新高考数学选填压轴题好题汇编(十)-遇见最美的数学系列——选填压轴好题汇编

102 新高考数学选填压轴题好题汇编 (十) 一、 558. (2024· 东深 ·二模)P C：x 2 a2 + y 2 b2 = 1(a> b> 0)上一点，F1、F2 C 两个 点，PF1  ⋅PF2  = 0，点Q ∠F1PF2 线上，O为 点，OQ∥PF1，且 OQ = b． C 离 为 ( ) A. 1 2 B. 3 3 C. 6 3 D. 3 2 559. (2024· 东深 ·二模)设函数 f x = x+ ex，g x = x+ lnx，若存 x1，x2， f x1 = g x2 ， x1-x2  为 ( ) A. 1 e B. 1 C. 2 D. e 560. (2024· 东 ·二模)已知 0< a< 1且 a≠ 1 2 ，若函数 f(x) = 2logax- log2ax (0, +∞)上 减， 实数 a 取 围为 ( ) A. 1 4 , 1 2  B. 0, 1 4  C. 1 4 , 1 2 ∪ 1 2 ,1  D. 0, 14 ∪ 1 2 ,1  561. (2024· 东 ·二模)已知 C : x 2 a2 + y 2 b2 = 1 a>b>0  左、右 点 为F1 -c,0 ，F2 c,0 ，点 A，B C上，且满足F1A  = 2F2B  ，F1B  ⋅AB  = 4c2- a 2 16 ， C 离 为 ( ) A. 2 2 3 B. 6 3 C. 2 3 D. 3 3 562. (2024· ·三模)已知 差数 an  n 为Sn，若 a2≥ a1> 0,S20= 100， a10a11 ( ) A. 25 B. 大 25 C. 50 D. 大 50 563. (2024· ·三模)已知函数 f(x) = ex+a, x<a x2+2ax, x≥a  ，f(x)不存 ， 实数 a 取 围 ( ) A. (-1,0) B. 1 3 ,+∞  C. (-1,0) ∪ 1 3 ,+∞  D. - 13 ,0 ∪ (1, +∞) 564. (2024· 衡 ·模拟 )如图，已知P C :(x- 2)2+ (y- 3)2= 2上一点，A -1,0 ,B 1,0 ， ∠APB 正 大 为 ( ) 103 A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 565. (2024· 衡 ·模拟 )已知实数 x,y，满足 x2+ xy+ 3y2= 3， x+ y 大 为 ( ) A. 3 11 11 B. 6 11 11 C. 3+1 3 D. 3+3 3 566. (2024· 衡 ·模拟 )已知函数 f x = sin πx + 2e x ex+1 x∈ -a,a  a>0 存 大 与 为M m， 函数 g x = M+m x+ 1 M+m x+1 ，函数 g x 图 对称中 ( ) A. -1,-1  B. -1,- 2 3  C. - 1 2 ,-1  D. - 12 ,- 2 3  567. (2024· 黄石·三模)已知 直角三角 ABC中，CA=CB= 4，点M 以C为 、2为 上， MB + 1 2 MA  为 ( ) A. 3 5-2 2 B. 17 C. 1+ 2 5 D. 2 5- 1 568. (2024· 黄石·三模)已知M x0,y0 为 曲线 x2- y2= 4上 点，x0> 0，y0≥ 0，直线 l1：x0x- y0y= 4与 曲线 两 近线交于P，Q两点 (点P 一 )，R与Q 一 近线上， RP  ⋅ RQ  为 ( ) A. - 8 B. - 4 C. 0 D. - 2 569. (2024· 东 ·一模) 棱 为 2 正三棱 A-BCD中，点E为线段BC上一点，且AD⊥AE， 以A为 ， 2为 与该三棱 三个 交线 为 ( ) A. 3 2π 4 B. 2π C. 3 2π 2 D. 3 2π 570. (2024· 州·二模) △ABC中，已知 sinA sinB = nsinC, cosA cosB = ncosC．若 tan A+ π 4 =-3， n= ( ) A. 无解 B. 2 C. 3 D. 4 571. (2024· 东 ·一模) 一次 试中 一 4个 ，其中B C 正 ，A D 误 ， 、乙两 学都完全不 这 目，只能 4个 中 取两个 ．设事件M= 104 “ 、乙两人 一个相 ”，事件N=“ 、乙两人 完全不 ”，事件X=“ 、乙两 人 完全相 ”，事件Y=“ 、乙两人 择B ”， ( ) A. 事件M与事件N相互独 B. 事件X与事件Y相互独 C. 事件M与事件Y相互独 D. 事件N与事件Y相互独 572. (2024· 东 ·二模)如图， 四边 ABCD中，AB=AD= 2,∠B= 2∠D= 120°，记△ABC与 △ACD 积 为S1,S2， S2-S1 为 ( ) A. 2 B. 3 C. 1 D. 3 2 573. (2024· 东 ·二模)已知 柱OO1 下 O 上，上 O 上， 记 O 积与 柱OO1 积 为S,S1， O与 柱OO1 积 为V,V1， S S1 时， V V1 为 ( ) A. 4 2 3 B. 3 C. 3 3 4 D. 2 574. (2024· ·二模)已知函数 f x 满足对任 x,y ∈ 1,+∞ 且 x< y都 f x-y 1-xy = f 1 x - f 1 y ，若 an= f 1 n2+5n+5 ，n∈N *， a1+ a2+ a3+⋯+a2024= ( ) A. f 253 385  B. f 253 380  C. f 253 765  D. f 253 760  575. (2024· ·二模)古人 正 函数、 函数、正 函数、 函数、正 函数、 函数、正矢函数、 矢函数这八种三角函数 函数线 称为八线.其中 函数 cotθ= 1 tanθ ，正 函数 secθ= 1 cosθ ， 函数 cscθ= 1 sinθ ，正矢函数 versinθ= 1- cosθ， 矢函数 vercosθ= 1- sinθ.如图角 θ始边为 x轴 负 轴，其终边与 交点P，A、B 与 x轴 y轴正 轴 交点，过点P PM 直 x轴， PN 直 y轴， 足 为M、N，过点A x轴 线，过点B y轴 线 交 θ 终边于T、S，其中AM、PS、BS、NB为 线段，下 表示正 ( ) 105    A. versinθ=AM B. cscθ=PS C. cotθ=BS D. secθ=NB 576. (2024·福建·模拟 )一个 为 2 轴 为正三角 ， 行于 该 两个部 ，若这两部 表 积相 ， 该 上 积 ( ) A. 3π B. 2 3π C. 2 2π D. 2π 577. (2024·福建·模拟 )已知数 an ，bn ，c 零 数，若 an cn  为 差数 ， bn cn  为 比数 ， 下 说法中 误 ( ) A. an+bn 可能为公差不为 0 差数 B. an⋅bn 可能为公比不为 1 比数 C. bann 可能为公差不为 0 差数 D. an bn  可能为公比不为 1 比数 578. (2024· 东 州·模拟 )已知函数 f x = ex-ln x+1 -1, x≥0 1- 1 ex +ln 1-x , x<0  ，若 f e x-2 + f e2x ≤ 0， 实 数 x 取 围为 ( ) A. -∞,0  B. 0,+∞  C. -ln2,0  D. -∞,-ln2  579. (2024· 信 ·模拟 )棱 为 1 正方 ABCD-A1B1C1D1中，点P为BD1上 点，O为 ABCD 中 ， OP 为 ( ) A. 3 3 B. 6 3 C. 6 6 D. 3 2 580. (2024· 信 ·模拟 )若直线 y= ax+ b与曲线 y= ex相 ， a+ b 取 围为 ( ) A. (-∞,e] B. [2,e] C. [e, +∞) D. [2, +∞) 581. (2024·福建福州·模拟 )函数 f x = 2sinωx 3sinωx+cosωx (ω> 0) 0, π 3 上 ，且 对任 实数 a，f x  (a,a+ π)上不 ， ω 取 围为 ( ) A. 1, 5 2  B. 1, 5 4  C. 1 2 , 5 2  D. 1 2 , 5 4  582. (2024· 州·模拟 )以 为 1 O为 点建 间直角 系，与 O相 106 α 与 x,y,z轴交于A,B,C三点，OC = 2， OA 2+ 4 OB 2 为 ( ) A. 16 2 B. 12 3 C. 18 D. 8 6 583. (2024· 州·模拟 )若函数 f x = xlnx- x+ x-a  且仅 两个零点， a 取 围 ( ) A. - 1 e ,0 ∪ 0,e  B. - 2e ,0 ∪ 0,e  C. - 2 e ,0 ∪ 0,3  D. - 1e ,0 ∪ 0,3  584. (2024· 绍兴·二模)已知点A，B，C都 曲线Γ：x 2 a2 - y 2 b2 = 1 a>0,b>0 上，且点A，B关于 点对称，∠CAB= 90°.过A 直于 x轴 直线 交 Γ，BC于点M，N .若AN  = 3AM  ， 曲线 Γ 离 ( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 2 3 585. (2024· 绍兴·二模) 边 为 4 正三角 ABC中，E，F AB，AC 中点， △AEF EF翻 至△AEF， AB⊥FC， 四棱 A-BCFE 外 表 积 ( ) A. 8π B. 12π C. 16π D. 32π 二、多 586. (2024· 东深 ·二模)设函数 f x = x  函数 表示不超过 x 大整数， 一个直角 系 中，函数 y= f x  图 与 x-t 2+ y+t 2= 2t2(t> 0) 公共点个数可以 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 587. (2024· 东 ·二模) 一个 间中， 设 P A =P B =P C = 1 3 ，且A与B相互独 ，A与C互斥， ( ) A. P A∪B = 2 3 B. P C  A = 2P A C    C. P C  AB = 1 D. 若P C B +P C B   = 12 ， B与C互斥 588. (2024· ·三模)如图，四边 ABCD 柱OO1 轴 且 积为 2，四边 OO1DA绕OO1 时针旋转 θ(0≤ θ≤ π) 四边 OO1D1A1， ( ) A. 柱OO1 积为 2π B. 0< θ< π时，DD1⊥A1C 107 C. 0< θ< π时，四 CDD1A1 外 表 积 为 3π D. BD1= 2时，2π3 ≤ θ≤ π 589. (2024· 衡 ·模拟 )已知 物线Γ:y2= 2px(p> 0)过点P 2,2 2 ，其 点为F，过点F 两 互相 直 直线 l1,l2，直线 l1与 物线 Γ相交于A、B两点，直线 l2与Γ相交于C、D两点 (如图 示)， 下 结论正 ( ) A. 物线Γ 方 为 y2= 4x B. 物线Γ 准线方 为 x=-2 C. △ACF △BFD 积之 为 7 D. △ACF △BFD 积之 为 8 590. (2024· 衡 ·模拟 )已知定义 实数 R上 函数 f x  图 关于点 1,0 中 对称，函数 g x = x-1 f x ，且函数 g x  -∞,1 上 减，函数 f x 、g x  导函数 f  x 、 g x ， 下 结论正 ( ) A. 函数 f x  图 关于直线 x= 1对称 B. g x  图 关于点 1,0 对称 C. 若 g -1 =-2， g 3 = 2 D. g e > g 1-ln1.5 > 0 591. (2024·高二· · 段练习)已知函数 f(x) = λsin(ωx+ φ) (λ> 0,ω> 0,0< φ< π)图 如图 1 示，A，B 为图 高点 点，过A，B x轴 线， 交 x轴于A,B，点C为该部 图 与 x轴 交点，f(x)与 y轴 交点为D(0, 3 )，此时∠AAB= 135°． 绘 该图 纸片 x轴 60° 二 角 α-OC- β，如图 2 示， 叠 |AB| = 2 2， 下 四个结论正 ( ) A. φ= π 3 B. f(x) 图 (2,3)上 108 C. 图 2中，f(x)上存 一一点Q， DQ⎳ ABC D. 图 2中，若P1,P2 f(x)上两个不 点，且满足APi⊥BB,i= 1,2， P1P2  为 43 592. (2024·高一·四川巴中· 段练习)对于△ABC， 如下 断，其中正 断 ( ) A. 若 a= 2,A= 30°， b+2c sinB+2sinC = 2b+c 2sinB+sinC = 4 B. 若 a= 8,b= 10,B= 60°， 件 △ABC 两个 C. 若点P为△ABC 内 点，且AP  = λ AB  AB   cosB + AC  AC   cosC      ,λ∈ 0,+∞ ， 点P 轨迹经过△ABC D. 已知O △ABC内一点，若 2OA  +OB  + 3OC  = 0  ,S△AOC,S△ABC 表示△AOC,△ABC 积， S△AOC ⋅S△ABC= 1:6 593. (2024· 黄石·三模)已知数 an  为 an， n 为Sn， 下 中正 ( ) A. 如 an= sin nπ2 ， ∀n∈N *，∃M> 0， Sn <M B. 如 an= 1n， ∀M> 0，∃n0∈N *， Sn0 >M C. 如 an= sin 1n， ∀n∈N *，∃M> 0， Sn <M D. 如 ∀n∈N *，∃M1> 0， Sn <M1， ∀n∈N *，∃M2> 0， an <M2 594. (2024·高三· 西鹰 · 段练习)已知 f x  定义 R上连续 奇函数，其导函数为 g x ，f 4x = f 2-4x ， x∈ -2,-1 时，g x > 0， ( ) A. g x 为 函数 B. f x  图 关于直线 x= 1 2 对称 C. 4为 g x  D. g x  x= 2026处取 595. ( 2024 · 东 · 二 模 ) 已 知 函 数 f x  = sin 2x+ π 6  π 6 ≤x≤ 2π 3  , g x  = cos 2x+ π 6 - π 12 ≤x≤ 5π 12 ， 下 结论正 ( ) A. 若 直线 x=m与 f x ,g x  图 交点 为A,B， AB  可为 3 2 B. 若 直线 y=m与 f x ,g x  图 交点 为A,B， AB  为 π 4 C. 若 直线 y=±m与 f x ,g x  图 能围 闭图 ， 该图 积 大 为 π 2 D. 若 f m0 = 35 ， g m0 2 - π 12 = 2 15- 5 10 109 596. (2024· ·二模)已知正实数 a，b，c，且 a> b> c，x，y，z为自 数， 满足 x a-b + y b-c + z c-a > 0 x，y，z可以 ( ) A. x= 1，y= 1，z= 4 B. x= 1，y= 2，z= 5 C. x= 2，y= 2，z= 7 D. x= 1，y= 3，z= 9 597. (2024· ·二模)已知 C : x 2 9 + y 2 b2 = 1 0<b<3 左右两个 点 为 F1 F2， 直线 l经过 左 点F1与 交于A,B两点，且 AF2 + BF2 ≤ 8 ，下 说法正 ( ) A. b= 6 B. AB ∈ 4,6  C. 离 e= 3 2 D. 若OA⊥OB， 1 OA 2 + 1 OB 2 = 5 18 598. (2024·福建·模拟 ) 竹以某 正 方 行进. 某时 时，其 西 30°方 上 一距其 6米 好 正东方 . 已知 方 为 2 3米，可视为 直线段 柱，且其 东- -西- -东 方 每 3秒 旋转一 转 . 若 竹不 被 柱 且 不改变行进方 ， 他行进 可以 ( ) A. 1m/s B. 1.2m/s C. 2m/s D. 8m/s 599. (2024·福建·模拟 )已知正方 ABCD-A1B1C1D1，E,F 边BD,C1D1上 ( 端点) 点， ( ) A. EF⎳AD1时，直线EF相对于正方 一 定 B. A1F⎳CE时，直线EF相对于正方 一 定 C. C1E⎳ ADF时，直线EF相对于正方 一 定 D. AED1⎳ A1CF时，直线EF相对于正方 一 定 600. (2024· 东 州·模拟 ) 角△ABC中，角A,B,C 对 边为 a,b,c，若 sinBsinC 3sinA = cosA a + cosC c ，且S△ABC= 3 4 a2+b2-c2 ， c 2 a+b 可能取 为 ( ) A. 3 B. 2 C. 14 2 D. 3 10 5 601. (2024· 郸·一模)已知函数 f x = 2x+2, -2≤x≤1 lnx-1, 1<x≤e  ，若关于 x 方 f x =m 两个不 解 x1,x2 x1<x2 ， (x2- x1)f x2  取 可能 ( ) A. - 3 B. - 1 C. 0 D. 2 602. (2024·福建福州·模拟 )定义 R上 函数 f x  域为 -∞,0 ，且 f 2x + f x+y f x-y = 0， ( ) 110 A. f 0 =-1 B. f 4 + f 1  2= 0 C. f x f -x = 1 D. f x + f -x ≤-2 603. (2024·福建福州·模拟 ) 一 质 三次，设 变 Xn= 1, n次 出正 , -1, n次 出 ,  (n= 1,2,3)．记A表示事件“X1+X2= 0”，B表示事件“X2= 1”，C表示事件“X1+X2+X3=-1”， ( ) A. B C互为对 事件 B. 事件A C不互斥 C. 事件A B相互独 D. 事件B C相互独 604. (2024· 武 ·二模) 对具 相关关系 两个变 进行回 时，若两个变 不 线 相关关 系，可以建 两个 定 数 线 模 ， 入中间变 其转 为线 关系，再 二乘 法进行线 回 .下 为四个 学 自己 数 散点图建 线 模 ，且散点图 点 于 一 ， 其中可以 上述方法进行回 模 ( ) A. y= c1x2+ c2x B. y= x+c1 x+c2 C. y= c1+ ln x+c2  D. y= c1ex+c2 605. (2024· 州·模拟 )已知 x1,x2 x1>x2  方 x2- 2px- 1= 0 p∈N *  两 ，数 an 满 足 a1= 2，a2= 2p，an= 2pan-1+ an-2 n≥3 .    bn 满足 bn= f xn1 ，其中 f x = xsin π2 x .    ( ) A. a3= 4p2+ 2 B. f an+1-xn2 = bn C. 存 实数 r， 对任 正整数n，都 bn< r D. 不存 实数 r， 对任 正整数n，都 bn> r 606. (2024· 绍兴·二模)已知定义 R上 函数 f x  间 -1,0 上 ，且满足 f 4-x = f x ，f 2-x =-f x ， ( ) A. 10 k=1 f k  = 0 B. f 0.9 + f 1.2 < 0 C. f 2.5 > f log280  D. f sin1 < f ln 12  607. (2024· 绍兴·二模)已知 比数 an  公比为 q， n 为 Sn， n 积为Tn，且∀ n∈N *， a1q n 1-q < 0， ( ) A. 数 an  数 B. 数 an  减数 C. 若数 Sn  数 ， q> 1 D. 若数 Tn  数 ， q> 1 三、 608. (2024· 东深 ·二模)已知 内 为 1， 为 2， 该 表 积为 ． 111 注： 内部，且与 母线 且只 一个公共点 ，称为 内 ． 609. (2024· 东深 ·二模)已知△ABC中，tanB 2 = 3tanC 2 ， 曲线E以B，C为 点，且经过点A， E 两 近线 夹角为 ；tanA 2 + tanC 2 取 围为 ． 610. ( 2024 · 东 ·二模 ) 统计学中 认为 从于正 N μ,σ2  变 X 只取 μ-3σ,μ+3σ 中 ， 称为 3σ . 设某 一 装食盐 产线，正 况下食盐质 从 正 N 400,σ2 ( ：g)，某天 产线上 取了一 食盐，称 其质 大于 415g，他 断 产线出 了 ，要 产 修. 此可以 出，σ 大 . 611. (2024· 东 ·二模)近 ， 国短 农 装备取 ，科 装备支 步 ， 代农业建设 实 进.农 中 见 设备 闭 装 .如图 示， O绕 时针 运 ，角 大 为 2πrad/s， 上两点A，B始终满足∠AOB= 2π 3 ， O 旋转，A，B两 点 关系 变 . 定义：A，B两点 竖直距离为A，B两点相对于 高 差 绝对 . 设运 始时 ， t= 0秒时，点A 于 正下方： t= 秒时，A，B两点 竖 直距离 一次为 0；A，B两点 竖直距离关于时间 t 函数解 为 f t = . 612. (2024· ·三模)已知角 α,β 终边关于直线 y= x对称，且 sin(α- β) = 3 2 ， α,β 一组取 可以 α= ，β= ． 613. (2024· ·三模)如图 示，直角三角 ABC 直于 α，一 直角边AC α 内，另一 直角边BC 为 3 3 且∠BAC= π 6 ，若 α上存 点P， △ABP 积为 3 3 ， 线 段CP 为 ．     614. (2024· 衡 ·模拟 )已知数 an  n 为 Sn，且 a1= 2,Sn= an+1- 2n+1.若 Sn> n2+ 61n， n 为 . 112 615. (2024· 衡 ·模拟 )如图， 直三棱柱ABC-A1B1C1 四棱 D- BB1C1C 几 中，∠BAC=∠B1A1C1= 90°,BC= 2AB= 2BB1= 4,B1D=BD=C1D=CD= 17， 该几 积为 .    616. (2024· 衡 ·模拟 )已知 曲线C : x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a> 0,b> 0) 左、右 点 为F1、F2， O: x2+ y2= a2，过点F1 O 线交 曲线 右支于点P，点M为PF1 中点，且PF1  ⊥MF2  ， 曲 线C 离 . 617. (2024 · 衡 ·模拟 )已知函数 f x = loga a2x+ a 2 16 - x 函数，不 f x-lnx ≥ f lnb-b2  ， b 大 为 ． 618. (2024· 黄石·三模)如图，已知过 物线 y2= 2px(p> 0) 点F 直线与 物线交于A,B两点， 过点A 物线 准线 线AA1， 足为A1， 物线 准线与 x轴交于点M，O为 点，记 S1，S2，S3 为△AOB，△A1FM，△AA1F 积.若S1+ 43 S2=S3， 直线AB 斜 为 . 619. (2024· 黄石·三模)设 a，b∈R+，若 a+ 4b= 4， a+2 b ab 为 ，此时 a 为 . 620. (2024·辽宁 ·三模)太 图被称为“中 一图”，其 状如 两鱼互 一起，因 被称为 “ 鱼太 图”．如图 示 图 为 2 大 O 两个对称 组 ，线段MN过 点O且两端点M ,N 两个 上，P 大 上一 点， PM  ⋅PN  为 ． 113 621. (2024· 东·一模)如图， △ABC中，已知∠BAC= 120°，其内 与AC边相 于点D，且AD= 1， 延 BA E， BE=BC，连 CE，设以E，C为 点且经过点A 离 为 e1，以E，C为 点且经过点A 曲线 离 为 e2， e1e2 取 围 ． 622. (2024· 东 ·二模) 、乙两 进行围 比赛，如 每 比赛 胜 为 2 3 ，乙 胜 为 1 3 ， 三 两胜 ， 终 胜 况下，比赛进行了两 为 ． 623. (2024· 东 ·二模)已知正方 ABCD 四个 点 函数 f x = x3- 2 2x+ 1 图 上，若 A,B两点 横 为 x1,x2， x1x2 = ． 624. (2024· ·二模) 函数 g x = cos2x 图 上 每个点横 不变，纵 大为 2 ，再 图 右 移 π 4 函数 y= h x  图 ，若函数 y= g x 与函数 y= h x + 1图 交于点 α,g α  ，其中- π 2 < α< 0， sinα 为 . 625. (2024· ·二模)如图为世 《 夜》， 这 中，文森特· 高 夸 法， 绘了 充满运 变 . 设 亮可 为 1 O 一段 E，且 E 对 角为 4π 5 . 设 C C 点O与 E中点 连线 直线上.若存 C满足： E上存 四点满足过这 四点 O 线，这四 线与 C也相 ， E上 点与 C上 点 短距离 取 围 为 .( 数 ：cos 2π 5 = 5-1 4 ) 114 626. (2024·福建·模拟 )已知 物线W :y2= 2px,A -2,0 ,B 2,0 ,C 4,0 ，过B 直线交W于M，N 两点，若四边 AMCN为 ， 它 积为 ． 627. (2024· 东 州·模拟 ) 1,2,⋯ ,50中 取三个数，能 公差不 于 5 差数 为 ． 628. (2024· 东 州·模拟 ) 直角 系 xOy中， C 方 为 x2+ y2- 8x+ 15= 0，若直线 y = kx - 2上至 存 一点， 以该点为 ，3为 与 C 公共点， k 为 . 629. (2024·福建福州·模拟 )设Tn为数 an  n 积，若 Tn+ an=m，其中 数m> 0， a2= (结 m表示)；若数 1 Tn  为 差数 ， m= ． 630. (2024· 州·模拟 ) 2n+1 n∈N * 个棱 为 1 正方 如图放 ，其中上 正方 下 点与下 正方 上 棱 中点 .设 下方正方 下 ABCD 中 为O，过O 直线 l与 ABCD 直，以O为 点，l为对称轴 物线 y= ax2 a>0  0≤ y≤ n+ 1 部 可 以被完全放入 图 中. 若n= 1， a 为 ；若 a 解， n 大 为 . 631. (2024·天 ·一模)若函数 f(x) = sin aπx- 3π 4 ax 2-4x+3a+4 (其中 a> 0) 间 0,5 上 4个零点， a 取 围为 . 632. (2024· 绍兴·二模)已知函数 f x = sinωx ω>0 ，若∃ x1,x2∈ π3 ,π    ，f x1 =-1，f x2 = 1， 实数ω 取 围 . a≥ lnx+1 x 立，令 h(x) = lnx+1 x ， h(x) = -lnx x2 ， x> 1时，h(x)< 0， 0< x< 1时，h(x)> 0， 以 h(x) (0,1)上 ， (1, +∞)上 减， 故 h(x)max= h(1) = 1， 以 a≥ 1． 故 为：1,+∞  556. (2024· 州·模拟 )已知 方 表 积 为 8， 棱 为 16， 方 积 大 为 ． 【 】 32 27 【解 】设该长方 长、宽、高 为 a、b、c， 由长方 对称 ，不妨设 c≤ b≤ a， 2ab+ 2ac+ 2bc= 8， ab+ ac+ bc= 4， 4 a+b+c = 16， a+ b= 4- c， 0< c≤ 4 3 ab+ ac+ bc= ab+ a+b c= ab+ 4-c c= 4， ab= 4- 4-c c= c2- 4c+ 4， V= abc= c3- 4c2+ 4c， 令 f c = c3- 4c2+ 4c 0<c≤ 4 3 ， f c = 3c2- 8c+ 4= 3c-2  c-2 ， c∈ 0, 2 3 时，f c > 0， c∈ 2 3 , 4 3 时，f c  < 0， 故 f c  0, 2 3 上 ， 2 3 , 4 3 上 减， f 2 3 = 2 3  3 - 4 ⋅ 2 3  2 + 4× 2 3 = 8-48+72 27 = 32 27 ， 长方 积 大 为 32 27 ． 故 为： 32 27 ． 557. (2024· 台·一模) 直三棱柱ABC-A1B1C1 中，AA1= 12， ABC 边 为 6 正三角 ， 若M 三棱柱 ABC-A1B1C1外 上一 点，N △ABC内 上一点， MN  大 为 ． 【 】4 3+ 39 【解 】若 ABC 边长为 6 正三角 ， △ABC外 为 r1= 6 2× 32 = 2 3， 为 r2= 3， 设三棱柱ABC-A1B1C1外 为R，且已知 AA1= 12， 可 R2= r12+ AA1 2  2 = (2 3 )2+ 12 2  2 = 48，解 R = 4 3， 设三棱柱ABC-A1B1C1外 与△ABC 上一点 距离为 d， 故 d= ( 3)2+62= 39， MN  大 为R+ d = 4 3+ 39， 故 为：4 3+ 39 新高 数学 轴 好 ( ) 一、 558. (2024· 东深 ·二模)P C：x 2 a2 + y 2 b2 = 1(a > b> 0)上一点，F1、F2 C 两个 点，PF1  ⋅PF2  = 0，点Q ∠F1PF2 线上，O为 点，OQ∥ PF1，且 OQ = b． C 离 为 ( ) A. 1 2 B. 3 3 C. 6 3 D. 3 2 【 】C 【解 】如图，设 PF1 =m，PF2 =n，延长OQ交PF2 于A， 由 知OQ∥PF1，O为F1F2 中点，故A为PF2中 点， PF1  ⋅PF2  = 0， PF1⊥PF2， ∠QAP= π2 ， 由∠QPA= π 4 ， △AQP 直角三角 ， 故 m+n=2a m2+n2=4c2 b+ 12n= 1 2m      ， m-n=2b m+n=2a  ， m=a+b n=a-b  ， 代 m2+n2= 4c2 a+b 2+ a-b 2= 4c2， a2+ b2= 2c2，由 b2= a2- c2 以 2a2= 3c2， 以 e2= 2 3 ，e= 6 3 . 故 ：C. 559. (2024· 东深 ·二模)设函数 f x = x+ ex，g x  ·242· = x + lnx，若存 x 1，x2， f x1 = g x2 ， x1-x2  为 ( ) A. 1 e B. 1 C. 2 D. e 【 】B 【解 】由 可 f x1 = g x2 ， x1+ ex1= x2+ lnx2， 以 x1+ ex1= elnx2+ lnx2， f x = 1+ ex> 0， 以 f x  R上 ， f x1 = f lnx2 ， 以 x1= lnx2， 且 x1-x2 = lnx2-ex1 = lnx2-x2 ， 令 h x = lnx- x，x∈ 0,+∞ ， h x = 1 x - 1= 1-x x ， 中 x> 0， 令 h x = 0， x= 1， x∈ 0,1 时，h x > 0， h x  ， x∈ 1,+∞ 时，h x < 0， h x  减， 以 x= 1时，h x  大 ， 大 ， 以 h x ≤ h 1 =-1，h x  ≥ 1， 以 x1-x2 min= lnx2-x2 min= -1 = 1. 故 ：B 560. (2024· 东 ·二模)已知 0< a< 1且 a≠ 1 2 ，若 函数 f (x) = 2logax - log2ax (0, +∞)上 减， 实数 a 取 围为 ( ) A. 1 4 , 1 2  B. 0, 1 4  C. 1 4 , 1 2 ∪ 1 2 ,1  D. 0, 14 ∪ 1 2 ,1  【 】D 【解 】 ，f(x) = 2lnx lna - lnx ln2a = 2ln2a-lna lna ⋅(ln2a) ⋅ lnx= ln4a lna ⋅(ln2a) ⋅ lnx， 然函数 y= lnx (0, +∞)上 ， 函数 f(x) (0, +∞)上 减， 因此 ln4a lna ⋅(ln2a) < 0， 0< a< 2a< 4a， ln4a< 0 lna<0 ln2a>0  ，解 0< a< 1 4 1 2 < a< 1， 以实数 a 取 围为 0, 1 4 ∪ 1 2 ,1 . 故 ：D 561. (2024 · 东 ·二模)已知 C : x 2 a2 + y 2 b2 = 1 a>b>0  左、右 点 为F1 -c,0 ，F2 c,0 ， 点 A，B C上，且满足 F1A  = 2F2B  ，F1B  ⋅ AB  = 4c2- a 2 16 ， C 离 为 ( ) A. 2 2 3 B. 6 3 C. 2 3 D. 3 3 【 】B 【解 】如图，由F1A  = 2F2B  ， BF2⎳AF1,|BF2| = 1 2 |AF1|，取AF1 中点M， 四边 BMF1F2为 行四边 ，|BM | = |F1F2| = 2c， 于 F1B  ⋅AB  =BF1  ⋅BA  = (BM  +MF1  ) ⋅ (BM  + MA  )=BM  2-MA  2= 4c2-MA  2 ， 4c2-MA  2= 4c2- a 2 16 ，解 |AM | = a 4 ，|AF1| = 2|AM | = a 2 ， 由 定义知 |AF2| = 2a- |AF1| = 32 a， |BF2| = |MF1| = a4 ，|BF1| = 2a- |BF2| = 7 4 a， 由BF2⎳AF1， ∠AF1F2+∠BF2F1= π， cos∠AF1F2 + cos∠BF2F1= 0， △AF1F2 △BF2F1中， 定 ： |F1F2|2+|AF1|2-|AF2|2 2|F1F2||AF1| + |F1F2| 2+|BF2|2-|BF1|2 2|F1F2||BF2| = 0， (2c)2+ 12 a  2- 32 a  2 2 ⋅2c ⋅ 12 a + (2c)2+ 14 a  2- 74 a  2 2 ⋅2c ⋅ 14 a = 0， 整 2a2= 3c2， 以C 离 为 e= c a = 6 3 . 故 ：B 562. (2024· ·三模)已知 差数 an  n 为 S n，若 a 2 ≥ a 1 > 0 ,S 20 = 100， a 10a 11 ( ) A. 25 B. 大 25 C. 50 D. 大 50 【 】B 【解 】由S20= 20(a1+a20) 2 = 10(a10+ a11) = 100可 a10+ a11= 10， 因 a2≥ a1> 0, 差数 an  差 d≥ 0，故 a10> 0,a11> 0， ·243· a10a11≤ a10+a11 2  2 = 25， 且仅 a10= a11= 5时 取 号， a10= a11= 5时，a10a11取 大 25. 故 ：B. 563. ( 2024 · ·三模 ) 已知函数 f ( x ) = ex+a, x<a x2+2ax, x≥a  ，f (x)不存 ， 实数 a 取 围 ( ) A. (-1,0) B. 1 3 ,+∞  C. (-1,0) ∪ 1 3 ,+∞  D. - 1 3 ,0 ∪ (1, +∞) 【 】C 【解 】(1) a< 0时，若 x< a， f x = ex+ a， 因为函数 f x = ex+ a -∞,a 上 ， 以 a < f x < ea+ a， 若 x≥ a， f x = x2+ 2ax= x+a 2- a2≥-a2， 且仅 x=-a时取 号， 因为 f x 不存 ， 以-a2> a， 以-1< a< 0， (2) a≥ 0时，若 x< a， f x = ex+ a， 因为函数 f x = ex+ a -∞,a 上 ， 以 a < f x < ea+ a， 若 x≥ a， f x = x2+ 2ax= x+a 2- a2≥ f a = 3a2， 且仅 x= a时取 号， 因为 f x 不存 ， 以 3a2> a， 以 a> 1 3 ， 以实数 a 取 围 (-1,0) ∪ 1 3 ,+∞ ， 故 ：C. 564. (2024· 衡 ·模拟 )如图，已知 P C : (x- 2)2+ (y- 3)2= 2上一点，A -1,0 ,B 1,0 ， ∠APB 正 大 为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 【 】A 【解 】设过A、B,P三点 为M，且 M 0,t ， 由于∠AMB= 2∠APB，故∠AMB 大， ∠APB 大， 只 要 M与 C相 于点P时，∠APB 大， t2+1+ 2= 4+(t-3)2⇒ 7t2- 30t+ 23= 0 ⇒ t= 1 t= 23 7 ( )，∴ t= 1， 以M 0,1 ,A -1,0 ,C 2,3 , 知此时A,M ,P,C四 点 线， 此时∠MAB= 45°, ∴∠MBA= 45°,进 ∠AMB= 90°，故 tan∠APB= tan 1 2 ∠AMB= tan45° = 1， 故 ：A. 565. (2024· 衡 ·模拟 )已知实数 x,y，满足 x2 + xy+ 3y2= 3， x+ y 大 为 ( ) A. 3 11 11 B. 6 11 11 C. 3+1 3 D. 3+3 3 【 】B 【解 】令 t= x+ y， x= t- y， 方 x2+ xy+ 3y2= 3可 为 (t- y)2+ t-y y+ 3y2 - 3= 0， 整 3y2- ty+ t2- 3= 0， 满足Δ= (-t)2- 12 t2-3 ≥ 0， 解 t2≤ 36 11 ， 以- 6 11 11 ≤ t≤ 6 11 11 ， x+ y≤ 6 11 11 ， 以 x+ y 大 为 6 11 11 . 故 ：B. 566. (2024 · 衡 ·模拟 ) 已知函数 f x = sin πx + 2e x ex+1 x∈ -a,a  a>0 存 大 与 为M m， 函数 g x = M+m x + 1 M+m x+1 ，函数 g x 图 对称中 ( ) A. -1,-1  B. -1,- 2 3  C. - 1 2 ,-1  D. - 12 ,- 2 3  【 】C 【解 】由 ， ·244· f x = sin πx + 2e x ex+1 中，f -x = sin -πx + 2e-x e-x+1 =-sin πx + 2 ex+1 ， ∴ f x + f -x = 2， ∵ 大 与 为M m， ∴M+m= f x + f -x = 2 对勾函数 h x = 2x+ 1+ 1 2x+1 中，对称轴为 x= - 1 2 ，对称点为 - 1 2 ,0 ， g x = M+m x+ 1 M+m x+1 中，g x = 2x+ 1 2x+1 = 2x+ 1+ 1 2x+1 - 1， ∴ 2x+ 1≠ 0 x≠- 1 2 ，对称轴为 x=- 1 2 ， 函数 g x 为对勾函数 h x = 2x+ 1+ 1 2x+1 下 移 1个 ， ∴函数 g x 对称点为 - 1 2 ,-1 ， 故 ：C. 567. (2024 · 黄石 ·三模)已知 直角三角 ABC中，CA=CB= 4，点M 以C为 、2为 上， MB + 1 2 MA  为 ( ) A. 3 5-2 2 B. 17 C. 1+ 2 5 D. 2 5- 1 【 】B 【解 】如图：建立 直角 系. A 4,0 ， B 0,4 ,取D 1,0 .设M x,y  x2+ y2= 4. 以 1 2 MA = 1 2 x-4 2+y2= 1 2 4 x-1 2+y2  = MD ， MB + MD ≤ BD = 12+42= 17 . 故 ：B 568. (2024· 黄石·三模)已知M x0,y0 为 曲线 x2 - y2= 4上 点，x0> 0，y0≥ 0，直线 l1：x0x - y0y= 4与 曲线 两 近线交于 P，Q两点 (点 P 一 )，R与Q 一 近线上， RP  ⋅ RQ  为 ( ) A. - 8 B. - 4 C. 0 D. - 2 【 】D 【解 】因为M x0,y0 为双曲线 x2- y2= 4上 点， 以 x20- y20= 4， y20= x20- 4，x0≥ 2， 立 x2-y2=4 x0x-y0y=4  ， x y20 x20 -1 y2+ 8y0x20 y+ 16 x20 - 4= 0， 因为 y20 x20 - 1= x 2 0-4 x20 - 1=- 4 x20 ≤-1， 且Δ= 64y 2 0 x40 - 4 y 2 0 x20 -1  16x20 -4 = 0， 以直线 l1 双曲线 x 2- y2= 4 线， 点为 M x0,y0 ， 双曲线 近线方 为 y=±x， 立 x0x-y0y=4 y=x  ，解 x= 4 x0-y0 = x 2 0-y20 x0-y0 = x0+ y0， 以P点 为 x0+y0,x0+y0 ， 立 x0x-y0y=4 y=-x  ，解 x= 4 x0+y0 = x 2 0-y20 x0+y0 = x0- y0， 以Q点 为 x0-y0,-x0+y0 ， 以线段PQ 中点为M x0,y0 ， 双曲线 x2- y2= 4 近线方 为 y=±x，实 轴长 为 2，故OP⊥OQ， RP  ⋅RQ  = RM  +MP   ⋅ RM  +MQ   = RM  - 1 2 PQ   ⋅ RM  + 1 2 PQ    =RM  2- 1 4 PQ 2≥ 1 2 OP    2 - 1 4 PQ 2( 且仅 MR ⊥OQ时取 号) = 1 4 OP 2- 1 4 PQ2=- 1 4 OQ  2 ， 由 可 直线PQ 斜 大于零 不存 ， 故 OQ   ≤ 2 2， 且仅 M为右 点时取 号， 以- 1 4 OQ  2≥- 1 4 × 8=-2， 以RP  ⋅RQ  为-2. ·245· 故 ：D. 569. (2024· 东 ·一模) 棱 为 2 正三棱 A - BCD中，点 E为线段 BC上一点，且 AD⊥ AE， 以A为 ， 2为 与该三棱 三个 交线 为 ( ) A. 3 2π 4 B. 2π C. 3 2π 2 D. 3 2π 【 】C 【解 】取BC中点F，连 AF、DF， AF⊥BC， DF⊥BC， AF∩DF=F，AF、DF⊂ ADF，故BC⊥ ADF， AD⊂ ADF，故BC⊥AD， AD⊥AE， BC∩AE=E，BC、AE⊂ ABC，故AD⊥ ABC， AC、AB⊂ ABC，故AD⊥AC，AD⊥AB， 由正三棱锥 质可 AD、AB、AC两两 直， 故AF= 1 2 22+22= 2， 以A为 ， 2为 与 ABC 交线长为： π 2 × 2= 2 2 π， 与该三棱锥三个 交线长 为 3× 2 2 π= 3 2π 2 . 故 ：C. 570. (2024· 州·二模) △ABC中，已知 sinA sinB = nsinC , cosA cosB = ncosC．若 tan A+ π 4 =-3， n= ( ) A. 无解 B. 2 C. 3 D. 4 【 】A 【解 】由 tan A+ π 4 = 1+tanA 1-tanA =-3， tanA= 2， cosA≠ 0， 由 sinA sinB =nsinC, cosA cosB =ncosC，知 cosC≠ 0， tanA tanB = tanC， tanA= tanB ⋅ tanC= 2， tanA= tan π-B-C =-tan B+C = - tanB+tanC 1-tanB ⋅tanC = tanB+ tanC， 故 tanB+ tanC= 2，设 tanB= t， tanC= 2- t， t 2-t = 2， t2- 2t+ 2= 0，Δ= 4- 8=-4< 0， 该方 无解，故不存 这 三角 ， n无解. 故 ：A. 571. (2024· 东 ·一模) 一次 试中 一 4个 ，其中B C 正 ，A D 误 ， 、乙两 学都完全不 这 目，只能 4个 中 取两个 ．设事件 M = “ 、乙两人 一个相 ”，事件 N = “ 、乙两人 完全不 ”，事件X=“ 、乙 两人 完全相 ”，事件Y=“ 、乙两人 择B ”， ( ) A. 事件M与事件N相互独 B. 事件X与事件Y相互独 C. 事件M与事件Y相互独 D. 事件N与事件Y相互独 【 】C 【解 】 甲、乙两人 如下 ： ① 一个 相 ，②两个 相 ，③两个 不相 ， 以P M = C14 ⋅C13 ⋅C12 C24 ⋅C24 = 2 3 ，P N = C24C 2 2 C24 ⋅C24 = 1 6 ， P X = C24 C24 ⋅C24 = 1 6 ，P Y = C23 ⋅C23 C24 ⋅C24 = 1 4 ， 因为事件M与事件N互斥， 以P MN = 0， P M ⋅P N = 1 9 ， 以事件M与事件N不相互独立，故A错误； P XY = C23 C24 ⋅C24 = 1 12 ≠P X P Y = 1 24 ，故B错 误； 由P MY = C13 ⋅C12 C24 ⋅C24 = 1 6 =P M P Y ， 事件M与 事件Y相互独立，故C正 ； ·246· 因为事件N与事件Y互斥， 以P NY = 0， P Y ⋅P N = 1 24 ， 以事件N与事件Y不相互独立，故D错误. 故 ：C． 572. (2024· 东 ·二模)如图， 四边 ABCD 中，AB=AD= 2,∠B= 2∠D= 120°，记△ABC与 △ACD 积 为 S 1 ,S 2， S 2 - S 1 为 ( ) A. 2 B. 3 C. 1 D. 3 2 【 】B 【解 】 △ABC中，由 定 cosB= AB2+BC2-AC2 2AB ⋅BC ， - 1 2 = 4+BC 2-AC2 4BC ， BC2-AC2=-2BC- 4 ①， △ACD中，由 定 cosD= AD2+CD2-AC2 2AC ⋅CD ， 1 2 = 4+CD 2-AC2 4CD ， CD2-AC2= 2CD- 4②， S1= 12 AB ⋅BCsin120 °= 3 2 BC,S2= 12 AD ⋅ CDsin60°= 3 2 CD， 以S2-S1= 32 CD- 3 2 BC= 3 2 (CD-BC) ③， 由②-①， CD2-BC2= 2(CD+BC)，由CD+BC > 0， CD-BC= 2，代 ③ S2-S1= 3 . 故 ：B 573. (2024· 东 ·二模)已知 柱OO1 下 O 上，上 O 上， 记 O 积与 柱OO1 积 为 S,S1， O与 柱OO1 积 为V,V1， S S1 时， V V1 为 ( ) A. 4 2 3 B. 3 C. 3 3 4 D. 2 【 】A 【解 】设 柱 为 r，高为 h， 为R， R2= h2+ r2，S= πR2,S1= 2πrh,V= 12 ⋅ 4 3 πR3= 2 3 πR3,V1= πr2h， 以 S S1 = πR 2 2πrh = h 2+r2 2rh = h 2r + r 2h ≥ 2 h 2r ⋅ r 2h = 1， 且仅 r= h时 号 立，此时R= 2r， 以 V V1 = 2 3 πR 3 πr2h = 2 3 π( 2r) 3 πr2⋅r = 4 2 3 . 故 ：A 574. (2024· ·二模)已知函数 f x 满足对任 x, y ∈ 1,+∞ 且 x < y 都 f x-y 1-xy = f 1 x - f 1 y ，若 an= f 1 n2+5n+5 ，n∈N *， a1+ a2+ a3+⋯+a2024= ( ) A. f 253 385  B. f 253 380  C. f 253 765  D. f 253 760  【 】D 【解 】∵函数 f x 满足对任 x,y∈ 1,+∞ 且 x < y都 f x-y 1-xy = f 1 x - f 1 y  ∴令 x=n+ 2,y=n+ 3， x-y 1-xy = n+2 - n+3  1- n+2 n+3  = 1 n2+5n+5 ， ∴ an= f 1 n2+5n+5 = f 1 n+2 - f 1 n+3  ∴ a1+ a2+ a3+⋯+a2024= f 13 - f 1 4 + f 1 4 - f 1 5 +⋯+f 1 2026 - f 1 2027  = f 1 3 - f 1 2027 = f 3-2027 1-3×2027 = f 253 760 . 故 ：D ·247· 575. (2024· ·二模)古人 正 函数、 函数、正 函数、 函数、正 函数、 函数、正矢函数、 矢函数这八种三角函数 函数线 称为八线.其 中 函数 cotθ= 1 tanθ ，正 函数 secθ= 1 cosθ ， 函数 cscθ = 1 sinθ ，正矢函数 versinθ = 1 - cosθ， 矢函数 vercosθ= 1- sinθ.如图角 θ始边 为 x轴 负 轴，其终边与 交点 P，A、B 与 x轴 y轴正 轴 交点，过点 P PM 直 x轴， PN 直 y轴， 足 为M、 N，过点A x轴 线，过点B y轴 线 交 θ 终边于T、S，其中AM、PS、BS、NB为 线段，下 表示正 ( )    A. versinθ=AM B. cscθ=PS C. cotθ=BS D. secθ=NB 【 】C 【解 】 ， △OMP∼△OAT∼△SBO∼ △PNO， 对于A，因为 1- cosθ= 1-OM=MA， versinθ= MA，故A错误； 对于B， 三角函数定义结 相 三角 相 比可 ，cscθ= 1 sinθ = 1 MP = BO MP = OS OP =OS，故B错 误； 对于C，cotθ= 1 tanθ = 1 tan∠OSB =BS，故C正 ； 对于D， 三角函数定义结 相 三角 相 比可 secθ= 1 cosθ = 1 OM = OA OM = OT OP =OT，故D错 误. 故 ：C. 576. (2024·福建·模拟 )一个 为 2 轴 为正三角 ， 行于 该 两个部 ，若这两部 表 积相 ， 该 上 积 ( ) A. 3π B. 2 3π C. 2 2π D. 2π 【 】A 【解 】 由 知， 锥 上 部 为一 锥，下 部 为一 台， 且 台 上 锥 ， 该 锥 上 ； 台 下 锥 . 不妨设 台上 为 r1， 台下 为 r2， 锥母线长为 l1， 锥母线长为 l2， 由轴 为正三角 知， l1 r1 = l2 r2 = 2， 锥 积为 πr21， 长为 2πr1， 积为 l1 ⋅ πr1= 2πr21， 知 台 积可 锥 积减 锥 积 台 积为 2π r22-r21 ，下 积为 πr22 由于两部 表 积相 ， πr21+ 2πr21= πr21+ πr22+ 2π r22-r21 ⇒ r1 r2 = 3 2 ， 因为 r2= 2， r1= 3， 以 积为 3π. 故 :A. 577. (2024·福建·模拟 )已知数 an ，bn ，c 零 数，若 an cn  为 差数 ， bn cn  为 比数 ， 下 说法中 误 ( ) A. an+bn 可能为公差不为 0 差数 B. an⋅bn 可能为公比不为 1 比数 C. bann 可能为公差不为 0 差数 D. an bn  可能为公比不为 1 比数 【 】B 【解 】对于A ： c= 1时，an 为 差数 ，若 bn cn  为 比为 1 比数 ， 此时 bn 为 差数 ，an+bn 为 差数 ，故A 正 ； 对于B ：不妨设 an cn = kn+ s，bn cn = tqn-1 t≠0,q≠0 ， an= kn+s cn，bn= tcqn-1n t≠0,q≠0 ， ·248· an= 0能 立时，an⋅bn 不 比数 ； an= 0不能 立时，anbn= kn+s tncn+1qn-1， an+1bn+1 anbn = kn+k+s n+1 cq kn+s n = kn2+ 2k+s n+k+s kn2+sn ⋅ cq， 因为 cq≠ 0，若要 比 数， k+ s= 0，此时 a1 = 0，不 ； 以 an⋅bn 不可能为 比不为 1 比数 ，故B 错误； 对于C ： c= 1，an= 1时， 要 ，此时 bann = b1n= bn， 由 A 知，bn 可能为 差不为 0 差数 ， bann 可能为 差不为 0 差数 ，故C正 ； 对于D ： c= 1，an=n,bn=n2n时，满足 an cn   为 差数 ， bn cn  为 比数 ，此时 an bn = 1 2n ， an bn   为 比不为 1 比数 ，D 正 . 故 ：B. 578. (2024 · 东 州 ·模拟 ) 已知函数 f x = ex-ln x+1 -1, x≥0 1- 1 ex +ln 1-x , x<0  ，若 f e x-2 + f e2x ≤ 0， 实数 x 取 围为 ( ) A. -∞,0  B. 0,+∞  C. -ln2,0  D. -∞,-ln2  【 】A 【解 】 x< 0时，-x> 0， f -x = e-x- ln -x+1 - 1=-f x ， ， x> 0时，-x< 0， f -x = 1- 1 e-x + ln 1+x =-f x ， 且 f 0 = 0，可知函数 f x 为奇函数； x≥ 0时，f x = ex- ln x+1 - 1， f x = ex- 1 x+1， 令m x = f x = ex- 1 x+1， m  x = ex+ 1 x+1 2 > 0， 以m x  0,+∞  ， m x ≥m 0 = 0， f x ≥ 0， 以 f x  0,+∞  ，且 f x 为奇函数， 以 f x  R上 . f ex-2 + f e2x ≤ 0⇒ f ex-2 ≤-f e2x = f -e2x ， ex- 2≤-e2x⇒ e2x+ ex- 2≤ 0， ex+2  ex-1  ≤ 0， 可 -2≤ ex≤ 1，且 ex> 0， 以 0< ex≤ 1，解 x≤ 0， 以解 为 -∞,0 . 故 :A 579. (2024 · 信 ·模拟 )棱 为 1 正方 ABCD-A1B1C1D1中，点P为BD1上 点，O为 ABCD 中 ， OP 为 ( ) A. 3 3 B. 6 3 C. 6 6 D. 3 2 【 】C 【解 】由 可 OP 为点O 线段BD1 距离， D1DB 过点O OP⊥BD1于点P， 由 可 DD1= 1，DB= 2，BD1= 3，DD1⊥ ABCD， 因为DB⊂ ABCD， DD1⊥DB，因为△OPB∽ △D1DB， 故 OP DD1 = OB BD1 ， OP= OB ⋅DD1 BD1 = 2 2 ×1 3 = 6 6 . 故 ：C. 580. (2024· 信 ·模拟 )若直线 y= ax+ b与曲 线 y= ex相 ， a+ b 取 围为 ( ) A. (-∞,e] B. [2,e] C. [e, +∞) D. [2, +∞) 【 】A 【解 】对于 y= ex， y= ex，令 点为 m,em ， 线方 为 y= em x-m + em， y= emx+ 1-m em， a+ b= em+ 1-m em = 2-m em， 令 f x = 2-x ex， f x = 1-x ex， x< 1时，f x > 0， x> 1时，f x < 0， 故 f x  -∞,1 上 ， 1,+∞ 上 减， 故 f x ≤ f 1 = 2-1 e1= e， x趋 于正无 大时，f x 趋 于负无 ， ·249· 故 f x ∈ (-∞,e]， a+ b∈ (-∞,e]. 故 ：A. 581. ( 2024 ·福 建 福 州 ·模 拟 ) 函 数 f x = 2sinωx 3sinωx+cosωx (ω> 0) 0, π 3 上 ，且对任 实数 a，f x  (a,a+ π)上不 ， ω 取 围为 ( ) A. 1, 5 2  B. 1, 5 4  C. 1 2 , 5 2  D. 1 2 , 5 4  【 】D 【解 】因为 f(x) = 2sinωx( 3sinωx+ cosωx) = 2 3sin2ωx+ 2sinωxcosωx = sin2ωx- 3cos2ωx+ 3 = 2sin 2ωx- π 3 + 3， 因为 x∈ 0, π 3 ，且ω> 0， 2ωx- π 3 ∈ - π 3 , 2ωπ 3 - π 3 ， 若 f(x) 0, π 3 上 ， 以 2ωπ 3 - π 3 ≤ π 2 ， 以 0<ω≤ 5 4 ， 因为对任 实数 a，f(x) (a,a+ π)上不 ， 以 f(x) T= 2π 2ω < 2π， 以ω> 1 2 ， 以 1 2 <ω≤ 5 4 ． 故 ：D． 582. (2024· 州·模拟 )以 为 1 O为 点建 间直角 系，与 O相 α 与 x,y,z轴交于A,B,C三点，OC = 2， OA 2+ 4 OB 2 为 ( ) A. 16 2 B. 12 3 C. 18 D. 8 6 【 】C 【解 】 对称 ，不妨设A、B、C 正 轴，设 O与 α 于点H，连 CH 延长交AB于点 Q，连 OQ， OH⊥ ABC，CO⊥ AOB，OQ⊂ AOB， 以CO⊥OQ， OH⊥CQ， 以Rt△CHO∽Rt△OHQ， OH  HQ  = CH  OH  ， OH = 1，OC = 2， 以 CH = OC 2- CH 2 = 1， HQ = 1， 以 OQ = OH 2+ HQ 2= 2， OH⊥ ABC，AB⊂ ABC， 以OH⊥ AB， CO⊥ AOB，AB⊂ AOB， 以CO⊥AB， OH∩CO=O，OH,CO⊂ OCQ， 以AB⊥ OCQ， OQ⊂ OCQ， 以AB⊥OQ， 以 OA 2+ 4 OB 2= OQ 2+ QA 2+ 4 OQ 2+ QB 2  = 5 OQ 2+ 4 QB 2+ QA 2 = 10+ 4 QB 2+ QA 2， Rt△OQA∽Rt△BQO， QA  QO  = OQ  BQ  ， 以 OQ 2= QA ⋅ QB = 2， 以 OA 2+ 4 OB 2= 10+ 4 QB 2+ QA 2≥ 10+ 2 2 QB ⋅ QA  = 18， 且仅 QA = 2 QB = 2时取 号， OA 2+ 4 OB 2 为 18. 故 ：C 583. (2024· 州·模拟 )若函数 f x = xlnx- x + x-a  且仅 两个零点， a 取 围 ( ) A. - 1 e ,0 ∪ 0,e  B. - 2e ,0 ∪ 0,e  C. - 2 e ,0 ∪ 0,3  D. - 1e ,0 ∪ 0,3  【 】A 【解 】由 f x = 0可 x-a = x- xlnx， 函数 y= x-a 与函数 y= x- xlnx 图 两个交点； 设 g x = x- xlnx， g x =-lnx， 令 g x =-lnx> 0，解 0< x< 1；令 g x =-lnx < 0，解 x> 1； 以 g x  0,1 上 ， 1,+∞ 上 减； 令 g x = 1，解 x= 1 e ，可 g x  图 x= ·250· 1 e 处 线方 为 y= x+ 1 e ； 令 g x =-1，解 x= e，可 g x  图 x= e 处 线方 为 y=-x+ e； 函数 y= x-a 与函数 y= x- xlnx 图 如图 示： 线 y= x+ 1 e 与 y=-x+ e x轴上 距 为 - 1 e ,e, a= 0时，y= x-a 与函数 y= x- xlnx 图 一个交点， 故实数 a 取 围为 - 1 e ,0 ∪ 0,e . 故 ：A 584. (2024· 绍兴·二模)已知点A，B，C都 曲 线 Γ：x 2 a2 - y 2 b2 = 1 a>0,b>0 上，且点A，B关于 点对称，∠CAB= 90°.过A 直于 x轴 直线 交 Γ，BC于点M，N .若AN  = 3AM  ， 曲 线Γ 离 ( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 2 3 【 】B 【解 】 不妨设A x0,y0 ,B -x0,-y0 ，由AN  = 3AM  且AM ⊥ x轴， 以M x0,-y0 ， 以 xN-x0,yN-y0 = 3 0,-2y0  = 0,-6y0 ， 从 xN= x0,yN=-5y0， N x0,-5y0 ， 设点C x,y ，且它 双曲线上， kCB ⋅ kCA= y+y0 x+x0 ⋅ y-y0 x-x0 = y 2-y20 x2-x20 = b2 a2 x2-a2 - b 2 a2 x20-a2  x2-x20 = b 2 a2 ， kBN ⋅ - 1 kAB = b2 a2 ， 中 kBN= -y0- -5y0  -x0-x0 = - 2y0 x0 ，kAB= y0 x0 ， 从 b2 a2 = 2，e= 1+ b 2 a2 = 3 . 故 ：B. 585. (2024 · 绍兴 ·二模) 边 为 4 正三角 ABC中，E，F AB，AC 中点， △AEF EF翻 至△AEF， AB⊥FC， 四棱 A-BCFE 外 表 积 ( ) A. 8π B. 12π C. 16π D. 32π 【 】C 【解 】 取BC,EF 中点为G,H，且GH交BF于点 O， 注 F AC 中点，三角 ABC 边三角 ， 从 O 三角 ABC 中 ， 时 AB⊥FC，FB⊥FC，AB∩FB=B，AB⊂ ABF，FB⊂ ABF， 以FC⊥ ABF， FC⊂ BCFE， 以 ABF⊥ BCFE， 故 点A BCFE BF上 ， 注 三角 AEF与三角 GEF都 边长为 2 边三角 ， 三角 AEF与三角 GEF ， 从 AH⊥EF,GH⊥EF，AH∩GH=H，AH⊂ AOH，GH⊂ AOH， 以EF⊥ AOH，因为AO⊂ AOH， 以EF ⊥AO， 因为FC⊥ ABF，AO⊂ AOH， 以CF⊥ AO， 因为EF∩CF=F，EF⊂ BCFE，CF⊂ BCFE，故 AO⊥ BCFE， 以AO= AH 2-HO2= 2sin60° 2- 12 × 1 3 ×4sin60°  2 = 3- 1 3 = 2 6 3 ， 注 点G 直角三角 BCF斜边上 中点， ·251· 以G 四边 BCFE( 三角 BCF)外 (这 因为∠BEF+∠C= 120° +60° = 180°，从 B, C,F,G四点 )， 以四棱锥A-BCFE 外 O 与 BCFE 直 OG上， 且 四边 BCFE外 为BG= 1 2 BC= 2， 设O BCFE 距离为OG= h，过O OD ⊥AO于点D， 以OG2+GC2=OD2+AD2=R2， h2+ 22=R2 = 1 3 ×4×sin60°  2 + 2 6 3 -h  2 ， 解 h= 0,R2= 4，这 此时点O与点G重 ， 四棱锥A-BCFE 外 表 积 S= 4πR2= 16π. 故 ：C. 二、多 586. (2024· 东深 ·二模)设函数 f x = x  函数 表示不超过 x 大整数， 一个直角 系 中，函数 y = f x  图 与 x-t 2+ y+t 2= 2t2(t> 0) 公共点个数可以 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【 】ABD 【解 】由 (x- t)2+ (y+ t)2= 2t2(t> 0)， 该 为 (t, -t)， 为 2 t， 知该 过 点，由 f(x) = [x]， x∈ [-3,3)时， f(x) = -3,-3≤x<-2 -2,-2≤x<-1 -1,-1≤x<0 0,0≤x<1 1,1≤x<2 2,2≤x<3          ， 出函数 f(x) 图 ，如 图， 由图可知， 0< t< 1 2 时， 与函数 f(x) 图 2 个交点， t= 1 2 时， 与函数 f(x) 图 1个交点， 1 2 < t≤ 5 2 时， 与函数 f(x) 图 2个交点， 5 2 < t≤ 13 2 时， 与函数 f(x) 图 4个交点， 与函数 f(x) 对称 ， 续交点 类比 可. 故 ：ABD 587. (2024· 东 ·二模) 一个 间中， 设 P A = P B = P C = 1 3 ，且 A与 B相互独 ，A与C互斥， ( ) A. P A∪B = 2 3 B. P C  A = 2P A C    C. P C  AB = 1 D. 若P C B +P C B   = 12 ， B与C互斥 【 】BCD 【解 】对于A，A与B相互独立， P AB = P A P B = 1 3 × 1 3 = 1 9 , P A∪B =P A +P B -P AB = 1 3 + 1 3 - 1 9 = 5 9 ，A错误； 对于B，因为A与C互斥， 以A⊆C  , 以 P C  A = P C  A  P A  = 3P C  A ,P A C   = P C  A  P C    = P C  A  1- 13 = 3 2 P C  A , 以P C  A = 2P A C   ,B正 ； 对于C，P C  A B = P C  AB  P AB  ,因为A与C互斥， A发生 C一定不发生， 以P C  A =P A , 以P C  A B = P C  AB  P AB  = P AB  P AB  = 1，C正 ； 对于D， 然P C =P BC +P B  C = 13 ， P B  C = 13 -P BC ， 由P C B +P C B   = 12 ， P CB  P B  + P CB    P B    = 3P BC + 3 2 1 3 -P BC   = 1 2 ， 解 P BC = 0， 以B与C互斥，D正 . 故 ：BCD. ·252· 588. (2024· ·三模)如图，四边 ABCD 柱 OO 1 轴 且 积为 2，四边 OO 1DA绕 OO1 时针旋转 θ(0≤ θ≤ π) 四边 OO1D1A1， ( ) A. 柱OO1 积为 2π B. 0< θ< π时，DD1⊥A1C C. 0< θ< π时，四 CDD1A1 外 表 积 为 3π D. BD1= 2时，2π3 ≤ θ≤ π 【 】ABD 【解 】设 柱OO1 为 r，母线长为 l， 因为四边 ABCD 柱OO1 轴 以AB= 2r,AD= l， 因为四边 ABCD 积为 2， 以 2rl= 2， rl= 1 以 柱OO1 积S= 2πrl= 2π，A正 ， 因为DC为 O1 直 ， 以DD1⊥D1C， A1D1⊥ CDD1，DD1⊂ CDD1， 以DD1⊥A1D1， A1D1,D1C⊂ A1CD1，A1D1 ∩D1C=D1， 以DD1⊥ A1CD1，A1C⊂ A1CD1， 以DD1⊥A1C，B正 ； 因为A1D1⊥DD1,A1D1⊥CD1,DD1⊥D1C， 设四 CDD1A1 外 为R， 4R2=D1D2+D1C2+D1A21， 因为∠DO1D1= θ，DO1=O1D1， 以∠O1DD1= π2 - θ 2 ， 以D1C= 2rsin π2 - θ 2 = 2rcos θ 2 ，D1D= 2rcos π 2 - θ 2 = 2rsin θ 2 ， 以 4R2= 4r2+ l2≥ 2 4r2⋅ l2= 4rl= 4， 且仅 r= l= 1时 号 立， 以四 CDD1A1 外 表 积 为 4π，C 错误， 因为OA1=OB= r，∠A1OB= π- θ，0≤ θ≤ π， 以A1B= r2+r2-2 ⋅r ⋅r ⋅cos π-θ = 2r2 1+cosθ = 2rcos θ 2 ， 以BD1= 4r2cos2 θ2 + l 2= 2， rl= 1， 以 4r2cos2 θ 2 + 1 r2 = 2， 以 cosθ= -1 2r4 + 1 r2 - 1， 以 cosθ=- 1 2 1 r2 -1  2 - 1 2 ， 以 cosθ≤- 1 2 ， 且仅 r= 1时 号 立， 0≤ θ≤ π， 以 2π 3 ≤ θ≤ π，D正 ， 故 ：ABD. 589. (2024 · 衡 ·模拟 )已知 物线 Γ :y 2 = 2px(p> 0)过点P 2,2 2 ，其 点为 F，过点 F 两 互相 直 直线 l1,l2，直线 l1与 物线 Γ相交 于A、B两点，直线 l2与 Γ相交于 C、D两点 (如图 示)， 下 结论正 ( ) A. 物线Γ 方 为 y2= 4x B. 物线Γ 准线方 为 x=-2 C. △ACF △BFD 积之 为 7 D. △ACF △BFD 积之 为 8 【 】AD 【解 】A： 点P(2,2 2 )代 y2= 2px， 8= 4p，解 p= 2， 以 物线Γ 方 为 y2= 4x，故A正 ； B：由 y2= 4x知， 物线 线方 为 x=-1，故B错 误； ·253· C： 知两直线斜 存 且不为 0， 设A x1,y1 ,B x2,y2 ，直线 l1 方 为 y= k x-1 ， 立 y2=4x, y=k x-1 ,  k2x2- 2k2+4 x+ k2= 0①， 以 x1+ x2= 2+ 4 k2 , x1 ⋅ x2= 1， 设C x3,y3 ,D x4,y4 ，由已知直线 l2 斜 为- 1k，代 ①中， x3+ x4= 2+ 4k2,x3 ⋅ x4= 1， 以△ACF △BFD 积之 为 S= 1 2 FA ⋅ FC + 1 2 FB ⋅ FD  = 1 2 x1+1 x3+1 + x2+1 x4+1  = 1 2 x1x3+x2x4+x1+x2+x3+x4 + 1 = 1 2 x1x3+x2x4+2+ 4 k2 +2+4k2 + 1≥ 1 2 2 x1x2x3x4+2 4 k2 ⋅4k2+4 + 1= 8， 且仅 k=±1，且 x1x3= x2x4时 号 立， 以△ACF △BFD 积之 为 8，故C正 ； D：由 C 知，△ACF △BFD 积之 为 8，故D正 . 故 ：AD. 590. (2024· 衡 ·模拟 )已知定义 实数 R 上 函数 f x  图 关于点 1,0 中 对称，函数 g x = x-1 f x ，且函数 g x  -∞,1 上 减，函数 f x 、g x  导函数 f  x 、 g x ， 下 结论正 ( ) A. 函数 f x  图 关于直线 x= 1对称 B. g x  图 关于点 1,0 对称 C. 若 g -1 =-2， g 3 = 2 D. g e > g 1-ln1.5 > 0 【 】ACD 【解 】对于 A，因为函数 f x  图 于点 1,0 中 对称， 以 f -x+1 =-f x+1 ，两边 导数 ：f x+1  =-f -x+1 × -1 = f -x+1 ， f x+1 = f -x+1  立， 以函数 f x  图 于直线 x= 1对称. 故 A正 ； 对于 B，因为函数 g x = x-1 f x ， g 2-x = 1-x f 2-x = 1-x -f x = x-1 f x = g x ， 用 x+ 1替 x， ：g 1-x = g 1+x ，故 g x  图 于直线 x= 1对称， 故 B错误； 对于 C， 上个 解 中 g 1-x = g 1+x ， 两边 导 ： g 1+x =-g 1-x ， g 1+x + g 1-x = 0， x= 2代 ， ：g 3 =-g -1 = 2， 故 C正 ； 对于 D，因为 g x  图 于直线 x= 1对称， 以 g 1-ln1.5 = g 1+ln1.5 ， 设 h x = ex- 1+ln 1+x  ,x∈ 0,1 ， h x = ex- 1 x+1 ,x∈ 0,1 ， 设 φ x = ex- 1 x+1 ,x∈ 0,1 ， φ x = ex+ 1 (x+1)2 > 0， 从 φ x  0,1 上 ， φ x > φ 0 = 0， h x > 0,h x  0,1 上 ，h x > h 0  = 0， 故 ex> 1+ ln 1+x > 1,x∈ 0,1  立， e> 1+ ln1.5> 1， 因 g x  -∞,1 上 减， g x  1,+∞  上 ， g 1 = 0，故 g e > g 1+ln1.5 > 0， ：g e > g 1-ln1.5 > 0， 故 D正 . 故 ：ACD. 591. (2024·高二· · 段练习)已知函数 f(x) = λsin(ωx+ φ) (λ> 0,ω> 0,0< φ< π)图 如图 1 示，A，B 为图 高点 点，过 A，B x轴 线， 交 x轴于A,B，点C为该部 图 与 x轴 交点，f(x)与 y轴 交点为D(0, 3 )， 此时∠AAB= 135°． 绘 该图 纸片 x轴 60° 二 角 α-OC- β，如图 2 示， 叠 |AB| = 2 2， 下 四个结论正 ( ) ·254· A. φ= π 3 B. f(x) 图 (2,3)上 C. 图 2中，f(x)上存 一一点Q， DQ⎳ ABC D. 图 2中，若P1,P2 f(x)上两个不 点，且满 足APi⊥BB,i= 1,2， P1P2  为 43 【 】BD 【解 】设函数 f(x) 正 为T,∠AAB= 135°， AA=AB=BB= λ= T 2 ， AB  =AA  +AB  +BB  ， 方 |AB  |2= AA  +AB  +BB   2， |AB  |2= AA   2+ BB   2+ AB   2+ 2AA  ⋅BB  ， 以 8= 3λ2- λ2， λ2= 4，因为 λ> 0，解 λ= 2， 故T= 2λ= 4， ω= 2π T = π 2 ， 以 f(x) = 2sin πx 2 +φ ， f(0) = 2sinφ= 3，可 sinφ= 3 2 ， 因为函数 f(x) x= 0 近 减，且 0< φ< π， 以 φ= 2π 3 ，故A错误； 对于B ，因为 f(x) = 2sin πx 2 + 2π 3 ， x∈ (2,3) 时， πx 2 + 2π 3 ∈ 5π 3 , 13π 6 ，此时 f(x) ，B ； 对于C ， α ，过点D DM⎳AC交 x轴 于M，交 f(x)于Q1， β上，过M 行于BC 直线交 f(x)于 Q2，此时DQ1,DQ2⎳ ABC，故C错误； 对于D ，若P1,P2 α上，由APi⊥BB可知， APi 行于 x轴，此时 P1P2 min=T= 4， 若P1,P2 β上， AE⊥ β于点E， AE⊥BB， APi⊥BB，从 BB⊥ APiE，故PiE⊥BB， AE=AAcos60° = 1，因此， 图 1中 直线 y=-1， Pi为 y=-1与 y= f(x) 交点， 不妨设P1,P2为 y=-1与 y= f(x) y轴右 近 两个交点， 此时 P1P2  为 7 3 - 1= 4 3 ， 若P1,P2不 一个 上，此时 P1P2 min= AP1 = AE 2+EP21 = 3+ 169 = 43 3 > 4 3 ，故D正 . 故 ：BD. 592. (2024·高一·四川巴中· 段练习)对于△ABC， 如下 断，其中正 断 ( ) A. 若 a= 2,A= 30°， b+2c sinB+2sinC = 2b+c 2sinB+sinC = 4 B. 若 a= 8,b= 10,B= 60°， 件 △ABC 两个 C. 若点P为△ABC 内 点，且AP  = λ AB  AB   cosB + AC  AC   cosC      ,λ∈ 0,+∞ ， 点 P 轨迹经过△ABC D. 已知O △ABC内一点，若 2OA  +OB  + 3OC  = 0  ,S△AOC,S△ABC 表示△AOC,△ABC 积， S△AOC ⋅S△ABC= 1:6 【 】ACD 【解 】由正 定 知 a sinA = b sinB = c sinC = 2 1 2 = 4， 以 2b 2sinB = c sinC = 4可 2b+c 2sinB+sinC = 4，由 b sinB = 2c 2sinC = 4可 b+2c sinB+2sinC = 4，故A正 ； 由正 定 可知 a sinA = B sinB ， 8 sinA = 10 sin60° ， 解 sinA= 2 3 5 ， a< b， 以A<B= 60°，故A只 一解， 以三角 一解，故B错误； 因为AP  ⋅BC  = λ AB  ⋅BC  AB   cosB + AC  ⋅BC  AC   cosC      = ·255· λ AB   ⋅ BC   cos π-B  AB   cosB + AC   ⋅ BC   cosC AC   cosC       = λ - BC   + BC    = 0， 以AP⊥BC， 以点P 轨迹经过△ABC ，故C正 ； 因为 2OA  +OB  + 3OC  = 0  ， 以 2 OA  +OC   + OB  +OC   = 0  ， 设AC,BC 中点 为E,D，如图， 2OE  +OD  = 0  ， OE  = 1 3 DE  ， 以S△AOC= 1 3 S△ADC= 1 3 × 1 2 S△ABC= 1 6 S△ABC，故D正 . 故 ：ACD 593. (2024· 黄石·三模)已知数 an  为 an， n 为Sn， 下 中正 ( ) A. 如 an= sin nπ2 ， ∀n∈N *，∃M> 0， Sn <M B. 如 an= 1n， ∀M> 0，∃n0∈N *， Sn0  >M C. 如 an= sin 1n， ∀n∈N *，∃M> 0， Sn <M D. 如 ∀n∈N *，∃M1> 0， Sn <M1， ∀ n∈N *，∃M2> 0， an <M2 【 】ABD 【解 】A ，可以 an= 1,n=4k+1,k∈N 0,n=4k+2,k∈N -1,n=4k+3,k∈N 0,n=4k+4,k∈N      ， 故Sn= 1 0，故令M= 2， ∀n∈N *，∃M> 0， Sn <M，A正 ； B ，Sn= 1+ 12 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 +⋯ + 1 n ， 故S2m= 1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 +⋯ + 1 2m-1+1 + 1 2m-1+2 ⋯+ 1 2m > m 2 + 1， ∀M> 0，取m= 2M ，∃n0= 2m， Sn0 ≥ 2M  2 + 1>M，B正 ； C ，下证 sinx≥ 2 π x，x∈ 0, π 2    ， 令 f x = sinx- 2 π x，x∈ 0, π 2    ， f  x = cosx- 2 π x∈ 0, π 2    上 减， 因为 f 0 = 1- 2 π > 0，f π 2 = cos π 2 - 2 π =- 2 π < 0， 故存 x0∈ 0, π2 ， f x0 = 0， x∈ 0,x0 时，f x > 0， x∈ x0, π2 时，f x < 0， 故 f x = sinx- 2 π x x∈ 0,x0 上 ， x∈ x0, π2 上 减， f 0 = f π 2 = 0，故 f x ≥ 0 x∈ 0, π 2     立， sinx≥ 2 π x，x∈ 0, π 2    ， 0< 1 n < π 2 ， sin 1 n ≥ 2 π ⋅ 1 n ， B 可知， an= 1n， ∀M> 0，∃n0∈N *， Sn0 >M， bn= 2π ⋅ 1 n ， ∀M> 0，∃n1∈N *， Sn1  >M， 故 cn= sin 1n， ∀M> 0，∃n2∈N *， Sn2 > M，C错误； D ，如 ∀n∈N *，∃M1> 0， Sn <M1， an = Sn-Sn-1 < Sn + Sn-1 < 2M1， 故对于∀n∈N *，∃M2= 2M1> 0， an <M2，D 正 . 故 ：ABD 594. (2024·高三· 西鹰 · 段练习)已知 f x  定义 R上连续 奇函数，其导函数为 g x ，f 4x = f 2-4x ， x∈ -2,-1 时，g x > 0， ( ) A. g x 为 函数 B. f x  图 关于直线 x= 1 2 对称 C. 4为 g x  D. g x  x= 2026处取 【 】ACD 【解 】对于A，f(x) 定义 R上连续 奇函数， f -x =-f x ， 两边 导可 -f -x =-f x ， 以 f -x = ·256· f x ， 因为 g(x)为 f(x) 导函数， 以 g(-x) = f -x = f x = g(x)， g(x)为 函数，故A正 ； 对于B，若 f(4x) = f(2- 4x)， f(x) = f(2- x)， f(1+ x) = f(1- x)， 以 f(x) 图 于直线 x= 1对称，故B错误； 对于C，因为 f(x) = f(2- x)， 以 f x =-f 2-x ， g(x) =-g(2- x)， g(x)为 函数， 以 g(x) =-g(x- 2)， 以 g(x+ 2) =-g(x)， 以 g(x+ 4) =-g(x+ 2) = g(x)，故 4为 g(x) ， 故C正 ； 对于D， x∈ -2,-1 时，g(x)> 0， g(x) 间 -2,-1 上为 函数， 由 g(x)为 函数，可 g(x) 间 1,2 上为减函数， 由 4为 g(x) ，可 g(x) 间 2,3 上为 函 数 g(x) 间 2025,2026 上为减函数， 2026,2027 上 ， 故 g(x) x= 2026处取 ，故D正 ． 故 ：ACD． 595. ( 2024 · 东 ·二 模 ) 已 知 函 数 f x = sin 2x+ π 6  π 6 ≤x≤ 2π 3  , g x  = cos 2x+ π 6 - π 12 ≤x≤ 5π 12 ， 下 结论正 ( ) A. 若 直线 x=m与 f x ,g x  图 交点 为A,B， AB  可为 3 2 B. 若 直线 y=m与 f x ,g x  图 交点 为A,B， AB  为 π 4 C. 若 直线 y=±m与 f x ,g x  图 能围 闭图 ， 该图 积 大 为 π 2 D. 若 f m0 = 35 ， g m0 2 - π 12 = 2 15- 5 10 【 】BCD 【解 】由 π 6 ≤ x≤ 2π 3 ，可 π 2 ≤ 2x+ π 6 ≤ 3π 2 ， 以 f x  间 π 6 , 2π 3    上 减， 且 f x ≤ f π 6 = sin π 2 = 1，f x ≥ f π 6 = sin 3π 2 = -1， 以-1≤ f x ≤ 1， 由- π 12 ≤ x≤ 5π 12 ，可 0≤ 2x+ π 6 ≤ π， 以函数 g x  间 - π 12 , 5π 12    上 减， 且 g x ≤ g - π 12 = cos0= 1，f x ≥ f 5π 12 = cosπ =-1， 以-1≤ g x ≤ 1， 由已知-1≤m≤ 1， 以直线 y=m与函数 y= f x ,y= g x 都只 一个 交点， 设点A,B 为 x1,m , x2,m ， sin 2x1+ π6 = cos 2x2+ π 6 = sin 2π 3 +2x2 ， π 2 ≤ 2x1+ π6 ≤ 3π 2 ， π 2 ≤ 2x2+ 2π3 ≤ 3π 2 ， 因为函数 y= sinx π 2 , 3π 2    上 减， 以 2x1+ π6 = 2π 3 + 2x2， 以 x1- x2= π4 ， 以 AB = x1-x2 2+ m-m 2= x1-x2 = π4 ，A 错误，B正 ， 设直线 y=-m与函数 y= f x ,y= g x  交点为C, D， CD = π 4 ， AB⎳CD， 以四边 ABDC为 行四边 ， 积S= π 4 × 2m ≤ π 2 ，C正 ； ·257· 对于D，因为 f m0 = 35 ， 以 sin 2m0+ π6 = 3 5 ， π 2 ≤ 2m0+ π6 ≤ 3π 2 ， 以 cos 2m0+ π6 =- 4 5 ， π 2 ≤ 2m0+ π6 < π， π 6 ≤m0≤ 5π12， cos2m0= cos 2m0+ π6 - π 6    = cos 2m0+ π6 cos π 6 + sin 2m0+ π6 sin π 6 ， 以 cos2m0= 3-4 310 ， 以 2cos2m0- 1= 3-4 310 ， π 6 ≤m0≤ 5π12， 以 cosm0= 13-4 320 = 65-20 3 100 = 2 15 2-2×2 15× 5+ 5 2 10 = 2 15- 5 10 以 g m0 2 - π 12 = cosm0= 2 15- 5 10 ，D正 ； 故 ：BCD. 596. (2024· ·二模)已知正实数 a，b，c，且 a> b> c，x，y，z为自 数， 满足 x a-b + y b-c + z c-a > 0 x，y，z可以 ( ) A. x= 1，y= 1，z= 4 B. x= 1，y= 2，z= 5 C. x= 2，y= 2，z= 7 D. x= 1，y= 3，z= 9 【 】BC 【解 】要满足 x a-b + y b-c + z c-a > 0，只 满足 x a-b + y b-c > z a-c， 中正实数 a，b，c，且 a> b> c，x，y，z为正数， x a-b + y b-c = a-b + b-c  a-c x a-b + y b-c  = x a-c + b-c x a-b a-c  + a-b y a-c  b-c  + y a-c ≥ x a-c + y a-c + 2 b-c x a-b a-c  ⋅ a-b y a-c  b-c  = x a-c + y a-c + 2 xy a-c = x+ y 2 a-c ， 且仅 b-c x a-b a-c  = a-b y a-c  b-c  ， b-c 2x = a-b 2y时， 号 立， 观察 ，故只 x+ y 2 a-c > z a-c，故只 x+ y 2> z 可， A ，x= 1，y= 1，z= 4时， 1+ 1 2= 4，A错 误； B ，x= 1，y= 2，z= 5时， 1+ 2 2= 3+ 2 2 > 5，B正 ； C ，x= 2，y= 2，z= 7时， 2+ 2 2= 8> 7，C 正 ； D ，x= 1，y= 3，z= 9时， 1+ 3 2= 4+ 2 3 < 9，D错误. 故 ：BC. 597. ( 2024 · ·二模 ) 已知 C : x 2 9 + y 2 b2 = 1 0<b<3 左右两个 点 为 F1 F2， 直线 l 经过 左 点 F1与 交于A,B两点，且 AF2  + BF2 ≤ 8 ，下 说法正 ( ) A. b= 6 B. AB ∈ 4,6  C. 离 e= 3 2 D. 若OA⊥OB， 1 OA 2 + 1 OB 2 = 5 18 【 】AB 【解 】如下图 示： 知 a= 3，由 定义可知 AB + AF2 + BF2 = 4a = 12， 因为 AF2 + BF2 ≤ 8 立， 以 AB ≥ 4， AB⊥ x轴， AB 为 时，AB  ， 以 AB min= 2b2 a = 4， 解 b= 6， 以A正 ； AB 为长轴时，AB  大，此时 AB = 2a= 6， 以 AB ∈ 4,6 ， B正 ； 可 方 为C: x 2 9 + y 2 6 = 1， 知 c= a2-b2= 3， 以离 e= c a = 3 3 ， C错误； 因为F1 - 3,0 ，可设直线 l 方 为 x=my- 3， A x1,y1 ,B x2,y2 ， ·258· 立 x=my- 3 x2 9 + y2 6 =1  ，整 可 2m 2+3 y2- 4 3my - 12= 0， 因此 y1+ y2= 4 3m 2m2+3 ,y1y2=- 12 2m2+3 ； 若OA⊥OB，可 OA  ⋅OB  = 0， x1x2+ y1y2= 0， 以 m2+1 y1y2- 3m y1+y2 + 3= 0； 整 6m2+ 1= 0，此时方 无解，因此D错误. 故 ：AB 598. (2024·福建·模拟 ) 竹以某 正 方 行进. 某时 时，其 西 30°方 上 一距 其 6米 好 正东方 . 已知 方 为 2 3米，可视为 直线段 柱，且其 东- -西- -东 方 每 3秒 旋转一 转 . 若 竹不 被 柱 且不 改变行进方 ， 他行进 可以 ( ) A. 1m/s B. 1.2m/s C. 2m/s D. 8m/s 【 】BD 【解 】 ，绘出示 图如图 示 知， 且仅 围与行进路线重叠 域 ， 竹可能被淋 . 由于 正东方 ，不妨以 为起点 方 线， 可 问 转 为 竹 (用点代 替)与该 线 行进路线上 交点不重 问 . 设时间为 t秒 以 为 点，正东方 、正 方 为 x轴、y 轴建立 直角 系. AI    竹行进路线 方 为 x= 3， 由每 3秒旋转一 转 知 t秒旋转 2π 3 t rad ， 因为∠BOD=∠AOD= π 6 ， 结 可知 t∈ 0, 1 4 ∪ - 1 4 +3k, 1 4 +3k ,k∈ N *， 因为 柱 线与行进路线 交点纵 为 3tan 2π 3 t ， 因为 竹 (用点代替) 纵 为 vt- 3 3， 故可 问 转 为图像 f t = 3tan 2π 3 t ,y∈ - 3, 3 ，t∈ 0, 1 4 ∪ - 1 4 +3k, 1 4 +3k ,k∈N *， 与图像 y= vt- 3 3 交点问 ， v为 时 两图像无交点， 由图可 ：v∈ 16 3 25 , 8 3 11 ∪ 16 3 13 ,16 3 . 结 可知：AC错误；BD正 . 故 ：BD. 599. ( 2024 ·福建 ·模拟 ) 已知正方 ABCD - A1B1C1D1，E,F 边 BD,C1D1上 ( 端点) 点， ( ) A. EF⎳AD1时，直线EF相对于正方 一 定 B. A1F⎳CE时，直线EF相对于正方 一 定 C. C1E⎳ ADF时，直线EF相对于正方 一 定 D. AED1⎳ A1CF时，直线EF相对于 正方 一 定 【 】AD 【解 】对于A ， 且仅 点E与点B重 ，且点 F与点C1重 时 件 立，故A 正 ； 对于B ，如图 1，设A1F ABCD上 为AF1，AF1∩BD=G，记BD 中点为O， 对于任 满足OE=OG且E,G不重 时，AHCF1 为 行四边 ， EC⎳AF1⎳A1F，故B 错误； 对于C ，如图 1，设E 直线AD上 为E1， 对于任 满足EE1=C1F ， EE1⎳AB⎳C1D1， 以EE1FC1为 行四边 ， 以C1E⎳FE1， 因为FE1⊂ ADF，C1E⊄ ADF， 以 C1E⎳ ADF， 故直线EF 无法 一 定，故C 错误； ·259· 对于D ，如图 2， 且仅 F为C1D1 中点，取 CD中点H，连 AH∩BD=E， 因为 DH AB = DE EB = 1 2 ， 点E为线段BD上 近点D 三 点， 因为AH⎳A1F，A1F⊂ A1CF，AH⊄ A1CF， 以AH⎳ A1CF， 连 A1D，A1D∩AD=F，连 FH， 知FH⎳A1C，A1C⊂ A1CF，FH⊄ A1CF， 以FH⎳ A1CF， FH∩AH=H，FH,AH⊂ AED1， 以 AED1⎳ A1CF，故D 正 . 故 ：AD. 600. (2024· 东 州·模拟 ) 角 △ABC中，角 A,B,C 对 边为 a,b,c，若 sinBsinC 3sinA = cosA a + cosC c ，且 S△ABC = 3 4 a2+b2-c2 ， c 2 a+b 可 能取 为 ( ) A. 3 B. 2 C. 14 2 D. 3 10 5 【 】ACD 【解 】 锐角△ABC中，由 定 及三角 积定 ： S△ABC= 3 4 (a2+ b2- c2) = 3 2 abcosC= 1 2 absinC， tanC= 3， C∈ 0, π 2 ， C= π 3 ， sinBsinC 3sinA = cosA a + cosC c ， 由正 定 、 定 ， b ⋅ 32 3a = b2+c2-a2 2bc a + a2+b2-c2 2ab c ， ：c= 2 3， 由正 定 ： a sinA = b sinB = c sinC = 2 3 3 2 = 4， a= 4sinA，b= 4sinB， △ABC 锐角三角 且C= π 3 ， A∈ 0, π 2 ，B = 2π 3 -A∈ 0, π 2 ，解 A∈ π 6 , π 2 ， 因此 a+ b= 4(sinA+ sinB) = 4 sinA+sin 2π 3 -A  = 4 sinA+ 3 2 cosA+ 1 2 sinA = 4 3sin A+ π6 ， 由A∈ π 6 , π 2  ：A+ π 6 ∈ π 3 , 2π 3 ，sin A+ π 6 ∈ 3 2 ,1 ， 以 c2 a+b = 12 4 3sin A+ π6  ∈ [ 3 ,2)， 结 ， c2 a+b 可能取 为 3， 14 2 ， 3 10 5 . 故 ：ACD 601. ( 2024 · 郸 ·一 模 ) 已 知 函 数 f x = 2x+2, -2≤x≤1 lnx-1, 1<x≤e  ，若关于 x 方 f x =m 两个不 解 x1,x2 x1<x2 ， (x2- x1)f x2  取 可能 ( ) A. - 3 B. - 1 C. 0 D. 2 【 】BC 【解 】因为 f(x) =m 两 为 x1,x2 x1<x2 ， 以 x1= m-22 ,x2= e m+1,m∈ (-1,0]， 从 x2-x1 f x2 = em+1- m-22 m=me m+1- m2 2 +m． 令 g(x) = xex+1- 1 2 x2+ x,x∈ (-1,0]， g(x) = (x+ 1)ex+1- x+ 1，x∈ (-1,0]． 因为 x∈ (-1,0]， 以 x+ 1> 0,ex+1> e0= 1, -x+ 1> 0， 以 g(x)> 0 (-1,0]上 立， 从 g(x) (-1,0]上 ． g(0) = 0,g(-1) =- 5 2 ， 以 g(x) ∈ - 5 2 ,0 ， ·260· x2-x1 ⋅ f x2  取 围 - 52 ,0 ， 故 ：BC． 602. (2024 ·福建福州 ·模拟 )定义 R上 函数 f x  域为 -∞,0 ，且 f 2x + f x+y f x-y  = 0， ( ) A. f 0 =-1 B. f 4 + f 1  2= 0 C. f x f -x = 1 D. f x + f -x ≤-2 【 】ACD 【解 】令 x= y= 0， f 0 + f 0  2= 0，解 f 0 = 0 f 0 =-1， 因为函数 f x  域为 -∞,0 ， 以 f 0 =-1，A 正 ； 令 x= 1,y= 0， f 2 + f 1  2= 0， f 2 = - f 1  2 令 x= 2,y= 0， f 4 + f 2  2= 0， f 4 + f 1  4= 0，B不正 ； 令 x= 0， f 0 + f y f -y = 0， 以 f y f -y  = 1， f x f -x = 1，C正 ； 因为 f x < 0， 以-f x > 0，-f -x > 0， 以 -f x  + -f -x  ≥ 2 f x f -x = 2， 且 仅 f x = f -x 时，取 号， 以 f x + f -x ≤-2，D正 . 故 ：ACD 603. (2024·福建福州·模拟 ) 一 质 三次，设 变 Xn= 1, n次 出正 , -1, n次 出 ,  (n= 1,2,3)．记A表示事件“X1+X2= 0”，B表示 事件“X2= 1”，C表示事件“X1+X2+X3=-1”， ( ) A. B C互为对 事件 B. 事件A C不互斥 C. 事件A B相互独 D. 事件B C相互独 【 】BC 【解 】 ，A表示事件“X1+X2= 0”， 两 次 中，一次正 ，一次反 ， P A =C12 12  2 = 1 2 ， B表示事件“X2= 1”， 二次 中，正 上， P B = 1 2 ， C表示事件“X1+X2+X3=-1”， 三次 中，一 次正 ，两次反 ，P C =C13× 12 × 1 2  2 = 3 8 ， 次 ： 对于A，事件B、C可能 时发生， 事件B、C不 对 立事件，A错误； 对于B，事件A、C可能 时发生， 事件A C不互 斥，B正 ； 对于C，事件AB， 两次 中， 一次反 ， 二 次正 ，P(AB) = 1 2 × 1 2 = 1 4 ， 由于P A P B =P(AB)， 事件A B相互独立， C正 ； 对于D，事件BC， 三次 中， 一次 三次反 ， 二次正 ，P(BC) = 1 2 × 1 2 × 1 2 = 1 8 ， P B P C ≠P(BC)，事件B、C不 相互独立事件， D错误． 故 ：BC． 604. (2024· 武 ·二模) 对具 相关关系 两个 变 进行回 时，若两个变 不 线 相关关 系，可以建 两个 定 数 线 模 ， 入中间变 其转 为线 关系，再 二乘 法进行线 回 .下 为四个 学 自 己 数 散点图建 线 模 ，且散点图 点 于 一 ， 其中可以 上述方 法进行回 模 ( ) A. y= c1x2+ c2x B. y= x+c1 x+c2 C. y= c1+ ln x+c2  D. y= c1ex+c2 【 】ABC 【解 】对于 A ：y= c1x2+ c2x⇒ y x = c1x+ c2， 令u= y x u= c1x+ c2； 对于 B： y= x+c1 x+c2 = 1+ c1-c2 x+c2 ⇒ y- 1= c1-c2 x+c2 ⇒ 1 y-1 = x+c2 c1-c2 = 1 c1-c2 ⋅ x+ c2 c1-c2 令u= 1 y-1 ⇒u= 1 c1-c2 ⋅ x+ c2 c1-c2 ； 对于 C：y= c1+ ln x+c2 ⇒ y- c1= ln x+c2  ⇒ ey-c1= x+ c2 ey= ec1 ⋅ (x+ c2) 令u= ey u= ec1 ⋅ (x+ c2) = ec1 ⋅ x+ c2 ⋅ ec1； ·261· 对于 D：y= c1ex+c2⇒ lny= lnc1+ x+ c2令u= lny u= x+ lnc1+ c2 此时斜 为 1 ，与 二乘法不 ． 故 ：ABC 605. (2024· 州·模拟 )已知 x1,x2 x1>x2  方 x2- 2px- 1= 0 p∈N *  两 ，数 an 满 足 a1= 2，a2= 2p，an= 2pan-1+ an-2 n≥3 .    bn 满足 bn= f xn1 ，其中 f x = xsin π2 x .    ( ) A. a3= 4p2+ 2 B. f an+1-xn2 = bn C. 存 实数 r， 对任 正整数n，都 bn< r D. 不存 实数 r， 对任 正整数n，都 bn > r 【 】ABC 【解 】由于 x1,x2 x1>x2  方 x2- 2px- 1= 0 两 ，故 x1+ x2= 2p，x1x2=-1. 可解出 x1= p+ p2+1，x2= p- p2+1 . 用数学 纳法证 ：对任 正整数 n， an= xn-11 + xn-12 . n= 1时，由 x1x2=-1知 x1,x2≠ 0，故 a1= 2= 1+ 1 = x01+ x02，结论 立； n= 2时， a2= 2p= x1+ x2= x11+ x12，结论 立； 设 n= k- 2，以及n= k- 1时结论都 立，这里 k≥ 3， ak-2= xk-31 + xk-32 ，ak-1= xk-21 + xk-22 . 此时 ak= 2pak-1+ ak-2 = 2p xk-21 +xk-22 + xk-31 +xk-32  = 2p xk-21 +xk-22 - -1 xk-31 +xk-32  = x1+x2 xk-21 +xk-22 - x1x2 xk-31 +xk-32  = xk-11 + xk-21 x2+ x1xk-22 + xk-12 - x1xk-22 - xk-21 x2 = xk-11 + xk-12 ， 故结论对 n= k也 立. 综上，对任 正整数 n， an= xn-11 + xn-12 . 由于 a1= 2 数，且由 p∈N *知 a2= 2p 数， 且 an= 2pan-1+ an-2 n≥3 ，可知每个 an都 数. 以 bn= f xn1 = xn1sin π2 x n 1 = xn1sin π 2 xn1+xn2-xn2   = x n 1sin π 2 an+1-xn2    = xn1sin π ⋅ an+1 2 - π 2 xn2 = xn1 ⋅ -1  an+1 2 sin - π 2 xn2 ， 故 bn = x1 n ⋅ sin π2 x n 2  . x1= p+ p2+1> 0，故 x1 n= xn1. 因为 x2 = p- p2+1 = p2+1- p= 1 p2+1+p ≤ 1 2+1 < 1， 故-1< xn2< 1，从 sin π2 x n 2  = sin π2 x2  n = sin π 2 p2+1-p n  = sin π 2xn1 . 以 bn = xn1 ⋅ sin π 2xn1 . 建 f x = x- sinx,0< x< π 2 ， f x = 1- cosx > 0 0, π 2  立， f x > f 0 = 0，可 x> sinx,0< x< π 2 立. 由于 x1= p+ p2+1≥ 1+ 2> 1，知 x1> 1，0< π 2xn1 < π 2 .    故 bn = xn1 ⋅ sin π 2xn1 ≤ x n 1 ⋅ π 2xn1 = π 2 < 2， -2< bn < 2. 对于A， a3= x21+ x22= x1+x2 2- 2x1x2= 4p2+ 2， 故A正 ； 对于B， f an+1-xn2 = f xn1+xn2-xn2 = f xn1 = bn， 故B正 ； 对于C，由于 bn< 2，故存 实数 r= 2， 对任 正整数n，都 bn< r，故C正 ； 对于D，由于 bn>-2，故存 实数 r=-2， 对任 正整数 n，都 bn> r，故D错误. 故 ：ABC. 606. (2024 · 绍兴 ·二模)已知定义 R上 函数 f x  间 -1,0 上 ，且满足 f 4-x = f x ，f 2-x =-f x ， ( ) A. 10 k=1 f k  = 0 B. f 0.9 + f 1.2 < 0 C. f 2.5 > f log280  D. f sin1 < f ln 1 2  【 】BCD 【解 】对于函数 f x  ，f 4-x = f x ， 函数 f x  于直线 x= 2对称， 由 f 2-x =-f x ， 函数 f x  于点 1,0 对称， 以 f 4-x =-f 2-x ， 以 f 2-x =-f -x ， f 4-x = f -x ，故函数 f x  为 4，且 f -x = f x ，故函数 f x 为 函数， 因为函数 f x  间 -1,0 上 ， 函数 f x  大致图 如下图： ·262· 由对称 可 f 1 + f 2 + f 3 + f 4 = 0， 以∑ 10 k=1 f k = f 1 + f 2 + f 3 + f 4  × 2+ f 9  + f 10 = 0+ f 1 + f 2 = f 2 ≠ 0，故A不正 ； 由于 f 0.9 + f 1.1 = 0，f 1.1 > f 1.2 ， 以 f 0.9  + f 1.2 < 0，故B正 ； f log280 = f log216+log25 = f 4+log25 = f log25 ， 5 2 = log22 5 2= log2 32> log25> 2， 以 f 2.5 > f log280 ，故C正 ； f ln 1 2 = f -ln2 = f ln2 ，且 0< ln2< 0.7， 因为 π 3 > 1> π 4 ， 以 sin π 3 > sin1> sin π 4 = 2 2 > 0.7，故 1> sin1> ln2> 0， 以 f sin1 < f ln 1 2 ，故D正 . 故 ：BCD. 607. (2024· 绍兴·二模)已知 比数 an  公比 为 q， n 为 Sn， n 积为 Tn，且∀ n∈ N *， a1q n 1-q < 0， ( ) A. 数 an  数 B. 数 an  减数 C. 若数 Sn  数 ， q> 1 D. 若数 Tn  数 ， q> 1 【 】ACD 【解 】由 可知Sn= a1 1-qn  1-q ,Tn= a1 a1q ⋯ a1q n-1 = an1q n n-1  2 ，且∀n∈N *，a1q n 1-q < 0， 故 a1 1-q < 0且 q> 0( 若 q< 0， a1q n 1-q 号 正负交替，这与∀n∈N *，a1q n 1-q < 0，矛盾)， 也 a1>0 q>1  a1<0 0<q<1  ， 无论如 ，数 an  数 ，故A正 ，B错误； 对于C，若数 Sn  数 ， Sn+1-Sn= an+1 > 0，由以上 可知只能 a1>0 q>1  ，故C正 ； 对于D，若数 Tn  数 ， 然不可能 a1<0 0<q<1  ，( Tn= a n 1q n n-1  2 号 正负交替，这 与数 Tn  数 ，矛盾)， 从 只能 a1>0 q>1  ，且这时 Tn+1 Tn = an+1> 1，故D正 . 故 ：ACD. 三、 608. (2024· 东深 ·二模)已知 内 为 1， 为 2， 该 表 积为 ． 注： 内部，且与 母线 且只 一个公 共点 ，称为 内 ． 【 】8π 【解 】由 过 锥 轴以及 图如 下： 设 锥高为 h，母线长为 l， 三角 SO1B中 h 2+ r2= l2， h2+ 2= l2①， 由△SDO∼△SO1B Rr = h-R l ， l= 2 h-1 ②， 以由①② l= 3 2 ,h= 4， 以 锥 表 积为S=S +S= πr2+ πrl= 2π+ 6π= 8π. 故 为：8π. 609. (2024· 东深 ·二模)已知 △ABC中，tan B 2 = 3tan C 2 ， 曲线 E以 B，C为 点，且经过点A， E 两 近线 夹角为 ；tanA 2 + tan C 2 取 围为 ． 【 】 π 3 3 3 ,+∞  【解 】如图 示，设双曲线 实轴长为 2a，虚轴长为 2b，焦距为 2c. 设△ABC 为 I，过点 I 三边 线， 足 为M ,N ,P. ·263· 三角 质可知，|AP| = |AN |,|BP| = |BM |,|CM | = |CN |， 因为双曲线E以B，C为焦点，且经过点A， 以 AC - AB  = 2a， AN + CN - AP - BP  = CN - BP  = CM - BM  = 2a， 因为 tanB 2 = 3tanC 2 ， 以B>C， 以 |AC| > |AB|， 以点A 双曲线 左支上， 以 |CM | -|BM | = 2a. |CM | +|BM | = 2c， 以 |CM | = c+ a，|BM | = c- a， 以M为双曲线 左 点. 以 tanB 2 = MI MB = r c-a ,tan C 2 = MI MC = r c+a， 以 r c-a = 3 r c+a， c a = 2， 以 b a = 3， 近线 斜角为 π 3 ， 以两 近线 夹角为 π 3 . 因为 tanA 2 = tan π-(B+C) 2 = 1 tanB+C2 = 1-tanB2 tan C 2 tanB2 +tan C 2 = 1-3tan2C2 4tanC2 = 1 4tanC2 - 3 4 tanC 2 ， 以 tanA 2 + tanC 2 = 1 4tanC2 + 1 4 tanC 2 ， tanC 2 ∈ 0, 3 3 ， 以 1 4tanC2 + 1 4 tanC 2 > 3 3 . 故 为： π 3 ； 3 3 ,+∞  610. (2024· 东 ·二模)统计学中 认为 从于 正 N μ,σ2  变 X 只 取 μ-3σ,μ+3σ 中 ， 称为 3σ . 设某 一 装食盐 产线，正 况下食盐质 从 正 N 400,σ2 ( ：g)，某天 产线上 取了一 食盐，称 其质 大于 415g， 他 断 产线出 了 ，要 产 修. 此可以 出，σ 大 . 【 】5 【解 】 ，μ= 400，由 3σ ， 400+ 3σ≤ 415，解 σ≤ 5， 以 σ 大 5. 故 为：5 611. (2024· 东 ·二模)近 ， 国短 农 装备取 ，科 装备支 步 ， 代农业建设 实 进.农 中 见 设备 闭 装 .如图 示， O绕 时针 运 ，角 大 为 2πrad/s， 上两点A，B始 终满足∠AOB= 2π 3 ， O 旋转，A，B两点 关系 变 . 定义：A，B两点 竖直距离为A，B两点相对于 高 差 绝 对 . 设运 始时 ， t= 0秒时，点A 于 正下方： t= 秒时，A，B两点 竖直 距离 一次为 0；A，B两点 竖直距离关于时间 t 函数解 为 f t = . 【 】 1 3 3 sin 2πt+ π 3   【解 】以O为 点，以OA 直线为 y轴，建立 直角 系，由于角 ω= 2πrad/s， 设点A cos 2πt- π 2 ,sin 2πt- π 2  ， 上两点A、B 始终保 ∠AOB= 2π 3 ， B cos 2πt+ π 6 ,sin 2πt+ π 6  ，要 A、B两点 竖直距高为 0， sin 2πt- π 2 = sin 2πt+ π 6 ， 一次为 0时，4πt - π 3 = π，解 t= 1 3 ， f(t) = sin 2πt+ π 6 -sin 2πt- π 2  = 3 2 sin2πt+ 1 2 cos2πt+cos2πt  = 3 2 sin2πt+ 3 2 cos2πt = 3 sin 2πt+ π3  . 故 为： 1 3 ； 3 sin 2πt+ π 3   ·264· 612. (2024· ·三模)已知角 α,β 终边关于直线 y= x对称，且 sin(α- β) = 3 2 ， α,β 一组取 可以 α= ，β= ． 【 】 5π 12 π 12 ( 不 一， α= k+m π+ 5π 12 ，β= k-m π+ π 12 α= k+m π+ 7π 12 ，β= k-m π- π 12 ，k,m∈ Z 可) 【解 】因为角 α,β 终边 于直线 y= x对称， 以 α+ β= 2kπ+ π 2 ，k∈ Z， sin(α- β) = 3 2 ， 以 α- β= 2mπ+ π 3 α- β= 2mπ+ 2π 3 ，m∈ Z， 以 α= k+m π+ 5π 12 ，β= k-m π+ π 12 α= k+m π+ 7π 12 ，β= k-m π- π 12 ，k,m∈ Z， 取 k= 0,m= 0可 α= 5π 12 ,β= π 12 α= 7π 12 ,β= - π 12 以 α,β 一组取 可以 α= 5π 12 ,β= π 12 ， 故 为： 5π 12 ， π 12 ，( 不 一， α= k+m π + 5π 12 ，β= k-m π+ π 12 α= k+m π+ 7π 12 ，β= k-m π- π 12 ，k,m∈ Z 可) 613. (2024 · ·三模 )如图 示，直角三角 ABC 直于 α，一 直角边AC α内，另一 直角边 BC 为 3 3 且 ∠BAC = π 6 ，若 α上存 点 P， △ABP 积为 3 3 ， 线段CP 为 ．      【 】 6 3 / 1 3 6 【解 】 Rt△ABC中，BC= 3 3 ,∠BAC= π 6 ， AB= 2 3 3 ， ABC⊥ α， ABC∩ α=AC,AC⊥BC, BC⊂ ABC， 以BC⊥ ABC，连 CP，CP⊂ α， 以BC⊥ CP， CP= BP2-BC2= BP2- 1 3 ，设∠ABP= θ(0 < θ< π)， S△ABP= 1 2 AB ⋅BPsinθ， 3 3 = 1 2 ⋅ 2 3 3 ⋅ BPsinθ， BP= 1 sinθ ， sinθ= 1 θ= π 2 AB⊥BP时，BP取 1， 此时CP取 BP2- 1 3 = 12- 1 3 = 6 3 . 故 为： 6 3 614. (2024· 衡 ·模拟 )已知数 an  n 为 Sn，且 a1= 2,Sn= an+1- 2n+1.若 Sn> n2+ 61n， n 为 . 【 】7 【解 】因为Sn= an+1- 2n+1,Sn-1= an- 2n n≥2 ， 两 相减 ：Sn-Sn-1= an+1-2n+1 - an-2n ， an+1= 2an+ 2n. 两边 以 2n+1可 an+1 2n+1 - an 2n = 1 2 n≥2 ， S1= a2- 22= 2， a2= 6，满足 a2 22 - a1 2 = 1 2 ， 以数 an 2n   为 a1 2 = 1， 差为 1 2 差数 ，故 an 2n = 1+ n-1 2 = n+1 2 ， ·265· an= n+1 2n-1， 以Sn= an+1- 2n+1= n+2 2n- 2n+1=n ⋅ 2n， 因为Sn- n2+61n =n ⋅ 2n- n2+61n = n 2n-n-61 ， 令 cn= 2n-n- 61， cn+1- cn= 2n+1- n+1 -61  - 2n-n-61 = 2n- 1> 0， 以数 cn  ，因为 c6= 26- 6- 61=-3< 0,c7= 27- 7- 61= 60> 0， 以 1≤n≤ 6时，Sn- n2+61 =ncn≤nc6< 0， Sn<n2+ 61n； n≥ 7时，Sn- n2+61n =ncn≥nc7> 0， Sn>n2+ 61n. 以n 为 7. 故 为：7. 615. (2024 · 衡 ·模拟 )如图， 直三棱柱 ABC-A1B1C1 四棱 D- BB1C1C 几 中，∠BAC=∠B1A1C1= 90°,BC= 2AB= 2BB1 = 4,B1D= BD=C1D=CD= 17， 该几 积为 .    【 】 28 3 3 / 28 3 3 【解 】设E,E1 为BB1,CC1 中点，连 DE,DE1, EE1， 因为B1D=BD=C1D=CD= 17， 以DE⊥BB1, DE1⊥CC1，且EE1⊥CC1， DE1∩EE1=E1,DE1、EE1⊂ DEE1， 以CC1 ⊥ DEE1， 由CC1⊂ BB1C1C， DEE1⊥ BB1C1C， 由BB1=CC1= 2,DC=DC1= 17， 以DE=DE1= ( 17)2-12= 4， 设EE1中点为H，连 DH， DH⊥EE1， DEE1∩ BB1C1C=EE1， DH⊂ DEE1， 以DH⊥ BB1C1C. EE1=BC= 4， 以DH= 42-22= 2 3 . 故几 积为V=VABC-A1B1C1+VD-BB1C1C= 1 2 × 2× 2 3 × 2+ 1 3 × 4× 2× 2 3= 28 3 3 . 故 为： 28 3 3 616. (2024· 衡 ·模拟 )已知 曲线 C : x 2 a2 - y2 b2 = 1(a> 0,b> 0) 左、右 点 为 F1、F2， O:x2+ y2= a2，过点F1 O 线交 曲线 右 支于点 P，点M为 PF1 中点，且 PF1  ⊥MF2  ， 曲线C 离 . 【 】 5 3 【解 】因为点M为PF1 中点，且PF1  ⊥MF2  ，可 PF2 = F1F2 = 2c， 设直线PF1与 x 2+ y2= a2相 于点N， ON = a 且ON⊥PF1， 如图 示，OF1 = c，可 NF1 = c2-a2= b，且 ON⎳MF2， 以△ONF1∽△F2MF1， 以 MF1 = 2 NF1 = 2b， 以 PF1 = 4b， 由双曲线 定义，可 PF1 - PF2 = 4b- 2c= 2a， 2b= c+ a， 以 4b2= (c+ a)2，可 4(c2- a2) = (c+ a)2，整 3c2- 2ac- 5a2= 0， 3e2- 2e- 5= 0，解 e= 5 3 e=-1( )， 以双曲线 离 为 5 3 . 故 为： 5 3 . 617. (2024 · 衡 ·模拟 ) 已知函数 f x = loga a 2x+ a 2 16 - x 函数，不 f x-lnx ≥ ·266· f lnb-b2  ， b 大 为 ． 【 】1 【解 】因为函数 f x = loga a2x+ a 2 16 - x 函数， 以 f(-x) = f(x)， 以 f(-1) = f(1)， loga a2+ a 2 16 - 1= loga a -2+ a 2 16 + 1， loga a 2+ a 2 16 a -2+ a 2 16 = 2= logaa 2， 解 a=±1 a=±4， 因为 a> 0且 a≠ 1， 以 a= 4， 以 f x = log4 42x+1 - x= log4 16x+1 - x. 经 验，f(-x) = f(x)对任 x∈R 立， 以 f x  = log4 16x+1 - x. 因为 f x = log4 16x+1 - x= log4 4x+ 1 4x ，且 f(x)为 函数， 以 x∈ (0, +∞)时，4x+ 1 4x ，x∈ (-∞,0) 时，4x+ 1 4x 减， 以 f(x) (-∞,0) 减， (0, +∞) . 因为 f x-lnx ≥ f lnb-b2  立， 以 |x- lnx| ≥ |lnb- b2| 立. 令函数 g(x) = x- lnx，g(x) = 1- 1 x (x> 0)， 以 x∈ (0,1)时，g(x)< 0，函数 g(x) 减； x∈ (1, +∞)时，g(x)> 0，函数 g(x) ， 以 g(x)min= g(1) = 1> 0， 以 |x- lnx| ≥ 1 立， 以 |lnb- b2| ≤ 1 立， -1≤ lnb- b2≤ 1 立. 令函数 φ(x) = lnx- x2， 以 φ(x) = 1 x - 2x= 1-2x2 x (x> 0) 以 x∈ 0, 2 2 时，φ(x)> 0，函数 φ(x) ； x∈ 2 2 ,+∞ 时，φ(x)< 0，函数 φ(x) 减， 以 φ(x) 0, 2 2  ， 2 2 ,+∞  减， 以 φ(x)max= φ 22 =- ln2 2 - 1 2 < 1， 以 lnb- b2≤ 1 立. 因为 φ(1) = ln1- 12=-1，且 2 2 < 1， 以存 x0∈ 0, 22 ， φ(x0) =-1， 以-1≤ lnb- b2≤ 1 解 为 {b|x0≤ b≤ 1}， 以 b 大 为 1. 故 为：1 618. (2024· 黄石·三模)如图，已知过 物线 y2= 2px(p> 0) 点 F 直线与 物线交于A,B两 点，过点A 物线 准线 线AA1， 足为A1， 物线 准线与 x轴交于点M，O为 点，记 S1，S2，S3 为 △AOB，△A1FM，△AA1F 积.若S1+ 43 S2=S3， 直线AB 斜 为 . 【 】 3 【解 】设直线AB 斜角为 θ∈ 0, π 2 ，A x1,y1 , B x2,y2 ,y1> 0， 可知：x1= AF cosθ+ p 2 ,y1= AF sinθ， 且 AF = x1+ p 2 = AF cosθ+ p，解 AF = p 1-cosθ ， y1= AF sinθ= psinθ 1-cosθ ， 可 y2=- psinθ 1+cosθ ， 可知：S1= 12 OF y1-y2 = 1 2 × p 2 psinθ 1-cosθ + psinθ 1+cosθ = p2 2sinθ ， S2= 12 MF A1M = 1 2 × p× psinθ 1-cosθ = p2sinθ 2 1-cosθ  ， S3= 12 A1A y1= 1 2 × p 1-cosθ × psinθ 1-cosθ = p2sinθ 2 1-cosθ 2 ， 因为S1+ 43 S2=S3， p2 2sinθ + 4 3 × p 2sinθ 2 1-cosθ  = p2sinθ 2 1-cosθ 2 ， 整 2cos2θ+ 3cosθ- 2= 0，解 cosθ= 1 2 cosθ=-2， ·267· 且 θ∈ 0, π 2 ， cosθ= 1 2 ，可 θ= π 3 ， 以直线AB 斜 为 k= tanθ= 3 . 故 为： 3 . 619. (2024· 黄石·三模)设 a，b∈R+，若 a+ 4b= 4， a+2 b ab 为 ，此时 a 为 . 【 】 2 2 2 【解 】由 a，b∈R+，a+ 4b= 4， 4= a+ 4b≥ 2 a ⋅4b= 4 ab， 且仅 a= 4b= 2时取 号， 因此 0< ab≤ 1， a+2 b ab = a+4b+4 ab ab = 2 1 ab + 1 ab ， 令 x= ab∈ (0,1]，函数 y= 1 x + 1 x (0,1]上 减， x= 1时，ymin= 2， 以 ab= 1， a= 2,b= 1 2 时， a+2 b ab 取 2 2 . 故 为：2 2；2 620. (2024·辽宁 ·三模)太 图被称为“中 一 图”，其 状如 两鱼互 一起，因 被称为 “ 鱼太 图”．如图 示 图 为 2 大 O 两个对称 组 ，线段MN过点 O且两端点M ,N 两个 上，P 大 上 一 点， PM  ⋅PN  为 ． 【 】0 【解 】连 PO，可 PM  ⋅PN  = PO  +OM   ⋅ PO  -OM   =PO 2-OM  2= 4-OM  2 ， 然 OM  2 大， OM   取 大 2时，PM  ⋅ PN  取 0． 故 为：0. 621. (2024· 东·一模)如图， △ABC中，已知∠BAC = 120°，其内 与AC边相 于点D，且AD= 1， 延 BA E， BE=BC，连 CE，设以 E，C为 点且经过点A 离 为 e1，以 E，C为 点且经过点A 曲线 离 为 e2， e1e2 取 围 ． 【 】 1,+∞  【解 】如图以CE 中点C为 点直角 系，设M , G BC,BE与 点，由 线 质 AG =AD= 1， 设CD=CM=GE=m m>1 ， 以AC= 1+m， AE=GE-AG=m- 1， △ACE中，CE 2=CA2+AE 2- 2CA ⋅EAcos60°= m2+ 3， 以E,C为焦点经过点A 双曲线 离 为 e2= m2+3 2 ， 以E,C为焦点经过点A 离 为 e1= m2+3 2m ， e1e2= m 2+3 4m = m 4 + 3 4m ， △ABC中，设BM=n， 以BC=m+n,AB=n+ 1，AC=m+ 1， 由 定 可 BC2=AB2+AC2- 2AB ⋅ ACcos120°， 以mn= 3m+ 3n+ 3， 以n= 3m+3 m-3 > 0， m > 3， 由对勾函数 可 函数 y= x 4 + 3 4x 3,+∞ 上 ， ·268· 以 e1e2= m4 + 3 4m > 3 4 + 3 4×3 = 1. 故 为：1,+∞ . 622. (2024· 东 ·二模) 、乙两 进行围 比 赛，如 每 比赛 胜 为 2 3 ，乙 胜 为 1 3 ， 三 两胜 ， 终 胜 况 下，比赛进行了两 为 ． 【 】 3 5 /0.6 【解 】 ，设甲 胜为事件A，比赛进行两 为 事件B， P(A) = 2 3 × 2 3 +C12× 23 × 1 3 × 2 3 = 20 27 ， P(AB) =C22 × 23 × 2 3 = 4 9 ， 故P(B|A) = P(AB) P(A) = 4 9 20 27 = 12 20 = 3 5 ． 故 为： 3 5 ． 623. (2024· 东 ·二模)已知正方 ABCD 四个 点 函数 f x = x3- 2 2 x+ 1 图 上，若 A ,B 两点 横 为 x 1 , x 2， x1x2  = ． 【 】 3 【解 】因为 f x = x3- 2 2x+ 1， 以 f -x =-x3 + 2 2x+ 1， f(x) + f(-x) = 2， 函数 f(x) 于点 M (0,1)中 对称， 然该正方 ABCD 中 为M， 由正方 质可知，AC⊥BD于M，且 |AM | = |BM | = |CM | = |DM |， 不妨设直线AC 方 为 y= kx+ 1(k> 0)， 直线 BD 方 为 y=- 1 k x+ 1， 设A(x1,y1)，B(x2,y2)， C(-x1,2- y1)，D(-x2,2- y2)， 立直线AC方 与函数 y= f(x) y=kx+1 y=x3-2 2x+1  ， x 3- (k+ 2 2 )x= 0， ∴ x12= k+ 2 2， x22= 2 2- 1k， |AM | = 1+k2 |x1- 0|,|BM | = 1+ 1 k2 |x2- 0|， ∴ (1+ k2) (k+ 2 2 ) = 1+ 1 k2 2 2- 1 k ， k 2+ 1 k2 + 2 2 k- 1 k = 0， k- 1 k  2 + 2 2 k- 1 k + 2= 0，∴ k- 1 k = - 2， ∴ x12x22= k+2 2  2 2- 1k = 2 2 k- 1 k + 7= 2 2 × - 2 + 7= 3， ∴ x1x2 = 3． 故 为： 3． 624. (2024· ·二模) 函数 g x = cos2x 图 上 每个点横 不变，纵 大为 2 ，再 图 右 移 π 4 函数 y= h x  图 ， 若函数 y = g x 与函数 y = h x + 1图 交于点 α,g α  ，其中 - π 2 < α < 0， sinα 为 . 【 】- 2 5 5 /- 2 5 5 【解 】由 ：h x = 2sin2x， 因为函数 y= g x 与函数 y= h x + 1图 交于点 α,g α  ， 以 2sin2α+ 1= cos2α， 4sinαcosα+ sin2α+ cos2α= cos2α- sin2α， 整 2sinα 2cosα+sinα = 0， 因为- π 2 < α< 0， 以 2cosα+ sinα= 0， 因为 sin2α+ cos2α= 1， 以 sinα=- 2 5 5 ， 故 为：- 2 5 5 625. (2024· ·二模)如图为世 《 夜》， 这 中，文森特· 高 夸 法， 绘了 充满运 变 . 设 亮可 为 1 ·269· O 一段 E，且 E 对 角为 4π 5 . 设 C C 点O与 E中点 连线 直 线上.若存 C满足： E上存 四点满足过这 四点 O 线，这四 线与 C也相 ， E上 点与 C上 点 短距离 取 围 为 .( 数 ：cos 2π 5 = 5-1 4 ) 【 】 0, 5  【解 】如图， 设 E 中点为M， E 对 角为 4π 5 ， O OM = 1， E上取两点A,B， ∠AOB≤ 4π 5 ， 过点A,B O 线， 交直线OM于点D， 过点A,B 线 好 O与 C 外 线时， AB上一定还存 点S,T， 过点S,T 线为 两 线， C C只能 线段MD上，且不 括端点， 过点C， AD,BD 线， 足为R,P， CR 为 C ， 设线段OC交 C于点N， E上 点与 C上 点 短距离 为线段MN 长 . Rt△AOD中，OD = OA  cos∠AOD = OA  cos∠AOB2 ≤ OA  cos 2π5 = 1 5-1 4 = 5+ 1， MN = OC - OM - CN = OC - 1- CR < OD - 1- 0= 5+ 1- 1= 5， E上 点与 C上 点 短距离 取 围 为 0, 5 . 故 为：0, 5 . 626. (2024·福建·模拟 )已知 物线W :y2= 2px, A -2,0 ,B 2,0 ,C 4,0 ，过 B 直线交W于M， N两点，若四边 AMCN为 ， 它 积 为 ． 【 】9 3 【解 】 知M，N 交替不 响结论，不妨令图 像如图 示以方 ， 解法一：由 质 ：△ABN∽△BCM，相 比为 AB : BC = 2， 以 yn=-2ym， 设直线MN为 x= ty+ 2，与 物线方 立， y2- 2pty- 4p= 0， 以 yn+ ym= 12 yn= 2pt，yn ⋅ ym=- 1 2 yn 2=-4p， 解 yn= 2t ，代 x= ty+ 2 xn= 4， 因为 BN = AB = 4，由勾 定 可 定 N 4,2 3 ， 可 p= y 2 n 2xn = 3 2 ,ym=- 4p yn =- 3， 以AMCN为 积为 1 2 AC ⋅ ym-yn = 1 2 × 3 3 × 6= 9 3； 解法二：(二级结论) 由 可知，点A、B 于 物线 点对称，且 MN经 过点B， ∠NAB=∠MAB，(二级结论) 因为AMCN为 ， 以AN⎳CM， ∠ACM=∠NAB，故 AM = CM ， 点M 横 为 1， 因为 BM = BC = 2， 以∠NBC= 60°， 且 BN = AB = 4， 以AMCN为 积为 1 2 AC ⋅ ym-yn = 3MN ⋅ sin∠NBC= 9 3； 故 为：9 3 . 627. (2024· 东 州·模拟 ) 1,2,⋯ ,50中 取三个数，能 公差不 于 5 差数 为 ． 【 】 3 140 【解 】 1,2,⋯ ,50中 取三个数 ：C350= ·270· 50×49×48 3×2×1 = 19600， 差为 5 差数 ：1,6,11 ，2,7,12 ，⋯⋯， 40,45,50 ， 40个； 差为 6 差数 ：1,7,13 ，2,8,14 ，⋯⋯， 38,44,50 ， 38个； ⋯⋯， 差为 24 差数 ：1,25,49 ，2,26,50 ， 2 个； 以 ：2+ 4+ 6+⋯+40= 20 2+40  2 = 420， 以能 差不 于 5 差数 为： 420 19600 = 3 140 . 故 为： 3 140 . 628. (2024 · 东 州 ·模拟 ) 直角 系 xOy中， C 方 为 x2+ y2- 8x+ 15= 0，若直 线 y= kx- 2上至 存 一点， 以该点为 ， 3为 与 C 公共点， k 为 . 【 】- 3 4 /- 0.75 【解 】 C：(x- 4)2+ y2= 1 C(4,0)， r= 1， 以直线 y= kx- 2上 点P(x0,kx0- 2)为 ，3为 与 C 点， |PC| ≤ 4， 于 (x0-4)2+(kx0-2)2≤ 4，整 (k2+ 1)x20- 4 (k+ 2)x0+ 4≤ 0， ，不 (k2+ 1)x20- 4(k+ 2)x0+ 4≤ 0 解， Δ= 16(k+ 2)2- 16(k2+ 1)≥ 0，解 k≥- 3 4 ， 以 k 为- 3 4 . 故 为：- 3 4 629. (2024·福建福州·模拟 )设Tn为数 an  n 积，若 Tn+ an=m，其中 数m> 0， a2= (结 m表示)；若数 1 Tn  为 差数 ， m= ． 【 】 2m m+2 1 2 【解 】因为Tn为数 {an} n 积，Tn+ an=m， n= 1时，T1= a1= m2 ， n= 2时，T2+ a2= a1a2+ a2= m2 a2+ a2=m， a2 = 2m m+2， n= 3时，T3+ a3= a1a2a3+ a3= m2 × 2m m+2 a3+ a3= m， a3= m(m+2) m2+m+2 ， 若数 1 Tn  为 差数 ， 2 T2 = 1 T1 + 1 T3 ， 以 2(m+2) m2 = 2 m + m 2+m+2 m3 ， 整 ，m2- 3m+ 2= 0， 解 m= 1 m= 2． 验： m= 1时，Tn+ an= 1， n≥ 2时，Tn+ Tn Tn-1 = 1， 1+ 1 Tn-1 = 1 Tn ， 1 Tn - 1 Tn-1 = 1， 故 1 Tn  为以 2为 ，1为 差 差数 ； m= 2时，Tn+ an= 2, n≥ 2时，Tn+ Tn Tn-1 = 2， 1+ 1 Tn-1 = 2 Tn ， 故 x+ 1 Tn-1 = 2 1 Tn +x ， x=-1， 1 Tn-1 - 1= 2 1 Tn -1 ， 1T1 = 1，故 1 Tn -1 为 数 ， 1 Tn = 1, 知 为 差数 . 故 为： 2m m+2；1 2． 630. (2024· 州·模拟 ) 2n+1 n∈N * 个 棱 为 1 正方 如图放 ，其中上 正方 下 点与下 正方 上 棱 中点 .设 下方正方 下 ABCD 中 为O，过O 直 线 l与 ABCD 直，以O为 点，l为对称轴 物线 y= ax2 a>0  0≤ y≤ n+ 1 部 可以 被完全放入 图 中. 若 n= 1， a 为 ；若 a 解， n 大 为 . ·271·