7 ， 设P(x,y)， y x+c = 3 4 , y x = 24 7 ，解 x= 7c 25 ,y = 24c 25 ， 代 双曲线方 ， 7c 25  2 a2 - 24c 25  2 b2 = 1， b2= c2- a2， 以 c2-a2  7c25  2 - a2 24c 25  2 = a2 c2-a2 ， 可 ： 7 25  2 c4- 2a2c2+ a4= 0，e= c a ， 以 7 25  2 e4- 2e2+ 1= 0，解 e= 5 e= 5 7 (e> 1, ). 故 ：B 650. (2024·安 ·二模)记△ABC 内角A,B,C 对边 为 a,b,c，已知 c = 2, 1 tanA + 1 tanB + 1 tanAtanB = 1． △ABC 积 大 为 ( ) A. 1+ 2 B. 1+ 3 C. 2 2 D. 2 3 【 】A 【解 】因为 1 tanA + 1 tanB + 1 tanAtanB = 1，可 tanA+ tanB+ 1= tanAtanB， sinA cosA + sinB cosB + 1= sinAsinB cosAcosB ， 整 可 sinAcosB+ cosAsinB+ cosAcosB= sinAsinB， sin(A+B) =-cos(A+B)， 三角 中 sin(A+B) = sinC，cos(A+B) = -cosC， sinC= cosC，C∈ 0,π ,可 C= π 4 ； 由 定 可 c2= b2+ a2- 2abcos π 4 ≥ 2ab- 2ab， 且仅 a= b时取 号， c= 2， 以 ab≤ 4 2- 2 = 2(2+ 2 )， 以S△ABC= 1 2 absinC≤ 1 2 × 2(2+ 2 ) × 2 2 = 1+ 2． 该三角 积 大 为 1+ 2． 故 ：A． 651. (2024·安 ·二模)已知 曲线C : x 2 a2 - y 2 b2 = 1 ·280· (a> 0,b> 0) 左、右 点 为 F1,F2，点 P 曲线左支上，线段 PF2 交 y 轴于点 E，且 PF2  = 3PE  ．设 O为 点，点 G满足：PO  = 3GO  , GF2  ⋅PF1  = 0， 曲线C 离 为 ( ) A. 1+ 2 2 B. 1+ 2 C. 1+ 5 D. 2+ 2 【 】D 【解 】如图，设P(x0,y0) (x0< 0)，F1(-c,0),F2(c,0)， 直线PF2 方 为 y= y0 x0-c (x- c)， 令 x= 0， y= -cy0 x0-c ， 以E 0, -cy0 x0-c ， PF2  = (c- x0, -y0),PE  = -x0, -cy0 x0-c -y0 ，因为PF2  = 3PE  ， 以 c- x0=-3x0， x0=- c2 ，故P - c 2 ,y0 ， PO  = 3GO  ， 以G - c 6 , y0 3 ， GF2  = 7c 6 ,- y0 3 ,PF1  = - c 2 ,-y0 ， GF2  ⋅PF1  = 0， 以- 7c 2 12 + y 2 0 3 = 0， y20= 7c 2 4 ①， 因为P - c 2 ,y0  双曲线上， 以 c2 4 a2 - y 2 0 b2 = 1②， b2= c2- a2③， 由①②③ c4- 12a2c2+ 4a4= 0， 以 e4- 12e2+ 4 = 0， 解 e2= 6+ 4 2 e2= 6- 4 2， e> 1， 以 e2= 6+ 4 2= (2+ 2 )2， e= 2+ 2， 故 ：D. 652. (2024·高三· 东 泽· 段练习)已知 曲线 E： x2 a2 - y 2 b2 = 1(a> 0，b> 0) 左，右 点 为 F1， F2，过 F2 一 近线 线， 足为A，延 F2A 与另一 近线交于点B，若 S△BOF1= 3S△AOB(O为 点)， 曲线 离 为 ( ) A. 3 B. 2 C. 5 D. 6 【 】D 【解 】由 知，双曲线E 两 近线方 为 y= b a x，y=- b a x， 过点F2且与 近线 y= ba x 直 直线方 为 y= - a b x-c ， 立 y= bax y=- ab x-c   ，可解 A a2 c , ab c ， 点F1 -c,0  近线 y=- ba x 距离 d= bc a 1+ - ba  2 = b， 因为S△BOF1= 3S△AOB， 以点A 近线 y=- b a x 距离为 b 3 ， 以 b a · a2 c + ab c 1+ - ba  2 = b 3 ， c2= 6a2， 以 c a = 6， 双曲线 离 为 6 . 故 ：D 653. (2024·高三· 东 泽· 段练习)已知实数 a，b 满足 ln a+1 = 0.01，eb= 1.01，且 c= 1 101 ， ( ) A. a< b< c B. b< c< a C. c< b< a D. b< a< c 【 】C 【解 】由 eb= 1.01，ln a+1 = 0.01， b= ln1.01，a = e0.01- 1， 设 g x = ex- x- 1， g x = ex- 1， 以 x∈ -∞,0 时，g x < 0，g x  减， x∈ 0,+∞ 时，g x > 0，g x  ， 以 g x ≥ g 0 = 0， ex- 1≥ x， 可证 ln x+1 ≤ x， 以 ln x+1 ≤ x≤ ex- 1， ·281· x= 0.01时，可 ln1.01< e0.01- 1， b< a， 设 f x = lnx- x-1 x (x> 0)， f x = x-1 x2 ， 以 x∈ 0,1 时，f x < 0，f x  减， x∈ 1,+∞ 时，f x > 0，f x  ， 以 f 1.01 > f 1 ， ln1.01- 0.01 1.01 > ln1，整 ln1.01> 1 101 ， b> c， 以 c< b< a. 故 ：C 654. (2024· 东·二模)已知函数 f x = 3 x-1 3x+1 ，数 an 满足 a 1 = 1，a n+3 = a n n∈N * ，f a1 + f a2+a3 = 0， 2023 i=1 ai = ( ) A. 0 B. 1 C. 675 D. 2023 【 】B 【解 】f x  定义域为R，且 f -x = 3 -x-1 3-x+1 = - 3 x-1 3x+1 =-f x ， 故 f x 为R上 奇函数. f x = 1- 2 3x+1 ， 因 t= 3x+ 1 R上为 函数，y= 1- 2 t 1,+∞  为 函数， 故 f x 为R上 函数. f a1 + f a2+a3 = 0 为 f a1 = f -a2-a3 ，故 a1+ a2+ a3= 0， 因为 an+3= an n∈N * ，故 an 为 数 且 为 3. 因为 2023= 2022+ 1= 3× 674+ 1， 以 2023 i=1 ai = 674 a1+a2+a3 + a2023= 0+ a1= 1. 故 ：B. 655. (2024·全国·模拟 ) 比数 an 中，a2= 2, a4a6- 16a5= 0，若 bn= -2,n为 数 an,n为奇数  ，且 bn  n 为 Sn， 满足 S2n> 360 正整数 n 为 ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【 】B 【解 】由 a4a6- 16a5= 0可 a25- 16a5= 0， 故 a5= 16，设 an  比为 q， q3= a5 a2 = 8， q= 2， 故 an= a2qn-2= 2n-1， S2n= 1+ 4+ 16+⋯+4n-1- 2×n= 1-4 n 1-4 - 2n= 4n 3 - 2n- 1 3 ． 由于n≥ 2时，bn+ bn+1> 0， 故S2n n 大 大， S10= 4 5 3 - 2× 5- 1 3 = 331< 360，S12= 4 6 3 - 2× 6- 1 3 = 1353> 360， 故满足S2n> 360 正整数 n 为 6． 故 ：B. 二、多 656. (2024· ·二模) △ABC中，角A,B,C 对 边 为 a,b,c，且 c= b 2cosA+1 ， 下 结论正 ( ) A. A= 2B B. 若 a= 3b， △ABC为直角三角 C. 若△ABC为 角三角 ， 1 tanB - 1 tanA 为 1 D. 若△ABC为 角三角 ， c a 取 围为 2 2 , 2 3 3  【 】ABD 【解 】对于A,△ABC中，由正 定 sinC= 2sinBcosA+ sinB， 由 sinC= sin A+B ， sinAcosB- cosAsinB= sinB， sin A-B = sinB， 由 0<A,B< π， sinB> 0，故 0<A-B< π， 以 A-B=B A-B+B= π， A= 2B A= π( )， A= 2B，A正 ； 对于B，若 a= 3b，结 A= 2B 正 定 知 a sinA = 3b sin2B = b sinB ,cosB= 3 2 ， 0<A,B< π， 以可 A= 2B= π 3 ,C= π 2 ，B正 ； 对于C， 锐角△ABC中，0<B< π 2 ,0<A= 2B< π 2 ,0<C= π- 3B< π 2 ， π 6 <B< π 4 , 3 3 < tanB < 1. 故 1 tanB - 1 tanA = 1 tanB - 1-tan 2B 2tanB = 1+tan 2B 2tanB > 1，C错误； ·282· 对于D， 锐角△ABC中，由 π 6 <B< π 4 , 2 2 < cosB< 3 2 ， c a = sinC sinA = sin3B sin2B = sin2BcosB+cos2BsinB sin2B = 2cosB- 1 2cosB ， 令 cosB= t∈ 2 2 , 3 2 ， c a = f t = 2t- 1 2t ， 知函数 f t = 2t- 1 2t ， 以可 c a ∈ 2 2 , 2 3 3 ，D正 ； 故 ：ABD. 657. (2024· ·二模)如图，棱 为 2 正方 ABCD - A1B1C1D1中，E为棱 DD1 中点，F为正方 C 1CDD 1内一个 点 ( 括边 )，且 B 1F ⎳ A1BE， 下 说法正 ( )    A. 点F轨迹 为 2 B. 三棱 B1-D1EF 积 为 13 C. B1F与A1B不可能 直 D. 三棱 B1-D1DF 积 大时，其外 表 积为 25 2 π 【 】ABD 【解 】对A，如图，令CC1中点为M ,CD1中点为N ,连 MN， 正方 ABCD-A1B1C1D1中，E为棱DD1 中点， 可 B1M⎳A1E,MN⎳CD1⎳BA1， ∴B1M⎳ BA1E,MN⎳ BA1E, B1M∩MN =M， 且B1M ,MN⊂ B1MN，∴ B1MN⎳ BA1E, B1F⎳ A1BE，且B1∈ B1MN，∴B1F⊂ B1MN， F为正方 C1CDD1 一个 点 ( 括边界)，∴F ∈ B1MN∩ C1CDD1， MN= B1MN∩ C1CDD1， ∴F∈MN， F 轨迹为线段MN . 由棱长为 2 正方 线段MN 长 为 2，故 A正 ； 对B，由正方 棱B1C1⊥ C1CDD1， 以三棱 锥B1-D1EF 积为V= 13 B1C1 ⋅S△D1FE= 2 3 S△D1FE， 以△D1FE 积S△D1FE 时， 积 ，如图，∵F ∈MN， F N处时S△D1FE ， 此时S△D1FE= 1 2 ND1 ⋅D1E= 12 , 以 积 为 1 3 ，故 B正 ； 对C， F为线段MN中点时，由B1M=B1N可 B1F ⊥MN , CC1中点为M ,CD1中点为N , ∴MN⎳D1C， A1B⎳D1C，∴B1F⊥A1B,故 C 不正 ； 对D，如图， F M处时，三棱锥B1-D1DF 积 大时， 由已知 此时FD=FD1=FB1= 5 , 以F B1DD1 为 外 ， DD1= 2,B1D1= 2 2 ,DB1= 2 3 , 以 B1DD1为 直角三角 ， 以F B1DD1 为B1D中点，设为O1，如 图，设外 为R, 由R2=OO12+O1B12=OO12+ 3,R+OO1=FO1= 2 , 可 外 R= 5 2 4 ， 外 表 积为 4πR2= 25 2 π，故 D正 . 故 ：ABD. 658. (2024·高一· · 段练习)△ABC 内角A，B、 C 对边 为 a，b，c，若AB  ⋅AC  = 2,a= 2， ( ) A. bccosA= 2a B. b2+ c2= 8 C. 角A 大 为 π 3 D. △ABC 积 大 为 3 【 】BCD 【解 】AB  ⋅AC  = AB   AC   cosA= bccosA= 2≠ 2a = 4，故A错误； 定 a2= b2+ c2- 2bccosA， b2+ c2= a2+ 2bccosA= 4+ 4= 8，故B正 ； ·283· 由A知，cosA= 2 bc ≥ 4 b2+c2 = 1 2 ，A∈ 0,π ， 0< A≤ π 3 ，故C正 ； S= 1 2 bcsinA= 1 2 × 2 cosA × sinA= tanA，0<A≤ π 3 ， A= π 3 时，△ABC 积 大 为 3，故D正 . 故 ：BCD 659. (2024·辽宁 ·二模) 直角 系中，定义 d A,B = x1-x2 + y1-y2 为点 A x1,y1  点 B x2,y2  “ 线距离”．点O 点，点Q 直线 2x+ y- 2 5 = 0上，点P x2+ y2= 1上， 点 R 物线 y2=-4x上．下 结论中正 结 论为 ( ) A. d O,Q  为 2 B. d O,P  大 为 2 C. d P,Q  为 5 2 D. d R,Q  为 5- 1 4 【 】BCD 【解 】对A：设Q x,2 5-2x ， d O,Q = x + 2 5-x ≥ x + 5-x ≥ x+ 5-x = 5 ( 且仅 x= 5时取“=”).故A错； 对B：设P x,y ， x2+ y2= 1. d O,P = x + y  ≤ 2 x2+y2 = 2，故B对； 对C：设P cosθ,sinθ ，Q x,2 5-2x ， d P,Q = cosθ-x + sinθ-2 5+2x = cosθ-x  + 2 sinθ 2 - 5+x ≥ cosθ-x + sinθ2 - 5+x ≥ cosθ-x+ sinθ 2 - 5+x = 5- cosθ+ sinθ2 = 5- 5 2 cosθ ⋅ 2 5 5 +sinθ ⋅ 5 5 ≥ 5 2 ( 且仅 sinθ= 5 5 ，cosθ= 2 5 5 时取“=”).故C对； 对D：设R - t 2 4 ,t ，Q x,2 5-2x ， d R,Q = - t 2 4 -x + t-2 5+2x = - t 2 4 -x + 2 t 2 - 5+x ≥ - t 2 4 -x + t2 - 5+x ≥ - t 2 4 -x+ t 2 - 5+x = - t 2 4 + t 2 - 5 = t 2 4 - t 2 + 5≥ 5- 1 4 ( 且仅 t= 1时取“=”).故D正 . 故 ：BCD 660. (2024· ·模拟 )直线 l与 物线C :x   2= 2py p>0   相交于A，B两点，过A，B两点 该 物线 线，与直线 y=-p 交于点 P， 下 正 ( ) A. 直线 l过定点 0,p  B. A，B两点 纵 之 为 2p C. 存 某一 直线 l， ∠APB为直角 D. 设点Q 0,2p  直线 l上 为H， 直线 FH斜 取 围 -∞,- 3 ∪  3,+∞  【 】ABD 【解 】由 ，直线 斜 一定存 ，设直线 l 方 为 y= kx+m， 立方 组 y=kx+m x  2=2py   ，可 x   2- 2pkx- 2pm = 0， 设A(x1,y1),B(x2,y2)， Δ= -2pk 2+ 4× 2pm> 0， 且 x1+ x2= 2pk,x1x2=-2pm， 对于A中，由 物线 x   2= 2py   ，可 y= 1 2p x2， y= x p ， 以 点A 线方 为 y- y1= x1 p (x- x1)， y- x21 2p = x1 p (x- x1)， y= x1 p x- x 2 1 2p ， 可 ： 点B处 线方 为 y= x2 p x- x 2 2 2p ， 立方 组 y= x1p x- x21 2p y= x2p x- x22 2p  ，解 y= x1x2 2p = -2pm 2p = -m， 因为过A,B两点 线与直线 y=-p 交于点P， 以-m=-p， m= p， 以直线 l 方 为 y= kx+ p， 过定点 0,p ， 以A正 ； 对于B中，由 y1+ y2= kx1+ p+ kx2+ p= 2p(k2+ 1) ≥ 2p， 且仅 k= 0时， 号 立， A,B两点 纵 之 为 2p， 以B正 ； 对于C中， 设存 某一 直线 l， ∠APB为直 角， kPB ⋅ kPA=-1， 可 x1 p ⋅ x2 p =-1， x1x2=-p2， 因为 x1x2=-2p2， (此时矛盾)， 以不存 直线 l， ∠APB为直角， 以C不正 ； ·284· 对于D中，因为直线 y= kx+ p， 以 kQH=- 1 k ， 直 线QH 方 为 y=- 1 k x+ 2p， 立方 组 y=kx+p y=- 1kx+2p  ，解 x= kp k2+1 ,y= (2k2+1)p k2+1 ， H kp k2+1 , (2k 2+1)p k2+1 ， 由F 0, p 2 ， 以FH 斜 为 kFH= (2k2+1)p k2+1 - p 2 kp k2+1 = 3k 2+1 2k = 1 2 3k+ 1 k ， k> 0时，3k+ 1 k ≥ 2 3k× 1 k = 2 3， 且仅 k = 3 3 时， 号 立； k< 0时，3k+ 1 k ≤-2 3k× 1 k =-2 3， 且仅 k=- 3 3 时， 号 立， 以 k≤- 3 k≥ 3， 直线FH 斜 为 -∞,- 3 ∪  3,+∞ ， 以D正 . 故 ：ABD. . 661. (2024· 州·模拟 )已知函数 f(x) = x+ 1， 设 g1(x) = f(x)，gn(x) = f gn-1(x) n>1,n∈N * ． 且关于 x 函数 y = x 2 + n i=1 gi (x ) n∈N * ． ( ) A. gn(x) = x+n gn(x) =nx+ 1 B. y= n 2+2n 4 + x+ n 2  2 C. n≤ 2时，存 关于 x 函数 y 间 (-∞, -1]上 为 6，n= 0 D. n> 2时，存 关于 x 函数 y 间 (-∞, -1]上 为 6，n= 4 【 】BD 【解 】因为 g1(x) = f(x) = x+ 1，gn(x) = f gn-1(x) ， 以 g2(x) = f(x+ 1) = x+ 2， g3(x) = f(x+ 2) = x+ 3， 次类 ，可 gn(x) = x+ n，故A错误； 由A 知，y= x2+ n i=1 gi (x) = x2+ (x+ 1+ x+ 2+ ⋯+x+n) = x2+nx+ 1+n ⋅n 2 = n 2+2n 4 + x+ n 2  2 ，故B正 ； n≤ 2时，y= n 2+2n 4 + x+ n 2  2 对称轴 x=- n 2 ≥-1， 以 y 间 (-∞,-1]上 减，故 x=-1时， ymin= 2n 2-2n+4 4 = n 2-n+2 2 = 6，方 无整数解， 故C错误； n> 2时，y= n 2+2n 4 + x+ n 2  2 对称轴 x=- n 2 <-1∈ (-∞,-1]， 以 x=- n 2 时，ymin= n 2+2n 4 = 6，解 n= 4，故 D正 . 故 ：BD 662. (2024· ·二模)已知 m+x 4= a0+ a1x+ a2x2 + a3x3+ a4x4，x-1 m+x 4= b0+ b1x + b2x2+ b3x 3+ b4x4+ b5x5，其中m∈R，m≠ 0．若 a2= 3b2， ( ) A. m= 2 B. a0+ a1+ a2+ a3+ a4= 81 C. b1+ b2+ b3+ b4+ b5=-16 D. b1+ 2b2+ 3b3+ 4b4+ 5b5= 80 【 】AB 【解 】二 m+x 4 为Tr+1= Cr4m 4-rxr(0≤ r≤ 4且 r∈N )， x-1 m+x 4= x m+x 4- m+x 4， 以 a2=C24m2= 6m2，b2=C14m3-C24m2= 4m3- 6m2， 因为 a2= 3b2， 以 6m2= 3 4m3-6m2 ，解 m= 0 ( ) m= 2，故A正 ； 由 2+x 4= a0+ a1x+ a2x2+ a3x3+ a4x4， 令 x= 1可 a0+ a1+ a2+ a3+ a4= 34= 81，故B正 ； 由 x-1 2+x 4= b0+ b1x+ b2x2+ b3x3+ b4x4+ b5x5， 令 x= 0可 b0=-24=-16， 令 x= 1可 b0+ b1+ b2+ b3+ b4+ b5= 0， 以 b1+ b2 + b3+ b4+ b5= 16，故C错误； x-1 2+x 4= b0+ b1x+ b2x2+ b3x3+ b4x4+ b5x5 两边对 x 导可 ， ·285· 2+x 4+ 4 x-1 2+x 3= b1+ 2b2x+ 3b3x2+ 4b4x3+ 5b5x 4， 令 x= 1可 b1+ 2b2+ 3b3+ 4b4+ 5b5= 2+1 4+ 4 1-1 2+1 3= 81，故D错误. 故 ：AB 663. (2024· ·二模)一 ，如 一个四 存 一点出发 三 棱两两 直， 们 这种四 叫 直角四 ，记该点为直角四 直角 点，两两 直 三 棱叫直角四 直角棱，任 两 直角棱 定 叫直角四 直角 ， 三个直角 外 一个 叫斜 ．若一个直角四 三 直角棱 为 a，b，c，直角 点 斜 距离为 d，其内 为 r，三个直角 积 为S1，S2，S3，三个直角 与斜 角 为 α，β，γ，斜 积为S， ( ) A. 直角 点 斜 上 斜 内 B. cos2α+ cos2β+ cos2γ= 1 C. S<S1+S2+S3≤ 3S D. 1 a + 1 b + 1 c + 1 d = 1 r 【 】BCD 【解 】A ，连 AO，由于PA⊥PB，PA⊥PC， 且PB∩PC=P，PB,PC⊂ PBC， 以PA⊥ PBC， BC⊂ PBC， 以PA⊥BC， 因为PO⊥ ABC，BC⊂ ABC， 以PO⊥ BC， 因为PA∩PO=P，PA,PO⊂ PAO， 以BC⊥ PAO， 因为AO⊂ PAO， 以BC⊥AO， 可 AC⊥BO，AB⊥CO， 故O为△ABC ，不一定为 ，A错误； B ，由A可知，PA⊥ PBC，BC⊥ PAO， 延长AO交BC于点F，连 PF，因为PF⊂ PBC，PF⊂ PAO， PA⊥PF，BC⊥PF， 设PA= a,PB= b,PC= c， Rt△PBC中，BC= b2+c2，PF= bc b2+c2 ， 故AF= PA2+PF 2= a2+ b 2c2 b2+c2 ， S1= 12 bc,S2= 1 2 ac,S3= 12 ab， 以S= 1 2 BC ⋅AF= 1 2 b2+c2 ⋅ a2+ b 2c2 b2+c2 = 1 2 a2b2+a2c2+b2c2， 故S2= 1 4 a2b2+ 1 4 a2c2+ 1 4 b2c2=S21+S22+S23， 设直角 PBC,PAC,PAB与斜 ABC 角 为 α,β,γ， cosα= cos∠PFA= PF AF = S1 S ， 可 cosβ= S2 S ,cosγ= S3 S ， 故 cos2α+ cos2β+ cos2γ= S 2 1+S22+S23 S2 = 1，B正 ； C ， 然S<S1+S2+S3， 且 3S2- S1+S2+S3 2= 3S21+ 3S22+ 3S23-S21-S22- S23- 2S1S2- 2S2S3- 2S1S3 = 2S21+ 2S22+ 2S23- 2S1S2- 2S2S3- 2S1S3= S1-S2 2 + S2-S3 2+ S1-S3 2≥ 0， 故S1+S2+S3≤ 3S， 且仅 S1=S2=S3时， 号 立， 综上，S<S1+S2+S3≤ 3S，C正 ； D ，直角四 积V= 1 3 × 1 2 abc= 1 6 abc= 1 3 Sd， 故 3V=Sd，2dS= abc， 1 3 S1+S2+S3+S r=V，S1= 12 bc,S2= 1 2 ac,S3 = 1 2 ab， 以 1 r = S1+S2+S3+S 3V = 1 2 bc+ 1 2 ac+ 1 2 ab+S Sd = bc 2Sd + ac 2Sd + ab 2Sd + 1 d = 1 a + 1 b + 1 c + 1 d ，D正 . 故 ：BCD 664. (2024· 信 ·一模)若关于 x 不 ex-2+ x ≥ 2ax2- xlnx 0，+∞ 上 ， 实数 a 可以 ( ) A. 1 e B. 1 2 C. e 3 D. 2 【 】AB ·286· 【解 】 ， ex-2 x + 1- 2ax+ lnx≥ 0 0，+∞  上 立， a≤ 1 2 时， ex-2 x + 1- 2ax+ lnx≥ e x-2 x + 1- x+ lnx= ex-2-lnx+ 1- x+ lnx， 令 t= x- 2- lnx， h(t) = et- t- 1，h(t) = et- 1， 故 t∈ (-∞,0)时，h(t)< 0， t∈ (0, +∞)时，h(t) > 0， 故 h(t)> h(0) = 0，故 ex-2-lnx+ 1- x+ lnx≥ 0， 不 立； a> 1 2 时，令u(x) = x- 2- lnx，因为u(1) =-1< 0， u(4) = 2- 2ln2> 0，故 μ x  1,4  零点，设 为 x0， x0- 2= lnx0， ex0-2= x0，故 e x0-2 x0 + 1- 2ax0+ lnx0= (1- 2a)x0< 0，不 ， ； 综上 述，a≤ 1 2 . 故 ：AB. 665. (2024· 东 ·一模) 为 且母线与 都 直 柱 称为“ 柱” .如图， 柱 (OO中 轴AB= 4，短轴CD= 2 3，F1,F2为 下 左右 点，F2为上 右 点，AA = 4，P为线段 BB上 点，E 为线段 AB上 点，MN 为过点 F2 下 一 (不与AB )， 下 正 ( )    A. F1F2⎳ PMN时，P为BB 中点 B. 三棱 F2-F2CD外 表 积为 8π C. 若点Q 下 上 点，Q 点Q 上 ，且QF1，QF2与下 角 为 α,β， tan α+β  大 为- 16 13 D. 三棱 E-PMN 积 大 为 8 【 】ACD 【解 】由 设，长轴长 AB = AB = 4，短轴长 CD  = 2 3， OF1 = OF2 = OF2 = 1， F2,F2 OB,OB中点， 柱 中ABBA为矩 ，连 OB， 由BF2⎳OF1，BF2 = OF1 = 1，∴四边 F1OBF2 为 行四边 ，OB⎳F1F2， F1F2⎳ PMN时，F1F2⊂ ABBA， ABBA∩ PMN=PF2， F1F2⎳PF2， OB⎳PF2， △OBB中，F2 OB中点， P为BB 中点，A 正 ； OF2⊥CD，CD = 2 3，OF2 = 1， △F2CD中， CF2 = DF2 = 2，∠CF2D= 120°， △F2CD外 为 r= 12 × CD  sin∠CF2D = 2， F2F2⎳AA， F2F2⊥ F2CD， 三棱锥F2-F2CD外 为R= 22+22= 2 2， 以外 表 积为 4πR2= 32π，B 错误； 点Q 下 上 点，Q 点Q 上 ，且QF1，QF2与下 角 为 α,β， 令 QF1 =m, QF2 =n， m+n= 4， QQ = 4， tanα= 4 m ，tanβ= 4 n ，tan α+β = tanα+tanβ 1-tanαtanβ = 4 m+n  mn-16 = 16 mn-16， tan α+β = 16 - m-2 2-12 ，由 质知 1≤m≤ 3， m= 1 m= 3时，tan α+β  大 为 - 16 13 ，C 正 ； ·287· 由VE-PMN=VM-PEF2+VN-PEF2，要 三棱锥E-PMN 积 大， 只 △PEF2 积 M ,N PEF2距离之 都 大， S△PEF2=SBF2EB-S△PBF2-S△PEB，令EB = a,PB= b， 且 a,b∈ 0,4 ， PB= 4- b， S△PEF2= 1 2 × 4× 1+a - 1 2 × 1× b- 1 2 × a× 4-b = 2+ b a-1  2 ， a= b= 4时， 大 S△PEF2= 8， 下 以O为 点， 建如上图 直角 系， 且B 0,2 ， 方 为 y2 4 + x 2 3 = 1， 设MN :y= tx+ 1， 立 3t2+4 x2+ 6tx- 9= 0，Δ= 144 t2+1 > 0， xM+ xN=- 6t 3t2+4 ,xMxN=- 9 3t2+4 ，xM-xN = xM+xN 2-4xMxN = 12 t2+1 3t2+4 ， 令 l= t2+1≥ 1，xM-xN = 12l 3l2+1 = 12 3l+ 1l ， 由对勾函数 质可知 y= 3l+ 1 l 1,+∞ 上 ， xM-xN max= 12 4 = 3， 综上，三棱锥E-PMN 积 大 为 1 3 × 8× 3= 8，D 正 . 故 ：ACD 666. (2024·高三· 京· 段练习)已知函数 f (x), g(x) 定义域为R，g x 为 g(x) 导函数，且 f(x) + g x = 2，f(x) - g 4-x = 2，若 g(x)为 函数， 下 结论一定 ( ) A. f(4) = 2 B. g 2 = 0 C. f(-1) = f(-3) D. f(1) + f(3) = 4 【 】ABD 【解 】对A：∵ g(x)为 函数， g(x) = g(-x)， 两边 导可 g(x) =-g(-x)， ∴ g x 为奇函数， g 0 = 0， 令 x= 4， 可 f(4) - g 0 = 2， f(4) = 2，A 立； 对B：令 x= 2， 可 f(2)+g  2 =2 f(2)-g 2 =2  ， f(2)=2 g 2 =0  ， B 立； ∵ f(x) + g x = 2， 可 f(2+ x) + g 2+x = 2， f(x) - g 4-x = 2， 可 f(2- x) - g 2+x = 2， 两 相 可 ：f(2+ x) + f 2-x = 4， ∴ f(x) 于点 2,2  中 对称， f(1) + f(3) = 4，D 立， ∵ f(x) + g x = 2， 可 f(x- 4) + g x-4 = f(x- 4) - g 4-x = 2， f(x) - g 4-x = 2， 可 f(x) = f x-4 ， ∴ f(x)以 4为 函数， 以上 质只能 出 f(-1) + f(-3) = 4，不能 出 f(-1) = f(-3)，C不一定 立， 故 ：ABD. 667. (2024·高三·安 · 学 试)如图 示， 一个 棱 为 4 正四 P-ABC容器，D PB 中 点，E CD 上 点， 下 说法正 ( )    A. 直线AE与PB 角为 π 2 B. △ABE 为 4+ 34 C. 如 这个容器中放入 1个 (全部进入)， 大 为 6 3 D. 如 这个容器中放入 4个完全相 (全 部进入)， 大 为 2 6-2 5 【 】ACD 【解 】A ，连 AD，由于D为PB 中点， 以PB⊥CD，PB⊥AD， CD∩AD=D，AD,CD⊂ ACD， 以直线PB⊥ ACD， AE⊂ ACD， 以PB⊥AE，故A正 ； B ， △ACD CD 与 BDC 一个 ，连 AB交CD于点E， AE+BE 为AB 长， 由于AD=CD= 2 3，AC= 4， ·288·    cos∠ADC= CD 2+AD2-AC2 2CD ⋅AD = 2 3 2+ 2 3 2-42 2×2 3×2 3 = 1 3 ， cos∠ADB= cos π 2 +∠ADC =-sin∠ADC=- 13 ， 以AB2=BD2+AD2- 2BD ⋅ADcos∠ADB= 22+ 2 3 2- 2× 2× 2 3 × - 2 2 3 = 16+ 16 6 3 ， 故AB= 16+ 16 6 3 = 4 1+ 6 3 ，△ABE 长 为 4+ 4 1+ 6 3 ，B错误； C ，要 大， 与四个 相 ， 正四 ， 设 为O，取AC 中点M，连 BM ,PM，过点P PF 直于BM于点F， F为△ABC 中 ，点O PF上，过点O ON ⊥PM于点N， 因为AM= 2,AB= 4， 以BM= AB2-AM 2= 2 3， PM= 2 3， MF= 1 3 BM= 2 3 3 ， 故PF= PM 2-MF 2= 4 6 3 ， 设OF=ON=R，故OP=PF-OF= 4 6 3 -R， 因为△PNO∽△PFM， 以 ON FM = OP PM ， R 2 3 3 = 4 6 3 -R 2 3 ， 解 R= 6 3 ，C正 ； D ，4个 两 (1个，3个)放进 ，要 要 大， 4个 外 ，且 与三个 相 ， 设 为 r，四个 连线 棱长为 2r 正 四 Q-VKG， 由C 可知， 高为 2 6 3 r， 由C 可知，PF 正四 P-ABC 高，PF过 点Q且与 VKG交于S，与 HIJ交于 Z， QS= 2 6 3 r，SF= r， 由C 可知，正四 高 1 4 ， 如图正四 P-HJI中，QZ= r，QP= 3r， 正四 P-ABC高为 3r+ 2 6 3 r+ r= 6 3 × 4，解 r= 2 6-2 5 ，D正 . 故 ：ACD 668. (2024 ·辽宁 ·一模)如图，点 A,B ,C 函数 f x = sin ωx+φ (ω> 0) 图 与直线 y= 3 2 相 三个交点，且 BC - AB = π 3 , f - π 12 = 0， ( ) A. ω= 4 B. f 9π 8 = 1 2 C. 函数 f x  π 3 , π 2 上 减 D. 若 函数 f x  图 x轴 移 θ个 ， 一个 函数 图 ， θ  为 π 24 【 】ACD 【解 】令 f x = sin ωx+φ = 3 2 ，ωx+ φ= π 3 + 2kπ ωx+ φ= 2π 3 + 2kπ，k∈ Z， 由图可知：ωxA+ φ= π 3 + 2kπ，ωxC+ φ= π 3 + 2kπ+ 2π，ωxB+ φ= 2π 3 + 2kπ， ·289· 以 BC = xC- xB= 1 ω - π 3 +2π ，AB = xB- xA = 1 ω ⋅ π 3 ， 以 π 3 = BC - AB = 1 ω - 2π 3 +2π ， 以ω= 4， 故A 正 ， 以 f x = sin 4x+φ ，由 f - π 12 = 0且 x=- π 12 处 减 间， sin - π 3 +φ = 0， 以- π 3 + φ= π+ 2kπ，k∈ Z， 以 φ= 4π 3 + 2kπ，k∈ Z， 以 f x = sin 4x+ 4π 3 +2kπ = sin 4x+ 4π3 = -sin 4x+ π 3 ， f 9π 8 =-sin 9π 2 + π 3 =- 1 2 ，故B错误. x∈ π 3 , π 2 时，4x+ π 3 ∈ 5π 3 ,2π+ π 3 ， 因为 y=-sint t∈ 5π 3 ,2π+ π 3 为减函数，故 f x  π 3 , π 2 上 减，故C正 ； 函数 f x  图 x轴 移 θ个 g x = -sin 4x+4θ+ π 3 ，(θ< 0时 右 移，θ> 0时 左 移)， g x 为 函数 4θ+ π 3 = π 2 + kπ，k∈ Z， 以 θ= π 24 + kπ 4 ，k∈ Z， θ  为 π 24 ，故D 正 . 故 ：ACD. 669. (2024· 郸·二模)已知函数 f x  定义域为 R，其导函数为 f  x ，若函数 f 2x-3  图 关于 点 2,1 对称，f 2+x - f 2-x = 4x，且 f 0 = 0， ( ) A. f x  图 关于点 1,1 对称 B. f x+4 = f x  C. f 1026 = 2 D. 50 i=1 f (i) = 2499 【 】ACD 【解 】对于A中，设函数 y= f x  图 于 (a,b) 对称， y= f x-3  于 (a+ 3,b)对称，可 y= f 2x-3  于 a+3 2 ,b 对称， 因为函数 f 2x-3  图像 于点 2,1 对称，可 a+3 2 = 2,b= 1，解 a= 1,b= 1， 以函数 y= f x  图 于 (1,1)对称， 以A正 ； 对于B中，由函数 y= f x  图 于 (1,1)对称，可 f x + f 2-x = 2， 因为 f 2+x - f 2-x = 4x，可 f x + f x+2 = 4x+ 2， f x+2 + f x+4 = 4(x+ 2) + 2= 4x+ 10， 两 相减 f x - f x+4 =-8， f x = f x+4  - 8， 以B不正 ； 对于C中，令 g x = f x - 2x， 可 g x+4 = f x+4 - 2(x+ 4) = f x+4 - 2x- 8， 因为 f x = f x+4 - 8， 以 g x = g x+4 ， 以函数 g x  以 4为 函数， 由 g x = f x - 2x，可 g x = f x - 2， 以 g 1026 = f 1026 - 2， 因为函数 g x  以 4为 函数， g x  以 4为 函数， 以 g 1026 = g 2 = f 2 - 2， 由 f 2+x - f 2-x = 4x，可 f 2+x × 1- f 2-x × (-1) = 4， f 2+x + f 2-x = 4，令 x= 0，可 f 2 + f 2 = 4， 以 f 2 = 2， 以 g 2 = 0， 以 f 1026 = f(1026) + 2= f(2) + 2= 2， 以C正 ； 对于D中，因为 f 0 = 0，且函数 f x  于 (1,1)对称， 可 f 1 = 1,f 2 = 2， 因为 f 2+x - f 2-x = 4x，令 x= 1，可 f 3 - f 1 = 4， 以 f 3 = 5， 令 x= 2，可 f 4 - f 0 = 8， 以 f 4 = 8， 由 g x = f x - 2x，可 g 1 =-1,g 2 =-2,g 3 = -1,g 4 = 0， 可 g 1 + g 2 + g 3 + g 4 =-4 由函数 g x = f x - 2x 以 4为 函数， 且 f x = g x + 2x， 以∑ 50 i=1 f(i) = f 1 + f 2 +⋯+f 50 = g 1 + g 2 + ⋯+g 50 + 2(1+ 2+⋯+50) = 12 ⋅ g 1 +g 2 +g 3 +g 4  + g 1 + g 2 + 2(1 + 2+⋯+50) = 12× (-4) - 1- 2+ 2× 50(1+50) 2 = 2499， 以D 正 . 故 ：ACD. ·290· 670. (2024· 郸·二模)设 物线 E :x2= 2py(p> 0) 点为F，过点P 0,3  直线与 物线E相交 于点A,B，与 x轴相交于点C, AF = 2, BF = 10， ( ) A. E 准线方 为 y=-2 B. p 为 2 C. AB = 4 2 D. △BFC 积与△AFC 积之比为 9 【 】BD 【解 】设直线AB 方 为 y= kx+ 3，A x1,y1 , B x2,y2 ， 立 y=kx+3 x2=2py  ，可 x 2- 2pkx- 6p= 0， 以 x1+ x2= 2pk，x1x2=-6p， 因为 x2= 2py， 以 y= x 2 2p ，故 y1y2= x21x 2 2 4p2 = 36p 2 4p2 = 9， 因为 AF = 2, BF = 10，由 物线定义可 ，y1= 2- p 2 ，y2= 10- p 2 ， 2- p 2  10- p 2 = 9，解 p= 2 p= 22， 因为 y1= 2- p 2 > 0， 以 p= 2， E 线方 为 y =-1，故B正 ，A错误； E 方 为 x2= 4y，y1= 2- p 2 = 1，y2= 10- p 2 = 9， y1= 1代 x2= 4y可 x21= 4y1= 4，x22= 4y2= 36， 不妨设A -2,1 ,B 6,9 ， AB = 8 2，故C错误； 设F 直线AB 距离为 d， △BFC 积S△BFC= 1 2 BC d，△AFC 积S△AFC = 1 2 AC d， △BFC 积与△AFC 积之比 S△BFC S△AFC = BC  AC  = y2 y1 = 9，故D正 . 故 ：BD. 671. ( 2024 ·安 ·二 模 ) 已 知 函 数 f x = sin x+ π 6 - sinx- sin π 6 ， ( ) A. 函数 f x  π 2 ,π  上 减 B. 函数 y= f x+ 5π 12 + 1 2 为奇函数 C. x∈ - π 2 , π 2    时，函数 y= 4f x + 1 两 个零点 D. 设数 an  为 π 6 ，公差为 π 6 差数 ， 2024 i=1 = f ai =- 20272 【 】BCD 【解 】 知 sin 7π 12 = sin π 3 + π 4 = 3 2 ⋅ 2 2 + 1 2 ⋅ 2 2 = 6+ 2 4 ， sin π 12 = cos 7π 12 = 6- 2 4 ， f x = sin x+ π 6 - sinx- sin π 6 = 3-2 2 sinx- 1 2 cosx- 1 2 = 6- 2 2 sin x+ 7π 12  - 1 2 对A, x∈ π 2 ,π  ,x+ 7π 12 ∈ 13π 12 , 19π 12    ,f x  减 ，故A错误； 对B, y= f x+ 5π 12 + 1 2 =- 6- 2 2 sinx为奇函数， 故B正 ； 对C, x∈ - π 2 , π 2    ,t= x+ 7π 12 ∈ π 12 , 13π 12    , sint π 12 , π 2  ， π 2 , 13π 12  减， f x  - π 2 ,- π 12  ， - π 12 , π 2  减， f - π 12 = 2 3-1 -2 4 >- 1 4 ， f - π 2 = 6- 2 4 sin π 12 - 1 2 = 6- 2 4 ⋅ 6- 2 4 - 1 2 =- 3 4 <- 1 4 ， 故函数 y= 4f x + 1 两个零点，故C正 ； 对D, 知 an= n6 π，令 g x = sin x+ π 6 - sinx， f x = g x - 1 2 ， g a1 = sin π3 - sin π 6 ， ·291· g a2 = sin π2 - sin π 3 , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .. g a2024 = sin 2024π6 + π 6 - sin 2023π 6 + π 6 , ∑ 2024 i=1 g ai = sin 2024π6 + π 6 - sin π 6 = sin 337π+ π 2 - 1 2 =- 3 2 ， 故∑ 2024 i=1 = f ai =∑ 2024 i=1 g ai - 2024× 12 =- 2027 2 ，故D 正 . 故 ：BCD. 672. (2024·安 ·二模)已知 比数 an  公比 为 q， n 为Sn， ( ) A. Sn+1=S1+ qSn B. 对任 n∈N *,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 比数 C. 对任 n∈N *，都存 q， Sn,2S2n,3S3n 差数 D. 若 a1< 0， 数 S2n-1  充要 件 -1 < q< 0 【 】ACD 【解 】对于A： q= 1时，Sn+1= (n+ 1)a1，S1+ qSn = a1+na1= (n+ 1)a1，故 立， q≠ 1时，Sn+1= a1(1-qn+1) 1-q ，S1+ qSn= a1+ q× a1(1-qn) 1-q = a1(1-qn+1) 1-q ， 以Sn+1= a1+ qSn 立， 故A正 ； 对于B： q=-1时，S2= 0， 以Sn,S2n-Sn,S3n- S2n不 比数 ，故B错误； 对于C： q= 1时，Sn=na1,2S2n= 4na1,3S3n= 9na1， 故Sn,2S2n,3S3n不 差数 ， q≠ 1时，若存 q， Sn,2S2n,3S3n 差数 ， 2× 2S2n=Sn+ 3S3n， 4× a1(1-q2n) 1-q = a1(1-qn) 1-q + 3× a1(1-q 3n) 1-q ， 整 4(1+ qn) = 1+ 3(1+ q2n+ qn)， 以 3q2n- qn= 0， 以 qn= 1 3 ， 以对任 n∈N *，都存 q， Sn,2S2n,3S3n 差数 ，故C正 ； 对于D：S2n+1-S2n-1= a2n+ a2n+1= a1(1+ q)q2n-1，若 {S2n-1} 数 ， 可 a1(1+ q)q2n-1> 0，因为 a1< 0， 以 (1+ q) q2n-1< 0，可解 -1< q< 0， 以若 a1< 0， 数 {S2n-1} 要 件 -1 < q< 0，故D正 . 故 ：ACD. 673. (2024·安 黄 ·二模)已知数 {an}满足：an+1= a2n+ 2an+ λ(n∈N *)，其中 λ∈R，下 说法正 ( ) A. a1= 2,λ= 54 时，an≥n+ 1 B. λ∈ 1 4 ,+∞ 时，数 {an} 数 C. λ=-2时，若数 an  数 ， a1∈ -∞,-3 ∪ 1,+∞  D. a1= 3,λ= 0时， 1a1+2 + 1 a2+2 +⋯+ 1 an+2 < 1 3 【 】ACD 【解 】对于A， λ= 5 4 时，an+1- an= a2n+ an+ 54 = an+ 12  2 + 1≥ 1> 0， a1= 2，故 an+1> an+ 1， 以 an> an-1+ 1> an-2+ 2>⋯> a1+n- 1=n+ 1， 故A 正 ． 对于B，因为 an+1- an= a2n+ an+ λ= an+ 12  2 + λ- 1 4 且 λ∈ 1 4 ,+∞ ， 以 an+1- an≥ 0， λ= 1 4 ，a1=- 12 时，a2=- 1 2 ,a2=- 12 ,⇒ an+1- an = an+ 12  2 = 0⇒ an+1= an，此时数 {an} 数 ， 故B 错误； 对于C, 由于数 an  数 , n≥ 2时，故 an - an-1> 0，an+1- an= (a2n+ 2an- 2) - (a2n-1+ 2an-1- 2) = (an- an-1) (an+ an-1+ 2)> 0， 故 an+ an-1+ 2> 0， 以 a2-a1>0 a2+a1+2>0  ， a21+2a1-2 -a1>0 a21+2a1-2 +a1+2>0  ， 解 a1> 1 a1<-3，故C 正 ； 对于D, λ= 0时，an+1= a2n+ 2an= (an+ 1)2- 1，结 a1= 3，可知 a2= 42- 1= 11> a1， a3= 132- 3> a2，⋯，结 an+1- an= (an- an-1) (an+ an-1+ 2)， 可知 {an} 数 ，an≥ a1= 3， an+1+ 2= an(an + 2)≥ 3(an+ 2)， ·292· an+1+2 an+2 ≥ 3， 以 an+2 an-1+2 × an-1+2 an-2+2 ×⋯× a2+2 a1+2 ≥ 3n-1(n≥ 2)， an+ 2≥ 3n-1(a1+ 2) = 53 × 3 n(n≥ 2)， 以 1 an+2 ≤ 3 5 × 1 3n (n≥ 2)， n= 1时， 1 a1+2 = 1 5 ≤ 3 5 × 1 31 ， 以 1 an+2 ≤ 3 5 × 1 3n (n∈N *)， 可 n i=1 1 ai+2 ≤ 3 5 1 3 + 1 32 +⋯+ 1 3n = 3 5 × 1 3 1- 1 3n  1- 13 < 3 10 < 1 3 ，故D 正 ； 故 ：ACD． 三、 674. (2024· 州·二模)设A，B，C，D为 内四 点，已知 |AB  | = 2，|AC  | = 1，AB  与AC  夹角为 60°，M为AB 中点，|MD  |= 1， AC  ⋅AD  大 为 ． 【 】 3 2 【解 】以A为 点，AB 直线为 x轴，过M AB 线为 y轴建立 直角 系，如图 示， 因为 |AB  |= 2，|AC  |= 1，AB  与AC  夹角为 60°， BC   = AC  -AB   2= AC  2+AB 2-2AC  ⋅AB  = 1+4-2×1×2× 1 2 = 3， 由于AB2=BC2+AC2，故BC⊥AC， 以C - 1 2 , 3 2 ， 因为M为AB 中点，|MD  |= 1， 以D 以M为 ， 为 1 上， 设D cosθ,sinθ ,θ∈ [0,2π)， AC  = 1 2 , 3 2 ，AD  = (1+ cosθ,sinθ)， AC  ⋅AD  = 1 2 + 1 2 cosθ+ 3 2 sinθ= 1 2 + sin θ+ π 6 ， 以 θ+ π 6 = π 2 ， θ= π 3 时，AC  ⋅AD  大， 大 为 3 2 ， 此时D 1 2 , 3 2 ， |AD  |= 9 4 + 3 4 = 3． 故 为： 3 2 ． 675. (2024·高二· 东 · 段练习)已知定义 R上 函数 f x ，其导函数为 f  x ，若 xf  x - 2f x > 0，f -1 = 1 2 ， 不 2f x < x2 解 . 【 】-1,1  【解 】 x= 0时，由 xf x - 2f x > 0， -2f 0  > 0， f 0 < 0， 以 2f 0 < 02 立， 以 x= 0 2f x < x2， x≠ 0时，令 g(x) = f(x) x2 ， g(x) = x2 f(x)-2xf(x) x4 = xf (x)-2f(x) x3 ， 因为 xf x - 2f x > 0， x> 0时，g(x)> 0， 以 g(x) (0, +∞)上 ， 因为 f x 定义 R上 函数， 以 f(-x) = f(x)， 以 g(-x) = f(-x) (-x)2 = f(x) x2 = g(x)， 以 g(x)为 函 数， 因为 f -1 = 1 2 ，f x 定义 R上 函数， 以 f 1 = 1 2 ， 以 g(1) = f(1) 12 = 1 2 由 2f x < x2， f x  x2 < 1 2 ， 以 g(x)< g(1)， 以 g x  < g(1)， 因为 g(x) (0, +∞)上 ， 以 x < 1，且 x≠ 0， -1< x< 1，且 x≠ 0， 综上，-1< x< 1， 不 2f x < x2 解 -1,1 ， 故 为：-1,1  676. (2024·高三· · 段练习)记 R上 可导函数 f x  导函数为 f  x ，满足 xn+1= xn- f xn  f xn  数 xn 称为“牛 数 ”．若函数 f x = x2- x， 且 f  x = 2x- 1，数 xn 为牛 数 ．设 an= ·293· ln xn xn-1 ，已知 a1= 2,xn> 1， a2= ，数 an  n 为 Sn，若不 tSn- 14≤ S2n对任 n∈N * ， t 大 为 ． 【 】 4 25 3 【解 】因为 f x = x2- x， f x = 2x- 1， xn+1= xn- x2n-xn 2xn-1 = x 2 n 2xn-1 ， 由 a1= 2,a1= ln x1 x1-1 ， 以 x1 x1-1 = e2，解 x1= e2 e2-1 ， 以 x2= x21 2x1-1 = e 4 e4-1 ， 以 a2= ln x2 x2-1 = 4， 由 xn+1= x2n 2xn-1 ， 以 xn+1 xn+1-1 = x2n 2xn-1 x2n 2xn-1 -1 = x2n x2n-2xn+1 = xn xn-1  2 ， 以 an+1= ln xn+1 xn+1-1 = ln xn xn-1  2 = 2ln xn xn-1 = 2an， 数 an  以 2为 、2为 比 比数 ， 以 an= 2n，Sn= 2 1-2n  1-2 = 2 n+1- 2， 因为 tSn- 14≤S2n对任 n∈N * 立， Sn> 0 且Sn ， 以 t≤Sn+ 14Sn 对任 n∈N * 立，令 g x = x+ 14 x ,x∈ 0,+∞ ， 对勾函数 质可 g x = x+ 14 x 0, 14  上 减， 14,+∞ 上 ， 2=S1< 14<S2= 6，且 g 2 = 9,g 6 = 253 < g 2 ， 以 t≤S2+ 14S2 = 25 3 ， 以 t 大 为 25 3 ． 故 为：4；25 3 . 677. (2024·高一·四川 · 段练习)若函数 f x = sinωx+ cosωx(ω> 0) 图 0, π 3 内 且仅 两 对称轴，一个对称中 ， 实数 ω 取 围 . 【 】 15 4 <ω≤ 21 4 【解 】由 ， f x = sinωx+ cosωx= 2sin ωx+ π 4 ， 令ωx+ π 4 = kπ+ π 2 k∈Z ，解 x= kπ+ π4 ω k∈Z ， 令 k= 0,1,2， x= π 4ω , 5π 4ω , 9π 4ω ； 令ωx+ π 4 = kπ k∈Z ，解 x= kπ- π4 ω k∈Z ， 令 k= 1,2， x= 3π 4ω , 7π 4ω . ， 5π 4ω< π 3 9π 4ω≥ π 3 3π 4ω< π 3 7π 4ω≥ π 3          ,解 15 4 <ω≤ 21 4 . 故 为： 15 4 <ω≤ 21 4 . 678. (2024 · ·模拟 ) 方 ABCD - A1B1C1D1中，AB= 4，BC=BB1= 2，E，F 棱AB，A1D1 中点， CEF 该 方 为 边 ， 积为 . 【 】 五 /5 11 17 6 / 11 6 17 【解 】过F EC 行线交D1C1于M，交A1B1于 P，连 PE，交A1A于N，连 FN ,NE， 直线FM与 直线EC ，且点N∈PE,P∈MF,E∈EC， 点N也 直线FM与直线EC 定 上， 以可 五边 ECMFN为 CEF 该长方 ， 如图：H为A1B1中点，G为D1C1中点， CF⎳C1H⎳A1G， 以FM⎳A1G， 以M为D1C1 近D1 四 点， D1M⎳A1P，且F为A1D1中点， 以D1M=PA1 AE⎳A1P， 以 A1N NA = PA1 AE = D1M AE = 1 2 ， N 为A1A 近A1 三 点， 以FM= 1+1= 2 ,MC= 32+22= 13 ,FC= ·294· 1+42+22= 21， FN= 1+ 2 3  2 = 13 3 ,NE= 4 3  2 +22= 2 13 3 , EC= 22+22= 2 2，EF= 22+22+1= 3， cos∠FMC= 2+13-21 2× 2× 13 =- 3 26 ，cos∠EFC= 9+21-8 2×3× 21 = 11 3 21 ， cos∠NFE= 13 9 +9- 4×13 9 2× 133 ×3 = 7 3 13 ， 以 sin∠FMC= 1- 3 26  2 = 17 26 ，sin∠EFC= 1- 11 3 21  2 = 2 17 3 21 ， sin∠NFE= 1- 7 3 13  2 = 2 17 3 13 ， 以 积为 1 2 × 2 × 13 × 17 26 + 1 2 × 3× 21 × 2 17 3 21 + 1 2 × 13 3 × 3× 2 17 3 13 = 11 17 6 . 故 为：五； 11 17 6 . 679. (2024· 州·模拟 )已知“a> 0,b> 0”与 “a+ b= 1”互为充要 件，“ 1 a + 4a b ”“ 1 a + 1 b + 8 a2+b2 ” 之 为 ． 【 】23 【解 】 1 a + 4a b = a+b a + 4a b = 1+ b a + 4a b ≥ 1+ 2 b a × 4a b = 5， 且仅 b a = 4a b ， a= 1 3 ,b= 2 3 时取 号； 1 a + 1 b + 8 a2+b2 = a+b ab + 8 a2+b2 = (a+b)(a+b) ab + 8(a+b)2 a2+b2 = 2+ a 2+b2 ab + 8+ 16ab a2+b2 = 10+ a 2+b2 ab + 16ab a2+b2 ≥ 10+ 2 a 2+b2 ab ∙ 16ab a2+b2 = 18， 且仅 a2+b2 ab = 16ab a2+b2 a+b=1  ， a2+b2=4ab a+b=1  ， 解 a= 3+ 36 b= 3- 36  a= 3- 36 b= 3+ 36  时取 号， 以 1 a + 4a b 1 a + 1 b + 8 a2+b2 = a+b ab + 8 a2+b2 之 为 5+ 18= 23. 故 为：23. 680. (2024· ·模拟 )已知 事件A，B，P(A) = 1 3 ，P(B) = 1 4 ，P(A ∣ B) = 3 4 ， P(B  ∣ A) = . 【 】 7 16 【解 】 P(A|B) = P(AB) P(B) = 3 4 ， 以P(AB) = 3 4 P(B) = 3 4 × 1 4 = 3 16 故P(B ∣A) = P(AB) P(A) = 3 16 1 3 = 9 16 ， 以P(B  |A) = 1 -P(B|A) = 7 16 . 故 为： 7 16 . 681. (2024· ·二模)已知 差数 an  n 积 为 Tn，a1+ a9= 43 ，a1> 0，a10> 29 21 ， Tn取 时，n= ． 【 】7 【解 】设 差数 an  差为 d，由 a1+ a9= 2a5= 4 3 ， a5= 23 ， a1= 23 - 4d> 0，a10= 2 3 + 5d> 29 21 ， 1 7 < d< 1 6 ， an  数 ，且 a7= 23 + 2d< 1，a8= 2 3 + 3d > 23 21 > 1， 因此 1≤n≤ 7时，0< an< 1， n≥ 8时，an> 1， 因此T7 ，故Tn取 时，n= 7. 故 为：7 682. (2024· ·二模) 读下 两 料： 料 1． 曲线 轴与 点 定义：对 内一 曲线C，若存 直线 l， 对于曲线C上任 一点A， 要么点A 直线 l上，要么曲线C上存 与点A相 一点B， 点A与点B关于直线 l对称， 称曲线 C关于直线 l对称，直线 l称为曲线C 轴，曲线C与其 轴 交点称为曲线C 点． 料 2．某课外学习兴趣 组 过对 比 函数 y= k x k≠0  图 发 ： 比 函数 y= k x k≠0  图 曲线，其两 近线为 x轴 y 轴，两 近线 夹角为 π 2 ． ·295· ①若 曲线绕其中 旋转可 其 近线变为直 线 y=±x， 此可 其离 为 2． ②若 k> 0， y= k x 与 y= x 可 曲线 点 为 k, k ，- k,- k ． 完 下 ： 已知函数 y= 3 3 x+ 2 x  图 曲线C，直线 y = 3 3 x y轴 曲线C 两 近线， 曲线C 于 一 点 为 ． 【 】 2 3 3 ,2 / 23 3,2  【解 】直线 y= 3 3 x y轴 双曲线C 两 近 线， 由 读 料可知，双曲线C 焦点 对称轴 直 线 y= 3x. 由 点 定义知，对称轴与双曲线 交点 点， 立 y= 33 x+ 2 x  y= 3x  ， 解 ： x=1 y= 3  x=-1 y=- 3  ， 以双曲线C 于 一 点为 1, 3 . 若 双曲线C绕 中 旋转可 近线变为直 线 y=± 3 3 x， 双曲线C 离 e= 1+ 3 3  2 = 2 3 3 ， 设双曲线C 于 一 焦点 为 x0,y0 ， x0 1 = 2 3 3 ， 以 x0= 2 33 ， 以 y0= 3x0= 2， 以双曲线C 于 一 焦点 为 2 3 3 ,2 . 故 为： 2 3 3 ,2  683. (2024 · 台 ·二模)如图，四边 ABCD EFGH 两个相 矩 ， 积 为 300，图中 部 也 四个相 矩 ， 部 MN，NP，PQ，QM 起， 一个无盖 方 ， 该 方 积 大 为 ． 【 】1000 【解 】由 设AD= x x>0 ，因为ABCD 积为 300， 以AB= 300 x x>0 ， ：MQ=MN=AD= x x>0 ， 以AM= AB-MN 2 = 300 x -x 2 = 150 x - x 2 x>0 ， 长方 积为V=MN ⋅MQ ⋅AM= x2 150 x - x 2 =- 1 2 x3+ 150x x>0 ， V=- 3 2 x2+ 150 x>0 ，令V= 0， x= 10， 以 x∈ 0,10 时，V> 0，函数 0,10 上 ， x∈ 10,+∞ 时，V< 0，函数 10,+∞ 上 减， 以 x= 10时，V取 大 ， 大 为V=- 1 2 × 10 3+ 150× 10= 1000. 故 为：1000 684. (2024 ·宁夏 ·一模) △ABC中，BC = 3 AC， ∠BAC= π 3 ，点D与点 B 直线AC 两 ， 且 AD = 1，DC = 3， BD 大 ． 【 】3 3 【解 】 如图， △ABC中，由正 定 ： BC sin∠BAC = AC sin∠ABC 可 ：sin∠ABC= 1 2 ，因∠BAC= π 3 ， ∠ABC= π 6 ， ∠ACB= π 2 . 设AC= x， BC= 3x， △ADC中，设∠ADC= θ，由正 定 ， AD sin∠ACD = AC sinθ ， ：sin∠ACD ·296· = sinθ x ， 由 定 可 ：AC2=AD2+DC2- 2AD ⋅ DCcosθ， x2= 4- 2 3cosθ. △BDC中，由 定 ，BD2=BC2+CD2- 2BC ⋅ CDcos∠BCD= 3x2+ 3- 6xcos π 2 +∠ACD = 3x2 + 3+ 6xsin∠ACD= 3x2+ 3+ 6x ⋅ sinθ x = 3(4- 2 3cosθ) + 3+ 6sinθ= 6sinθ- 6 3cosθ+ 15= 12sin θ- π 3 + 15, 因 0< θ< π， - π 3 < θ- π 3 < 2π 3 ， θ- π 3 = π 2 时， θ= 5π 6 时，BD2max= 27，此时BDmax= 3 3 . 故 为：3 3 . 685. (2024· ·二模)已知 差数 an (公差不 为 0) 差数 bn  n 为 Sn,Tn，如 关于 x 实系数方 1003x2- S1003x+ T1003= 0 实数解， 以下 1003 个方 x 2 - a ix + b i = 0 i=1,2,⋯,1003 中， 实数解 方 至 个. 【 】502 【解 】由 ，S21003- 4× 1003T1003≥ 0， 因为S1003= 1003(a1+a1003) 2 = 1003a502，T1003= 1003(b1+b1003) 2 = 1003b502， 代 a2502- 4b502≥ 0，要 方 x2- aix+ bi= 0 i=1,2,⋯,1003  实数解， a2i - 4bi≥ 0(i= 1,2, ⋯ ,1003)， 然 502个方 解，设方 x2- a1x+ b1= 0与方 x2- a1003x+ b1003= 0 为Δ1,Δ1003， Δ1+Δ1003= (a21- 4b1) + (a21003- 4b1003) = a21+ a21003- 4(b1+ b1003)≥ (a1+a1003)2 2 - 4× 2b502 Δ1+Δ1003≥ (2a502)2 2 - 8b502= 2(a2502- 4b502)≥ 0， 号 立 件 a1= a1003， 以Δ1≥ 0，Δ1003≥ 0中至 一个 立， 可 Δ2≥ 0，Δ1002≥ 0中至 一个 立，⋯，Δ501 ≥ 0，Δ503≥ 0中至 一个 立，且Δ502≥ 0， 综上， 给 1003个方 中， 实 方 502个， 故 为：502. 686. (2024· 郸·二模)正五角 一个 几 图 ，其与黄金 密 系， 如 图 示 五角 中，以A,B,C ,D,E为 点 多边 为正边边 ，设 ∠CAD = α， cosα + cos2α + cos3α+ cos4α= ，cosαcos2αcos3αcos4α= ．    【 】 0 1 16 /0.0625 【解 】正五角 可 5个 3角 1个正五边 ,五个 3角 自角 之 180° 正五边 角 180° × 5-2 = 180° × 3= 540°；每 个角为 540° 5 = 108°， 三角 三角 ， 角 五边 外角， 角 为 180° -108° = 72°， 三角 角 为 180°， 么三角 角， 五角 角 180° -72° × 2= 36°， ∠CAD= α= 36°. cosα+ cos2α+ cos3α+ cos4α= cos36° +cos72° +cos108° +cos144° = cos36° +cos72° +cos 180°-72° + cos 180°-36°  = cos36° +cos72° -cos72° -cos36° = 0; cosαcos2αcos3αcos4α= cos36°cos72°cos108°cos144° = cos36°cos72° 2 因为 cos36° ⋅ cos72°= 2sin36 °⋅cos36°⋅cos72° 2sin36° = sin72°⋅cos72° 2sin36° = sin144 ° 4sin36° = 1 4 , 以 cosαcos2αcos3αcos4α= 1 16 . 故 为：0；1 16 . 687. ( 2024 · 郸 ·二模 ) 方 ABCD - A1B1C1D1中，AB= 5,AD= 3,AA1= 4， α⎳ A1ABB1， α 四 ACD1B1 积 大 为 ． 【 】10 【解 】 α 四 ACD1B1 如图 示， 设 B1T B1C1 = λ， TR TW = TM TU = VN VU = VS VW = λ， 以四边 NSRM为 行四边 ， 且MR⎳UW ,MN⎳TV， 矩 UVWT中，UV= 4,VW= 5,TM= 5λ,MU= ·297· 5 1-λ ，TR= 4λ,RW= 4 1-λ ， S 行四边 NSRM=S 行四边 UVWT- 2S△NVS- 2S△SWR = 20- 20 λ2+ 1-λ 2 = 20- 20 2 λ- 1 2  2 + 1 2    ≤ 20- 20× 1 2 = 10， 且仅 λ= 1 2 时， 号 立. 故 为：10. 688. (2024·安 ·二模)已知实数 x,y,z，满足 y+ z - 2 = 0， x2+y2+z2 + (x-2)2+y2+z2 + (x-1)2+y2+(z-2)2 + (x-1)2+(y-2)2+z2 为 ． 【 】2 3+ 2 2 【解 】如图，设正方 边长为 2，建立如图 示 间直角 系， 设P x,y,z 为 间任 一点，因为 y+ z- 2= 0， P ABC1D1 运 ， x2+y2+z2+ (x-2)2+y2+z2表示P与点 A1 0,0,0  点B1 2,0,0  距离之 ， 因为A1 于 ABC1D1 对称点为D，故PA1+ PB1≥DB1= 2 3， 且仅 P为DB1中点 P为正方 中 时 号 立； (x-1)2+y2+(z-2)2+ (x-1)2+(y-2)2+z2 表示P与点M 1,0,2  点N 1,2,0  距离之 ， PM+PN≥MN= 2 2， 且仅 P MN 直线上时 号 立， 故 x2+y2+z2+ (x-2)2+y2+z2+ (x-1)2+y2+(z-2)2+ (x-1)2+(y-2)2+z2 为 2 3+ 2 2， 且仅 P为正方 中 时 号 立 故 为：2 3+ 2 2 689. (2024·安 ·二模) 物线C :y2= 4x 点为 F，准线为 l,A为C上一点，以点 F为 ，以 AF  为 与 l交于点 B,D，与 x轴交于点M ,N， 若AB  =FM  ， AM   = ． 【 】4 3 【解 】 物线C:y2= 4x 焦点为F 1,0 ， 线 l：x= -1，设 线与 x轴交于点E， E -1,0 ， B、D y轴 左 ， AB  =FM  ， 以M 也 y轴 左 且B点 x轴上方， AD为 F 直 ， 以∠ABD= π 2 ， AB⊥ BD， 由 物线 定义可知 AB = AF ， BF = AF ， 以△ABF为 边三角 ， 以∠BAF=∠AFB= π 3 ， ∠BFM=∠AFN= π 3 ， 以 BF = EF  cos∠BFM = 4， 以 BF = AF = MF = 4，∠AFM= 2π 3 ， △AFM中 AM = AF 2+ MF 2-2 AF MF cos∠AFM = 42+42-2×4×4× - 1 2 = 4 3 . 故 为：4 3 . 690. (2024·高三· 东 泽· 段练习)如图， O内 于 柱O1O2， 柱 高为 2，EF为 O1 一 直 ，D为 O2上任 一点， DEF O 积 为 ；若M为 柱 交线上 一点， △MEF 取 围 为 ． ·298·    【 】 4 5 π 5+3，2 3+2  【解 】过点O ABCD OG⊥DO1， 足 为G，如下图 知O1O2⊥CD，O1O2= 2,O2D= 1， 由勾 定 可 O1D= O1O22+O2D2= 5， 由 可 OG= 1 2 × O1O2·O2D O1D = 1 2 × 2×1 5 = 5 5 ， 设O DEF 距离为 d1， DEF 为 r1， 因为O1D⊂ DEF， OG⊥ DEF，d1取 大 OG， d1≤OG= 55 ， 以 r1= 1-d1 2≥ 1- 1 5 = 2 5 5， 以 DEF 积 为 π× 2 5 5  2 = 4 5 π． 由 可知，点M 过 与 柱 行 上，设P 为M ， 如图： MM = 1，ME= 1+M E 2 ,MF= 1+M F 2， 由勾 定 可 M E 2+M F 2= 4，令M F 2= 2- t， M E 2= 2+ t， 中-2≤ t≤ 2， 以ME+MF= 3+t+ 3-t， 以 ME+MF 2= 3+t+ 3-t 2= 6+ 2 9-t2 ∈ 6+2 5,12 ， 因此ME+MF∈ 5+1,2 3 ， 以△MEF 长 取 围为 5+3,2 3+2 ． 故 为： 4 5 π； 5+3,2 3+2  691. (2024·高三· · 段练习)已知定义 R上 函数 y = f x  函数， x ≥ 0时，f x = 2sin πx2 , 0≤x≤1 1 2  x+ 32 , x>1  ，若关于 x 方 f x   2 + 2af x + b= 0 a,b∈R  且仅 6个不 实数 ， 实数 a 取 围 . 【 】 -2,- 7 4 ∪ - 7 4 ,- 3 4  【解 】由 可知，函数 f x  图 如图 示， 函数图 ， 函数 f x  -∞,-1 , 0,1 上 ， -1,0 , 1,+∞ 上 减， 故 x=±1时取 大 2， x= 0时取 0， 直线 y= 3 2 该图 近线.令 f x = t， 于 x 方 f x  2+ 2af x + b= 0 a,b∈R 可 t2+ 2at+ b= 0， 此时 于 t 方 该 两个不相 实数 ， 设 t1,t2为方 两个实数 ， 然， 以下两种 ： ① t1∈ 0, 32 ,t2∈ 3 2 ,2 时，-2a= t1+ t2∈ 3 2 , 7 2 ， a∈ - 7 4 ,- 3 4 ； ② t1= 2,t2∈ 32 ,2 时，-2a= t1+ t2∈ 7 2 ,4 ， a ∈ -2,- 7 4 . 综上可知，实数 a 取 围 -2,- 7 4 ∪ - 7 4 ,- 3 4 . 故 为：-2,- 7 4 ∪ - 7 4 ,- 3 4 . 新高 数学 轴 好 ( 二) ·299·