新高考数学选填压轴题好题汇编(十二)-遇见最美的数学系列——选填压轴好题汇编

126 新高考数学选填压轴题好题汇编 (十二) 一、 692. (2024· 东 州·模拟 )已知函数 f x  定义域为R，且满足 f x =- f 2-x , f x+2 为 函 数， x∈ 1,2 时，f x = ax2+ b，若 f 0 + f 3 = 6， f 25 3 = ( ) A. 32 9 B. 11 3 C. - 4 3 D. - 17 9 693. (2024· 东 州·模拟 )已知正方 ABCD-A1B1C1D1 边 为 1， 一个 α，且 α∥ A1BD， α 此正方 边数 多时，记此时 积为S， 为 l， ( ) A. S不为定 ，l为定 B. S为定 ，l不为定 C. S与 l 为定 D. S与 l 不为定 694. (2024· ·二模)若 角 α,β满足 3cos α+β = cosαcosβ， tan α+β  为 ( ) A. 2 2 B. 2 3 C. 2 5 D. 2 6 695. (2024· ·二模)如图， △ABC中，∠BAC= 120°，其内 与AC边相 于点D，且AD= 1.延 BA至点E. BC=BE，连 CE.设以C,E两点为 点且经过点A 离 为 e1，以C,E 两点为 点且经过点A 曲线 离 为 e2， e1e2 取 围 ( ) A. 3 2 ,+∞  B. 32 ,+∞  C. 1,+∞  D. 1,+∞  696. (2024·高二· 西 乡· ) 斯 · 日 18~19世纪法国 几 学家，他 时发 ： 任 两 互相 直 线 交点都 一个 上，其 中 ，这个 被称为“ 日 ” (如图)．已知 C：x 2 9 + y 2 7 = 1，P 直线 l：4x- 3y+ 20= 0上一点，过P C 两 线， 点 为M、N，连 OP(O 点)， ∠MPN为直角时，直线OP 斜 kOP= ( ) 127    A. 4 3 B. - 4 3 C. 3 4 D. - 3 4 697. (2024·高三·安 · )已知 log6a= 14 ，log4b= 1 3 ，c= 1+e  1 e， ( ) A. a< b< c B. b< c< a C. b< a< c D. a< c< b 698. (2024·全国·模拟 )已知△ABC 内角A，B，C 对边 为 a，b，c，若△ABC 积为 a 2 4 ， b2+c2 bc 大 为 ( ) A. 2 B. 3 C. 2+ 1 D. 2 2 699. (2024· 直辖 级 ·模拟 )已知函数 f x = lg -x , x<0 1- x-1 , 0≤x<2 f x-2 , x≥2      图 间 -t,t  (t> 0)内 好 5对关于 y轴对称 点， t 可以 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 700. (2024·福建三 ·三模)已知 物线 x2= 2py p> 0) 点为F， 一 两点A，B 物线上，且 满足 |AF| -|BF| = 3,|AB| = 3 2 .若线段AB中点 横 为 3， p 为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 701. (2024 ·福建三 ·三模)已知函数 f x = ex-1 - e 1-x + x 3 - 3x 2 + 3x，若实数 x,y满足 f 3x2 + f 2y2-4 = 2， x+ y 大 为 ( ) A. 1 B. 5 2 C. 5 D. 30 3 702. (2024·福建福州·模拟 )四棱 E-ABCD 点 O 上， ABCD为矩 ， BEC⊥ ABCD，BC= 5，CD=CE= 1，BE= 2， O ADE 距离为 ( ) A. 1 3 B. 1 4 C. 2 4 D. 5 8 703. (2024· 京·二模)已知 C 左、右 点 为 F1，F2，下 点为A，直线AF1交C于另一点 B，△ABF2 内 与BF2相 于点P．若 BP = F1F2 ， C 离 为 ( ) 128 A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4 704. (2024· 京·二模) 斜△ABC中，若 sinA= cosB， 3tanB+ tanC 为 ( ) A. 2 B. 5 C. 6 D. 4 3 705. (2024· 信 ·一模)已知实数 a,b满足 a2+ b2- |a| -|b| = 0， |a+ b- 3| 与 大 之 为 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 706. (2024· 台·二模)设A，B，C，D为 物线 x2= 4y上不 四点，点A，D关于该 物线 对称 轴对称，BC 行于该 物线 点D处 线 l，设点D 直线AB 直线AC 距离 为 d1，d2， 且 d1+ d2=AD， sin∠CAB= ( ) A. 1 2 B. 3 2 C. 1 4 D. 3 4 707. (2024·辽宁·二模) 数字 1、2、3 写 9 片上，其中 4 写 1，4 写 2，1 写 3， 这 9 片 三行三 ，每行每 都 三 片， 每行 每 片上数字 为奇数 法 种 数 ( ) A. 30 B. 27 C. 54 D. 45 708. (2024·辽宁·二模)正三角 ABC 直于正三角 ABD ，且A，B，C，D四点 为 5 O 上， CD 为 ( ) A. 5 B. 2 2 C. 4 D. 3 2 709. (2024·辽宁·二模)已知正实数 a,b，记M=max 4a,b, 1 ab  ， M 为 ( ) A. 2 B. 2 C. 1 D. 3 710. (2024· 西西安·模拟 )已知 曲线 x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a> 0,b> 0) 左、右 点 为 F1,F2，右 点 F2 近线 距离为 3+ 3，过F1 C :x2+ y2= a2 线，交 曲线右支于点M，若 cos∠F1MF2= 1 2 ， C 积为 ( ) A. 9π B. 8π C. 6π D. 4π 711. (2024·全国·模拟 )已知数 an 满足 a1= 1,a2= 1,an+1= 2an+ 3an-1 n≥2 ，数 an  n 为Sn， S2023= ( ) A. 3 2024-1 2 B. 3 2024-4 8 C. 3 2025-2 2 D. 3 2023+1 4 129 712. (2024·高三· 武 · 段练习)点P 边 为 1 正六边 ABCDEF边上 点， PA  ⋅PB  大 为 ( ) A. 2 B. 11 4 C. 3 D. 13 4 713. (2024·高三· 武 · 段练习)已知 曲线E: x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a> 0,b> 0) 右 点为F，其左右 点 为A,B，过 F且与 x轴 直 直线交 曲线 E于M ,N两点，设线段MF 中点为P，若直线BP 与直线AN 交点 y轴上， 曲线E 离 为 ( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 714. (2024·高三· 州· 中) 函数 f x = cos2x- sin2x 图 右 移 π 3 个 函数 g x  图 ，若 f x  g x  间 a,b 上都 ， b- a 大 为 ( ) A. π 2 B. π 3 C. π 4 D. π 6 715. (2024·高三· 州· 中)已知正六棱 P-ABCDEF 高为 2 3， 与 角 正 为 4， 该正六棱 内 正六棱柱 ( 正六棱柱 点 正六棱 棱 上) 外 表 积 为 ( ) A. 4 3π B. 4π C. 3 3π D. 3π 二、多 716. (2024· 东 州·模拟 )已知 曲线E: x 2 3 - y 2 b2 = 1(b> 0),F为其右 点，点F 近线 距离为 1， 行四边 ABCD 点 曲线E上，点F 行四边 ABCD 边上， ( ) A. b= 2 B. AF - CF  = 2 3 C. 若 行四边 ABCD 边 直线 斜 存 ， 其 不为± 3 3 D. 四边 ABCD 积SABCD≥ 8 3 3 717. (2024· ·二模) 菱 ABCD中，AB= 2 3 ,∠ABC= 60°. 菱 ABCD 对角线AC 大 为 θ(0° < θ< 180°) 二 角B-AC-D，若 四 ABCD内 于 O， 下 说法正 ( ) A. 四 ABCD 积 大 3 3 B. BD 取 围 3 2,6  C. 四 ABCD 表 积 大 6+ 6 3 130 D. θ= 60°时， O 积为 52 39 27 π 718. (2024· ·二模)已知函数 f x  其导函数 f  x  定义域 为 R，记 g x = f  x .若 f x 满足 f 2+3x = f -3x ,g x-2  图 关于直线 x= 2对称，且 g 0 = 1， ( ) A. g x  函数 B. g x = g x+4  C. f x + f -x = 0 D. 2024 k=1 g k2 = 0 719. (2024·高一· 延边· )若实数 x,y满足 2x+ 2y+1= 1， 下 正 ( ) A. x< 0且 y<-1 B. 1 2  x + 1 2  y-1 为 9 C. x+ y 为-3 D. 1 2  x + 1 2  y-1   ⋅ 2 x+y< 2 720. (2024· 东 门·一模)已知曲线E: x x  4 + y y  8 = 1， 下 结论正 ( ) A. y x 大 减 B. 曲线E 横 取 围为 -2,2  C. 曲线E与直线 y=-1.4x相交，且交点 二 D. M x0,y0  曲线E上任 一点， 2x0+y0  取 围为 0,4  721. (2024·福建三 ·三模) 棱 为 2 正方 ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G 为 AB，BC，C1D1 中点， 下 说法正 ( ) A. 若点P 正方 表 上，且PE  ⋅PG  = 0， 点P 轨迹 为 24π B. 若三棱 F-C1CE 点都 O 表 上， O 表 积为 14π C. 过点E,F,D1 正方 ABCD-A1B1C1D1 多边 为 2+ 2 13 D. 若 一 正方 纸 此正方 完全 ，不 虑纸 ，不 纸 ， 纸 积 为 32 722. (2024·福建福州·模拟 )已知函数 f x = ax ex+e-x - ex+ e-x 三个零点 x1，x2，x3，且 x1< x2< x3， ( ) A. x1+ x2+ x3= 0 B. 实数 a 取 围为 0,1  C. ax1+ 1> 0 D. ax3+ a> 1 723. (2024· 京·二模)已知 行六 ABCD - A1B1C1D1 棱 为 2，∠A1AB = ∠A1AD = ∠BAD= 60°，点P △A1BD内， ( ) A. A1P⎳ B1CD1 B. A1P⊥AC1 C. PC1 ≥ 6 AP  D. AP + PC1 ≥ 2 6 131 724. (2024· 京·二模)已知函数 f(x)满足 f(x)f(y) = f(xy) + |x| +|y|， ( ) A. f(0) = 1 B. f(1) =-1 C. f(x) 函数 D. f(x) 奇函数 725. (2024· 东 ·一模) 为 且母线与 都 直 柱 称为“ 柱”.如图， 柱 (OO 中 轴AB= 4，短轴 CD= 2 3，F1,F2为下 左右 点，F2为上 右 点， AA= 4，P为线段BB上 点，E 为线段AB上 点，MN 为过点F2 下 一 (不 与AB )， 下 正 ( )    A. F1F2⎳ PMN时，P为BB 中点 B. 三棱 F2-F2CD外 表 积为 8π C. 若点Q 下 上 点，Q 点Q 上 ，且QF1，QF2与下 角 为 α,β， tan α+β  大 为- 16 13 D. 三棱 E-PMN 积 大 为 8 726. (2024· 信 ·一模)若关于 x 不 ex-2+ x≥ 2ax2- xlnx 0，+∞ 上 ， 实数 a 可以 ( ) A. 1 e B. 1 2 C. e 3 D. 2 727. (2024·辽宁·二模)△ABC 为点G，点O，P △ABC 内两个不 点，满足OP  = OA  +OB  +OC  ， ( ) A. O,P,G三点共线 B. OP  = 2OG  C. 2OP  =AP  +BP  +CP  D. 点P △ABC 内部 728. (2024·辽宁·二模)已知函数 f (x) = cos(ωx + φ) ω>0,|φ|< π 2 满足 f x- π 2 = f (-x), f π 6 + f π 3 = 0，且 π 12 , 5π 12 上 减， ( ) A. 函数 y= f(x) 图 关于点 π 4 ,0 对称 B. φ可以 于- π4 C. ω可以 于 5 D. ω可以 于 3 132 729. (2024·云 红 ·二模)某种高精 产 发 ，一 业 产 试 产， 设试产 共 、乙、 丙三 产线且每天 产数 如下表 示： 产线 次 产 (件 /天) 5% 500 乙 3% 700 丙 4% 800 试产 每天都 对每一件产 进行 ， 方 括 能 人工 ， 择 方 规 如 下： 一天 择 能 ， 每天 计 可能 数字“0”“1”，连续 5次， 5次 数字相 ，若 于 4， 该天 方 一天相 ， 择另一种 方 . 下 中正 ( ) A. 若计 5次 数字之 为 ξ， P(ξ< 4) = 3 16 B. 设n≥ 2,An表示事件 n天该 业产 择 能 ， P An = 58 P An-1 + 3 16 C. 若每天任 一件产 ， 这件产 为次 为 3.75% D. 若每天任 一件产 ， 这件产 次 ， 该次 自 产线 为 25 78 730. (2024· ·模拟 )已知函数 f x = lnx x ,e 自 对数 数， ( ) A. f 2 < f 3  B. 若 x1lnx2= x2lnx1， x1+ x2= 2e C. f x  大 为 1 e D.“0< x< 2”“x 1 x<(x+ 1) 1 x+1” 充 不 要 件 731. (2024·高三· 武 · 段练习)定义 R上 函数 f x 与 g x  导函数 为 f x  g x ，若 g x - f 3-x = 2，f x = g x-1 ，且 g -x+2 =-g x+2 ， 下 说法中一定正 ( ) A. g x+2 为 函数 B. f x+2 为奇函数 C. 函数 f x  函数 D. 2024 k=1 g (k) = 0 732. (2024 ·高三 · 州 · 中)已知函数 f  x 为定义 R上 函数 f x  导函数，f -1+x + f -1-x = 0，f 2x+1 + f -2x+1 = 0，且 f 0 = 3， 下 说法正 ( ) A. 函数 f x  图 关于直线 x=-1对称 B. 函数 f x  图 关于点 1,0 对称 C. f 16 = 3 D. 15 i=1 i f(2i) = 0 133 733. (2024·高三· 州· 中)已知点P -1,0 为 物线C:y2= 2px(p> 0) 准线与 x轴 交点，M ,N 为C上不 两点 (其中M 一 )，F为 物线 点，O为 点， 下 说法正 ( ) A. 若 MN = 10， MN中点横 为 4 B. 若M ,N ,P三点共线，且MF⊥NF， 直线MN 斜 为 2 C. 若M ,F,N三点共线，且MN  = 4FN  ， 直线MN 斜 为 3 D. 若M ,F,N三点共线，且△OMN 外 与C 交点为D( 于,N ,M )， △DMN x轴上 三、 734. (2024· 东 州·模拟 )若 x> 0，关于 x 不 x a e2x ≥ 2alnx- 4x+ 1 ， 正实数 a 大 为 . 735. (2024· ·二模)若一个正三棱台 点之间 距离 为 1, 3,2 ，且该三棱台 点都 O 表 上， O 表 积为 . 736. (2024· ·二模) 数论中 四 方 定 早 欧 提出， 被 日 数学家证 ．四 方 定 内容 ：任 正整数都可以表示为不超过四个自 数 方 ， 如正整数 6= 22+ 12+ 12+ 02．设 25= a2+ b2+ c2+ d2，其中 a,b,c,d 为自 数， 满足 件 数组 a,b,c,d  个数 .( 数字 ) 737. (2024·黑 ·二模)设A为 曲线 Γ: x 2 a2 - y 2 b2 = 1 a>0,b>0  一个实轴 点，B,C为 Γ 近线上 两点，满足BC  = 4AC  ，AC = a， Γ 近线方 ． 738. (2024·高三· 东 泽· 段练习)如图， O内 于 柱O1O2， 柱 高为 2，EF为 O1 一 直 ，D为 O2上任 一点， DEF O 积 为 ；若M为 柱 交线上 一点， △MEF 取 围为 ．    739. (2024·福建三 ·三模)记N *m= 1,2,3,⋯,m m∈N * ,Ak表示 k个元 ，S(E)表示 数 E中 元 ，若 Mm,k= S Ak |Ak⊆N *m ， M4,3= ，若S Mm,2 ≥ 817， m 为 . 134 740. (2024·福建三 ·三模)已知关于 x 不 x-kex x2- k+3 x+9 ≤ 0对任 x∈ 0,+∞  ， 实数 k 取 围为 . 741. (2024·福建福州·模拟 ) 斜角为 π 3 直线经过 物线C：y2= 12x 点 F，且与C交于A，B 两点，Q为线段AB 中点，P为C上一点， PF + PQ  为 ． 742. (2024·福建福州·模拟 )如图，六 ABCDA1C1D1 一个 ABCD 边 为 2 正方 ，AA1， CC1，DD1 直于 ABCD，且AA1= 1，CC1= 2， 该六 积 于 ，表 积 于 ． 743. (2024· 京·二模)已知函数 f (x) = x3- ax + 1(a ∈ R) 两个 点为 x1，x2 x1<x2 ，记 A x1,f x1  ，C x2,f x2  ．点B，D f(x) 图 上，满足AB，CD 直于 y轴．若四边 ABCD 为菱 ， a= ． 744. (2024· 京·二模) 四边 ABCD中，∠A= 135°，∠B=∠D= 90°，AB= 2，AD= 2， 四边 ABCD 积为 ． 745. (2024· 台·二模)如图，四边 ABCD EFGH 两个相 矩 ， 积 为 300，图中 部 也 四个相 矩 ， 部 MN，NP，PQ，QM 起， 一个无盖 方 ， 该 方 积 大 为 ． 746. (2024·宁夏·一模) △ABC中，BC= 3AC，∠BAC= π 3 ，点D与点B 直线AC 两 ，且 AD= 1，DC= 3， BD 大 ． 747. (2024·辽宁·二模)已知 C : x 2 a2 + y 2 b2 = 1 a>b>0  右 点 F，过点F 直线 l交 于点A， 135 B，过点F与直线 l 直 线交 于点P，AB = 12 5 PF ，且三点A,O,P共线 (其中O 点)， 离 为 . 748. (2024·辽宁·二模)已知函数 y1= x 1 2 图 与函数 y2= ax(a> 0且 a≠ 1) 图 公共点处 相 线， a= ， 线方 为 . 749. (2024· 西 州·一模)已知点 F 曲线C : x 2 a2 - y 2 b2 = 1 a>0,b>0  右 点，过 F 直线 l与C 交于M ,N两点，点P与点M关于 点对称，PF⊥MN．若F为线段MN上 近点M 四 点， C 离 为 ． 750. (2024· 东 ·二模)若函数 f x = exlnx+ xex- alnx x - a(a∈R) 2个不 零点， 实数 a 取 围 ． 751. (2024·高三· 武 · 段练习)设A,B,C 一个三角 三个内角， cosA 3sinB+4sinC  为 . 752. (2024·高三· 州· 中)已知F1,F2为 C : y2 a2 + x 2 b2 = 1(a> b> 0) 两个 点，P为 C上 一点，且△PF1F2 为 6， 积 大 为 3， C 离 为 . 753. (2024·高三· 州· 中)已知 a,b,c 为△ABC 内角A,B,C 对边，且 3 b-acosC = csinA， A = ；内角 A 线交 BC于点M，若 a = 4,AM = 2 2 3 ， △ABC 积为 .    【 】 4 5 π 5+3，2 3+2  【解 】过点O ABCD OG⊥DO1， 足 为G，如下图 知O1O2⊥CD，O1O2= 2,O2D= 1， 由勾 定 可 O1D= O1O22+O2D2= 5， 由 可 OG= 1 2 × O1O2·O2D O1D = 1 2 × 2×1 5 = 5 5 ， 设O DEF 距离为 d1， DEF 为 r1， 因为O1D⊂ DEF， OG⊥ DEF，d1取 大 OG， d1≤OG= 55 ， 以 r1= 1-d1 2≥ 1- 1 5 = 2 5 5， 以 DEF 积 为 π× 2 5 5  2 = 4 5 π． 由 可知，点M 过 与 柱 行 上，设P 为M ， 如图： MM = 1，ME= 1+M E 2 ,MF= 1+M F 2， 由勾 定 可 M E 2+M F 2= 4，令M F 2= 2- t， M E 2= 2+ t， 中-2≤ t≤ 2， 以ME+MF= 3+t+ 3-t， 以 ME+MF 2= 3+t+ 3-t 2= 6+ 2 9-t2 ∈ 6+2 5,12 ， 因此ME+MF∈ 5+1,2 3 ， 以△MEF 长 取 围为 5+3,2 3+2 ． 故 为： 4 5 π； 5+3,2 3+2  691. (2024·高三· · 段练习)已知定义 R上 函数 y = f x  函数， x ≥ 0时，f x = 2sin πx2 , 0≤x≤1 1 2  x+ 32 , x>1  ，若关于 x 方 f x   2 + 2af x + b= 0 a,b∈R  且仅 6个不 实数 ， 实数 a 取 围 . 【 】 -2,- 7 4 ∪ - 7 4 ,- 3 4  【解 】由 可知，函数 f x  图 如图 示， 函数图 ， 函数 f x  -∞,-1 , 0,1 上 ， -1,0 , 1,+∞ 上 减， 故 x=±1时取 大 2， x= 0时取 0， 直线 y= 3 2 该图 近线.令 f x = t， 于 x 方 f x  2+ 2af x + b= 0 a,b∈R 可 t2+ 2at+ b= 0， 此时 于 t 方 该 两个不相 实数 ， 设 t1,t2为方 两个实数 ， 然， 以下两种 ： ① t1∈ 0, 32 ,t2∈ 3 2 ,2 时，-2a= t1+ t2∈ 3 2 , 7 2 ， a∈ - 7 4 ,- 3 4 ； ② t1= 2,t2∈ 32 ,2 时，-2a= t1+ t2∈ 7 2 ,4 ， a ∈ -2,- 7 4 . 综上可知，实数 a 取 围 -2,- 7 4 ∪ - 7 4 ,- 3 4 . 故 为：-2,- 7 4 ∪ - 7 4 ,- 3 4 . 新高 数学 轴 好 ( 二) ·299· 一、 692. (2024· 东 州·模拟 )已知函数 f x  定义 域为 R，且满足 f x =- f 2-x , f x+2 为 函 数， x∈ 1,2 时，f x = ax2+ b，若 f 0 + f 3  = 6， f 25 3 = ( ) A. 32 9 B. 11 3 C. - 4 3 D. - 17 9 【 】A 【解 】因为 f x =-f 2-x ①， 以函数 f x  图 于点 1,0 对称. 因为 f x+2 为 函数， 以 f -x+2 = f x+2 ②， 函数 f x  图 于直线 x= 2对称. 由①② f x+2 =-f x ， f x+4 =-f x+2 = f x ， 故 f x  为 4， 以 f 25 3 = f 8+ 1 3 = f 1 3 . 由 f -x+1 =-f x+1 ，令 x= 0， f 1 = 0， a+ b= 0③， 已知 f 0 + f 3 = 6，由函数 f x  图 于直线 x = 2对称， f 3 = f 1 = 0. 函数 f x  图 于点 1,0 对称， f 0 =-f 2  以 f 0 + f 3 =-f 2 = 6， f 2 =-6， 以 4a+ b=-6④， 立③④解 a=-2，b= 2， 故 x∈ 1,2 时，f x =-2x2+ 2. 由 f x  图 于点 1,0 对称， 可 f 1 3 =-f 5 3 =- -2× 5 3  2 +2  = 32 9 . 故 ：A. 693. (2024· 东 州·模拟 )已知正方 ABCD- A1B1C1D1 边 为 1， 一个 α，且 α∥ A1BD， α 此正方 边数 多 时，记此时 积为S， 为 l， ( ) A. S不为定 ，l为定 B. S为定 ，l不为定 C. S与 l 为定 D. S与 l 不为定 【 】A 【解 】正方 棱中，实 上 3组 行 棱，与 A1DB 行 且 边 时满足 件，如图 示， 正方 边长为 1， EF⎳A1B 设 EF A1B = λ， B1E A1B1 =B1E= λ， ∴ NE B1D1 = A1E A1B1 = 1- λ, ∴EF+NE= 2λ+ 2 1-λ = 2， 可 边 他相 两边 为 2， ∴ 边 长 l为定 3 2， 正三角 A1DB 积为 1 2 × 2 × 2sin60° = 3 2 . M ,N ,E,F,G,H 为中点时， 边 边长相 为正 边 时 积 大， 此时NG= 2 , 积为 1 2 × 2 2  2 × sin60° × 6 = 1 2 × 2 2  2 × 3 2 × 6= 3 3 4 ， ∴ 从A1DB 移 B1CD1 过 中， 积 变 过 由 大， 由大 ，故可 长 l为定 ， 积S不为定 . 故 ：A 694. (2024· ·二模)若 角 α,β满足 3cos α+β = cosαcosβ， tan α+β  为 ( ) A. 2 2 B. 2 3 C. 2 5 D. 2 6 【 】D 【解 】3cos α+β = cosαcosβ⇒ 3cosαcosβ- 3sinαsinβ= cosαcosβ⇒ tanαtanβ= 2 3 . 于 tan α+β = tanα+tanβ 1-tanαtanβ = 3 tanα+tanβ ≥ 6 tanαtanβ= 2 6， 且仅 tanα= tanβ= 6 3 时 取 号， tan α+β  为 2 6 . 故 ：D. 695. (2024· ·二模)如图， △ABC中，∠BAC = 120°，其内 与AC边相 于点D，且AD= 1.延 BA至点 E. BC= BE，连 CE.设以 C ,E 两点为 点且经过点A 离 为 e1，以C, E两点为 点且经过点A 曲线 离 为 e2， ·300· e1e2 取 围 ( ) A. 3 2 ,+∞  B. 32 ,+∞  C. 1,+∞  D. 1,+∞  【 】D 【解 】如图，设 与边BC,BE 相 于点F, G， 由 线长定 △BCE 对称 ，可设CF=CD= EG= x. 由AD= 1，可 AC= x+ 1,AE=EG-AG= x- 1. △ACE中，由 定 ，CE 2= (x+ 1)2+ (x- 1)2- 2 x+1 x-1 cos60° = x2+ 3. 于 双曲线 定义，e1e2= CEAC+AE ⋅ CE AC-AE = CE 2 AC2-AE 2 = x 2+3 2x ⋅2 = 1 4 x+ 3 x . 下 定 x 取 围. 设BF=BG= y， △ABC中，AC- x- 1.AB= y+ 1,BC= x+ y， 于 由 定 ，(x+ y)2= (x+ 1)2+ (y+ 1)2- 2 x+1 y+1 cos120°， 整 xy- 3 x+y - 3= 0，于 y= 3 x+1  x-3 > 0， 故 x> 3， 因为 y= x+ 3 x 3,+∞  ，可知 y= x + 3 x > 3+ 3 1 = 4， 可 e1e2= 14 x+ 3 x > 1， 以 e1e2 取 围 1,+∞ . 故 ：D. 696. (2024 ·高二 · 西 乡 · ) 斯 · 日 18~19世纪法国 几 学家，他 时发 ： 任 两 互相 直 线 交点都 一 个 上，其 中 ，这个 被称为“ 日 ”(如图)．已知 C：x 2 9 + y 2 7 = 1，P 直线 l：4x- 3y+ 20= 0上一点，过P C 两 线， 点 为M、N，连 OP(O 点)， ∠MPN为直角时，直线OP 斜 kOP= ( )    A. 4 3 B. - 4 3 C. 3 4 D. - 3 4 【 】D 【解 】由 C：x 2 9 + y 2 7 = 1可知：a= 3,b= 7， 如图长方 边与 轴 行时，长方 边长 为 6 2 7， 对角线长为 36+28= 8，因此 日 为 4， 方 为 x2+ y2= 16， ∠MPN为直角时，可知点 P x2+ y2= 16， 因为O 直线 4x- 3y+ 20= 0 距离为 d= 20 16+9 = 4， 以直线 l：4x- 3y+ 20= 0为 线， 因为直线 kl= 4 3 ，kl ⋅ kOP=-1， 以 kOP=- 3 4 . 故 ：D. 697. (2024·高三·安 · )已知 log6a= 14 ，log4b= 1 3 ，c= 1+e  1 e， ( ) ·301· A. a< b< c B. b< c< a C. b< a< c D. a< c< b 【 】A 【解 】由 log6a= 14 ， a= 6 1 4， log4b= 13 ， 以 b= 4 1 3， 以 a12= 6 1 4  12 = 216，b12= 4 1 3  12 = 256， 256> 216， 以 b12> a12， a> 0,b> 0， b> a， 令 y= (1+ x) 1 x(x> 1)， lny= 1 x ln(1+ x)， 以 1 y y =- 1 x2 ln(1+ x) + 1 x(1+x) ， y= - 1 x2 ln(1+x)+ 1 x(1+x)      (1+ x) 1 x= (1+x) 1 x x2(1+x) [x- (1+ x)ln(1+ x)]， 令 h(x) = x- (1+ x)ln(1+ x)， h(x) = 1- ln(1+ x) - 1=-ln(1+ x)< 0 间 (1, +∞)上 立， 以 h(x) = x- (1+ x)ln(1+ x) 间 (1, +∞)上 减， h(1) = 1- (1+ 1)ln(1+ 1) = 1- 2ln2= 1- ln4< 0， x∈ (1, +∞)时，(1+x) 1 x x2(1+x) > 0， y= (1+x) 1 x x2(1+x) [x- (1+ x)ln(1+ x)]< 0 间 (1, +∞)上 立， 以 y= (1+ x) 1 x 间 (1, +∞)上 减， e< 3， 以 c= 1+e  1 e>(1+ 3) 1 3= b， c> b> a， 故 ：A. 698. (2024·全国·模拟 )已知△ABC 内角A，B， C 对边 为 a，b，c，若△ABC 积为 a 2 4 ， b2+c2 bc 大 为 ( ) A. 2 B. 3 C. 2+ 1 D. 2 2 【 】D 【解 】 S△ABC= 1 2 bcsinA= a 2 4 ， 以 a2= 2bcsinA． 由 定 a2= b2+ c2- 2bccosA， 以 2bcsinA= b2+ c2- 2bccosA， 故 b2+c2 bc = 2sinA+ 2cosA= 2 2sin A+ π 4 ≤ 2 2， A= π 4 时 号 立, b2+c2 bc 大 为 2 2 . 故 ：D． 699. (2024· 直辖 级 ·模拟 )已知函数 f x = lg -x , x<0 1- x-1 , 0≤x<2 f x-2 , x≥2      图 间 -t,t  (t> 0)内 好 5对关于 y轴对称 点， t 可以 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【 】C 【解 】令 g x = 1- x-1 , 0≤x<2 g x-2 , x≥2  ，m x = lgx， 因为m x = lgx与 y= lg -x  图 于 y轴对称， 因为函数 f x = lg -x , x<0 1- x-1 , 0≤x<2 f x-2 , x≥2      图 间 -t,t (t> 0) 好 5对 于 y轴对称 点， 以问 转 为m x = lgx与 g x = 1- x-1 , 0≤x<2 g x-2 , x≥2  图 0,t (t> 0) 5个 不 交点， 一 直角 系中画出m x = lgx与 g x = 1- x-1 , 0≤x<2 g x-2 , x≥2  图 如下 示： 因为m 10 = lg10= 1， x> 10时m x > 1，g 1 = g 3 = g 5 = g 7 = g 9 = g 11 = 1， 结 图 及 可 t 可以 6， 他 不 要 ,. 故 ：C 700. (2024·福建三 ·三模)已知 物线 x2= 2py p> 0) 点为 F， 一 两点A，B 物线上，且 满足 |AF | -|BF | = 3,|AB| = 3 2 .若线段AB中点 横 为 3， p 为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 ·302· 【 】B 【解 】设A x1,y1 ,B x2,y2 ，由 |AF| -|BF| = 3 y1+ p 2 - y2+ p 2 = 3， y1- y2= 3； |AB| = 1+ 1 k2AB × |y1- y2| = 3 2，解 k2AB= 1， 由于A，B 一 ，故 kAB= 1， kAB= y2-y1 x2-x1 = x22 2p - x21 2p x2-x1 = x2+x1 2p = 1， 线段AB中点 横 为 3， x1+ x2= 6， 故 6 2p = 1, ∴ p= 3， 故 ：B 701. (2024·福建三 ·三模)已知函数 f x = ex-1- e1-x + x 3 - 3 x 2 + 3 x，若实数 x , y 满足 f 3x2 + f 2y2-4 = 2， x+ y 大 为 ( ) A. 1 B. 5 2 C. 5 D. 30 3 【 】C 【解 】f x+1 = ex- e-x+ x+1 3- 3 x+1 2+ 3 x+1 = ex- e-x+ x3+ 1， f -x+1 = e-x- ex+ -x+1 3- 3 -x+1 2+ 3 -x+1 = e-x- ex- x3+ 1， f x+1 + f -x+1 = 2， 因为 f 3x2 + f 2y2-4 = 2， 以 3x2+ 2y2- 4= 2， 3x2+ 2y2= 6， 设 x+ y= t， 直线 x+ y= t与 3x2+ 2y2= 6 交点， 立 x+y=t 3x2+2y2=6  ， 5x 2- 4tx+ 2t2- 6= 0， Δ= 16t2- 20 2t2-6 ≥ 0，解 - 5≤ t≤ 5， 以 x+ y 大 为 5 . 故 ：C. 702. (2024·福建福州·模拟 )四棱 E-ABCD 点 O 上， ABCD为矩 ， BEC⊥ ABCD，BC= 5，CD=CE= 1，BE = 2， O ADE 距离为 ( ) A. 1 3 B. 1 4 C. 2 4 D. 5 8 【 】A 【解 】因为 BEC⊥ ABCD，交线为BC， ABCD为矩 ， AB⊥BC， 因为AB⊂ ABCD， 以AB⊥ BEC， AB⊥CE,AB⊥EB， BC= 5，CD=CE= 1， BE= 2， 以BE 2+CE 2=BC2， BE⊥CE, 如图， 四棱锥E-ABCD补 长方 AD1DA1- BECB1， 若四棱锥E-ABCD 点 O 上， 长 方 AD1DA1-BECB1 点 O 上，O 为 对角线D1B1中点， 如图，以E为 点，EC,EB,ED1 直线为 x,y,z轴 建立 间直角 系， A 0,2,1 ,D 1,0,1 ,E 0,0,0 ,D1 0,0,1 ,B1 1,2,0 ， 故O 1 2 ,1, 1 2 ， 设 ADE 法 量为 n= x,y,z ， EA  = 0,2,1 ,ED  = 1,0,1 ， n⋅EA  =2y+z=0 n⋅ED  =x+z=0  ⇒ y=- 12 z x=-z  ，令 z= 2， 以n = -2,-1,2 ， EO  = 1 2 ,1, 1 2 ， O ADE 距离为 EO  ⋅n  n  = -1-1+1  22+12+22 = 1 3 . 故 ：A. 703. (2024· 京·二模)已知 C 左、右 点 为 F1，F2，下 点为 A，直线 AF1交 C于另一点 B，△ABF2 内 与BF2相 于点P．若 BP = F1F2 ， C 离 为 ( ) ·303· A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4 【 】B 【解 】设 长轴长为 2a，短轴长为 2b，焦距为 2c， BP = F1F2 = 2c，AF2 = a， 设△ABF2 与AF1，AF2相 于点M ,N，如图 示， AM = AN , PF2 = NF2 ，BP = BM = 2c， 以 AF2 = AN + NF2 = AM + PF2 = a， 以△ABF2 长为 AB + AF2 + BF2 = BM + AM  + AN + NF2  + BP + PF2  = 4c + 2a， 由 定义可 ，AB + AF2 + BF2 = 4a， 以 4c+ 2a= 4a， e= c a = 1 2 ， 故 ：B．   . 704. (2024· 京·二模) 斜△ABC中，若 sinA= cosB， 3tanB+ tanC 为 ( ) A. 2 B. 5 C. 6 D. 4 3 【 】B 【解 】因为 sinA= cosB> 0， 以B为锐角，sin2A= cos2B， 1- cos2A= 1- sin2B， cos2A= sin2B， 以 sin2A cos2A = cos 2B sin2B ， tan2A= 1 tan2B ， 以 tanAtanB=±1， tanAtanB= 1时，cosAcosB- sinAsinB= 0 cos A+B = 0, 以A+B= π 2 ，不 ； tanAtanB=-1时，tan(A+B) = tanA+tanB 2 ， 以 tanC= tan(π-A-B) =-tan(A+B) = - tanA+tanB 2 ， 以 3tanB+ tanC= 3tanB- tanA+tanB 2 = 5 2 tanB- 1 2 tanA= 5 2 tanB+ 1 2tanB ≥ 2 5 2 tanB ⋅ 1 2tanB = 5 且仅 5 2 tanB= 1 2tanB ， tanB= 5 5 时 号 立， 故 ：B． 705. (2024· 信 ·一模)已知实数 a,b满足 a2+ b2- |a| -|b| = 0， |a+ b- 3| 与 大 之 为 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【 】C 【解 】由 知点 (a,b) 曲线C:x2+ y2- |x| -|y| = 0上，曲线C 于 点以及 轴 对称； 由于 x≥ 0,y≥ 0时，曲线 方 为 x2+ y2- x- y= 0， x- 1 2  2 + y- 1 2  2 = 1 2 ， 故结 曲线对称 ， 出曲线C如图： d= |a+b-3| 2 表示曲线C上 点 (a,b) 直线 l:x + y- 3= 0 距离， 可知 d= |a+b-3| 2 取 大 时，(a,b) 于 曲线 一、三 上， x≥ 0,y≥ 0时，曲线 方 为 x2+ y2- x- y= 0， x- 1 2  2 + y- 1 2  2 = 1 2 ， 此时 d 为 1 2 + 1 2 -3  2 - 2 2 = 2 2 ， x< 0,y< 0时，曲线 方 为 x2+ y2+ x+ y= 0， x+ 1 2  2 + y+ 1 2  2 = 1 2 ， 此时 d 大 为 - 12 - 1 2 -3  2 + 2 2 = 5 2 2 ， 故 d= |a+b-3| 2 与 大 之 为 2 2 + 5 2 2 = 3 2， 以 |a+ b- 3| 与 大 之 为 3 2 × 2 = 6， 故 ：C． 706. (2024· 台·二模)设A，B，C，D为 物线 x2 ·304· = 4y上不 四点，点A，D关于该 物线 对称 轴对称，BC 行于该 物线 点D处 线 l，设 点D 直线 AB 直线 AC 距离 为 d1，d2， 且 d1+ d2=AD， sin∠CAB= ( ) A. 1 2 B. 3 2 C. 1 4 D. 3 4 【 】B 【解 】如图，过D DE⊥AC,DF⊥AB，设 A x0, x20 4 ,B x1, x21 4 ,C x2, x22 4 ， D -x0, x20 4 ， 以 kBC= x22 4 - x21 4 x2-x1 = 1 4 (x2+ x1)，设 物线 点D处 线 l 方 为 y- x 2 0 4 = k(x+ x0)， 由 y- x 2 0 4 =k(x+x0) y= 14 x 2  ， y 1 4 x2- kx- kx0- x20 4 = 0，由Δ= k2+ kx0+ x20 4 = 0， k=- 1 2 x0， 以由 x1+x2 4 =- 1 2 x0， x2= -2x0- x1， 以 kAC= x22 4 - x20 4 x2-x0 = x2+x0 4 =- x0+x1 4 ， kAB= x0+x1 4 ， 以 kAC=-kAB， AD为∠CAB 角 线， d1+ d2=AD， 以 d1= d2= 12 AD ， △AED,△AFD 为直角三角 ， 以∠EAD= ∠FAD= π 6 ， ∠CAB= π 3 ， 以 sin∠CAB= sin π 3 = 3 2 ， 故 ：B. 707. (2024·辽宁·二模) 数字 1、2、3 写 9 片上，其中 4 写 1，4 写 2，1 写 3， 这 9 片 三行三 ，每行每 都 三 片， 每行 每 片上数字 为奇数 法 种 数 ( ) A. 30 B. 27 C. 54 D. 45 【 】D 【解 】每 片都 行 ，为了保证每行每 数字 为奇数， 以每行 每 3个奇数 1个奇数， 虑 数字 3 片，然 虑 数字 1 片， 3 行要么 2个 1，要么 1， 3 行 两个 1时，另外两个 1 一 ， 于 3种 法， 3 行 1时， 下 两行 该 一行 3个 1，一行 1个 1， 于 2种 法， 以对于 3 每一个 5种 法， 由于 3可以放 这 9个 中 任 一个 ，因此 45种 法. 故 ：D 708. (2024·辽宁·二模)正三角 ABC 直 于正三角 ABD ，且A，B，C，D四点 为 5 O 上， CD 为 ( ) A. 5 B. 2 2 C. 4 D. 3 2 【 】D 【解 】 如图，记AB 中点为P，△ABC △ABD 重 为M ,N， 由OA=OB=OC，OA=OB= OD可知OM 直于 ABC，ON 直于 ABD. 从 由PM PN ABC ABD ， 知OM⊥PM，ON⊥PN . ABC 直于 ABD， 交线为AB，PM ABC ，PM⊥AB，故PM 直于 ABD， 由PN ABD ，知PM⊥PN . 以四边 PMON 矩 ， PM= 1 3 CP= 3 3 AP = 1 3 DP=PN，故四边 PMON 正方 . 设正方 PMON 边长为 a， MO= a，CM= 2MP = 2a. 时，由已知 件 OC= 5 . 由勾 定 MO2+CM 2=OC2，故 a2+ 2a 2= ·305· 5 2，解 a= 1. ，由于PM⊥PN，CP= 3PM= 3a= 3，DP= 3PN= 3a= 3，故CD= CP2+DP2= 9+9= 3 2， D 正 . 故 ：D. 709. ( 2024 ·辽宁 ·二模 ) 已知正实数 a , b，记 M = max 4a,b, 1 ab  ， M 为 ( ) A. 2 B. 2 C. 1 D. 3 【 】A 【解 】由M=max 4a,b, 1 ab   ，M≥ 4a,M≥ b, M≥ 1 ab ， 以 2M≥ 4a+ b， M≥ 2a+ 1 2 b， 因为M≥ 1 ab ， 以M 2≥ 2a+ 12 b ab ， 因为 2a+ 1 2 b≥ 2 2a× 1 2 b= 2 ab， 且仅 2a= 1 2 b时 号 立， 以M 2≥ 2a+ 12 b ab ≥ 2 ab ab = 2，M≥ 2， 且仅 M= 4a,M= b,M= 1 ab ， a= 2 4 ,b= 2时， 号 立， 故 ：A． 710. (2024· 西西安·模拟 )已知 曲线 x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a> 0,b> 0) 左、右 点 为 F1,F2，右 点 F2 近线 距离为 3+ 3，过F1 C :x2+ y2= a2 线，交 曲线右支于点M，若 cos∠F1MF2= 12 ， C 积为 ( ) A. 9π B. 8π C. 6π D. 4π 【 】A 【解 】如图，因为右焦点F2 近线 距离为 3+ 3，故 b= 3+ 3， OA⊥F1M于点A,F2B⊥F1M于点B， 因为F1M与 C:x2+ y2= a2相 ， 以 OA = a, F2B = 2 OA = 2a, F1B = 2b， 因为 cos∠F1MF2= 12 ， ∠F1MF2= 60°， 直角△F2MB中，MB = F2B  tan60° = 2a 3 , F2M = 4a 3 ， 点M 双曲线上，由双曲线 定义可 ： F1M - F2M = F1B + MB - F2M = 2b+ 2a 3 - 4a 3 = 2a，整 b= 3+ 3 3 a， 因为 b= 3+ 3， 以 a= 3， C 积S= πr2= πa2= 9π. 故 ：A. 711. (2024·全国·模拟 )已知数 an 满足 a1= 1, a2= 1,an+1= 2an+ 3an-1 n≥2 ，数 an  n 为Sn， S2023= ( ) A. 3 2024-1 2 B. 3 2024-4 8 C. 3 2025-2 2 D. 3 2023+1 4 【 】D 【解 】方法一：因为 an+1= 2an+ 3an-1 n≥2 ,a1= 1, a2= 1， 以 a3= 5． 因为 an+1= 2an+ 3an-1 n≥2 ， 以 an+1+ an= 3 an+an-1 ， 以 an+2+ an+1= 9 an+an-1 ． 因为 a2+ a3= 6， 以 a2n+a2n+1  以 6为 ，9为 比 比数 ． 以S2023= a1+ a2+ a3+ a4+ a5+⋅⋅⋅+a2022+ a2023 = a1+ a2+a3 + a4+a5 +⋅⋅⋅+ a2022+a2023  = 1+ 6× 1-91011  1-9 = 32023+1 4 ； 方法二：因为 n≥ 2时，an+1= 2an+ 3an-1， an+1+ an= 3 an+an-1 ， a1+ a2= 1+ 1= 2， 以 an+1+an  为 2， 比为 3 比数 ，故 an+1+ an= 2× 3n-1． 由 an+1+ an= 2× 3n-1， an+2+ an+1= 2× 3n，两 相 减 an+2- an= 2× 3n- 2× 3n-1= 4× 3n-1． n为 数且 n≥ 4时，a4- a2= 4× 31,a6- a4= 4× 33, ⋅⋅⋅ ,an- an-2= 4× 3n-3， 以上 子相 an- a2= 4× 3 1-9 n-2 2  1-9 = 3n-1-3 2 ， a2= 1， 以 an= 3 n-1-1 2 ． ·306· a2= 1满足上 ， 以 an= 3 n-1-1 2 ． n为奇数且 n≥ 3时，a3- a1= 4× 30,a5- a3= 4× 32, ⋅⋅⋅ ,an- an-2= 4× 3n-3， 以上 子相 an- a1= 4× 30 1-9 n-1 2  1-9 = 3n-1-1 2 ， a1= 1， 以 an= 3 n-1+1 2 ， a1= 1满足上 ， 以 an= 3 n-1+1 2 ． 综上，an= 3n-1+1 2 ,n=2k-1,k∈N ∗ 3n-1-1 2 ,n=2k,k∈N ∗  ， 以S2023= 12 × 3× 1-91011  1-9 - 1 2 × 1011+ 1 2 × 1-91012 1-9 + 1 2 × 1012= 3 2023+1 4 ． 故 ：D 712. (2024·高三· 武 · 段练习)点 P 边 为 1 正六边 ABCDEF边上 点， PA  ⋅PB  大 为 ( ) A. 2 B. 11 4 C. 3 D. 13 4 【 】C 【解 】 取AB，DE中点Q，R，连 PQ，QR， 由 QA= 1 2 ，BD2=DC2+BC2- 2DC×BC× cos∠BCD= 1+ 1- 2× 1× 1× cos120° = 3， BD= 3， 以QD= QB2+BD2= 1 4 +3= 13 4 = 13 2 ， 图如下，由图可知 P运 D E时PQ 大， 以PA  ⋅PB  = PQ  +QA   ⋅ PQ  +QB   = PQ  +QA   ⋅ PQ  -QA    =PQ 2-QA  2=PQ 2- 1 4 ≤QD  2- 1 4 = 3， 以PA  ⋅PB  大 为 3. 故 ：C. 713. (2024·高三· 武 · 段练习)已知 曲线E: x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a> 0,b> 0) 右 点为 F，其左右 点 为A,B，过 F且与 x轴 直 直线交 曲线 E 于M ,N两点，设线段MF 中点为 P，若直线 BP 与直线AN 交点 y轴上， 曲线 E 离 为 ( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 【 】B 【解 】由 可 ：A(-a,0)，B(a,0)，F(c,0)， M c, b 2 a ，N c,- b2 a ，P c, b2 2a ， 以 kBP= b2 2a c-a = c+a 2a ，直线BP 方 为：y= c+a 2a (x- a)， 令 x= 0，解 ：y=- c+a 2 ， 以直线BP与 y轴交点 为 0,- c+a 2 ， 由于 kAN= - b 2 a c+a =- c-a a ， 直线AN 方 为：y= - c-a a (x+ a)， 令 x= 0，解 ：y= a- c， 以直线AN与 y轴交点为 0,a-c ， 因为直线BP与直线AN 交点 y轴上， 以 a- c =- c+a 2 ，解 ：c= 3a， 以双曲线E 离 e= c a = 3， 故 ：B 714. (2024·高三· 州· 中) 函数 f x = cos2x- sin2x 图 右 移 π 3 个 函数 g x  图 ，若 f x  g x  间 a,b 上都 ， b- a 大 为 ( ) A. π 2 B. π 3 C. π 4 D. π 6 【 】D ·307· 【解 】 ，f x = cos2x- sin2x= cos2x， 令 2kπ- π≤ 2x≤ 2kπ,k∈ Z，解 kπ- π 2 ≤ x≤ kπ,k ∈ Z， 函数 f x  间为 kπ- π 2 ,kπ  ,k∈ Z， 不妨令 k= 0， 函数 f x  - π 2 ,0  上 . 令 2kπ≤ 2x≤ 2kπ+ π,k∈ Z，解 kπ≤ x≤ kπ+ π 2 ,k ∈ Z， 函数 f x  减 间为 kπ,kπ+ π 2    ,k∈ Z， 不妨令 k= 0， 函数 f x  0, π 2    上 减 . g x = f x- π 3 = cos 2 x- π 3  = cos 2x- 2π 3 ， 令 2kπ- π≤ 2x- 2π 3 ≤ 2kπ,k∈ Z，解 kπ- π 6 ≤ x ≤ kπ+ π 3 ,k∈ Z， 函数 g x  间为 kπ- π 6 ,kπ+ π 3    ,k∈ Z， 不妨令 k= 0， 函数 g x  - π 6 , π 3    上 ， 令 2kπ≤ 2x- 2π 3 ≤ 2kπ+ π,k∈ Z，解 kπ+ π 3 ≤ x ≤ kπ+ 5π 6 ,k∈ Z， 函数 g x  减 间为 kπ+ π 3 ,kπ+ 5π 6    ,k ∈ Z， 令- π 2 ≤ x≤ π 2 可 ， 函数 g x  π 3 , π 2    上 减 ， - π 2 ,- π 6    上 减. 若 f x  g x  间 a,b 上都 ，且 f x  g x  都为 π， b- a 大 为 0- - π 6 = π 6 . 故 ：D. 715. (2024 ·高三 · 州 · 中)已知正六棱 P - ABCDEF 高为 2 3， 与 角 正 为 4， 该正六棱 内 正六棱柱 ( 正六棱柱 点 正六棱 棱 上) 外 表 积 为 ( ) A. 4 3π B. 4π C. 3 3π D. 3π 【 】D 【解 】如图，设正 棱锥P-ABCDEF 中 为O2，正 棱柱为A1B1C1D1E1F1-A2B2C2D2E2F2， 中 A2B2C2D2E2F2 棱锥 上， 设 A1B1C1D1E1F1 中 为O1，外 为O， 由 ， A2B2C2D2E2F2 中 为O2， A1B1C1D1E1F1 点 正 棱锥 棱上， PO2= 2 3，因为正 棱锥P-ABCDEF 为 正 边 ， 设边长为 a， 与 角为 α， O1H⊥C2D2, 知 α=∠PHO2,O2H= 3a2 , tanα= PO2 3 2 a = 2 3 3 2 a = 4，解 a= 1， 正 棱锥 边长为 1，设A2O2= x， AA2= 1 - x， 由 tan∠PAO2= PO2 AO2 = 2 3，故A1A2= 2 3AA2= 2 3 1-x ,OO2= 12 A1A2= 3 1-x ， 故正 棱柱A1B1C1D1E1F1-A2B2C2D2E2F2外 方 R2=A2O2=A2O22+OO22= 4x2- 6x+ 3= 4 x- 34  2 + 3 4 ， 且仅 x= 3 4 时取 3 4 ，此时外 表 积 S= 4πR2= 3π， 故正 棱柱 外 表 积 为 3π， 故 ：D. 二、多 716. (2024· 东 州·模拟 )已知 曲线 E : x 2 3 - y2 b2 = 1(b> 0),F为其右 点，点 F 近线 距离 为 1， 行四边 ABCD 点 曲线 E上，点 F 行四边 ABCD 边上， ( ) A. b= 2 B. AF - CF  = 2 3 C. 若 行四边 ABCD 边 直线 斜 存 ·308· ， 其 不为± 3 3 D. 四边 ABCD 积SABCD≥ 8 3 3 【 】BCD 【解 】对A， 知 近线方 为 bx± 3y= 0，焦点F 为 3+b2,0 ， 点F 近线 距离为 b 3+b2  3+b2 = 1，故 b= 1,A 错误； 对B，若F 为双曲线 左焦点， 点F 行四边 ABCD上， 对称 知点F 也 行四边 ABCD上，且 AF  = CF ， 以 ||AF| -|CF|| = ||AF| -|AF || = 2a= 2 3，故B 正 ； 对C，由双曲线 x 2 3 - y2= 1 近线方 为 y= ± 3 3 x， 若 行四边 ABCD 边 直线 斜 存 ， 为± 3 3 时， 行四边 ABCD 对 边 直线与双曲线不 可能 四个交点，故C 正 ； 对D，如上图，设直线CD:x= ty+ 2, - 3< t< 3， 立双曲线方 t2-3 y2+ 4ty+ 1= 0，且Δ= 12 t2+1 > 0， 以 yC+ yD=- 4t t2-3 ,yCyD= 1 t2-3 ， CD = 1+t2 ⋅ yC+yD 2-4yCyD= 2 3 t2+1  3-t2 ， 由对称 知A -xC,-yC ， 点A 直线CD 距离 d= xC-tyc+2  1+t2 = 4 1+t2 ， 以SABCD= d ⋅ CD = 8 3 ⋅ 1+t2 3-t2 ，令m= 1+t2 ∈ 1,2 ， SABCD= 8 3m 4-m2 = 8 3 4 m -m ， f m = 4 m -m m∈ 1,2 上 减，故SABCD m∈ 1,2 上 ， 以SABCD≥ 8 3 3 ，故D 正 . 故 ：BCD. 717. (2024· ·二模) 菱 ABCD中，AB = 2 3 , ∠ABC= 60°. 菱 ABCD 对角线 AC 大 为 θ(0° < θ< 180°) 二 角 B-AC-D，若 四 ABCD内 于 O， 下 说法正 ( ) A. 四 ABCD 积 大 3 3 B. BD 取 围 3 2,6  C. 四 ABCD 表 积 大 6+ 6 3 D. θ= 60°时， O 积为 52 39 27 π 【 】AD 【解 】对于A，AC=AB= 2 3，∠ABC= 60°， △ABC为 边三角 ， 取AC 中点E， BE⊥AC， ，△ACD为 边 三角 ， DE⊥AC， 且BE=DE= 2 3sin60° = 3，S△ABC= 1 2 AC ⋅BE= 3 3， 于 二 角B-AC-D 角为 θ=∠BED， 设点D ABC 距离为 d， d=DEsinθ= 3sinθ， VD-ABC= 1 3 S△ABC ⋅ d= 1 3 × 3 3 × 3sinθ= 3 3sinθ ≤ 3 3， 且仅 θ= 90°时取 号， 四 ABCD 积 大 3 3，A正 ； 对于B，由 定 BD2=BE 2+DE 2- 2BE ⋅ DEcosθ= 18- 18cosθ∈ 0,36 ， 因此BD∈ 0,6 ，B错误； 对于C，S△ACD=S△ABC= 3 3，由AB=AD=BC= CD，BD=BD， △ABD≌△CBD， S△CBD=S△ABD= 1 2 AB ⋅ADsin∠BAD= 6sin∠BAD≤ 6， 因此四 ABCD 表 积 大 2× 3 3+ 2 × 6= 12+ 6 3，C错误； 对于D，设M、N 为△ABC、△ACD 外 ， EN=EM= 1 3 BE= 1， BDE 过点M BE 线与过点N DE 线交于点O， 由BE⊥AC，DE⊥AC，BE∩DE=E,BE,DE⊂ BDE， AC⊥ BDE， OM⊂ BDE， OM⊥AC， OM⊥BE，BE ∩AC=E,BE,AC⊂ ABC， ·309· 于 OM⊥ ABC， ON⊥ ACD， O为四 ABCD 外 ， 连 OE，由EM=EN，OE=OE，∠OME=∠ONE = 90°， △OME≌△ONE， 因此∠OEM= θ 2 = 30°，OE= EM cos30° = 2 3 3 ， AC ⊥ BDE，OE⊂ BDE，OE⊥AC， OA= OE 2+AE 2= 39 3 ， O 为R= 39 3 ， O 积为V= 4 3 πR3= 52 39 27 π，D正 . 故 ：AD. 718. (2024· ·二模)已知函数 f x  其导函数 f x  定义域 为 R，记 g x = f  x .若 f x 满足 f 2+3x = f -3x ,g x-2  图 关于直线 x= 2 对称，且 g 0 = 1， ( ) A. g x  函数 B. g x = g x+4  C. f x + f -x = 0 D. 2024 k=1 g k2 = 0 【 】ABD 【解 】对于A ，因为函数 g(x- 2) 图 于直 线 x= 2对称， g 2-x-2 = g 2+x-2 ， g -x = g x ， 以，函数 g x 为 函数，故A正 ； 对于B ，因为 f 2+3x = f -3x ，令 t= 3x，可 f t+2 = f -t ， f x+2 = f -x ， 对 f x+2 = f -x 两边 导 f x+2 = -f -x ， g x-2 + g -x = 0， 故 g x+2 + g x = 0， 以 g x+4 =-g x+2 = g x ，故B正 ； 对于C ，因为 g x = f x ， f -x = f x ， 令 h x = f x + f -x ， h x = f x - f -x = 0， 以，h x 为 函数， 设 h x = f x + f -x =C， 中C为 数， C≠ 0时，f -x =C- f x ≠-f x ，故C错误； 对于D ，因为 g x+2 ⊥ g -x = g x+2 + g x  = 0， 以，g 1 = 0,g 3 2 + g 1 2 = 0. g 2 + g 0 = g 2 + 1= 0，可 g 2 =-1， g 5 2 + g 7 2 = g - 3 2 + g - 1 2 = g 3 2 + g 1 2 = 0,g 3 = g 3-4 = g -1 ， 由 g x+2 + g -x = g x+2 + g x = 0，令 x= 1，可 g 3 + g 1 = 0， g 3 = 0,g 4 = g 0 = 1， 以 g 1 2 + g 1 + g 3 2 + g 2 + g 5 2 + g 3 + g 7 2 + g 4 = g 1 + g 2 + g 3 + g 4 = 0- 1+ 0 + 1= 0， 因为 2024= 8× 253， 2024 k=1 g k2 = 253 8 k=1 g k2 = 0， 故D正 . 故 ：ABD. 719. (2024·高一· 延边· )若实数 x,y满足 2x+ 2y+1= 1， 下 正 ( ) A. x< 0且 y<-1 B. 1 2  x + 1 2  y-1 为 9 C. x+ y 为-3 D. 1 2  x + 1 2  y-1   ⋅ 2 x+y< 2 【 】ABD 【解 】对于A，由 2x+ 2y+1= 1，可 2y+1= 1- 2x> 0, 2x= 1- 2y+1> 0， 以 x< 0且 y+ 1< 0， y<-1，故A正 ； 对于B， 1 2  x + 1 2  y-1 = 1 2  x + 1 2  y-1    2 x+2y+1  = 5+ 2 ⋅2 y 2x + 2 ⋅2 x 2y ≥ 5+ 2 2 ⋅2 y 2x ⋅ 2 ⋅2 x 2y = 9， 且仅 2 ⋅2y 2x = 2 ⋅2 x 2y ， x= y=-log23时， 号 立， 以 1 2  x + 1 2  y-1 为 9，故B正 ； 对于C，因为 2x+ 2y+1= 1≥ 2 2x⋅2y+1= 2 2x+y+1， 可 2x+y+1≤ 1 2 ， 2x+y+1≤ 1 4 = 2-2， 以 x+ y≤ -3， 且仅 2x= 2y+1， x= y+ 1=-1， x=-1,y= -2时， 号 立， 以 x+ y 大 为-3，故C错误； ·310· 对于D，因为 2x= 1- 2y+1， 2x+1= 2 1-2y+1 = 2- 4 ⋅ 2y， 以 1 2  x + 1 2  y-1   ⋅ 2 x+y= 2y+ 2x+1= 2y+ 2 1-2y+1 = 2- 3 ⋅ 2y< 2，故D正 . 故 ：ABD. 720. (2024· 东 门·一模)已知曲线 E: x x  4 + y y  8 = 1， 下 结论正 ( ) A. y x 大 减 B. 曲线E 横 取 围为 -2,2  C. 曲线E与直线 y=-1.4x相交，且交点 二 D. M x0,y0  曲线E上任 一点， 2x0+y0  取 围为 0,4  【 】AD 【解 】因为曲线E: x x  4 + y y  8 = 1， x≥ 0，y≥ 0时 x 2 4 + y 2 8 = 1， 曲线E为 x 2 4 + y 2 8 = 1 一部 ； x> 0，y< 0时 x 2 4 - y 2 8 = 1， 曲线E为双曲线 x2 4 - y 2 8 = 1 一部 ， 且双曲线 近线为 y=± 2x； x< 0，y> 0时 y 2 8 - x 2 4 = 1， 曲线E为双曲线 y2 8 - x 2 4 = 1 一部 ， 且双曲线 近线为 y=± 2x； 可 曲线 图 如下 示： 由图可知 y x 大 减 ，故A正 ； 曲线E 横 取 围为R，故B错误； 因为-1.4>- 2， 以曲线E与直线 y=-1.4x相交， 且交点 四 ，故C错误； 因为 2x0+y0 = 3 × 2x0+y0  2 2+12 ， 点M x0,y0  直线 2x+ y= 0 距离 3 ， 直线 2x+ y+ c= 0与曲线 x 2 4 + y 2 8 = 1 x≥0,y≥0 相 时， 由 x2 4 + y2 8 =1 2x+y+c=0  ， y整 4x 2+ 2 2cx+ c2- 8= 0， Δ= 2 2c 2- 16 c2-8 = 0，解 c= 4( ) c =-4， 2x+ y= 0与 2x+ y- 4= 0 距离 d= 4  2 2+12 = 4 3 ， 以 2x0+y0 max= 3d= 4， 以 2x0+y0  取 围为 0,4 ，故D正 ； 故 ：AD 721. ( 2024 ·福建三 ·三模 ) 棱 为 2 正方 ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G 为 AB，BC， C1D1 中点， 下 说法正 ( ) A. 若点P 正方 表 上，且PE  ⋅PG  = 0， 点P 轨迹 为 24π B. 若三棱 F-C1CE 点都 O 表 上， O 表 积为 14π C. 过点E,F,D1 正方 ABCD- A1B1C1D1 多边 为 2+ 2 13 D. 若 一 正方 纸 此正方 完全 ，不 虑纸 ，不 纸 ， 纸 积 为 32 【 】BCD 【解 】A ，因为PE  ⋅PG  = 0， 以P 以EG为 直 上， 因为E、G AB C1D1 中 点，结 棱 与 个 交点为 棱 中点， 该 正方 棱 ， 由P 正方 表 上， 以P 轨迹为 6个 为 1 ， 以P 轨迹长 为 6× 2π= 12π，故A错 误； B ， 三棱锥F-C1CE C1-CEF 外 ， △CEF中，由 定 cos∠CEF= EC2+EF 2-CF 2 2 ⋅EC ⋅EF = 5+2-1 2 ⋅ 5 ⋅ 2 = 3 10 10 ， 以 sin∠CEF= 10 10 ，由正 定 2r= CF sin∠CEF = 1 10 10 = 10， 中 r △CEF外 ·311· ， 以 r= 10 2 ， 因为 棱CC1⊥ CEF， 以外 R2= r2+ CC1 2  2 = 5 2 + 1= 7 2 ， 以 O 表 积为 4πR2= 2π× 7 2 = 14π，故B正 ； C ，如图 延长FE交DA 延长线于点P，可 △EFB≅ △EPA， 以AP=BF= 1， 连 PD1交AA1于点Q，由△PAQ∼△D1A1Q AQ QA1 = AP D1A1 = 1 2 ， 以Q AA1上 近A 三 点， 连 D1Q， FR∥D1Q交CC1于点R， R 近C 三 点，连 D1R， 五边 EFRD1Q 为 ， FE= BE 2+BF 2= 1+1= 2，EQ= AE 2+AQ2 = 1+ 2 3  2 = 1+ 4 9 = 13 3 ， QD1= A1D12+A1Q2= 22+ 43  2 = 4+ 16 9 = 2 13 3 ，D1R= C1D12+C1R2= 22+ 43  2 = 4+ 16 9 = 2 13 3 ， RF= CF 2+CR2= 1+ 2 3  2 = 1+ 4 9 = 13 3 ， 以 长为FE+EQ+QD1+D1R+RF= 2+ 13 3 + 2 13 3 + 2 13 3 + 13 3 = 2+ 2 13，故C正 ； D ， 由正方 图，结 上图可以 出五个正方 及上下左右四个三角 组 一个正方 ， 可知要想 正方 完 ，正方 PSQT 为 正方 ， 对角线长为 1+ 2+ 2+ 2+ 1= 8， 以 积为 1 2 × 8 × 8= 32，故D正 ； 故 ：BCD. 722. (2024 ·福建福州 ·模拟 ) 已知函数 f x = ax ex+e-x - ex+ e-x 三个零点 x1，x2，x3，且 x1< x2< x3， ( ) A. x1+ x2+ x3= 0 B. 实数 a 取 围为 0,1  C. ax1+ 1> 0 D. ax3+ a> 1 【 】ACD 【解 】函数 f x = ax ex+e-x - ex+ e-x定义域为 R， f -x = a -x  e-x+ex - e-x+ ex= - ax ex+e-x -ex+e-x =-f x ， 以 f x  奇函数， f 0 = 0， 因为 f x  三个零点且 x1< x2< x3，f x1 = f x2  = f x3 = 0， 以 x1=-x3，x2= 0， x1+ x2+ x3= 0，故A 正 ； f x = ax ex+e-x - ex+ e-x= 0， ax= e x-e-x ex+e-x = e2x-1 e2x+1 = 1- 2 e2x+1 ， 令 g x = 1- 2 e2x+1 ， g x = 4e 2x e2x+1 2 > 0， 以 f x  R上 函数， 要 函数 f x  3个零点，y= ax与 y= g x  图 3个交点，如图： g x = 4e 2x e2x+1 2 = 4e 2x e2x 2+2e2x+1 = 4 e2x+ 1 e2x +2 ≤ 4 2 e2x⋅ 1 e2x +2 = 1， 且仅 x= 0时取 号， 0< g x ≤ 1， 以 0< a< 1，故B错误； ax1+ 1= 1- 2 e2x1+1 + 1= 2e2x1 e2x1+1 > 0，故C 正 ； ·312· 由 ax3= 1- 2 e2x3+1 a= 1 x3 1- 2 e2x3+1 ， x3> 0， 要 ax3+ a= 1- 2 e2x3+1 + 1 x3 1- 2 e2x3+1 > 1 立， e2x3- 2x3- 1> 0 立， 令 h x = e2x- 2x- 1 x>0 ，h x = 2 e2x-1 > 0 x>0 ， 以 h x  0,+∞  ， h x > h 0 = 0， 于 e2x3- 2x3- 1> 0， ax3+ a> 1，故D正 . 故 ：ACD. 723. (2024· 京·二模)已知 行六 ABCD- A 1B 1C 1D 1 棱 为 2，∠A 1AB = ∠A 1AD = ∠BAD= 60°，点P △A1BD内， ( ) A. A1P⎳ B1CD1 B. A1P⊥AC1 C. PC1 ≥ 6 AP  D. AP + PC1 ≥ 2 6 【 】ABD 【解 】对于A，连 CD1， 由 行 ABCD-A1B1C1D1 ， A1B1C1D1⎳ ABCD， ABB1A1⎳ DCC1D1， 因为 A1BCD1∩ ABB1A1=A1B， A1BCD1∩ DCC1D1=CD1， 以A1B⎳CD1， 可 BD⎳B1D1， 因为CD1⊂ B1CD1，A1B⊄ B1CD1， 以A1B⎳ B1CD1， 可 BD⎳ B1CD1， 因为A1B∩BD=B，A1B，BD⊂ A1BD， 以 A1BD⎳ B1CD1， A1P⊂ A1BD， 以A1P⎳ B1CD1，故A正 ； 对于B，以AB  ,AD  ,AA1  为基 ， AC1  =AB  +AD  +AA1  ，BD  =-AB  +AD  ，BA1  = -AB  +AA1  ， 因为 行 ABCD-A1B1C1D1 棱长 为 2， ∠A1AB=∠A1AD=∠BAD= 60°， 以AC1  ⋅BD  = (AB  +AD  +AA1  ) ⋅ (-AB  +AD  )= -4+ 2- 2+ 4- 2+ 2= 0， AC1  ⋅BA1  = (AB  +AD  +AA1  ) ⋅ (-AB  +AA1  )=-4 + 2- 2+ 2- 2+ 4= 0， 以AC1  ⊥BD  ,AC1  ⊥BA1  ， 因为BD,BA1⊂ A1BD，且BD∩BA1=B， 以AC1⊥ A1BD， A1P⊂ A1BD， 以AC1⊥A1P，故B正 ； 对于D，AP + PC1 ≥ AC1 ， AC1   2= (AB  +AD  +AA1  )2= 4+ 4+ 4+ 2× 2+ 2× 2+ 2× 2= 24， AC1   = 2 6， 以 AP + PC1 ≥ 2 6， 点A,P,C1 线时 号 立，故D正 ； 对于C，因为AC1⊥ A1BD， AC1交△A1BD 外 O，连 OP， ∠AOP=∠C1OP= 90°， △A1BD中，由正 定 外 直 2R= 2 sin60° ，R= 2 3 3 ， AO = 2 6 3 ，C1O = 2 6- 2 6 3 = 4 6 3 ， 设 OP = x∈ 0, 2 3 3   ， Rt△APO中，AP 2= AO 2+ OP 2= 8 3 + x2， Rt△C1PO中，C1P 2= CO 2+ OP 2= 323 + x 2， PC1  2 AP 2 = 32 3 +x 2 8 3 +x 2 = 32+3x 2 8+3x2 = 24 8+3x2 + 1∈ (3, 4]， 以 PC1  AP  ∈ ( 3 ,2]，故C错误； 故 ：ABD． 724. (2024· 京·二模)已知函数 f (x)满足 f (x) f(y) = f(xy) + |x| +|y|， ( ) A. f(0) = 1 B. f(1) =-1 C. f(x) 函数 D. f(x) 奇函数 【 】AC 【解 】令 y= 0， f 0 f x = f 0 + x ， 令 x= y= 0， f 0  2= f 0 ，解 f 0 = 0 f 0  = 1， 若 f 0 = 0， x = 0 立，不 ，故 f 0 = 1， A 正 ； f 0 = 1， f x = 1+ x ,f -1 = 2，B 错误； 函数 f x = 1+ x ，定义域为R，f -x = 1+ -x = 1+ x = f x ， f x 为 函数，C正 ，D错误. 故 ：AC ·313· 725. (2024· 东 ·一模) 为 且母线与 都 直 柱 称为“ 柱” .如图， 柱 (OO中 轴AB= 4，短轴CD= 2 3，F1,F2为 下 左右 点，F2为上 右 点，AA = 4，P为线段 BB上 点，E 为线段 AB上 点，MN 为过点 F2 下 一 (不与AB )， 下 正 ( )    A. F1F2⎳ PMN时，P为BB 中点 B. 三棱 F2-F2CD外 表 积为 8π C. 若点Q 下 上 点，Q 点Q 上 ，且QF1，QF2与下 角 为 α,β， tan α+β  大 为- 16 13 D. 三棱 E-PMN 积 大 为 8 【 】ACD 【解 】由 设，长轴长 AB = AB = 4，短轴长 CD  = 2 3， OF1 = OF2 = OF2 = 1， F2,F2 OB,OB中点， 柱 中ABBA为矩 ，连 OB， 由BF2⎳OF1，BF2 = OF1 = 1，∴四边 F1OBF2 为 行四边 ，OB⎳F1F2， F1F2⎳ PMN时，F1F2⊂ ABBA， ABBA∩ PMN=PF2， F1F2⎳PF2， OB⎳PF2， △OBB中，F2 OB中点， P为BB 中点，A 正 ； OF2⊥CD，CD = 2 3，OF2 = 1， △F2CD中， CF2 = DF2 = 2，∠CF2D= 120°， △F2CD外 为 r= 12 × CD  sin∠CF2D = 2， F2F2⎳AA， F2F2⊥ F2CD， 三棱锥F2-F2CD外 为R= 22+22= 2 2， 以外 表 积为 4πR2= 32π，B 错误； 点Q 下 上 点，Q 点Q 上 ，且QF1，QF2与下 角 为 α,β， 令 QF1 =m, QF2 =n， m+n= 4， QQ = 4， tanα= 4 m ，tanβ= 4 n ，tan α+β = tanα+tanβ 1-tanαtanβ = 4 m+n  mn-16 = 16 mn-16， tan α+β = 16 - m-2 2-12 ，由 质知 1≤m≤ 3， m= 1 m= 3时，tan α+β  大 为 - 16 13 ，C 正 ； 由VE-PMN=VM-PEF2+VN-PEF2，要 三棱锥E-PMN 积 大， 只 △PEF2 积 M ,N PEF2距离之 都 大， S△PEF2=SBF2EB-S△PBF2-S△PEB，令EB = a,PB= b， 且 a,b∈ 0,4 ， PB= 4- b， S△PEF2= 1 2 × 4× 1+a - 1 2 × 1× b- 1 2 × a× 4-b = 2+ b a-1  2 ， a= b= 4时， 大 S△PEF2= 8， 下 以O为 点， 建如上图 直角 系， 且B 0,2 ， 方 为 y2 4 + x 2 3 = 1， 设MN :y= tx+ 1， 立 3t2+4 x2+ 6tx- 9= 0，Δ= 144 t2+1 > 0， xM+ xN=- 6t 3t2+4 ,xMxN=- 9 3t2+4 ，xM-xN = xM+xN 2-4xMxN = 12 t2+1 3t2+4 ， 令 l= t2+1≥ 1，xM-xN = 12l 3l2+1 = 12 3l+ 1l ， ·314· 由对勾函数 质可知 y= 3l+ 1 l 1,+∞ 上 ， xM-xN max= 12 4 = 3， 综上，三棱锥E-PMN 积 大 为 1 3 × 8× 3= 8，D 正 . 故 ：ACD 726. (2024· 信 ·一模)若关于 x 不 ex-2+ x ≥ 2ax2- xlnx 0，+∞ 上 ， 实数 a 可以 ( ) A. 1 e B. 1 2 C. e 3 D. 2 【 】AB 【解 】 ， ex-2 x + 1- 2ax+ lnx≥ 0 0，+∞  上 立， a≤ 1 2 时， ex-2 x + 1- 2ax+ lnx≥ e x-2 x + 1- x+ lnx= ex-2-lnx+ 1- x+ lnx， 令 t= x- 2- lnx， h(t) = et- t- 1，h(t) = et- 1， 故 t∈ (-∞,0)时，h(t)< 0， t∈ (0, +∞)时，h(t) > 0， 故 h(t)> h(0) = 0，故 ex-2-lnx+ 1- x+ lnx≥ 0， 不 立； a> 1 2 时，令u(x) = x- 2- lnx，因为u(1) =-1< 0， u(4) = 2- 2ln2> 0，故 μ x  1,4  零点，设 为 x0， x0- 2= lnx0， ex0-2= x0，故 e x0-2 x0 + 1- 2ax0+ lnx0= (1- 2a)x0< 0，不 ， ； 综上 述，a≤ 1 2 . 故 ：AB. 727. (2024·辽宁·二模)△ABC 为点G，点O，P △ABC 内两个不 点，满足 OP  = OA  +OB  +OC  ， ( ) A. O,P,G三点共线 B. OP  = 2OG  C. 2OP  =AP  +BP  +CP  D. 点P △ABC 内部 【 】AC 【解 】OP  =OA  +OB  +OC  =OG  +GA  +OG  + GB  +OG  +GC  = 3OG  +GA  +GB  +GC  ， 因为点G为△ABC 重 ， 以GA  +GB  +GC  = 0  ， 以OP  = 3OG  ， 以O,P,G三点 线，故A正 ，B错误； AP  +BP  +CP  =AO  +OP  +BO  +OP  +CO  +OP  = (AO  +BO  +CO  )+ 3OP  ， 因为OP  =OA  +OB  +OC  ， 以 (AO  +BO  +CO  )+ 3OP  =-OP  + 3OP  = 2OP  ， 2OP  =AP  +BP  +CP  ，故C正 ； 因为OP  = 3OG  ， 以点P 点O 变 变 ，故点P 不一定 △ABC 部，故D错误； 故 ：AC． 728. (2024·辽宁·二模)已知函数 f (x) = cos(ωx + φ) ω>0,|φ|< π 2 满足 f x- π 2 = f (-x), f π 6 + f π 3 = 0，且 π 12 , 5π 12 上 减， ( ) A. 函数 y= f(x) 图 关于点 π 4 ,0 对称 B. φ可以 于- π 4 C. ω可以 于 5 D. ω可以 于 3 【 】ABD 【解 】由 f x- π 2 = f(-x)， f x- π 4 = f x+ π 4 - π 2 = f -x- π 4 ， 以函数 y= f(x) 图 于 x=- π 4 对称， π 12 < π 6 < π 3 < 5π 12 ，且 f π 6 + f π 3 = 0， f 1 2 π 6 + π 3  = f π 4 = 0， 函数 y= f(x) 图 于点 π 4 ,0 对称，故A正 ； 函数 y= f(x) 图 于 x=- π 4 对称， - π 4 ω + φ= k1π,k1∈ Z， 函数 y= f(x) 图 于点 π 4 ,0 对称，π4 ω+ φ= π 2 + k2π,k2∈ Z， 可 ，φ= π 4 + k2-k1 π 2 ,ω= 1+ 2 k2-k1 ， 由于 |φ| < π 2 ， 以 φ=± π 4 ，故B正 ； φ= π 4 时，由 π 12 < x< 5π 12 ， ωπ 12 + π 4 <ωx+ π 4 < 5ωπ 12 + π 4 ， ·315· 函数 y= f(x) π 12 , 5π 12 上 减， 可 ωπ 12 + π 4 ≥2kπ 5ωπ 12 + π 4 ≤π+2kπ  ， 24k- 3≤ω≤ 9 5 + 24 5 k， ω> 0， 以 k= 0,0<ω< 9 5 ， ω= 1+ 2 k2-k1 ， 以ω= 1， φ=- π 4 时，由 π 12 < x< 5π 12 ， ωπ 12 - π 4 <ωx- π 4 < 5ωπ 12 - π 4 ， 函数 y= f(x) π 12 , 5π 12 上 减， 可 ωπ 12 - π 4 ≥2kπ 5ωπ 12 - π 4 ≤π+2kπ  ， 24k+ 3≤ω≤ 3+ 24 5 k， ω> 0， 以 k= 0,ω= 3，故C错误，D正 . 故 ：ABD 729. (2024·云 红 ·二模)某种高精 产 发 ，一 业 产 试 产， 设试产 共 、 乙、丙三 产线且每天 产数 如下表 示： 产线 次 产 (件 /天) 5% 500 乙 3% 700 丙 4% 800 试产 每天都 对每一件产 进行 ， 方 括 能 人工 ， 择 方 规 如下： 一天 择 能 ， 每天 计 可能 数字“0”“1”，连续 5次， 5次 数字相 ，若 于 4， 该天 方 一天相 ， 择另 一种 方 . 下 中正 ( ) A. 若计 5次 数字之 为 ξ， P(ξ< 4) = 3 16 B. 设n≥ 2,An表示事件 n天该 业产 择 能 ， P An = 58 P An-1 + 3 16 C. 若每天任 一件产 ， 这件产 为次 为 3.75% D. 若每天任 一件产 ， 这件产 次 ， 该次 自 产线 为 25 78 【 】BD 【解 】对于A：因为 ξ∼B 5, 1 2   ，P(ξ≥ 4) = C45 1 2  5 +C55 12  5 = 3 16 ， 以P(ξ< 4) = 1- 3 16 = 13 16 ，故A错误； 对于B：由P(An) =P An An-1 P(An-1) + P An An-1   P(An-1  )= 13 16 P(An-1) + 316 (1-P(An-1)) = 5 8 P(An-1) + 316，故B正 ； 对于C：设每天任 一件产 ，这件产 次 为事 件B， 这件产 自甲，乙，丙三 生产线 为事件C1,C2, C3， 由P(B) =P(B|C1)P(C1) +P(B|C2)P(C2) +P (B|C3)P(C3) = 5%× 5 20 + 3%× 7 20 + 4%× 8 20 = 78 2000 = 3.9%， 故C错误； 对于D：由C 解 可知P C1 B = P(B|C1)P(C1) P(B) = 5%× 520 78 2000 = 25 78 ，故D正 . 故 ：BD. 730. (2024· ·模拟 )已知函数 f x = lnx x ,e 自 对数 数， ( ) A. f 2 < f 3  B. 若 x1lnx2= x2lnx1， x1+ x2= 2e C. f x  大 为 1 e D.“0< x< 2”“x 1 x<(x+ 1) 1 x+1” 充 不 要 件 【 】ACD 【解 】f x = 1-lnx x2 ，f x = 0⇒ x= e， 0< x< e时，f x > 0，f x  ， x> e时，f x < 0，f x  减， ∵ e< 3< 4，∴ f 3 > f 4 ， ∵ f 4 = ln4 4 = ln2 2 = f 2 ，∴ f 2 < f 3 ，故A正 ； 由 可知， x= e时，函数取 大 f e = 1 e ，故C正 ； 若 x1lnx2= x2lnx1， lnx2 x2 = lnx1 x1 ， f x1 = f x2 ， 由 f 2 = f 4 可知，2+ 4≠ 2e，故B错误； 不 x 1 x<(x+ 1) 1 x+1 价于 lnx x < ln(x+1) x+1 ， 0< x≤ e- 1，1< x+ 1≤ e，因为函数 f x  ·316· 0,e  ， 以 f x < f x+1 ， lnx x < ln(x+1) x+1 ，故 x 1 x<(x + 1) 1 x+1， e- 1< x< 2时， e< x+ 1< 3， 因为函数 f x  0,e  ， e,3  减， f x < f 2 ，f x+1 > f 3 ， f 2 < f 3 ， 以 f x < f x+1 ， x 1 x<(x+ 1) 1 x+1， 以 0< x< 2时，x 1 x<(x+ 1) 1 x+1， 故“0< x< 2”“x 1 x<(x+ 1) 1 x+1” 件， 因为 23< 32， 以 23  1 6< 32  1 6， 2 1 2< 3 1 3， x= 2时，x 1 x<(x+ 1) 1 x+1 也 立， 故“0< x< 2”不 “x 1 x<(x+ 1) 1 x+1” 要 件， 以“0< x< 2”“x 1 x<(x+ 1) 1 x+1” 不 要 件，D正 . 故 ：ACD. 731. (2024·高三· 武 · 段练习)定义 R上 函 数 f x 与 g x  导函数 为 f  x  g x ，若 g x - f 3-x = 2，f x = g x-1 ，且 g -x+2  =-g x+2 ， 下 说法中一定正 ( ) A. g x+2 为 函数 B. f x+2 为奇函数 C. 函数 f x  函数 D. 2024 k=1 g (k) = 0 【 】BCD 【解 】对A：由 g -x+2 =-g x+2 ，故 g x+2 为 奇函数， 若 g x+2 为 函数， g x = 0，与 件不 ，故A 错误； 对B：由 g x - f 3-x = 2， g x + f 3-x = 0， f x = g x-1 ， f x+1 = g x =-f 3-x ， f x+2 =-f 2-x ， f x+2 定义 R上， 故 f x+2 为奇函数，故B正 ； 对C：由 g -x+2 =-g x+2 ，f x = g x-1 ， g x - f 3-x = 2， 以 f x = g x-1 + b， f -x+3 = g -x+2 + b=-g x+2 + b， 以 g x - f 3-x = g x + g x+2 - b= 2，g x  + g x+2 = b+ 2， 以 g x+2 + g x+4 = b+ 2， 以 g x+4 = g x ， 函数 g x  函数 4 函数，函数 f x  函数 4 函数，故C正 ； 对D：由 g x  函数 4 函数， 由 g -x+2 =-g x+2 ，令 x= 0， g 2 =-g 2 ， g 2 = 0， 令 x= 1， g 1 =-g 3 ， g 1 + g 3 = 0， 由 g x + f 3-x = 0，f -x+3 = g -x+2 ， g x =-g -x+2 ， g x  于 1,0 对称， g x  于 x= 1对称， g x+2 为奇函数， g x  于 2,0 中 对称， 故 g x  于 x= 3对称， g 4 = g 2 = 0， 2024 k=1 g (k) = 506 g 1 +g 2 +g 3 +g 4  = 506× 0 = 0，故D正 . 故 ：BCD. 732. (2024·高三· 州· 中)已知函数 f x 为定义 R 上 函数 f x  导函数 ，f -1+x + f -1-x = 0，f  2x+1 + f  -2x+1 = 0，且 f 0 = 3， 下 说法正 ( ) A. 函数 f x  图 关于直线 x=-1对称 B. 函数 f x  图 关于点 1,0 对称 C. f 16 = 3 D. 15 i=1 i f(2i) = 0 【 】BCD 【解 】函数 f x  定义域为R， 因为 f -1+x + f -1-x = 0， 以函数 f x  图 于点 -1,0 对称， 以A 不正 ； 对于B，因为 f 2x+1 + f -2x+1 = 0， 以 f x+1 =-f -x+1 ， 以函数 f x  图 于点 1,0 对称， 以B 正 ； 对于C，由B 知，f x+2 =-f -x ，因为 f -1+x + f -1-x = 0， f -1+x =-f -1-x ， 以 f -1+x = f -1-x ， 以函数 f x  图 于直线 x=-1对称， f -2+x = f -x ， 以 f x+2 =-f -2+x ， f x+4 =-f x ， 以 f x+8 = f x ， 以 8 函数 f x  一个 ， 以 f 16 = f 0 = 3， 以C 正 ； 对于D，f 2 =-f 0 =- 3 ,f 4 =-f 0 =- 3， f 6 =-f 2 = 3， ·317· 以 15 i=1 i f(2i) = f(2) + 2f(4) + 3f(6) + 4f(8) +⋯ +14f(28) + 15f(30) = -1-2+3+4-5-6+7+8-9-10+11+12-13-14+15  × 3= 0， 以D 正 ， 故 ：BCD. 733. (2024·高三· 州· 中)已知点P -1,0 为 物线C :y2= 2px(p> 0) 准线与 x轴 交点，M ,N 为C上不 两点 (其中M 一 )，F为 物线 点，O为 点， 下 说法正 ( ) A. 若 MN = 10， MN中点横 为 4 B. 若M ,N ,P三点共线，且MF⊥NF， 直线MN 斜 为 2 C. 若M ,F,N三点共线，且MN  = 4FN  ， 直线 MN 斜 为 3 D. 若M ,F,N三点共线，且△OMN 外 与C 交点为D( 于,N ,M )， △DMN x 轴上 【 】ACD 【解 】 ，p= 2， 以 物线C 方 为 y2= 4x，焦点F 1,0 ， 线方 为 x=-1， 对于A ，设线段MN 中点为H， 过点M ,N , H 线 线， 足 为Q,T,S， 中 线 质 物线定义可 HS = 1 2 MQ + NT  = 1 2 MF + NF  ≥ 1 2 MN = 5， 且仅 M ,N ,F三点 线时， 号 立， xH+ 1= HS ， xH= HS - 1≥ 5- 1= 4， MN中点横 为 4， 以A 正 ； 对于B ，直线MN斜 不为零，设直线MN 方 为 x=my- 1,M x1,y1 ,N x2,y2 ， 由 y2=4x x=my-1  y 2- 4my+ 4= 0， Δ= 16m2- 16 > 0，解 m2> 1， 以 y1+ y2= 4m,y1y2= 4，因为F 1,0 ， 以FM  = x1-1,y1 ,FN  = x2-1,y2 ， 以FM  ⋅FN  = x1-1 x2-1 + y1y2= my1-2 my2-2 + y1y2= m2+1 y1y2- 2m y1+y2 + 4 = 4 m2+1 - 8m2+ 4= 0，解 m=± 2 (满足 m2>1 ， 以直线 l 方 为 x- 2y+ 1= 0 x+ 2y+ 1 = 0. M 一 ， 直线MN 斜 为 2 2 ， 以B 不正 ； 对于C ，设直线MN 方 为 x=my+ 1， 立 x=my+1 y2=4x  ， x y2- 4my- 4= 0，Δ> 0,y1+ y2= 4m,y1y2= -4， 由 MF = 3 NF ， y1=-3y2， 以 y1+y2=-2y2=4m, y1y2=-3y22=-4,  ， m 2= 1 3 ， 由 m> 0， 以m= 3 3 ，直线MN 方 为 y = 3x- 3， 以C 正 ； 对于D ，设D x3,y3 ，因为O,M ,D,N四点 ， 设该 方 为 x2+ y2+ dx+ ey= 0， 立 x2+y2+dx+ey=0, y2=4x,  x y4+ 4d+16 y2+ 16ey= 0， y y3+ 4d+16 y+16e = 0， 以 y1,y2,y3 为 于 y 方 y3+ 4d+16 y+ 16e = 0 3个 ， y3+ 4d+16 y+ 16e= y-y1 y-y2 y-y3 ， 因为 y-y1 y-y2 y-y3 = y3- y1+y2+y3 y2+ ·318· y1y2+y2y3+y1y3 y- y1y2y3， 由 y2 系数对 相 ，y1+ y2+ y3= 0， 以△DMN 重 纵 为 0， 重 x轴上， 以D 正 ， 故 ：ACD. 三、 734. (2024· 东 州·模拟 )若 x> 0，关于 x 不 xa e2x ≥ 2alnx- 4x+ 1 ， 正实数 a 大 为 . 【 】2e 【解 】 xa e2x ≥ 2alnx- 4x+ 1， ealnx-2x≥ 2alnx- 4x + 1， 令 f x = alnx- 2x， e f x - 2f x - 1≥ 0. 设 g t = et- 2t- 1， 中 t= f x ， g t = et- 2，令 g t = 0， t= ln2， 以 t< ln2时，g t < 0,g t  减， t> ln2时，g t > 0,g t  ， 以 g(t)min= g ln2 = 1- 2ln2< 0， g 0 = 0,g 2  = e2- 5> 0， 以存 t0∈ ln2,2 ， g t0 = 0， 以若 g t ≥ 0， t≤ 0 t≥ t0， f x ≤ 0 f x  ≥ t0 立， x→+∞,f x →+∞，故 f x ≥ t0不可能， f x = a x - 2= a-2x x ,x> 0， 以 0, a 2 上，f x > 0,f x  ， a 2 ,+∞ 上，f x < 0,f x  减， 以 f(x)max= f a2 = aln a 2 - a， 以只 aln a 2 - a ≤ 0 能满足要 ， a ln a 2 -1 ≤ 0， a> 0，解 0< a≤ 2e， 以正 实数 a 大 为 2e. 故 为：2e 735. (2024· ·二模)若一个正三棱台 点之间 距离 为 1, 3,2 ，且该三棱台 点都 O 表 上， O 表 积为 . 【 】 11 2 π 【解 】设正三棱台ABC-A1B1C1.如图， 察正三 台 一个 ABB1A1. 设AB<A1B1， △AA1B中，由于∠A1AB 钝角，故 △AA1B中 大 边 A1B. 若A1B= 2， AB AA1 长只能取 1 3 .此时若 两边长 为 1 1， △AA1B不满足两边之 大于 三边； 若一边长 1，一边长 3， △AA1B变为直角三角 ； 若两边长 为 3， A1B1 长只能为 1，与AB< A1B1矛盾. 因 只能 A1B= 3 ,AB=AA1= 1,A1B1= 2. 设三棱台 上 中 为D，下 中 为D1. 如图， 直角 ADD1A1中 O ， 直角 ADD1A1中 O ， 用重 质容 AD= 3 3 ,A1D1= 2 33 , DD1= 63 ， 设 O 为R，OD1= x,x> 0，由图 1 R2= x2 + 2 3 3  2 = 6 3 -x  2 + 3 3  2 ， 解 x=- 6 12 ,R2= 11 8 ( )， 由图 2 R2= x2+ 2 3 3  2 = 6 3 +x  2 + 3 3  2 ，解 x= 6 12 ,R2= 11 8 ， 故 O 表 积为 4πR2= 11 2 π. 故 为： 11 2 π． 736. (2024· ·二模) 数论中 四 方 定 早 欧 提出， 被 日 数学家证 ．四 方 定 内容 ：任 正整数都可以表示为不超 ·319· 过四个自 数 方 ， 如正整数 6= 22+ 12+ 12+ 02．设 25= a2+ b2+ c2+ d2，其中 a,b,c,d 为 自 数， 满足 件 数组 a,b,c,d  个数 .( 数字 ) 【 】28 【解 】 然 a,b,c,d 为不超过 5 自然数，下 进行 讨论： 大数为 5 ： ① 25= 52+ 02+ 02+ 02，此时 A14= 4种 . 大数为 4 ： ② 25= 42+ 32+ 02+ 02，此时 A24= 12种 . ③ 25= 42+ 22+ 22+ 12，此时 A24= 12种 . 大数为 3时，32+ 32+ 22+ 22> 25> 32+ 32+ 22 + 12， 满足 . 由 类 法计数 ，满足 件 数组 a,b,c,d  个数 4+ 12+ 12= 28. 故 为：28． 737. (2024·黑 ·二模)设A为 曲线 Γ: x 2 a2 - y 2 b2 = 1 a>0,b>0  一个实轴 点，B,C为Γ 近线上 两点，满足 BC  = 4AC  ，AC = a， Γ 近线方 ． 【 】y=± 2x 【解 】 ， 图如下： ，OA为∠COB 角 线，且 CB = 4 OA  = 4 CA = 4a， 设 OC =m，由角 线定 可 ： OB  OC  = AB  AC  = 3， OB = 3m； △OAC中，由 定 cos∠OCA= AC 2+ CO 2- OA 2 2 AC CO  = m 2 2am = m 2a ； △OBC中，由 定 可 ，OB 2= OC 2+ BC 2 - 2 OC ⋅ BC cos∠OCA， 9m2=m2+ 16a2- 2×m× 4a× m 2a ，解 m a = 2 3 3 . 故 cos∠COA= cos∠OCA= m 2a = 3 3 ，tan∠COA = 2， 以Γ 近线方 y=± 2x． 故 为：y=± 2x. 738. (2024·高三· 东 泽· 段练习)如图， O内 于 柱O1O2， 柱 高为 2，EF为 O1 一 直 ，D为 O2上任 一点， DEF O 积 为 ；若M为 柱 交线上 一点， △MEF 取 围 为 ．    【 】 4 5 π 5+3，2 3+2  【解 】过点O ABCD OG⊥DO1， 足 为G，如下图 知O1O2⊥CD，O1O2= 2,O2D= 1， 由勾 定 可 O1D= O1O22+O2D2= 5， 由 可 OG= 1 2 × O1O2·O2D O1D = 1 2 × 2×1 5 = 5 5 ， 设O DEF 距离为 d1， DEF 为 r1， 因为O1D⊂ DEF， OG⊥ DEF，d1取 大 OG， d1≤OG= 55 ， 以 r1= 1-d1 2≥ 1- 1 5 = 2 5 5， 以 DEF 积 为 π× 2 5 5  2 = 4 5 π． 由 可知，点M 过 与 柱 行 ·320· 上，设P 为M ， 如图： MM = 1，ME= 1+M E 2 ,MF= 1+M F 2， 由勾 定 可 M E 2+M F 2= 4，令M F 2= 2- t， M E 2= 2+ t， 中-2≤ t≤ 2， 以ME+MF= 3+t+ 3-t， 以 ME+MF 2= 3+t+ 3-t 2= 6+ 2 9-t2 ∈ 6+2 5,12 ， 因此ME+MF∈ 5+1,2 3 ， 以△MEF 长 取 围为 5+3,2 3+2 ． 故 为： 4 5 π； 5+3,2 3+2  739. ( 2024 · 福 建 三 · 三 模 ) 记 N *m = 1,2,3,⋯,m m∈N * ,Ak表示 k个元 ， S(E )表示 数 E中 元 ，若 M m,k = S Ak |Ak⊆N *m ， M 4,3 = ，若 S Mm,2 ≥ 817， m 为 . 【 】 {6,7,8,9} 21 【解 】 m= 4,k= 3时，N *4 = 1,2,3,4 ,A3表示 3个 ， 由Ak⊆N *m可知A3={1,2,3} A3={1,2,4} A3= {1,3,4} A3={2,3,4}， 故M4,3={6,7,8,9}； 由 知Mm,2={3,4,5,⋯ ,2m- 1}， 故由S Mm,2 ≥ 817可 (2m-1-2) 3+2m-1  2 ≥ 817， (2m- 3) m+1 ≥ 817， 解 m≥ 1+ 6561 4 = 21 m≤ 1- 6561 4 ( )， 结 m∈N *，故m 为 21， 故 为：{6,7,8,9}；21 740. ( 2024 ·福建三 ·三模 ) 已知关于 x 不 x-kex x2- k+3 x+9 ≤ 0对任 x∈ 0,+∞  ， 实数 k 取 围为 . 【 】 1 e ,3   【解 】 x- kex≤ 0对任 x∈ 0,+∞  立时， k≥ x ex 对任 x∈ 0,+∞  立， 令 f x = x ex x>0 ， f x = 1-x ex ， 0< x< 1时，f x > 0， x> 1时，f x < 0， 以函数 f x  0,1 上 ， 1,+∞ 上 减， 以 f x max= f 1 = 1 e ， 以 k≥ 1 e ， x2- k+3 x+ 9≥ 0对任 x∈ 0,+∞  立 时， k+ 3≤ x 2+9 x = x+ 9 x 对任 x∈ 0,+∞  立 时， 因为 x+ 9 x ≥ 2 x ⋅ 9 x = 6， 且仅 x= 9 x ， x= 3 时取 号， 以 x+ 9 x min= 6， 以 k+ 3≤ 6， 以 k≤ 3， 以， x- kex≤ 0且 x2- k+3 x+ 9≥ 0对任 x ∈ 0,+∞  立时， k≥ 1 e 且 k≤ 3， k∈ 1 e ,3  ； x- kex≥ 0且 x2- k+3 x+ 9≤ 0对任 x∈ 0,+∞  立时， k≤ x ex 且 k+ 3≥ x+ 9 x 对任 x∈ 0,+∞  立时， 因为 x+ 9 x x∈ 0,+∞ 上无 大 ， 以此时 k满足， 综上，实数 k 取 围为 1 e ,3  . 故 为： 1 e ,3  . 741. (2024·福建福州·模拟 ) 斜角为 π 3 直线经 过 物线 C：y2= 12x 点 F，且与 C交于A，B 两点，Q为线段AB 中点，P为C上一点， PF  + PQ  为 ． 【 】8 【解 】 知 物线C:y2= 12x 焦点F(3,0)， 线 x =-3，直线AB 方 为 y= 3 (x- 3)， 立 y= 3(x-3) y2=12x  ， y 整 x 2- 10x+ 9= 0， 不妨设A(x1,y1)，B(x2,y2)， 由韦达定 x1+ x2= 10， 此时线段AB 中点Q 横 xQ= 5， ·321· 过P 线 x=-3 线， 足为D，过Q 线 x =-3 线， 足为D， 由 物线 定义可 PF + PQ = PD + PQ ≥ QD ≥ QD = xQ+ p 2 = 5+ 3= 8 |PF| +|PQ|取 为 8． 故 为：8． 742. ( 2024 ·福建福州 ·模拟 ) 如图 ，六 ABCDA1C1D1 一个 ABCD 边 为 2 正方 ，AA1，CC1，DD1 直于 ABCD，且AA1 = 1，CC1= 2， 该六 积 于 ，表 积 于 ． 【 】 6 22 【解 】如图， DD1上取DM=AA1，连 A1M ,MC， 因为AA1，CC1，DD1 直于 ABCD， 以 AA1⎳CC1⎳DD1， AA1⊥AD,AA1⊥DC，因为正方 ABCD， 以 AD⊥DC， AD∩DC=D,AD,DC⊂ A1ADD1， 以DC ⊥ A1ADD1， 由DM=AA1可 四边 AA1MD为 行四边 ， 以AD⎳A1M ,AD=A1M， 因为 ABCD为正方 ， AD⎳BC,AD=BC， 以BC⎳A1M ,BC=A1M， 四边 A1MCB为 行四边 ， 以A1B⎳MC, A1B=MC， A1B⊄ DCC1D1，MC⊂ DCC1D1， 以 A1B⎳ DCC1D1， 因为 DCC1D1∩ A1BC1D1=C1D1， A1B⎳C1D1， 以四边 MD1C1C为 行四边 ， 以MD1=C1C = 2， 故ABA1-DCM为三棱柱，BCC1-A1MD1为三棱 柱， 该 积V=VABA1-CDM+VBCC1-A1MD1= S△ABA1 ⋅BC+S△BCC1 ⋅DC= 1 2 × 2× 1× 2+ 1 2 × 2× 2 × 2= 6； 如图，连 BD,D1B， A1B= AB2+AA21 = 22+12= 5，A1D1= AM 2+MD21 = 22+22= 2 2，BD= 2 AD= 2 2 以BD1= BD2+DD21 = 2 2 2+32= 17， 四边 A1BC1D1中，由 定 cos∠D1A1B= A1B 2+A1D21-BD21 2A1B ⋅A1D1 = 5+8-17 2× 5×2 2 =- 10 10 ， 以 sin∠D1A1B= 1-cos2∠D1A1B = 3 1010 ， S▱A1BC1D1=A1B ⋅A1D1 ⋅ sin∠D1A1B= 5 × 2 2 × 3 10 10 = 6， 该 表 积S=S△ABA1+S△BCC1+S四边 A1ADD1+ S四边 DCC1D1+S▱A1BC1D1+S□ABCD = 1 2 × 2× 1+ 1 2 × 2× 2+ 1 2 × 1+3 × 2+ 1 2 × 2+3 × 2+ 6+ 2× 2= 22. 故 为：6；22. 743. (2024· 京·二模)已知函数 f(x) = x3- ax+ 1 ( a ∈ R ) 两个 点为 x 1 ，x 2 x1<x2 ，记 A x1,f x1  ，C x2,f x2  ．点B，D f(x) 图 上，满足AB，CD 直于 y轴．若四边 ABCD 为菱 ， a= ． 【 】 3 2 2 ·322· 【解 】函数 f(x) = x3- ax+ 1(a∈R)，f x = 3x2- a， 若 a≤ 0，f x ≥ 0 立，f x  R上 ，不 ， a> 0时，f x = 3x2- a= 0， x1=- a3 ,x2= a 3 ， f x1 = 1+ 2a3 a 3 ，f x2 = 1- 2a3 a 3 ， 四边 ABCD为菱 ， AC⊥BD， kAC= f x2 - f x1  x2-x1 =- 2a 3 ，故 kBD= 3 2a = f x1 - f x2  xB-xD ，xB- xD= 8a2 9 a 3 ， x1+x2 2 = xB+xD 2 = 0， xB= 4a2 9 a 3 ，xD= - 4a 2 9 a 3 ， 由 f xB = f x1 ， 64a6 729 - 4a 2 3 - 2= 0，令 t= 4a2 9 > 0， t3- 3t- 2= 0， t-2  t+1 2= 0，解 t= 2，故 4a 2 9 = 2，a= 3 2 2 . 故 为： 3 2 2 . 744. (2024· 京·二模) 四边 ABCD中， ∠A= 135°，∠B=∠D= 90°，AB= 2，AD= 2， 四边 ABCD 积为 ． 【 】7 【解 】连 AC， ，设BC= x，CD= y x,y>0 ， AC2= x2+ 4= y2+ 2， tan∠DAB= tan135° = tan ∠DAC+∠BAC = tan∠DAC+tan∠BAC 1-tan∠DACtan∠BAC =-1， x 2 + y 2 1- x2 ⋅ y 2 =-1， xy- 2 2= 2x+ 2y， x-2 y- 2 = 4 2， 然 x≠ 2， y- 2= 4 2 x-2， y= 4 2 x-2 + 2， x2+ 2= y2， 以 x2+ 2= 4 2 x-2 + 2  2 ，整 x3 - 4x2+ 4x- 16= 0， x-4 x2+4 = 0，解 x= 4， 以 y= 3 2， 以SABCD= 1 2 AB ⋅BC+AD ⋅DC  = 1 2 2×4+ 2×3 2 = 7. 故 为：7 745. (2024 · 台 ·二模)如图，四边 ABCD EFGH 两个相 矩 ， 积 为 300，图中 部 也 四个相 矩 ， 部 MN，NP，PQ，QM 起， 一个无盖 方 ， 该 方 积 大 为 ． 【 】1000 【解 】由 设AD= x x>0 ，因为ABCD 积为 300， 以AB= 300 x x>0 ， ：MQ=MN=AD= x x>0 ， 以AM= AB-MN 2 = 300 x -x 2 = 150 x - x 2 x>0 ， 长方 积为V=MN ⋅MQ ⋅AM= x2 150 x - x 2 =- 1 2 x3+ 150x x>0 ， V=- 3 2 x2+ 150 x>0 ，令V= 0， x= 10， 以 x∈ 0,10 时，V> 0，函数 0,10 上 ， x∈ 10,+∞ 时，V< 0，函数 10,+∞ 上 减， 以 x= 10时，V取 大 ， 大 为V=- 1 2 × 10 3+ 150× 10= 1000. 故 为：1000 746. (2024 ·宁夏 ·一模) △ABC中，BC = 3 AC， ∠BAC= π 3 ，点D与点 B 直线AC 两 ， 且 AD = 1，DC = 3， BD 大 ． 【 】3 3 ·323· 【解 】 如图， △ABC中，由正 定 ： BC sin∠BAC = AC sin∠ABC 可 ：sin∠ABC= 1 2 ，因∠BAC= π 3 ， ∠ABC= π 6 ， ∠ACB= π 2 . 设AC= x， BC= 3x， △ADC中，设∠ADC= θ，由正 定 ， AD sin∠ACD = AC sinθ ， ：sin∠ACD = sinθ x ， 由 定 可 ：AC2=AD2+DC2- 2AD ⋅ DCcosθ， x2= 4- 2 3cosθ. △BDC中，由 定 ，BD2=BC2+CD2- 2BC ⋅ CDcos∠BCD= 3x2+ 3- 6xcos π 2 +∠ACD = 3x2 + 3+ 6xsin∠ACD= 3x2+ 3+ 6x ⋅ sinθ x = 3(4- 2 3cosθ) + 3+ 6sinθ= 6sinθ- 6 3cosθ+ 15= 12sin θ- π 3 + 15, 因 0< θ< π， - π 3 < θ- π 3 < 2π 3 ， θ- π 3 = π 2 时， θ= 5π 6 时，BD2max= 27，此时BDmax= 3 3 . 故 为：3 3 . 747. ( 2024 ·辽宁 ·二模 ) 已知 C : x 2 a2 + y 2 b2 = 1 a>b>0  右 点 F，过点 F 直线 l交 于点A，B，过点 F与直线 l 直 线交 于点 P，AB = 12 5 PF ，且三点A,O,P共线 (其中O 点)， 离 为 . 【 】 5 3 / 1 3 5 【解 】设 左焦点为F . 由于A,O,P三点 线， 故由 对称 知 OA = OP ， OF = OF  ， 故四边 AFPF  行四边 . 因为FP⊥FA，，故四边 AFPF  矩 . 由于四边 AFPF  矩 ，故 AF   AB  = PF  AB  = 5 12 ， BF  = AF  2+ AB 2= 25144 AB  2+ AB 2= 5 13 AB . 从 可设 AF  = 5k，AB = 12k，BF  = 13k，此时 30k= AF  + AB + BF  = AF  + AF + BF + BF  = 2a+ 2a= 4a. 这 k= 2 15 a， 以 AF  = 5k= 2 3 a，AF = 2a- AF  = 2a- 2 3 a= 4 3 a. 由 AF  2+ AF 2= F F 2 2 3 a  2 + 4 3 a  2 = 2c 2， 20 9 a2= 4c2，故 c 2 a2 = 5 9 . 从 离 e= c a = c 2 a2 = 5 9 = 5 3 . 故 为： 5 3 . 748. (2024·辽宁·二模)已知函数 y1= x 1 2 图 与函数 y2= ax(a> 0且 a≠ 1) 图 公共点处 相 线， a= ， 线方 为 . 【 】 e 1 2e x- 2 ey+ e= 0 【解 】设 点为 x0,y0 x0>0 ， y0=x 1 2 0 y0=ax0  ， a x0 = x 1 2 0， 以 x0lna= 12 lnx0， 以 lna= 1 2x0 lnx0， 由 y1= 12 x - 12，y2= axlna， 以 y1 x=x0= 1 2 x - 12 0 ，y2 x=x0 = ax0lna， 点处 相 线， 以 1 2 x - 12 0 = ax0lna， 1 2 x - 12 0 = x 1 2 0 ⋅ 12x0 lnx0， 以 lnx0= 1， x0= e，y0= e 1 2， lna= 1 2x0 lnx0= 12e lne= 1 2e ， a= e 1 2e， 以 线方 为 y- e 1 2= 1 2 e - 12 x-e ， x- 2 ey+ e= 0. 故 为：e 1 2e；x- 2 ey+ e= 0 749. (2024· 西 州·一模)已知点 F 曲线C : x 2 a2 - y2 b2 = 1 a>0,b>0  右 点，过 F 直线 l与C交 于M ,N两点，点 P与点M关于 点对称，PF⊥ ·324· MN．若 F为线段MN上 近点M 四 点， C 离 为 ． 【 】 10 2 / 1 2 10 【解 】取左焦点F1，设 MF =m， NF = 3m， 由双曲线定义可 MF1 = 2a+m，NF1 = 2a+ 3m， 由PF⊥MN，点P与点M 于 点对称，故四边 PFMF1为矩 ， 故F1M⊥MN， 2a+m 2+ 4m 2= 2a+3m 2， 可 m= a， 故 MF = a，MF1 = 3a， △F1FM中， a2+ 3a 2 = 2c 2， 5a2= 2c2，故 e= c a = 5 2 = 10 2 . 故 为： 10 2 . 750. (2024· 东 ·二模)若函数 f x = exlnx+ xex - alnx x - a(a∈R) 2个不 零点， 实数 a 取 围 ． 【 】 0,1 ∪ 1,+∞  【解 】由函数 f x = ex lnx+x - a lnx x +1 = lnx+x  ex- a x ,(x> 0)， 设 g x = lnx+ x，可 g x = 1 x + 1> 0，g x  ， 且 g 1 2 =-ln2+ 1 2 < 0，g 1 = 0+ 1> 0， 以存 一 x1∈ 0,1 ， g x1 = 0， lnx1+ x1 = 0， 令 ex- a x = 0， a= xex， 设 h x = xex，可 h x = (x+ 1)ex> 0， h x  0,+∞ 上 ， 由 h 0 = 0且 x→+∞时，h x →+∞， 以 a∈ 0,+∞ 时，存 一 x2∈ 0,+∞ ， h x2 = a， a= x2ex2， 若 x1= x2时，可 lnx1+x1=0 a=x1ex1  ， lnx1=-x1，可 x1= e-x1， 以 x1ex1= 1， 以 a= 1， 综上 述，实数 a 取 围为 0,1 ∪ 1,+∞ ． 故 为：0,1 ∪ 1,+∞ ． 751. (2024·高三· 武 · 段练习)设A,B,C 一个 三角 三个内角， cosA 3sinB+4sinC  为 . 【 】- 125 3 108 【解 】cosA 3sinB+4sinC = cosA 3sinB+4sin π-A-B  = cosA 3sinB+4sinAcosB+4cosAsinB  = cosA 3+4cosA sinB+4sinAcosB ， 令 3+ 4cosA= a,b= 4sinA， 以 cosA 3sinB+4sinC = cosA asinB+bcosB  = a2+b2cosAsin θ+B ， 要想 cosA 3sinB+4sinC  ， 然A为钝角， cosA< 0， 于 a2+b2cosAsin θ+B ≥ a2+b2cosA， 设 f A = cosA ⋅ 9+24cosA+16cos2A+16sin2A= cosA ⋅ 25+24cosA， 因为 cosA< 0， 以 f A =- 25cos2A+24cos3A 令 cosA= t -1<t<0 ， f t = 25t2+ 24t3, -1< t < 0⇒ f t = 50t+ 72t2= 2t 25+36t ， -1< t<- 25 36 时，f t > 0，函数 f t  ， - 25 36 < t< 0时，f t < 0，函数 f t  减， 因此 t=- 25 36 时，函数 f t  大 f - 25 36 = 252×25 362×3 ， 以 f A  为- 25 2×25 362×3 =- 125 3 108 ， 此时 cosA=- 25 36 ⇒ π 2 <A< 3π 4 ，a= 3+ 4cosA= 2 9 ,b= 671 9 ， 存 tanθ= 671 2 > 1,θ∈ π 4 , π 2 ， 然存 B， B+ θ= π 2 ， cosA 3sinB+4sinC  为- 125 3 108 ， 故 为：- 125 3 108 752. (2024·高三· 州· 中)已知 F1,F2为 C : y2 a2 + x 2 b2 = 1(a> b> 0) 两个 点，P为 C上 ·325· 一点，且△PF1F2 为 6， 积 大 为 3， C 离 为 . 【 】 1 2 /0.5 【解 】 ，△PF1F2 长为 2a+ 2c= 6， 以 a+ c= 3,△PF1F2 积 大 为 12 × 2c× b= bc= 3， a2= b2+ c2，整 (3- c)2= 3 c2 + c2, (c- 1)2 (2c+ 1) = 0, 解 c= 1,a= 2,b= 3，故 C 离 为 1 2 ， 故 为： 1 2 753. (2024 ·高三 · 州 · 中)已知 a,b,c 为 △ABC 内角A,B,C 对边，且 3 b-acosC = csinA， A = ；内角 A 线交 BC于 点 M，若 a = 4,AM = 2 2 3 ， △ABC 积为 . 【 】 π 3 /60° 2 3 3 【解 】 ，由正 定 可 3sinB- 3sinAcosC= sinCsinA， 3 sinAcosC+cosAsinC - 3sinAcosC= sinCsinA， 故 3cosAsinC= sinAsinC， sinC≠ 0， 以 3cosA= sinA， tanA= 3，因为A∈ 0,π ， 以A= π 3 . 因为S△ABC=S△ABM+S△ACM， 以 1 2 bcsin∠BAC= 1 2 AM ⋅ c ⋅ sin∠BAM+ 1 2 AM ⋅ b ⋅ sin∠CAM， AM ∠BAC， 以∠BAM=∠CAM= 1 2 ∠BAC= π 6 ， 以 1 2 bc× 3 2 = 1 2 × 2 2 3 c× 1 2 + 1 2 × 2 2 3 b× 1 2 ， 3bc= 2 2 3 b+c ， b+ c= 3 6 4 bc， △ABC中，由 定 a2= b2+ c2- 2bccosA， 16= b2+ c2- bc， 以 16= (b+ c)2- 3bc= 27 8 b2c2- 3bc，解 bc= 8 3 (负 )， 以△ABC 积为 1 2 bcsinA= 1 2 × 8 3 × 3 2 = 2 3 3 . 故 为： π 3 ； 2 3 3 . 新高 数学 轴 好 ( 三) 一、 754. (2024· 东 州·三模) 乎 直角 系中，O为 点，已知直线 l:2x+ y- 5= 0，点A,B为 x2+ y2= 1上两 点，且满足∠AOB= 2π 3 ， A,B 直线 l 距离之 为 ( ) A. 2 5- 2 3 B. 2 5- 2 C. 2 5- 3 D. 2 5- 1 【 】D 【解 】 ，A,B为 x2+ y2= 1上两 点，且满 足∠AOB= 2π 3 ， 设A cosθ,sinθ ,B cos θ+ 2π 3 ,sin θ+ 2π 3  ，θ∈ [0,2π]， 点A 直线 l:2x+ y- 5= 0 距离 dA= 2cosθ+sinθ-5  5 ， 可 点B 直线 l:2x+ y- 5= 0 距离 dB= 2cos θ+ 2π3 +sin θ+ 2π 3 -5  5 , 以点A,B 直线 l 距离之 为 dB+ dA= 2cosθ+sinθ-5  5 + 2cos θ+ 2π3 +sin θ+ 2π 3 -5  5 = 1 5 2cosθ+sinθ-5 + 2cos θ+ 2π 3 +sin θ+ 2π 3 -5   = 1 5 5-2cosθ-sinθ+5-2cos θ+ 2π 3 -sin θ+ 2π 3   = 1 5 10-2cosθ-sinθ+cosθ+ 3sinθ+ 1 2 sinθ- 3 2 cosθ  = 1 5 10- 1+ 3 2 cosθ+ 3- 1 2 sinθ    = 1 5 10+ 5sin θ-φ  ， ·326·