新高考数学选填压轴题好题汇编(六)-遇见最美的数学系列——选填压轴好题汇编

57 新高考数学选填压轴题好题汇编 (六) 一、 293. (2024· 东韶关·二模)定义max a,b = a, a≥b b, a<b  ,min a,b = b, a≥b a, a<b  ，对于任 实数 x> 0,y> 0， min max 2x,3y, 1 4x2 + 1 9y2    ( ) A. 3 2 B. 2 C. 3 D. 3 3 294. (2024· 东韶关·二模)已知 曲线C : x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a> 0,b> 0) 左 点为F，过点F 直线 l:3x+ 4y+m= 0与 y轴交于点B，与 曲线C交于点A(A y轴右 )．若B 线段AF 中点， 曲线 C 近线方 为 ( ) A. y=± 3 3 x B. y=± 1 2 x C. y=± 3x D. y=±2x 295. (2024· 东深 ·模拟 )已知 物线C:y  2= 4x 点为F，若 M与 物线C只 一个交点， 且 M与 x轴相 于点F， M 为 ( ) A. 4 3 9 B. 7 9 C. 3 2 D. 2 3 3 296. (2024 · 东 州 ·一模)已知 α,β 函数 f (x) = 3sin 2x+ π 6 - 2 0, π 2 上 两个零点， cos α-β = ( ) A. 2 3 B. 5 3 C. 15-2 6 D. 2 3+ 5 6 297. (2017·上 闵行·模拟 )已知复数 z1,z2满足 z1+1- i + z1-1+ i = 2 6 ,z2= p+ 8p + p+ 8 p i， (其中 p> 0,i 虚数 )， z1-z2  为 ( ) A. 2 B. 6 C. 4 2- 2 D. 4 2+ 2 298. (2024· 衡 ·二模)某种 保 料 上 热 失Φ( ：W /m)满足Φ= 2πλ t1-t2  lnr2-lnr1 ，其中 r1,r2 为 内外 ( ：mm)，t1,t2 为 内外表 ( ：°C)，λ为保 料 导热系数 ( ：W / m ⋅ °C )，某工 准备 这种 输 250°C 高 ， 安全 规定， 外表 为 50°C，已知 内 为 60mm， 为 75mm时，Φ= 150W /m， 为 120mm时，Φ约为 ( ) 数 ：log32≈ 0.63. A. 98W /m B. 111W /m C. 118W /m D. 126W /m 58 299. (2024· 衡 ·二模)已知三棱 A-BCD中，AB= 6,AC= 3,BC= 3 3，三棱 A-BCD 积为 21 3 2 ，其外 积为 500 3 π， 线段CD 大 为 ( ) A. 7 B. 8 C. 7 2 D. 10 300. (2023· 东·模拟 )已知 a= ln 1.2e ,b= e0.2,c= 1.2 e0.2 ， ( ) A. a< b< c B. a< c< b C. c< a< b D. c< b< a 301. (23- 24高三上·天 · )已知F1,F2 为 曲线C : x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a> 0,b> 0) 左、右 点，过F2 曲线 一 近线 线， 足为点 P,PQ  = 1 3 PF1  ，且OQ⊥PF1(O为 点)， 曲线C 近线方 为 ( ) A. y=±2 2x B. y=± 5x C. y=± 3x D. y=± 2x 302. (2024· ·二模)已知函数 f x  定义域为R,f x 为 f x  导函数.若 f 1 = e，且 f x + ex < f x  R上 ， 不 f x < 2-x ex 解 为 ( ) A. -∞,2  B. 2,+∞  C. -∞,1  D. 1,+∞  303. (2024· ·二模)已知直线 l:x- 2y- 2= 0与 C : x 2 a2 + y 2 b2 = 1(a> b> 0)相交于A,B两点. 若 AB被直线m:x+ 2y= 0 ， C 离 为 ( ) A. 1 2 B. 2 4 C. 3 2 D. 5 4 304. (2024· ·一模)设某直角三角 三个内角 差数 ， 内角 正 为 ( ) A. 3 5 B. 4 5 C. 5 5 D. 2 5 5 305. (2024· ·一模)设直线 l：x+ y- 1= 0，一 光线从 点O出发 线 y= kx x≥0  直线 l 出，经 l 与 x轴交于点M，再次经 x轴 与 y轴交于点 N．若 MN   = 136 ， k 为 ( ) A. 3 2 B. 2 3 C. 1 2 D. 2 306. (2024· 东 ·一模)若不 lnx≤ a x + b≤ ex a,b∈R 对任 x∈ 1, 3 2     ， a 为 ( ) A. - 3e 3 2 B. - 5 2 e 3 2 C. 3 2 ln 3 2 D. 3e- 3ln 3 2 59 307. (2024·福建 州·模拟 )已知函数 f x = x2 1- 2 ex+1 ，g x 满足 g 1+3x + g 3-3x = 0， G x = f x-2 - g x ，若G x  2n+ 1 n∈N * 个零点， 这 2n+ 1个零点之 为 ( ) A. 2n B. 2n+ 1 C. 4n D. 4n+ 2 308. (2024·福建 州·模拟 ) C：x 2 a2 + y 2 b2 = 1 a>b>0  左、右 点 为 F1，F2，过 F1且斜 为 -3 7 直线与 交于 A，B两点 (A B左 )，若 F1A  +F1F2   ⋅ AF2  = 0， C 离 为 ( ) A. 2 5 B. 3 5 C. 2 7 D. 3 7 309. (2024·福建 州·一模)已知可导函数 f x  定义域为R，f x 2 -1 为奇函数，设 g x  f x  导函 数，若 g 2x+1 为奇函数，且 g 0 = 1 2 ， 10 k=1 kg 2k = ( ) A. 13 2 B. - 13 2 C. 11 2 D. - 11 2 310. (2024· ·模拟 )设函数 f(x) = sinx+ 3cosx+ 1．若实数 a,b,φ af x + bf x-φ = 1对 任 x∈R ， a- bcosφ= ( ) A. - 1 B. 0 C. 1 D. ± 1 311. (21- 22高三上· · 中)已知数 an 满足 a1= 1，且 an+1= an a2n+1 ，n∈N *， ( ) A. a50∈ 112 , 1 11  B. a50∈ 1 11 , 1 10  C. a50∈ 1 10 , 1 9  D. a50∈ 1 9 , 1 8  312. (2024· 州·二模)若关于 x 方 x2+mx+1 + x2-mx+1 = 2mx  整数 且仅 两个， 实数m 取 围 ( ) A. 2, 5 2    B. 2, 52  C. - 5 2 ,-2 ∪ 2, 52  D. - 5 2 ,-2 ∪ 2, 52  313. (2024· 州·二模)已知定义 0,1 上 函数 f x = 1 n ,x 数 m n m,n 互质 正整数  1,x 无 数  ， 下 结论正 ( ) A. f x  图 关于 x= 1 2 对称 B. f x  图 关于 1 2 , 1 2 对称 C. f x  0,1  D. f x  二、多 60 314. (2024· 东韶关·二模)已知定义 R上 函数 f x ,g x  导函数 为 f  x ,g x ，且 f x = f 4-x ，f 1+x - g x = 4,f x + g 1+x = 0， ( ) A. g x 关于直线 x= 1对称 B. g 3 = 1 C. f x  为 4 D. f n ⋅ g n = 0 n∈Z  315. (2024· 东韶关·二模)设函数 f x = 2sin2x- 3sin x + 1， ( ) A. f x  函数 B. f x  -2π,2π 上 6个零点 C. f x  为- 1 8 D. f x  - π 4 ,0  上 减 316. (2022·福建·三模)已知△AnBnCn n=1,2,3,⋯  直角三角 ，An 直角，内角An、Bn、Cn 对 边 为 an、bn、cn， 积为Sn，若 b1= 4，c1= 3，b2n+1= a2n+1+c2n 3 ，c2n+1= a2n+1+b2n 3 ， ( ) A. S2n  数 B. S2n-1  减数 C. bn-cn 存 大 D. bn-cn 存 317. (2024· 东 州·一模)已知直线 y= kx与曲线 y= lnx相交于不 两点M (x1,y1)，N (x2,y2)，曲线 y= lnx 点M处 线与 点N处 线相交于点P(x0,y0)， ( ) A. 0< k< 1 e B. x1x2= ex0 C. y1+ y2= 1+ y0 D. y1y2< 1 318. (2024· 东 州·一模) 中 3个红 2个 ，乙 中 2个红 2个 (两 中 外 其他 )，先从 中 取出一 放入乙 ， 事件A1 A2表示从 中取出 红 ；再从乙 中 取出两 ， 事件B表示从乙 中取出 两 都 红 ， ( ) A. P(A1) = 35 B. P(B) = 11 50 C. P B A1 = 950 D. P A2 B = 2 11 319. (23- 24高三上· 东 门· 段练习)若 x,y满足 (x+ y)2- 8 3 xy= 2， ( ) A. y- x≥- 3 B. y- x< 2 C. xy> 3 2 D. xy≥- 3 4 320. (2024· ·二模) 正方 ABCD - A1B1C1D1中，AB = 1,E为 A1D1 中点，F 正方 BB1C1C内部一点 (不 边 )， ( ) A. FBD1⊥ A1C1D B. BB1C1C内存 一 直线与直线EF 30°角 C. 若F BC边距离为 d，且EF 2- d2= 1， 点F 轨迹为 物线 一部 D. 以△AA1D1 边AD1 直线为旋转轴 △AA1D1旋转一 ， 旋转过 中，A1 AB1C 距离 取 围 3 3 - 6 5 , 3 3 + 6 5     61 321. (2024· 衡 ·二模)已知 C :x2+ y2= 4,P 直线 l:x+ y- 6= 0上一 点，过点 P 直线PA, PB 与 C相 于点A,B， ( ) A. C上 一个点 l 距离为 2 2 B. 直线AB 过点 2 3 , 2 3  C. AB  4 7 3 D. 四边 ACBP 积 为 2 14 322. (2024 · 衡 ·二模)已知函数 f x ,g x  定义域 为 R,g x+4 - 3 奇函数，且 g x - f x-2 = 2，f x + g x+6 = 4,g 2 = 4， ( ) A. g 4 = 3 B. f x 为奇函数 C. g x+2 为 函数 D. 175 k=1 f k  = 174 323. (23- 24高二上·安 · )如图，已知 物线C：y2= 2px p>0  点为 F， 物线 C 准线 与 x轴交于点 D，过点 F 直线 l(直线 l 斜角为 角)与 物线 C相交于 A，B两点 (A x轴 上方，B x轴 下方)，过点 A 物线 C 准线 线， 足为 M，直线 l与 物线 C 准线 相交于点 N， ( ) A. 直线 l 斜 为 1时，AB = 4p B. 若 NF = FM ， 直线 l 斜 为 2 C. 存 直线 l ∠AOB= 90° D. 若AF  = 3FB  ， 直线 l 斜角为 60° 324. (23- 24高三上· 东 · )已知定义 R上 函数 f(x)满足 f(x+ 2) + f(x) = f(2026)，且 f(x + 1) - 1 奇函数. ( ) A. f(1) + f(3) = 2 B. f(2023) + f(2025) = f(2024) C. f(2023) f(2022)与 f(2024) 差中 D. 2024 i=1 f (i) = 2024 325. (2024· ·二模)已知函数 f x  R上可导，且 f x  导函数为 g x .若 f x = 4- f x+2 , g 2x-1 为奇函数， 下 说法正 ( ) A. g 1 = 0 B. f 2 = 0 C. f 2 = f 8  D. 2024 i=1 f (i) = 4048 326. (2024· ·二模)已知复数 z1,z2满足：z1 = 1, z2 = z2-2-2i (其中 i为虚数 )， 下 说法 62 正 ( ) A. 1- i z1 = 2 B. z1 1-i = 2 2 C. z1-z2  为 2- 1 D. z1-z2  大 为 2+ 1 327. (2024· ·一模)已知函数 f x = ax3+ bx2+ cx+ d存 两个 点 x1,x2 x1<x2 ，且 f x1 =-x1， f x2 = x2．设 f x  零点个数为m，方 3a f x  2+ 2bf x + c= 0 实 个数为n， ( ) A. a> 0时，n= 3 B. a< 0时，m+ 2=n C. mn一定能被 3整 D. m+n 取 为 4,5,6,7  328. (2024· ·一模)某数学兴趣 组 学经 发 ， 比 函数 y= 1 x 图 曲线，设其 点 为M ,N，若P为其图 上任 一点， ( ) A. y=-x 它 一 对称轴 B. 它 离 为 2 C. 点 2,2  它 一个 点 D. PM - PN  = 2 2 329. (2024· 东 ·一模)下 中正 ( ) A. 8 k=1 Ck8 = 28 B. 8 k=2 C2k =C39 C. 8 k=2 k-1 k! = 1- 1 8! D. 8 k=0 Ck8 2 =C816 330. (2024·福建 州·模拟 )已知函数 f x =Asin ωx+φ ω>0  函数， y= f x  图 左 移 π 6 个 ，再 图 上 点 横 变为 2 (纵 不变)， y= g x  图 ． 若曲线 y= g x  两个相 对称中 之间 距离为 2π， ( ) A. ω= 2 B. g x  图 关于直线 x=- π 3 对称 C. g x  图 关于点 2π 3 ,0 对称 D. 若 f π =-2， g x  间 0,π 上 大 为 3 331. (2024·福建 州·模拟 )已知函数 f x =-x2+ 2x，g x = x2+ a， ( ) A. f x ≤ g x  充要 件 a≥ 1 2 B. a= 1 4 时，两个函数图 两 公 线 C. a= 1 2 时，直线 4x- 4y+ 1= 0 两个函数图 一 公 线 D. 若两个函数图 两 公 线，以四个 点为 点 凸四边 为 2+ 2 2， a= 1 332. (2024·福建 州·一模)已知 曲线C：x 2 4 - y 2 b2 = 1(b> 0) 左、右 点 为F1 -c,0 ，F2 c,0 ，直 63 线 l：y=- 15 3 x+ 15 3 c与 曲线C 右支相交于A，B两点 (点A 一 )，若 AF1 = AB ， ( ) A. 曲线 离 为 6 2 B. BF1 = 8 C. AB = 34 7 D. b= 3 333. 点三角 ， 点三角 中，可以 曲线 定义，三角 中边角关系，如正 定 、勾 定 结 起 ． 334. (2024· ·模拟 )对于 x∈ 0,1 ，f x 满足 f x + f 1-x = 1,f x = 2f x 3 ，且对于 0≤ x1≤ x2≤ 1， f x1 ≤ f x2 ． ( ) A. 100 i=1 f i100 = 101 2 B. f 1 6 = 2f 1 24  C. f 1 80 = 1 80 D. 1 32 ≤ f 1 160 ≤ 1 16 335. (2024· ·模拟 )高 数学试 二部 为多 ，共三个 每个 4个 ，其中 2个 3个 正 ，全部 对 6 ，部 对 2 ， 0 ． 对其中 一 完 全不 ，该 两个 正 1 2 ，记X为 择 1个 ，记Y为 择 2个 ． A. P X=0 >P Y=0  B. P X=2 >P Y=2  C. E X >E Y  D. D X >D Y  336. (19- 20高二上· 东东 · )四边 ABCD内 于 O，AB=CD= 5，AD= 3，∠BCD= 60°， 下 结论正 ( ) A. 四边 ABCD为 B. 四边 ABCD 积为 55 3 4 C. O 直 为 7 D. △ABD 三边 可以 一个 差数 . 337. (23- 24高二上· 东· )已知正方 ABCD-A1B1C1D1 棱 为 1，建 如图 示 间直角 系A- xyz， 下 说法正 ( ) 64 A. 点D1 直线A1C 距离为 2 2 B. 点D1 A1BD 距离为 3 3 C. 若点P(x,y,z) 直线A1C上， x= y= 1- z D. 若点P(x,y,z) A1BD内， x- y+ z= 1 338. (2024· 州·二模)已知 为 r 与棱 为 1 正四 三个 时相 ， 点 三个 三角 内部 ( 括边 )，记 正四 四个 点 距离之 为 d， ( ) A. r 大 ， 无 B. r 大时， 正四 外 C. r 大时，d 时取 大 D. d ， 无 大 339. (2024· 州·二模)已知 C1:x2+ y2= 6与 C2:x2+ y2+ 2x- a= 0相交于A,B两点．若S△C1AB = 2S△C2AB， 实数 a 可以 ( ) A. 10 B. 2 C. 22 3 D. 14 3 三、 340. (2024· 东韶关·二模) 三棱 P-ABC中， 与 ABC 夹角 为 π 4 ，若AB= 2, CA+CB= 4，且△ABC 直角三角 ， 三棱 P-ABC 积为 ． 341. (2024· 东深 ·模拟 )从 1，2，3，⋯，n这 n个数中 一个数记为X，再从 1，2，⋯，X中 一个数记为Y， E Y = . 342. (2024· 东 州·一模)已知曲线C 内 定点F(0, -2)与 定直线 l:y= 2 距离之 于 6 点 轨迹，若点P C上，对给定 点T(-2,t)， m(t)表示 PF + PT  ， m(t) 为 . 343. (23- 24高三上· 州· 段练习)已知 曲线C：x2- y 2 3 = 1 左、右 点 为 F1，F2，右 点 为 E，过 F2 直线交 曲线 C 右支于 A，B两点 (其中点 A 一 内)，设 M，N 为 △AF1F2，△BF1F2 内 ， F1A⊥AB时，AF1= ；△ABF1内 为 ． 65 344. (2024· 衡 ·二模)已知 A,B两个盒子，其中A盒装 3个黑 3个 ，B盒装 3个黑 2个 ，这些 外完全相 ． 从A盒、乙从B盒 取出一个 ，若 2个 ， 胜， 取出 2个 全部放入A盒中，若 2个 ， 乙胜， 取出 2个 全部放入B盒中． 上述方法 复 两次 ，B盒中 7个 ． 345. (20 - 21 高二下 · 州 · ) 已知 比 函数图 上三点 A ,B ,P 3, a 3 ， 1 3 ,3a a> 13 与 (x,y) 1 3 <x<3 ，过B 直线AP 线， 足为Q.若 |AP| ⋅ |PQ| ≤ 53 + a ， a 取 围为 . 346. (2024· ·二模)已知 x> 0,y> 0，若 4x2+3xy+y2 +m xy> 2x+ y ， 实数m 取 围 . 347. (2024· ·一模)记max x∈ a,b  f x  ，min x∈ a,b  f x   表示函数 f x  a,b 上 大 ． min m∈ -3,3  max n∈ 0,9  m+n-2 n   = ． 348. (2024· 东 ·一模)已知 A= u x u x =ax2- a+b x+b ,a,b∈R ，函数 f x = x2- 1.若 函数 g x 满足：对任 u x ∈A，存 λ,μ∈R， u x = λf x + μg x ， g x  解 可以 .(写出一个满足 件 函数解 可) 349. (2024·福建 州·模拟 )已知 x> e，y> 1，x+ ey= 2e3， x y-1 ey 大 为 ． 350. (2024·福建 州·模拟 )已知 物线C 点为 点，对称轴为 轴，准线为 l．若C 过 -2,1 ，1, 1 4 ，-2,-2 三点中 两点， C 方 为 ；若过C 点 直线与C交于A，B 两点，且A l 距离为 4， AB = ． 351. (2024·福建 州·一模) 直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1= 4，AC⊥AB，过AC1 该 直三棱柱外 ， 积 为 ． 352. (2024·福建 州·一模)过点P x0,y0  O：x2+ y2= 9 两 线， 点 为A，B，若直线AB 与 C：x-1 2+ y2= 1相 ， y20+ 18x0= ． 353. (2024· ·模拟 ) 物线 曲线 光学 质，可以设计 天文 远 ，这种 远 特点 ， 铜可以 短 观察天 运 ．某天文仪器 设计 一种 远 ， 其光学系统 如图 (中 口示 图) 示．其中，一个 PO1Q 曲线为 物线，另 一个 MO2N 曲线为 曲线一个 支．已知F1,F2 曲线 两个 点，其中F2 时 物线 点，且，∠NF2F1= 45°,tan∠NF1F2= 14 ,△NF1F2 积为 10，O1F2 = 8， 物线方 为 ． 66 354. (2024· ·模拟 )函数 f x = x 3e3x-3lnx-1 x (x> 0) ． 355. (20- 21高一下· 东深 · 中)如图，边 为 1 正三角 ABC 边AC 直线 l上，AC中点与 定点O ， 点B与定点P . 正三角 ABC 直线 l 时针滚 ， 先以 点C为旋转中 时针旋转， 点 B l上，再以 点 B为旋转中 时针旋转，如此继续. △ABC滚 △A1B1C1时， 点B运 轨迹 为 ； 滚 过 中，OB  ⋅OP  取 围为 . 356. (23- 24高一上· 东 · )已知函数 f x = lnx + 1x , x>0 -x2-x+4, x≤0  ，g x =-x+ a，若函数 F x  = f x - g x  三个零点 x1,x2,x3， x1 ⋅ x2 ⋅ x3 取 围 . 357. (2024· 州·二模)如图， ABCD中，AB=BC=CD= 1 2 AD，点E AD 中点． △ABE BE翻 △ABE， △DCE CE翻 △DCE， 二 角A-BE-C 于 60°， D-CE-B 于 90°， 直线AB与 DCE 角 于 ．    358. (2024· 州·二模)已知P，F 曲线 x 2 a2 - y 2 b2 = 1 a,b>0 与 物线 y2= 2px p>0  公 共点 公共 点，直线PF 斜角为 60°， 曲线 离 为 ． ∈ 3,9 ，也 2m+ 5n+ 6∈ 3,9 ， 故 sinθ 大 为 9 3 10 = 3 10 10 ， θ∈ 0, π 2    ，故 cosθ 为 1-sin2θ= 10 10 . 直线AO与 O1BC 角 为 10 10 . 故 为： 10 10 . 291. (2024·高二·贵州 义· 中)已知三棱 P-ABC 四个 点 O 上，PA = PB = PC， △ABC 边 为 2正三角 ，E,F PA,AB 中点，∠CEF= 90°， O 积为 ． 【 】 6π 【解 】 △PAC中，设∠PAC= θ，PA=PB=PC= 2x，EC= y，x> 0,y> 0， 因为点E，点F PA，AB 中点， 以EF= 1 2 PB= x，AE= x， △PAC中，cosθ= 4x 2+4-4x2 2×2x×2 ， △EAC中， cosθ= x 2+4-y2 2×x×2 ， 整 x2- y2=-2， 因为△ABC 边长为 2 正三角 ， 以CF= 3， 因为∠CEF= 90°， 以 x2+ y2= 3，由 x 2-y2=-2 x2+y2=3  ， 解 x= 2 2 ， 以PA=PB=PC= 2x= 2． 因为△ABC 边长为 2 正三角 ， 以PA2+ PB2= 4=AB2， 以PA⊥PB， 以PA，PB，PC两两 直， O为以PA为棱 正方 外 ， 外 直 为 d= 3|PA|2= 6， 以 O 积为V= 4 3 πr3= 4 3 π× d 2  3 = 4 3 π× 6 2  3 = 6π, 故 为 6π. 292. (2024· 西·一模)已知A x1,y1 ,B x2,y2 为 物 线 y2= 8x上两个不 点，且满足 y1y2=-16， x1+y1+2 + x2+y2+2  为 . 【 】6 【解 】由A x1,y1  物线 y2= 8x上可知：y21= 8x1， 以 x1+ y1+ 2= y21 8 + y1+ 2= y1+4 2 8 ≥ 0； 可 ：x2+ y2+ 2= y22 8 + y2+ 2≥ 0， 故 x1+y1+2 + x2+y2+2 = y21+y22 8 + y1+ y2+ 4①， 设直线AB方 为 x=my+n，直线与 物线 立， ： x=my+n y2=8x  x整 ：y 2- 8my- 8n= 0， 由韦达定 ：y1+ y2= 8m， y1y2=-16， 故① 为：8m2+ 8m+ 8= 8 m+ 1 2  2 + 6，故： x1+y1+2 + x2+y2+2  为 6. 故 为：6 新高 数学 轴 好 ( ) 一、 293. ( 2024 · 东 韶 关 ·二 模 ) 定 义 max a,b = a, a≥b b, a<b  ,min a,b = b, a≥b a, a<b  ，对于任 实数 x > 0,y> 0， min max 2x,3y, 1 4x2 + 1 9y2    ( ) A. 3 2 B. 2 C. 3 D. 3 3 【 】A 【解 】设max 2x,3y, 1 4x2 + 1 9y2  =M， M≥ 2x,M ≥ 3y,M≥ 1 4x2 + 1 9y2 ， 3M≥ 2x+ 1 4x2 + 3y+ 1 9y2 = 2x+ 1 (2x)2 + 3y+ 1 (3y)2 ， 设 f(x) = x+ 1 x2 (x> 0)， f(x) = 1- 2 x3 = x 3-2 x3 ， 令 f(x)< 0⇒ 0< x< 3 2，f(x)> 0⇒ x> 3 2， 以函数 f(x) (0, 3 2 )上 减， ( 3 2 , +∞)上 ， 故 f(x)min= f( 3 2 ) = 3 2+ 1( 3 2)2 = 3 2 2 3 ， f(x)≥ 3 2 2 3 ， ·132· f(2x)≥ 3 2 2 3 ,f(3y)≥ 3 2 2 3 ， 以 3M≥ 2x+ 1 (2x)2 + 3y+ 1 (3y)2 = f(2x) + f(3y) ≥ 3 2 2 3 + 3 2 2 3 = 6 2 2 3 ， M≥ 2 2 2 3 = 3 2， min max 2x,3y, 1 4x2 + 1 9y2    = 3 2 . 故 ：A 294. (2024· 东韶关·二模)已知 曲线C : x 2 a2 - y 2 b2 = 1 (a> 0,b> 0) 左 点为 F，过点 F 直线 l:3x+ 4y+m= 0与 y轴交于点 B，与 曲线 C交于点A (A y轴右 )．若 B 线段AF 中点， 曲 线C 近线方 为 ( ) A. y=± 3 3 x B. y=± 1 2 x C. y=± 3x D. y=±2x 【 】C 【解 】设双曲线右焦点为F2，连 AF2. △AFF2中，FO=OF2,FB=BA， AF2⎳OB, AF2  = 2 OB , 由直线 l:3x+ 4y+m= 0可 F -m 3 ,0 , B 0,-m 4 ， A m 3 ,-m 2 ， 由双曲线C: x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a> 0,b> 0)可 A c,- b 2 a ， c= m 3 , - b 2 a =-m 2 ， b2 a = 3c 2 ， b2= 3 2 ac c2= a2+ b2， 4b4- 9a4- 9a2b2= 0， 整 b a  2 -3   4 b a  2 +3 = 0，解之 b a = 3 双曲线C: x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a> 0,b> 0) 近线方 为 y=± 3x. 故 ：C 295. (2024· 东深 ·模拟 )已知 物线C :y   2= 4x 点为 F，若 M与 物线C只 一个交点， 且 M 与 x 轴相 于点 F， M 为 ( ) A. 4 3 9 B. 7 9 C. 3 2 D. 2 3 3 【 】A 【解 】设 M 为 r r>0 . 物线 对称 不妨设 M x轴 上方. 由 物线C:y   2= 4x可 ：F 1,0 . 因为 M与 x轴相 于点F， 以 M 方 为 x-1 2+ y-r 2= r2. 因为 M与 物线C只 一个交点， 以方 组 x-1 2+ y-r 2=r2 y2=4x  一解， 整 r= 1 2y × x-1 2+y2 = 1 2y × y2 4 -1  2 +y2     = y2+4 2 32y 一解，且 y> 0. 令 f x = x2+4 2 32x x>0  函数 f x = x2+4 2 32x x>0 与直线 y= r 图 一 交点. 因为 f x = x2+4 3x2-4  32x2 ， 令 f x > 0，解 ：x> 2 3 3 ；令 f x < 0，解 ：0< x< 2 3 3 . 以函数 f x = x2+4 2 32x x>0  间 0, 2 3 3 上 减， 间 2 3 3 ,+∞ 上 ， f x min= f 2 3 3 = 4 3 9 . lim x→0+ f x =+∞，lim x→+∞ f x =+∞， 以 r= 4 3 9 . 故 ：A. 296. (2024 · 东 州 ·一模)已知 α,β 函数 f (x) = 3 sin 2x+ π 6 - 2 0, π 2 上 两个零点， cos α-β = ( ) A. 2 3 B. 5 3 C. 15-2 6 D. 2 3+ 5 6 【 】A ·133· 【解 】令 f(x) = 0， 3sin 2x+ π 6 = 2⇒ sin 2x+ π 6 = 2 3 ， ∵ x∈ 0, π 2 ，∴ 2x+ π 6 ∈ π 6 , 7π 6 ， 因为 α,β 函数 f(x) = 3sin 2x+ π 6 - 2 0, π 2 上 两个零点， α,β sin 2x+ π 6 = 2 3 0, π 2 上 两个 ， 故 2α+ π 6 + 2β+ π 6 = π⇒ α+ β= π 3 ，故 α= π 3 - β， cos α-β = cos π 3 -β -β = cos π3 -2β = cos π 2 - 2β+ π 6   = sin 2β+ π 6 = 2 3 . 故 ：A． 297. (2017·上 闵行·模拟 )已知复数 z1,z2满足 z1+1- i  + z1-1+ i  = 2 6 , z 2 = p + 8p + p+ 8 p i，(其中 p> 0,i 虚数 )， z1-z2  为 ( ) A. 2 B. 6 C. 4 2- 2 D. 4 2+ 2 【 】B 【解 】设 z1= x+ yi，( 中 x∈R,y∈R，i 虚数 )，z1 复 对 点 Z1 x,y  z1+1- i + z1-1+ i = x+1 + y-1 i + x-1 + y+1 i  = x+1 2+ y-1 2+ x-1 2+ y+1 2= 2 6 点 Z1 轨迹表示为焦点 -1,1 ，1,-1  ，且该 长轴为直线 y=-x，短轴为直线 y= x.长 轴长为 a= 6， 焦距 c= 1 2 1+1 2+ 1+1 2= 2，短 轴长为 b= a2-c2= 2. 因为 p> 0 以 p+ 8 p ≥ 2 p× 8 p = 4 2 设 z2 复 对 点 Z2 p+ 8p ,p+ 8 p , p>0 . 点 Z2 轨迹表示为 线 y= x(x≥ 4 2 )上 点. 若 z1-z2  ， Z1Z2 取 ， 点 Z1 为 一 短轴端点，点 Z2为 线 y= x(x≥ 4 2 ) 端点时，Z1Z2  . z1-z2  min= Z1Z2 min= OZ2 - b= 4 2-0 2+ 4 2-0 2- 2= 8- 2= 6 故 ：B 298. (2024· 衡 ·二模)某种 保 料 上 热 失Φ( ：W /m)满足Φ= 2πλ t1-t2  lnr2-lnr1 ，其中 r1,r2 为 内外 ( ：mm)，t 1,t2 为 内外表 ( ： °C )，λ 为保 料 导热系数 ( ： W / m ⋅ °C )，某工 准备 这种 输 250°C 高 ， 安全 规定， 外表 为 50°C，已知 内 为 60mm， 为 75mm时，Φ= 150W /m， 为 120mm时，Φ约为 ( ) 数 ：log32≈ 0.63. A. 98W /m B. 111W /m C. 118W /m D. 126W /m 【 】B 【解 】由 可 t1= 250°C，t2= 50°C，r1= 60mm，r2= 60+ 75= 135mm，Φ= 150W /m， 代 150= 2πλ 250-50  ln135-ln60 ， 出 2πλ= 3 4 ln 9 4 = 3 2 ln 3 2 ； 为 120mm时，r2= 60+ 120= 180mm， Φ= 2πλ t1-t2  lnr2-lnr1 = 3 2 ln 3 2 × 250-50  ln180-ln60 = 300ln 32 ln3 = 300 ln3-ln2  ln3 = 300(1- log32) = 300(1- 0.63) = 111. 故 ：B， 299. (2024· 衡 ·二模)已知三棱 A- BCD中， AB= 6,AC= 3,BC= 3 3，三棱 A-BCD ·134· 积为 21 3 2 ，其外 积为 500 3 π， 线段 CD 大 为 ( ) A. 7 B. 8 C. 7 2 D. 10 【 】C 【解 】因为 积为 500 3 π， 以 R满足 500 3 π= 4 3 πR3，可 R= 5； AB= 6,AC= 3,BC= 3 3，因此AB2=AC2+ BC2， ∠ACB= 90°，此时S△ABC= 1 2 × 3× 3 3= 9 3 2 ； 设点D ABC 距离为 h， 1 3 h× 9 3 2 = 21 3 2 ，可 h= 7， 因为D 上，设 为 α， α与 ABC 行时，DC 大 ； 设 ABC 距离为 d， △ABC 外 为AB 中点，外 为 1 2 AB= 3， d= 52-32= 4，故 α 距离为 7- 4= 3， 可知 为 52-32= 4； 设C α上 为E， E 轨迹为 ，如下图 示： 设该 为O， D,O,E三点 线时且点O D,E中间时，DE 长， 此时DE= 3+ 4= 7，故线段CD长 大 为 7 2 . 故 ：C 300. (2023· 东·模拟 )已知 a= ln 1.2e ,b= e0.2,c = 1.2 e0.2 ， ( ) A. a< b< c B. a< c< b C. c< a< b D. c< b< a 【 】C 【解 】令 f x = ex- ln x+1 - 1,x> 0， f  x = ex- 1 x+1 . x> 0时， ex> 1, 1 x+1 < 1， 以 1 x+1 < 1， 以，f(x)> 0 0,+∞ 上 立， 以，f(x) 0,+∞ 上 ， 以，f(x)> f(0) = 1- 1= 0， 以，f(0.2)> 0， e0.2- ln1.2- 1> 0， 以 a< b. 令 g x = ex- x+1 ,x> 0， g x = ex- 1 x> 0 时 大于零，故 g x 为 函数， 以 x+1 ex < 1,x> 0， a= ln 1.2e = 1+ ln1.2> 1， 以 c< a， 以 c< a< b， 故 ：C 301. (23- 24高三上·天 · )已知F1,F2 为 曲 线C : x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a> 0,b> 0) 左、右 点，过 F2 曲线 一 近线 线， 足为点 P,PQ  = 1 3 PF1  ，且 OQ⊥ PF1(O为 点)， 曲线 C 近线方 为 ( ) A. y=±2 2x B. y=± 5x C. y=± 3x D. y=± 2x 【 】D 【解 】设双曲线 x2 a2 - y 2 b2 = 1焦距为 2c， F1 -c,0 、 F2 c,0 ， 不妨设 近线OP 方 为 y= b a x，如图： 因为直线PF2与直线 y= ba x 直， 直线PF2 方 为 y=- a b x-c ， 立 y= bb x y=- ab x-c   可 x= a 2 c y= abc  ， 点P a2 c , ab c ， 以，PF1  = -c- a 2 c ,- ab c = - a2+c2 c ,- ab c ， 因为OQ⊥PF1， 以OQ  ⋅PF1  = 0， PQ  = 1 3 PF1  ，故OQ  =OP  +PQ  =OP  + 1 3 PF1  ， 以，OQ  ⋅PF1  = OP  + 1 3 PF1   ⋅PF1  =OP  ⋅PF1  + ·135· 1 3 PF1 2 =- a2b2+a2 a2+c2  c2 + a2+c2 2+a2b2 3c2 = 0， 整 可 b4- a2b2- 2a4= 0， 以 b a  4 - b a  2 - 2= 0， b a > 0， 以 b a = 2， 故该双曲线C 近线方 为 y=± 2x. 故 ：D. 302. (2024· ·二模)已知函数 f x  定义域为 R,f x 为 f x  导函数.若 f 1 = e，且 f x + ex < f x  R上 ， 不 f x < 2-x ex 解 为 ( ) A. -∞,2  B. 2,+∞  C. -∞,1  D. 1,+∞  【 】D 【解 】设函数 g x = f x  ex + x，可 g  x = f x ex- f x ⋅ex e2x + 1= f x - f x +ex ex < 0， 以函数 g x  R上 减， 由 f x < 2-x ex，可 f x + xex< 2ex， f x  ex + x< 2= f 1  e + 1， 可 g x < g 1 ， 以 x > 1， 不 f x < 2-x ex 解 为 1,+∞ . 故 ：D. 303. (2024· ·二模)已知直线 l:x- 2y- 2= 0 与 C : x 2 a2 + y 2 b2 = 1(a> b> 0)相交于 A,B两 点.若 AB被直线m:x+ 2y= 0 ， C 离 为 ( ) A. 1 2 B. 2 4 C. 3 2 D. 5 4 【 】C 【解 】设A x1,y1 ,B x2,y2 ，因为 AB被直线m:x + 2y= 0 ，设中点 x0,y0 ， 以 x1+x2 2 + 2× y1+y2 2 = x0+ 2y0= 0，① 因为点A,B 直线 l:x- 2y- 2= 0上，代 可 x1=2y1+2 x2=2y2+2  ，两 相减可 x1- x2= 2 y1-y2 ，② 点A,B 上，代 可 x21 a2 + y 2 1 b2 =1 x22 a2 + y 2 2 b2 =1      ，两 相减 可 x21-x22 a2 + y 2 1-y22 b2 = 0， 代 ①②可 4x0 a2 + 2y0 b2 = 0⇒ a2= 4b2， 中 a2 = b2+ c2， 以离 e= c a = 3b 2 4b2 = 3 2 ， 故 ：C 304. (2024· ·一模)设某直角三角 三个内角 差数 ， 内角 正 为 ( ) A. 3 5 B. 4 5 C. 5 5 D. 2 5 5 【 】C 【解 】设A< B< C= π 2 ， 可 cosC= 0， 且 cosC+ cosA= 2cosB， 2cosB= cosA， A+ B= π 2 ， 2cosB= 2sinA， 2sinA= cosA， 解 tanA= 1 2 ， A∈ 0, π 2 ， sinA= 5 5 . 故 ：C. 305. (2024· ·一模)设直线 l：x+ y- 1= 0，一 光 线从 点O出发 线 y= kx x≥0  直线 l 出，经 l 与 x轴交于点M，再次经 x轴 与 y轴交于点 N．若 MN   = 136 ， k 为 ( ) A. 3 2 B. 2 3 C. 1 2 D. 2 【 】B 【解 】如图，设点O 于直线 l 对称点为A x1,y1 ， x1 2 + y1 2 -1=0 y1 x1 × -1 =-1  x1=1 y1=1  ， A 1,1 ， 由 知 y= kx x≥0 与直线 l不 行，故 k≠-1， 由 y=kx x+y-1=0  ， x= 1k+1 y= kk+1  ， P 1 k+1 , k k+1 ， 故直线AP 斜 为 kAP= k k+1 -1 1 k+1 -1 = 1 k ， 直线AP 直线方 为：y- 1= 1 k x-1 ， 令 y= 0 x= 1- k，故M 1-k,0 ， ·136· 令 x= 0 y= 1- 1 k ，故由对称 可 N 0, 1 k -1 ， 由 MN   = 136 ( 1 - k ) 2 + 1 k -1  2 = 13 36 ， k+ 1 k  2 - 2 k+ 1 k = 13 36 ， 解 k+ 1 k = 13 6 ， k= 2 3 k= 3 2 ， 若 k= 3 2 ， 二次反 线不 与 y轴相交，故不 件． 故 k= 2 3 ， 故 ：B 306. (2024· 东 ·一模)若不 lnx≤ a x + b≤ ex a,b∈R 对任 x ∈ 1, 3 2     ， a 为 ( ) A. - 3e 3 2 B. - 5 2 e 3 2 C. 3 2 ln 3 2 D. 3e- 3ln 3 2 【 】A 【解 】因为 lnx≤ a x + b≤ ex， 以 xlnx≤ bx+ a≤ xex， 以 直线 y= bx+ a 纵 距 a ， 设 f(x) = xex， 以 f(x) = ex(x+ 1)> 0， 以 f(x) x∈ 1, 3 2     ， 以 f(x) x∈ 1, 3 2     图 上凹， 以直线与 f(x)相 ， 点横 越大，纵 距越 ， 令 点横 为 3 2 ， 以直线过点 3 2 , 3 2 e 3 2 ，且直线 y= bx+ a斜 为 5 2 e 3 2 以 y= bx+ a 直线方 为 y= e 3 2 5 2 x- 9 4 ， x= 1时，y= e 3 2 4 > 2.56 3 2 4 = 1.024> xlnx， 直线 y= bx+ a与 f(x)相 时， 直线 y= bx+ a与 f(x)无交点， 设 g(x) = xlnx， 以 g(x) = lnx+ 1， 以 g(x) x= 3 2 时斜 为 ln 3 2 + 1， x= 1时斜 为 1， 于直线 斜 ， 以可令直线 y= bx+ a x= 3 2 处与 f(x)相交， x= 1处与 y= xlnx相交， 以直线方 为 y= 3 2 e 3 2-0 3 2 -1 (x- 1) + 0= 3e 3 2(x- 1)， 以 距为-3e 3 2. 故 ：A. 307. (2024 ·福建 州 ·模拟 ) 已知函数 f x = x 2 1- 2 ex+1 ，g x 满足 g 1+3x + g 3-3x = 0，G x = f x-2 - g x ，若 G x  2n + 1 n∈N * 个零点， 这 2 n + 1 个零点之 为 ( ) A. 2n B. 2n+ 1 C. 4n D. 4n+ 2 【 】D 【解 】因为 f x = x2 1- 2 ex+1  定义域为R， 于 点对称， 以 f -x = -x 2 1- 2 e-x+1 = x 2 1- 2e x 1+ex = x2 1-e x 1+ex  =-x2 1- 2 ex+1 =-f x ， 以函数 f x 为奇函数， 于 点 0,0 中 对称， 函数 f x-2  函数 f x  右 移两个 函数， 因 f x-2  于 2,0 中 对称， 函数 g x 满足 g 1+3x + g 3-3x = 0， 以 g 1+3x =-g 3-3x ， g 1+x =-g 3-x ， 以函数 g x  于 2,0 中 对称，且 g 2 = 0， 且G 2 = f 2-2 - g 2 = 0， 以由函数零点定义可知G x = f x-2 - g x ， f x-2 = g x ， 由于函数 f x-2  函数 g x 都 于 2,0 中 对 称， 以两个函数 交点也 于 2,0 中 对称， 因为G x  2n+ 1 n∈N * 个零点， 函数 f x-2  函数 g x  交点 2n+ 1 n∈N * 个， 且 中一个为 x= 2， 2n个交点 于 2,0 对称 ·137· ， 以 2n+ 1 n∈N * 个零点 满足 2n2 × 4+ 2= 4n + 2， 故 ：D. 308. (2024·福建 州·模拟 ) C：x 2 a2 + y 2 b2 = 1 a>b>0  左、右 点 为F1，F2，过F1且斜 为-3 7 直线与 交于A，B两点 (A B左 )，若 F1A  +F1F2   ⋅ AF2  = 0， C 离 为 ( ) A. 2 5 B. 3 5 C. 2 7 D. 3 7 【 】A 【解 】因为 F1A  +F1F2   ⋅AF2  = 0， 以 F1A  +F1F2   ⋅ F1F2  -F1A   =F1F2  2-F1A  2= 0， F1A   = F1F2   = 0，故 AF1 = F1F2 = 2c， 由 定义知，AF2 = 2a- 2c， 设∠AF1F2= θ 0<θ<π ， tanθ=-3 7，故 π2 < θ < π， 以 sinθ cosθ=-3 7 sin2θ+cos2θ=1  ，解 cosθ=- 1 8 (正 )， 以 sin θ 2 = 1-cosθ 2 = 3 4 ， 如图， F1M⊥AF2，M为 足，由 AF1 = F1F2 ， M 为AF2 中点， 以 MF2 = 12 AF2 = a- c， sin θ 2 = MF2  F1F2  = a-c 2c = 3 4 ，故 e= c a = 2 5 . 故 ：A. 309. (2024·福建 州·一模)已知可导函数 f x  定义 域为R，f x 2 -1 为奇函数，设 g x  f x  导函 数 ，若 g 2x+1 为奇函数 ，且 g 0 = 1 2 ， 10 k=1 kg 2k = ( ) A. 13 2 B. - 13 2 C. 11 2 D. - 11 2 【 】D 【解 】因为 f x 2 -1 为奇函数， f x2 -1 = -f - x 2 -1 ， f x-1 =-f -x-1 ，两边 导 f x-1 = f -x-1 ， g x-1 = g -x-1 ，可知 g x  于直线 x=-1对 称， 因为 g 2x+1 为奇函数， g 2x+1 + g -2x+1  = 0， g x+1 + g -x+1 = 0，可知 g x  于点 1,0 对 称， 令 x= 1，可 g 2 + g 0 = 0， g 2 =-g 0 =- 1 2 ， 由 g x-1 = g -x-1 可 g x = g -x-2 ， 由 g x+1 + g -x+1 = 0，可 g x + g -x+2 = 0， g x =-g -x+2 ， 可 g -x-2 =-g -x+2 ， g x+4 =-g x ， 令 x= 0，可 g 4 =-g 0 =- 1 2 ； 令 x= 2，可 g 6 =-g 2 = 1 2 ； 且 g x+8 =-g x+4 =- -g x  = g x ，可知 8为 g x  ， 可知 g 8k+2 = g 8k+4 =- 1 2 ,g 8k+6 = g 8k+8 = 1 2 ,k∈ Z， 以∑ 10 k=1 kg 2k =- 1 2 1+2+5+6+9+10 + 1 2 3+4+7+8 =- 11 2 . 故 ：D. 310. (2024 · ·模拟 ) 设函数 f (x ) = sinx + 3 cosx+ 1．若实数 a,b,φ af x + bf x-φ  = 1对任 x∈R ， a- bcosφ= ( ) A. - 1 B. 0 C. 1 D. ± 1 【 】C 【解 】函数 f(x) = 2sin x+ π 3 + 1， ，2asin x+ π 3 + 2bsin x+ π 3 -φ + a+ b= 1 对任 x∈R 立， 2asin x+ π 3 + 2bsin x+ π 3 cosφ- ·138· 2bcos x+ π 3 sinφ+ a+ b- 1= 0对 x∈R 立， 因此 2(a+ bcosφ)sin x+ π 3 - 2bsinφcos x+ π 3 + a+ b- 1= 0对 x∈R 立， 于 a+bcosφ=0 bsinφ=0 a+b-1=0  ， 然 b≠ 0， a= 0且 a= 1，矛 盾， sinφ= 0， 然 cosφ≠ 1， a+ b= 0且 a+ b= 1，矛盾， 从 cosφ=-1，解 a= b= 1 2 ,c= (2k+ 1)π， 以 a- bcosφ= 1. 故 ：C 311. (21- 22高三上· · 中)已知数 an 满足 a1 = 1，且 an+1= an a2n+1 ，n∈N *， ( ) A. a50∈ 112 , 1 11  B. a50∈ 1 11 , 1 10  C. a50∈ 110 , 1 9  D. a50∈ 1 9 , 1 8  【 】B 【解 】∵ an+1= an a2n+1 ，a1= 1， ∴ a2= 12 ，an≠ 0， an+1 an = 1 a2n+1 ， ∵ an2> 0， ∴ 0< an+1 an < 1， 数 an  减， 0< an≤ 1， ∵ an+1= an a2n+1 ， ∴两边取 数 1 an+1 = 1 an + an， 1an+1  2 = 1 an  2 + 2+ a2n， 1an+1  2 - 1 an  2 = 2+ a2n， ∵数 an  减， ∴ n= 2时，2< 2+ a2n= 2+ 14 ， 2< 1 a3  2 - 1 a2  2 = 2+ 1 4 ； n≥ 3时，2< 2+ a2n< 2+ a22= 2+ 14 ， 2< 1 a4  2 - 1 a3  2 < 2+ 1 4 ，2< 1 a5  2 - 1 a4  2 < 2+ 1 4 ， ⋯，2< 1 an+1  2 - 1 an  2 < 2+ 1 4 ， ∴ 不 质可 2× 48< 1 a50  2 - 1 a2  2 < 2+ 1 4 × 48， 100< 1 a50  2 < 112< 121， ∴ 1 11 < a50< 110 . 故 ：B. 312. ( 2024 · 州 ·二 模 ) 若 关 于 x 方 x2+mx+1 + x2-mx+1 = 2mx  整数 且 仅 两个， 实数m 取 围 ( ) A. 2, 5 2    B. 2, 5 2  C. - 5 2 ,-2 ∪ 2, 52  D. - 5 2 ,-2 ∪ 2, 52  【 】C 【解 】设 A =mx,B = x2+ 1， 方 为 |B + A| +|B-A| = 2|A|， 由 |B+A| +|B-A| = |A+ B| +|A- B| ≥ |A+ B+ A-B| = 2|A|， 且仅 (A+B) (A-B) ≥ 0， (A+B) (B-A) ≤ 0时 号 立， 以 (A+B) (B-A) =B2-A2= (x2+ 1)2- (mx)2≤ 0， 整 x4+ (2-m2)x2+ 1≤ 0①， 然 x= 0不满足， 令 t= x2， t2+ (2-m2)t+ 1= 0 两 ，且 t1t2= 1> 0，故 t1,t2为两个正 ， 以 Δ= (2-m2)2- 4=m2(m2- 4) ≥ 0，可 m≤ -2 m≥ 2， 对于 f(t) = t2+ (2-m2)t+ 1， f(1) = 4-m2≤ 0， t= x2= 1， x=±1 满足①， 要 ①中整数 且仅 两个， 对 两个整数 为±1， 若整数 为 x1,x2且 x1< x2， -2< x1< 0< x2< 2， t1= x21< 22= 4,t2= x22< 22= 4， 以 f(4) = 25- 4m2> 0， - 5 2 <m< 5 2 ， 综上，m∈ - 5 2 ,-2 ∪ 2, 52  故 ：C 313. (2024· 州·二模)已知定义 0,1 上 函数 f x = 1 n ,x 数 m n m,n 互质 正整数  1,x 无 数  ， 下 结论正 ( ) A. f x  图 关于 x= 1 2 对称 B. f x  图 关于 1 2 , 1 2 对称 C. f x  0,1  ·139· D. f x  【 】A 【解 】对于BC，由 可知：f 2- 1 2 = f - 2+ 3 2 = 1， 然 f x  图 不 于 1 2 , 1 2 对称， - 2+ 3 2 < 2- 1 2 ，故B、C错误； 对于D，若 x为 数， f x = 1 n ， 然n→+∞，函 数无 ，故D错误； 对于A，若 x= m n 数， m,n m<n 互质， n-m,n也互质， f m n = 1 n = f n-m n ， 若 x为无 数， 1- x也为无 数， f x = f 1-x = 1， 以 f x  图 于 x= 1 2 对称，故A正 . 下证：m,n互质， n-m,n也互质. 反证法：若m,n互质，n-m,n不互质，不妨设 n-m = ka,n= kb， m= k b-a ,n= kb，此时与 设矛盾， 以 n-m, n也互质. 故 ：A 二、多 314. (2024 · 东韶关 ·二模)已知定义 R上 函数 f x ,g x  导函数 为 f  x ,g x ，且 f x = f 4-x ，f 1+x - g x = 4,f x + g 1+x = 0， ( ) A. g x 关于直线 x= 1对称 B. g 3 = 1 C. f x  为 4 D. f n ⋅ g n = 0 n∈Z  【 】ACD 【解 】由 f(x) = f(4- x)， f(1+ x) = f(3- x)①， f(1+ x) - g(x) = 4②， f(3- x) - g(2- x) = 4③， 由①②③， g(x) = g(2- x)， 以函数 g(x)图 于 直线 x= 1对称，故A正 ； 由 g(x) = g(2- x)， g(x) =-g(2- x)，令 x= 1， g (1) = 0； 由 f(1+ x) - g(x) = 4， f(1+ x) - g(x) = 0， 令 x= 1， f(2) = g(1) = 0， ∴ f(2+ x) - g(1+ x) = 0④， f(x) + g(1+ x) = 0⑤，令 x= 2， f(2) = g(3) = 0，故B错误； ④⑤两 相 ， f(2+ x) + f(x) = 0， f(4+ x) + f(2+ x) = 0， 以 f(x) = f(4+ x)， 函数 f(x) 为 4，故C 正 ； 由 f(2+ x) + f(x) = 0，令 x= 2， f(4) + f(2) = 0， 以 f(4) = 0， 以 f(1)g(1) = f(2)g(2) = f(3)g(3) = f(4)g(4) = ⋯= f(n)g(n) = 0(n∈ Z)，故D正 . 故 ：ACD 315. (2024 · 东韶关 ·二模)设函数 f x = 2sin 2x - 3sin x + 1， ( ) A. f x  函数 B. f x  -2π,2π 上 6个零点 C. f x  为- 1 8 D. f x  - π 4 ,0  上 减 【 】ABC 【解 】 A：函数 f x 定义域为R， 由 f -x = 2sin 2 -x - 3sin -x + 1 = 2sin 2x - 3sin x + 1= f x ， 可 f x  函数. 断正 ； B： x≥ 0时，f x = 2sin2x- 3sinx+ 1， 由 2sin2x- 3sinx+ 1= 0，可 sinx= 1 2 ， sinx= 1， x∈ 0,2π 时，x= π 6 x= π 2 x= 5π 6 ， f x  函数， x∈ -2π,0 时，x=- π 6 x =- π 2 x=- 5π 6 ， f x  -2π,2π 上 6个零点. 断正 ； C： x ≥ 0时，f x = 2sin 2x - 3sinx + 1 = 2 sinx- 3 4  2 - 1 8 ， sinx= 3 4 时 f x 取 - 1 8 ， f x  函数， f x  为- 1 8 . 断正 ； D：f - π 4 = 2 sin 2 - π 4 - 3 sin - π 4 + 1 = 1- 3 2 2 + 1< 1， f 0 = 2sin20- 3sin 0 + 1= 1 f - π 4 < f 0 ， f x  - π 4 ,0  上不 减. 断错误. 故 ：ABC 316. (2022·福建·三模)已知△AnBnCn n=1,2,3,⋯  ·140· 直角三角 ，An 直角，内角An、Bn、Cn 对 边 为 an、bn、cn， 积为 Sn，若 b1= 4，c1= 3，b2n+1 = a 2 n+1+c2n 3 ，c2n+1= a2n+1+b2n 3 ， ( ) A. S2n  数 B. S2n-1  减数 C. bn-cn 存 大 D. bn-cn 存 【 】ACD 【解 】由 知：an 2= bn2+ cn2 ， 故 an+1 2= b2n+1+ c2n+1= 2a2n+1+c2n+b2n 3 = 2a 2 n+1+an2 3 ， an+1 2= an2， an+1= an， 以 an+1= an= an-1=⋯= a2= a1= 5， an2= bn2+ cn2 = 25， 故 b2n+1= a2n+1+c2n 3 = 25+c 2 n 3 ，c2n+1= a2n+1+b2n 3 = 25+b2n 3 ， 由Sn+1`= 1 2 bn+1cn+1 ：(2Sn+1)2= 25+c2n 3 ⋅ 25+b 2 n 3 = 25 2+25(c2n+b2n)+c2nb2n 9 ， (2Sn+1)2= 252+252+(2Sn)2 9 ， 以Sn+1 2= 25 2 18 + Sn 2 9 ， Sn+1 2- 25 2 16 = 1 9 Sn 2- 25 2 16 ， S1 2- 25 2 16 = 1 4 × 42 × 32- 25 2 16 =- 49 16 ， 故Sn 2- 25 2 16 =- 49 16 1 9  n-1 ， Sn 2= 25 2 16 - 49 16 1 9  n-1 ， 以S2n 2= 25 2 16 - 49 16 1 9  2n-1 ，由于 1 9  2n-1 n 大 减 ， 故S2n 2= 25 2 16 - 49 16 1 9  2n-1 n 大 大， 由 知S2n> 0，故 S2n  数 ，故A正 ； S2n-1 2= 25 2 16 - 49 16 1 9  2n-2 n 大 大， S2n-1  数 ，B错误； b2n+1- c2n+1= c2n-b2n 3 =- 1 3 b2n-c2n ，由于 bn+12+ cn+12 = 25，bn2+ cn2= 25，且 b21- c21= 7， 以，b2n-c2n  为 7， 比为- 13 比数 ， 故 b2n- c2n= 7 ⋅ - 13  n-1 ， 以， b2n-c2n=7 ⋅ - 13  n-1 b2n+c2n=25  ， 因为 bn> 0，cn> 0，故 bn= 252 + 7 2 ⋅ - 1 3  n-1 ，cn= 25 2 - 7 2 ⋅ - 1 3  n-1 ， 以，bn- cn= 252 + 7 2 - 1 3  n-1 - 25 2 - 7 2 - 1 3  n-1 ， 以，b2k-1- c2k-1= 252 + 7 2 ⋅ 1 9  k-1 - 25 2 - 7 2 ⋅ 1 9  k-1 > 0， 中 k∈N ∗， b2k- c2k= 252 - 7 2 ⋅ 1 3  2k-1 - 25 2 + 7 2 ⋅ 1 3  2k-1 < 0， 中 k∈N ∗， 因为数 25 2 + 7 2 ⋅ 1 9  k-1 k∈N ∗  k 大 减 ，数 25 2 - 7 2 ⋅ 1 9  k-1 k∈N ∗  k 大 大， 故数 b2k-1-c2k-1 k∈N ∗  k 大 减 ，故 b1- c1为数 bn-cn 中 正 中 大 ， 可知数 b2k-c2k k∈N ∗  k 大 大，故 b2- c2为数 bn-cn 中 负 中 ， 综上 述，数 bn-cn  大 为 b1- c1， 为 b2- c2，CD 对. 故 ：ACD. 317. (2024· 东 州·一模)已知直线 y= kx与曲线 y = lnx相交于不 两点M (x1,y1)，N (x2,y2)，曲线 y = lnx 点M处 线与 点 N处 线相交于 点P(x0,y0)， ( ) A. 0< k< 1 e B. x1x2= ex0 C. y1+ y2= 1+ y0 D. y1y2< 1 【 】ACD 【解 】令 f x = lnx x ， f x = 1-lnx x ， 故 x∈ 0,e 时，f x  ；x∈ e,+∞ 时，f x  减， 以 f x  大 f e = 1 e ，且 x> 1，f x > 0， 因为直线 y= kx与曲线 y= lnx相交于M (x1,y1)、N (x2,y2)两点， 以 y= k与 f x 图像 2个交点， 以 0< k< 1 e ，故A正 ； 设M (x1,y1),N (x2,y2)，且 1< x1< e< x2，可 kx1= lnx1,kx2= lnx2， ·141· y= lnx M ,N点处 线 为 y- lnx1= 1x1 (x- x1),y- lnx2= 1x2 (x- x2), y-lnx1= 1x1 (x-x1) y-lnx2= 1x2 (x-x2)  ， lnx2- lnx1= x0 x1 - x0 x2 ， x0 = lnx2-lnx1 x2-x1 x1x2 = x1x2 lnx2-lnx1 x2-x1 ， 因为 k= lnx2-lnx1 x2-x1 ， 以 x0= x1x2k， x1x2= 1k x0， 故B错误； 因为 k= y1 x1 = lnx1 x1 = lnx2 x2 ， 以 x2lnx1= x1lnx2， 因为P(x0,y0)为两 线 交点， 以 y0= lnx1+ 1x1 x0- 1= lnx1+ x2 lnx2-lnx1 x2-x1 - 1 = x2lnx1-x1lnx1+x2lnx2-x2lnx1 x2-x1 - 1， y0= x2lnx2-x1lnx1 x2-x1 - 1， 以 y0+ 1= x2lnx2-x1lnx1 x2-x1 ， 以 y1+ y2= lnx1+ lnx2= lnx1+lnx2 x2-x1  x2-x1 = x2lnx1-x1lnx1+x2lnx2-x1lnx2 x2-x1 = x2lnx2-x1lnx1 x2-x1 = y0+ 1，故C正 ； 因为 kx1= y1， 以 lnk+ lnx1= lny1， 以 lnk+ y1= lny1， lnk+ y2= lny2， lny1- y1= lny2- y2， y2-y1 lny2-lny1 = 1， 因为 y2-y1 lny2-lny1 > y1y2， 以 y1y2< 1，故D正 . 故 ：ACD. 318. (2024· 东 州·一模) 中 3个红 2个 ，乙 中 2个红 2个 (两 中 外 其他 )，先从 中 取出一 放入 乙 ， 事件A1 A2表示从 中取出 红 ；再从乙 中 取出两 ， 事件 B表示从乙 中取出 两 都 红 ， ( ) A. P(A1) = 35 B. P(B) = 11 50 C. P B A1 = 950 D. P A2 B = 2 11 【 】ABD 【解 】 可 P(A1) = 35 ，P(A2) = 2 5 ，P B A1  = C 2 3 C25 = 3 10 ，P B A2 = C22 C25 = 1 10 ， 以P B =P A1 P B A1 +P A2 P B A2 = 35 × 3 10 + 2 5 × 1 10 = 11 50 ，故A正 、B正 、C错误； P A2 B = P A2B  P B  = P B|A2 P A2  P B  = 1 10 × 2 5 11 50 = 2 11 ，故D正 . 故 ：ABD 319. (23- 24高三上· 东 门· 段练习)若 x,y满足 (x+ y)2- 8 3 xy= 2， ( ) A. y- x≥- 3 B. y- x< 2 C. xy> 3 2 D. xy≥- 3 4 【 】ABD 【解 】令 y- x= t， y= x+ t，代 (x+ y)2- 8 3 xy = 2可 ： x2+ tx+ 3 4 t2-2 = 0. 以Δ= t2- 3 t2-2 ≥ 0, 解 - 3≤ t≤ 3 , 以 A 正 . B 正 ； 由 (x+ y)2- 8 3 xy= 2 可变 为 x2+ y2= 2 3 xy+ 2, 因为 - x 2+y2 2 ≤ xy≤ x 2+y2 2 , x2+ y2= 2 3 xy+ 2 代 上 可 ： - xy 3 - 1≤ xy≤ xy 3 + 1, 解 - 3 4 ≤ xy≤ 3 2 , 以C不正 , D正 . 故 ：ABD. 320. ( 2024 · ·二模 ) 正方 ABCD - A1B1C1D1中，AB= 1,E为A1D1 中点，F 正方 BB1C1C内部一点 (不 边 )， ( ) A. FBD1⊥ A1C1D B. BB1C1C内存 一 直线与直线EF 30° 角 C. 若F BC边距离为 d，且EF 2- d2= 1， 点F ·142· 轨迹为 物线 一部 D. 以△AA1D1 边AD1 直线为旋转轴 △AA1D1旋转一 ， 旋转过 中，A1 AB1C 距离 取 围 3 3 - 6 5 , 3 3 + 6 5     【 】AC 【解 】对于A：如图，连 B1D1， B1D1⊥A1C1， 因为BB1⊥ A1B1C1D1,A1C1⊂ A1B1C1D1， 以BB1⊥A1C1， 且B1D1∩BB1=B1,B1D1,BB1⊂ BB1D1， 以A1C1⊥ BB1D1,BD1⊂ BB1D1， 以A1C1⊥BD1， A1D⊥BD1，且DA1∩A1C1= A1，且DA1,A1C1⊂ A1DC1， 以BD1⊥ A1DC1，且BD1⊂ FBD1， 以 A1DC1⊥ FBD1，故A正 ； 对于B：从正方 中 离出四棱锥E-B1C1CB，取 B1C1 中点H，连 EH,HB， 让点F可 正方 BB1C1C边界移 . 因为EH⊥ B1C1CB,EH<EF<EB=EC,EH = 1， EB= 5 2  2 +12= 3 2 ， 1<EF< 3 2 ， EF与 B1C1CB 角 ∠EBH, sin∠EBH= 1 3 2 = 2 3 > 1 2 ， 以∠EBH> 30°， 因为线 角 线与 线 角， 以 B1C1CB 不存 一 直线与直线EF 30° 角，故B错误； 对于C：如图，取B1C1 中点H，连 EH,HF,EH⊥ B1C1CB， FQ⊥BC于点Q， FQ= d，因为HF 2=EF 2- 1 = d2， HF 2=FQ2， 点F 点H 距离 点F BC 距离相 ， 可知点F 轨迹 物线 一部 ，故C正 ； 对于D：连 A1D交AD1于点N，取B1C 中点M，连 MN ,AM， 点A1 运 轨迹 A1DCB1 以N为 ， 2 2 为 ， 知B1C⊥MN，由AC=AB1，知AM⊥B1C,MN∩ AM=M， 且MN ,AM⊂ AMN， 以B1C⊥ AMN ,B1C⊂ ACB1， 以 ACB1⊥ AMN， sin∠NMA= AN AM = 2 2 12+ 12  2+ 12  2 = 3 3 ， 如图，NM与 交点 为R,S， 点A1 于点R,S时，点A1 ACB1 距离 取 大 ， 且距离 大 为 1+ 2 2 sin∠NMA= 1+ 2 2  × 3 3 = 3 3 + 6 6 ， 距离 为 1- 2 2 sin∠NMA= 1- 2 2 × 3 3 = 3 3 - 6 6 ， 以点A1 AB1C 距离 取 围 3 3 - 6 6 , 3 3 + 6 6    ，故D错误. 故 ：AC 321. (2024· 衡 ·二模)已知 C:x2+ y2= 4,P 直 线 l:x+ y- 6= 0上一 点，过点P 直线PA,PB ·143· 与 C相 于点A,B， ( ) A. C上 一个点 l 距离为 2 2 B. 直线AB 过点 2 3 , 2 3  C. AB  4 7 3 D. 四边 ACBP 积 为 2 14 【 】BCD 【解 】 知 C 0,0 ， r= 2，如下图 示： 对于A， 0,0  直线 l:x+ y- 6= 0 距离为 d = 6 2 = 3 2， 可 C上 点 直线 l距离 为 3 2- 2< 2 2 , C上 点 直线 l距离 大 为 3 2+ 2> 2 2， 以 C上 两个点 l 距离为 2 2， A错误； 对于B，设P t,6-t ,A x1,y1 ,B x2,y2 ，可 x21+ y21 = 4,x22+ y22= 4； 知PA  = x1-t,y1-6+t ,CA  = x1,y1 ，由PA  ⋅CA  = x1 x1-t + y1 y1-6+t = 0， 整 可 tx1+ 6-t y1= 4， 可 tx2+ 6-t y2= 4， 可知A,B两点 直线 tx+ 6-t y= 4上， 以直线AB 方 为 tx+ 6-t y= 4， t x-y  + 6y- 4= 0， 令 x-y=0 6y-4=0  ，解 x= 23 y= 23  ， 以直线AB 过定点 2 3 , 2 3 ， B正 ； 对于C，由直线AB 过定点 2 3 , 2 3 ， 点 2 3 , 2 3 与 C 0,0  连线 直于AB时，AB  ， 点 2 3 , 2 3 与 C 0,0 之间 距离为 d1= 2 2 3 ， 以 AB min= 2 r2-d21 = 4 7 3 ，故C正 ； 对于D，四边 ACBP 积为 PA CA = 2 PA ， 线长 可知 PA = PC 2-r2= PC 2-4， PC  ，PA  ， PC min= d= 3 2， 以 PA min= 14，故四边 ACBP 积为 2 14， D正 ； 故 ：BCD 322. (2024· 衡 ·二模)已知函数 f x ,g x  定义 域 为R,g x+4 - 3 奇函数，且 g x - f x-2  = 2，f x + g x+6 = 4,g 2 = 4， ( ) A. g 4 = 3 B. f x 为奇函数 C. g x+2 为 函数 D. 175 k=1 f k  = 174 【 】ACD 【解 】由 g x+4 + 3 奇函数， g -x+4 - 3= -g x+4 + 3， g -x+4 + g x+4 = 6，令 x= 0， g 4 = 3，故A正 ； 由 g x - f x-2 = 2，g 2 = 4，令 x= 2， f 0 = 2 ≠ 0，故 f x 不 奇函数，故B错误； 由 g -x+4 + g x+4 = 6，令 x= x- 2， g -x+6 + g x+2 = 6， 故 g x+2 = 6- g -x+6 ， 以 g -x+2 = 6- g x+6 = 6- 4- f x  = 2+ f x ， g x - f x-2 = 2， g x+2 - f x = 2， 故 g x+2 = 2+ f x = g -x+2 ， 以 g x+2  函数，故C正 ； 因为 g(x) - f(x- 2) = 2， 以 g(x+ 6) - f(x+ 4) = 2， 因为 f(x) + g(x+ 6) = 4， 以 f(x) + f(x+ 4) = 2， 以 f(x+ 4) + f(x+ 8) = 2， 以 f(x) = f(x+ 8)， 以 f(x) 为 8， 因为 g(x) - f(x- 2) = 2， 以 g(x+ 4) - f(x+ 2) = 2, g(4- x) - f(2- x) = 2， 以 g(x+ 4) + g(4- x) - f(x+ 2) - f(2- x) = 4， f(x+ 2) + f(2- x) = 2， 因为 g(2) = 4， 以由 g(x) - f(x- 2) = 2， g(2) - f(0) = 2， f(0) = 2， 由 f(x+ 2) + f(2- x) = 2， f(2) = 1,f(4) + f(0) = 2, f(3) + f(1) = 2， 因为 f(x) 为 8， 以 f(5) = f(-3) = f(3),f(6) = f(-2) = f(2) = 1,f(7) = f(-1) = f(1),f(8) = f(0) = 2， 以 8 k=1 f (k) = 8， 以 175 k=1 f (k) = 21× 8+ f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) + f(7) = 174，故D正 . 故 ：ACD. 323. (23- 24高二上·安 · )如图，已知 物 ·144· 线C：y2= 2px p>0  点为 F， 物线 C 准 线与 x轴交于点 D，过点 F 直线 l(直线 l 斜 角为 角)与 物线 C相交于 A，B两点 (A x 轴 上方，B x轴 下方)，过点 A 物线 C 准线 线， 足为 M，直线 l与 物线 C 准 线相交于点 N， ( ) A. 直线 l 斜 为 1时，AB = 4p B. 若 NF = FM ， 直线 l 斜 为 2 C. 存 直线 l ∠AOB= 90° D. 若AF  = 3FB  ， 直线 l 斜角为 60° 【 】AD 【解 】 知F p 2 ,0 ，可设AB:y= k x- p 2 k>0 ， 设A x1,y1 ,B x2,y2 ， 与 物线方 立 y=k x- p2  y2=2px  ⇒ k 2x2- k2p+2p x+ k2p2 4 = 0， x1+ x2= k2p+2p k2 ,x1x2= p2 4 ， 对于A ， 直线 l 斜 为 1时，此时 x1+ x2= 3p， 由 物线定义可知 AF + BF = x1+ p 2 + x2+ p 2 = AB = 4p，故A正 ； 知△AMN 直角三角 ，若 NF = FM ， ∠ANM=∠FMN⇒∠AMF=∠FAM， AF = AM ， 以△AMF为 边三角 ， ∠AFx= 60°，此时 k= 3，故B错误； 由上可知 x1x2+ y1y2= k2+1 x1x2- pk2 2 x1+x2 + p2k2 4 = k2+1 × p2 4 - pk 2 2 × p k2+2  k2 + p 2k2 4 = - 3 4 p2< 0， OA  ⋅OB  < 0，故C错误； 若AF  = 3FB  ⇒ p 2 - x1= 3 x2- p 2 ⇒ x1= 2p- 3x2， 知 x1x2= p2 4 ⇒ x2= p 6 ,x1= 3p 2 ， 以 y1= 3 p， k= y1 x1- p 2 = 3， 直线 l 斜角为 60°，故D正 . 故 ：AD 324. (23- 24高三上· 东 · )已知定义 R上 函数 f(x)满足 f(x+ 2) + f(x) = f(2026)，且 f(x + 1) - 1 奇函数. ( ) A. f(1) + f(3) = 2 B. f(2023) + f(2025) = f(2024) C. f(2023) f(2022)与 f(2024) 差中 D. 2024 i=1 f (i) = 2024 【 】ACD 【解 】因为 f(x+ 2) + f(x) = f(2026)， 以 f(x+ 4) + f(x+ 2) = f(2026)， 两 相减 f(x+ 4) = f(x)， 以 f(x) 为 4. 因为 f(x+ 1) - 1 奇函数， 以 f(-x+ 1) - 1=-f(x+ 1) + 1， 以 f(-x+ 1) + f(x+ 1) = 2， f(-x) + f(x+ 2) = 2， 令 x=-1， f(1) = 1. 因为 f(x+ 2) + f(x) = f(2026) = f(2)， 令 x= 2， f(4) + f(2) = f(2)， 以 f(4) = 0， f(0) = 0. 因为 f(-x) + f(x+ 2) = 2， 令 x= 0， f(0) + f(2) = 2， 以 f(2) = 2， 以 f(x+ 2) + f(x) = 2， 以 f(3) + f(1) = 2，故A正 . 因为 f(-x) + f(x+ 2) = 2， 以 f(-1) + f(3) = 2， f(3) + f(3) = 2， 以 f(3) = 1. 因为 f(2023) + f(2025) = f(3) + f(1) = 2，f(2024) = f(0) = 0， 以B错误. 因为 f(2022) + f(2024) = f(2) + f(0) = 2，f(2023) = f(3) = 1， 以 f(2022) + f(2024) = 2f(2023)， 以 f(2023) f(2022)与 f(2024) 差中 ，故C 正 . 因为 f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = f(1)+ f(3) + f(2) + f(4) = 2+ 2+ 0= 4， ·145· 以 2024 i=1 f (i) = 506[ f(1) + f(2) + f(3) + f(4)] = 506× 4= 2024，故D正 . 故 ：ACD 325. (2024· ·二模)已知函数 f x  R上可导， 且 f x  导函数为 g x .若 f x = 4 - f x+2 , g 2x-1 为奇函数， 下 说法正 ( ) A. g 1 = 0 B. f 2 = 0 C. f 2 = f 8  D. 2024 i=1 f (i) = 4048 【 】ACD 【解 】对于D，由 f x + f x+2 = 4， 以 f x+2 + f x+4 = 4， f x = f x+4 ， 以 y= f x  为 4， 且 f 1 + f 2 + f 3 + f 4 = f 1 + f 3 +  f 2 + f 4  = 8， 以 2024 i=1 f (i) = 506 4 i=1 f (i) = 4048，故D正 ； 对于A，由 g 2x-1 为奇函数知 g x  于 -1,0 对 称， 以 g -1 = 0， 由 f x + f x+2 = 4 f x + f x+2 = 0， g x  + g x+2 = 0， 故 g x  为 4且 g -1 + g 1 = 0，可 g 1 = 0，故A正 ； 对于BC，由上知 g x  为 4且 g x  于 -1,0  对称， 以 g x  于 3,0 对称， g x + g 6-x = 0， f x + f 6-x = 0， 以 f x - f 6-x = c， 令 x= 3， c= 0，故 f x - f 6-x = 0， 以 f x  于 x= 3对称， f 2 + f 4 = 4， 以 f 2 = f 4 = 2，故B错误； f 4 = f 8 ， 以 f 2 = f 8 ，故C正 . 故 ：ACD. 326. (2024· ·二模)已知复数 z1,z2满足：z1 = 1, z2 = z2-2-2i (其中 i为虚数 )， 下 说法 正 ( ) A. 1- i z1 = 2 B. z1 1-i = 2 2 C. z1-z2  为 2- 1 D. z1-z2  大 为 2+ 1 【 】BC 【解 】设 z1= x+ yi x,y∈R ， z1 = x2+y2 = 1， x2+ y2= 1， 它表示以 点为 ， 为 1 ； 设 z 2 = a + bi a,b∈R ， 由 z2 = z2-2-2i ， a2+b2= (a-2)2+(b-2)2， a+ b- 2= 0，它表示一 直线； 对于 A： 1- i z1 = 1- i  z1 = 2，故 A错 误； 对于 B： z1 1-i = z1  1- i  = 2 2 ，故 B正 ； 对于 C D：z1-z2 表示 x2+ y2= 1上点与直 线 x+ y- 2= 0上点 连线段 长 ， 该距离 为 直线距离减 ， 为 2 - 1；该距离无 大 (直线上 点可离 上 点无 远)； 故 ：BC． 327. (2024· ·一模)已知函数 f x = ax3+ bx2+ cx + d存 两个 点 x1,x2 x1<x2 ，且 f x1 =-x1， f x2 = x 2．设 f x  零点个数为 m，方 3a f x  2 + 2bf x + c = 0 实 个数为 n， ( ) A. a> 0时，n= 3 B. a< 0时，m+ 2=n C. mn一定能被 3整 D. m+n 取 为 4,5,6,7  【 】AB 【解 】由 可知 f  x = 3ax2+ 2bx+ c为二次函 数，且 x1,x2 x1<x2 为 f x  零点， 由 f  f x  = 3a f x  2+ 2bf x + c= 0 f x = x1 f x = x2， a > 0时，令 f  x > 0，解 x < x 1 x > x2；令 f x < 0，解 x1< x< x2； 可知：f x  -∞,x1 , x2,+∞  ， x1,x2  减， x1为 大 点，x2为 点， 若 x1≥ 0， -x1≤ 0< x2， 因为 f x1 > f x2 ， -x1> x2，两 相矛盾，故 x1< 0， f x = x2 2个 ，f x = x1 1个 ，可知 n= 3， 若 f x2 = x2> 0，可知m= 1，mn= 3,m+n= 4； 若 f x2 = x2= 0，可知m= 2，mn= 6,m+n= 5； 若 f x2 = x2< 0，可知m= 3，mn= 9,m+n= 6； ·146· 故A正 ； a< 0时，令 f x > 0，解 x1< x< x2；令 f x < 0，解 x< x1 x> x2； 可知：f x  x1,x2  ， -∞,x1 , x2,+∞  减， x2为 大 点，x1为 点， 若 x2≤ 0， -x1> 0≥ x2， 因为 f x1 < f x2 ， -x1< x2，两 相矛盾，故 x2> 0， 若 f x1 =-x1> 0， x1< 0，可知m= 1，n= 3，mn = 3,m+n= 4； 若 f x1 =-x1= 0， x1= 0，可知m= 2，n= 4，mn = 8,m+n= 6； 若 f x1 =-x1< 0， x1> 0，可知m= 3，n= 5，mn = 15,m+n= 8； 此时m+ 2=n，故B正 ； 综上 述：mn 取 为 3,6,8,9,15 ，m+ n 取 为 4,5,6,8 ， 故CD错误； 故 ：AB. 328. (2024· ·一模)某数学兴趣 组 学经 发 ， 比 函数 y= 1 x 图 曲线，设其 点为M ,N，若P为其图 上任 一点， ( ) A. y=-x 它 一 对称轴 B. 它 离 为 2 C. 点 2,2  它 一个 点 D. PM - PN  = 2 2 【 】ABD 【解 】反比 函数 图 为 轴双曲线，故离 为 2， 容 知 y= x 实轴，y=-x 虚轴， 点 对 称中 ， 立实轴方 y= x与反比 函数表达 y= 1 x 实 轴 点 1,1 , -1,-1 ， 以 a= 2 ,c= 2， 中一个焦点 为 2, 2  不 2,2 ， 由双曲线定义可知 PM - PN  = 2a= 2 2． 故 ：ABD. 329. (2024 · 东 ·一模 ) 下 中正 ( ) A. 8 k=1 Ck8 = 28 B. 8 k=2 C2k =C39 C. 8 k=2 k-1 k! = 1- 1 8! D. 8 k=0 Ck8 2 =C816 【 】BCD 【解 】对于A，因为 1+x 8=C08+C18x+C28x2+⋯ +C88x8， 令 x= 1， 28= 1+C18+C28+⋯+C88= 1+ 8 k=1 Ck8 ， 8 k=1 Ck8 = 28- 1，故A错误； 对于B，因为C2n+C3n=C3n+1， 以 8 k=2 C2k =C22+C23+C24+⋯+C28=C33+C23+C24+ ⋯+C28 =C34+C24+⋯+C28=⋯=C38+C28=C39，故B正 ； 对于C，因为 1 k-1 ! - 1 k! = k!- k-1 ! k! k-1 ! = k-1 k-1 ! k! k-1 ! = k-1 k! ， 以 8 k=2 k-1 k! = 8 k=2 1 k-1 ! - 1 k!       = 1 1! - 1 2! + 1 2! - 1 3! +⋯+ 1 7! - 1 8! = 1- 1 8!，故C正 . 对于D，1+x 16= 1+x 8 1+x 8， 对于 1+x 16， x8 系数为C816， 对于 1+x 8 1+x 8，要 x8 系数， 从 一个 子取出 k 0≤k≤8,k∈N 个 x， 从 二个 子取出 8- k个 x， 它们对 系数为 8 k=0 Ck8C 8-k 8 = 8 k=0 Ck8 2 ， 以 8 k=0 Ck8 2 =C816，故D正 . 故 ：BCD. 330. (2024 ·福建 州 ·模拟 ) 已知函数 f x = ·147· Asin ωx+φ ω>0  函数， y= f x  图 左 移 π 6 个 ，再 图 上 点 横 变为 2 (纵 不变)， y= g x  图 ．若曲线 y= g x  两个相 对称中 之间 距 离为 2π， ( ) A. ω= 2 B. g x  图 关于直线 x=- π 3 对称 C. g x  图 关于点 2π 3 ,0 对称 D. 若 f π =-2， g x  间 0,π 上 大 为 3 【 】BCD 【解 】由于函数 f x =Asin ωx+φ ω>0  函 数， 以 φ= kπ+ π 2 (k∈ Z)， 由于 y= f x  图 左 移 π 6 个 长 ， 图 上 点 横 变为 2 (纵 不 变)， y= g x  图 ， g x = Asin 1 2 ωx+ ωπ 6 +φ ， 对于A，因为曲线 y= g x  两个相 对称中 之间 距离为 2π， 故T= 2π 1 2ω = 4π，解 ω= 1，故A不正 ； 以函数 f x =Asin x+ π 2 +kπ ， f x =Acosx f x =-Acosx， g x =Asin 1 2 x+ π 6 + π 2 +kπ ， g x = Acos 1 2 x+ π 6  g x =-Acos 1 2 x+ π 6 ， 对于B，令 1 2 x+ π 6 = kπ(k∈ Z)，解 x= 2kπ- π 3 ， 以 k= 0时，g x  图 于直线 x=- π 3 对称， 故B正 ； 对于C,令 1 2 x+ π 6 = kπ+ π 2 (k∈ Z)，解 x= 2kπ+ 2π 3 ， 以 k= 0时， 以 g x  图 于点 2π 3 ,0 对 称，故C正 ； 对于D， f π =-2时，A=-2 A= 2， 以 g x =Acos 1 2 x+ π 6  g x = -Acos 1 2 x+ π 6 ， g x =-2cos 1 2 x+ π 6 时， x∈ 0,π 时， 1 2 x+ π 6 ∈ π 6 , 2π 3    ， 以 g x  0,π 上 ，故函数 大 为 g(π) = 1； g x = 2cos 1 2 x+ π 6 时， x∈ 0,π 时， 1 2 x+ π 6 ∈ π 6 , 2π 3    ， 以 g x  0,π 上 减，故函数 大 为 g(0) = 3，故D正 ； 故 ：BCD. 331. (2024·福建 州·模拟 )已知函数 f x =-x2+ 2x，g x = x2+ a， ( ) A. f x ≤ g x  充要 件 a≥ 1 2 B. a= 1 4 时，两个函数图 两 公 线 C. a= 1 2 时，直线 4x- 4y+ 1= 0 两个函数图 一 公 线 D. 若两个函数图 两 公 线，以四个 点为 点 凸四边 为 2+ 2 2， a= 1 【 】ACD 【解 】对于A，若 f(x) ≤ g(x) 立， g(x) - f(x) ≥ 0 立， g(x) - f(x) = x2+ a+ x2- 2x= 2x2- 2x+ a= 2(x - 1 2 )2+ a- 1 2 ≥ 0 立， 以 a- 1 2 ≥ 0，解 a≥ 1 2 ，故A正 ； 对于B，设 点 (x1, f(x1))，(x2,g(x2))，f  x =-2x+ 2，g x = 2x， f x1 -g x2  x1-x2 = f  x1  = g  x2  ⇒ -2x1+2=2x2① -x12+2x1-x22-a x1-x2 =2x2②  ， ①代 ②，可 2x21- 2x1+ 1- a= 0， a= 1 4 时，代 方 解 ：8x21- 8x1+ 3= 0， Δ= 64- 3× 4× 8< 0，方 无解， 两个函数图 无 线，故B错误； 对于 C， a= 1 2 时，代 方 2x21- 2x1+ 1- a= 0 ：4x21- 4x1+ 1= 0， x1= 12 ，故 f  1 2 = 1，f 1 2 = 3 4 ， ·148· 以函数 f(x)与 g(x) 一 线为：4x- 4y+ 1= 0，故C正 ； 对于D，如图，不妨设 线与 f x  于A,B，与 g x  于C,D， 设A(xA,yA)，B(xB,yB)，C(xC,yC)，D(xD,yD)，f(x) = -2x+ 2，g(x) = 2x， 故 f xA = g(xC)⇒-2xA+ 2= 2xC,f xB = g(xD)⇒ -2xB+ 2= 2xD 以 xA+ xC= 1，xB+ xD= 1， yA+ yC =-x2A+ 2xA+ x2C + a= xC+xA xC-xA + 2xA+ a= 1+ a， yB+ yD= 1- a， AC中点 可BD中点， 以四边 ABCD 行四边 ， 由 A处 线方 为 y= -2xA+2 x-xA - x2A+ 2xA⇒ y= -2xA+2 x+ x2A， C处 线方 为 y = 2xC x-xC + x2C + a ⇒ y = 2xCx- x2C+ a， x2A+ x2C= a， xAxC= 1-a 2 ，结 xA+ xC= 1可知 xA，xC 方 2x 2- 2x+ 1- a= 0 ， 由C 可知：A,B f x  两个 点， 以 xB，xA 也 方 2x2- 2x+ 1- a= 0 ， 以 2x2B- 2xB+ 1- a= 0,且Δ= 4- 8 1-a = 8a- 4> 0,故 a> 1 2 ， x C = x B，CB = yC-yB = x2C+a+x2B-2xB = a+2x2B-2xB = 2a-1 = 2a- 1， | AB | = (xA-xB)2+(yA-yB)2 = (xA-xB)2+(x2A+a-x2B-a)2 = (xA-xB)2[1+(xA+xB)2] = 2(xA-xB)2 = 2 (xA+xB)2-4xAxB = 2 1-4 1-a2 = 2 2a-1， |AB| +|BC| = 2 2a-1+ 2a- 1= 1+ 2， 令 2a-1 = t,t > 0， t 2 + 2 t - 1+ 2 = 0 ⇒ t-1  t+1+ 2 = 0⇒ t= 1， 故 2a-1= 1⇒ a= 1，故D正 ． 故 ：ACD． 332. (2024·福建 州·一模)已知 曲线C：x 2 4 - y 2 b2 = 1 (b> 0) 左、右 点 为 F1 -c,0 ，F2 c,0 ，直 线 l：y=- 15 3 x+ 15 3 c与 曲线 C 右支相交 于A，B两点 (点A 一 )，若 AF1 = AB ， ( ) A. 曲线 离 为 6 2 B. BF1 = 8 C. AB = 34 7 D. b= 3 【 】AB 【解 】由 可知：a= 2， 因为直线 l：y=- 15 3 x+ 15 3 c=- 15 3 x-c ， 可知直线 l过右焦点F2 c,0 ，斜 k=- 153 < 0， 设直线 l 斜角为 θ∈ π 2 ,π ， sinθ cosθ=- 15 3 sin2θ+cos2θ=1  ， 可 cosθ=- 6 4 ， 设 AF1 = AB = x> 0， 由 AF1 - AF2 =4 AB = AF2 + BF2  BF1 - BF2 =4  ，可 AF2 = x- 4，BF2 = 4，BF1 = 8，故B正 ； △BF1F2中，可知 cos∠BF2F1= cosθ=- 64 , F1F2 = 2c， 由 定 可 ：BF1  2= BF2 2+ F1F2 2- 2 BF2 ⋅ F1F2 cos∠BF2F1， 64= 16+ 4c2- 8× 2c× - 6 4 ，解 c= 6 c =-2 6 ( )， 可 双曲线 离 为 e= c a = 6 2 ，b= c2-a2= 2，故A正 ，D错误； △AF1F2中，可知 cos∠AF2F1=-cosθ= 64 , F1F2 = 2 6， 由 定 AF1  2= AF2 2+ F1F2 2- 2 AF2 ⋅ F1F2 cos∠AF2F1， x2= x-4 2+ 24- 2 x-4 × 2 6 × 6 4 ，解 x= ·149· 32 7 ，故C错误； 故 ：AB. 333. 点三角 ， 点三角 中，可以 曲线 定义，三角 中边角关系，如正 定 、勾 定 结 起 ． 334. (2024· ·模拟 )对于 x ∈ 0,1 ，f x 满足 f x + f 1-x = 1,f x = 2f x 3 ，且对于 0≤ x1≤ x2≤ 1， f x1 ≤ f x2 ． ( ) A. 100 i=1 f i100 = 101 2 B. f 1 6 = 2f 1 24  C. f 1 80 = 1 80 D. 1 32 ≤ f 1 160 ≤ 1 16 【 】ABD 【解 】令 x= 0代 f x + f 1-x = 1及 f x = 2f x 3 ， f 0 + f 1 = 1,f 0 = 2f 0 ， 以 f 0 = 0,f 1 = 1， ∑ 100 i=1 f i 100 =∑ 100 i=0 f i 100 = 1 2∑ 100 i=0 f i 100 + f 1- i 100  = 101 2 ，A 正 ； 令 x= 1 2 代 f x + f 1-x = 1， f 1 2 = 1 2 ；令 x = 1代 f x = 2f x 3 由， f 1 3 = 1 2 f 1 = 1 2 ， f 1 6 = 1 2 f 1 2 = f 1 9 = 1 2 f 1 3 = 1 4 ，f 1 18 = 1 2 f 1 6 = f 1 27 = 1 2 f 1 9 = 1 8 ， f 1 54 = 1 2 f 1 18 = f 1 81 = 1 2 f 1 27 = 1 16 ， f 1 162 = 1 2 f 1 54 = f 1 243 = 1 2 f 1 81 = 1 32 ， 对于 0≤ x1≤ x2≤ 1． f x1 ≤ f x2 ， f 1 18 = f 1 24 = f 1 27 = 1 8 ，f 1 6 = 2f 1 24 ，B 正 ； f 1 54 = f 1 80 = f 1 81 = 1 16 ，C 错误； 1 162 < 1 160 < 1 81 ， f 1 162 ≤ f 1 160 ≤ f 1 81 ， 1 32 ≤ f 1 160 ≤ 1 16 ，D 正 . 故 ：ABD 335. (2024· ·模拟 )高 数学试 二部 为多 ，共三个 每个 4个 ，其中 2个 3个 正 ，全部 对 6 ，部 对 2 ， 0 ． 对其中 一 完 全不 ，该 两个 正 1 2 ，记X为 择 1个 ，记Y为 择 2个 ． A. P X=0 >P Y=0  B. P X=2 >P Y=2  C. E X >E Y  D. D X >D Y  【 】BC 【解 】X为 择 1个 ， 以X= 0,2， P X=0 = 1 2 × 1 2 + 1 4 × 1 2 = 3 8 ，P X=2 = 1 2 × 1 2 + 3 4 × 1 2 = 5 8 ， X 为： X 0 2 P 3 8 5 8 由此可 E X = 2× 5 8 = 5 4 ,D X = 0- 5 4  2 × 3 8 + 2- 5 4  2 × 5 8 = 15 16 ， Y为 择 2个 ， 以Y= 0,2,6， P Y=0 = 5 6 × 1 2 + 1 2 × 1 2 = 2 3 ,P Y=2 = 1 2 × 1 2 = 1 4 , P Y=6 = 1 6 × 1 2 = 1 12 , Y Y 0 2 6 P 2 3 1 4 1 12 由此可 E Y = 2× 1 4 + 6× 1 12 = 1, D Y = (0- 1)2× 2 3 + (2- 1)2× 1 4 + (6- 1)2× 1 12 = 2 3 + 1 4 + 25 12 = 3． 以P X=0 <P Y=0 ,P X=2 >P Y=2 ， E X >E Y ，D X <D Y . 故 ：BC． 336. (19- 20高二上· 东东 · )四边 ABCD内 于 O，AB= CD= 5，AD= 3，∠BCD= 60°， ·150· 下 结论正 ( ) A. 四边 ABCD为 B. 四边 ABCD 积为 55 3 4 C. O 直 为 7 D. △ABD 三边 可以 一个 差数 . 【 】ABD 【解 】∵AB=CD= 5,AD= 3,∠BCD= 60° ∴ ∠BAD= 120° + 连 AC,BD，由AB=CD可 ∠BDA=∠CAD， 因为∠ABD=∠ACD， 以△BAD≅△CDA(AAS) ∴ ∠BAD=∠CDA= 120° ∴∠BCD+∠CDA= 180° ∴BC⎳DA 然AB不 行CD 四边 ABCD为 ，故A正 ； △ABD中，BD2=AB2+AD2- 2AB ⋅ADcos120° = 52+ 32- 2× 5× 3× - 1 2 = 49 △BCD中由 定 可 BD2=CB2+CD2- 2CB ⋅CDcos∠BCD ∴ 72=CB2+ 52- 2× 5×CBcos60°解 CB= 8 CB=-3( ) ∴S△BAD= 1 2 AB ⋅ADsin120° = 1 2 × 5× 3× 3 2 = 15 3 4 ∴S△BCD= 1 2 CB ⋅CDsin60° = 1 2 × 5× 8× 3 2 = 40 3 4 ∴SABCD=S△BCD+S△BAD= 15 3 4 + 40 3 4 = 55 3 4 故B正 △BAD中由 定 可 BD2=AB2+AD2- 2AB ⋅ADcos∠BAD ∴BD2= 52+ 32- 2× 5× 3cos120° = 49∴BD= 7∴ 直 不可能 7，故C错误； △ABD中，AD= 3，AB= 5，BD= 7，满足AD+ BD= 2AB ∴△ABD 三边长 可以 一个 差数 ，故D正 . 故 ：ABD 337. (23- 24高二上· 东· )已知正方 ABCD- A1B1C1D1 棱 为 1，建 如图 示 间直角 系A- xyz， 下 说法正 ( ) A. 点D1 直线A1C 距离为 2 2 B. 点D1 A1BD 距离为 3 3 C. 若点P(x,y,z) 直线A1C上， x= y= 1- z D. 若点P(x,y,z) A1BD内， x- y+ z= 1 【 】BC 【解 】 由 A1 0,0,1 ,C 1,1,0 ,D1 0,1,1 ,B 1,0,0 , D 0,1,0 ， 以D1C  = 1,0,-1 ,D1A1  = 0,-1,0 ,A1C  = 1,1,-1 ， ·151· 若点P(x,y,z) 直线A1C上， A1P  = x,y,z-1 ， 由A1P  = x,y,z-1 与A1C  = 1,1,-1  线可 x= y= 1- z，故C正 ； D1C  ⋅D1A1  = 0， 以D1C⊥D1A1， D1C   = 2 , D1A1   = 1，A1C   = 3， 不妨设点D1 直线A1C 距离为 h， 由 积法 1 2 × 1× 2= 1 2 × 3 × h，解 h= 6 3 ，故A错误； A1B  = 1,0,-1 ,A1D  = 0,1,-1 ，不妨设 A1BD 法 量为 n= x,y,z ， x-z=0 y-z=0  ，令 z= 1，解 x= y= 1， 取 A1BD 法 量为 n= 1,1,1 ， 若点P(x,y,z) A1BD ， A1P  = x,y,z-1 ， 以n ⋅A1P  = x+ y+ z-1 = 0， x+ y+ z= 1，故 D错误； D1A1  = 0,-1,0 ， 以点D1 A1BD 距离为 d= D1A1  ⋅n  n  = 1 3 = 3 3 ，故B正 . 故 ：BC. 338. (2024· 州·二模)已知 为 r 与棱 为 1 正四 三个 时相 ， 点 三个 三角 内部 ( 括边 )，记 正四 四 个 点 距离之 为 d， ( ) A. r 大 ， 无 B. r 大时， 正四 外 C. r 大时，d 时取 大 D. d ， 无 大 【 】ABD 【解 】对于AB，设 为O，正四 为A-BCD， △BCD 中 为O1， O AO1上，AH= 1- 12  2 = 3 2 ，DO1= 23 × 1- 1 2  2 = 3 3 ， 与 ACD， ABC， ABD相 ，与 ABC相 于点O2， HO1= 13 × 1- 1 2  2 = 3 6 ，AO1= AH 2-HO21 = 6 3 ， 因为 r=OO2， Rt△AO1H中，tan∠O1AH= O1H AO1 = 2 4 ， sin∠O1AH= 13 以 Rt△AOO2中，r=OO2=AO2tan∠O1AH= 2 4 AO2， 因为AO2∈ 0, 32 ， 以 r= 2 4 AO2∈ 0, 68 ，r 大 ， 无 ，故A正 ； rmax= 68 ，此时AO= r sin∠O1AH = 3r= 3 6 8 > 3 2 ， r 大时， 正四 外，故B正 ； 对于CD，设OO1= x，AO= 63 - x，OD= OO21+DO21 = x2+ 13 ， 以 d=OA+ 3OD= 6 3 - x+ 3 x2+ 1 3 ，令 f x  = 6 3 - x+ 3 x2+ 1 3 ， 令 f x =-1+ 3x x2+ 13 = 3x- x2+ 13 x2+ 13 = 0，解 ： x= 6 12 x=- 6 12 ( )， x∈ 0, 6 12 时，f x < 0，f x  0, 6 12 上 减， x∈ 6 12 ， 6 3 时，f x > 0，f x  6 12 ， 6 3  上 减， 以 x= 6 12 时，f x max= 6， 以 d ， 无 大 ，故D正 ，C错误. 故 ：ABD. 339. (2024· 州·二模)已知 C1:x2+ y2= 6与 C2:x2+ y2+ 2x- a= 0相交于A,B两点．若 S△C1AB = 2S△C2AB， 实数 a 可以 ( ) A. 10 B. 2 C. 22 3 D. 14 3 ·152· 【 】BD 【解 】由 可 AB 直线方 为C1-C2: 2x+ 6- a= 0， 因为 C1:x2+ y2= 6， C1 0,0 ， C2:x2+ y2+ 2x- a= 0， C2 -1,0 ， 设 C1 0,0 与 C2 -1,0  直线AB 距离 为 d1,d2， 因为S△C1AB= 2S△C2AB， 1 2 AB ⋅ d1= 2× 12 AB ⋅ d2， 以 d1= 2d2， d1= 6-a  2 ,d2= 4-a  2 ， 6-a  2 = 2× 4-a  2 ， 可 3a2- 20a+ 28= 0， 3a-14 a-2 = 0，解 a= 2 a= 14 3 . 故 ：BD 三、 340. (2024· 东韶关·二模) 三棱 P-ABC中， 与 ABC 夹角 为 π 4 ，若 AB= 2, CA+ CB= 4，且 △ABC 直角三角 ， 三棱 P-ABC 积为 ． 【 】 1 4 1 2 3 4 3 2 【解 】如图，过P PO⊥ ABC于O，过O OE ⊥AC,OD⊥BC,OF⊥AB， 因为PO⊥ ABC，AC⊂ ABC， 以PO⊥AC， OE∩PO=O，OE,PO⊂ POE， 以AC⊥ POE， PE⊂ POE， 以AC⊥ PE，故∠PEO为二 角 角， 由 知，∠OEP= π 4 ， 可 ∠PFO= π 4 ,∠PDO= π 4 ， O 三角 ABC 部时，由OE=OF=OD， O 为三角 ， 设S△ABC= t， t= 1 2 (AB+BC+AC) ⋅OD= 3OD， OD= t 3 ， 以OP=OD= t 3 ， 三棱锥P-ABC 积为V= 1 3 S△ABCOP= 1 9 t2； 因为CA+CB= 4>AB= 2， 以点C 以A,B为 焦点 上， 如图，以AB 直线为 x轴，AB 中 线为 y轴，建 立 直角 系， A(-1,0),B(1,0)， 由 知， 中 c= 1,a= 2,b= 3， 以 方 为 x2 4 + y 2 3 = 1， 设C(x,y)，因为△ABC 直角三角 ， A= π 2 时， 知 x=-1，此时 AC = 3 2 ， 以 t= 1 2 AB ⋅ AC = 3 2 ， V= 1 9 t2= 1 4 ， B= π 2 时， 知 x= 1，此时 AC = 3 2 ， 以 t= 1 2 AB ⋅ BC = 3 2 ， V= 1 9 t2= 1 4 ， 因为 b= 3 ,c= 1，故以O为 ，1为 与 交点， C≠ π 2 ， 综上 述，V= 1 4 ； ， O 三角 ABC外部时，由OE=OF=OD， O为三角 旁 ， 设S△ABC= t， t= 1 2 (AB+BC-AC) ⋅OD= 3 2 OD， OD= 2t 3 ， 以OP=OD= 2t 3 ，三棱锥P-ABC 积为V= 1 3 S△ABCOP= 2 9 t2= 1 2 ； t= 1 2 (BC+AC-AB) ⋅OD=OD， OD= t， 以OP=OD= t，三棱锥P-ABC 积为V= 1 3 S△ABCOP= 1 3 t2= 3 4 ； t= 1 2 (AC+AB-BC) ⋅OD= 1 2 OD， OD= 2t， 以OP=OD= 2t，三棱锥P-ABC 积为V= 1 3 S△ABCOP= 2 3 t2= 3 2 . 故 为： 1 4 1 2 3 4 3 2 . 341. (2024· 东深 ·模拟 )从 1，2，3，⋯，n这 n 个数中 一个数记为X，再从 1，2，⋯，X中 一个数记为Y， E Y = . 【 】 n+3 4 ·153· 【解 】由 知P(x= k) = 1 n ,k= 1,2,⋯ ,n，由 知， P(Y= 1) =P Y=1 X=1 +P Y=1 X=2 + P Y=1 X=3 +⋯+P Y=1 X=n  = 1 n × 1+ 1 n × 1 2 + 1 n × 1 3 +⋯+ 1 n × 1 n = 1 n 1+ 1 2 + 1 3 +⋯+ 1 n ， P(Y= 2) =P Y=2 X=2 +P Y=2 X=3 +⋯ +P Y=2 X=n  = 1 n × 1 2 + 1 n × 1 3 +⋯+ 1 n × 1 n = 1 n 1 2 + 1 3 +⋯+ 1 n ， P(Y= 3) =P Y=3 X=3 +P Y=3 X=4 +⋯ +P Y=3 X=n  = 1 n × 1 3 +⋯+ 1 n × 1 n = 1 n 1 3 +⋯+ 1 n ， ⋯⋯， P(Y=n- 1) =P Y=n-1 X=n-1 + P Y=n-1 X=n = 1n × 1 n-1 + 1 n × 1 n = 1 n 1 n-1 + 1 n ， P(Y=n) =P Y=n X=n = 1n × 1 n ， 以E(Y) = 1 ⋅P(Y= 1) + 2P(Y= 2) + 3P(Y= 3) + ⋯+ (n- 1)P(Y=n- 1) +nP(Y=n) = 1 n [1 ⋅ 1+ 1 2 + 1 3 +⋯+ 1 n + 2 1 2 + 1 3 +⋯+ 1 n + 3 1 3 +⋯+ 1 n +⋯+(n- 1) 1 n-1 + 1 n +n ⋅ 1 n ] = 1 n 1+ 1 2 + 2 2 + 1 3 + 2 3 + 3 3 + 1 4 + 2 4 + 3 4 + 4 4 +⋯+ 1 n + 2 n + 3 n +⋯+ 1 n   = 1 n 1+ 3 2 + 4 2 + 5 2 +⋯+ n+1 2  = 1 n ⋅ 1 2 ⋅ n 2 (2+n+ 1) = n+3 4 . 故 为： n+3 4 342. (2024· 东 州·一模)已知曲线 C 内 定 点 F(0, -2)与 定直线 l:y= 2 距离之 于 6 点 轨迹，若点P C上，对给定 点T(-2,t)， m(t)表示 PF + PT  ， m(t) 为 . 【 】2 【解 】设P x,y ， y≥ 2时，|PF| +y- 2= 6， x2+(y+2)2= 8- y， ：x2= 60- 20y,y∈ 2,3 ， y=- 1 20 x2+ 3； y< 2时，|PF| +2- y= 6， x2+(y+2)2= 4+ y， x2= 4y+ 12，y∈ -3,2 ， y= 1 4 x2- 3， 对于曲线C上 任 一点P，|PF| +|PT| ≥ |TF|， 且仅 P 线段TF与曲线C 交点时取 号， |TF| = 4+(t+2)2≥ 2， 且仅 t=-2， 点T( -2, -2)时取 号， 因此 |PF| +|PT| ≥ |TF| ≥ 2， 且仅 点P,T重 于 (-2, -2)时取 号， 以m(t) 为 2. 故 为：2 343. (23- 24高三上· 州· 段练习)已知 曲线 C：x2- y 2 3 = 1 左、右 点 为 F1，F2，右 点 为 E，过 F2 直线交 曲线 C 右支于A，B两点 (其中点 A 一 内 )，设 M ，N 为 △AF1F2，△BF1F2 内 ， F1A⊥AB时，AF1= ；△ABF1内 为 ． 【 】 7+ 1/1+ 7 7- 1/- 1+ 7 【解 】由双曲线方 知 a= 1,b= 3 ,c= 2，如下图 示： 由F1A⊥AB， AF1 2+ AF2 2= F1F2 2= 16， 故 AF1 - AF2  2+ 2 AF1 AF2 = 16， AF1 - AF2 = 2a= 2， 以 AF1 AF2 = 6， 故 AF2  2+ 2 AF2 - 6= 0， 解 AF2 = 7- 1， 以 AF1 = 7+ 1， ·154· 若G为△ABF1 且F1A⊥AB可知，以直角 边 点 G,A为 点 四边 为正方 ， 结 双曲线定义 r= 1 2 AF1 + AB - BF1  = 1 2 AF1 + AF2 + BF2 - BF1   以 r= 1 2 2 7+ BF2 - BF1  = 12 2 7-2 = 7 - 1； △ABF1 为 7- 1； 故 为： 7+ 1， 7- 1； 344. (2024· 衡 ·二模)已知 A,B两个盒子，其中 A盒装 3个黑 3个 ，B盒装 3个黑 2个 ，这些 外完全相 ． 从A盒、 乙从 B盒 取出一个 ，若 2个 ， 胜， 取出 2个 全部放入A盒中，若 2个 ， 乙胜， 取出 2个 全部放入B盒中． 上述方法 复 两次 ，B盒中 7个 ． 【 】 77 300 【解 】若两次取 ，B盒中 7个 ， 两次取 为乙 胜； 若 一次取 甲取 黑 ，乙取 ， 为 1 2 × 2 5 = 1 5 ， 一次取 A盒中 2个黑 3个 ，B盒装 4个黑 2个 ， 二次取 为取 一个 一个黑 ， 为 2 5 × 2 6 + 3 5 × 4 6 = 8 15 ； 此时B盒中 7个 为 1 5 × 8 15 = 8 75 ； 若 一次取 甲取 ，乙取 黑 ， 为 1 2 × 3 5 = 3 10 ， 一次取 A盒中 3个黑 2个 ，B盒装 3个黑 3个 ， 二次取 为取 一个 一个黑 ， 为 3 5 × 3 6 + 2 5 × 3 6 = 1 2 ； 此时B盒中 7个 为 3 10 × 1 2 = 3 20 ； 以B盒中 7个 为 8 75 + 3 20 = 77 300 . 故 为： 77 300 345. (20- 21高二下· 州· )已知 比 函数 图 上 三 点 A , B , P 3, a 3 ， 1 3 ,3a a> 13 与 (x,y) 1 3 <x<3 ，过 B 直线 AP 线， 足为Q.若 |AP| ⋅ |PQ| ≤ 5 3 + a ， a 取 围为 . 【 】 1 3 ,1  【解 】由 ：反比 函数为 y= a x ，因为点P 反 比 函数图 上， 以P x, a x ， 1 3 <x<3 ， 以 |AP| ⋅ |PQ| = |AP| ⋅ |PB|cos∠BPQ=PB  ⋅AP  = 1 3 -x,3a- a x ⋅ x-3, a x - a 3  = 1 3 -x x-3 + a2 3- 1x  1 x -3 ， 记 g a = a2 3- 1 x  1 x - 1 3 + 1 3 -x x-3 - a- 5 3 ，由 ：g a ≤ 0 立， x= 1， 4 3 a2- a- 1 3 ≤ 0，解 ：1 3 ≤ a≤ 1，由于 a> 1 3 ，故 1 3 < a≤ 1； 下 证 1 3 < a≤ 1时，g a ≤ 0 立， g a max≤ 0 因为 g a  口 上 二次函数， 以 g a max≤ 0⇔ g 1 ≤0 g 13 ≤0  g 1 3 = 1 9 3- 1 x  1 x - 1 3 + 1 3 -x x-3 - 2 ≤ 1 9 3- 1x + 1 x - 1 3 2  2 + 1 3 -x+x-3 2  2 - 2=- 2 81 < 0； ② g 1 = 3- 1 x  1 x - 1 3 + 1 3 -x x-3 - 83 = - 1 x2 +x2 + 103 1 x +x - 143 ， 令 t= 1 x + x∈ 2, 10 3   ， h t =-t2+ 103 t- 14 3 ， 口 下，对称轴为 t= 5 3 ，故 h t =-t2+ 10 3 t- 14 3 t∈ 2, 10 3   上 减，故 h t ≤ h 2 =-22+ 203 - 14 3 =-2. 以 1 3 < a≤ 1时，g a ≤ 0 立，故 a 取 围 1 3 ,1  故 为： 1 3 ,1  346. ( 2024 · ·二模 ) 已知 x > 0 ,y > 0，若 ·155· 4x2+3xy+y2 +m xy > 2x + y ， 实数 m 取 围 . 【 】 2 2- 7,+∞  【 解 】 不 价 于 m > 2x+y- 4x2+3xy+y2 xy ， 令 z = 2x+y- 4x 2+3xy+y2 xy = 2 x y + y x - 4 x y + y x +3 . 令 t= 2 x y + y x ，且 t≥ 2 2， z= t - t2-1 = 1 t+ t2-1 2 2,+∞ 上 减， ∴ z≤ 1 2 2+ 7 = 2 2- 7 , ∴m> 2 2- 7 . 故m 围 2 2- 7,+∞ . 故 为：2 2- 7,+∞  347. (2024· ·一模)记 max x∈ a,b  f x  ，min x∈ a,b  f x   表示函数 f x  a,b 上 大 ． min m∈ -3,3  max n∈ 0,9  m+n-2 n   = ． 【 】2 【解 】由 m+n-2 n = ( n-1)2+m-1 ，设n为 变量， max n∈ 0,9  m+n-2 n  =max n∈ 0,9  n-1 2+m-1  ， 令 t= ( n-1)2+m-1 ， n= 0时，t= m ， n= 1时，t= m-1 ， n= 9时，t= m+3 ， 大 只可能 n= 0 n= 1 n= 9处取 ， 以 t= ( n-1)2+m-1  大 为 max m-1 ,m+3  ， 以max n∈ 0,9  m+n-2 n  = m+3, m≥-1 -m+1, m<-1  ， m∈ -3,3 时， 为 2． 由 m+n-2 n = ( n-1)2+m-1  n∈ 0,9 时 大 只可能 n= 0 n= 1 n= 9处取 ，令 t= ( n-1)2+m-1 ， n = 0时，t= m ， n= 1时，t= m-1 ， n= 9时，t= m+3 ，结 图 可 为 2． 故 为：2. 348. ( 2024 · 东 · 一 模 ) 已 知 A = u x u x =ax2- a+b x+b ,a,b∈R ，函数 f x  = x2- 1.若函数 g x 满足：对任 u x ∈A，存 λ,μ∈R， u x = λf x + μg x ， g x  解 可以 .(写出一个满足 件 函数解 可) 【 】g x = x- 1(满足 g 1 = 0，且一次 系数不为 零 一次 二次函数解 正 ) 【解 】u x = ax2- a+b x+ b，f x = x2- 1， u 1 = a- a+b + b= 0，f 1 = 0， u x = λf x + μg x ，u 1 = λf 1 + μg 1 = μg 1  = 0， 以 g 1 = 0， g x  解 可以为 g x = x- 1. 经 验，g x = x- 1满足 . 故 为：g x = x- 1( 不 一). 349. (2024·福建 州·模拟 )已知 x> e，y> 1，x+ ey= 2e3， x y-1 ey 大 为 ． 【 】e3 【解 】设 f x = ln x y-1 ey = y-1 lnx- y， 因为 x+ ey= 2e3， ey= 2e3- x，因为 y> 1， 以 ey = 2e3- x> e， 以 x< 2e3- e， 因为 x> e， 以 e< x< 2e3- e， 以 y= ln 2e3-x 代 f x ， f x = ln 2e3-x -1 lnx- ln 2e3-x ， f x = -lnx 2e3-x + ln 2e3-x -1 x + 1 2e3-x ， = -xlnx+x+ 2e3-x ln 2e3-x - 2e3-x  2e3-x x ， = x 1-lnx + 2e3-x  ln 2e3-x -1  2e3-x x ， 令 g x = x 1-lnx + 2e3-x  ln 2e3-x -1 ， g x =-lnx- ln 2e3-x ，因为 e< x< 2e3- e， 1< lnx< ln 2e3-e ，e- 2e3<-x<-e，e< 2e3 - x<-e+ 2e3， 1< ln 2e3-x < ln -e+2e3 ， 以 g x < 0 ·156· e,2e3-e 上 立， 以 g x  e,2e3-e 上 减，因为 g e3 = 0， x∈ e,e3 时，f x > 0， f x  e,e3 上 ， x∈ e3,2e3-e 时，f x < 0， f x  e3,2e3-e 上 减， 故 f x max≤ f e3 = 3， ln xy-1 ey max= 3， 以 xy-1 ey 大 为 e3. 故 为：e3. 350. (2024·福建 州·模拟 )已知 物线 C 点 为 点，对称轴为 轴，准线为 l．若C 过 -2,1 ，1, 1 4 ，-2,-2 三点中 两点， C 方 为 ；若过C 点 直线与 C交于A，B 两点，且A l 距离为 4， AB = ． 【 】 x2= 4y 16 3 【解 】因为 物线C 点为 点，对称轴为 轴， 线为 l， 且C 过 -2,1 ，1, 1 4 ，-2,-2 三点中 两点， 因为点 -2,1  -2,-2 不 于 轴对称， 以 物线不可能过 -2,1  -2,-2 两点， 因为 1, 1 4  一 ，-2,-2  三 ， 物线C不可能 时过 1, 1 4  -2,-2 两点， 以 物线C经过 -2,1 与 1, 1 4 两点， 设 物线C 方 为 x2= 2py(p> 0)， -2 2=2p 12=2p× 14  ，解 p= 2， x 2= 4y， 过 物线C 交点 直线与C交于A,B两点，且A l 距离为 4， 由 物线 定义，可 yA+ p 2 = yA+ 1= 4，解 yA= 3， x2A= 4yA= 12，可 xA=±2 3， 结 物线 对称 ，不妨设A(2 3 ,3)， 因为 物线 x2= 4y 焦点为F(0,1)， AB 直线方 为 y= 3 3 x+ 1， 立方 组 y= 33 x+1 x2=4y  ，整 3y 2- 10y+ 3= 0，可 yA+ yB= 10 3 ， AB = yA+ yB+ p 2 = 10 3 + 2= 16 3 . 故 为：x2= 4y；16 3 . 351. (2024·福建 州·一模) 直三棱柱ABC-A1B1C1 中，AB=AC=AA1= 4，AC⊥AB，过AC1 该 直三棱柱外 ， 积 为 ． 【 】8π 【解 】由直三棱柱ABC-A1B1C1可知，AA1⊥ ABC， AC⊥AB， 以AB,AC,AA1两两 直， 设直三棱柱ABC-A1B1C1外 为R， 过 长方 可知该三棱柱 外 与以AB,AC, AA1为边长 长方 外 相 ； 过AC1 该直三棱柱外 ， AC1为 直 时 积 ， 因为AC1= 42+42= 4 2， 积 为 π 4 2 2  2 = 8π. 故 为：8π. 352. (2024·福建 州·一模)过点P x0,y0  O：x2+ y2= 9 两 线， 点 为A，B，若直线AB与 C：x-1 2+ y2= 1相 ， y20+ 18x0= ． 【 】81 【解 】 O：x2+ y2= 9 为O 0,0 ， r= 3； C：x-1 2+ y2= 1 为C 1,0 ， R= 1； 由 可知：OA⊥PA,OB⊥PB，可知点A,B 以 OP为直 上， 以OP为直 为 x- x0 2  2 + y- y0 2  2 = x 2 0+y20 4 ， 整 x2+ y2- x0x- y0y= 0，结 O：x2+ y2= 9， 两 方 差，可 直线AB 方 为 9- x0x- y0y = 0， x0x+ y0y- 9= 0， 若直线AB与 C：x-1 2+ y2= 1相 ， x0-9  x20+y20 = 1，整 y20+ 18x0= 81. 故 为：81. ·157· 353. (2024· ·模拟 ) 物线 曲线 光 学 质，可以设计 天文 远 ，这种 远 特点 ， 铜可以 短 观察天 运 ．某天文仪器 设计 一种 远 ，其光学系统 如图 (中 口示 图) 示．其中，一个 PO1Q 曲线为 物 线，另一个 MO2N 曲线为 曲线一 个 支．已知 F1,F2 曲线 两个 点，其中 F2 时 物线 点，且，∠NF2F1 = 45 ° , tan∠NF1F2= 14 ,△NF1F2 积为 10，O1F2 = 8， 物线方 为 ． 【 】y2= 32 x+3  【解 】以F1F2 中点O为 点，F1F2为 x轴，建立 直角 系， 不妨设F1 -c,0 ,F2 c,0 ,N x0,y0 x0>0,y0>0 ． 由 tan∠NF1F2= 14 ,∠NF2F1= 45°， y0 x0+c= 1 4 y0=c-x0  ，解 x0= 35 c,y0= 2 5 c， S△NF1F2= 1 2 F1F2 y0= 25 c 2= 10，解 c= 5， O1F2 = 8， O1 -3,0 ， 故 物线方 为 y2= 32 x+3 ． 故 为：y2= 32 x+3  354. ( 2024 · · 模 拟 ) 函 数 f x  = x3e3x-3lnx-1 x (x> 0) ． 【 】3 【解 】f x = 3x 4e3x+2x3e3x+3lnx-2 x2 ， 令 g x = 3x4e3x+ 2x3e3x+ 3lnx- 2， g x = 9x4e3x+ 18x3e3x+ 6x2e3x+ 3 x ， x> 0时，g x > 0， 以 g x  0,+∞ 上 ,g x = 3x4e3x+ 2x3e3x+ 3lnx- 2= 3xe3x+3lnx+ 2e3x+3lnx+ 3lnx- 2， 设 h x = 3lnx+ 3x， 因为 h x = 3lnx+ 3x 0,+∞ 上 ， 因为 h 1 = 3> 0，h e-3 =-9+ 3e-3< 0 存 x0∈ e-3,1 ， 3lnx0+ 3x0= 0， 且 g x0 = 3x0+ 2+ 3lnx0- 2= 3lnx0+ 3x0= 0， 故 x∈ 0,x0 时，g x < 0， f x < 0， 以 f x  间 0,x0  减， x∈ x0,+∞ 时，g x > 0， f x > 0， 以 f x  间 x0,+∞  ， 以 f x  min= f x0 = x0 3e3x0-3lnx0-1 x0 = e3x0+3lnx0-3lnx0-1 x0 =- 3lnx0 x0 = 3． 故 为：3. 355. (20- 21高一下· 东深 · 中)如图，边 为 1 正三角 ABC 边AC 直线 l上，AC中点与 定点 O ， 点 B与定点 P . 正三角 ABC 直线 l 时针滚 ， 先以 点C为旋转中 时针旋转， 点B l上，再以 点B为旋 转中 时针旋转，如此继续. △ABC滚 △A1B1C1时， 点B运 轨迹 为 ； 滚 过 中，OB  ⋅OP  取 围为 . 【 】 4 3 π 0, 3 2     【解 】 可知，点B 轨迹为两个 角都为 2 3 π 一个点，且 为 1， 以 点B运 轨迹 长 为 2× 1× 2 3 π= 4 3 π， P 0, 3 2 ，OP  = 0, 3 2 ，设B x,y ， OB  = x,y  以OB  ⋅OP  = 3 2 y， 滚 过 中B 纵 y满足 0≤ y≤ 1， 以OB  ⋅OP  = 3 2 y∈ 0, 3 2    ， 故 为： 4 3 π；0, 3 2    . 356. (23- 24高一上· 东 · )已知函数 f x = lnx + 1x , x>0 -x2-x+4, x≤0  ，g x =-x+ a，若函数 F x = f x - g x  三个零点 x1,x2,x3， x1 ⋅ x2 ⋅ x3 取 ·158· 围 . 【 】- 2,0  【解 】由 设 h x = f x + x， 函数F x = f x - g x  零点 为方 h x = a ， 一 直角 系中 画出函数 h x  图 以及直线 y= a如图 示： 若函数F x = f x - g x  三个零点 x1,x2,x3，(不 妨设为 x1< x2< x3)， 方 h x = a 三个 x1,x2,x3，且 x1≤ 0< x2 < 1< x3， 以 a∈ 2,4 ， 且 2< a=-x21+ 4=-lnx2+ x2+ 1x2 = ln 1 x2 + 1 x2 + 1 1 x2 = lnx3+ x3+ 1x3 ≤ 4， 因为 y= lnx+ x+ 1 x 1,+∞  ， 以 x3= 1 x2 ， x2x3= 1， 以 x1 ⋅ x2 ⋅ x3= x1， 令 2= a=-x2+ 4，x≤ 0，解 x=- 2，令 4= a= -x2+ 4，x≤ 0，解 x= 0， 以 x1 ⋅ x2 ⋅ x3= x1∈ - 2,0 . 故 为：- 2,0 . 357. (2024· 州·二模)如图， ABCD 中，AB=BC=CD= 1 2 AD，点 E AD 中点． △ABE BE翻 △ABE， △DCE CE 翻 △DCE， 二 角A-BE-C 于 60°， D-CE-B 于 90°， 直线AB与 DCE 角 于 ．    【 】 37 8 / 1 8 37 【解 】设AB= 2a，取CE 中点K,连 BK,AK, 由 知 BCE⊥ DCE, BCE∩ DCE=CE, BK⊂ BCE,BK⊥CE 以BK⊥ DCE， 直线AB与 DCE 角 于 ∠ABK 正 ， BK= 3a,AC= 3a， cos∠AEC= EA 2+EC2-AC2 2EA ⋅EC = 5 8 , cos∠AEC= EA 2+EK 2-AK 2 2EA ⋅EK = 5 8 , 解 AK= 10 2 a， cos∠ABK= A B2+BK 2-AK 2 2AB ⋅BK = 3 3 8 , sin∠ABK= 1- 3 3 8  2 = 37 8 , 以直线AB与 DCE 角 于 37 8 ， 故 为： 37 8 . 358. (2024· 州·二模)已知 P，F 曲线 x2 a2 - y 2 b2 = 1 a,b>0 与 物线 y2= 2px p>0  公共点 公共 点，直线 PF 斜角为 60°， 曲 线 离 为 ． 【 】 2+ 7 3 7+ 2 【解 】 ·159· 因为F为双曲线 x 2 a2 - y 2 b2 = 1 a,b>0 与 物线 y2= 2px p>0  焦点， 以 c= p 2 ，故 y2= 4cx， 因直线PF 斜角为 60°，故直线PF 斜 为 k= 3，直线PF 方 为 y= 3 x-c ， 立 y2= 4cx， 3 x-c 2= 4cx， 3x2- 10cx+ 3c2 = 0， x= 3c x= 1 3 c， x= 3c时，y2= 12c2，代 x 2 a2 - y 2 b2 = 1 9c 2 a2 - 12c2 b2 = 1， 因 b2= c2- a2，e= c a ， 9e4- 22e2+ 1= 0， 解 e2= 11±4 7 9 ， 因 e> 1， e= 7+2 3 x= 1 3 c时，y2= 4 3 c2，代 x 2 a2 - y 2 b2 = 1 1 9 c 2 a2 - 4 3 c 2 b2 = 1， 因 b2= c2- a2，e= c a ， e4- 22e2+ 9= 0， 解 e2= 11± 4 7， 因 e> 1， e= 7+ 2 故 为： 2+ 7 3 7+ 2. 新高 数学 轴 好 (七) 一、 359. (2024· ·二模)已知 PO 点为 P，其三 母线PA，PB，PC两两 直．且母线 为 6． PO 内 表 积与 积之 为 ( ) A. 12(10- 3 6 )π B. 24(20- 7 6 )π C. 60(8- 3 6 )π D. 3(40- 7 6 )π 【 】C 【解 】因为PA，PB，PC两两互相 直且长 为 6， 以△ABC为 锥 正三角 ，且边长 AB=BC=CA= 6 2， 由正 定 R= 1 2 ⋅ 6 2 sin60° = 2 6， 以 锥 高PO= 62-(2 6)2= 2 3． 如图， 锥轴 三角 为 锥 r， 轴 三角 积为 1 2 ⋅ 4 6 ⋅ 2 3= 1 2 (6+ 6+ 4 6 ) ⋅ r， 以 r= 6 2- 4 3． 表 积为 4π(6 2- 4 3 )2= 4π(120- 48 6 )， 锥 积为 1 2 ⋅ 6 ⋅ 2π ⋅ 2 6= 12 6π， 以 为 60(8- 3 6 )π. 故 ：C. 360. (2024· ·二模)已知函数 f x = ax ex + e x+1 x+ex (e 为自 对数 数 )． 下 说法正 ( ) A. 函数 f x  定义域为R B. 若函数 f x  P 0,f 0  处 线与 轴围 三角 积为 e2 2e-2， a= 1 C. a= 1时，f x =m可能 三个零点 D. a= 1时，函数 大于 大 【 】D 【解 】记 g x = x+ ex， g x = 1+ ex> 0， 以 g x 为 函数，g(-1) =-1+ 1 e = 1-c c < 0， g 0 = 1> 0， 以函数 g x  一零点 n∈ -1,0 ， 因为 f x  义 x+ ex≠ 0， 以函数 f x  定 义域为 {x|x≠n}， 以A错误； 因为 f(x) = a(1-x) ex + (x-1)e x+1 (x+ex)2 = (x- 1) ex+1 (x+ex)2 - a ex      ，f (0) = a- e，f(0) = e， 以函数 f(x) 点P处 线方 为 y- e= a-e x，a≠ e， 此直线与 x轴、y轴 交点 为 e e-a ,0 ，0,e ， 由三角 积 1 2 ⋅ e e-a ⋅ e= e2 2e-2，解 a= 1 a= 2e- 1， 以B错误； a= 1时，f(x) = (x- 1) ⋅ e 2x+1-(x+ex)2 ex⋅(x+ex)2 = (x- 1) ( e2x+1-x-ex)( e2x+1+x+ex) ex⋅(x+ex)2 ， ·160·