新高考数学选填压轴题好题汇编(三)-遇见最美的数学系列——选填压轴好题汇编

24 新高考数学选填压轴题好题汇编 (三) 一、 113. (2024· 东·一模)已知函数 h x  定义域为R，且满足 h x+1 + h x-1 = 2,h 2-x  函数， h 2 = 0，若n∈ Z， 103 n=-103 h (n) = ( ) A. 202 B. 204 C. 206 D. 208 114. (2024·高三· · 段练习)设方 2x ⋅ log2x = 1 两 为 x1，x2 x1<x2 ， ( ) A. 0< x1< 1，x2> 2 B. x1> 1x2 C. 0< x1x2< 1 D. x1+ x2> 3 115. (2024·福建·二模)已知 x 2 a2 + y 2 b2 = 1(a> b> 0)与 曲线 x 2 m2 - y 2 n2 = 1(m> 0,n> 0) 共 点F1，F2，且 一 内相交于点P， 与 曲线 离 为 e1，e2．若∠F1PF2= π3 ， e1 ⋅ e2 ( ) A. 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 3 2 116. (2024·高三· · 段练习) ：2cos40°+cos80° sin80° = ( ) A. 3 B. 3 3 C. - 3 D. - 3 3 117. (2024· 西安 ·二模)宋代 学家 敦 《太 图》《太 图说》 数 义 结 表达．《 子语类》 七五：“太 只 一个混 ， 、 柔、奇 ，无 不 ”．太 图 (如下图) 衡 、对称 致．定义：对于函数 f x ，若存 C， f x  图 能 C 积 时 ， 称 f x  C 太 函数．下 说法正 ( ) ①对于任 一个 ，其太 函数 无数个 ② f x = log 1 2 2x+1 + 1 2 x x2+ y+1 2= 1 太 函数 ③太 函数 图 中 对称图 ④存 一个 C，f x = sinx+ cosx 它 太 函数 25 A. ①④ B. ③④ C. ①③ D. ②③ 118.已知定义 [0,1]上 函数 f(x)满足： ① f(0) = f(1) = 0； ②对 x,y∈ [0,1]，且 x≠ y， f(x)- f(y) < 1 2 x-y . 若对 x,y∈ [0,1]，f(x)- f(y) < k， k 为 ( ) A. 1 2 B. 1 4 C. 1 2π D. 1 8 119. (2024·高三· 州·专 练习)已知三棱 S-ABC中，∠SAB=∠ABC= π 2 ,SB= 4,AB= 2,BC = 3，SA BC 角为 π 3 ， 该三棱 外 表 积 ( ) A. 12π B. 16π C. 24π D. 32π 120.已知 差数 an 中，a4+ a5= 2 记 bn= an+1 an-1 ，n∈N *， 数 bn  8 为 ( ) A. 0 B. 4 C. 8 D. 16 121. (2024·高三· · 段练习)若 3sinθ+ cosθ= 10， tan θ+ π 8 - 1 tan θ+ π8  为 ( ) A. - 7 B. - 14 C. 1 7 D. 2 7 122. (2024·高三· · 学 试)已知过 点O且 于 轴 直线交 x 2 a2 + y 2 b2 = 1(a> b > 0)于P,M两点，Q为OP中点，过Q x轴 线， 足为B，直线MB交 于另一点N，直线PM , PN 斜 为 k1,k2，若 k1k2=- 12 ， 离 为 ( ) A. 1 2 B. 3 3 C. 3 2 D. 6 3 123. (2024·高三· 京· 学 试)斜 为 1 2 直线 l经过 曲线 x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a> 0,b> 0) 左 点 F1，与 曲线左，右两支 交于A，B两点，以 曲线右 点F2为 经过A，B， 该 曲线 离 为 ( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 15 3 124. (2024·高三· · 段练习) 曲线C: x 2 9 - y 2 16 = 1 右支上一点P 一 ，F1，F2 为 曲线C 左、右 点，I为△PF1F2 内 ，若内 I 为 1， △PF1F2 积 于 ( ) 26 A. 24 B. 12 C. 32 3 D. 16 3 125. (2024·高三· 无 · 学 试)已知函数 f x = x-1 , x<2 2 x-3 2-1, x≥2  ，若方 f f x  = 1 2 实 个数为 ( ) A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 126. (2024· 西 ·模拟 )已知 C1: x- 3 2+ y2= r2(0< r< 4)与 C2: x+ 3 2+ y2= 4-r 2 交点 轨迹为M，过 内 点P 轨迹M 两 互相 直 线， 点P 轨迹方 为 ( ) A. x2+ y2= 5 B. x2+ y2= 4 C. x2+ y2= 3 D. x2+ y2= 5 2 127. (2024·高三· 保定· 学 试)已知A 左、右 点 为F1,F2 E: x 2 4 + y 2 3 = 1上 于左、右 点 一点，C 线段AF1 中点，O 点，过F2 AF1 行线交直线CO于B点， 四边 AF1BF2 积 大 为 ( ) A. 2 B. 3 4 C. 3 3 4 D. 3 3 2 128. (2024·高三· 西 · 学 试)已知 F1，F2 为 C : x 2 4 + y 2 3 = 1 两个 点，P为 上一 点， PF1  2+ PF2 2+ 3 PF1 PF2  大 为 ( ) A. 20 B. 16 C. 64 D. 24 129. (2024·高三· 西 · 学 试)已知 tanα tan α+ π4  =- 2 3 ， sin 2α+ π 4 = ( ) A. 2 10 B. 7 2 10 C. ± 7 2 10 D. ± 2 10 130. (2024·高三· 西· 段练习) 棱 为 4 正方 ABCD-A1B1C1D1中，E CD 中点，F CC1 上 点， 三棱 A-DEF外 为 ( ) A. 3 B. 2 3 C. 13 D. 15 131. (2024·高三· 西· 段练习)已知 e 自 对数 数，a= π 2ln π ,b= e2sin 1 e ,c= 2 ln2 ， ( ) A. a> b> c B. c> a> b C. a> c> b D. b> c> a 132. (2024·高三· · 段练习) 数字 1，2，3，4，5 五个 放入A，B，C三个盒子，每个 只能放入一个盒子，每个盒子至 放一个 .若 数字 1 2 放入 一个盒子，且A盒子 中只放一个 ， 不 放法数为 ( ) 27 A. 28 B. 24 C. 18 D. 12 二、多 133. (2024·高三· 东· 段练习)已知O为 点，点 F为 物线C :y2= 4x 点，点P 4,4 ，直线 l： x=my+ 1交 物线C于A，B两点 (不与P点 )， 以下说法正 ( ) A. FA ≥ 1 B. 存 实数m， ∠AOB< π 2 C. 若AF= 2BF， m=± 2 4 D. 若直线PA与PB 斜角互补， m=-2 134. (2024· 东·一模) 柱O1O2 下 O1 于 O 一个 内， 好 O1与 ， 柱O1O2 上 O2 始终与 O 内 相 ( O 柱O1O2内部)． 已知 O 为 3，OO1= 32．若R为上 O2 上任 一点，设RO与 柱O1O2 下 角为 α， 柱O1O2 积为V， ( ) A. α可以取 0, π 2 中 任 一个 B. V= 27π 2 cos2α 1+2sinα  C. V 可以 任 正数 D. Vmax= 81π4 135. (2024·高三· · 段练习)已知 积为 2 四棱 P-ABCD， ABCD 菱 ，AB= 2，PA= 3， 下 说法正 ( )    A. 若PA⊥ ABCD， ∠BAD为 π 6 B. 过点P PO⊥ ABCD，若AO⊥BD， BD⊥PC C. PA与 ABCD 角 为 π 6 D. 若点P仅 ABCD 一 ，且AB⊥AD， P点轨迹 为 3 3π 136. (2024·高三· · 段练习)已知函数 f x = x+1  ex-x-1 ， 下 说法正 ( ) A. f x  一零点 B. f x 无 大 C. f x  间 1,+∞ 上 D. x= 0为 f x  一个 点 137. (2024·高三· 东 · )已知函数 f x  定义域为R，且 f x+y = f x + f y + 1，f 1 = 0， ( ) A. f 0 =-1 B. f x  C. f 2024 = 2023 D. f x + 1 奇函数 28 138. (2024·高三· 东 州· ) 曲线具 以下光学 质：从 曲线 一个 点发出 光线，经 曲线 ， 光线 延 线经过 曲线 另一个 点． 此可 ，过 曲线上任 一点 线 该点与两 点连线 夹角．已知 F1,F2 为 曲线 C : x 2 3 - y2= 1 左，右 点，过 C右支上一点 A x0,y0 x0> 3  曲线 线交 x轴于点M，交 y轴于点N， ( ) A. 上点B 4,1 , AF2 + AB  为 37- 2 3 B. 直线MN 方 为 xx0- 3yy0= 3 C. 过点F1 F1H⊥AM， 足为H， OH = 2(O为 点) D. 四边 AF1NF2 积 为 4 139. (2024·高三· 州·专 练习)数 an 满足 an+1= 14 an-6  3+ 6(n= 1,2,3⋯)， ( ) A. a1= 3时，an 为 减数 ，且存 M∈R， an>M B. a1= 5时，an 为 数 ，且存 M≤ 6， an<M C. a1= 7时，an 为 减数 ，且存 M≥ 6， an>M D. a1= 9时，an  数 ，且存 M∈R， an<M 140. (2024·高三· · 段练习) 《九章 》中， 直角三角 直三棱柱被称为“ ”.如图， ABC-A1B1C1中，P BB1 中点，AA1=AC=BC= 2，若 α过点P，且与AC1 行， ( ) A. 直线AC1与CP 角 为 10 10 B. 三棱 C1-ACP 积 该“ ” 积 13 C. α 棱柱 图 为 时，该图 积 于 3 3 2 D. α 棱柱 图 为直角 时，该图 积 于 2 2 141. (2024·高三· · )已知点A(-2,0),   B(2,0),   N (0, - 2 ) 点M满足直线AM BM 斜 之积为- 1 2 ，记点M 轨迹为曲线C，过 点 直线交C于P,Q两点，点P 一 29 ，PE⊥ x轴， 足为E，连 QE 延 交C于点G， ( ) A. 曲线C 方 为：x 2 4 + y 2 2 = 1 B. △PQG为直角三角 C. △PAN 积 大 为 2 D. △PQG 积 大 为 16 9 142. (2024·高三· · 学 试)正方 A1B1C1D1-ABCD 8个 点中 4个不共 点可以 定一个四 ， 这些四 V， ( ) A. V中元 个数为 58 B. V中每个四 积 S， S中 元 个数为 2 C. V中每个四 外 O， O中只 1个元 D. V中不存 四个表 都 直角三角 四 143. (2024·高三· · 学 试)已知函数 f x = sinx+ cos2x ， 下 说法正 ( ) A. 2π f x  一个 B. f x  -2 C. 存 一实数 a∈ 0,2 ， f x+a  函数 D. f x  0,π 上 3个 大 点 144. (2024·高三· 京· 学 试)如图，该几 正方 ABCD 直线AB旋转 90° ，已知 点G CE  中点，点H DF  上 点 ( 端点)， 下 结论正 ( )    A. 不存 点H， CH⊥ BDG B. 存 点H， AHE⎳ BDG C. 存 点H， 直线EH与 BDG 角 为 7 3 D. 不存 点H， BDG与 CEH 夹角 为 1 3 145. (2024·高三· 无 · 学 试)如图， 正方 ABCD-A1B1C1D1中，E为棱BC上 点，F为棱 B1B 中点， 下 正 ( ) 30 A. 直线A1D1与直线EF相交 B. E为棱BC上 中点时， 点E AD1F 点F C. 不存 点E， 直线AD1与直线EF 角为 30° D. 三棱 E-ADF 积为定 146. (2024·全国·一模)设 a为 数，f(0) = 1 2 ,f(x+ y) = f(x)f(a- y) + f(y)f(a- x)， (    )． A. f(a) = 1 2 B. f(x) = 1 2 C. f(x+ y) = 2f(x)f(y) D. 满足 件 f(x)不止一个 147. (2024·高三· 保定· 学 试)如图， 三棱 P-ABC中，∠ACD= 60°,2AC=BC=PB=PC， PBC⊥ ABC,D BC 中点，PD= 4 3， ( ) A. 三棱 P-ABC 积为 32 3 3 B. PA与 ABC 角为 π 4 C. PA= 8 D. 三棱 P-ACD 外 表 积为 208π 3 148. (2024·高三· 保定· 学 试)已知 f x+1  奇函数，f x  图 关于直线 x=-1对称， 下 结论正 为 ( ) A. f x  为 4 函数 B. f x-5 为 函数 C. f x  图 关于点 -3,0 对称 D. f 5 = 0 149. (2024·高三· 西 · 学 试)设函数 f x  定义域为 R，且满足 f x+2 + f x = 0，f -x + f x = 0， x∈ 0,1 时，f x = xlnx， ( ) A. f x  为 4 函数 B. f 2024 = 0 31 C. f x  取 围为 - 2 e , 2 e     D. ef x  = 1 间 0, 2023 2    内 1011个实数解 150. (2024·高三· 西 · 学 试)已知函数 f x = x-1 ex+k x ，其导函数为 f  x ，且 f 1 = 1，记 g x = xf x ， 下 说法正 ( ) A. f x > 0 B. 函数 g x  为 0 C. 若函数 y= g x -m 其定义域内 两个不 零点， 实数m 取 围 0,1  D. 对任 x1,x2∈ 2,+∞ ，都 f x1+x2 2 ≤ f x1 + f x2  2 151. (2024·高三· 西· 段练习)如图， 四棱 P-ABCD中， ABCD 边 为 2 菱 ，∠DAB= 60°， PAD为正三角 ，且 PAD⊥ ABCD， ( ) A. AD⊥PB B. 棱PB上存 点M， AM⊥ PBC C. PAD与 PBC 交线 行于 ABCD D. C PBD 距离为 15 5 152. (2024·高三· 西· 段练习)已知定义域为 R 函数 f x  导函数为 f  x ，若函数 f 4x+1  f x+2  为 函数，且 f 2 =-1,f 1 = 1， ( ) A. 2023 i=1 f i =-1 B. 2024 i=1 f i =0 C. 2023 i=1 f i =2023 D. 2024 i=1 f i =0 153. (2024·高三· · 段练习)如图，已知 曲线 C : x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a> 0,b> 0) 左、右 点 为 F1 -3,0 ,F2 3,0 ，点A C上，点B y轴上，A,F2,B三点共线，若直线BF1 斜 为 3，直线AF1 斜 为- 5 3 11 ， ( ) 32 A. C 近线方 为 y=±2x B. C 离 为 3 2 C. AB = 16 D. △ABF1 积为 16 3 三、 154. (2024· ·模拟 )已知 a、b  、c、e，满足 a⊥ b  ，a = 2 b   ，c= a+ b  ，e = 1，若 a2- 6a ⋅ e+ 8= 0， c ⋅ e- 1 3 c2 大 . 155. (2024·高三· 东 泽· 学 试)已知 cos α+β =- 1 3 ，cosα+ cosβ= 1， cos α-β 2 cos α+β 2 = ， sin α+β  sinα+sinβ = . 156.某 学 学习 三角 相关知识时，发 了一个 趣 质： 角三角 三 边 对 外 三 ( ) 三角 边进行翻 ， 三 交于该三角 内部一点，且此交点为该三 角 ( 三角 三 高线 交点).如图，已知 角 △ABC外 为 2，且三 △ABC三边翻 交于点P.若AB= 3， sin∠PAC= ；若AC :AB:BC= 6:5:4， PA+PB +PC 为 . 157. (2024·高三·上 宝 · 中)如图， 一个正三角 ，不 三边； 正方 ，对这个正方 ，不 四边， 正五边 ；对这个正五边 不 五边， 正六边 ；⋯⋯，这 无 下 ， 一 无 边 线．设 n 线段与 n+ 1 线段 夹 角为 θn n∈N *,θn∈ 0,π  ， θ2022 = ． 33 158. (2024·全国·模拟 )已知 SO 母线 SA = 5， 积为 15π， SO 内 为 ；若正四 A1-B1C1D1能 SO内任 转 ， 正四 A1-B1C1D1 大棱 为 ． 159. (2024·四川资 ·模拟 )若函数 f x = ex+ cosx + a-1 x存 ， a 取 围 ． 160. (2024·高三· 东 · 中)已知四边 ABCD，Fn n∈N * 为边 BC边上一点，连 AFn交 BD于 En n∈N * ，点En满足 2 1+an EnFn  -EnC  = an+1-2 EnB  ，其中 an  为 1 正 数 ，BC  = λn ⋅BFn  ， λn  n Tn= .    161. (2024·高三· 州· 段练习)过 物线 y2= 6x 点 F 直线交 物线于A,B两点，C 物 线 准线上， ∠ACB 大 为 ；若△ACB为 边三角 ， 其边 为 . 162. (2024·高三· · 学 试)如 函数 f x  间 a,b 上为 函数， 记为 f(x) a,b ，函数 f x  间 a,b 上为减函数， 记为 f (x) a,b ．已知 x+ 4 x  m,3  ， 实数m 为 ；函数 f x = 2x3- 3ax2+ 12x+ 1，且 f(x) 1,2 ,f(x) 2,3  ， 实数 a= ． 163. (2024·高三· · 学 试)已知AB PO 直 ，C 上 一点，PC= AB= 2,AC= 3， 二 角A-PB-C 为 ． 164. (2024·高三· 京· 学 试)已知实数m，n满足 n+lnn=3 1+lnm=e2-lnm  ， mn= . 165. (2024·高三· 无 · 学 试)“曼 距离” 人 识 中 一种 要 距方 ，其定义如下：设 A x1,y1 ，B x2,y2 ， A，B两点间 曼 距离 d A,B = x1-x2 + y1-y2 ．已知M 4,6 ，点N C:x2+ y2+ 6x+ 4y= 0上运 ，若点P满足 d M ,P = 2， PN  大 为 ． 166. (2024·高三· 保定· 学 试)对于函数 f x ，若 定义域内存 实数 x，满足 f 1 x =-f x ， 称 34 f x 为“ 部 比 对称函数”.若 f x = 1 3 x3- 1 2 mx2+ m2-3 x+ 5 导函数 f x  定义 间 2,+∞ 上 “ 部 比 对称函数”， 实数m 大 与 之差为 . 167. (2024·高三· 保定· 学 试)已知 a,b  零 ，2a-b   ⊥ 2a+b   ， b  a 方 上 为-a， a ⋅b  |a|2 = ； a,b  夹角为 . 168. (2024·全国·高 )如图 四边 ABCD中，∠A=∠B=∠C= 75°，BC= 2， AB 取 围 ． 169. (2024·高三· 西· 段练习) 角△ABC 内角A 对边为 a，若△ABC 积 a2， sinA cosBcosC ． 170. (2024·高三· 西· 段练习)已知 物线E:x2= 4y与 C :x2+ y-1 2= 16 公共点为A,B， AB  = ；若P为 C AB上不 于A,B 一个 点，过点P 直于 x轴 直线 l交 物线 E于点N ,l不经过 点， △CPN 取 围 ． 171. (2024·高三· · 段练习)已知函数 f x = 2x, x≤0 2lnx x , x>0  ，g x = x 2+ 2x+ 1- 2λ,λ∈R，若关于 x 方 f g x  = λ 6个解， λ 取 围为 . ∵A1D1⊥ ABB1A1，AB1⊂ ABB1A1， ∴A1D1⊥AB1， AB1⊥A1B，A1D1∩A1B=A1， ∴AB1⊥ A1D1B， ∴BD1⊥AB1， 可证BD1⊥AC， AB1∩AC= A， ∴BD1⊥ AB1C， ∴P点 △AB1C 轨迹 以 2 63 为 ， ∵△AB1C 为 2 3 ⋅ 2 ⋅ 32 ⋅ 1 3 = 2， ∴该 一部 于三角 外， 如图 x2+ ( 2 )2= 2 6 3  2 ，解 x= 6 3 ， ∴∠HOB= π 6 ， ∴ 三角 为 长 一 ， ∴ l= 1 2 ⋅ 2π ⋅ 2 6 3 = 2 6 3 π， 故 为： 2 6 3 π. 112. (2024· 东·高三 东 实验中学 学 试)已 知 物线 y2= 2px(p> 0) 点 F为 x 2 4 + y2 3 = 1 右 点，直线 l过点 F交 物线于A,B两 点，且 AB = 8.直线 l1,l2 过点A,B且 与 x轴 行， 直线 l1,l2上 取点M ,N (M ,N 点A, B 右 )，∠ABN ∠BAM 角 线相交于点 P， △PAB 积为 . 【 】8 2 【解 】由 x2 4 + y 2 3 = 1 右焦点为 1,0 ， 以 物线 焦点为F(1,0)， 故 p 2 = 1， p= 2，因此 物线 y2= 4x， 直线 l 斜 不存 时，直线 l 方 为 x= 1， 代 物线 方 ， y=±2， 以A(1,2)，B(1, -2)， 以 |AB| = 4，不 ， 直线 l 斜 存 时，设直线 l 方 为 y= k(x- 1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)， 立 y=k(x-1) y2=4x  ， k 2x2- (2k2+ 4)x+ k2= 0， 以 x1+ x2= 2k 2+4 k2 ， 以 |AB| = x1+ p 2 + x2+ p 2 = x1+ x2+ p= 2k 2+4 k2 + 2= 4k 2+4 k2 = 8， 以 k=±1， 由对称 不妨设 k= 1， ∠AFx= 45°， 因为∠ABN ∠BAM 线相交于点P， AM⎳BN， 以PA⊥PB，∠ABN= 45°，∠ABP= 22.5°， 以 Rt△ABP中，AP = AB sin22.5° = 8sin22.5°， BP = AB cos22.5° = 8cos22.5°， 以S△ABP= 1 2 ⋅ 8sin22.5° ⋅ 8cos22.5° = 32sin22.5°8cos22.5° = 16sin45° = 8 2， 故 为：8 2． 新高 数学 轴 好 (三) 一、 113. (2024· 东·一模)已知函数 h x  定义域为R，且 满足 h x+1 + h x-1 = 2,h 2-x  函数， h 2 = 0，若n∈ Z， 103 n=-103 h (n) = ( ) A. 202 B. 204 C. 206 D. 208 【 】C 【解 】因为 h x+1 + h x-1 = 2， 以 h x+2 + h x = 2①， h x+4 + h x+2 = 2②， 由①② h x+4 = h x ， 以函数 h x  为 4， ·56· h 2-x  函数， 以 h 2+x = h(2- x)， h(x) = h(4- x) = h(-x)， 函数 h x 为 函数， 由 h x+2 + h x = 2， h 1 + h 3 = 2，h 2  + h 4 = 2，h 0 + h 2 = 2， h 2 = 0， 以 h 0 = 2，故 103 n=-103 h (n) = 2 103 n=1 h (n) + h(0) = 2× 25× 4+ h(0) + 2(h(1) + h(2) + h(3)) = 206， 故 ：C. 114. (2024·高三· · 段练习)设方 2x ⋅ log2x = 1 两 为 x1，x2 x1<x2 ， ( ) A. 0< x1< 1，x2> 2 B. x1> 1x2 C. 0< x1x2< 1 D. x1+ x2> 3 【 】C 【解 】由 ，0< x1< x2，由 2x ⋅ log2x = 1 log2x - 12  x = 0， 如图画出函数 y= log2x  y= 12  x 图 ，两个函 数 2个交点， 令 f x = log2x - 12  x x>0 ， f 1 =- 1 2 < 0， f 2 = 1- 1 4 = 3 4 > 0，f 1 2 = 1- 1 2 > 0， 由 f 1 2 ⋅ f 1 < 0，f 1 ⋅ f 2 < 0 x1∈ 1 2 ,1 ，x2 ∈ 1,2 ，故A错； 由 log2x2 - 12  x2= log2x1 - 12  x1= 0， log2x2 - log2x1 = 12  x2- 1 2  x1 ， 由 x1∈ 12 ,1 ，x2∈ 1,2 ， log2x2+ log2x1= 1 2  x2 - 1 2  x1< 0， log2x1x2< 0， 以 0< x1x2< 1，故C对，B错， 由 x1∈ 12 ,1 ，x2∈ 1,2 ， 以 x1+ x2< 3，D错误. 故 ：C 115. (2024·福建·二模)已知 x 2 a2 + y 2 b2 = 1(a> b> 0)与 曲线 x 2 m2 - y 2 n2 = 1(m> 0,n> 0) 共 点 F1，F2，且 一 内相交于点P， 与 曲线 离 为 e1，e2．若∠F1PF2= π3 ， e1 ⋅ e2 A. 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 3 2 【 】C 【解 】设 焦点为 (-c,0)，(c,0)，设 PF1 = s， PF2 = t，运用 双曲线 定义，以及三角 定 基 不 ， 可 ．设 焦点为 (-c,0)，(c,0)， 设 PF1 = s，PF2 = t， 由 双曲线 定义可 s+ t= 2a，s- t= 2m， 解 s= a+m，t= a-m， ΔPF1F2中，∠F1PF2= π3 ， 可 F1F2  2= PF1 2+ PF2 2- 2 PF1 ⋅ PF2 ⋅ cos∠F1PF2， 为 4c2= (a+m)2+ (a-m)2- (a+m) (a-m) = a2+ 3m2， a2 c2 + 3m 2 c2 = 4， 为 1 e21 + 3 e22 = 4， 由 1 e21 + 3 e22 ≥ 2 3 e21e 2 2 ， 可 e1 ⋅ e2≥ 32 ， 且仅 e2= 3e1时，取 3 2 ， 故 C． 116. ( 2024 ·高 三 · · 段 练 习 ) ： 2cos40°+cos80° sin80° = ( ) A. 3 B. 3 3 C. - 3 D. - 3 3 【 】A 【解 】 2cos40°+cos80° sin80° = 2cos 120°-80° +cos80° sin80° = 2 cos120°cos80°+sin120°sin80° +cos80° sin80° = 3sin80° sin80° = 3 . 故 ：A. ·57· 117. (2024· 西安 ·二模)宋代 学家 敦 《太 图》《太 图说》 数 义 结 表达．《 子语类》 七五：“太 只 一个混 ， 、 柔、奇 ，无 不 ”．太 图 (如下 图) 衡 、对称 致．定义：对于 函数 f x ，若存 C， f x  图 能 C 积 时 ， 称 f x  C 太 函 数．下 说法正 ( ) ①对于任 一个 ，其太 函数 无数个 ② f x = log 1 2 2x+1 + 1 2 x x2+ y+1 2= 1 太 函数 ③太 函数 图 中 对称图 ④存 一个 C，f x = sinx+ cosx 它 太 函数 A. ①④ B. ③④ C. ①③ D. ②③ 【 】A 【解 】对于①：过 直线都可以 长 积 ， 以对于任 一个 ，太 函数 无数个，故①正 对于②：f -x = log 1 2 2-x+1 - 1 2 x= log 1 2 1+2x 2x  - 1 2 x， f x - f -x = log 1 2 2x+1  2x+1 2x + x=-x+ x= 0， 以 f x  于 y轴对称，不 太 函数，故②错误； 对于③：中 对称图 定 太 函数，对称点 为 ． 太 函数只 长 积，不一定 中 对称图 ，故③错误； 对于④：曲线 f x = sinx+ cosx= 2sin x+ π 4 存 对称中 ， 以 某 太 函数，故④正 ． 故 ：A． 118.已知定义 [0,1]上 函数 f(x)满足： ① f(0) = f(1) = 0； ②对 x,y∈ [0,1]，且 x≠ y， f(x)- f(y) < 1 2 x-y . 若对 x,y∈ [0,1]，f(x)- f(y) < k， k 为 A. 1 2 B. 1 4 C. 1 2π D. 1 8 【 】B 【解 】不妨令 0≤ x< y≤ 1， f x - f y  < 1 2 x-y  法一：2 f x - f y  = f x - f 0 + f x - f y - f y - f 1    ≤ f x - f 0  + f x - f y  + f y - f 1   < 1 2 x-0 + 1 2 x-y + 1 2 y-1 = 1 2 x+ 1 2 y-x + 1 2 y-1 = 1 2 ， f x - f y  < 1 4 ， 另一方 ， u∈ 0, 1 2 时，f x = { ux ,0≤x≤ 1 2 -u 1-x , 1 2 <x≤1 ， ， u→ 1 2 时，f 1 2 - f 0  = u 2 → 1 4 ， 故 k≤ 1 4 法二： x- y≤ 1 2 时，f x - f y  < 1 2 x-y ≤ 1 4 ， x- y> 1 2 时，f x - f y  = f x - f 0  - f y - f 1    ≤ f x - f 1  + f y - f 0   < 1 2 x-1 + 1 2 y-0 = 1 2 1-x + 1 2 y= 1 2 + 1 2 y-x < 1 4 ， 故 k≤ 1 4 点：1. 函数问 ；2.绝对 不 . 119. (2024·高三· 州·专 练习)已知三棱 S- ABC中，∠SAB=∠ABC= π 2 ,SB= 4,AB= 2,BC = 3，SA BC 角为 π 3 ， 该三棱 外 表 积 ( ) A. 12π B. 16π C. 24π D. 32π 【 】B 【解 】 三棱锥S-ABC放 长方 ABCD- ·58· EFGH中，S 棱EH上 ， 以A为 点，AB,AD,AE 直线 为 x,y,z轴 建立如图 示 间直角 系： 由 ∠SAB=∠ABC= π 2 ,SB= 4,AB= 2,BC= 3， 以SA= 16-4= 2 3， 因为SA BC 角为 π 3 ，AD⎳BC， 以AE= 2 3sin π 3 = 3,ES= 2 3cos π 3 = 3， 三角 外 为AC中点O1，设 O ABC 距离为 h， A 0,0,0 ,B 2,0,0 ,C 2, 3,0 ,S 0, 3,3 , O1 1, 32 ,0 ,O 1, 3 2 ,h ， 以OA  = -1,- 3 2 ,-h ,OS  = -1, 3 2 ,3-h ， 由 OA   = OS   =R⇒R2= 34 + 1+ h 2= 3 4 + 1+ 3-h 2， 解 h= 3 2 ,R2= 4，从 S= 4πR2= 16π， 该三棱锥外 表 积 16π. 故 ：B. 120.已知 差数 an 中，a4+ a5= 2 记 bn= an+1 an-1 ， n∈N *， 数 bn  8 为 ( ) A. 0 B. 4 C. 8 D. 16 【 】C 【解 】由 差数 质 an+ a9-n= a4+ a5 bn= an+1 an-1 = an-1+2 an-1 = 1+ 2 an-1 , 设 cn= 2an-1 ， 1≤n≤ 8，n∈N *时， cn+ c9-n= 2an-1 + 2 a9-n-1 = 2 ⋅ an+a9-n-2 an-1 a9-n-1  = 2 ⋅ a4+a5-2 an-1 a9-n-1  = 0, 故 b1+ b2+ b3+⋯+b8 = 1+ 2 a1-1 + 1+ 2 a2-1 +⋯+1+ 2 a8-1 = 8+ c1+ c2+⋯+c8 = 8+ c1+c8 + c2+c7 + c3+c6 + c4+c5 = 8 故 ：C 121. (2024 ·高三 · · 段练习)若 3sinθ + cosθ = 10， tan θ+ π 8 - 1 tan θ+ π8  为 ( ) A. - 7 B. - 14 C. 1 7 D. 2 7 【 】B 【解 】一方 由 3sinθ+ cosθ= 10，且注 sin2θ+ cos2θ= 1， 立 10sin2θ- 6 10sinθ+ 9= 0，解 sinθ= 3 10 10 ,cosθ= 10 10 ， 以 tanθ= sinθ cosθ = 3， 另一方 不妨设 x= tan π 8 > 0，且 tan π 4 = 1= 2tan π8 1-tan2 π8 ， 以 x2+ 2x- 1= 0，解 x=-1+ 2 x=-1- 2 ( )， x= tan π 8 =-1+ 2， 由两角 正 tan θ+ π 8 = tanθ+x 1-x ⋅tanθ = 3+ -1+ 2  1-3 -1+ 2  = 2+ 2 × 4+3 2  4-3 2 × 4+3 2  = - 7+5 2 ， 以 tan θ+ π 8 - 1 tan θ+ π8  =- 7+5 2 + 1 7+5 2  =- 7+5 2 + 7-5 2 7+5 2 × 7-5 2  =-7- 5 2+ 5 2- 7=-14. 故 ：B. 122. (2024·高三· · 学 试)已知过 点 O且 于 轴 直线交 x 2 a2 + y 2 b2 = 1(a> b > 0)于 P,M两点，Q为 OP中点，过 Q x轴 线， 足为 B，直线MB交 于另一点 N，直线 PM ,PN 斜 为 k1,k2，若 k1k2=- 12 ， 离 为 ( ) A. 1 2 B. 3 3 C. 3 2 D. 6 3 【 】D 【解 】如图 示： ·59· 设P m,n ， M -m,-n ,Q m 2 , n 2 ,B m 2 ,0 ， kMN ⋅ kPN= yN+n xN+m ⋅ yN-n xN-m = y 2 N-n2 x2N-m2 = b2 a2 a2-x2N - b 2 a2 a2-m2  x2N-m2 =- b 2 a2 ， 因为 kPM ⋅ kPN=- 1 2 ， 以 kPM kMN = n m n m 2 +m = 3 2 = a 2 2b2 ，解 b2 a2 = 1 3 ， 以 离 为 e= c a = 1- b 2 a2 = 6 3 . 故 ：D. 123. (2024·高三· 京· 学 试)斜 为 1 2 直线 l经过 曲线 x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a> 0,b> 0) 左 点 F1，与 曲线左，右两支 交于A，B两点，以 曲 线右 点 F2为 经过A，B， 该 曲线 离 为 ( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 15 3 【 】D 【解 】取AB 中点M，连 MF2， 由 可知：AF2 = BF2 ， MF2⊥AB， 设 AF1 =m> 0， AF2 - AF1 = 2a， BF2 = AF2 =m+ 2a， 因为 BF1 - BF2 = 2a， BF1 = BF2 + 2a=m+ 4a， 可 AM = 1 2 AB = 2a，MF1 = AF2 =m+ 2a， 因为直线AB 斜 为 1 2 ， tan∠AF1F2= 12 ，且 ∠AF2F1为锐角， sin∠AF1F2 cos∠AF1F2 = 12 sin2∠AF1F2+cos2∠AF1F2=1  ，可 sin∠AF1F2= 55 cos∠AF1F2= 2 55  sin∠AF1F2=- 55 cos∠AF1F2=- 2 55  ( )， MF2 = F1F2 sin∠AF1F2= 2 5c5 ,MF1 = F1F2 cos∠AF1F2= 4 5c5 ， 且 MF2  2+ AM 2= AF2 2， 4a2+ 2 5c5  2 = 4 5c 5  2 ，整 c2= 5 3 a2， 以双曲线 离 e= c 2 a2 = 15 3 . 故 ：D. 124. (2024·高三· · 段练习) 曲线 C : x 2 9 - y2 16 = 1 右支上一点P 一 ，F1，F2 为 曲线C 左、右 点，I为△PF1F2 内 ，若内 I 为 1， △PF1F2 积 于 ( ) A. 24 B. 12 C. 32 3 D. 16 3 【 】C 【解 】由双曲线C: x 2 9 - y 2 16 = 1 a= 3，b= 4，c= 5， 设 与三角 三边相 于点M ,N ,Q, PF1 - PF2 = PM + MF1 - QF2 - PQ = MF1 - QF2 = NF1 - NF2 = 2a， NF1 + NF2 = 2c， 以 NF1 = a+ c= 8, NF2 = c- a= 2， 因此 IN⊥ x轴，因此 NF1 = a+ c= 8, NF2 = c- a= 2, IN = 1,I(3,1)， tan∠IF1N= IN  NF1  = 1 8 ,tan∠IF2N= IN  NF2  = 1 2 , 以 tan 1 2 ∠F2PF1= tan π2 -∠IF1N-∠IF2N = sin π2 -∠IF1N-∠IF2N  cos π2 -∠IF1N-∠IF2N  = 1 tan ∠IF1N+∠IF2N  = 1- 12 × 1 8 1 2 + 1 8 = 3 2 = IM  PM  PM = 2 3 , ∴ PF1 = 23 + 8= 26 3 , 因此 PF2 = PF1 - 2a= 83 ,故三角 积为 1 2 PF1 + PF2 + F1F2  × 1= 323 ． ·60· 故 ：C 125. (2024·高三· 无 · 学 试)已知函数 f x = x-1 , x<2 2 x-3 2-1, x≥2  ，若方 f f x  = 1 2 实 个数为 ( ) A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 【 】C 【解 】因为 f x = x-1 , x<2 2 x-3 2-1, x≥2  ， f 1 2 = 1 2 ，f 3 2 = 1 2 ，f 2 = 1，f 4 = 1， 令 2 x-3 2-1= 12 x≥2  ，解 x= 3- 3 2 x= 3+ 3 2 ， 一 直角 系中画出 y= f x 与 y= 1 2 图 ， 由图 观察可知 y= f x 与 y= 1 2 4个交点，不妨 设为 x1,x2,x3,x4且 x1< x2< x3< x4， 0< x1= 12 < 1< x2= 3 2 < 2< x3< 3< x4< 4， f f x  = 1 2 时，由 f x = x1，0< x1= 12 < 1， 存 4个不 实 ， 由 f x = x2，1< x2= 32 < 2， 存 2个不 实 ， 由 f x = x3，2< x3< 3， 存 2个不 实 ， 由 f x = x4，3< x4< 4， 存 2个不 实 ， 综上 f f x  = 1 2 实 个数为 10． 故 ：C 126. (2024· 西 ·模拟 )已知 C1: x- 3 2+ y2= r2(0< r< 4)与 C2: x+ 3 2+ y2= 4-r 2 交点 轨迹为M，过 内 点 P 轨迹M 两 互相 直 线， 点P 轨迹方 为 ( ) A. x2+ y2= 5 B. x2+ y2= 4 C. x2+ y2= 3 D. x2+ y2= 5 2 【 】A 【解 】 C1: x- 3 2+ y2= r2(0< r< 4) C1 3,0 ， C2: x+ 3 2+ y2= 4-r 2 C2 - 3,0 ， 设两 交点为N x,y ， 由 知 NC1 = r，NC2 = 4- r， 以 NC1 + NC2 = 4， 由于 C1C2 = 2 3， 以由 定义知，交点N 以 C1 3,0 、C2 - 3,0 为焦点 ， 且 c= 3，a= 2， b= a2-c2= 1， 以轨迹M 方 为 x2 4 + y2= 1， 设点P x0,y0 ， 线斜 存 且不为 0时，设 线方 为：y- y0= k x-x0 ， 立 y-y0=k x-x0  x2 4 +y 2=1  ， y 4k 2+1 x2+ 8 y0-kx0 kx+ 4 y0-kx0 2- 4= 0， Δ= 64 y0-kx0 2k2- 4× 4k2+1 4 y0-kx0 2-4  = 0， 4-x20 k2+ 2x0y0k+ 1- y20= 0，由于 k1k2=-1， 由 与系数 系知 1-y20 4-x20 =-1， x20+ y20= 5． 线斜 不存 为 0时，点P 为 2,1 ， -2,1 ，-2,-1 ，2,-1 ，满足方 x20+ y20= 5， ·61· 故 轨迹方 为 x2+ y2= 5． 故 ：A． 127. (2024·高三· 保定· 学 试)已知A 左、右 点 为 F1,F2 E: x 2 4 + y 2 3 = 1上 于左、右 点 一点，C 线段AF1 中点，O 点， 过 F2 AF1 行线交直线CO于B点， 四边 AF1BF2 积 大 为 ( ) A. 2 B. 3 4 C. 3 3 4 D. 3 3 2 【 】D 【解 】 如图，因为C为线段AF1 中点，O为F1F2中点， 以 OC为△AF1F2中 线， OC⎳AF2,OC= 12 AF2， 因为BF2⎳AF1， 以四边 ACBF2为 行四边 ，OC=OB， 由几 系 S△BF2O=S△BF1O=S△CF1O= 1 4 S△AF1F2， 设S△BF2O=S， S△AF1F2= 4S,SAF1BF2= 6S,SAF1BF2= 3 2 S△AF1F2， S△AF1F2= 1 2 F2F1 ⋅ yA ， 且仅 yA = b= 3时， S△AF1F2 max= 1 2 × 2× 3= 3， 以SAF1BF2= 3 2 3 . 故 ：D 128. (2024·高三· 西 · 学 试)已知F1，F2 为 C : x 2 4 + y 2 3 = 1 两个 点，P为 上一点， PF1  2+ PF2 2+ 3 PF1 PF2  大 为 ( ) A. 20 B. 16 C. 64 D. 24 【 】A 【解 】由 定义可知 PF1 + PF2 = 4， ∴ PF1 2+ PF2 2= 16- 2 PF1 PF2 ， ∴ PF1 2+ PF2 2+ 3 PF1 PF2 = 16- 2 PF1 PF2 + 3 PF1 PF2  = 16+ PF1 PF2 ≤ 16+ PF1 + PF2  2  2 = 20， 且仅 PF1 = PF2 = 2时 号 立， 故 ：A. 129. (2024·高三· 西 · 学 试)已知 tanα tan α+ π4  =- 2 3 ， sin 2α+ π 4 = ( ) A. 2 10 B. 7 2 10 C. ± 7 2 10 D. ± 2 10 【 】A 【解 】由于 tanα tan α+ π4  =- 2 3 ， tanα=- 2 3 tan α+ π 4 =- 2 3 ⋅ tanα+tan π4 1-tanαtan π4 = - 2 3 tanα+1 1-tanα， 解 tanα=- 1 3 tanα= 2， sin 2α+ π 4 = 2 2 sin2α+cos2α = 2 2 2sinαcosα+2cos2α-1 = 2 sinαcosα+cos 2α sin2α+cos2α - 2 2 = 2 tanα+1 tan2α+1 - 2 2 ， tanα=- 1 3 代 可 ：sin 2α+ π 4 = 2 10 . tanα= 2代 可 ：sin 2α+ π 4 = 2 10 . 故 ：A. 130. (2024·高三· 西· 段练习) 棱 为 4 正方 ABCD-A1B1C1D1中，E CD 中点，F CC1 上 点， 三棱 A-DEF外 为 ( ) A. 3 B. 2 3 C. 13 D. 15 【 】C 【解 】连 AE，取AE 中点G，可知G为△ADE ·62· 外 ， 过G ABCD 线，可知三棱锥A-DEF外 O 该 线上， 设GO=n,CF=m∈ 0,4 ， 以D为 点，DA,DC,DD1 为 x,y,z轴，建立 间直角 系， D 0,0,0 ,A 4,0,0 ,E 0,2,0 ,G 2,1,0 ,O 2,1,n , F 0,4,m ， 因为OD=OF， 4+1+n2= 4+9+ m-n 2， 整 n= m 2 + 4 m ≥ 2 m 2 ⋅ 4 m = 2 2， 且仅 m 2 = 4 m ， m= 2 2时， 号 立， 以三棱锥A-DEF外 为 4+1+8= 13 . 故 ：C. 131. (2024·高三· 西· 段练习)已知 e 自 对数 数，a= π 2ln π ,b= e2sin 1 e ,c= 2 ln2 ， ( ) A. a> b> c B. c> a> b C. a> c> b D. b> c> a 【 】B 【解 】 建 f x = x lnx ,x> e， f x = lnx-1 lnx 2 > 0 e,+∞  立， 可知 f x  e,+∞  ， 因为 a= π 2ln π = π lnπ ,c= 2 ln2 = 4 ln4 ， 可知 f 4 > f π > f e = e， c> a> e； 建 g x = x- sinx,x> 0， g x = 1- cosx≥ 0 0,+∞  立， 可知 g x  0,+∞  ， g x > g 0 = 0， x> sinx,x> 0， 可 1 e > sin 1 e ，且 e> 0， e> e2 ⋅ sin 1 e ， e> b； 综上 述：c> a> b. 故 ：B. 132. (2024·高三· · 段练习) 数字 1，2， 3，4，5 五个 放入A，B，C三个盒子，每个 只能放入一个盒子，每个盒子至 放一个 . 若 数字 1 2 放入 一个盒子，且A盒 子中只放一个 ， 不 放法数为 ( ) A. 28 B. 24 C. 18 D. 12 【 】C 【解 】 一种 ， 五个 1，1，3 为三组， 安 方法 C13C 1 2A 2 2= 12种； 二种 ， 五个 1，2，2 为三组， 安 方法 C13C 1 2= 6种. 不 放法数为 18. 故 ：C. 二、多 133. (2024·高三· 东· 段练习)已知O为 点， 点F为 物线C :y2= 4x 点，点P 4,4 ，直线 l： x=my+ 1交 物线 C于A，B两点 (不与 P点 )， 以下说法正 ( ) A. FA ≥ 1 B. 存 实数m， ∠AOB< π 2 C. 若AF= 2BF， m=± 2 4 D. 若直线PA与PB 斜角互补， m=-2 【 】CD 【解 】由 可知， 物线焦点为F(1,0)， 线方 为 x=-1， 直线 x=my+ 1 过F(1,0)，如下图 示： 设A(x1,y1),B(x2,y2)， AA1 直于 线 x=-1， 足 为A1， 物线定义可知，FA = AA1 = x1+ 1， 知 x1 ≥ 0， 以 FA = x1+ 1≥ 1， FA = 1时，此时A与 点重 ，直线与 物 线仅 一个交点，因此 FA ≠ 1， 以 FA > 1， A错误； 立直线 x=my+ 1 物线C:y2= 4x方 y2- ·63· 4my- 4= 0； 以 y1y2=-4，x1x2= y1 2 4 ⋅ y2 2 4 = 1， 此时OA  ∙OB  = OA   OB   cos∠AOB= x1x2+ y1y2= -3< 0， 以 cos∠AOB< 0， ∠AOB> π 2 ， 以不存 实数m， ∠AOB< π 2 ，故B错误； 若AF= 2FB，由几 系可 y1=-2y2，结 y1y2= -4，可 y2= 2 y2=- 2， B 12 , 2  B 1 2 ,- 2 ， B点 代 直线方 可 m=± 2 4 ， 以C正 ； 若直线PA与PB 斜角互补， kPA+ kPB= 0， y1-4 x1-4 + y2-4 x2-4 = 0，整 2my1y2- (4m+ 3) (y1 + y2) + 24= 0， 代 y1y2=-4，y1+ y2= 4m解 m=-2 m= 34 ， m= 3 4 时，直线过点P 4,4 ，A与P点重 ，不 ， 以m=-2； D正 . 故 ：CD 134. (2024· 东·一模) 柱O1O2 下 O1 于 O 一个 内， 好 O1与 ， 柱O1O2 上 O2 始 终与 O 内 相 ( O 柱O1O2内部)． 已知 O 为 3，OO1= 32．若R为上 O2 上任 一点，设 RO与 柱O1O2 下 角为 α， 柱O1O2 积为V， ( ) A. α可以取 0, π 2 中 任 一个 B. V= 27π 2 cos2α 1+2sinα  C. V 可以 任 正数 D. Vmax= 81π4 【 】BD 【解 】 过R 柱O1O2 轴 PQRS，过O MN⊥ O1O2交 柱轴 边于M，N， 由RO与 柱 下 角为 α， OM= 3cosα, MR= 3sinα， 以V= π ⋅OM 2 ⋅QR= π ⋅ (3cosα) 2 OO1+3sinα = 27π2 cos 2α(1+ 2sinα)， V= 27π 2 cos2α(1+ 2sinα) = 27π 2 1-sin2α ⋅ (1+ 2sinα)，故B正 ； 点P，Q 上时，角 α取 ，此时OO1 =OO2= 32 ， 以 α= π 6 ， 以 a∈ π 6 , π 2   ，故A错误； 令 sina= t∈ 1 2 ,1 ， 以V= 27π2 1-t 2 (1+ 2t) = 27π 2 -2t3-t2+2t+1 ， 以V= 27π 2 -6t2-2t+2 ，另-6t2- 2t+ 2= 0， 解 两 t1= -1- 132 ,t2= -1+ 13 2 ， 以V= 27π 2 -6t2- 2t+ 2)≤ 27π2 × -6× 1 2  2 -2× 1 2 +2  =- 27π 4 < 0， 以V= 27π 2 -2t3-t2+2t+1  t∈ 12 ,1   时 减， 以Vmax= 27π2 × -2 ⋅ 1 2  3 - 1 2  2 +2× 1 2 +1 = 81π 4 ，故D正 ，C错误； 故 ：BD． 135. (2024·高三· · 段练习)已知 积为 2 四棱 P-ABCD， ABCD 菱 ，AB= 2，PA= 3， 下 说法正 ( )    A. 若PA⊥ ABCD， ∠BAD为 π 6 ·64· B. 过点P PO⊥ ABCD，若AO⊥BD， BD⊥PC C. PA与 ABCD 角 为 π 6 D. 若点P仅 ABCD 一 ，且AB⊥AD， P点轨迹 为 3 3π 【 】BCD 【解 】设P 距离为 h， VP-ABCD= 1 3 SABCD ⋅ h= 1 3 AB ⋅ADsin∠BAD ⋅ h= 4 3 hsin∠BAD= 2， PA⊥ ABCD时，h=PA= 3， sin∠BAD = 1 2 ， ∠BAD为 π 6 5π 6 ，A错误； 如图 1，若PO⊥ ABCD，BD⊂ ABCD， PO⊥BD， AO⊥BD， PO∩AO=O,PO,AO⊂ PAO， BD⊥ PAO，PA⊂ PAO,故BD⊥PA， BD⊥AC， PA∩AC=A,PA,AC⊂ PAC, 以BD⊥ PAC，PC⊂ PAC,BD⊥PC， B正 ； 设PA与 ABCD 角为 θ， VP-ABCD= 1 3 SABCDh= 1 3 SABCDPAsinθ= 2， sinθ= 2 SABCD ，因为SABCD= 4sin∠BAD≤ 4， sinθ≥ 1 2 ， 由于 θ∈ 0, π 2 ， 以 θ∈ π 6 , π 2     PA与 ABCD 角 为 π 6 ，C正 ； 如图 2， AB⊥AD， VP-ABCD= 1 3 SABCDh= 2， h= 3 2 ， P点 ABCD 距离为 3 2 ，过A点 ABCD 线为 l，过点P PO⊥ l交 l于点 O， PO= AP2-AO2= 32- 3 2  2 = 3 3 2 ，点P 轨迹 以O为 ，3 3 2 为 ，轨迹长 为 3 3π，D正 . 故 ：BCD 136. (2024·高三· · 段练习)已知函数 f x = x+1  ex-x-1 ， 下 说法正 A. f x  一零点 B. f x 无 大 C. f x  间 1,+∞ 上 D. x= 0为 f x  一个 点 【 】BCD 【解 】对于A， ，f -1 = f 0 = 0， x=-1 x= 0 函数 f x = x+1  ex-x-1  零点，A 错误； 对于B， x> 0时，令u x = ex- x- 1， 导 u x = ex- 1> 0，函数u x  0,+∞ 上 ， x ≥ 2时，u x ≥ e2- 3> 1， y= x+ 1 0,+∞ 上 ， 域为 1,+∞ ， 因此 x≥ 2时，f x > x+ 1， f x 无 大 ，B正 ； 对于C，f x = x+2 ex- 2x- 2， 令 g x = x+2 ex- 2x- 2， 导 g x = x+3 ex - 2， x> 0时，令 h x = x+3 ex- 2， h x = x+4 ex> 0， g x = h x  0,+∞ 上 ， g x > g 0 = 1> 0， f x = g x  0,+∞ 上 ，f x > f 0 = 0， 因此 f x  0,+∞ 上 ， f x  1,+∞ 上 ，C正 ； 对于D， -1< x< 0时，φ x = ex- 2x+2 x+2 ， 导 φ x = ex- 2 (x+2)2 ， 然函数 φ x  -1,0 上 ， φ -1 = 1 e - 2< 0,φ 0 = 1 2 > 0， 存 x0∈ -1,0 ， φ x0 = 0， x∈ x0,0 时，φ x > 0，函数 φ x  x0,0 上 ， φ x < φ 0 = 0， x∈ x0,0 时，ex< 2x+2x+2 ， f  x = x+2 ex - 2x- 2< 0， f 0 = 0， 因此 x= 0为 f x  一个 点，D正 . ·65· 故 ：BCD 137. (2024·高三· 东 · )已知函数 f x  定义 域为R，且 f x+y = f x + f y + 1，f 1 = 0， ( ) A. f 0 =-1 B. f x  C. f 2024 = 2023 D. f x + 1 奇函数 【 】ACD 【解 】对于A中，令 x= y= 0，可 f 0 =-1， 以 A正 ； 对于B中，令 x= x1,y= x2- x1，且 x1< x2， f x1+x2-x1 = f x1 + f x2-x1 + 1， 可 f x2 - f x1 = f x2-x1 + 1， 若 x> 0时，f x >-1时，f x2 - f x1 > 0，此时函 数 f x 为 函数； 若 x> 0时，f x <-1时，f x2 - f x1 < 0，此时函 数 f x 为 减函数， 以函数 f x 不一定 ， 以B错误； 对于C中，令 y= 1，可 f x+1 = f x + f 1 + 1= f x + 1， f x+1 - f x = 1， 以 f 2 - f 1 = 1，f 3 - f 2 = 1，⋯ ，f 2024 - f 2023 = 1， 相 f 2024 - f 1 = 2023， 以 f 2024 = f 1 + 2023= 2023， 以C正 ； 对于D中，令 y=-x，可 f 0 = f x + f -x + 1， 可 f x + 1+ f -x + 1= 0， f -x + 1=- f x +1 ， 以函数 f x + 1 奇函 数， 以D正 ； 故 ：ACD. 138. (2024·高三· 东 州· ) 曲线具 以下光学 质：从 曲线 一个 点发出 光线，经 曲线 ， 光线 延 线经过 曲线 另一 个 点． 此可 ，过 曲线上任 一点 线 该点与两 点连线 夹角．已知 F1,F2 为 曲线C : x 2 3 - y2= 1 左，右 点，过C右支上一点 A x0,y0 x0> 3  曲线 线交 x轴于点M， 交 y轴于点N， ( ) A. 上点B 4,1 , AF2 + AB  为 37 - 2 3 B. 直线MN 方 为 xx0- 3yy0= 3 C. 过点F1 F1H⊥AM， 足为H， OH = 2(O 为 点) D. 四边 AF1NF2 积 为 4 【 】ABD 【解 】对于A，由双曲线定义 AF1 - AF2 = 2a= 2 3，且F1 -2,0 ， AF2 + AB = AF1 + AB - 2 3≥ BF1 - 2 3 = 4- -2  2+1- 2 3= 37- 2 3， 以 AF2 + AB  为 37- 2 3 .故A正 ； 对于B，设直线MN 方 为 y- y0= k x-x0 ，k≠ ± 3 3 ， 立方 组 y-y0=k x-x0  x2-3y2=3  ， y整 ， 1-3k2 x2+ 6k2x0-6ky0 x- 3k2x20+ 6kx0y0- 3y20- 3= 0， ∴Δ= 0， 整 9y20k2- 6x0y0k+ x20= 0，解 k= x0 3y0 ， 可 直线MN 方 为 y- y0= x0 3y0 x-x0 ， x0x- 3y0y= 3，故B正 ； 对于C，由双曲线 学 质可知，AM ∠F1AF2， 延长F1H与AF2 延长线交于点E， AH 直 F1E， AF1 = AE ，H为F1E 中 点， O F1F2中点， 以 OH = 12 F2E = 1 2 AE - AF2  = 12 AF1 - AF2  = a= 3，故C错 误； 对于D，由直线MN 方 为 x0x- 3y0y= 3，令 x= 0， y=- 1 y0 ， N 0,- 1 y0 ， SAF1NF2=S△AF1F2+S△NF1F2= 1 2 × F1F2 × y0 + 1 y0  ≥ 1 2 × 4× 2 y0 ⋅ 1y0  = 4， 且仅 y0 = 1 y0  ， y0=±1时 号 立， 以四边 AF1NF2 积 为 4，故D 正 . 故 ：ABD. ·66· . 139. (2024·高三· 州·专 练习)数 an 满足 an+1= 14 an-6  3+ 6(n= 1,2,3⋯)， ( ) A. a1= 3时，an 为 减数 ，且存 M∈R， an>M B. a1= 5时，an 为 数 ，且存 M≤ 6， an<M C. a1= 7时，an 为 减数 ，且存 M≥ 6， an>M D. a1= 9时，an  数 ，且存 M∈R， an<M 【 】BC 【解 】由 可知 an+1- 6= 14 an-6  3， ∴ a2- 6= 14 a1-6  3,a3- 6= 14 a2-6  3= 1 4 1 4 a1-6 3   3 = 1 4 × 1 43 × a1-6 3 2 ， 纳 想：an- 6= 1 41+3+3 2+⋯+3n-2 a1-6 3 n-1 = 1 4 1-3n-1 1-3 a1-6 3 n-1 = 2 23 n-1 a1-6 3 n-1 ， A： a1= 3时，an- 6=-2× 32  3n-1 ， an 为 减 数 ，无边界，故A错误； B： a1= 5时，an- 6=-2× 12  3n-1 ， an 为 数 ， 边界， 由 数函数 可知， n→∞时，an→ 6，故存 M≤ 6， an<M 立，故B正 ； C： a1= 7时，an- 6= 2× 12  3n-1 ， an 为 减数 ， 边界， 由 数函数 可知， n→∞时，an→ 6，故存 M≥ 6， an>M 立，故C正 ； D： a1= 9时，an- 6= 2× 32  3n-1 ， an 为 数 ，无边界，故D错误； 故 ：BC. 140. (2024·高三· · 段练习) 《九章 》中， 直角三角 直三棱柱被称为“ ”.如图， ABC - A1B1C1中，P BB1 中点，AA1= AC= BC= 2，若 α过点 P，且与AC1 行， ( ) A. 直线AC1与CP 角 为 10 10 B. 三棱 C1-ACP 积 该“ ” 积 13 C. α 棱柱 图 为 时，该图 积 于 3 3 2 D. α 棱柱 图 为直角 时，该图 积 于 2 2 【 】ABC 【解 】对于A，由 可知AC,CB,CC1两两 直，如图 建立 间直角 系， A 2,0,0 ,C1 0,0,2 ,C 0,0,0 ,P 0,2,1 ， 以AC1  = -2,0,2 ,CP  = 0,2,1 ， 以 cos AC1  ,CP   = AC1  ⋅CP  AC1   ⋅ CP    = 2 8 ⋅ 5 = 10 10 ， 以 直线AC1与CP 角 为 10 10 ，故 A正 ； 对于B，VC1-ACP=VP-C1CA= 1 3 S△C1CA× 2= 4 3 ， VABC-A1B1C1= 1 2 × 2× 2× 2= 4， 以B正 ； 对于C，如图，E，F，G 为AA1,A1C1,C1B1 中 点， EF⎳AC1，FG⎳A1B1,FG= 12 A1B1，A1B1⎳PE, A1B1=PE，EF=FG=GP= 2，PE= 2 2， ·67· 以FG⎳PE,FG= 1 2 PE，P,E,F,G ， EF⎳AC1，AC1⊄ PEFG，EF⊂ PEFG， 以AC1⎳ PEFG， 四边 PEFG为 α 棱柱 图 ， 以四边 PEFG ，且高为 6 2 ， E不 AA1中点时，PE不 行 A1B1C1， 四边 不 ， 且仅 一个，SPEFG= 1 2 × 2+2 2 × 6 2 = 3 3 2 ， 以C正 ； 对于D，如图，Q,R,S 为AB,AC,CC1 中点， RS⎳AC1，QR⎳BC,QR= 12 BC，BC⎳PS,BC =PS，QR= 1,RS= 2 ,PS= 2， 以QR⎳PS,QR= 1 2 PS， 可 四边 PQRS为 α 棱柱 图 ， 由 可知CB⊥AC,CB⊥CC1,AC∩CC1=C,AC⊂ ACC1A1，CC1⊂ ACC1A1， 以BC⊥ ACC1A1， 以PS⊥ ACC1A1， RS⊂ ACC1A1， 以PS⊥RS， 故四边 PQRS 直角 ， S不 CC1中点时， PS不 行 ABC， 四边 不 ，直角 且仅 一个， 积 为S= 1 2 × 1+2 × 2= 3 2 2，故D错误. 故 ：ABC. 141. (2024·高三· · )已知点A(-2,0),     B(2,0),     N (0, - 2 ) 点M满足直线AM BM 斜 之积为- 1 2 ，记点M 轨迹为曲线C，过 点 直线交 C于 P,Q两点，点 P 一 ，PE⊥ x轴， 足为 E，连 QE 延 交 C于 点G， ( ) A. 曲线C 方 为：x 2 4 + y 2 2 = 1 B. △PQG为直角三角 C. △PAN 积 大 为 2 D. △PQG 积 大 为 16 9 【 】BD 【解 】对A：设M (x,y)， y x+2 ⋅ y x-2 =- 1 2 ， ： x2 4 + y 2 2 = 1(x≠±2)，故A错误； 对B：设P x0,y0 ，G x1,y1 ，Q -x0,-y0 ,   E x0,0 ， kPQ= y0 x0 = k> 0，kQE= y0 2x0 = k 2 ， kQGkGP= y1+y0 x1+x0 ⋅ y1-y0 x1-x0 = y 2 1-y20 x21-x20 ， ∵ x 2 1 4 + y 2 1 2 = 1，x 2 0 4 + y 2 0 2 = 1，∴ kQGkGP= 2- x 2 1 2 - 2- x20 2  x21-x20 =- 1 2 = k 2 kGP， kGP=- 1 k ， kGP ⋅ kPQ=-1,     ∠QPG= 90°，故B 正 ； 对C：与直线AN 行且与曲线C相 且 点 一 线方 为 y=- 2 2 x+m m>0 ， 立 y=- 22 x+m x2 4 + y2 2 =1  x 2- 2mx+m2- 2= 0，由Δ = 2m2- 4 m2-2 = 0 m= 2， ∴ 线为 y=- 2 2 x+ 2，两 行直线 距离为 d= 2 2+4  2 2+22 = (2+ 2) 6 3 ， 此时△PAN 积 大， 大 为 1 2 × 6 × (2+ 2) 6 3 = 2+ 2，故C错误； 对D：设直线PQ 方 为 y= kx(k> 0)， y=kx x2+2y2=4  ，解 x0= 2 2k2+1 y0= 2k 2k2+1  ， 直线PG：y=- 1 k x-x0 + y0=- 1k x+ k2+1 k x0， 立直线PG与曲线C 方 可 2+k2 x2- 4x0 k 2+1 x+ 2x20 k2+1 2- 4= 0， x0+ xG= ·68· 4x0 k 2+1  k2+2 ， S△PQG= 1 2 y0  x0+xG = 8 k2+1 k k2+2 2k2+1  = 8 k+ 1k  k+ 2k  2k+ 1 k  = 8 k+ 1k  2 k+ 1k  2+1 ， 令 t= k+ 1 k ≥ 2， SΔPQG= 8t 2t2+1 = 8 2t+ 22t ，∵ y= 2t+ 2 2t 2t∈ 2,+∞ ， t∈ 2 2 ,+∞ 上 ，故 y= 2t+ 2 2t ≥ 4+ 2 4 = 9 2 ， SΔPQG= 8 2t+ 22t ≤ 16 9 ， 且仅 k= 1时 号 立， 故D正 ， 故 ：BD 142. (2024·高三· · 学 试)正方 A1B1C1D1 -ABCD 8个 点中 4个不共 点可以 定 一个四 ， 这些四 V， ( ) A. V中元 个数为 58 B. V中每个四 积 S， S中 元 个数为 2 C. V中每个四 外 O， O中 只 1个元 D. V中不存 四个表 都 直角三角 四 【 】ABC 【解 】正方 A1B1C1D1-ABCD 8个 点中任取 4个， C48= 70种 ， 中四点 个表 个对角 12种 ，不 四 ， 以V中 个数为 58，A 正 ； 四 积 以下两种 ： 一种 如下图 示，四 四点 相对 且 对角线上，如四 D1-B1AC， 若正方 棱长为 a， 四 积为 a3- 4× 1 3 × 1 2 a ⋅ a ⋅ a= 1 3 a3 ， 二种 如下图 示，四 四点中 三个点 一个 上，另一个点 相对 上，如四 B1- ABC， 若正方 棱长为 a， 四 积为 1 3 × 1 2 a ⋅ a ⋅ a= 1 6 a3， 以V中每个四 积 S， S中 个数为 2，B 正 ； 每个四 外 都 正方 外 ，O中只 1个 ，C 正 ； 如下图，四 B1-ABD 每个 都 直角三角 ，D 错误. 故 ：ABC 143. (2024·高三· · 学 试)已知函数 f x = sinx+ cos2x ， 下 说法正 ( ) A. 2π f x  一个 B. f x  -2 C. 存 一实数 a∈ 0,2 ， f x+a  函 数 D. f x  0,π 上 3个 大 点 【 】ACD 【解 】对于A，f x+2π = sin x+2π + cos2 x+2π  = sinx+ cos2x = f x ， 以 2π ·69· f x  一个 ； 对于B，f x = sinx+ cos2x ≥ sinx≥-1>-2，故B 错误； 对于C，若 f a+x = f a-x ， f a+ π 2 = f a- π 2 ， cosa+ cos2a =-cosa+ cos2a ， 以 cosa= 0， a∈ 0,2 ， 以 a= π 2 ，经 验 ，故C正 ； 对于D，设 p x = sinx+ cos2x,q x = sinx- cos2x， p x = cosx- 2sin2x,q x = cosx+ 2sin2x， 令m x = p x ,n x = q x ， m x =-sinx- 4cos2x 0, π 4 , 3π 4 ,π 上 函 数 于 0， n x =-sinx+ 4cos2x π 4 , 3π 4 上 函数 于 0， 故 上 点都 大 点， 时，p 0 = 1> 0> 2 2 - 2= p π 4 ,q π 4 = 2+ 2 2 > 0>- 2 2 - 2= q 3π 4 ， p 3π 4 =- 2 2 + 2> 0>-1= p π ， 以 f x  0, π 4 , π 4 , 3π 4 , 3π 4 ,π 上 一个 大 点，从 三个 大 点，故D正 . 故 ：ACD. 144. (2024·高三· 京· 学 试)如图，该几 正方 ABCD 直线AB旋转 90° ，已知 点G CE  中点，点H DF  上 点 ( 端点)， 下 结论正 ( )    A. 不存 点H， CH⊥ BDG B. 存 点H， AHE⎳ BDG C. 存 点H， 直线EH与 BDG 角 为 7 3 D. 不存 点H， BDG与 CEH 夹 角 为 1 3 【 】BCD 【解 】由 ，可 几 补 为一个正方 ADMF -BCNE，建立 间直角 系，如图 示， 设正方 棱长为 2， A(0,0,0),B 0,0,2 ,C 2,0,2 , D 2,0,0 ， G 2, 2,2 ,E 0,2,2 ,F 0,2,0 ，设 H 2cosα,2sinα,0  0≤α≤ π 2 . 对于A ， 设存 点H， CH⊥ BDG， 因为CH  = 2cosα-2,2sinα,-2 ，DB  = -2,0,2 ， BG  = 2, 2,0 ， CH  ⋅DB  =4-4cosα-4=0 CH  ⋅BG  =2 2 cosα-1 +2 2sinα=0  ，可 sinα=1 cosα=0  ， 因为 0≤ α≤ π 2 ， α= π 2 ， 点H与点F重 时，CH⊥ BDG，故A 错误； 对于B ，由A 可知， BDG 一个法 量 为FC  = 2,-2,2 ， 设存 点H， AHE⎳ BDG， FC ⊥AH,FC⊥AE， AH  = 2cosα,2sinα,0 ，AE  = 0,2,2 ， FC  ⋅AH  =4cosα-4sinα=0 FC  ⋅AE  =-4+4=0  ，可 tanα= 1， 因为 0≤ α≤ π 2 ，解 α= π 4 ， 点H为DF  中 点时， AHE⎳ BDG，故B 正 ； 对于C ，若存 点H， 直线EH与 BDG 角 为 7 3 ， 直线EH与 BDG 角 正 为 1- 7 3  2 = 2 3 ，EH  = 2cosα,2sinα-2,-2 ， 以 cosEH  ,FC   = EH  ⋅FC    EH   ⋅ FC    = 4cosα-4sinα  2 3× 4cos2α+4 sinα-1 2+4 = cosα-sinα  3 3-2sinα = ·70· 2 3 ， 整 可 3sin2α- 4sinα+ 3= 0， 因为函数 f α = 3sin2α- 4sinα+ 3 α∈ 0, π 2    时 图 连续 ， 且 f 0 = 3> 0，f π 2 =-4+ 3=-1< 0， 以存 α0 ∈ 0, π 2 ， f α = 0， 以，存 点H， 直线EH与 BDG 角 为 7 3 ，C 正 ； 对于D ，设 CEH 法 量为 n= x,y,z ， CE  = -2,2,0 ,CH  = 2cosα-2,2sinα,-2 ， n⋅CE  =-2x+2y=0 n⋅CH  =2x cosα-1 +2ysinα-2z=0  ，取 x= 1， y= 1,z= sinα+ cosα- 1，可 n= 1,1,sinα+cosα-1 ， 设存 点H， BDG与 CEH 夹角 为 1 3 ， cosn,FC   = n⋅FC    n ⋅ FC    = 2 sinα+cosα-1  2+(sinα+cosα-1)2×2 3 = 1 3 ， 可 sinα+cosα-1 2= 1， sinα+ cosα- 1=±1可 sinα+ cosα= 0 sinα+ cosα= 2， 因为 α∈ 0, π 2    ， π 4 ≤ α+ π 4 ≤ 3π 4 2 2 ≤ sin α+ π 4 ≤ 1， 以 sinα+ cosα= 2sin α+ π 4 ∈ 1, 2 ， 故 α∈ 0, π 2    时，方 sinα+ cosα= 0 sinα+ cosα= 2 无解， 综上 述，不存 点H， BDG与 CEH 夹角 为 1 3 ，故D 正 . 故 ：BCD 145. (2024·高三· 无 · 学 试)如图， 正方 ABCD-A1B1C1D1中，E为棱 BC上 点，F为 棱B1B 中点， 下 正 ( ) A. 直线A1D1与直线EF相交 B. E为棱BC上 中点时， 点E AD1F 点F C. 不存 点E， 直线AD1与直线EF 角为 30° D. 三棱 E-ADF 积为定 【 】CD 【解 】A：由 知，A1D1⎳B1C1，B1C1⊂ B1C1CB，A1D1⊄ B1C1CB 以A1D1⎳ B1C1CB， EF⊂ B1C1CB， 以A1D1与EF不相交，故A 错误； B：连 AD1、D1F、AF、AE、CB1，如图， 点E为BC 中点时，EF⎳CB1， AD1⊥CB1， 以EF⊥AD1， 若点E AD1F 为F， EF⊥ AD1F， 足为F， 以EF⊥AF，设正方 棱长为 2， AE=AF= 5，EF= 2， △AEF中，AF 2+EF 2≠AE 2， 以∠AFE≠ 90°， EF⊥AF不 立，故B错误； C：建立如图 间直角 系D- xyz，连 BC1， AD1⎳BC1， 以 直线EF与AD1 角为直线EF与BC1 角， 设正方 棱长为 2，若存 点E(a,2,0) (0≤ a≤ 2) EF与BC1 角为 30 °， B(2,2,0)，F(2,2,1)，C1(0,2,2)， 以EF  = (2- a,0, 1)，BC1  = (-2,0,2)， ·71· 以EF  ⋅BC1  = 2a- 2， EF  ⋅BC1   = EF   BC1   cos30°， 2a-2 = 2 2 × (2-a)2+1 × 3 2 ，解 a= 4± 3， 不 ，故不存 点E EF与AD1 角为 30°，故C正 ； D：如图， 由 积法可知VE-ADF=VF-ADE， VF-ADE= 1 3 S△ADE ⋅BF= 1 3 × 1 2 ×AD×AB×BF， AD、AB、BF为定 ， 以VF-ADE为定 ， 以三棱锥E-ADF 积为定 ，故D正 . 故 ：CD. 146. (2024·全国·一模)设 a为 数，f(0) = 1 2 ,f(x+ y) = f(x)f(a- y) + f(y)f(a- x)， (    )． A. f(a) = 1 2 B. f(x) = 1 2 C. f(x+ y) = 2f(x)f(y) D. 满足 件 f(x)不止一个 【 】ABC 【解 】f(0) = 1 2 ,f(x+ y) = f(x)f(a- y) + f(y)f(a- x) 对A：对 令 x= y= 0， 1 2 = 1 2 f a + 1 2 f a = f a ， f a = 1 2 ，故A正 ； 对B：对 令 y= 0， f x = f x f a + f 0 f a-x = 1 2 f x + 1 2 f a-x ，故 f x = f a-x ， 对 令 x= y， f 2x = f x f y + f y f x = 2f x f y = 2f2 x ≥ 0，故 f x  负； 对 令 y= a- x， f a = f2 x + f2 a-x = 2f2 x = 1 2 ，解 f x =± 1 2 ， f x  负，故可 f x = 1 2 ，故B正 ； 对C：由B 可 ：f x+y = 2f x f y ，故C正 ； 对D：由B 可 ：满足 件 f x 只 一个，故D 错误. 故 ：ABC. 147. (2024·高三· 保定· 学 试)如图， 三棱 P -ABC中，∠ACD= 60°,2AC= BC= PB= PC， PBC⊥ ABC ,D BC 中点，PD = 4 3， ( ) A. 三棱 P-ABC 积为 32 3 3 B. PA与 ABC 角为 π 4 C. PA= 8 D. 三棱 P-ACD 外 表 积为 208π 3 【 】CD 【解 】因为BC=PB=PC， 三角 △PBC为 边 三角 ， D BC 中点，PD= 4 3， 以BC=PB=PC = 8， 以AC= 4， △ACD中，AC=CD= 4，∠ACD= 60°， 三角 △ACD为 边三角 ， 对于A：因为 PBC⊥ ABC， 且PD⊥BC， PBC∩ ABC=BC，PD⊂ PBC， 以PD⊥ ABC， VP-ABC= 1 3 × 4 3 × 1 2 × 4× 4× 3 2 × 2= 32，A 错误； 对于B：因为PD⊥ ABC， 以∠PAD为PA与 ABC 角， tan∠PAD= PD AD = 4 3 4 = 3， 以∠PAD= π 3 ， B错误； 对于C：PA= PD2+DA2= 4 3 2+42= 8，C正 ； 对于D：设三棱锥P-ACD 外 为R， △ACD 外 为 r， 2r= 4 sin60° = 4 3 2 = 8 3 ， 以 r= 4 3 ， ·72· R2= r2+ PD 2  2 = 4 3  2 + 2 3 2= 52 3 ， 外 表 积为 4πR2= 208 3 π，D正 . 故 ：CD. 148. (2024·高三· 保定· 学 试)已知 f x+1  奇 函数，f x  图 关于直线 x=-1对称， 下 结 论正 为 ( ) A. f x  为 4 函数 B. f x-5 为 函数 C. f x  图 关于点 -3,0 对称 D. f 5 = 0 【 】BCD 【解 】由 知 f x+1 为奇函数， 以 f x+1 + f -x+1 = 0， 以 f x  于 1,0 对称， f -x + f 2+x = 0 ①， 因为 f x  图 于直线 x=-1对称， 以 f -x = f -2+x ②， ② ①可 f -2+x + f 2+x = 0， x 为 2+ x 上 ：f x + f x+4 = 0③， x 为 x+ 4 上 ：f x+4 + f x+8 = 0 ④， ④·③可 ：f x = f x+8 ， 以 f x  为 8 函数， 时，由③知 f x+4 =-f x ，故 A错误； 于 B，由A知 f x  于 x=-1对称且 为 8， 以 f x-5 = f -x+3 = f -x-5 ， 以 f x-5 为 函数，故 B正 ； 于C，f x-3 = f -x+1 =-f x+1 = -f -x-3 ， 以 f x  图 于点 -3,0 对称，故 C正 ； 因为 f x+1 + f -x+1 = 0，取 x= 0可 f 1 = 0， 以 f 5 = f -3 = f 1 = 0，故 D正 . 故 ：BCD. 149. (2024·高三· 西 · 学 试)设函数 f x  定 义域为 R，且满足 f x+2 + f x = 0，f -x + f x = 0， x∈ 0,1 时，f x = xlnx， ( ) A. f x  为 4 函数 B. f 2024 = 0 C. f x  取 围为 - 2 e , 2 e     D. ef x  = 1 间 0, 2023 2    内 1011个实数 解 【 】ABD 【解 】因为 f x+2 + f x = 0， 以 f x+4 + f x+2 = 0， 以 f x+4 = f x ，故 f x  为 4 函数，故A 正 . 故 f 2024 = f 4×506 = f(0)， f -x + f x = 0，故 f x 为R上 奇函数，故 f 0 = 0， 故 f 2024 = 0，故B正 . x∈ 0,1 时，f x = xlnx， f x = 1+ lnx， x∈ 0, 1 e 时，f x < 0； x∈ 1 e ,1 时，f x > 0， 故 f x  0, 1 e 上为减函数， 1 e ,1 上为 函数， x→ 0时，f x → 0，f 1 e =- 1 e ，f 1 = 0， 故 f x  0,1 上 域为 - 1 e ,0  ， f x+2 + f x = 0， f x+2 = f -x ，故 f x  图 于 x= 1对称， 故 f x  1,2  域为 - 1 e ,0  ， f 2 + f 0 = 0，故 f 2 = 0， 故 f x  0,2  域为 - 1 e ,0  ， f x 为奇函数可 f x  -2,2  域为 - 1 e , 1 e    ， 故 f x  R上 域为 - 1 e , 1 e    ，故C错误. 令 g x = f x  ，故 g x+2 = f x+2  = -f x  = f x  ， 故 f x  为 函数且 为 2. x∈ 0,1 时，f x  = xlnx =-xlnx， 此时 0≤-xlnx≤ 1 e ， 且仅 x= 1 e 时，-xlnx= 1 e f x  = 1 e ， 故 x∈ 1,2 时，x- 1∈ 0,1 ， 故 f x  = f 2-x  = (2-x)ln(2-x) =- (2- x) ln(2- x)， 此时 0≤- 2-x ln 2-x ≤ 1 e ， 且仅 x= 2- 1 e 时，- 2-x ln 2-x = 1 e f x  = 1 e ， 因 f 0  = f 2  = 0，故 0,2 上，f x  = 1 e 且 ·73· 只 2个不 实数解 1 e ,2- 1 e ， 且这两个实数解 0,2  ， 故 0,1010 上 1010个不 实数解，且它们 0,1010  ， 虑 0, 3 2 上 f x  = 1 e 解 个数，因为 1 e ∈ 0, 3 2 ，2- 1 e ∉ 0, 3 2 ， 结 f x   可 f x  = 1 e 1010, 2023 2 上 且只 两个不 实数解， 故 ef x  = 1 0, 2023 2    上 1011个不 实数 解，故D正 . 故 ：ABD. 150. (2024·高三· 西 · 学 试)已知函数 f x = x-1 ex+k x ，其导函数为 f  x ，且 f 1 = 1，记 g x = xf x ， 下 说法正 ( ) A. f x > 0 B. 函数 g x  为 0 C. 若函数 y= g x -m 其定义域内 两个不 零点， 实数m 取 围 0,1  D. 对任 x1,x2∈ 2,+∞ ，都 f x1+x2 2 ≤ f x1 + f x2  2 【 】CD 【解 】由函数 f x = x-1 ex+k x ，因为 f 1 = 1，可 k= 1， 以 f x = x-1 ex+1 x ， 对于A中，由 f x = x2-x+1 ex-1 x2 ，因为 f -2  = 7e -2-1 4 < 0，， 以 f x > 0不 立， 以A不正 ； 对于B中，由 g x = xf x = x-1 ex+ 1,x≠ 0，可 g x = xex,x≠ 0， 中 g 0 无 义， 以 g x  一定不为 0， 以B错误； 对于C中，由 g x = xex,x≠ 0， x< 0时，可 g x < 0； x> 0时，可 g x > 0， 以函数 g x  (-∞,0)上 减， (0, +∞) 上 ， 且 x→-∞时，g x → 1， x→ 0时，g x → 0， x →∞时，g x →+∞， 函数 g x  图 ，如图 示， 结 图 ， 0<m< 1时，函数 y= g x 与 y=m 图 两个不 交点， 以函数 y= g x -m 定义域 两个不 零 点， 实数m 取 围 0,1 ， 以C正 ； 对于D中，由 f x = x2-x+1 ex-1 x2 > 0,x> 2， 设 h x = f x = x2-x+1 ex-1 x2 ,x> 2，可 h x  = ex(x-1) x+2 +2 x3 > 0， 以 h x > 0，h x  ， f x  ， 以 f x 为 函数，且 f x  函数，且 f 2 = e 2+1 2 ， 以函数 f x  图像，如图 示，函数图 为凸函数， 以 f x1+x2 2 ≤ f x1 + f x2  2 ， 且仅 x1= x2时， 号 立， 以D正 . 故 ：CD 151. (2024·高三· 西· 段练习)如图， 四棱 P - ABCD中， ABCD 边 为 2 菱 ，∠DAB = 60°， PAD为正三角 ，且 PAD⊥ ABCD， ( ) ·74· A. AD⊥PB B. 棱PB上存 点M， AM⊥ PBC C. PAD与 PBC 交线 行于 ABCD D. C PBD 距离为 15 5 【 】AC 【解 】对A，如图 示，取AD中点H，连 PH,BH， 因为 ABCD 菱 ，∠DAB= 60°， △ABD为 三角 ， 因为 PAD为正三角 ， BA=BD,PA=PD， AD⊥PH,AD⊥BH， PH∩BH=H,PH,BH⊂ PBH， 以AD⊥ PBH， 因为PB⊂ PBH， 以AD⊥PB，故A正 ; 对B， 设 棱PB上存 点M， AM⊥ PBC，因为PB⊂ PBC， AM⊥PB， 因为PA=AB， 以M为PB 中点， 连 HM，因为AD⊥ PBH，HM⊂ PBH， HM⊥AD， 以∠HAM为锐角，AM与AD不 直，因为 AD⎳BC， AM与BC不 直，因为BC⊂ PBC，这与AM ⊥ PBC矛盾， 以不存 这 点M， AM⊥ PBC，故B 错误； 对C，因为 ABCD为菱 ， 以AD⎳BC， BC ⊂ PBC,AD⊄ PBC， 以AD⎳ PBC.设 PAD与 PBC 交 线为 l， 因为AD⊂ PAD，AD⎳ PBC， PAD∩ PBC= l， 以AD⎳ l. 因为 l⊄ ABCD,AD⊂ ABCD， 以 l⎳ ABCD，故C正 ； 因为 PAD⊥ ABCD，PH⊥AD， PAD ∩ ABCD=AD，PH⊂ ABCD， 以PH⊥ ABCD， 以PH为三棱锥P-BCD 高， 因为△ABD △PAD为 边三角 ， BD= 2，BH =PH= 3， 因为PH⊥ ABCD，BH⊂ ABCD， PH⊥ BH， PB= 6， 以S△PBD= 1 2 × 6 × 22- 6 2  2 = 15 2 ， 设C PBD 距离为 d， 由VP-BCD=VC-PBD 1 3 × 1 2 × 2× 3 × 3= 1 3 × 15 2 × d，解 d= 2 15 5 ，故D错误. 故 ：AC. 152. (2024·高三· 西· 段练习)已知定义域为R 函 数 f x  导函数为 f  x ，若函数 f 4x+1  f  x+2  为 函数，且 f  2 =-1, f 1 = 1， ( ) A. 2023 i=1 f i =-1 B. 2024 i=1 f i =0 C. 2023 i=1 f i =2023 D. 2024 i=1 f i =0 【 】AB 【解 】因为 f 4x+1 为 函数， f 4x+1 = f -4x+1 ， f x+1 = f -x+1 ，可知 f x  于 x= 1对称， 因为 f x+2 为 函数， f x+2 = f -x+2 ， 可知 f x  于 x= 2对称， 且 f x+1 = f -x+1 ， f x+1 =-f -x+1 ， f x =-f -x+2 ， 可 f x  于点 1,0 对称，且 f x =-f x+2 ， f x =-f x+2 =- -f x+4  = f x+4 ，可 知 4为 f x  ， 由 f x =-f -x+2 ，可 f 1 =-f 1 ， f 1 = 0， f 1 =-f 3 = 0,f 2 =-f 4 =-1， f 1 + f 2 + f 3 + f 4 = 0， 以 2023 i=1 f i  = f 1 + f 2 + f 3 =-1， 2024 i=1 f i  = 0，故AB正 ； 因为 f x = f x+4 ， f x + c= f x+4 + c， f x = f x+4 ， 可知 4为 f x  ， 因为 f x+2 = f -x+2 ， f x+2 = -f -x+2 + 2c， f x+2 + f -x+2 = 2c，可知 f x  于点 2,c  对称， ·75· 件 f 2 ，故无法 CD ，故 CD错误； 故 ：AB. 153. (2024·高三· · 段练习)如图，已知 曲线 C : x2 a2 - y 2 b2 = 1(a > 0 ,b > 0) 左、右 点 为 F1 -3,0 ,F2 3,0 ，点A C上，点 B y轴上，A, F2,B三点共线，若直线 BF1 斜 为 3，直线AF1 斜 为- 5 3 11 ， ( ) A. C 近线方 为 y=±2x B. C 离 为 3 2 C. AB = 16 D. △ABF1 积为 16 3 【 】BC 【解 】 ，直线BF1 斜 为 3 , 以∠BF1F2= π 3 ， BF1 = BF2 ， 以△BF1F2为 边三角 ，故 BF1 = BF2 = F1F2 = 2c= 6,∠BF2F1= π3 . △AF1F2中，tan∠F2F1A= 5 311 > 0,∠F2F1A为锐 角，∴ sin∠F2F1A= 5 314 ,cos∠F2F1A= 11 14 以 sinA= sin 2π 3 +∠F2F1A = 3 314 ， 正 定 可 F1F2  sinA = AF1  sin∠F1F2A = AF2  sin∠F2F1A ，解 AF1 = 14, AF2 = 10， 以 2a= 4， a= 2,b= c2-a2= 5， 以C 近线方 为 y=± 5 2 x,C 离 为 c a = 3 2 , AB = BF2 + AF2 = 16, △ABF1 积为 12 F1F2 BF2 sin π 3 + 1 2 F1F2 AF2 sin π 3 = 1 2 F1F2 BA sin π 3 = 1 2 × 6× 16× sin π 3 = 24 3 故 ：BC. 三、 154. (2024· ·模拟 )已知 a、b  、c、e，满 足 a⊥ b  ，a = 2 b   ，c= a+ b  ，e = 1，若 a2- 6a ⋅ e + 8= 0， c ⋅ e- 1 3 c2 大 . 【 】 3 10-7 6 【解 】因为 a2- 6a ⋅ e+ 8= 0， a2- 6a ⋅ e+ 9e2= 1， 可 a-3e = 1， 设 e= 1,0 ，a= x,y ， a- 3e= x-3,y ， x-3 2+ y2= 1， 设 x=3+cosθ y=sinθ  ， a = 3+cosθ,sinθ ， 因为 a⊥ b  ，a = 2 b   ， b  = - sinθ 2 , 3+cosθ 2  b  = sinθ 2 ,- 3+cosθ 2 ， 因为 c= a+ b  ， c= 3+cosθ- sinθ 2 , 3 2 +sinθ+ cosθ 2  c = 3+cosθ+ sinθ 2 ,- 3 2 +sinθ- cosθ 2 ， 令 c= m,n ， m-3 2+ n- 3 2  2 = 5 4 m-3 2 + n+ 3 2  2 = 5 4 ， 对称 ，可只 虑 m-3 2+ n- 3 2  2 = 5 4 ， 由 c ⋅ e- 1 3 c2=m- 1 3 m2+n2 = - 1 3 m- 3 2  2 +n2  + 3 4 ， 记点A 3, 3 2 、B 3 2 ,0 、P m,n ， AB = 3- 3 2  2 + 3 2  2 = 3 2 2 ，PA = 1， 以，PB   = PA  +AB   ≥ PA   - AB    = 3 2- 52 ， 且仅 点M为线段AB与 x-3 2+ y- 3 2  2 = 5 4 交点时， 号 立， 以，c ⋅ e- 1 3 c2=- 1 3 m- 3 2  2 +n2  + 3 4 = - 1 3 PB   2+ 34 ≤- 1 3 × 3 2- 5 2  2 + 3 4 = 3 10-7 6 . 故 为： 3 10-7 6 . 155. (2024·高三· 东 泽· 学 试)已知 cos α+β = - 1 3 ，cosα + cosβ = 1， cos α-β 2 cos α+β 2 = ·76· ， sin α+β  sinα+sinβ = . 【 】 1 2 /0.5 2 3 【解 】由 cos α+β =- 1 3 2cos2 α+β 2 - 1=- 1 3 ， cos2 α+β 2 = 1 3 ， 因为 cos x+y = cosxcosy- sinxsiny,cos x-y = cosxcosy+ sinxsiny， 以 cos x+y + cos x-y = 2cosxcosy， 令 x+ y= α,x- y= β, x= α+β 2 ,y= α-β 2 ， 以 cosα+ cosβ= 2cos α-β 2 cos α+β 2 = 1， cos α-β 2 cos α+β 2 = 1 2 ， 以 cos α-β 2 = 3 2 cos α+β 2 ， 因为 sin x+y = sinxcosy+ cosxsiny,sin x-y = sinxcosy- cosxsiny,， 以 sin x+y + sin x-y = 2sinxcosy， 令 x+ y= α,x- y= β, x= α+β 2 ,y= α-β 2 ， 以 sinα+ sinβ= 2sin α+β 2 cos α-β 2 ， 因为 sin α+β = 2sin α+β 2 cos α+β 2 ， sin α+β  sinα+sinβ = 2sin α+β2 cos α+β 2 2sin α+β2 cos α-β 2 = cos α+β2 cos α-β2 = 2 3 . 故 为: 1 2 ; 2 3 . 156.某 学 学习 三角 相关知识时，发 了 一个 趣 质： 角三角 三 边 对 外 三 ( ) 三角 边进行翻 ， 三 交于该三角 内部一点，且此交点为该三 角 ( 三角 三 高线 交点).如图，已知 角 △ABC 外 为 2，且三 △ABC 三边翻 交于点 P . 若 AB = 3， sin∠PAC= ；若AC :AB:BC= 6:5:4， PA +PB+PC 为 . 【 】 7 4 23 4 /5.75 【解 】设外 为R， R= 2， 由正 定 ，可知 AB sin∠ACB = 3 sin∠ACB = 2R= 4， sin∠ACB= 3 4 ，由于∠ACB 锐角，故 cos∠ACB = 7 4 ， 由 可知P为三角 ABC ， AP⊥ BC,故∠PAC= π 2 -∠ACB， 以 sin∠PAC= cos∠ACB= 7 4 ； 设∠CAB= θ,∠CBA= α,∠ACB= β， ∠PAC= π 2 - β,∠PBA= π 2 - θ,∠PAB= π 2 - α， 由于AC:AB:BC= 6:5:4，不妨 设AC= 6,AB= 5, BC= 4， 由 定 知 cosθ= 6 2+52-42 2×6×5 = 3 4 ,cosα= 42+52-62 2×4×5 = 1 8 ,cosβ= 4 2+62-52 2×4×6 = 9 16 ， 设AD,CE,BF为三角 三 高，由于∠ECB+ ∠EBC= π 2 ,∠PCD+∠CPD= π 2 , 故∠EBC=∠CPD , ∠APC= π-∠CPD= π-∠EBC= π-∠ABC， 以 PC sin π2 -β  = PA sin π2 -θ  = AC sin∠APC = AC sin∠ABC = 2R= 4， 可 PB sin π2 -α  = AB sin∠APB = AB sin∠ACB = 2R= 4， 以PA+PB+PC= 4 cosθ+cosα+cosβ = ·77· 4 3 4 + 1 8 + 9 16 = 23 4 , 故 为： 7 4 ； 23 4 157. (2024·高三·上 宝 · 中)如图， 一个正三角 ，不 三边； 正方 ，对这个正方 ，不 四边， 正五边 ；对这个正五边 不 五边， 正六边 ；⋯⋯，这 无 下 ， 一 无 边 线．设 n 线段与 n+ 1 线段 夹 角为 θn n∈N *,θn∈ 0,π  ， θ2022= ． 【 】174.46° 【解 】 一 线段与 二 线段 夹 角 θ1= 60°，由 此类 ，θ2= 90° ，θ3= 90°， θ4= 108°，θ5= 108°，θ6= 108°，θ7= 120°，θ8= 120°，θ9 = 120°，θ9= 120°，⋯⋯     观察规 ，三角 1个相 角， 且角 数 好 角 数， 正方 2个 90°，正五边 3个 108°，正 边 4 个 120°，⋯⋯    ∴n多边 n- 2个 180° n-2  n 观察图 ：正三角 画 2 线段，正方 画 2 线 段，正五边 画 3 线段，正 边 画 4 线段，⋯⋯， 正n边 画n- 2 线段； ∴画 正n多边 时，画线段 数为m= 2+ 2+ 3 + 4+⋯+ n-2 = 2+ n n-3  2 ， n= 65时，m= 2017； n= 66时，m= 2081 ∴ 2022 线段 正 65边 中，∴ θ2022= 180°×63 65 ≈ 174.46° 故 为：174.46°. 158. (2024·全国·模拟 )已知 SO 母线 SA= 5， 积为 15 π， SO 内 为 ；若正四 A1-B1C1D1能 SO内任 转 ， 正四 A1- B1C1D1 大棱 为 ． 【 】 3 2 6 【解 】如图， 锥SO中，设 锥母线长为 l， 为 r， 因为 积为 15π， 以 πrl= 15π， rl= 15． 因为 l=SA= 5， 以 r= 3， 以SO= 52-32= 4． 棱长为 a 正四 A1-B1C1D1如图 示， 正方 棱长为 2 2 a， 对角线长为 6 2 a， 以棱长为 a 正四 A1-B1C1D1 外 为 6 4 a． 取轴 SAB，设△SAB 为 r， 1 2 × 4× 6= 1 2 6+5+5 r，解 r= 3 2 ， 锥SO 为 3 2 ． 因为正四 A1-B1C1D1能 锥SO 任 转 ， 以 6 4 a≤ 3 2 ， a≤ 6， 以正四 A1-B1C1D1 大棱长为 6． 故 为： 3 2 ； 6 159. (2024 ·四川资 ·模拟 )若函数 f x = ex + cosx + a-1 x存 ， a 取 围 ． 【 】-∞,1  【解 】注 ， a= 1时，f x = ex+ cosx， 由于 ex> 0，-1≤ cosx≤ 1， 然 f x min→-1， ； a> 1时，ex+ cosx>-1且无 近-1，y= a-1 x为 函数， x→-∞，ex+ cosx+ a-1 x→-∞， x→+∞，ex+ cosx+ a-1 x→+∞， 此时 ； ·78· a< 1时，y= a-1 x为减函数， x→-∞，ex+ cosx+ a-1 x→+∞， x→+∞，由于 y= ex 长变 远大于 y= a-1 x 减 ， 此时 ex+ cosx+ a-1 x→+∞，由于函数定义域为 R,函数连续不断， 以 f x = ex+ cosx+ a-1 x存 ． 故 为：-∞,1  160. (2024·高三· 东 · 中)已知四边 ABCD， Fn n∈N * 为边 BC边上一点，连 AFn交 BD于 E n n∈N * ，点 E n 满足 2 1+an EnFn  - EnC  = an+1-2 EnB  ，其中 an  为 1 正 数 ， BC  = λn ⋅BFn  ， λn  n Tn= .    【 】2n+3- 4n- 8 【解 】因为 2 1+an EnFn  -EnC  = an+1-2 EnB  ， 以EnC  = 2 1+an EnFn  + 2-an+1 EnB  ， 因为B,Fn,C三点 线， 以 2(1+ an) + (2- an+1) = 1， 以 an+1+ 3= 2(an+ 3)， 因为 a1+ 3= 4， 以 an+3  以 4为 ，2为 比 比数 ， 以 an+ 3= 4× 2n-1= 2n+1， 以 an= 2n+1- 3， 因为BC  = λn ⋅BFn  ， 以EnC  -EnB  = λn ⋅ (EnFn  - EnB  )， 以EnC  = λn ⋅EnFn  + (1- λn)EnB  ， 因为EnC  = 2 1+an EnFn  + 2-an+1 EnB  ， 以 λn=2(1+an) 1-λn=2-an+1  因为 an= 2n+1- 3， 以 λn= 2(1+ 2n+1- 3) = 2n+2- 4， 以Tn= 23+ 24+⋅⋅⋅+2n+2- 4n= 8(1-2n) 1-2 - 4n= 2n+3- 4n- 8， 故 为：2n+3- 4n- 8 161. (2024·高三· 州· 段练习)过 物线 y2= 6x 点F 直线交 物线于A,B两点，C 物线 准线上 ， ∠ACB 大 为 ；若 △ACB为 边三角 ， 其边 为 . 【 】 90° 18 【解 】 物线 y2= 6x 线为：x=- 3 2 ， 令点A,B 直线 x=- 3 2 距离 为 dA,dB， AB中点M 直线 x=- 3 2 距离为 d， 由 物线定义知，d= dA+dB 2 = |AF|+|BF| 2 = 1 2 |AB|， 因此，以AB为直 与 线相 于点N， 直线 x=- 3 2 上 点N外， 点都 以AB为直 外， 由 质知， 点C与点N重 时，∠ACB 直角， 点C与点N不重 时，∠ACB 锐角， 以∠ACB 大 90°； 若△ABC为正三角 ，F 3 2 ,0 ，设直线AB：x= ky + 3 2 ， 点A(x1,y1)，B(x2,y2)， AB中点M (x0,y0)， 由 x=ky+ 32 y2=6x  x 整 ：y 2- 6ky- 9= 0， y1+ y2= 6k，y1y2=-9，x1+ x2= k y1+y2 + 3= 6k2+ 3， 中 y0= y1+y2 2 = 3k，x0= x1+x2 2 = 3k2+ 3 2 ， AB = x1+ x2+ p= 6k2+ 6， 然，k≠ 0，直线CM：y- 3k=-k x-3k2- 3 2 ， 且 线为 x=- 3 2 ， 点C - 3 2 ,6k+3k3 ， 由 CM = 3 2 AB ， 3k2+3 2+ 3k+3k3 2= 3 4 6k2+6 2， 解 k2= 2， AB = 18， 以正三角 边长为 18. 故 为：90°；18. 162. (2024·高三· · 学 试)如 函数 f x  间 a,b 上为 函数， 记为 f (x) a,b ，函数 f x  间 a,b 上为减函数， 记为 f (x) a,b ．已知 ·79· x+ 4 x  m,3  ， 实数 m 为 ；函数 f x = 2x3- 3ax2+ 12x+ 1，且 f(x) 1,2 ,f(x) 2,3  ， 实数 a= ． 【 】 2 3 【解 】对于 一 ：由 g x = x+ 4 x m,3 上 ， 0<m< 3，(若m≤ 0， x= 0 时，f x 无 义)， 由对勾函数 质 x> 0时，g x = x+ 4 x 间为 2,+∞ ， 以 2≤m< 3， 实数m 为 2； 对于 二 ：f x  然可导，f x = 6x2- 6ax+ 12， 由 f x  1,2 上 减， 2,3 上 ， x= 2 函数 f x  点， 以 f 2 = 6 4-2a+2 = 0，解 a= 3，经 验 a= 3满足 . 故 为：2，3. 163. (2024·高三· · 学 试)已知AB PO 直 ，C 上 一点，PC = AB= 2,AC= 3， 二 角A-PB-C 为 ． 【 】 5 5 / 1 5 5 【解 】如图，以点O为 点，OB,OP 为 y,z 轴，过点O 直AB为 x轴，建立 间直角 系， 点C为 上一点， ∠ACB= 90o， AC= 3，AB=PC= 2， ∴BC= 1，PO= 3， ∴A 0,-1,0 ，B 0,1,0 ，P 0,0, 3 ，C 3 2 , 1 2 ,0 ， PB  = 0,1,- 3 ，PC  = 3 2 , 1 2 ,- 3 ， 设 CPB 一个法 量为m = x,y,z ， m ⋅PB  =0 m ⋅PC  =0  ， y- 3z=0 3 2 x+ 1 2 y- 3z=0  ，令 z= 1， x= 1，y= 3， ∴m = 1, 3,1 ， 知 APB 一个法 量为 n= 1,0,0 ， ∴ cosm ,n= m  ⋅n m n  = 1 1+3+1×1 = 1 5 = 5 5 ， 如图，锐二 角A-PB-C 为 5 5 . 故 为： 5 5 . 164. (2024·高三· 京· 学 试)已知实数m，n满 足 n+lnn=3 1+lnm=e2-lnm  ， mn= . 【 】e2 【解 】由 1+ lnm= e2-lnm可 1+ lnm= e3- 1+lnm ， 由n+ lnn= 3 n= e3-n， 记 g x = x- e3-x，因为 y= et， R上 ，t= 3- x R上 减， 复 函数 质知 y= e3-x R上 减， 以 g x = x- e3-x R上 ， 由n= e3-n可 g n =n- e3-n= 0， g 1+lnm = 1 + lnm- e3- 1+lnm = 0， 因此 1+ lnm=n，由n+ lnn= 3可 lnn= 3-n， 以 lnn+ lnm= 3-n + n-1 = 2，可 mn= e2， 故 为：e2 165. (2024·高三· 无 · 学 试)“曼 距离” 人 识 中 一种 要 距方 ，其定义如下：设 A x1,y1 ，B x2,y2 ， A，B两点间 曼 距离 d A,B = x1-x2 + y1-y2 ．已知M 4,6 ，点N C :x2 + y2 + 6x + 4y = 0上运 ，若点 P满足 d M ,P = 2， PN  大 为 ． 【 】 149+ 13 / 13+ 149 【解 】由 ， C:(x+ 3)2+ (y+ 2)2= 13， C -3,-2 ， r= 13， 设点P x0,y0 ， x0-4 + y0-6 = 2， 故点P 轨迹为如下 示 正方 ， 中A 4,8 ， B 6,6 ， AC = 4+3 2+ 8+2 2= 149，BC = ·80· 6+3 2+ 6+2 2= 145， PN ≤ AC + r= 149+ 13， PN  大 为 149+ 13 . 故 为： 149+ 13 . 166. (2024·高三· 保定· 学 试)对于函数 f x ，若 定义域内存 实数 x，满足 f 1 x =- f x ， 称 f x 为“ 部 比 对称函数”.若 f x = 1 3 x3- 1 2 mx2+ m2-3 x+ 5 导函数 f  x  定义 间 2,+∞ 上 “ 部 比 对称函数”， 实数m 大 与 之差为 . 【 】 9 4 【解 】f x = x2-mx+ m2-3 ， 因为 f x  导函数 f x  定义 间 2,+∞ 上 “ 部反比 对称函数”， 以存 x∈ 2,+∞ ，f 1 x =-f x ， 1 x2 -m 1 x + m2-3 =-x2+mx- m2-3 ， 以 1 x +x  2 -m 1 x +x + 2m2- 8= 0， x∈ 2,+∞ 上 解， 令 t= h x = 1 x + x，设 x1> x2≥ 2， h x1 - h x2  = 1 x1 + x1- 1x2 - x2= x1-x2  x1x2-1 x1x2 ， 因为 x1> x2≥ 2， 以 h x1 - h x2 > 0， 以 h x  2,+∞ 上 ， 以 x∈ 2,+∞ 时，t∈ 5 2 ,+∞ ， 设 g t = t2-mt+ 2m2- 8， 以 t∈ 5 2 ,+∞ 时 g t  = t2-mt+ 2m2- 8= 0 解， m 2 ≤ 5 2 m≤ 5时，g t = t2-mt+ 2m2- 8 t ∈ 5 2 ,+∞ 上 ， 以 g 52 = 5 2  2 - 5 2 m+ 2m2- 8≤ 0，解 - 1 2 ≤m≤ 7 4 ； m 2 > 5 2 m> 5时，g t = t2-mt+ 2m2- 8 t ∈ 5 2 ,m 2    上 减， t∈ m 2 ,+∞ 上 ， 以 g m 2 = m 2  2 - 1 2 m2+ 2m2- 8≤ 0，解 - 4 14 7 <m< 4 14 7 ， m> 5， 以不存 件 m. 综上可 - 1 2 ≤m≤ 7 4 ， 以实数m 大 与 之差为 7 4 - - 1 2 = 9 4 . 故 为： 9 4 167. (2024·高三· 保定· 学 试)已知 a, b  零 ，2a-b   ⊥ 2a+b   ， b  a 方 上 为 -a， a ⋅b  |a|2 = ； a,b  夹角为 . 【 】 -1 2π 3 【解 】因为 2a-b   ⊥ 2a+b   ， 以 2a-b   ⋅ 2a+b   = 4a2- b 2= 0， b   = 2 a ， 量 b  量 a方 上 量为 a ⋅b  a  ⋅ a  a  = a ⋅2 a cos a,b    a  ⋅ a  a  = 2cos a,b   ⋅ a =-a， 以 cos a,b   =- 1 2 ， a,b   ∈ 0,π ， 以 a,b   = 2π 3 ， 以 a⋅b  a 2 = a ⋅2 a cos a,b    a 2 = 2× - 1 2 =-1. 故 为：-1；2π 3 . 168. (2024·全国·高 )如图 四边 ABCD 中，∠A=∠B=∠C= 75°，BC= 2， AB 取 围 ． 【 】( 6- 2， 6+ 2 ) 【解 】如图 示，延长BA，CD交于E， 移AD， A与D重 与E点时，AB 长， △BCE中，∠B= ∠C= 75°，∠E= 30°，BC= 2，由正 定 可 BC sin∠E = BE sin∠C ， 2 sin30o = BE sin75o ，解 BE= 6+ 2， 移AD ， D与C重 时，AB 短，此时 与AB交于F， △BCF中，∠B=∠BFC= 75°， ∠FCB= 30°，由正 定 知， BF sin∠FCB = ·81· BC sin∠BFC ， BF sin30o = 2 sin75o ，解 BF= 6- 2， 以AB 取 围为 ( 6- 2， 6+ 2 ). 点：正 定 ；数 结 想 169. (2024·高三· 西· 段练习) 角△ABC 内角A 对边为 a，若 △ABC 积 a2， sinA cosBcosC ． 【 】8 【解 】 AD⊥BC于D， 1 2 a ⋅AD= a2， 以AD = 2a. 设BD= xa， DC= a- xa，因为△ABC 锐角三角 ， 以 0<xa<a 0<a-xa<a  ，解 0< x< 1， 1- x> 0， tanB= 2a xa = 2 x ,tanC= 2a a-xa = 2 1-x， 以 sinA cosBcosC = sin(B+C) cosBcosC = sinBcosC+cosBsinC cosBcosC = tanB+ tanC= 2 x + 2 1-x = 2 1 x + 1 1-x [x+ (1- x)] = 4+ 2 1-x x + x 1-x ≥ 4+ 4 1-x x ⋅ x 1-x = 8， 号仅 1-x x = x 1-x， x= 1 2 时 立， 以 sinA cosBcosC 为 8. 故 为：8. 170. (2024·高三· 西· 段练习)已知 物线E:x2= 4y 与 C :x2+ y-1 2= 16 公共点为A,B， AB  = ；若P为 C AB上不 于A,B 一个 点，过点 P 直于 x轴 直线 l交 物线 E于点N ,l不经过 点， △CPN 取 围 ． 【 】 4 3 8,10  【解 】 立方 x2=4y x2+ y-1 2=16  ，解 x=2 3 y=3  x=-2 3 y=3  ， 不妨令A 2 3,3 ,B -2 3,3 ，可 AB = 4 3； 由 可知： C:x2+ y-1 2= 16 为C 0,1 ， r= 4， 物线E:x2= 4y 焦点为C 0,1 ， 线为 y=-1； 因为 l不经过 点，设P xP,yP ，N xP,yN ， yP∈ 3,5 ， 以△CPN 长 PC + PN + NC = 4+ yP-yN  + yN+1 = 5+ yP∈ 8,10 ； 故 为：4 3；8,10 . 171. (2024 ·高三 · · 段练习 ) 已知函数 f x = 2x, x≤0 2lnx x , x>0  ，g x = x 2+ 2x+ 1- 2λ,λ∈R，若关 于 x 方 f g x  = λ 6个解， λ 取 围 为 . 【 】 1 2 , 2 e  【解 】由 可 ，令 g x = t， 方 f t = λ 解 3个， t≤ 0时，f t = 2x， 以 f t  -∞,0 上 ， t> 0时，f t = 2 1-lnt  t2 ， f t  0,e 上 ， e,+∞ 上 减， f e = 2 e ，f 1 = 0， x> 1时，lnx> 0， 以 f x > 0， 画 y= f t  图 如下： ·82· 由图 可 0< λ< 2 e ， 且方 f t = λ 三个解 为 t1,t2,t3，不妨设 t1< t2 < t3， 2t1= λ， t1= log2λ， g x = x2+ 2x+ 1- 2λ= x+1 2- 2λ 以 g x  -∞,-1 上 减， -1,+∞ 上 ， 且 g x min=-2λ， 因为 g x = t， 以-2λ< t1< t2< t3， 以 log2λ>-2λ， 2λ+ log2λ> 0， 令 h λ = 2λ+ log2λ, λ>0 ， 以 h λ = 2+ 1λln2 > 0， 以 h λ  0,+∞ 上 ， h 1 2 = 0， 以 2λ+ log2λ> 0 解 为 1 2 ,+∞ ， 综上，λ 取 围为 1 2 , 2 e 。 故 为： 1 2 , 2 e  新高 数学 轴 好 (四) 一、 172. ( 2024 · 东 · 一 模 ) 已 知 A = - 1 2 ,- 1 3 , 1 2 , 1 3 ,2,3 ，若 a,b,c∈A且互不相 ， 数函数 y= ax，对数函数 y= logbx， 函数 y = xc中至 两个函数 (0, +∞)上 数对 (a,b,c) 个数 ( ) A. 16 B. 24 C. 32 D. 48 【 】B 【解 】若 y= ax y= logbx (0, +∞)上 ， y= xc (0, +∞)上 减， A22 ⋅C12= 4个； 若 y= ax y= xc (0, +∞)上 ，y= logbx (0, +∞)上 减， C12 ⋅C12 ⋅C12= 8个； 若 y= logbx y= xc (0, +∞)上 ，y= ax (0, +∞)上 减， C12 ⋅C12 ⋅C12= 8个； 若 y= ax、y= logbx y= xc (0, +∞)上 ， A22 ⋅C12= 4个； 综上 述： 4+ 8+ 8+ 4= 24个. 故 ：B. 173. (2024· 东 门·一模)物 学家 ·福特提出 定 ： b进 大 数 中，以 n 头 数出 为 Pb n = logb n+1 n . 此定 可以 某些经 数 、 举数 存 误.若 80 n=k P10 (n) = log481 1+log25 k∈N * ， k 为 ( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【 】C 【解 】 80 n=k P10 (n) =P10(k) +P10(k+ 1) +⋯+P10(80) = lg k+1 k + lg k+2 k+1 +⋯+lg 81 80 = lg 81 k ， log481 1+log25 = lg81 lg4 1+ lg5lg2 = 4lg3 2lg2 1+ lg5lg2 = 2lg3= lg9，故 k= 9． 故 ：C． 174. (2024· 东·模拟 ) 正三棱 A- BCD中， △BCD 边 为 6， 棱 为 8，E AB 中点， 直线CE与BD 角 为 ( ) A. 3 34 68 B. 34 34 C. 2 17 17 D. 17 34 【 】A 【解 】 ，记BC 中点为F，连 DF，记正 △BCD 中 为O，连 AO， 因为 正三棱锥A-BCD中，AO⊥ BCD， 正△BCD中，DF⊥BC， BCD中过F点 z轴⊥ BCD， AO⎳ z轴， 以F点为 点，建立 间直角 系，如图， 因为 正三棱锥A-BCD中，△BCD 边长为 6， 棱长为 8， ·83·