新高考数学选填压轴题好题汇编(七)-遇见最美的数学系列——选填压轴好题汇编

67 新高考数学选填压轴题好题汇编 (七) 一、 359. (2024· ·二模)已知 PO 点为P，其三 母线PA，PB，PC两两 直．且母线 为 6． PO 内 表 积与 积之 为 ( ) A. 12(10- 3 6 )π B. 24(20- 7 6 )π C. 60(8- 3 6 )π D. 3(40- 7 6 )π 360. (2024· ·二模)已知函数 f x = ax ex + e x+1 x+ex (e为自 对数 数)． 下 说法正 ( ) A. 函数 f x  定义域为R B. 若函数 f x  P 0,f 0  处 线与 轴围 三角 积为 e 2 2e-2， a= 1 C. a= 1时，f x =m可能 三个零点 D. a= 1时，函数 大于 大 361. (2024· ·模拟 ) 物线 Γ:x2= 2y上 四点A，B，C，D，直线AC，BD交于点 P，且 PC  = λPA  ，PD  = λPB  0<λ<1 ．过A,B Γ 线交于点Q，若 S△ABP S△ABQ = 2 3 ， λ= ( ) A. 3 2 B. 2 3 C. 3 3 D. 1 3 362. (2024·高二· · 段练习)已知O为 点， C : x 2 6 + y 2 3 = 1上两点A,B满足 kOA ⋅ kOB= - 1 2 ，若 C上一点M满足OM  = λOA  + μOB  ， λ+ μ 大 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 363. (2024·全国·模拟 )若关于 x 不 e-1  lnx+ax ≥ xeax- 1 x∈ 1 2 ,1  内 解， 正实 数 a 取 围 ( ) A. 0,2+2ln2  B. 1 e ,e   C. 0,4  D. 1 2e ,e   364. (2024· 信 ·模拟 )已知数 an  n 为 Sn，S1= 1，S2= 3，且 32 an+1 2an，an+2 差中 ， n i=1 i ai  > 509128 n 为 ( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 365. (2024·全国·模拟 )若关于 x 不 a(lnx+ lna) ≤ 2e2x (0, +∞)上 ， 实数 a 取 围为 ( ) 68 A. (0, e] B. 0,e2  C. (0,e] D. (0,2e] 366. (2024· ·二模)已知正方 ABCD-A1B1C2D1 棱 为 2，P为线段C1D1上 点， 三棱 P -BCD外 取 围为 ( ) A. 29 4 ,2   B. 21 4 , 3   C. 41 4 , 3   D. 7 4 , 3   367. (2024·高三· 东 泽· 段练习)已知 物线C 方 为 y= 1 4 x2，F为其 点，点N 为 0,-4 ， 过点F 直线交 物线C于A、B两点，D x轴上一点，且满足 DA = DB = DN ， 直线AB 斜 为 ( ) A. ± 15 2 B. ± 11 2 C. ± 2 D. ± 3 368. (2024· ·一模) 直角 系 xOy中，已知点A -a,0 ，B a,0 其中 a> 0，若 x-a+1 2+ y-a-2 2= a2上存 点P满足PA  ⋅PB  = 3a2， 实数 a 取 围 ( ) A. 0, 1 2  B. 1 2 ,1   C. 1 2 ,+∞  D. [1, +∞) 369. (2024·高三· 东 泽· 段练习)若对于任 正数 x，y，不 x 1+lnx ≥ xlny- ay ， 实 数 a 取 围 ( ) A. 0, 1 e  B. 1 e3 , 1 e     C. 1 e2 ,+∞  D. 1e3 ,+∞    370. (2024· 衡 ·一模)已知 物线C :y2= 2px p>0  点为 F，点M x0,2 2  x0> p 2  物线 C上一点， M与线段MF相交于点 A，且被直线 x= p 2 为 3 MA ，若 MA  AF  = 2， AF = ( ) A. 3 2 B. 1 C. 2 D. 3 371. (2024· 东·一模)已知数 an  n Sn= n2+ n， an  n组 2n 要 组， 2024 组数为 ( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 372. (2024· 东·模拟 )若 sin α+β = 1 2 ，tanα= 5tanβ， sin α-β = ( ) A. 1 6 B. 1 3 C. 7 9 D. 2 2 3 373. (2024· 东·模拟 )已知 物线C：x2= 4y，过直线 l：x+ 2y= 4上 点P可 C 两 线， 记 点为A,B， 直线AB ( ) 69 A. 斜 为 2 B. 斜 为±2 C. 过点 0,-2  D. 过点 -1,-2  374. (2024· 东 ·一模) 棱 为 2 正三棱 A-BCD中，点E为线段BC上一点，且AD⊥AE， 以A为 ， 2为 与该三棱 三个 交线 为 ( ) A. 3 2π 4 B. 2π C. 3 2π 2 D. 3 2π 375. (2024· 东 ·一模)已知F为 物线E:y2= 4x 点，△ABC 三个 点都 E上，P为AB 中点，且CF  = 2FP  ， FA + FB  大 为 ( ) A. 4 B. 5 C. 3 3 D. 4 2 376. (2024· 台州·二模)设F1，F2 曲线C：x 2 a2 - y 2 b2 = 1 a>0,b>0  左、右 点，点M ,N 曲线C 左、右两支上，且满足∠MF2N= π3 ，NF2  = 2MF1  ， 曲线C 离 为 ( ) A. 2 B. 7 3 C. 3 D. 5 2 377. (2024· 台州·二模) 建 时经 要 方 头进行不 角 ，以契 实 要.已 知 方 规 为 24cm× 11cm× 5cm， 从 方 某一棱 中点处 直于该棱 ， 取 1 次 共可以 12cm× 11cm× 5cm，24cm× 11 2 cm× 5cm，24cm× 11cm× 5 2 cm三种不 规 方 . 上述方 对 1次 方 进行 2次 取，再对 2次 方 进行 3次 取， 共可 积为 165cm3 不 规 方 个数为 ( ) A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 378. (2024· 丽 ·二模)已知 C : x 2 a2 + y 2 b2 = 1(a> b> 0),F1,F2为左、右 点，P为 上一点， ∠F1PF2= 60°，直线 l:y=-x+ t经过点P.若点F2关于 l 对称点 线段F1P 延 线上， C 离 ( ) A. 1 3 B. 2 2 C. 1 2 D. 2 3 70 379. (2024· 丽 ·二模)已知正实数 x1,x2,x3满足 x21+ 2x1+ 1= x12x1，x22+ 3x2+ 1= x23x2，x23+ 4x3+ 1 = x34x3， x1,x2,x3 大 关系 ( ) A. x3< x2< x1 B. x1< x2< x3 C. x1< x3< x2 D. x2< x1< x3 380. (2024· ·二模)已知曲线C1:x2+ y2- 4x+ 2y= 0与曲线C2:f x = x2 一 交于点A， A处两 曲线 线 斜角 为 α，β， ( ) A. α+ β= π 2 B. α-β = π 2 C. α+ β= π 3 D. α-β = π 4 381. (2024· ·二模) 棱 为 2 正方 ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R 为棱BC，CD，CC1 中点， PQR 正方 ABCD-A1B1C1D1外 积为 ( ) A. 5 3 π B. 8 3 π C. 35 3 π D. 2 15 3 π 382. (2024·全国·模拟 )记 差数 an  n 为 Sn．若 anan+1= 9n2+ 3n- 2,n∈N *， S10= ( ) A. - 155 B. 125 C. 155 D. 185 383. (2024· 泰州·模拟 )设函数 f x = 2sin ωx- π 6 - 1 ω>0  π,2π 上至 两个不 零 点， 实数ω 取 围 ( ) A. 3 2 ,+∞  B. 32 , 7 3    ∪ 5 2 ,+∞  C. 13 6 ,3  ∪ 19 6 ,+∞  D. 12 ,+∞  二、多 384. (2024· ·二模)已知 物线 x2= 4y，过 y轴正 轴上任 一点 P 0,m  直线交 物线于A(x1, y1)，B(x2,y2)， 物线 A，B处 线 l1、l2交于点Q， 下 结论正 ( ) A. x1x2+ y1y2 为-4 B. 如 P为定点， 么Q为定点 C. l1，l2 斜 之积为定 D. 如 P为定点． 么△QAB 积 为 4m m 385. (2024· ·二模)如 1 2 3100-1 = k ⋅m+ n，k，m，n∈N， k取下 时，存 m， n= 0 ( ) A. 9 B. 40 C. 121 D. 7381 386. (2024· ·模拟 )已知函数 f x = 2 sin ωx+φ + t ω>0,- π 2 <φ< π 2 ,t∈Z  正零点 71 3 4 ，f 0 = 1，若 f x  4, 9 2 上 ， ( ) A. ω= π B. ω= 5 3 π C. f 9 = 1 D. f 9 =-1 387. (2024· ·模拟 )如图，三棱台ABC-A1B1C1 ABC为 角三角 ，点D，H，E 为 棱AA1，BC，C1A1 中点，且BC= 2B1C1= 2，AC+AB= 4； BCC1B1为 直于 ，若该三棱台 积 大 为 7 3 6 ， 下 说法可能 不一定正 ( ) A. 该三棱台 积 为 7 4 B. DH= 11 2 C. VE-ADH= 1 28 VABC-A1B1C1 D. EH∈ 3 2 4 , 21 4  388. (2024·高二· 武 · )已知 差数 an  n 为 Sn，公差为 d，且 S1002> S1000> S1001， 下 说法正 ( ) A. S2002< 0 B. a1001< 0 C. n= 1001时，Sn取 D. d< 0 389. (2024·高二· · )如图，点P 棱 为 2 正方 ABCD-A1B1C1D1 表 上一个 点，F 线段A1B1 中点， ( ) A. P BCC1B1上运 时，三棱 P-AA1D 积为定 B. P 线段AC上运 时，D1P与A1C1 角 取 围 π 6 , π 2     C. 直线AP与 ABCD 角为 45°时，点P 轨迹 为 π+ 4 2 D. P ABCD上运 ，且满足PF∥ B1CD1时，线段PF 取 围 6,2 2  72 390. (2024· 信 ·模拟 )已知 物线 C：y2= 2px p>0  点为 F，点M ,N 物线C上， ( ) A. 若M ,N ,F三点共线，且 MF  NF  = 3 4 ， 直线MN 斜角 为± 3 7 B. 若M ,N ,F三点共线，且直线MN 斜角为 45°， △OMN 积为 2 2 p2 C. 若点A 4,4  物线C上，且M ,N 于点A，AM⊥AN， 点M ,N 直线 y=-4 距离之积为 定 D. 若点A 2,2  物线C上，且M ,N 于点A，kAM+ kAN= 0，其中 kAM> 1， sin∠FMN-sin∠FNM ≤ 2 5 5 391. (2024· 信 ·模拟 )已知函数 f x = sin ωx+φ ω>0 ， ( ) A. 若ω= 3，φ= π 3 ， 函数 f x  图 右 移 5π 18 个 关于 y轴对称 B. 若 φ= π 3 ，函数 f x  π 6 , π 3 上 ，无 大 ，且 f π 6 = f π 3 ， ω= 5 C. 若直线 x= π 4 为函数 f x 图 一 对称轴， 5π 3 ,0 为函数 f x 图 一个对称中 ，且 f x  π 4 , 5π 6 上 减， ω 大 为 18 17 D. 若 f x = 1 2 x∈ π 4 , 3π 4    上至 2个解，至多 3个解， ω∈ 4, 16 3    392. (2024· ·二模)已知O为 点，点A cosα,sinα ，B cosβ,sinβ ，α≠ β.若点 C满足 OC = 1，OC⊥AB， 下 断 误 ( ) A. C cos α+β 2 ,sin α+β 2  B. △AOB 积 大 为 1 2 C. 1 2 sinα+ 1 2 sinβ< sin α+β 2 D. CA  ⋅CB  > 0 393. (2024· ·二模)已知函数 fn x = 1+x n 1-xn n∈N * ， 下 断正 ( ) A. 若n= 1，且 f1 a + f1 b = 0， ab= 1 B. 若n= 2，且 f2 a + f2 b = 0， ab= 1 C. fn x  函数 D. fn x  间 1,+∞ 上 394. (2024·高三· 东 泽· 段练习)已知正方 ABCD-ABC D 棱 为 1，M AA中点，P AB 中点，点N满足DN  = λDC  λ∈ 0,1  ， MPN 该正方 ， 其 两部 ，设这两部 积 为V1，V2， 下 断正 ( ) A. λ= 1 2 时， 积为 3 2 B. λ= 1 2 时，V1=V2 73 C. V1-V2  λ 大先减 大 D. V1-V2  大 为 512 395. (2024· ·一模)如图 示 数 特点 ：每行每 都 差数 ，该数 一共 n行 n n≥100 ，aij表示 i行 j 数，比如 a23= 7，a54= 21， ( ) 2 3 4 5 6 7 ⋯⋯ 3 5 7 9 11 13 ⋯⋯ 4 7 10 13 16 19 ⋯⋯ 5 9 13 17 21 25 ⋯⋯ 6 11 16 21 26 31 ⋯⋯ 7 13 19 25 31 37 ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ A. a77= 50 B. 数字 65 这个数 中出 次数为 8次 C. aij= i× j+ 1 D. 这个数 中n2个数 S= n2 n+1 2 4 396. (2024·高三· 东 泽· 段练习) α 柱 ， 柱 轴与 α 角记为 θ， θ为 角时， 柱 线 一个 ． 数学家Dandelin 实验证 了上述结论．如图 示， 两 个大 相 嵌入 柱内， 它们 于 α 上方 下方， 且与 柱 α 相 ．下 结论 中正 ( )    A. 短轴 与嵌入 柱 直 相 B. 轴 与嵌入 柱 两 距O1O2相 C. 离 e= cosθ D. 其中G1G2为 轴，R为 O1 ， R=AG1 ⋅ tan θ2 74 397. (2024· 东·一模)已知四棱 P-ABCD， ABCD 正方 ，PA⊥ ABCD，AD= 1，PC 与 ABCD 角 正 为 2 2 ，点M为 ABCD内一点 ( 于点A)，且AM< 1， ( ) A. 存 点M， CM⊥ PAB B. 存 点M， 直线PB与AM 角为 π 3 C. AM= 1 2 时，三棱 P-BCM 积 大 为 1 4 D. AM= 2 2 时，以P为 ，PM为 与四棱 P-ABCD 交线 为 2+ 6 2 π 398. (2024· 东·模拟 )已知函数 f x  定义域为R，f 2x+1 为奇函数，f 4-x = f x ，f 0 = 2， 且 f x  0,2 上 减， ( ) A. f 1 = 0 B. f 8 = 2 C. f x  6,8 上 减 D. f x  0,100 上 50个零点 399. (2024· 东·模拟 )已知点P为 C：x2+ y2- 4y+ 3= 0上 点，点A 为 2,0 ，AP  = 2AB  ，设B点 轨迹为曲线D，O为 点， 下 结论正 ( ) A. tan∠PAO 大 为 2 B. 曲线D 方 为 x-1 2+ y-1 2= 1 C. C与曲线D 两个交点 D. 若E，F 为 C 曲线D上任一点， AE - AF   大 为 2+ 3 2 400. (2024· 东·模拟 )已知函数 f x = sin 2x+φ  φ < π 2 图 一 对称轴为直线 x= π 8 ，函数 g x = cos 2x+ π 4 ， ( ) A. f x  图 左 移 π 2 个 g x  图 B. 方 f x = g x  相 两个实数 之差 绝对 为 π 2 C. 函数 y= log 1 2 f x  间 7π 8 , 9π 8 上 D. f x  间 t,t+ π 4     t∈R 上 大 与 之差 取 围为 1- 2 2 , 2   401. (2024· 东 ·一模) 数 an 中 如下数 ： a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 ⋅⋅⋅ 75 从 2行 始每一行比上一行多两 ，且从左 右 以 2为公比 比数 ； 1 数 a1,a2,a5, ⋅⋅ ⋅ 差数 ．若 a2= 2,a10= 8， ( ) A. a1=-1 B. 9 i=2 ai = 168 C. a2024 于 45行 88 D. 2024 数 中出 两次 402. (2024· 台州·二模)已知正方 ABCD-A1B1C1D1 棱 为 1，P为 ABCD内一 点，且直 线D1P与 ABCD 角为 π 3 ，E为正方 A1ADD1 中 ， 下 结论正 ( ) A. 点P 轨迹为 物线 B. 正方 ABCD-A1B1C1D1 内 被 A1BC1 积为 π6 C. 直线CP与 CDD1C1 角 正 大 为 3 3 D. 点M为直线D1B上一 点， MP+ME 为 11-2 66 403. (2024· 台州·二模)已知 f x  定义域为 x x≠0  数函数，若对定义域内 任 实数 x，y f x f y = f xy + f x y ， 下 结论正 ( ) A. f 1 = 2 B. f x  域为 2,+∞  C. f x = f 1 x  D. f x  奇函数 404. (2024·高三· 东 泽· 段练习)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC且AB=BC= 2，直线 A1C与 ABC 角 正 为 3 3 ， ( ) A. 线段A1C上存 点D， A1B⊥AD B. 线段A1C上存 点D， DBB1⊥ DCC1 C. 直三棱柱ABC-A1B1C1 积为 43 D. 点B1 A1BC 距离为 2 405. (2024·高三· 东 泽· 段练习)已知函数 f x  定义域为R，且 f x+y ⋅ f x-y = f 2 x - f 2 y , f 1 = 2,f x+1 为 函数， ( ) A. f 3 = 2 B. f x 为奇函数 C. f 2 = 0 D. 2024 k=1 f (k) = 0 406. (2024· ·二模)已知 C : x 2 a2 + y 2 b2 = 1(a> b> 0) 左，右 点 为F1，F2，上，下两个 点 为B1，B2，B1F1 延 线交C于A，且 AF1 = 12 B1F1 ， ( ) 76 A. C 离 为 3 3 B. 直线AB1 斜 为 3 C. △AB1F2为 三角 D. AB2 : AB1 = 11 :3 3 407. (2024· ·二模)某农科 针对 种深 x( ：cm)与 每公 产 ( ：t) 关系进行 ， 部 数 如下表： 种深 x/cm 8 10 12 14 16 18 每公 产 y/t 6 8 m n 11 12 已知m<n， 二乘法 出 y关于 x 经验回 方 ：y = b  x+ a， 6 i=1 y2i = 510，∑ 6 i=1 yi-y   2= 24，数 12,m ，14,n  残差 为 ε1，ε2. ( 数 ：两个变 x，y之间 相关系数 r为 20 21 ， 公 ：b  = ∑ n i=1 xi-x   yi-y   ∑ n i=1 xi-x   2 ，a = y- b  ⋅ x，r= ∑ n i=1 xi-x   yi-y   ∑ n i=1 xi-x   2 ⋅ ∑ n i=1 yi-y   2 ) ( ) A. m+n= 17 B. b  = 4 7 C. a = 10 7 D. ε1+ ε2=-1 408. (2024· 泰州·模拟 )对任 A,B⊆R，记A⊕B= x x∈A∪B ,x∉A∩B ， 称A⊕B为 A,B 对称差． 如：若 A= 1,2,3 ,B= 2,3,4 ， A ⊕ B= 1,4 ．下 中，为 ( ) A. 若A,B⊆R且A⊕B=B， A=∅ B. 若A,B⊆R且A⊕B=∅， A=B C. 若A,B⊆R且A⊕B⊆A， A⊆B D. 存 A,B⊆R， A⊕B≠∁RA⊕ ∁RB 409. (2024· 东 ·二模) 与母线不 直 两个 行 一个 柱，若两个 都 状， 称 夹 这两个 行 之间 几 为斜 柱．这两个 称为斜 柱 ，两 之间 距离称 为斜 柱 高，斜 柱 积 于 积乘以高． 积 于 轴与短 轴 之积 π ，已 知某 柱 为 2， 与母线 45°角 两个 行 该 柱， 一个高为 6 斜 柱， 对于这个斜 柱，下 正 ( ) A. 离 为 2 2 B. 积为 24 2π C. 该斜 柱内 大 表 积为 36π D. 积为 4 2π 410. (2024· ·二模)函数 y= 1 x 图 轴 曲线，其离 为 2，已知对勾函数 y= x+ 1 x 图 也 曲线，其离 为 e． e2= ． 77 411. (2024· ·模拟 ) 曲线C : x 2 a2 - y 2 b2 = 1 a,b>0  左右 点 为 F1，F2，以实轴为直 O，过 O上一点E O 线交 曲线 近线于A，B两点 (B 一 )，若BF2= c，AF1与 一 近线 直， 曲线 离 为 ． 412. (2024·高三· · ) 菱 ABCD中，A= π 3 ，AB= 2， △ABD BD 起， AC= 3． 四 ABCD 外 表 积为 ． 413. (2024·高二·安 六安· 学 试)设数 an 满足 a1= 3，an+1= 3an- 4n，若 bn= 4n 2+8n+5 anan+1 且数 bn  n 为Sn， 6n+9 Sn= ． 414. (2024·全国·模拟 )已知 边△ABC 外 O 积为 36π， 点M O上，若MA  ⋅MB  + MB  ⋅MC  ≤ λ， 实数 λ 取 围为 ． 415. (2024·全国·模拟 )已知 间四 ABCD满足AB=AC=DB=DC,AD= 2BC= 6， 该四 外 积 为 ． 416. (2024·高三· 东 泽· 段练习)1675 ， 西 矿 其 运行规 时发 了 西 线， 西 线 内 两定点距离之积为 数 点 轨迹．已知点 F1 -2,0 ，F2 2,0 ， 点 P满足 PF1 ⋅ PF2 = 6， △PF1F2 积 大 为 ． 417. (2024· ·二模)已知 x1，x2 实数，满足 x21+ 8x22- 4x1x2= 8， x1 取 大 时，x1+x2 = ． 418. (2024·高三· 东 泽· 段练习)已知 数 an 中，a1,a11∈N+，数 an  n 为 Sn， Sn n  为 差数 ，S14= 77， S100= ． 419. (2024· ·一模) 矩 ABCD中，AB= 4，BC= 6，E,F BC,AD 中点， 四边 ABEF EF 起 二 角A1-EF-D 大 为 90°， 三棱 A1-CDE 外 表 积为 ．    420. (2024· 东·一模)已知A，B 为直线 y= 3x- 3 曲线 y= 2ex+ x上 点， AB  为 ． 421. (2024· 东·一模)如图， △ABC中，已知∠BAC= 120°，其内 与AC边相 于点D，且AD= 1， 延 BA E， BE=BC，连 CE，设以E，C为 点且经过点A 离 为 e1，以E，C为 78 点且经过点A 曲线 离 为 e2， e1e2 取 围 ． 422. (2024· 东·模拟 )已知 变 X~B 2,p ，其中 0< p< 1， 变 Y 为 Y 0 1 2 P 2 3 - q 1 3 q 表中 0< q< 2 3 ， D Y  大 为 ． 们可以 M=∑ 2 k=0 P X=k ln P X=k  P Y=k  X 与Y 相 ， D X = 1 2 ，且D Y 取 大 时， M-ln3 ln2 = ． 423. (2024· 东·模拟 )已知三棱 S-ABC， 间内一点M满足 SM  = SA  - 3SB  + 4SC  ， 三棱 M-ABC与S-ABC 积之比为 ． 424. (2024· 东 ·一模)盒子内装 号为 1，2，3，⋯，10 10个 号外完全相 ．从中 任取三 ， 其 号之 能被 3整 为 ． 425. (2024· 东 ·一模)已知 f x+2 为 函数，且 f x+2 + f x =-6， f 2027 = ． 426. (2024· 台州·二模)已知关于 x 不 lnx + 1≤ a x e ax-1 2 ， 实数 a 取 围 . 427. (2024· 丽 ·二模)已知正四 A-BCD 棱 为 1，若棱 为 a 正方 能整 放入正四 A-BCD中， 实数 a 大 为 . 428. (2024· 丽 ·二模)已知 C :mx2+ 2m-1 y2- 2ax- a- 2= 0，若对于任 a∈R，存 一 直线被 C 为定 n， m+n= . 429. (2024· ·二模)已知 物线C:y2= 4x，过点 4,0  直线与 物线交于A，B两点， 线段AB 中点M 轨迹方 为 . 430. (2024· ·二模)已知二 角 α- l- β为直二 角，A∈ α，B∈ β，A∉ l，B∉ l， AB与 α，β 角 为 π 6 ， π 4 ，AB与 l 角为 . 79 431. (2024· ·三模)已知F1，F2， 为 曲线C：x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a> 0，b> 0) 左、右 点，过F2 C 两 近线 行线，与 近线交于M，N两点．若 cos∠MF1N= 513， C 离 为 ． 432. (2024·高三·上 东新· 中)正三棱 S-ABC中， 边 AB= 2， 棱AS= 3， a，b  满足 a ⋅ a+AC   = a ⋅AB  ，b  ⋅ b  +AC   = b  ⋅AS  ， a-b    大 为 . 因为F为双曲线 x 2 a2 - y 2 b2 = 1 a,b>0 与 物线 y2= 2px p>0  焦点， 以 c= p 2 ，故 y2= 4cx， 因直线PF 斜角为 60°，故直线PF 斜 为 k= 3，直线PF 方 为 y= 3 x-c ， 立 y2= 4cx， 3 x-c 2= 4cx， 3x2- 10cx+ 3c2 = 0， x= 3c x= 1 3 c， x= 3c时，y2= 12c2，代 x 2 a2 - y 2 b2 = 1 9c 2 a2 - 12c2 b2 = 1， 因 b2= c2- a2，e= c a ， 9e4- 22e2+ 1= 0， 解 e2= 11±4 7 9 ， 因 e> 1， e= 7+2 3 x= 1 3 c时，y2= 4 3 c2，代 x 2 a2 - y 2 b2 = 1 1 9 c 2 a2 - 4 3 c 2 b2 = 1， 因 b2= c2- a2，e= c a ， e4- 22e2+ 9= 0， 解 e2= 11± 4 7， 因 e> 1， e= 7+ 2 故 为： 2+ 7 3 7+ 2. 新高 数学 轴 好 (七) 一、 359. (2024· ·二模)已知 PO 点为 P，其三 母线PA，PB，PC两两 直．且母线 为 6． PO 内 表 积与 积之 为 ( ) A. 12(10- 3 6 )π B. 24(20- 7 6 )π C. 60(8- 3 6 )π D. 3(40- 7 6 )π 【 】C 【解 】因为PA，PB，PC两两互相 直且长 为 6， 以△ABC为 锥 正三角 ，且边长 AB=BC=CA= 6 2， 由正 定 R= 1 2 ⋅ 6 2 sin60° = 2 6， 以 锥 高PO= 62-(2 6)2= 2 3． 如图， 锥轴 三角 为 锥 r， 轴 三角 积为 1 2 ⋅ 4 6 ⋅ 2 3= 1 2 (6+ 6+ 4 6 ) ⋅ r， 以 r= 6 2- 4 3． 表 积为 4π(6 2- 4 3 )2= 4π(120- 48 6 )， 锥 积为 1 2 ⋅ 6 ⋅ 2π ⋅ 2 6= 12 6π， 以 为 60(8- 3 6 )π. 故 ：C. 360. (2024· ·二模)已知函数 f x = ax ex + e x+1 x+ex (e 为自 对数 数 )． 下 说法正 ( ) A. 函数 f x  定义域为R B. 若函数 f x  P 0,f 0  处 线与 轴围 三角 积为 e2 2e-2， a= 1 C. a= 1时，f x =m可能 三个零点 D. a= 1时，函数 大于 大 【 】D 【解 】记 g x = x+ ex， g x = 1+ ex> 0， 以 g x 为 函数，g(-1) =-1+ 1 e = 1-c c < 0， g 0 = 1> 0， 以函数 g x  一零点 n∈ -1,0 ， 因为 f x  义 x+ ex≠ 0， 以函数 f x  定 义域为 {x|x≠n}， 以A错误； 因为 f(x) = a(1-x) ex + (x-1)e x+1 (x+ex)2 = (x- 1) ex+1 (x+ex)2 - a ex      ，f (0) = a- e，f(0) = e， 以函数 f(x) 点P处 线方 为 y- e= a-e x，a≠ e， 此直线与 x轴、y轴 交点 为 e e-a ,0 ，0,e ， 由三角 积 1 2 ⋅ e e-a ⋅ e= e2 2e-2，解 a= 1 a= 2e- 1， 以B错误； a= 1时，f(x) = (x- 1) ⋅ e 2x+1-(x+ex)2 ex⋅(x+ex)2 = (x- 1) ( e2x+1-x-ex)( e2x+1+x+ex) ex⋅(x+ex)2 ， ·160· x>n时，记 h(x) = e2x+1- x- ex= ( e- 1) ⋅ ex - x， h(x) = e-1 ex- 1， h x  ， h 0 = e- 2< 0，h 1 = e-1 e- 1> 0， 由零点存 定 知存 0< x1< 1， h(x1) = ( e - 1)ex1- 1= 0， ( e- 1)ex1= 1， h(x) (n,x1)上 减， (x1, +∞)上 ， 以 h(x)min= h(x1) = ( e- 1)ex1- x1= 1- x1> 0， x>n时，h x > 0， 以 e2x+1> x+ex 2， 以 f x  n,1 上 减， (1, +∞)上 ， 中-1<n< 0，en+n= 0， x<n时，记L(x) = e ⋅ ex+ ex+ x，L(x) = e ⋅ ex + ex+ 1> 0， 以L x  (-∞,n)上 ， L(-1) = e+1 e - 1= e+1-e e < 2.89+1-e e = 2.7-e e < 0，L(n) = e ⋅ en+ en+n= e ⋅ en> 0， 由零点存 定 知存 x2∈ -1,n ， L(x2) = ( e+ 1) ⋅ ex2+ x2= 0， x∈ (-∞,x2)时，L x < 0⇔ e2x+1- x+ex 2< 0，从 f(x) = (x- 1) ⋅ e 2x+1-(x+ex)2 ex⋅(x+ex)2 > 0， x∈ x2,n 时，L(x)> 0⇔ e2x+1- (x+ ex)2> 0，从 f(x) = (x- 1) ⋅ e 2x+1-(x+ex)2 ex⋅(x+ex)2 < 0， 综上可知 f x  (-∞,x2)上 ， x2,n 上 ， n,1 上 减， (1, +∞)上 ， 中-1< x2<n< 0，且 e+1 ⋅ ex2+ x2= 0，en+n = 0， 以 f x max= f x2 ，f x min= f 1 ． 因为 f(x2) = x2 ex2 + e x2+1 x2+ex2 =- e+1 + e x2+1 -ex2 e < 0，f(1) = 1 e + e 2 1+e > 0， 以 x∈ (-∞,n)时，f x < 0， x∈ (n, +∞)时， f x > 0，且 f x2 < f 1 ， 以 f x =m 多只 两个零点，C错误，D正 ． 故 ：D. 1. 方 f (x) = g(x) 解，实质 G(x) = f(x) - g(x) 零点． 2.转 想：方 解 个数问 可转 为两个函数图 交点 个数问 ；已知方 解 数 围问 可 转 为函数 域问 ． 361. (2024· ·模拟 ) 物线 Γ:x2= 2y上 四点 A，B，C，D，直线 AC，BD交于点 P，且 PC  = λPA  ，PD  = λPB  0<λ<1 ．过A,B Γ 线交于点Q，若 S△ABP S△ABQ = 2 3 ， λ= ( ) A. 3 2 B. 2 3 C. 3 3 D. 1 3 【 】D 【解 】由PC  = λPA  ，PD  = λPB  0<λ<1 ，可知AB ∥CD， 设 AB，CD 中点 为M ,N， 设直线AB 方 为：y= kx+m， 代 x2= 2y， x2- 2kx- 2m= 0， xA+ xB= 2k，xAxB=-2m， 以 xM= k，yM= kxM+m= k2+m， 可 xN= k， 由 物线 几 义可知点P 直线MN上， 以 xP= k， 因为 x2= 2y， 以 y= 1 2 x2，y= x， 以物线 A处 线为 l1:y- yA= xA(x- xA)， y - x2A 2 = xA(x- xA)， y= xAx- 1 2 x2A， xAx= yA+ y 可 物线 B处 线为 l2:y= xBx- 1 2 x2B， xBx= yB+ y, 由 y=xAx- 12 x 2 A y=xBx- 12 x 2 B  ，解 x= xA+xB2 =k y= xAxB2 =-m  ， 综上，xM= xN= xP= xQ= k，yQ=-m, 以M ,N ,P,Q四点 线，且 直线 行于 y轴， 由PC  = λPA  ， (xC- xP,yC- yP) = λ(xA- xP,yA- yP)， xC= λxA+ (1- λ)xP，yC= λyA+ (1- λ)yP， x2C= 2yC， 以 [λxA+ (1- λ)xP]2= 2λyA+ 2(1- λ)yP， x2A= 2yA， 2λxPxA- 2λyA+ (1- λ)x2p- 2yP= 0， 2λxPxB- 2λyB+ (1- λ)x2p- 2yP= 0， 由两 知直线AB 方 为： 2λxPx- 2λy+ (1- λ)x2p- 2yP= 0， ·161· 因为 xP= k， 以 2λkx- 2λy+ (1- λ)k2- 2yP= 0， 直线AB过点M (k,k2+m)， 代 yP= (1-λ)k2-2λm 2 ， S△ABP S△ABQ = PM QM = yM-yP yM-yQ = k2+m- (1-λ)k 2-2λm 2 k2+m-(-m) = 2 3 ， 整 -k2- 2m+ 3λk2+ 6λm= 0， 3λ-1 k2+2m = 0， 由 可 yQ=-m< 0， 以m> 0， 以 1- 3λ= 0， 解 λ= 1 3 . 故 ：D. 362. (2024·高二· · 段练习)已知O为 点， C : x 2 6 + y 2 3 = 1上两点A,B满足 kOA ⋅ kOB=- 1 2 ， 若 C上一点M满足OM  = λOA  + μOB  ， λ+ μ 大 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 【 】B 【解 】设M (x0,y0),A x1,y1 ,B x2,y2 ， x20 6 + y20 3 =1 x21 6 + y21 3 =1 x22 6 + y22 3 =1        ， 由OM  = λOA  + μOB  ， x0=λx1+μx2 y0=λy1+μy2  ， 以 x20 6 + y 2 0 3 = (λx1+μx2) 2 6 + (λy1+μy2) 2 3 = λ2 x 2 1 6 + y 2 1 3 + μ2 x22 6 + y 2 2 3 + λμx1x2 3 + 2λμy1y2 3 = λ2+ μ2+ λμ ⋅ x1x2+2y1y2 3 ， 由 kOA ⋅ kOB=- 1 2 ， y1y2 x1x2 =- 1 2 ， x1x2+2y1y2 2 = 0, x1x2+2y1y2 3 = 0， x 2 0 6 + y 2 0 3 = 1， 因此 λ2+ μ2= 1， (λ+ μ)2+ (λ- μ)2= 2(λ2+ μ2) = 2， 于 λ+ μ≤ |λ+ μ| ≤ 2， 且仅 λ= μ= 2 2 时取 号， 以 λ+ μ 大 为 2 . 故 ：B 363. ( 2024 ·全国 ·模拟 ) 若关于 x 不 e-1  lnx+ax ≥ xeax- 1 x ∈ 1 2 ,1  内 解， 正实数 a 取 围 ( ) A. 0,2+2ln2  B. 1 e ,e   C. 0,4  D. 1 2e ,e   【 】A 【解 】由不 e-1  lnx+ax ≥ xeax- 1， e-1 ln xeax ≥ xeax- 1， 令 t= xeax， e-1 lnt≥ t- 1， 由 a> 0， 以函数 t= xeax x∈ 0,+∞ 上 ， 因为 x∈ 1 2 ,1  ， 以 t= xe ax∈ 1 2 e a 2,ea  ， 令 f t = e-1 lnt- t+ 1，问 转 为存 t∈ 1 2 e a 2,ea  ， f t ≥ 0， 因为 f t = e-1-t t ，令 f t > 0，可 0< t< e- 1； 令 f t < 0， t> e- 1， 以 f t  0,e-1 上 ， e-1,+∞ 上 减， 因为 f 1 = 0,f e = e-1 lne- e+ 1= 0， 以 1≤ t≤ e时，f t ≥ 0， 若存 t∈ 1 2 e a 2,ea  ， f t ≥ 0 立，只 1 2 e a 2≤ e且 ea≥ 1， 解 0≤ a≤ 2+ 2ln2，因为 a> 0， 以 a∈ 0,2+2ln2 . 故 ：A. 364. (2024· 信 ·模拟 )已知数 an  n 为 Sn，S1= 1，S2= 3，且 32 an+1 2an，an+2 差中 ， n i=1 i ai  > 509128 n 为 ( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【 】D 【解 】∵ 3 2 an+1 2an，an+2 差中 ， ∴ an+2= 3an+1- 2an，故 an+2- an+1= 2 an+1-an ， a2- a1=S2- 2S1= 1≠ 0，∴ an+2-an+1 an+1-an = 2， 故数 an+1-an  为 1， 比为 2 比数 ， an+1- an= 2n-1， ·162· ∴ an= an-an-1 + an-1-an-2 +⋯+ a2-a1 + a1= 2n-2+ 2n-1+⋯+20+ 1= 1-2 n-1 1-2 + 1= 2 n-1， 记Tn= n i=1 i ai  ， Tn= 1 20 + 2 21 +⋯+ n 2n-1 ， 2Tn= 1 2-1 + 2 20 +⋯+ n 2n-2 ， 两 相减可 ，Tn= 1 2-1 + 1 20 + 1 21 +⋯+ 1 2n-2 - n 2n-1 = 2 1- 12  n  1- 12 - n 2n-1 = 4- 2+n 2n-1 ， n i=1 i ai  = 4- 2+n 2n-1 ，令 4- 2+n 2n-1 > 509 128 ， 2+n 2n-1 < 3 128 ， 设 f x = 2+x 2x-1 x>0 ， f x = 2x-1- 2+x ⋅2x-1⋅ln2 2x-1 2 = 1- 2+x ⋅ln2 2x-1 ， ∵ x> 0，∴ f x < 0，∴ f x  0,+∞  减， ∴ 2+n 2n-1   减数 ， ∵ n= 10时，2+n 2n-1 = 2+10 210-1 = 3 128 ， ∴ n> 10时， n i=1 i ai  > 509128， ∴ n i=1 i ai  > 509128 立 n 为 11. 故 ：D. 365. (2024·全国·模拟 )若关于 x 不 a(lnx+ lna) ≤ 2e2x (0, +∞)上 ， 实数 a 取 围为 ( ) A. (0, e] B. 0,e2  C. (0,e] D. (0,2e] 【 】D 【解 】 ，axln ax ≤ 2xe2x，故 eln ax ln ax  ≤ 2xe2x， 令 f x = xex,x∈R， f x = x+1 ex，令 f x = 0 可 x=-1， 以 x∈ -∞,-1 时，f x < 0， f x  -∞,-1 上 减，x∈ -1,+∞ 时，f x > 0， f x  -1,+∞ 上 ； 且 x< 0时，f x < 0， x> 0时，f x > 0； 由 f lnax ≤ f 2x x>0 ， ln ax ≤ 2x， a≤ e2x x 令 g x = e 2x x ,x∈ 0,+∞ ， g x = 2x-1 e2x x2 ， 故 x∈ 0, 1 2 时，g x < 0，g x  减， x∈ 1 2 ,+∞ 时，g x > 0,g x  ， 故 g x  min= g 1 2 = 2e， a≤ 2e， 实数 a 取 围为 a∈ 0,2e . 故 ：D． 366. (2024· ·二模)已知正方 ABCD-A1B1C2D1 棱 为 2，P为线段 C1D1上 点， 三棱 P -BCD外 取 围为 ( ) A. 29 4 ,2   B. 21 4 , 3   C. 41 4 , 3   D. 7 4 , 3   【 】C 【解 】如图，连 AC，交BD于点E， E为 △BCD 外 ． 连 A1C1,B1D1．交于点F， 知EF⊥ BCD， 三棱锥P-BCD 外 O EF上． 设△PCD 外 为O, ∴OO⊥ PCD， 由正方 中棱BC⊥ CC1D1D, OO⎳BC, E,F BD,B1D1中点， 以OO= 1． 设△PCD 外 为 r，三棱锥P-BCD 外 为R． R2= 1+ r2， 设PC1= x,x∈ 0,2 ，∴S△PCD= 2= 1 2 PC ⋅ PDsin∠CPD， ∴ 1 sin∠CPD = PC ⋅PD 4 = x 2+1 ⋅ (2-x)2+4 4 ， r= CD 2sin∠CPD = 1 sin∠CPD， ∴ r2= x2-4x+8 x2+4  16 ． 设 f(x) = (x2- 4x+ 8) (x2+ 4)， f(x) = 4(x3- 3x2 + 6x- 4)， 设 g x = f x ， g x = 12 x2-2x+2 > 0， ∴ f x  x∈ 0,2  ， f 1 = 0， 以 f x  x∈ 0,1  减， x∈ 1,2  ， f 1 = 25,f 0 = f 2 = 32， ·163· 以 f x ∈ 25,32 ，∴ r2∈ 25 16 ,2  ，∴R= 1 2+r2 ∈ 41 4 , 3  ． 故 ：C． 367. (2024·高三· 东 泽· 段练习)已知 物线C 方 为 y= 1 4 x2，F为其 点，点N 为 0,-4 ， 过点 F 直线交 物线 C于A、B两点，D x轴 上一点，且满足 DA = DB = DN ， 直线AB 斜 为 ( ) A. ± 15 2 B. ± 11 2 C. ± 2 D. ± 3 【 】B 【解 】设A x1,y1 ，B x2,y2 ，D a,0 ，直线AB方 为 y= kx+ 1， 立直线与 物线方 y=kx+1 y= 14 x 2 ，可 x 2- 4kx- 4 = 0， 然Δ> 0， 以 x1x2=-4． DA = DB = DN = a2+42， x1-a 2+y21 = x2-a 2+y22= a2+42， x21+ y21- 2ax1- 16= 0，x22+ y22- 2ax2- 16= 0， 故A x1,y1 ，B x2,y2  方 x2+ y2- 2ax- 16= 0 解， y= kx+ 1代 方 x2+ y2- 2ax- 16= 0， 整 1+k2 x2+ 2k-2a x- 15= 0， 然Δ> 0， ∴- 15 1+k2 = x1x2=-4， ∴ k2= 11 4 ， k=± 11 2 ． 故 ：B． 368. (2024· ·一模) 直角 系 xOy中，已知点 A -a,0 ，B a,0 其中 a > 0，若 x-a+1 2 + y-a-2 2= a2上存 点P满足PA  ⋅PB  = 3a2， 实数 a 取 围 ( ) A. 0, 1 2  B. 1 2 ,1   C. 1 2 ,+∞  D. [1, +∞) 【 】D 【解 】设P(x,y)，∵PA  ⋅PB  = 3a2， x+a x-a  + y2= 3a2， x2+ y2= 4a2， 点P亦 x2+ y2= 4a2上， 为 0,0 ， r1 = 2a， 点P x-a+1 2+ y-a-2 2= a2上， 为 a-1,a+2 ， r2= a， 故两 相交， r2-r1 ≤ a-1 2+ a+2 2≤ r1+ r2， 整 可 a2+2a+5≥0 7a2-2a-5≥0  且 a> 0，解 a≥ 1. 故 ：D. 369. (2024·高三· 东 泽· 段练习)若对于任 正数 x，y，不 x 1+lnx ≥ xlny- ay ， 实 数 a 取 围 ( ) A. 0, 1 e  B. 1 e3 , 1 e     C. 1 e2 ,+∞  D. 1e3 ,+∞    【 】C 【解 】由不 x 1+lnx ≥ xlny- ay 立，且 x > 0，y> 0， 离 数 ay≥ x lny-lnx - x， 以 a≥ x y lny-lnx - x y ， a≥ x y ln y x - x y ， 设 t= y x ， a≥ lnt-1 t ，t∈ 0,+∞ ，设 g(t) = lnt-1 t ，t∈ 0,+∞ ， a≥ g(t)max. g(t) = 2-lnt t2 ，由 g(t) = 0 t= e2， t∈ (0,e2)时， g(t)> 0，g(t) ； t∈ (e2, +∞)时，g(t)< 0， g(t) 减； 以 g(t)max= g(e2) = 2-1 e2 = 1 e2 . 以 a≥ 1 e2 . 故 ：C. 370. ( 2024 · 衡 ·一模 ) 已知 物线 C : y 2 = 2px p>0  点为 F，点M x0,2 2  x0> p 2  ·164· 物线 C上一点， M与线段MF相交于点A，且 被直线 x= p 2 为 3 MA ，若 MA  AF  = 2， AF = A. 3 2 B. 1 C. 2 D. 3 【 】B 【解 】由 ：M (x0，2√2) 物线上， 8= 2px0， px0= 4，① 由 物线 质可知, DM = x0- p 2 ， MA  AF  = 2 ， MA = 2 AF = 2 3 MF = 2 3 x0+ p 2 ， ∵被直线 x= p 2 长为√3|MA|， DE = 3 2 MA = 3 3 x0+ p 2 ， 由 MA = ME = r， Rt△MDE中，|DE|2+ |DM |2 = |ME|2， 1 3 x0+ p 2  2 + x0- p 2  2 = 4 9 x0+ p 2  2 ， 代 整 ：4x20+ p2= 20 ②， 由①②，解 ：x0= 2，p= 2， ∴ AF = 1 3 x0+ p 2 = 1 ， 故 B． 371. (2024· 东·一模)已知数 an  n Sn= n2+ n， an  n组 2n 要 组， 2024 组数为 ( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【 】B 【解 】因为Sn=n2+n， 以 n≥ 2时，an=Sn-Sn-1=n2+n- n-1 2+ n-1  = 2n， n= 1时，a1=S1= 2 an= 2n， 以 an= 2n，故由 2024= 2n n= 1012， an  照 n组 2 n 要 组， 故 一组 2 ， 二组 22 ， 三组 23 ，⋯， n组 2n ， 故 n组 2× 1-2n  1-2 = 2 n+1- 2， 210- 2= 1022,29- 2= 510， 故 2024 组数为 9. 故 ：B. 372. (2024· 东·模拟 )若 sin α+β = 1 2 ，tanα= 5tanβ， sin α-β = ( ) A. 1 6 B. 1 3 C. 7 9 D. 2 2 3 【 】B 【解 】因为 tanα= 5tanβ， sinα cosα = 5sinβ cosβ ，可 sinαcosβ= 5cosαsinβ， 因为 sin α+β = sinαcosβ+ cosαsinβ= 6cosαsinβ= 1 2 ，可 cosαsinβ= 1 12 ， 以 sin α+β = sinαcosβ- cosαsinβ= 4cosαsinβ = 1 3 . 故 ：B. 373. (2024· 东·模拟 )已知 物线C：x2= 4y，过 直线 l：x+ 2y= 4上 点P可 C 两 线， 记 点为A,B， 直线AB ( ) A. 斜 为 2 B. 斜 为±2 C. 过点 0,-2  D. 过点 -1,-2  【 】D 【解 】设A x1,y1 ,B x2,y2 ， x21= 4y1，x22= 4y2， 由于 y= 1 2 x，故过点A x1,y1  线方 为 y- y1= 1 2 x1 x-x1 ， y- y1= 12 x1x- 1 2 x21= 12 x1x- 2y1， y+ y1= 1 2 x1x， 可 过点B 线方 为 y+ y2= 12 x2x， 设P 4-2n,n ，过点A x1,y1 ,B x2,y2  两 线交于 点P 4-2n,n ， 故n+ y1= 12 x1 4-2n ，整 y1+n= 2-n x1， n+ y2= 12 x2 4-2n ，整 y2+n= 2-n x2， 故直线AB 方 为 y+n= 2-n x， 斜 不为定 ，AB错误， x=-1时，y=-2， 过点 ·165· -1,-2 ，C错误，D正 . 故 ：D 374. (2024· 东 ·一模) 棱 为 2 正三棱 A - BCD中，点 E为线段 BC上一点，且 AD⊥ AE， 以A为 ， 2为 与该三棱 三个 交线 为 ( ) A. 3 2π 4 B. 2π C. 3 2π 2 D. 3 2π 【 】C 【解 】取BC中点F，连 AF、DF， AF⊥BC， DF⊥BC， AF∩DF=F，AF、DF⊂ ADF，故BC⊥ ADF， AD⊂ ADF，故BC⊥AD， AD⊥AE， BC∩AE=E，BC、AE⊂ ABC，故AD⊥ ABC， AC、AB⊂ ABC，故AD⊥AC，AD⊥AB， 由正三棱锥 质可 AD、AB、AC两两 直， 故AF= 1 2 22+22= 2， 以A为 ， 2为 与 ABC 交线长为： π 2 × 2= 2 2 π， 与该三棱锥三个 交线长 为 3× 2 2 π= 3 2π 2 . 故 ：C. 375. (2024· 东 ·一模)已知 F为 物线 E:y2= 4x 点，△ABC 三个 点都 E上，P为AB 中点，且 CF  = 2FP  ， FA + FB  大 为 ( ) A. 4 B. 5 C. 3 3 D. 4 2 【 】B 【解 】设A x1,y1 、B x2,y2 、C x3,y3 ，由E:y2= 4x 可 F 1,0 ， 由CF  = 2FP  ，P为AB 中点， CF  = 2FP  =FA  +FB  ， FA  +FB  +FC  = 0， x1+ x2+ x3= 3，故 x1+ x2= 3- x3， FA + FB = x1+ p 2 + x2+ p 2 = x1+ x2+ 2= 5- x3， x3≥ 0，故 FA + FB = 5- x3≤ 5- 0= 5，此时点 C 点. 故 ：B. 376. (2024· 台州·二模)设F1，F2 曲线C：x 2 a2 - y2 b2 = 1 a>0,b>0  左、右 点，点M ,N 曲线 C 左、右两支上，且满足 ∠MF2N= π3 ，NF2  = 2MF1  ， 曲线C 离 为 ( ) A. 2 B. 7 3 C. 3 D. 5 2 【 】B 【解 】如图，设NF1与MF2 交点为P，MF1 = x， 因为NF2  = 2MF1  ， 以 NF2   = 2 MF1   = 2x， 以，由双曲线 定义可知：MF2 = MF1 + 2a= 2a + x，NF1   = 2a+ NF2   = 2x+ 2a， 因为NF2  = 2MF1  ， 以NF2⎳MF1， 以△NF2P∽△F1MP，∠F1MF2=∠MF2N= π3 ， 以 PF2 = 23 MF2 = 2 3 2a+x ，PN = 2 3 NF1 = 2 3 2a+2x ， 以， △PNF2中，∠PF2N=∠MF2N= π3 ， 以 ，由 定 ：cos∠PF2N= PF2  2+ F2N 2- PN 2 2 PF2 ⋅ F2N  = cos π 3 = 1 2 ， 代 PF2 = 23 2a+x ，PN = 2 3 2a+2x ，NF2   = 2x，整 3x2- 10ax= 0， 解 x= 10 3 a，x= 0( )， 以，MF1 = x= 103 a,MF2 = 2a+ x= 16 3 a，F1F2  = 2c， 以， △F1MF2中，由 定 ：cos∠F1MF2= F1M  2+ F2M 2- F1F2 2 2 F1M ⋅ F2M  = 1 2 ， ·166· 代 数 整 ：7a= 3c， 以，双曲线 离 为：e= c a = 7 3 . 故 ：B 377. (2024· 台州·二模) 建 时经 要 方 头进行不 角 ，以契 实 要. 已知 方 规 为 24cm× 11cm× 5cm， 从 方 某一棱 中点处 直于该棱 ， 取 1次 共可以 12cm × 11cm × 5cm，24cm × 11 2 cm× 5cm，24cm× 11cm× 5 2 cm三种不 规 方 . 上述方 对 1次 方 进行 2次 取，再对 2次 方 进行 3次 取， 共可 积为 165cm3 不 规 方 个数为 ( ) A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【 】B 【解 】由 ，V长方 = 24× 11× 5= 8× 165，为 积为 165cm3 长方 ， 长方 积 为 1 8 ， 可 三类完 ： 一类，长减 3次，宽减 3次、高减 3次， 3种； 二类，长宽高 减 1次， 1种； 三类，长宽高减 0,1,2 次 A33= 6种， 类 法计数 ， 3+ 1+ 6= 10种. 故 ：B 378. (2024· 丽 ·二模)已知 C : x 2 a2 + y 2 b2 = 1(a > b > 0),F1,F2为左、右 点，P为 上一点， ∠F1PF2= 60°，直线 l:y=-x+ t经过点P.若点F2关 于 l 对称点 线段 F1P 延 线上， C 离 ( ) A. 1 3 B. 2 2 C. 1 2 D. 2 3 【 】B 【解 】由直线 l:y=-x+ t，且点F2 于 l 对称点 线段F1P 延长线上， 如图 示，可 点M与点F2 于PH对称，且∠F1PF2 = 60°, 故 △PF2M中， ∠F2PM= 120°,故∠PF2M= 30° PH 斜角为 135°， ∠HF2M= 45°， 故 △PF1F2中， ∠F1PF2= 60°，∠PF2F1= 105°， ∠PF1F2= 15°， 由 PF1  sin∠PF2F1 = PF2  sin∠PF1F2 = F1F2  sin∠F1PF2 ，可 PF1 + PF2  sin15°+sin105° = F1F2  sin∠F1PF2 ， 2a sin15°+sin105° = 2c sin∠F1PF2 ， 因为 sin15° = sin(45° -30°) = 2 2 × 3 2 - 2 2 × 1 2 = 6- 2 4 ， sin105° = sin(60° +45°) = 3 2 × 2 2 + 1 2 × 2 2 = 6+ 2 4 ， 以 e= c a = sin60° sin15°+sin105° = 3 2 6- 2 4 + 6+ 2 4 = 2 2 . 故 ：B. 379. (2024· 丽 ·二模)已知正实数 x1,x2,x3满足 x21 + 2x1+ 1= x12x1，x22+ 3x2+ 1= x23x2，x23+ 4x3+ 1 ·167· = x34x3， x1,x2,x3 大 关系 ( ) A. x3< x2< x1 B. x1< x2< x3 C. x1< x3< x2 D. x2< x1< x3 【 】A 【解 】因为 x1，x2，x3为正实数，且满足 x 2 1+ 2x1+ 1= x12 x1，x22+ 3x2+ 1= x23x2，x23+ 4x3+ 1= x34x3， x21+ 1= x12x1- 2x1，x22+ 1= x23x2- 3x2，x23+ 1= x34 x3- 4x3， 以 x21+1 x1 = 2x1- 2，x 2 2+1 x2 = 3x2- 3，x 2 3+1 x3 = 4x3- 4， x1+ 1x1 = 2x1- 2，x2+ 1x2 = 3x2- 3，x3+ 1x3 = 4x3- 4， 令 f x = x+ 1 x ，x∈ 0,+∞ ， 由对勾函数 质可 f x = x+ 1 x 0,1 上 减， 1,+∞ 上 ，且 f 1 = 2， 满足 x1+ 1x1 = 2x1- 2 x1 为 y= f x 与 y= 2x- 2 交点 横 ， 满足 x2+ 1x2 = 3x2- 3 x2 为 y= f x 与 y= 3x- 3 交点 横 ， 满足 x3+ 1x3 = 4x3- 4 x3 为 y= f x 与 y= 4x- 4 交点 横 ， 一 直角 系中画出 y= f x 、y= 2x- 2、y = 3x- 3、y= 4x- 4 图 如下 示： 由图可知 x3< x2< x1. 故 ：A 380. (2024· ·二模)已知曲线C1:x2+ y2- 4x+ 2y= 0与曲线 C2: f x = x2 一 交于点A， A处两 曲线 线 斜角 为 α，β， ( ) A. α+ β= π 2 B. α-β = π 2 C. α+ β= π 3 D. α-β = π 4 【 】A 【解 】 因为曲线 C1:x2+ y2- 4x + 2y = 0， C1: x-2 2+ y+1 2= 5， 以曲线C1 以 2,-1 为 ， 5为 ， 且 OC1 = 5， 曲线C1过 点O， 立 x2+y2-4x+2y=0 y=x2  ， x 4+ 3x2- 4x= 0⇒ x1= 0,x2= 1⇒A 1,1 ， 以 A处 C1 线斜 为 k1=- 1kAC1 = - 1-2 1- -1  = 1 2 ， 以 tanα= 1 2 ， 由C2:f x = x2⇒ f x = 2x， 以曲线C2 A处 线斜 为 k2= f 1 = 2= tanβ， tanα= 1 2 = 1 tanβ = cosβ sinβ = sin π2 -β  cos π2 -β  = tan π 2 -β > 0， 以 α,β∈ 0, π 2 ， 以 α, π 2 - β∈ 0, π 2 ，从 α= π 2 - β， α+ β= π 2 ，故A正 ，C错误， 注 ，0< α< β< π 2 ，且 tan α-β  = tan β-α  = 2- 12 1+2× 12 = 3 4 ，故B、D错误， 故 ：A. 381. ( 2024 · ·二模 ) 棱 为 2 正方 ABCD - A 1B 1C 1D 1中，P，Q，R 为棱 BC， CD，CC 1 中点， PQR 正方 ABCD - A1B1C1D1外 积为 ( ) A. 5 3 π B. 8 3 π C. 35 3 π D. 2 15 3 π 【 】A ·168· 【解 】取正方 中 为O，连 OP,OQ,OR， 由于正方 棱长为 2， 以正方 对角线长为 2 2， 对角线长为 2 3， 正方 外 为点O， R= 1 2 × 2 3= 3， OP=OQ=OR= 1 2 × 2 2= 2，且PQ= PR=QR= 1 2 × 2 2= 2， 以三棱锥O-PQR为正四 ，如图 示，取 正三角 PQR 中 为M， 点O PQR 距离为OM， 正三角 PQR 外 为MQ， 由正 定 可 2MQ= PQ sin60° = 2 3 2 = 2 6 3 ， MQ= 6 3 ， 以OM= OQ2-MQ2= 2 2- 63  2 = 2 3 3 ， 正方 ABCD-A1B1C1D1外 O PQR 距离为OM= 2 3 3 ， 以 PQR被 O r= R2-OM 2 = 3 2- 2 33  2 = 5 3 ， 积为 πr2= 5 3 π. 故 ：A. 382. (2024·全国·模拟 )记 差数 an  n 为 Sn．若 anan+1= 9n2+ 3n- 2,n∈N *， S10= ( ) A. - 155 B. 125 C. 155 D. 185 【 】C 【解 】设 差数 an  差为 d， d> 0． 因为 anan+1= 9n2+ 3n- 2,n∈N *， 以 n= 1时，a1a2= 10， a1 a1+d = 10①， n= 2时，a2a3= 40， a1+d a1+2d = 40②． 立①②，结 d> 0，解 a1= 2，d= 3. 以S10= 10× 2+ 10×92 × 3= 155. 故 ：C 383. ( 2024 · 泰州 ·模拟 ) 设函数 f x = 2sin ωx- π 6 - 1 ω>0  π,2π 上至 两个不 零点， 实数ω 取 围 ( ) A. 3 2 ,+∞  B. 3 2 , 7 3    ∪ 5 2 ,+∞  C. 13 6 ,3  ∪ 19 6 ,+∞  D. 1 2 ,+∞  【 】A 【解 】令 2sin ωx- π 6 - 1= 0 sin ωx- π 6 = 1 2 ， 因为ω> 0， 以ωx- π 6 >- π 6 ， 令 sinz= 1 2 ，解 z= π 6 + 2kπ,k∈ Z z= 5π 6 + 2k1π,k1∈ Z， 从 大 sinz= 1 2 正 出如下： π 6 ， 5π 6 ， 13π 6 ， 17π 6 ， 25π 6 ， 29π 6 ⋯⋯， 因为 x∈ π,2π ， 以ωx- π 6 ∈ ωπ- π 6 ,2ωπ- π 6    ， ωπ- π 6 ∈ 0, π 6    ， ω∈ 1 6 , 1 3    时，2ωπ- π 6 ≥ 5π 6 ，解 ω≥ 1 2 ， 此时无解， ωπ- π 6 ∈ π 6 , 5π 6 ， ω∈ 1 3 ,1 时，2ωπ- π6 ≥ 13π 6 ，解 ω≥ 7 6 ，此时无解， ωπ- π 6 ∈ 5π 6 , 13π 6 ， ω∈ 1, 7 3 时，2ωπ- π 6 ≥ 17π 6 ，解 ω≥ 3 2 ， 故ω∈ 3 2 , 7 3    ， ωπ- π 6 ∈ 13π 6 , 17π 6 ， ω∈ 7 3 ,3 时，2ωπ- π6 ≥ 25π 6 ，解 ω≥ 13 6 ， ·169· 故ω∈ 7 3 ,3 ， ω≥ 3时，2ωπ- π 6 - ωπ- π 6 =ωπ≥ 3π，此时 f x  π,2π 上至 两个不 零点， 综上，ω 取 围 3 2 ,+∞ . 故 ：A 二、多 384. (2024· ·二模)已知 物线 x2= 4y，过 y轴正 轴上任 一点 P 0,m  直线交 物线于 A(x1, y1)，B(x2,y2)， 物线 A，B处 线 l1、l2交于点 Q， 下 结论正 ( ) A. x1x2+ y1y2 为-4 B. 如 P为定点， 么Q为定点 C. l1，l2 斜 之积为定 D. 如 P为定点． 么△QAB 积 为 4m m 【 】AD 【解 】 然直线AB 斜 存 ，设AB:y= kx+ m m>0 ，与 x2= 4y 立 x2- 4kx- 4m= 0， 由韦达定 x1+ x2= 4k，x1x2=-4m，y1y2= x21 4 ⋅ x22 4 =m2， 以 x1x2+ y1y2=m2- 4m= m-2 2- 4≥-4， 且 仅 m= 2时取 号， 以A正 ； 因为对于 物线 x2= 4y，y= x 2 ， 以 l1:y- y1= x1 2 (x- x1)， x1x- 2y- 2y1= 0， l2;y- y2= x2 2 (x- x2)， x2x- 2y- 2y2= 0， 以 l1，l2 斜 之积为 x1x2 4 =-m， 以C错误； 因为 l1过点Q x0,y0 ， 以 x1x0- 2y0- 2y1= 0， x2x0- 2y0- 2y2= 0， 这表 A x1,y1 ，B x2,y2  直线 xx0- 2y0- 2y= 0 上， 直线AB 方 为 xx0- 2y0- 2y= 0， 因为AB经过点P， 以 0 ⋅ x0- 2y0- 2m= 0，解 y0=-m， 因为Q 直线 l1，l2 交点， 以 x1x0- 2y1= x2x0- 2y2， 以 x0= 2k， 以Q 2k,-m ， P为定点时，Q 直线 y=-m 上， 以B错误； 因为 AB = 1+k2 ⋅ (x1+x2)2-4x1x2= 1+k2 ⋅ 16k2+16m，Q(2k, -m) 直线AB 距离 d= 2k2+2m 1+k2 ， 以△QAB 积S= 1 2 AB d= 4 k2+m  k2+m， 然如 m为定 ． 么 k= 0时，S ，且 为 4m m， 以D正 ． 故 ：AD 385. (2024· ·二模)如 1 2 3100-1 = k ⋅m+ n，k， m，n∈N， k取下 时，存 m， n= 0 ( ) A. 9 B. 40 C. 121 D. 7381 【 】BCD 【解 】方法一 ：对于A，如 k= 9，n= 0， 么 1 2 3100-1 = 9m⇒ 3100= 18m+ 1⇒ 8125= 18m + 1⇒ 80+1 25= 18m+ 1 ⇒ 8025+C24258024+⋯+C12580+ 1= 18m+ 1， 因为 80不 18 整数 ， 以 k= 9时，n≠ 0． 以A错误； 对于B，如 k= 40，n= 0， 么 1 2 3100-1 = 40m⇒ 3100= 80m+ 1= 80+1 25 = 80m+ 1， 由二 定 可知存 m∈N， 立， 以B正 ； 对于C，如 k= 121，n= 0， 么 1 2 3100-1 = 121m⇒ 3100= 242m+ 1⇒ 242+1 20= 242m+ 1， 由二 定 可知存 m∈N， 立， 以C 正 ； 对于D，如 k= 7381，n= 0， 么 1 2 3100-1 = 7381m⇒ 3100= 14762m+ 1⇒ 4×14762+1 10= 14762m+ 1， 由二 定 可知存 m∈N， 立， 以D 正 ． 故 ：BCD． 方法二：因为 1 2 (3100- 1) = 1+ 3+ 32+ 33+ 34+ 35+ ·170· ⋯+399， 以 1 2 (3100- 1)可表示为 100 ， 因为 1+ 3+ 32+ 33+ 34+ 35+⋯+399= 4+ 9(1+ 3+ 32+ 33+⋯+397)， 以 k= 9时，n= 4，A错误； 因为 1+ 3+ 32+ 33= 40， 以 1+ 3+ 33+ 33+ 34+ 33 +⋯+339= 40(1+ 34+ 38+⋯+396) ( 100 ，每 4 相 ，然 提出 40)， 以B正 ； 由于 1+ 3+ 32+ 33+ 34= 121， 可知C正 ； 因为 1 2 (3100- 1) = 1+ 3+ 32+ 33+ 34+ 35+⋯+399． = (1+ 32+ 34+ 36+ 38+⋯+398) + (3+ 33+ 35+ 37+ 39+⋯+399) = 4(1+ 32+ 34+ 36+ 38+⋯+398) = 4[(1+ 32+ 34+ 36+ 38) + 310(1+ 32+ 34+ 36+ 38) + ⋯+390(1+ 32+ 34+ 36+ 38)] = 4[7381(1+ 310+ 320+⋯+390)]， 以D正 ． 故 ：BCD． 386. ( 2024 · ·模 拟 ) 已 知 函 数 f x = 2 sin ωx+φ + t ω>0,- π 2 <φ< π 2 ,t∈Z  正零点 3 4 ，f 0 = 1，若 f x  4, 9 2 上 ， ( ) A. ω= π B. ω= 5 3 π C. f 9 = 1 D. f 9 =-1 【 】BC 【解 】f(0) = 2sinφ+ t= 1，故 t∈ (1- 2 ,1+ 2 )，f 3 4 = 2sin 3 4 ω+φ + t= 0，故 t∈ [- 2 , 2]， 故 t∈ (1- 2 , 2]，t∈ Z，故 t= 0 t= 1， t= 0时，sinφ= 2 2 ，- π 2 < φ< π 2 ， 故 φ= π 4 ，f(x) = 2sin ωx+ π 4 ，ω> 0，f(x) 正零点 3 4 ， 3 4 ω+ π 4 = kπ,k∈N *，ω= 4 3 kπ- π 3 ,k∈N *，T 2 ≥ 9 2 - 4= 1 2 ， 故T= 2π ω ≥ 1，ω≤ 2π，故ω= π，f(x) = 2sin πx+ π 4 ， x∈ 4, 9 2 ，πx+ π 4 ∈ 17π 4 , 19π 4 ，函数不 ， ； t= 1时，sinφ= 0，- π 2 < φ< π 2 ，故 φ= 0， sin 3 4 ω =- 22 ， 3 4 ω= 2kπ+ 5π 4 3 4 ω= 2kπ+ 7π 4 ， ω= 8 3 kπ+ 5π 3 ,k∈N ω= 8 3 kπ+ 7π 3 ,k∈N，T 2 ≥ 9 2 - 4= 1 2 ， 故T= 2π ω ≥ 1，ω≤ 2π， 故ω= 5π 3 ，f(x) = 2sin 5π 3 x + 1，验证满足 件， 此时 f(9) = 2sin(15π) + 1= 1． 综上，AD错误，BC正 . 故 ：BC． 387. ( 2024 · ·模拟 ) 如图，三棱台 ABC - A1B1C1 ABC为 角三角 ，点D，H，E 为棱 AA1，BC，C1A1 中点，且 BC= 2B1C1= 2，AC+AB= 4； BCC1B1为 直于 ，若该三棱台 积 大 为 7 3 6 ， 下 说法可能 不一定正 ( ) A. 该三棱台 积 为 7 4 B. DH= 11 2 C. VE-ADH= 1 28 VABC-A1B1C1 D. EH∈ 3 2 4 , 21 4  【 】BD 【解 】由AC+AB= 4，BC= 2，可 点A 轨迹为 ，如图 ·171· 方 为 x2 4 + y 2 3 = 1，由于 b= 3> c= 1 0° <∠BAC< 90°， 因为△ABC为锐角三角 ， 0° <∠ABC< 90°且 0° <∠ACB< 90°， 以 3 2 < yA ≤ 3，0≤ xA < 1， 以 S△ABC max= 1 2 × 2× 3= 3，由于BC= 2B1C1= 2， 以S△ABC= 1 4 S△ABC≤ 3 4 ， 设S=S△ABC， S△ABC= 4S，设三棱台 高为 h， VABC-A1B1C1= 1 3 h S+4S+ 4S2 = 73 hS， 因为该三棱台 积 大 为 7 3 6 ，Smax= 34 ， 以 hmax= 2， 由于S,h无 ，故该三棱台 积无 ，故A 不正 ； 对于三棱台ABC-A1B1C1 BCC1B1为 直于 ， 如图，以H为 点， ABC上 Hx⊥ BCC1B1， BCC1B1 Hz⊥ ABC， H 0,0,0 ,B 1,0,0 ,C -1,0,0 ,B1 12 ,0,h , C1 - 12 ,0,h ， 设A x,y,0 ， A1 x2 , y 2 ,h ，D 3x4 , 3y 4 , h 2 ， E x-1 4 , y 4 ,h ， 以HD= 9 16 x2+y2 + h 2 4 = 9 16 3+ x 2 4 + h 2 4 ， 由于 x ∈ 0,1 ，h∈ 0,2 ， 以HD∈ 3 3 4 , 181 8 ， 11 2 ∈ 3 3 4 , 181 8 ，故B可能正 ； EH= 1 16 x-1 2+y2 +h2= 1 64 x-4 2+h2 ∈ 3 8 , 17 2 ， 3 2 4 , 21 4 ⊆ 3 8 , 17 2 ，故D可能正 ； 如图， 三棱台补 三棱锥P-ABC， 设点C PAH 距离为 d， VABC-A1B1C1= 7 8 VP-ABC= 7 4 VP-ACH= 7 4 ⋅ 4VD-ACH= 7VD-ACH= 7VC-ADH= 7 3 dS△ADH， VE-ADH= 1 2 VC1-ADH= 1 4 VC-ADH， 以VE-ADH= 1 28 VABC-A1B1C1，故C一定正 . 故 ：BD. 388. (2024·高二· 武 · )已知 差数 an  n 为 Sn，公差为 d，且 S1002> S1000> S1001， 下 说法正 ( ) A. S2002< 0 B. a1001< 0 C. n= 1001时，Sn取 D. d< 0 【 】BC 【解 】由 可知S1002-S1001= a1002> 0,S1001-S1000 = a1001< 0,d= a1002- a1001> 0,S1002-S1000= a1002+ a1001> 0，故B正 D错误； 以S2002= 2002 a1+a2002  2 = 1001 a1001+a1002 > 0， 故A错误； a1<⋯< a1001< 0< a1002<⋯， 以 n= 1001时， Sn取 ，故C正 . 故 ：BC. 389. (2024·高二· · )如图，点P 棱 为 2 正 方 ABCD-A1B1C1D1 表 上一个 点，F 线段A1B1 中点， ( ) ·172· A. P BCC1B1上运 时，三棱 P- AA1D 积为定 B. P 线段AC上运 时，D1P与A1C1 角 取 围 π 6 , π 2     C. 直线AP与 ABCD 角为 45°时，点 P 轨迹 为 π+ 4 2 D. P ABCD上运 ，且满足PF∥ B1CD1时，线段PF 取 围 6,2 2  【 】ACD 【解 】对A： P BCC1B1上运 时， 三棱锥P-AA1D 为三角 AA1D， 积为定 ， 点P AA1D 距离 BBC1B1 ADD1A1 距离AB，也为定 ， 故三棱锥P-AA1D 积不变，A正 ； 对B：连 AC,BD，设 交点为O，连 OD1， 图如 下 示： 因为AC⊥BD,AC⊥DD1,BD,DD1⊂ DBB1D1, BD∩DD1=D，故AC⊥ BDB1D1， D1O⊂ BDB1D1，故AC⊥OD1； 点P AC上运 ，因为A1C1⎳AC， D1P与 A1C1 角 为D1P与AC 角； 点P与点O重 时，因为AC⊥OD1，故可 AC, D1P 角为 π 2 ； 点P 于点O时，设D1P,AC 角为 θ， tanθ= D1O OP ， 故 P与A,C重 时，OP取 大 ，此时 tanθ取 ，θ ， 此时，三角 D1AC为 边三角 ，故可 θ= π3； 综上 述， 点P AC上运 时，直线D1P,A1C1 角 围为 π 3 , π 2    ，故B错误； 对C： 点P与D1,B1重 时，∠D1AD=∠B1AB= 45°，也 AP与 ABCD 夹角为 45°； 点P B1BCC1上时 ( 于点B1)，过P PH ⊥BC，连 AH， 然∠PAH 为 线 角； tan∠PAH= PH HA ， PH BB1=AB,HA AB，故 tan∠PAH< 1，∠PAH< 45°， 故 点P B1BCC1上时 ( 于点B1)，AP与 ABCD 夹角 于 45°，不满足 ； 可 ， 点P D1DCC1上 ( 于点D1)时， AP与 ABCD 夹角也 于 45°，不满足 ； 点P ADD1A1上时，因为∠D1AD= 45°， 知 点P 轨迹为AD1， AD1= AD2+DD21 = 4+4= 2 2； 点P A1ABB1上时，因为∠B1AB= 45°， 知 点P 轨迹为AB1， AB1= AB2+BB21 = 4+4= 2 2； 点P A1B1C1D1上时，因为 ABCD⎳ A1B1C1D1， 故AP与 ABCD 角与AP与 A1B1C1D1 角相 ， 因为AA1⊥ A1B1C1D1，连 PA1，故∠APA1= 45°； 三角 AA1P中， 知A1P=AA1= 2， 故点P 轨迹 以A1为 ，2为 1 4 ， 故 轨迹长 为： 1 4 × π× 22= π； ·173· 点P ABCD上，不满足 ； 综上 述：点P轨迹 长 为：π+ 4 2，故C正 ； 对D：取A1D1,D1D,DC,CB,BB1,AB 中点 为Q, R,N ,M ,T,H， 连 QR,QF,FT,TM ,MN ,NR,FH,HN ,HM，如下 示： 因为FT⎳D1C,FT⊄ D1B1C,FT⊂ FTM，故 FT⎳ D1B1C； TM⎳B1C,TM⊄ D1B1C,B1C⊂ D1B1C，故 TM⎳ D1B1C； FT∩TM=T,FT,TM⊂ FTM，故 FTM⎳ D1B1C； QF⎳NM ,QR⎳TM ,RN⎳FT，故 FTMNRQ 与 FTM 一个 . 点P 轨迹为线段MN； 三角 FNM中， FN= FH 2+HN 2= 4+4= 2 2；FM= FH 2+HM 2= 4+2= 6；NM= 2； FM 2+MN 2= 8=FN 2，故三角 FNM 以 ∠FMN为直角 直角三角 ； 故FPmax=FN= 2 2 ;FPmin=FM= 6， 故FP长 取 围 6,2 2 ，故D正 . 故 ：ACD. 390. (2024· 信 ·模拟 )已知 物线 C：y2= 2px p>0  点为 F，点M ,N 物线 C上， ( ) A. 若M ,N ,F三点共线，且 MF  NF  = 3 4 ， 直线MN 斜角 为± 3 7 B. 若M ,N ,F三点共线，且直线MN 斜角为 45°， △OMN 积为 2 2 p2 C. 若点A 4,4  物线C上，且M ,N 于点A， AM⊥AN， 点M ,N 直线 y=-4 距离之 积为定 D. 若点A 2,2  物线C上，且M ,N 于点A， kAM+ kAN= 0，其中 kAM> 1， sin∠FMN-sin∠FNM ≤ 2 5 5 【 】BCD 【解 】对A，设 物线C：y2= 2px，设直线MN：x= ty+ p 2 t≠0 ， 设M x1,y1 ，N x2,y2 ， 立 y2=2px x=ty+ p2  ， y2- 2pty- p2= 0，y1+ y2= 2pt,y1y2=-p2， 由于 MF  NF  = 3 4 ，可 y1 y2 =- 3 4 ，代 上 ： 1 4 y2= 2pt, - 3 4 y22=-p2， 解 ：t2= 1 48 ，且直线MN 斜 为 1 t ， 设直线MN 斜角为 α， tan2α= 48，且 sin2α+ cos2α= 1,tanα= sinα cosα ， cos2α= 1 49 ，解 cosα=± 1 7 ，故A错误； 对B，设 物线C：y2= 2px，且直线MN 斜角为 45°， 设直线MN：x= y+ p 2 ， 设M x1,y1 ，N x2,y2 ， 立 y2=2px x=y+ p2  ， y2- 2py- p2= 0，y1+ y2= 2p,y1y2=-p2， S△OMN= 1 2 × p 2 × |y2- y1| = p 4 × (2p)2-4(-p2) = 2 2 p2，故B正 ； 对C，由于点A 4,4  物线C上，此时 物线C：y2 = 4x， 设M x1,y1 ，N x2,y2 ， 设直线AM：x- 4= t y-4  t≠0 ， 立 y2=4x x-4=t y-4   y2- 4ty+ 16 t-1 = 0，解 y1= 4( ，此时M , A重 ) y1= 4t- 4， 点M 直线 y=-4 距离为 y1+4 = 4t ， 可 ，因为AM⊥AN， N 直线 y=-4 距离 为 4 ⋅ 1-t = 4 t ， 故 距离之积为 4t ⋅ 4 t = 16，故C正 ； 对D，由于点A 2,2  物线C上，此时 物线C：y2 = 2x， 设直线AM：y- 2= k x-2 ， 与 物线方 立可 ky2- 2y+ 4- 4k= 0， ·174· yM ⋅ 2= 4-4k k ， yM= 2-2k k ，用-k替 可 yN =- 2+2k k ， kMN= yM-yN xM-xN = yM-yN y2M 2 - y2N 2 = 2 yM+yN =- 1 2 ， M 2 1-k 2 k2 , 2-2k k ，N 2 1+k 2 k2 ,- 2+2k k ， 故直线MN：y- 2-2k k =- 1 2 x- 2 1-k 2 k2      ， y= - 1 2 x+ 1 k2 - 1， 点F 直线MN 距离 d= 1 2 - 2-2k2 k2  5 = 5k2-4 2 5k2 k>1 ， sin∠FMN-sin∠FNM = d 1 FM  - 1 FN   sin∠FMN-sin∠FNM = d 1 xM+ 12 - 1 xN+ 12 = d xM-xN xMxN+ 12 xM+xN + 1 4 ， sin∠FMN-sin∠FNM = 5k 2-4 2 5k2 ⋅ 32k3 25k4-24k2+16 ， sin∠FMN-sin∠FNM = 16 5 ⋅ 5k- 4k 25k2-24+ 16 k2 = 16 5 ⋅ 5k- 4k 5k- 4k  2+16 ， 令 t= 5k- 4 k > 1， 故 sin∠FMN-sin∠FNM = 16 5 ⋅ t t2+16 = 16 5 ⋅ 1 t+ 16t ， sin∠FMN-sin∠FNM ≤ 16 5 ⋅ 1 2 t ⋅ 16t = 16 5 ⋅ 1 8 = 2 5 5 ， 且仅 t= 4时 号 立，故D正 ； 故 ：BCD． 391. (2024 · 信 ·模拟 ) 已知函数 f x = sin ωx+φ ω>0 ， ( ) A. 若ω= 3，φ= π 3 ， 函数 f x  图 右 移 5π 18 个 关于 y轴对称 B. 若 φ= π 3 ，函数 f x  π 6 , π 3 上 ，无 大 ，且 f π 6 = f π 3 ， ω= 5 C. 若直线 x= π 4 为函数 f x 图 一 对称轴， 5π 3 ,0 为函数 f x 图 一个对称中 ，且 f x  π 4 , 5π 6 上 减， ω 大 为 18 17 D. 若 f x = 1 2 x∈ π 4 , 3π 4    上至 2个解， 至多 3个解， ω∈ 4, 16 3    【 】ACD 【解 】对于A：若ω= 3，φ= π 3 ， f x = sin 3x+ π 3 ， 函数 f x  图 右 移 5π 18 个 g x = sin 3x- 5π 6 + π 3 = sin 3x- π 2 = -cos3x， 图 于 y轴对称，故A正 ； 对于B： ， x= π 6 + π 3 2 = π 4 时，f x  ， 以 sin ωπ 4 + π 3 =-1， 以 ωπ 4 + π 3 = 2kπ+ 3π 2 k∈Z ， 以ω= 8k+ 14 3 k∈Z ， 因为 f x  间 π 6 , π 3 上 ，无 大 ， 以 π 3 - π 4 ≤ π ω ， ω≤ 12， 令 k= 0， ω= 14 3 ，故B错误； 对于C： ωπ 4 +φ=2k1π+ π 2 k1∈Z  5ωπ 3 +φ=k2π k2∈Z  T 2 = π ω≥ 5π 6 - π 4 = 7π 12      ， ω= 6 17 18 17 ，故C正 ； 对于D：因为 f x = 1 2 ， ωx+ φ= 2kπ+ π 6 k∈Z  ωx+ φ= 2kπ+ 5π 6 k∈Z ， x= -φ+2kπ ω + π 6ω k∈Z  x= -φ+2kπ ω + 5π 6ω k∈Z ， 要上述相 三个 距离不超过 π 2 ，相 四个 (距离较 四个) 距离超过 π 2 ， ·175· 2π ω ≤ π 2 8π 3ω> π 2  ，解 ω∈ 4, 16 3   ，故D正 ； 故 ：ACD． 392. ( 2024 · ·二模 ) 已知 O 为 点 ，点 A cosα,sinα ，B cosβ,sinβ ，α ≠ β.若点 C满足 OC = 1，OC⊥AB， 下 断 误 ( ) A. C cos α+β 2 ,sin α+β 2  B. △AOB 积 大 为 1 2 C. 1 2 sinα+ 1 2 sinβ< sin α+β 2 D. CA  ⋅CB  > 0 【 】ACD 【解 】若 OC = 1，OC⊥AB， 点C 上， 上， 以C cos 1 2 α+β ,sin 1 2 α+β   C -cos 1 2 α+β ,-sin 1 2 α+β  ，故A错误； 因为S△AOB= 1 2 × 1× 1× sin∠AOB= 1 2 sin∠AOB≤ 1 2 ，故B正 ； 取 α= π 6 ，β=- π 6 ， 1 2 sinα+ 1 2 sinβ= sin α+β 2 ，故 C错误； 点C 上时，∠ACB为钝角，CA  ⋅CB  < 0， 点C 上时，∠ACB为锐角，CA  ⋅CB  > 0，故D 错误. 故 ：ACD. 393. ( 2024 · · 二 模 ) 已 知 函 数 f n x  = 1+xn 1-xn n∈N * ， 下 断正 ( ) A. 若n= 1，且 f1 a + f1 b = 0， ab= 1 B. 若n= 2，且 f2 a + f2 b = 0， ab= 1 C. fn x  函数 D. fn x  间 1,+∞ 上 【 】AD 【解 】对于A，n= 1时，f1 x = 1+x1-x， 以 f1 a + f1 b = 1+a1-a + 1+b 1-b = 2-2ab 1-a  1-b  = 0， 以 ab= 1，A正 ； 对于B，n= 2时，f2 x = 1+x 2 1-x2 ， 可 f2 a + f2 b = 1+a 2 1-a2 + 1+b 2 1-b2 = 2-2 ab 2 1-a2  1-b2  = 0，解 ab=±1且 a,b≠±1， B错误； 对于C， n= 2k- 1, k∈N * ，fn -x = 1+ -x n 1- -x n = 1-x n 1+xn ≠ fn x ，故C错误； 对于D， 知 fn x = 2nx n-1 1-xn 2 ， x∈ 1,+∞ 时，fn x = 2nx n-1 1-xn 2 > 0， 以 fn x  间 1,+∞ 上 ， D正 ； 故 ：AD 394. (2024 ·高三 · 东 泽 · 段练习 ) 已知正方 ABCD-ABC D 棱 为 1，M AA中点，P AB 中点，点 N满足 DN  = λDC  λ∈ 0,1  ， MPN 该正方 ， 其 两部 ，设这两部 积 为 V1，V2， 下 断正 ( ) A. λ= 1 2 时， 积为 3 2 B. λ= 1 2 时，V1=V2 C. V1-V2  λ 大先减 大 D. V1-V2  大 为 512 【 】BCD 【解 】 如图 1， λ= 1 2 时，点N DC 中点， 为 正 边 ． 棱长为 1 2  2 + 1 2  2 = 2 2 ，故 积为 6× 3 4 × 2 2  2 = 3 3 4 ,故A 错误； 由对称 可知． λ= 1 2 时． 两部 ，故 积相 ，故B 正 ； ·176· 如图 2． λ从 0变 1时． 从四边 MDCP 变 至五边 MPJCQ( 中 J为BC 近B点 三 点)． 结 B 可知，被 两部 积之差 绝对 减 至 0， 大，故C 正 ； V1-V2 取 大 时对 为 λ= 0， λ= 1时 ． λ= 0时，不妨记V1为 MDCP左上角 部 几 ， V1=VP-AMDD+VP-DDC= 1 3 1- 1 4 × 1 2 + 1 3 × 1 2 × 1= 7 24 , V2= 1- 724 = 17 24 ,此时 V1-V2 = 1724 - 7 24 = 5 12 ； λ= 1时，不妨记V1为 MPJCQ左上角 部 几 ， V1=VP-DAMQD+VP-DCCD+VQ-PCJ+VQ-JCC= 1 3 1- 1 12 × 1 2 + 1 3 × 1× 1+ 1 3 × 1 6 × 1+ 1 3 × 1 3 × 1= 47 72 , V2= 1- 4772 = 25 72 ，此时 V1-V2 = 4772 - 25 72 = 11 36 . ∴ V1-V2  大 为 512，故D 正 ． 故 ：BCD． 395. (2024· ·一模)如图 示 数 特点 ：每行 每 都 差数 ，该数 一共 n 行 n n≥100 ，aij表示 i行 j 数，比如 a23= 7， a54= 21， ( ) 2 3 4 5 6 7 ⋯⋯ 3 5 7 9 11 13 ⋯⋯ 4 7 10 13 16 19 ⋯⋯ 5 9 13 17 21 25 ⋯⋯ 6 11 16 21 26 31 ⋯⋯ 7 13 19 25 31 37 ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ A. a77= 50 B. 数字 65 这个数 中出 次数为 8次 C. aij= i× j+ 1 D. 这个数 中n2个数 S= n2 n+1 2 4 【 】AC 【解 】对于A，C ： i行 以 i+1 为 ，以 i 为 差 差数 ， ∴ aij= i+1 + j-1 ⋅ i= i ⋅ j+ 1， 以 a77= 7× 7+ 1= 50，故A，C正 ； 对于B ：aij= i ⋅ j+ 1= 65, ∴ i ⋅ j= 64= 20× 26= 21× 25= 22× 24= 23× 23= 24× 22= 25× 21= 26× 20故 出 7次，故B错误； 对于D ，令n= 1时，S= n2 n+1 2 4 = 1×2 2 4 = 1， 数 中无 1，故D错误； 故 ：AC. 396. (2024·高三· 东 泽· 段练习) α 柱 ， 柱 轴与 α 角记为 θ， θ为 角 时， 柱 线 一个 ． 数学家 Dandelin 实验证 了上述结论．如图 示， 两个大 相 嵌入 柱内， 它们 于 α 上方 下方， 且与 柱 α 相 ． 下 结论中正 ( )    A. 短轴 与嵌入 柱 直 相 B. 轴 与嵌入 柱 两 距O1O2 相 C. 离 e= cosθ D. 其中G1G2为 轴，R为 O1 ， R= AG1 ⋅ tan θ2 【 】ABC ·177· 【解 】 对A，B：过点P 线段EF，EF 与 O1、O2 于 点F、E， 由图可知，PF1、PF2 与 O1、O2 于点F1、F2， 故 PF1 + PF2 = PF + PE = EF = O1O2 ， 由 定义可知，该 以F1、F2为焦点，O1O2 为长 轴长，故B正 ， 由PF1与 O1 于点F1，故O1F1⊥OF1， O1F1  2= OO1 2- OF1 2= a2- c2= b2， 短轴长与嵌 柱 直 相 ，故A 正 ； 对C:由 可 θ=∠O1OF1， e= ca = OF1  OO1  = cosθ，故C正 ； 对D：由 可 AG1 = F1G1 ，θ=∠O1OF1= ∠AO1F1， 故 tan θ 2 = F1G1  R = AG1  R ， R= AG1  tan θ2 ，故D错误. 故 ：ABC. 397. (2024· 东·一模)已知四棱 P - ABCD， ABCD 正方 ，PA⊥ ABCD，AD= 1，PC 与 ABCD 角 正 为 2 2 ，点M为 ABCD 内一点 ( 于点 A )，且 AM < 1， ( ) A. 存 点M， CM⊥ PAB B. 存 点M， 直线PB与AM 角为 π 3 C. AM= 1 2 时，三棱 P-BCM 积 大 为 1 4 D. AM= 2 2 时，以P为 ，PM为 与四棱 P-ABCD 交线 为 2+ 6 2 π 【 】BC 【解 】对于A， 设存 点M， CM⊥ PAB， 由于PA⊥ ABCD，PA⊂ PAB， PAB⊥ ABCD， PAB∩ ABCD=AB，CM⊂ ABCD， CM⊥AB， 由于CB⊥AB，CM ,CB⊂ ABCD，故直线CM , CB重 ， M点 CB上，由于AM< 1， M 以A为 ，以AB= 1为 (不 )， 这与M点 CB上矛盾，A错误； 对于B，以A为 点，AB,AD,AP 直线为 x, y,z轴建立 间直角 系， PA⊥ ABCD， ∠PCA 为PC与 ABCD 角， 故 tan∠PCA= PA AC = 2 2 ， AC= 2，故PA= 1， P(0,0,1),B(1,0,0), ∴PB  = (1,0, -1)， 结 A ，可取AM  = 1 2 , 1 2 ,0 ， cos‹PB  , AM  ›= PB  ⋅AM  |PB  ||AM  | = 1 2 2× 22 = 1 2 , 由于直线PB与AM 角 围为 0, π 2 ，故此时直 线PB与AM 角为 π 3 ， 存 点M， 直线PB与AM 角为 π 3 ，B正 ； 对于C， AM= 1 2 时， M 于BA 延长线时， △BCM 高 大为 3 2 ， 此时 积 大， 大 为 1 2 × 1× 3 2 = 3 4 ， 三棱锥P -BCM 积 大 为 1 3 × 3 4 × 1= 1 4 ，C正 ； 对于D， AM= 2 2 时，PM= 2 2  2 +12= 6 2 ， 以P为 ，PM为 与四棱锥P-ABCD 交线 以P为 ， 6 2 为 与 图 交线，如下图EMF  ， ·178· 由于PB= 2 ,PC= 1+2= 3 , PC2=PB2+ BC2, PB⊥CB, tan∠APF= 2 2 = tan∠BPC= 1 2 ， ∠APF= ∠BPC,∠APF+∠FPB= π 4 ， ∠FPC=∠BPC+∠FPB= π 4 ， 对称 ∠FPC=∠CPE, ∴∠FPE= π 2 ， 故EMF  长为 1 4 × 2π× 6 2 = 6π 4 ， 与 ABCD 交线 以A为 ， 2 2 为 四 之一 ，故长 为 1 4 × 2π× 2 2 = 2π 4 ， 故以P为 ，PM为 与四棱锥P- ABCD 交线长为 2+ 6 4 π，D错误， 故 ：BC 398. (2024· 东·模拟 )已知函数 f x  定义域为 R，f 2x+1 为奇函数，f 4-x = f x ，f 0 = 2， 且 f x  0,2 上 减， ( ) A. f 1 = 0 B. f 8 = 2 C. f x  6,8 上 减 D. f x  0,100 上 50个零点 【 】ABD 【解 】由函数 f x  定义域为R，f 2x+1 为奇函数 可知：f 2x+1 =-f 1-2x ， 令 x= 0， f 1 =-f 1 ⇒ f 1 = 0，故A正 ； 由上可知 f x  于 1,0 中 对称， f 2-x = -f x ， 因为 f 4-x = f x ， f x  于 x= 2轴对称， 且 f 4-x =-f 2-x ⇒ f 4+x =-f 2+x = f x ， 以 f x  一个 为 4， f 8 = f 0 = 2，故B正 ； 因为 f x  0,2 上 减， 以 f x  2,4 上 ， 由 知 f x  -2,0 上 ， 以 f x  6,8 上 ，故C错误； 知 f 1 = f 1+4 = f 1+2×4 =⋯= f 1+24×4  = 0， 且 f 1 = f 3 = f 3+4 =⋯= f 3+24×4 = 0， 计 f x  0,100 上 25× 2个零点，故D正 . 故 ：ABD 399. (2024· 东·模拟 )已知点P为 C：x2+ y2- 4y + 3 = 0上 点，点 A 为 2,0 ，AP  = 2AB  ，设B点 轨迹为曲线D，O为 点， 下 结论正 ( ) A. tan∠PAO 大 为 2 B. 曲线D 方 为 x-1 2+ y-1 2= 1 C. C与曲线D 两个交点 D. 若E，F 为 C 曲线D上任一点， AE - AF   大 为 2+ 3 2 【 】CD 【解 】对于A， 直线PA与 一 相 时， (如图)此时∠PAO 大，进 tan∠PAO 大， 由于 C：x2+ y2- 4y+ 3= 0 C 0,2 ， R = 1，故 CP = 1, CA = 22+22= 2 2 , AP = AC2-CP2= 7 ,∠CAO= π 4 ,因此 tan∠PAC= CP  AP  = 1 7 ,tan∠PAO= tan ∠PAC+ π 4 = 1 7 +1 1- 1 7 = 1+ 7 7-1 ≠ 2,故A错误， 对于B，设B x,y ， AP  = 2AB  = 2 x-2,y ⇒ P 2x-2,2y ，由于P 2x-2,2y  C：x2+ y-2 2 = 1上，代 可 ：2x-2 2+ 2y-2 2= 1⇒ x-1 2 + y-1 2= 1 4 ，故B错误， 对于C，由于曲线D 方 为 x-1 2+ y-1 2= 1 4 ， 为 为D 1,1 ， 为 r= 1 2 ，故两 距 离为 CD = 2 ∈ R-r,R+r ，故两 相交，因此 两个交点，故C正 ， 对于D，由于 AE - AF ≤ EF ≤ CD +R+ r= ·179· 2+ 1+ 1 2 = 2+ 3 2 ， 且仅 A,E,F三点 线时， 如图, 故 AE - AF   大 为 2+ 3 2 ,故D正 ， 故 ：CD 400. ( 2024 · 东 ·模 拟 ) 已 知 函 数 f x = sin 2x+φ  φ < π 2 图 一 对称轴为直线 x = π 8 ，函数 g x = cos 2x+ π 4 ， ( ) A. f x  图 左 移 π 2 个 g x  图 B. 方 f x = g x  相 两个实数 之差 绝对 为 π 2 C. 函数 y= log 1 2 f x  间 7π 8 , 9π 8 上 D. f x  间 t,t+ π 4     t∈R 上 大 与 之差 取 围为 1- 2 2 , 2   【 】BD 【解 】因为函数 f x = sin 2x+φ 图 一 对称 轴为直线 x= π 8 ， 以 2× π 8 + φ= π 2 + kπ k∈Z ， φ= π 4 + kπ k∈Z ，因为 φ < π 2 ， 以 φ= π 4 ，从 f x = sin 2x+ π 4 . A： f x  图 左 移 π 2 个 长 y = sin 2 x+ π 2 + π 4    = sin 2x+ 5 4 π = -sin 2x+ π 4 =- 2 2 sin2x- 2 2 cos2x g x = cos 2x+ π 4 = 2 2 cos2x- 2 2 sin2x， 以 移 不 函数 g x  图 ，故A错误. B：令 f x = g x ， sin 2x+ π 4 = cos 2x+ π 4 ， 以 x= kπ 2 k∈Z ，故B正 . C：由 x∈ 7π 8 , 9π 8 ，令m= 2x+ π 4 ∈ 2π, 5π 2 ， 正 函数 知 f x  7π 8 , 9π 8 上 ，y= log 1 2 m 定义域上 减， 复 函数 ，y= log 1 2 f x  7π 8 , 9π 8 上 减，故C错 误. D：由 x∈ t,t+ π 4     t∈R  m= 2x+ π 4 ∈ 2t+ π 4 ,2t+ 3π 4     t∈R ， 间长 为 π 2 . 正 函数图 质， 间 2t+ π 4 ,2t+ 3π 4     于对称轴对称时， 大 与 差取 ， 为 1- 2 2 ; 间 2t+ π 4 ,2t+ 3π 4     于对称中 对称时， 大 与 差取 大 ，为 2， 以 大 与 之差 取 围为 1- 2 2 , 2  ，故D正 . 故 ：BD. 401. (2024· 东 ·一模) 数 an 中 如下数 ： a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 ⋅⋅⋅ 从 2行 始每一行比上一行多两 ，且从左 右 以 2为公比 比数 ； 1 数 a1,a2,a5, ⋅⋅⋅ 差 数 ．若 a2= 2,a10= 8， ( ) A. a1=-1 B. 9 i=2 ai = 168 C. a2024 于 45行 88 D. 2024 数 中出 两次 【 】ACD 【解 】由 1 数 a1,a2,a5,a10,⋯ 差数 ，设 差为 d， 由 a2= 2,a10= 8，可 a1+ d= 2,a1+ 3d= 8，解 a1=-1,d= 3， 一 为 ak=-1+ k-1 × 3= 3k- 4， 从 2行 始每一行比上一行多两 ，且从左 右 ·180· 以 2为 比 比数 ， 可 a2+ a3+⋯+a9= 2+ 4+ 8+ 5+ 10+ 20+ 40+ 80= 169， 以A正 ,B错误； 因为每一行 一个数为 a1,a4,a9,a16,⋯， 且 452= 2025，可 a2024 a2025 一个数，且 a2025 45行， 因为这一行 2× 45- 1= 89个数， a2024 45 行 88 ， 以C正 ； 由 设可知 i行 j个数 大 为 3i-4 × 2 j-1， 令 3i-4 × 2 j-1= 2024= 253× 23，若 j= 1， 3i- 4 = 2024 i= 676； 若 j= 2， 3i- 4= 506 i= 170；若 j= 3， 3i- 4 = 253，无整数解. 故D正 . 故 为：ACD. 402. ( 2024 · 台州 ·二模 ) 已知正方 ABCD - A1B1C1D1 棱 为 1，P为 ABCD内一 点， 且直线D1P与 ABCD 角为 π 3 ，E为正方 A1ADD1 中 ， 下 结论正 ( ) A. 点P 轨迹为 物线 B. 正方 ABCD-A1B1C1D1 内 被 A1BC1 积为 π 6 C. 直线CP与 CDD1C1 角 正 大 为 3 3 D. 点M为直线D1B上一 点， MP+ME 为 11-2 6 6 【 】BCD 【解 】 对于A，因为直线D1P与 ABCD 角为 π 3 ， 以DP= 1 tan π3 = 3 3 .P点 以D为 ， 3 3 为 上运 ，因此运 轨迹为 .故A错误. 对于B， BB1D1D ，如图 示O为 ，O1为上 中 ，O2为下 中 ，G为 与 A1BC1 点.已知OG⊥O1B，OG为 A1BC1 距离. 正方 中，O1B= 62 ，O2B= 2 2 ， O1O2= 1. 用相 三角 质 OGO2B = OO1 O1B ， OG 2 2 = 1 2 6 2 ，OG= 3 6 .因此可 r2= 1 2  2 - 3 6  2 = 1 6 ， 积为 π 6 .故B正 . 对于C，直线CP与 CDD1C1 角 为∠PCD， CP与P点 轨迹 相 时，sin∠PCD 大.此时 sin∠PCD= 1 3 = 3 3 .故C正 . 对于D， 可知，P点为BD 交点时，MP .此时可 D1AB D1B翻 BB1D1D . 长 系，翻 图 如图 示. E ,M ,P三点 线时，MP+ME .因为O2P= 3 3 - 2 2 ，O1O2= 1， 以 为 12+ 3 3 - 2 2  2 = 11-2 6 6 ，故D正 . 故 ：BCD 403. (2024 · 台州 ·二模 ) 已知 f x  定义域为 ·181· x x≠0  数函数，若对定义域内 任 实数 x，y f x f y = f xy + f x y ， 下 结论正 ( ) A. f 1 = 2 B. f x  域为 2,+∞  C. f x = f 1 x  D. f x  奇函数 【 】AC 【解 】对于A，令 y= 1， f 1 f x = f x + f x ， 可 f 1 f x = 2f x ， 且 f x 不 为 0， 以 f 1 = 2，故A正 ； 对于B， 如 f x = x+ 1 x ，可知 f x  定义域为 x x≠0  数函数， 且 f x f y = x+ 1 x  y+ 1 y = xy+ 1 xy + x y + y x = f xy + f x y ， 可知 f x = x+ 1 x ， f -1 =-2< 0，故B 错误； 对于C，令 x= 1， f y f 1 = f y + f 1 y ，可 f y = f 1 y ， f x = f 1 x ，故C正 ； 对于D， 如 f x = x+ 1 x ，可知 f x  定义域为 x x≠0  数函数， 且 f x f y = x+ 1 x y+ 1 y = xy+ 1 xy + x y + y x  ， 注 xy, 1 xy , x y , y x 号， 可 f x f y = xy+ 1 xy + x y + y x  = xy+ 1xy  + x y + y x = f xy + f xy ， 可知 f x = x+ 1 x  ， f -x = -x+ 1-x = x+ 1 x = f x ， f x 为 函数，故D错误； 故 ：AC. 404. (2024·高三· 东 泽· 段练习)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB⊥ BC且AB= BC= 2，直 线 A 1C与 ABC 角 正 为 3 3 ， ( ) A. 线段A1C上存 点D， A1B⊥AD B. 线段A1C上存 点D， DBB1⊥ DCC1 C. 直三棱柱ABC-A1B1C1 积为 43 D. 点B1 A1BC 距离为 2 【 】ABD 【解 】 直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥ ABC， ∠A1CA 为直线A1C与 ABC 角， sin∠A1CA= 33 ， cos∠A1CA= 1-sin2∠A1CA= 63 ， 以 tan∠A1CA= sin∠A1CA cos∠A1CA = 2 2 AB⊥BC且AB=BC= 2， 以AC= 22+22= 2 2， AA1⊥ ABC，AC⊂ ABC， 以AA1⊥ AC， 以 tan∠A1CA= A1A CA = 2 2 ，解 A1A= 2， 以直三棱柱ABC-A1B1C1 积V= 12 × 2× 2 × 2= 4，故C错误； BB1⊥ ABC，AB⊥BC，如图建立 间直角 系， B 0,0,0 ，C 0,2,0 ，A 2,0,0 ，A1 2,0,2 ， B1 0,0,2 ，C1 0,2,2 ， 以BA1  = 2,0,2 ，A1C  = -2,2,-2 ，因为点D 线段A1C， 设A1D  = λA1C  = -2λ,2λ,-2λ ，λ∈ 0,1 ， AD  =AA1  +A1D  = 0,0,2 + -2λ,2λ,-2λ = -2λ,2λ,-2λ+2 ， 若A1B⊥AD， BA1  ⋅AD  = 0， 2 -2λ + 2 -2λ+2 = 0，解 λ= 1 2 ， ·182· 此时D为线段A1C 中点， 故 线段A1C上存 点D， A1B⊥AD，故A正 ； D为线段A1C 中点时D 1,1,1 ， BD  = 1,1,1 ，BB1  = 0,0,2 ， 设 BB1D 法 量为m  = x,y,z ， m ⋅BD  =x+y+z=0 m ⋅BB1  =2z=0  ，取m  = 1,-1,0 ， CD  = 1,-1,1 ，CC1  = 0,0,2 ，设 CC1D 法 量为n= a,b,c ， n⋅CD  =a-b+c=0 n⋅CC1  =2c=0  ，取n = 1,1,0 ， 因为m ⋅n= 1× 1+ 1× -1 + 0× 0= 0， 以 DBB1⊥ DCC1， D为线段A1C 中点时满足 DBB1⊥ DCC1，故B正 ； BC  = 0,2,0 ，BA1  = 2,0,2 ，BB1  = 0,0,2 ， 设 A1BC 法 量为 u = x1,y1,z1 ， u⋅BC  =2y1=0 u⋅BA1  =2x1+2z1=0  ，取u = 1,0,-1 ， 点B1 A1BC 距离 d= BB1  ⋅u  u  = 2 2 = 2，故D正 . 故 ：ABD 405. (2024·高三· 东 泽· 段练习)已知函数 f x  定义域为 R，且 f x+y ⋅ f x-y = f 2 x - f 2 y , f 1 = 2,f x+1 为 函数， ( ) A. f 3 = 2 B. f x 为奇函数 C. f 2 = 0 D. 2024 k=1 f (k) = 0 【 】BCD 【解 】令 x= 1，y= 0， f 1 ⋅ f 1 = f2 1 - f2 0 ，故 f2 0 = 0， f 0 = 0， 令 x= 0，y= x f x ⋅ f -x = f2 0 - f2 x ， f x ⋅ f -x + f x  = 0 立，故 f -x = -f x ， 函数 f x  定义域为R，故 f x 为奇函数，故B正 ； f -1 =-f 1 =-2， f x+1 为 函数， 故 f x+1 = f -x+1 ， f -1 = f 3 =-2，故A错 误；f 2 = f 0 = 0，故C正 ； f x+1 = f -x+1 =-f x-1 ， f x+3 = -f x+1 = f x-1 ，故函数 f x  为 4， f 4 = f 0 = 0， ∑ 2024 k=1 f k = 506 f 1 + f 2 + f 3 + f 4  = 506× 2+0-2+0  = 0，故D正 . 故 ：BCD. 406. (2024· ·二模)已知 C : x 2 a2 + y 2 b2 = 1(a > b> 0) 左，右 点 为F1，F2，上，下两个 点 为B1，B2，B1F1 延 线交C于A，且 AF1 = 1 2 B1F1 ， ( ) A. C 离 为 3 3 B. 直线AB1 斜 为 3 C. △AB1F2为 三角 D. AB2 : AB1 = 11 :3 3 【 】ACD 【解 】对于A，连 B1F2，AF2，∵F1 -c,0 ,B1 0,b , B2 0,-b ，∴ BF1 = a= BF2 ， ∵ AF1 = 12 B1F1 ，∴ AF1 = 1 2 a, AB1 = 32 a， ∵ AF1 + AF2 = 2a，∴ AF2 = 32 a, △B1AF2中，cos∠AB1F2= 9 4 a 2+a2- 94 a 2 2× 32 a×a = 1 3 ， 故 1 3 = 2cos2∠F1B1O- 1，解 cos∠F1B1O= 63 ， sin∠F1B1O= 33 ， △B1OF2中，sin∠F1B1O= ca = 3 3 ，∴ e= c a = 3 3 ，故A正 ， 对于B， B1A 斜角为∠B1F1O， sin∠B1F1O= 6 3 ,cos∠B1F1O= 33 ， k= tan∠B1F1O= sin∠B1F1O cos∠B1F1O = 2，故B错误. 对于C，由已知 AB1 = AF2 = 32 a，△AB1F2 三角 ，故C正 ， ·183· 对于D，因为 c a = 3 3 ， a= 3c，故 b= a2-c2= 2c， 知AB1 方 为 y= 2x+ b= 2x+ 2c，设 A x,y ， 立方 组 y= 2x+ 2c x2 3c2 + y 2 2c2 =1 ，解 x=0 y= 2c  x=- 32 c y=- 22 c  ， 故A - 3 2 c,- 2 2 c ， B 0,-b ， B 0,- 2c ， 由两点距离 AB2 = - 3 2 c  2 + - 2 2 c+ 2c  2 = 11 2 c， AB1 = 32 a= 3 3 2 c，∴ AB2  AB1  = 11 2 c 3 3 2 c = 11 3 3 ， 故D正 . 故 ：ACD. 407. (2024 · ·二模)某农科 针对 种深 x( ：cm)与 每公 产 ( ：t) 关系进 行 ， 部 数 如下表： 种深 x/cm 8 10 12 14 16 18 每公 产 y/t 6 8 m n 11 12 已知m<n， 二乘法 出 y关于 x 经验回 方 ：y = b  x+ a， 6 i=1 y2i = 510，∑ 6 i=1 yi-y   2= 24，数 12,m ，14,n  残差 为 ε1，ε2. ( 数 ：两个变 x，y之间 相关系数 r为 20 21 ， 公 ：b  = ∑ n i=1 xi-x   yi-y   ∑ n i=1 xi-x   2 ，a = y- b  ⋅ x，r= ∑ n i=1 xi-x   yi-y   ∑ n i=1 xi-x   2 ⋅ ∑ n i=1 yi-y   2 ) ( ) A. m+n= 17 B. b  = 4 7 C. a = 10 7 D. ε1+ ε2=-1 【 】ABD 【解 】对于 A，因为 6 i=1 y2i = 510， 6 i=1 yi-y   2 = 6 i=1 y2i - 6y2= 24， 以 y2= 81， y= 9， 以 6+8+m+n+11+12 6 = 9， m+n= 17， 以 A正 ， 对于 B，因为 x= 8+10+12+14+16+18 6 = 13， r= 6 i=1 xi-x    yi-y  6 i=1 xi-x   2 ⋅ 6 i=1 yi-y   2 = 20 21 , 6 i=1 xi-x   2 =(8- 13)2+ (10- 13)2+ (12- 13)2+ (14 - 13)2+ (16- 13)2+ (18- 13)2= 70， 以 6 i=1 xi-x    yi-y = 2021 × 70 × 24= 40， 以 b  = 6 i=1 xi-x    yi-y  6 i=1 xi-x   2 = 40 70 = 4 7 ，故 B正 ， 对于 C，因为 a = y- b  x= 9- 4 7 × 13= 11 7 ， 以 C错误， 对于 D，因为 y = 4 7 x+ 11 7 ， ε1=m- 4 7 ×12+ 11 7 ，ε2=n- 4 7 ×14+ 11 7 ， 以 ε1+ ε2=m+n- 18=-1， 以 D正 ， 故 ：ABD. 408. (2024· 泰州·模拟 )对任 A,B⊆R，记A ⊕ B= x x∈A∪B ,x∉A∩B ， 称A⊕ B为 A,B 对称差． 如：若A= 1,2,3 ,B= 2,3,4 ， A ⊕ B = 1,4 ．下 中，为 ( ) A. 若A,B⊆R且A⊕B=B， A=∅ B. 若A,B⊆R且A⊕B=∅， A=B C. 若A,B⊆R且A⊕B⊆A， A⊆B D. 存 A,B⊆R， A⊕B≠∁RA⊕ ∁RB 【 】AB 【解 】对于A,因为A⊕B=B， 以B={x|x∈A∪ B，x∉A∩B}， 以A⊆B，且B中 不能出 A∩B中，因此 A=∅， A正 ； 对于B，因为A⊕B=∅， 以∅={x|x∈A∪B，x∉ A∩B}， A∪B与A∩B 相 ， 以A=B，B正 ； 对于C,因为A⊕B⊆A， 以 {x|x∈A∪B，x∉A∩ ·184· B}⊆A， 以B⊆A， C错误； 对于D由于 ∁RA⊕ ∁RB= x x∈∁RA∪∁RB,x∉∁RA∩∁RB = x x∈∁R A∩B ,x∉∁R A∪B  = x x∈A∪B,x∉A∩B ， A⊕B= x x∈A∪B ,x∉A∩B ，故A⊕B=∁RA ⊕ ∁RB， D错误． 故 ：AB． 409. (2024· 东 ·二模) 与母线不 直 两个 行 一个 柱，若两个 都 状， 称夹 这两个 行 之间 几 为斜 柱． 这两个 称为斜 柱 ，两 之间 距离 称为斜 柱 高，斜 柱 积 于 积乘以 高． 积 于 轴与短 轴 之积 π ，已知某 柱 为 2， 与母线 45°角 两个 行 该 柱， 一个高为 6 斜 柱，对于这个斜 柱，下 正 ( ) A. 离 为 2 2 B. 积为 24 2π C. 该斜 柱内 大 表 积为 36π D. 积为 4 2π 【 】ABD 【解 】不妨过斜 柱 高点D 点B 行 于 柱 ，夹 它们之间 柱，如图， 矩 ABCD 柱 轴 ， 行四边 BFDE 斜 柱 过 长轴 ， 由 柱 质知∠ABF= 45°， BF= 2AB，设 长轴长为 2a，短轴长为 2b， 2a= 2 ⋅ 2b，a= 2b，c= a2-b2= a2- 2 2 a  2 = 2 2 a， 以离 为 e= c a = 2 2 ，A正 ； EG⊥BF， 足为G， EG= 6， 知∠EBG= 45°，BE= 6 2， CE=AF=AB= 4， 以斜 柱 积为S= 2π× 2× (4+ 6 2 ) - 2π× 2 × 4= 24 2π，B正 ； 2b= 4，b= 2，2a= 4 2，a= 2 2， 积为 πab= 4 2π，D正 ； 由于斜 锥 两个 距离为 6， 柱 直 为 4， 以斜 柱 大 为 2， 表 积为 4π× 22= 16π，C错． 故 ：ABD． 三、 410. (2024· ·二模)函数 y= 1 x 图 轴 曲 线，其离 为 2，已知对勾函数 y= x+ 1 x 图 也 曲线，其离 为 e． e2= ． 【 】4- 2 2 【解 】由对勾函数 质可 y= x+ 1 x 0,1 ， -1,0 上 减， -∞,-1 ，1,+∞ 上 ， x= 1时 y= 2， x=-1时 y=-2，且函数 y= x+ 1 x 为奇函数，函数图 于 点对称， ∵双曲线 方 为 y= x+ 1 x ， ∴双曲线 两 近线方 为 y= x，x= 0， ∴ 近线与实轴 夹角为 π 8 ，∴ b a = tan π 8 ， ∵ tan π 4 = 2tan π8 1-tan2 π8 = 1，解 tan π 8 = 2- 1 tan π 8 =- 2- 1( )， ∴ tan2 π 8 = 3- 2 2= b 2 a2 = c 2-a2 a2 = e2- 1， ∴ e2= 4- 2 2． 故 为：4- 2 2 ·185· 411. ( 2024 · ·模拟 ) 曲线 C : x 2 a2 - y 2 b2 = 1 a,b>0  左右 点 为 F1，F2，以实轴为直 O，过 O上一点E O 线交 曲线 近线于 A，B两点 (B 一 )，若 BF2= c， AF1 与一 近线 直， 曲线 离 为 ． 【 】2 【解 】记AF1与 近线OB 交点为H， ， 图如下：    tan∠BOF2= ba，∠BOF2∈ 0,π ，故 cos∠BOF2= a a2+b2 = a c ； △BOF2中，设 OB = x， BF2 = c，由 定 可 cos∠BOF2= x 2+c2-c2 2cx = a c ，解 x= 2a， OB = 2a； △BOE中，cos∠BOE= OE  OB  = a 2a = 1 2 ， ∠BOE∈ 0,π ，故∠BOE= π 3 ； 左焦点 -c,0  直线 y= b a x 距离 d= bc a2+b2 = b， F1H = b， OF1 = c，故 OH = c2-b2= a， H O上， AF1与 O相 ； 然△AHO≅△AEO， ∠AOH=∠EOA， ∠AOH +∠EOA+∠BOE= π， ∠BOE= π 3 ， 故可 ∠AOH= π 3 ， 对称 ，∠BOy= 1 2 ∠AOH = π 6 ，故∠BOF2= π3 ， 故O,E,F2三点 线，E点 一 ， ，E 为 双曲线右 点； 此时 然 b a = tan π 3 = 3，故双曲线离 为 c a = 1+ b 2 a2 = 2. 故 为：2. 412. (2024·高三· · ) 菱 ABCD中，A = π 3 ，AB= 2， △ABD BD 起， AC= 3． 四 ABCD 外 表 积为 ． 【 】 28π 3 【解 】设菱 ABCD 对角线交点为E，因为四边 ABCD为菱 A= π 3 ,AB= 2， 以△BCD △ABD 边长为 2 边三角 ， AE=EC= 3， 因为AC= 3， △AEC中，AE=EC= 3，AC= 3，由 定 可 ：cos∠AEC= AE 2+EC2-AC2 2AE ⋅EC =- 1 2 ， 以 ∠AEC= 2π 3 ， 过 O OO⊥ BCD， O为 边三角 △BCD 中 ， 因为OA=OC,EA=EC，EO为 边， 以△AEO ≅△CEO， ∠OEC=∠OEA= 1 2 ∠AEC= π 3 ，因为AE= EC= 3，O为 边三角 △BCD 中 ， EO= 1 3 EC= 3 3 ，CO= 2 3 EC= 2 3 3 ， Rt△OEO中，由∠OEO= π 3 ，可 ：OO=EO ⋅ tan∠OEO= 3 3 × 3= 1     ， Rt△OCO中，OC2=OO2+OC2= 1+ 4 3 = 7 3 ， 设四 ABCD 外 为R， R2= 7 3 ， 以四 ABCD 外 表 积为S= 4πR2= 28π 3 ， 故 为： 28π 3 . 413. (2024·高二·安 六安· 学 试)设数 an 满足 a1= 3，an+1= 3an- 4n，若 bn= 4n 2+8n+5 anan+1 且数 bn  n 为Sn， 6n+9 Sn= ． 【 】6n2+ 11n ·186· 【解 】因 an+1= 3an- 4n，设 an+1+ x(n+ 1) + y= 3 (an+ xn+ y)①， 整 ：an+1= 3an+ 2xn+ 2y - x， 对照 an+1= 3an- 4n，可 ： 2x=-4 2y-x=0  ，解 x=-2,y =-1， 故① 为：an+1-[2(n+ 1) + 1]= 3[an- (2n+ 1)]， 因n= 1时，a1- 3= 0， 数 {an- (2n+ 1)}为 数 ，故 an= 2n+ 1， 因 bn= 4n 2+8n+5 anan+1 = 4n 2+8n+5 2n+1 2n+3  = 1+ 1 2n+1 - 1 2n+3， ∴数 bn  n 为：Sn=n+ 13 - 1 5 + 1 5 - 1 7 +⋯+ 1 2n+1 - 1 2n+3 =n+ 1 3 - 1 2n+3 =n 1+ 2 6n+9 ， ∴ 6n+9 Sn=n 6n+9 + 2n= 6n2+ 11n． 故 为：6n2+ 11n． 414. (2024·全国·模拟 )已知 边△ABC 外 O 积为 36π， 点M O上，若MA  ⋅MB  + MB  ⋅MC  ≤ λ， 实数 λ 取 围为 ． 【 】 72,+∞  【解 】 ，设△ABC 外 为R， πR2= 36π，故R= 6， 边△ABC中由正 定 AB sin60° = 12， AB= 6 3； 取线段AC 中点N，连 BN， BN= 3 2 AB= 9， 以MA  ⋅MB  +MB  ⋅MC  =MB  ⋅ MA  +MC   = 2MB  ⋅MN  ； 取线段BN 中点P，连 BP， O 线段BN上，且 ON= 1 3 BN= 3， 以OP=NP-ON= 9 2 - 3= 3 2 ， MB  ⋅MN  =MP  2- 1 4 BN  2, MP  2=MP2≤ MO+OP 2= 6+ 3 2  2 = 225 4 ， 故MB  ⋅MN  ≤ 225 4 - 81 4 = 36， λ≥ 72． 故 为：72,+∞ . 415. (2024·全国·模拟 )已知 间四 ABCD满 足AB=AC=DB=DC,AD= 2BC= 6， 该四 外 积 为 ． 【 】36π 【解 】设E,F 为BC,AD 中点，连 AE,DE, BF,CF， 由已知，AB=DB,AC=DC,BC=BC，故△ABC≌ △DBC，因为E BC 中点， 以AE=DE， 因为F为AD 中点，故EF⊥AD， EF 线段AD 直 线； 可 ，EF 线段BC 直 线，故 EF上， 设 为R， 为O， OB+OC≥3 OA+OD≥6  ， 2R≥3 2R≥6  ，故R≥ 3， 此时O为线段AD 中点，且R= 3，故 外 积 为 36π． 故 为：36π 416. (2024·高三· 东 泽· 段练习)1675 ， 西 矿 其 运行规 时发 了 西 线， 西 线 内 两定点距离之积为 数 点 轨迹．已知点 F1 -2,0 ，F2 2,0 ， 点 P满足 PF1  ⋅ PF2 = 6， △PF1F2 积 大 为 ． 【 】3 【解 】已知定点为F1(-2,0)，F2(2,0)， 因为 点P(x,y)满足 PF1 ⋅ PF2 = 6， 以点P 轨迹方 为 (x+2)2+y2 ⋅ (x-2)2+y2 = 6， 两边 时 方可 (x2+ y2+ 4)2= 36+ 16x2， 整 y2= 16x2+36- x2- 4=- 1 16 ( 16x2+36- 8)2+ 9 4 ， 以 y ≤ 3 2 ， 此时S△F1PF2= 1 2 F1F2 y = 12 × 4 y ≤ 3， 且仅 x 2 ·187· = 7 4 ，y2= 9 4 时，取 大 ， 故 为：3 417. (2024· ·二模)已知 x1，x2 实数，满足 x21+ 8x22 - 4x 1x 2 = 8， x1 取 大 时，x1+x2 = ． 【 】5 【解 】由 x21+ 8x22- 4x1x2= 8可 x1-2x2 2+ 4x22= 8， x1-2x2 2+ 4x22= 8= x1-2x2 2+ 2x2 2≥ x1-2x2+2x2 2 2 ， ∴ 16≥ x21， x1 ≤ 4； 且仅 x1-2x2=2x2 x1=±4  时， x1=4 x2=1  x1=-4 x2=-1  ， 号 立； 此时 x1+x2 = 5. 故 为：5 418. (2024·高三· 东 泽· 段练习)已知 数 an  中，a1,a11∈N+，数 an  n 为 Sn， Sn n  为 差数 ，S14= 77， S100= ． 【 】-3750 【解 】∵ Sn n  为 差数 ， 以设 Sn n =An+B，A, B为 数， ∴Sn=An2+Bn，∴ a1=A+B， n≥ 2时，an=Sn -Sn-1=An2+Bn-A n-1 2-B n-1 = 2An-A +B， ∴ an= 2An-A+B,n∈N *， an- an-1= 2A( 数). ∴数 an 为 差数 ， ∵S14= 77，∴ 7 a1+a14 = 7 a4+a11 = 77， 以 a14=11-a1 a4=11-a11  ， a14-a1=11-2a1 a11-a4=2a11-11  ， 13d=11-2a1 7d=2a11-11  ， d= 11-a1-a1 13 = a11- 11-a11  7 ， ∴ 7a1+ 13a11= 110，∵ a1,a11∈N+，∴ a11≤ 10313 ， 经 验可 a1= 12,a11= 2， d= a11-a1 10 =-1，∴ an= 13-n， ∴Sn= 25-n ⋅n 2 ， ∴S100=-3750. 故 为：-3750. 419. (2024· ·一模) 矩 ABCD中，AB= 4，BC = 6，E,F BC ,AD 中点， 四边 ABEF EF 起 二 角A1- EF-D 大 为 90°， 三棱 A1-CDE 外 表 积为 ．    【 】34π 【解 】由 ，可 三棱锥A1-CDE补 长方 ， 长方 外 也 三棱锥A1-CDE 外 ， 设长方 外 为R， (2R)2= 32+ 32+ 42= 34， 4R2= 34， 以S = 4πR2= 34π， 故 为：34π. 420. (2024· 东·一模)已知A，B 为直线 y= 3x- 3 曲线 y = 2ex+ x上 点， AB  为 ． 【 】 10 2 / 1 2 10 【解 】由 AB  为曲线上点A 直线 y = 3x- 3距离 ， 设 f x = 2ex+ x- 3x-3 = 2ex- 2x+ 3， f x  = 2ex- 2为 函数， 令 f x = 0 x= 0，故 x< 0时 f x < 0，f x  减； x> 0时 f x > 0，f x  . 故 f x ≥ f 0 = 5> 0， y= 3x- 3 曲线 y= 2ex + x下方. A处 线与 3x- y- 3= 0 行时 AB 取 . 设A x0,y0 ，对 y= 2ex+ x 导 y= 2ex+ 1，由 y= 3可 x0= 0. 故 A 0,2 时取 AB = 3×0-2-3  32+ -1 2 = 10 2 . 故 为： 10 2 ·188· 421. (2024· 东·一模)如图， △ABC中，已知∠BAC = 120°，其内 与AC边相 于点D，且AD= 1， 延 BA E， BE=BC，连 CE，设以 E，C为 点且经过点A 离 为 e1，以 E，C为 点且经过点A 曲线 离 为 e2， e1e2 取 围 ． 【 】 1,+∞  【解 】如图以CE 中点C为 点直角 系，设M , G BC,BE与 点，由 线 质 AG =AD= 1， 设CD=CM=GE=m m>1 ， 以AC= 1+m， AE=GE-AG=m- 1， △ACE中，CE 2=CA2+AE 2- 2CA ⋅EAcos60°= m2+ 3， 以E,C为焦点经过点A 双曲线 离 为 e2= m2+3 2 ， 以E,C为焦点经过点A 离 为 e1= m2+3 2m ， e1e2= m 2+3 4m = m 4 + 3 4m ， △ABC中，设BM=n， 以BC=m+n,AB=n+ 1，AC=m+ 1， 由 定 可 BC2=AB2+AC2- 2AB ⋅ ACcos120°， 以mn= 3m+ 3n+ 3， 以n= 3m+3 m-3 > 0， m > 3， 由对勾函数 可 函数 y= x 4 + 3 4x 3,+∞ 上 ， 以 e1e2= m4 + 3 4m > 3 4 + 3 4×3 = 1. 故 为：1,+∞ . 422. (2024· 东·模拟 )已知 变 X~B 2,p ， 其中 0< p< 1， 变 Y 为 Y 0 1 2 P 2 3 - q 1 3 q 表中 0< q< 2 3 ， D Y  大 为 ． 们可 以 M=∑ 2 k=0 P X=k ln P X=k  P Y=k  X与Y 相 ， D X = 1 2 ，且D Y 取 大 时， M-ln3 ln2 = ． 【 】 2 3 - 3 2 【解 】由 ，可 E Y = 1 3 + 2q， D Y = 1 3 +2q  2 2 3 -q + 23 -2q  2 × 1 3 + 2- 1 3 -2q  2 × q=-4q2+ 8 3 q+ 2 9 =-4 q- 1 3  2 + 2 3 ， 因为 0< q< 2 3 ， 以 q= 1 3 时，D Y 取 大 2 3 ， 由X~B 2,p ，可 D X = 2p(1- p) = 1 2 ，解 p = 1 2 ， 可 P(X= 0) = 1 4 ,P(X= 1) = 1 2 ,P(X= 2) = 1 4 ， 因为M= ∑ k=0 2 P X=k ln P X=k  P Y=k  ， 可 M= 1 4 ln 3 4 + 1 2 ln 3 2 + 1 4 ln 3 4 = 1 2 ln 3 4 + 1 2 ln 3 2 = 1 2 ln 9 8 = ln3- 3 2 ln2， 以 M-ln3 ln2 =- 3 2 . 故 为： 2 3 ；- 3 2 , 423. (2024· 东·模拟 )已知三棱 S-ABC， 间 内一点M满足 SM  = SA  - 3SB  + 4SC  ， 三棱 ·189·