新高考数学选填压轴题好题汇编(九)-遇见最美的数学系列——选填压轴好题汇编

90 新高考数学选填压轴题好题汇编 (九) 一、 492. (2024· 东 州·二模)已知点F为 曲线C：x 2 3 - y2= 1 右 点，点N x轴上 ( 曲线 点)， 若对于 曲线C上 ( 点外)任一点P，∠FPN 角， 点N 横 取 围为 ( ) A. 2, 14 3  B. 2, 17 3  C. 3, 14 3  D. 3, 17 3  493. (2024· 东·二模)已知 O与 台O1O2 上、下 相 ，且 O与 台O1O2 积之比 为 1 2 ， O与 台O1O2 表 积之比为 ( ) A. 1 6 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2 494. (2024· 东·二模) 直角 系 xOy中，已知 O:x2+ y2= 1，若 直角△ABC 直角边AC 为 O 一 ，且 O △ABC外，点B O外， 四边 OABC 积 大 为 ( ) A. 5 2 + 1 B. 2+ 1 C. 6 2 + 1 D. 3+ 1 495. (2024· ·模拟 )已知 f x  定义域为 0,+∞ , f  x  f x  导函数，且 x2 f  x + 2xf x = lnx，2ef e = 1， f 1 3 ,f sin 1 4 ,f tan 1 2  大 关系 ( ) A. f 1 3 < f sin 1 4 < f tan 1 2  B. f sin 1 4 < f 1 3 < f tan 1 2  C. f tan 1 2 < f 1 3 < f sin 1 4  D. f sin 1 4 < f tan 1 2 < f 1 3  496. (2024· ·模拟 )如图 示，4个 两两外 几 ，称为一个“ 密 ”． ， “ 密 ”，4个 之间 存 ． 料学 发 ，某种金 中 4个 子 “ 密 ” 中如 再嵌入一个另一种金 子 4个 子 外 ， 料 能 变 ．记 金 子 为 rA，另一种金 子 为 rB， rA rB 关系 ( ) A. 2rB= 3rA B. 2rB= 6rA C. 2rB= 3-1 rA D. 2rB= 6-2 rA 497. (2024· 武 ·模拟 )若函数 f x = 3cos ωx+φ  ω<0，- π 2 <φ< π 2  正 为 π， 91 间 - π 6 , π 6 上 减，且 间 0, π 6 上存 零点， φ 取 围 ( ) A. π 6 , π 2  B. - π 2 ,- π 3  C. π 3 , π 2    D. 0, π3  498. (2024· 武 ·模拟 )如 a< x< b，记 x 为 间 a,b 内 整数． 如，如 2< x< 3.5， x = 3；如 1.2< x< 3.5， x = 2 3；如 2.3< x< 2.7， x 不存 ．已知T= 1+ 1 4 2 + 1 4 3 +⋯+ 1 4 81 ， T = ( ) A. 36 B. 35 C. 34 D. 33 499. (2024· 东·二模)已知函数 f(x) = sin ωx+ π 6 (ω> 0)，若 f(x) 图 左 移 π 3 个 函数图 与曲线 y= f(x)关于 x= π 3 对称， ω 为 ( ) A. 2 3 B. 1 3 C. 1 D. 1 2 500. (2024· 东·二模)已知 f x 为定义 R上 奇函数，设 f x 为 f x  导函数，若 f x = f 2-x + 4x- 4， f 2023 = ( ) A. 1 B. - 2023 C. 2 D. 2023 501. (2024· 信 ·模拟 )棱 为 1 正方 ABCD-A1B1C1D1中，点P为BD1上 点，O为 ABCD 中 ， OP 为 ( ) A. 3 3 B. 6 3 C. 6 6 D. 3 2 502. (2024· 信 ·模拟 )若直线 y= ax+ b与曲线 y= ex相 ， a+ b 取 围为 ( ) A. (-∞,e] B. [2,e] C. [e, +∞) D. [2, +∞) 503. (2024·福建福州·模拟 )函数 f x = 2sinωx 3sinωx+cosωx (ω> 0) 0, π 3 上 ，且 对任 实数 a，f x  (a,a+ π)上不 ， ω 取 围为 ( ) A. 1, 5 2  B. 1, 5 4  C. 1 2 , 5 2  D. 1 2 , 5 4  504. (2024· 嘉兴·二模)6 学 乐 A,B,C三个 目，每个人都只 一个 目，每个 目 都 人 ，若A 目 数人 ， 不 方 ( ) A. 180种 B. 210种 C. 240种 D. 360种 505. (2024· 嘉兴·二模)已知定义 0,+∞ 上 函数 f x 满足 xf x = 1-x f x ，且 f 1 > 0， ( ) 92 A. f 1 2 < f 1 < f 2  B. f 2 < f 1 < f 1 2  C. f 1 2 < f 2 < f 1  D. f 2 < f 1 2 < f 1  506. (2024· 宁波·二模) 正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB= 4,A1B1= 2,AA1= 3，若 O与上 A1B1C1D1以 棱AB,BC,CD,DA 相 ， O 表 积为 ( ) A. 9π B. 16π C. 25π D. 36π 507. (2024· 宁波·二模)已知 P= x,y |x4+ax-2024=0 且 xy=2024 ，若P中 点 直线 y = 2024x 一 ， 实数 a 取 围为 ( ) A. -∞,-2023 ∪ 2023,+∞  B. 2023,+∞  C. -∞,-2024 ∪ 2024,+∞  D. 2024,+∞  508. (2024· 州·二模) △ABC中，已知 sinA sinB = nsinC, cosA cosB = ncosC．若 tan A+ π 4 =-3， n= ( ) A. 无解 B. 2 C. 3 D. 4 509. (2024· 州·二模)设 M={-1,1}，N={x|x> 0且 x≠ 1}，函数 f x = ax+ λa-x(a> 0且 a ≠ 1)， ( ) A. ∀ λ∈M , ∃ a∈N ,f x 为 函数 B. ∃ λ∈M , ∀ a∈N ,f x 为减函数 C. ∀ λ∈M , ∃ a∈N ,f x 为奇函数 D. ∃ λ∈M , ∀ a∈N ,f x 为 函数 510. (2024· 台州·二模)设F1，F2 曲线C：x 2 a2 - y 2 b2 = 1 a>0,b>0  左、右 点，点M ,N 曲线C 左、右两支上，且满足∠MF2N= π3 ，NF2  = 2MF1  ， 曲线C 离 为 ( ) A. 2 B. 7 3 C. 3 D. 5 2 511. (2024· 州·模拟 )已知菱 ABCD 边 为 2,∠ABC= 60°， 点 P BC边上 ( 括端 点)， AD  ⋅AP  取 围 ( ) A. 0,1  B. -1,2  C. -2,2  D. -1,1  512. (2024· 州·模拟 )设方 2x+ x+ 3= 0 方 log2x+ x+ 3= 0 为 p,q，设函数 f x = x+p x+q ， ( ) A. f 2 = f 0 < f 3  B. f 0 = f 3 > f 2  C. f 3 < f 2 = f 0  D. f 0 < f 3 < f 2  513. (2024· 台·一模)如图，正四棱台容器ABCD-A1B1C1D1 高为 12cm，AB= 10cm，A1B1= 93 2cm，容器中 高 为 6cm． 57个大 相 、质 铁 放入容器中 (57个 铁 被 淹 )， 上 了 3cm，若忽 该容器 ， 铁 为 ( ) A. 3 1 π cm B. 3 2 π cm C. 3 3 π cm D. 3 4 π cm 514. (2024· 台·一模) 斜角为 θ 直线 l经过 物线C：y2= 16x 点F，且与C相交于A,B两 点．若 θ∈ π 6 , π 4    ， AF BF  取 围为 ( ) A. 128,256  B. 64,256  C. 64, 196 3     D. 196 3 ,128   二、多 515. (2024· 东 州·二模)已知数 an  公 为 an= 3n，n∈N *， an 中 次 取若 (至 3 )ak1，ak2，ak3，⋅⋅⋅，akn，⋅⋅⋅， akn  为一个 比数 ， 下 说法正 ( ) A. 若取 k1= 1，k2= 3， k3= 9 B. 满足 kn 也 一个 比数 C. an  100 中，akn  可能 数 多 6 D. 如 an 中满足 比 一直取下 ，akn  无 数 516. (2024· 东 州·二模)如图， ABN⊥ α，AB = MN = 2，M为线段AB 中点，直线MN与 α 角大 为 30°，点P为 α内 点， ( ) A. 以N为 ， 为 2 α上 痕 为 2π B. 若P 点M 点N 距离相 ， 点P 轨迹 一 直线 C. 若P 直线MN 距离为 1， ∠APB 大 为 π 2 D. 满足∠MNP= 45° 点P 轨迹 94 517. (2024· 东·二模)设O为 点， 物线C :y2= 4x 点为 F，准线 l与 x轴 交点为 F1，过点F 直线与 物线C交于A,B两点，过点A,B l 线， 足 为A1，B1， 下 说法正 ( ) A. A1F1 ⋅ B1F1 = FF1 2 B. A1B1 ≤ 2 FF1  C. OA ⋅ OB = OA1 ⋅ OB1  D. OA + OB ≥ OA1 + OB1  518. (2024· ·模拟 )如图 1 示，为曲 闸车 出入口对出人车辆 “放行”“ 拦” 工具．它 转 OP与横 PQ组 ，P,Q为横 两个端点． 闸 起 过 中，横 PQ 始终保 ．如图 2 示，以点O为 点， 方 为 x轴正方 建 直角 系．若点O距 高 为 1米，转 OP 为 1． 6米，横 PQ 为 2米，OP绕点O 与 直 内转 ，与 方 角 θ∈ 30°,90°  ( )    A. 点P运 轨迹方 为 x2+ (y+ 1)2= 64 25 (其中 x∈ 0, 4 3 5    ,y∈ 4 5 , 8 5    ) B. 点Q运 轨迹方 为 (x- 2)2+ y2= 64 25 (其中 x∈ 2, 10+4 3 5    ,y∈ 4 5 , 8 5    ) C. 若OP绕点O从与 方 30°角 转 与 方 90°角， 横 PQ距 高 为 13 5 米 D. 若OP绕点O从与 方 30°角 转 与 方 90°角， 点Q运 轨迹 为 13 5 米 519. (2024· ·模拟 ) △ABC中，角A，B，C 对 边 次为 a，b，c，已知 sinA:sinB:sinC = 2:3:4， 下 结论中正 ( ) A. a+b : b+c : c+a = 5：6：7 B. △ABC为钝角三角 C. 若 a+ b+ c= 18． △ABC 积 6 15 D. 若△ABC 外 R，内 为 r， 5R= 16r 520. (2024· 武 ·模拟 )已知 都 正数 数 an  n 为Sn，且Sn= an 2 + 1 2an ， 下 结论正 ( ) A. m>n m，n∈N * 时，am> an B. Sn+Sn+2< 2Sn+1 95 C. 数 S2n  差数 D. Sn- 1Sn ≥ lnn 521. (2024· 武 ·模拟 )如图，已知 x 2 4 + y2= 1 左、右 点 A1,A2，上 点为B1，点C 上任 一 于 点 点，连 A1C交直线 x= 2于点P，连 A2C交OP于点M (O 点)， 下 结论正 ( ) A. kA1C ⋅ kA2C为定 B. 2kA1C= kOP C. 四边 OA2CB1 积 大时，直线OC 斜 为 1 D. 点M 纵 大 522. (2024· 东·二模) 正四棱 P-ABCD 正四棱 Q-ABCD 组 八 Ω,AB= PA= 2,QA= 10， ( ) A. PQ⊥ ABCD B. PA⎳QC C. Ω 积为 4 2 D. 二 角P-AB-Q 为- 1 3 523. (2024· 东·二模)已知 物线E:y2= 2px(p> 0) 点为F，过点M 2,0 (不与点F ) 直线交E 于P,Q两点，O为 点，直线PF,QF 交E于A,B两点，∠POQ= 90°， ( ) A. p= 1 B. 直线AB过定点 1 4 ,0  C. FP ⋅ FQ  为 25 4 D. PA + QB  为 25 4 524. (2024·福建福州·模拟 )定义 R上 函数 f x  域为 -∞,0 ，且 f 2x + f x+y f x-y = 0， ( ) A. f 0 =-1 B. f 4 + f 1  2= 0 C. f x f -x = 1 D. f x + f -x ≤-2 525. (2024·福建福州·模拟 ) 一 质 三次，设 变 Xn= 1, n次 出正 , -1, n次 出 ,  (n= 1,2,3)．记A表示事件“X1+X2= 0”，B表示事件“X2= 1”，C表示事件“X1+X2+X3=-1”， ( ) A. B C互为对 事件 B. 事件A C不互斥 96 C. 事件A B相互独 D. 事件B C相互独 526. (2024· 嘉兴·二模)已知角 α 点与 点 ，它 始边与 x轴 负 轴 ，终边过点 A a,b ab≠0,a≠b ，定义：Ti α = a+b a-b．对于函数 f x =Ti x ， ( ) A. 函数 f x  图 关于点 π 4 ,0 对称 B. 函数 f x  间 π 4 , π 2 上 C. 函数 f x  图 左 移 π 4 个 一个 函数 图 D. 方 f x = 1 2 间 0,π 上 两个不 实数解 527. (2024· 嘉兴·二模) 物线 如下光学 质： 其 点 出 光线经 物线 ， 行于 物 线对称轴 方 出； 之， 行于 物线对称轴 入 光线经 物线 过 物线 点．如 图，已知 物线Ω:y2= 2px(p> 0) 准线为 l,O为 点， x轴上方 两 行于 x轴 入 光 线 l1 l2， 经 Ω上 点A x1,y1  点B x2,y2  ，再经 Ω上相 点C 点D ， 直线 l3 l4 出，且 l1与 l2之间 距离 于 l3与 l4之间 距离． 下 说法中正 ( ) A. 若直线 l3与准线 l相交于点P， A,O,P三点共线 B. 若直线 l3与准线 l相交于点P， PF ∠APC C. y1y2= p2 D. 若直线 l1 方 为 y= 2p， cos∠AFB= 725 528. (2024· 宁波·二模)若 a,b  ,c满足 a = 1, b   = 1, c = 3且 a ⋅ c= b  ⋅ c， ( ) A. a+b  +c  为 2 B. a+b  +c  大 为 5 C. a-b  +c  为 2 D. a-b  +c  大 为 13 529. (2024· 宁波·二模)已知函数 f x = sin ωx+φ (ω> 0)，( ) A. 若ω= 2,φ= π 2 ， f x  正 为 π 函数 B. 若ω= 2,x0为 f x  一个零点， x0+ π4 为 f x  一个 大 点 97 C. 若 φ=- π 4 ,x= π 2 f x  一 对称轴， ω 为 3 2 D. 若 φ=- π 4 ,f x  0, π 6    上 ， ω 大 为 9 2 530. (2024· 宁波·二模) 示函数 一个 要 数学函数， 表示某个 件 况．已知 U为全 且元 个数 ，对于 U 任 一个子 S，定义 S 示函数 1S x ,1S x = 1,x∈S 0,x∈∁US  若A,B,C⊆U， ( ) 注： x∈M f (x)表示M中 元 x 对 函数 f x 之 (其中M f x 定义域 子 )． A. x∈A 1A (x)< x∈U 1A (x) B. 1A∩B(x)≤ 1A(x)≤ 1A∪B(x) C. x∈U 1A∪B (x) = x∈U 1A(x)+1B(x)-1A(x)1B(x)  D. x∈U 1-1A(x)  1-1B(x)  1-1C(x) = x∈U 1U (x) - x∈U 1A∪B∪C (x) 531. (2024· 州·二模)已知函数 f x 对任 实数 x 满足 2f x + f x2-1 = 1， ( ) A. f -x = f x  B. f 2 = 1 C. f -1 = 1 3 D. 函数 f x  间 2, 3 上不 532. (2024· 州·二模)过点P 2,0  直线与 物线C：y2= 4x交于A,B两点． 物线C 点A处 线与直线 x=-2交于点N， NM⊥AP交AB于点M， ( ) A. 直线NB与 物线C 2个公共点 B. 直线MN 过定点 C. 点M 轨迹方 x-1 2+ y2= 1 x≠0  D. MN 3 AB  为 8 2 533. (2024· 台州·二模)已知正方 ABCD-A1B1C1D1 棱 为 1，P为 ABCD内一 点，且直 线D1P与 ABCD 角为 π 3 ，E为正方 A1ADD1 中 ， 下 结论正 ( ) A. 点P 轨迹为 物线 B. 正方 ABCD-A1B1C1D1 内 被 A1BC1 积为 π6 C. 直线CP与 CDD1C1 角 正 大 为 3 3 D. 点M为直线D1B上一 点， MP+ME 为 11-2 66 534. (2024· 台州·二模)已知 f x  定义域为 x x≠0  数函数，若对定义域内 任 实数 x，y 98 f x f y = f xy + f x y ， 下 结论正 ( ) A. f 1 = 2 B. f x  域为 2,+∞  C. f x = f 1 x  D. f x  奇函数 535. (2024· 州·模拟 )如图， 棱 为 1 正方 ABCD-A1B1C1D1中，M为 ABCD内一 点， ( ) A. 若M 线段AB上， D1M+MC 为 4+2 2 B. ACD1被正方 内 ， 积为 π 6 C. 若C1M与AB 角为 π 4 ， 点M 轨迹为 D. 对于给定 点M，过M 且仅 3 直线与直线D1A,D1C 角为 60° 536. (2024· 西·二模)已知△ABC内角A,B,C 对边 为 a,b,c,O为△ABC ，cosA= 1 5 ,AO = 2， ( ) A. AO  = 1 4 AB  + 1 4 AC  B. AB  ⋅AC  ≤ 3 C. △ABC 积 大 为 3 6 D. a 为 2 5 537. (2024· 台·一模)已知函数 f x  函数 g x  定义域 为R，若 f 2x-2  图 关于直线 x= 1对称，g x = f x+1 + x- 1，g x+1 + f -x = x+ 2，且 f 0 = 0， 下 说法正 ( ) A. f x 为 函数 B. g x+4 = g x  C. 若 f x  间 0,1 上 解 为 f(x) = log2(x+ 1)， f x  间 2,3 上 解 为 f(x) = 1 - log2(x- 1) D. 20 i=1 g (i) = 210 三、 538. (2024· 东 州·二模)已知数 an  公 an= -1 n 3n+1 2n (n∈N *)， ∏ n k=1 ak= a1 ⋅ a2 ⋅⋅⋅ an 99 为 ． 539. (2024· 东 州·二模) 直角 系 xOy中，O为 点，定义P x1,y1 、Q x2,y2 两点之间 “直角距离”为 d P,Q = x1-x2 + y1-y2 ．已知两定点 A -1,0 ，B 1,0 ， 满足 d M ,A + d M ,B = 4 点M 轨迹 围 图 积为 ． 540. (2024· 东·二模) 一个直角三角 放 上方，如图，记直角三角 为△ABC，其中C= π 2 , AB= 14,BC= 7，记 为 α．若C∈ α，且BC与 α 角为 π 6 ， 点A α 距离 大 为 ． 541. (2024· 东·二模)如图， 直角 系 xOy中放 一个边 为 1 边三角 PAB，且满足 PB与 x轴 行，点 A x轴上． 三角 PAB x轴 直角 系 xOy内滚 ，设 点 P x,y  轨迹方 y= f x ， f x  正 为 ；y= f x  其两个相 零点间 图 与 x轴 围 域 积为 ． 542. (2024· ·模拟 )已知 (1+ 62x)99+ (62- x)99= a0+ a1x+ a2x2+⋯+a59x99，且 a0,a1,a2,⋯ , a99∈R， 满足 ak< 0(k∈N且 0≤ k≤ 99) k 大 为 ． 543. (2024 · ·模拟 ) 已知函数 f x  定义域为 -∞,+∞ ．对任 x ,y ∈ R f x+y f x-y = f x + f y   f x - f y ，且 f 1 = 2，f 2 = 0． f 2023 + f 2024 = ． 544. (2024· 武 ·模拟 ) 比数 an  公比为 q，其 为 an，如 a2+a5 a1+a3  1+q3  = 2 5 ， q = ；数 (-1)n+log2qn  5 为 ． 545. (2024· 武 ·模拟 )已知 C1:x2+ y2= 1， C2 为 11，过直线 x+ y- 4= 0上 点 P C1,C2 线， 线 始终相 ， C2 准方 为 ． 546. (2024· 东·二模) 数轴上，一个质点从 点出发 x轴正 轴移 ，每次移 1 2个 100 ，若质点移 7次 与 点 距离为 11， 质点移 方法 数 种． 547. (2024· 东·二模)三棱 P-ABC中，△ABC △PBC 为边 为 2 边三角 ，D,E 棱 PB,AC上，且 PD PB = AE AC ,DE⊂ α,AP⎳ α，若PA= 3， α与三棱 P-ABC 交 线围 积 大 为 ． 548. (2024·福建福州·模拟 )设Tn为数 an  n 积，若 Tn+ an=m，其中 数m> 0， a2= (结 m表示)；若数 1 Tn  为 差数 ， m= ． 549. (2024· 嘉兴·二模)设数 an  n 为 Sn， 比数 bn  n 为Tn，若 b1=-1,b5= 8b2，1-2n Sn=n n+1 Tn， an= ． 550. (2024· 嘉兴·二模) 四 ABCD中，BC= 2,∠ABC=∠BCD= 90°，且AB与CD 角为 60°．若四 ABCD 积为 4 3， 它 外 为 ． 551. (2024· 宁波·二模) 直角 系 xOy中，定义 d A,B = x1-x2 + y1-y2 为 A x1,y1 , B x2,y2 两点间 “曼 距离”．已知 C : x 2 2 + y2= 1，点P,Q,R C上，PQ⊥ x轴．点 M ,N满足 RM  = MP  ,PN  = 2NQ  ．若直线 MQ与 NR 交点 x轴上， d R,Q  大 为 ． 552. (2024· 宁波·二模)某快 公司 一个快件从寄件人 处揽收 始直至 达收件人乙， 要经过 5个转运 ，其中 1，2两个 a,b两种运输方 ， 3，4两个 b,c两种运输方 ， 5个 d,e两种运输方 ． 快件从 乙 4种运输方 不 达方 种． 553. (2024· 州·二模)函数 f x = -x 2+3x+2 x+1 大 为 ． 554. (2024· 州·二模) 为旅客提 纸 如图 示，该纸 母线 为 12cm， 口直 为 8cm．旅客 纸 时， 与纸 内 经过母线中点时， 离 于 ． 555. (2024· 台州·二模)已知关于 x 不 lnx + 1≤ a x e ax-1 2 ， 实数 a 取 围 ． 101 556. (2024· 州·模拟 )已知 方 表 积为 8， 棱 为 16， 方 积 大 为 ． 557. (2024· 台·一模) 直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1= 12， ABC 边 为 6 正三角 ， 若M 三棱柱ABC-A1B1C1外 上一点，N △ABC内 上一点， MN  大 为 ． 新高 数学 轴 好 (九) 一、 492. (2024· 东 州·二模)已知点 F为 曲线 C：x 2 3 - y2= 1 右 点，点N x轴上 ( 曲线 点)， 若对于 曲线C上 ( 点外)任一点P，∠FPN 角， 点N 横 取 围为 ( ) A. 2, 14 3  B. 2, 17 3  C. 3, 14 3  D. 3, 17 3  【 】C 【解 】由 可 c= a2+b2= 2， 以F(2,0)， 设N (x0，0)，P(x,y)， PF  = (2- x, -y)，PN  = (x0- x，-y)， 由∠FPN 锐角， PF  ⋅PN  = (2- x) (x0- x) + y2> 0， x2 3 - y2= 1，∴ y2= x 2 3 - 1， ∴不 可 为：(2- x) (x0- x) + x 2 3 - 1> 0， 整 ： 4x2 3 - (x0+ 2)x+ (2x0- 1)> 0， ∴只 Δ= (x0+ 2)2- 163 (2x0- 1)< 0， 解 2< x0< 143 ． 故 ：C． 493. (2024· 东·二模)已知 O与 台O1O2 上、下 相 ，且 O与 台O1O2 积之 比为 1 2 ， O 与 台 O 1O 2 表 积之比为 ( ) A. 1 6 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2 【 】D 【解 】 由 ， 出 台 轴 ABCD， 设 台 上、下 为 r1、r2， OO1 = r， AE= r1,BE= r2，过A AD⊥BC于点H， 由AH 2+BH 2=AB2， 2r 2+ r2-r1 2= r1+r2 2， r2= r1r2， 由 积 V = 4 3 πr3， 台 积 V 台= 1 3 2r ⋅ πr21+πr22+ πr21 ⋅πr22 = 23 πr r 2 1+r22+r1r2 ， 已知 O与 台O1O2 积之比为 1 2 ， 2r2 r21+r22+r1r2 = 1 2 ， 4r2= r21+ r22+ r1r2， 4r1r2= r21+ r22+ r1r2， 3r1r2= r21+ r22， 表 积S = 4πr2， 台 表 积S 台= π r1+r2 2+r21+r22 ， 以 S S 台 = 4r 2 2 r21+r22+r1r2  = 2r 2 r21+r22+r1r2 = 2× 1 4 = 1 2 ， 故 ：D． 494. (2024· 东·二模) 直角 系 xOy中，已知 O:x2+ y2= 1，若 直角△ABC 直角边AC 为 O 一 ，且 O △ABC外，点B O外， 四边 OABC 积 大 为 ( ) A. 5 2 + 1 B. 2+ 1 C. 6 2 + 1 D. 3+ 1 【 】A 【解 】如图 示，设∠OAC=∠OCA= α， ∠AOC = π- 2α， 故SAOC= 1 2 OA ⋅OCsin∠AOC= 1 2 sin π-2α = 1 2 sin2α， 由 定 AC2=OA2+OC2- 2OA ⋅ OCcos∠AOC= 1+ 1- 2cos π-2α  = 2+ 2cos2α， ·217· 故 直角三角 △ABC 积为 1 2 AC ⋅BC= 1 2 AC2= 1+ cos2α， 故四边 OABC 积为 1 2 sin2α+ cos2α+ 1= 5 2 sin 2α+φ + 1， 中 tanφ= 2，0< φ< π 2 ， 中 α∈ 0, π 2 ，故 2α+ φ∈ φ,π+φ ⊇ π 2 ,π  ， 2α+ φ= π 2 时， 5 2 sin 2α+φ + 1取 大 ， 大 为 5 2 + 1． 故 ：A 495. (2024· ·模拟 )已知 f x  定义域为 0,+∞ , f  x  f x  导函数，且 x 2 f  x + 2xf x = lnx，2 ef e = 1， f 1 3 , f sin 1 4 , f tan 1 2  大 关系 ( ) A. f 1 3 < f sin 1 4 < f tan 1 2  B. f sin 1 4 < f 1 3 < f tan 1 2  C. f tan 1 2 < f 1 3 < f sin 1 4  D. f sin 1 4 < f tan 1 2 < f 1 3  【 】C 【解 】因为 x2 f(x) + 2xf(x) = lnx， [x2 f(x)]= lnx， 函数 g(x) = x2 f(x)， g(x) = lnx，f(x) = g(x) x2 ． f(x) = g(x) x2 代 x2 f(x) + 2xf(x) = lnx， f(x) = xlnx-2g(x) x3 ． 函数 h(x) = xlnx- 2g(x)， h(x) = lnx+ 1- 2g(x) = 1- lnx， 知， x∈ (0,e)时，h(x)> 0，函数 h(x) ； x∈ (e, +∞)时，h(x)< 0，函数 h(x) 减， 以 h(x)max= h(e) = e- 2g(e) = e- 2e2 f(e)， 由于 2ef(e) = 1， 以 h(e) = 0， 以 h(x)≤ 0， 以 x∈ (0,e)时，f(x)< 0，函数 f(x) 减； x∈ (e, +∞)时，f(x)< 0，函数 f(x) 减， 以 f(x) (0, +∞) 减． 可 三角不 sin 1 3 < 1 3 < tan 1 3 ， sin 1 4 < sin 1 3 ，tan 1 3 < tan 1 2 ， 以 f tan 1 3 < f 1 3 < f sin 1 3 ，故 f tan 1 2 < f 1 3 < f sin 1 4 ． 故 ：C． 496. (2024· ·模拟 )如图 示，4个 两两 外 几 ，称为一个“ 密 ”． ， “ 密 ”，4个 之间 存 ． 料学 发 ，某种金 中 4个 子 “ 密 ” 中如 再嵌入一个另一种金 子 4个 子 外 ， 料 能 变 ．记 金 子 为 rA，另一种金 子 为 r B， rA r B 关系 ( ) A. 2rB= 3rA B. 2rB= 6rA C. 2rB= 3-1 rA D. 2rB= 6-2 rA 【 】D 【解 】由 知，四个金 子 连线 围 图 为如图 示 正四 P-ABC， 设正四 棱长为 a a>0 ，高为 h h>0 ，外 为O，D为正三角 ABC 中 ， PD⊥ ABC且P，O，D三点 线， 正三角 ABC中， DB= 3 2 a× 2 3 = 3 3 a， △PDB中，由PB2=PD2+DB2，可 h=PD= a2- 3 3 a  2 = 6 3 a， △OBD中，由OB2=OD2+DB2， R2= (h-R)2 + 3 3 a  2 ， 解 R= 6 4 a， ·218· 由 a=2rA 6 4 a=rA+rB  ， 以 6 4 × 2rA= rA+ rB， 以 2rB= 6-2 rA． 故 ：D． 497. ( 2024 · 武 ·模拟 ) 若函数 f x = 3cos ωx+φ  ω<0，- π 2 <φ< π 2  正 为 π， 间 - π 6 , π 6 上 减，且 间 0, π 6 上存 零点， φ 取 围 ( ) A. π 6 , π 2  B. - π 2 ,- π 3  C. π 3 , π 2    D. 0, π3  【 】B 【解 】由函数 f(x) 正 为 π， 2π |ω| = π， ω< 0，解 ω=-2， f(x) = 3cos(-2x+ φ) = 3cos(2x- φ)，由 2kπ≤ 2x - φ≤ 2kπ+ π,k∈ Z， 2kπ+ φ≤ 2x≤ 2kπ+ π+ φ,k∈ Z， f(x) - π 6 , π 6 上 减， 因此 2kπ+ φ≤- π 3 ，且 π 3 ≤ 2kπ+ π+ φ,k∈ Z，解 - 2π 3 - 2kπ≤ φ≤- π 3 - 2kπ,k∈ Z①， 由 函数 零点， 2x- φ=nπ+ π 2 ,n∈ Z， 2x =nπ+ π 2 + φ,n∈ Z， f(x) 0, π 6 上存 零点， 0<nπ+ π 2 + φ< π 3 ,n∈ Z， 于 -nπ- π 2 < φ<-nπ- π 6 ,n∈ Z②， - π 2 < φ < π 2 ， 立①②解 - π 2 < φ≤- π 3 ， 以 φ 取 围 - π 2 ,- π 3 ． 故 ：B 498. (2024· 武 ·模拟 )如 a< x< b，记 x  为 间 a,b 内 整数． 如，如 2< x< 3.5， x = 3；如 1.2< x< 3.5， x = 2 3； 如 2.3< x< 2.7， x 不存 ．已知 T = 1 + 1 4 2 + 1 4 3 +⋯+ 1 4 81 ， T = ( ) A. 36 B. 35 C. 34 D. 33 【 】B 【解 】令函数 f(x) = 4 3 x 3 4(x> 0)， 导 f(x) = x - 14 = 1 4 x ， 1 4 n (n∈N ∗)可视为函数 f(x) = 4 3 x 3 4(x> 0) x =n处 线斜 ， 设A(n,f(n)),B(n+ 1,f(n+ 1))， 直线AB 斜 kAB= f(n+1)- f(n) n+1-n = f(n+ 1) - f(n)， 由导数 几 义 f(n+ 1)< kAB< f(n)，因此 1 4 n+1 < 4 3 (n+1) 3 4-n 3 4 < 14 n ， 4 3 2 3 4-1 3 4 + 3 3 4-2 3 4 + 4 3 4-3 3 4 +⋯+ 82 3 4-81 3 4   < 1 4 1 + 1 4 2 + 1 4 3 +⋯+ 1 4 81 =T， T> 4 3 82 3 4-1 > 43 81 3 4-1 = 43 × 26= 34+ 2 3 ， T= 1+ 1 4 2 + 1 4 3 +⋯+ 1 4 81 < 1+ 4 3 81 3 4-1 = 35+ 2 3 ，因此 34+ 2 3 <T< 35+ 2 3 ， 以 [T]= 35． 故 ：B 499. (2024· 东·二模)已知函数 f(x) = sin ωx+ π 6 (ω > 0)，若 f(x) 图 左 移 π 3 个 函数图 与曲线 y= f(x)关于 x= π 3 对称， ω 为 ( ) A. 2 3 B. 1 3 C. 1 D. 1 2 【 】A 【解 】函数 f(x) = sin ωx+ π 6 ，f(x) 图 左 移 π 3 个 函数 g(x) = sin ω x+ π 3 + π 6    = ·219· sin ωx+ πω 3 + π 6 ， 函数 y= g(x) 图 与 y= f(x) 图 于直线 x= π 3 对称， f(x) = g 2π 3 -x ， 于 sin ωx+ π 6 = sin ω 2π 3 -x + πω3 + π 6    对任 实数 x 立， sin ωx+ π 6 = sin -ωx+πω+ π 6 = sin π- ωx-πω+ 5π 6  = sin ωx-πω+ 5π 6 对任 实数 x 立， 因此-πω+ 5π 6 = π 6 + 2kπ,k∈ Z，解 ω=-2k+ 2 3 , k∈ Z， ω> 0， k∈ Z,k≤ 0， 以 k= 0时，ω取 2 3 ． 故 ：A 500. (2024· 东·二模)已知 f x 为定义 R上 奇函 数，设 f  x 为 f x  导函数，若 f x = f 2-x + 4x- 4， f 2023 = ( ) A. 1 B. - 2023 C. 2 D. 2023 【 】C 【解 】因为 f x = f 2-x + 4x- 4， 以两边 导， f(x) =-f(2- x) + 4， f(x) + f(2- x) = 4① 因为 f x 为定义 R上 奇函数， f(-x) =-f(x)， 以两边 导， f(x) = f(-x)， 以 f(x) 定义 R上 函数， 以 f(2- x) = f(x- 2)，结 ① 可 ，f(x) + f(x - 2) = 4， 以 f(x- 2) + f(x- 4) = 4，两 相减 ，f(x) = f (x- 4)， 以 f(x) 为 4 函数， 以 f(2023) = f(-1) = f(1)． 由① ，令 x= 1， f(1) = 2， 以 f(2023) = f(1) = 2． 故 ：C． 501. (2024 · 信 ·模拟 )棱 为 1 正方 ABCD-A1B1C1D1中，点P为BD1上 点，O为 ABCD 中 ， OP 为 ( ) A. 3 3 B. 6 3 C. 6 6 D. 3 2 【 】C 【解 】由 可 OP 为点O 线段BD1 距离， D1DB 过点O OP⊥BD1于点P， 由 可 DD1= 1，DB= 2，BD1= 3，DD1⊥ ABCD， 因为DB⊂ ABCD， DD1⊥DB，因为△OPB∽ △D1DB， 故 OP DD1 = OB BD1 ， OP= OB ⋅DD1 BD1 = 2 2 ×1 3 = 6 6 ． 故 ：C． 502. (2024· 信 ·模拟 )若直线 y= ax+ b与曲 线 y= ex相 ， a+ b 取 围为 ( ) A. (-∞,e] B. [2,e] C. [e, +∞) D. [2, +∞) 【 】A 【解 】对于 y= ex， y= ex，令 点为 m,em ， 线方 为 y= em x-m + em， y= emx+ 1-m em， a+ b= em+ 1-m em = 2-m em， 令 f x = 2-x ex， f x = 1-x ex， x< 1时，f x > 0， x> 1时，f x < 0， 故 f x  -∞,1 上 ， 1,+∞ 上 减， 故 f x ≤ f 1 = 2-1 e1= e， x趋 于正无 大时，f x 趋 于负无 ， 故 f x ∈ (-∞,e]， a+ b∈ (-∞,e]． 故 ：A． 503. ( 2024 ·福 建 福 州 ·模 拟 ) 函 数 f x = 2sinωx 3sinωx+cosωx (ω> 0) 0, π 3 上 ，且对任 实数 a，f x  (a,a+ π)上不 ， ω 取 围为 ( ) A. 1, 5 2  B. 1, 5 4  C. 1 2 , 5 2  D. 1 2 , 5 4  【 】D 【解 】因为 f(x) = 2sinωx( 3sinωx+ cosωx) ·220· = 2 3sin2ωx+ 2sinωxcosωx = sin2ωx- 3cos2ωx+ 3 = 2sin 2ωx- π 3 + 3， 因为 x∈ 0, π 3 ，且ω> 0， 2ωx- π 3 ∈ - π 3 , 2ωπ 3 - π 3 ， 若 f(x) 0, π 3 上 ， 以 2ωπ 3 - π 3 ≤ π 2 ， 以 0<ω≤ 5 4 ， 因为对任 实数 a，f(x) (a,a+ π)上不 ， 以 f(x) T= 2π 2ω < 2π， 以ω> 1 2 ， 以 1 2 <ω≤ 5 4 ． 故 ：D． 504. (2024· 嘉兴·二模)6 学 乐 A,B, C三个 目，每个人都只 一个 目，每个 目都 人 ，若A 目 数人 ， 不 方 ( ) A. 180种 B. 210种 C. 240种 D. 360种 【 】C 【解 】若A 2人 ， C26 C 3 4C 1 1A 2 2+ C24C 2 2 A22 A22  = 15× 8+6 = 210种； 若A 4人 ， C46A 2 2= 15× 2= 30种； 以 240种， 故 ：C． 505. (2024· 嘉兴·二模)已知定义 0,+∞ 上 函 数 f x 满足 xf  x = 1-x f x ，且 f 1 > 0， ( ) A. f 1 2 < f 1 < f 2  B. f 2 < f 1 < f 1 2  C. f 1 2 < f 2 < f 1  D. f 2 < f 1 2 < f 1  【 】D 【解 】由 xf x = 1-x f x 变 f x -xf x  f x  = x， 从 f x -xf x  f2 x  = x f x  ， x f x         = x f x  ， 以 x f x  = k ⋅ ex， 因为 f 1 > 0， 以 k= 1 f 1 e1 > 0， f x = x k ⋅ex ， f x = ke x-kx ⋅ex k2ex = kex 1-x  k2ex ， 故 0< x< 1时，f x > 0， x> 1时，f x < 0， 以 f x  0,1 上 ， 1,+∞  减， 以 f 1 2 < f 1 ，f 2 < f 1 ， f 1 2 - f 2 = 1 2k e - 2 ke2 = e 3 2-4 2ke2 ， e3> 2.73 ≈ 19.7> 16， 以 e 3 2> 4， 以 f 2 < f 1 2 < f 1 ． 故 ：D． 506. ( 2024 · 宁波 ·二模 ) 正四棱台 ABCD - A1B1C1D1中，AB= 4,A1B1= 2,AA1= 3，若 O 与上 A1B1C1D1以 棱 AB,BC ,CD,DA 相 ， O 表 积为 ( ) A. 9π B. 16π C. 25π D. 36π 【 】C 【解 】设棱台上下 中 为N ,M，连 D1B1, DB， D1B1= 2 2 ,DB= 4 2， 以棱台 高MN= B1B2- MB-NB1 2= 3 2- 2 2- 2 2= 1， 设 为R， 正四棱台 结 特 可知： O与 上 A1B1C1D1相 于N，与棱AB,BC,CD,DA 相 于 边中点处， 设BC中点为E，连 OE,OM ,ME， 以OE 2=OM 2+ME 2⇒R2= R-1 2+ 22，解 R = 5 2 ， 以 O 表 积为 4πR2= 25π， 故 ：C 507. ( 2024 · 宁 波 · 二 模 ) 已 知 P = x,y |x4+ax-2024=0 且 xy=2024 ，若 P中 点 直线 y= 2024x 一 ， 实数 a 取 ·221· 围为 ( ) A. -∞,-2023 ∪ 2023,+∞  B. 2023,+∞  C. -∞,-2024 ∪ 2024,+∞  D. 2024,+∞  【 】A 【解 】 P 为 于 x、y 方 组 x4+ax-2024=0 xy=2024  解 ， 然 x≠ 0， 以 a=-x3+ 2024x y= 2024x  ， y=-x3+ 2024x y= 2024x y=a      ，令 f x = -x3+ 2024 x ， 由 y=2024x y= 2024x  ，解 x=1 y=1  x=-1 y=-1  ， 函数 y= 2024x与 y= 2024 x 交点 为 1,1  -1,-1 ， f -x =-x3+ 2024 x =- -x3+ 2024 x =-f x ， 以 f x 为奇函数， 因为 y=-x3与 y= 2024 x 0,+∞ 上 减， 以 f x =-x3+ 2024 x 0,+∞ 上 减， f x =-x3+ 2024 x -∞,0 上 减， y= a与 y=-x3+ 2024 x 、y= 2024 x 交点 直线 y= 2024x ， 只 a> f 1  a< f -1 ， a> 2023 a< -2023， 以实数 a 取 围为 -∞,-2023 ∪ 2023,+∞ ． 故 ：A 508. (2024· 州·二模) △ABC中，已知 sinA sinB = nsinC , cosA cosB = ncosC．若 tan A+ π 4 =-3， n= ( ) A. 无解 B. 2 C. 3 D. 4 【 】A 【解 】由 tan A+ π 4 = 1+tanA 1-tanA =-3， tanA= 2， cosA≠ 0， 由 sinA sinB =nsinC, cosA cosB =ncosC，知 cosC≠ 0， tanA tanB = tanC， tanA= tanB ⋅ tanC= 2， tanA= tan π-B-C =-tan B+C = - tanB+tanC 1-tanB ⋅tanC = tanB+ tanC， 故 tanB+ tanC= 2，设 tanB= t， tanC= 2- t， t 2-t = 2， t2- 2t+ 2= 0，Δ= 4- 8=-4< 0， 该方 无解，故不存 这 三角 ， n无解． 故 ：A． 509. (2024· 州·二模)设 M= {-1,1}，N= {x|x> 0且 x≠ 1}，函数 f x = ax+ λa-x(a> 0且 a ≠ 1)， ( ) A. ∀ λ∈M , ∃ a∈N ,f x 为 函数 B. ∃ λ∈M , ∀ a∈N ,f x 为减函数 C. ∀ λ∈M , ∃ a∈N ,f x 为奇函数 D. ∃ λ∈M , ∀ a∈N ,f x 为 函数 【 】D 【解 】 λ= 1时，f x = ax+ a-x，a> 1时，f(x) ( -∞,0)上不 函数，故A不正 ； λ=-1时，f x = ax- a-x，a> 1时，f(x) (0, +∞)上为 函数，B不正 ； λ= 1时，f x = ax+ a-x，f(-x) = ax+ a-x= f(x)， f(x)为 函数，故C不正 ； λ= 1时，f x = ax+ a-x，f(-x) = ax+ a-x= f(x)， f(x)为 函数，故D正 ； 故 ：D． 510. (2024· 台州·二模)设F1，F2 曲线C：x 2 a2 - y2 b2 = 1 a>0,b>0  左、右 点，点M ,N 曲线 C 左、右两支上，且满足 ∠MF2N= π3 ，NF2  = 2MF1  ， 曲线C 离 为 ( ) A. 2 B. 7 3 C. 3 D. 5 2 【 】B 【解 】如图，设NF1与MF2 交点为P，MF1 = x， 因为NF2  = 2MF1  ， 以 NF2   = 2 MF1   = 2x， 以，由双曲线 定义可知：MF2 = MF1 + 2a= 2a + x，NF1   = 2a+ NF2   = 2x+ 2a， 因为NF2  = 2MF1  ， 以NF2⎳MF1， 以△NF2P∽△F1MP，∠F1MF2=∠MF2N= π3 ， 以 PF2 = 23 MF2 = 2 3 2a+x ，PN = 2 3 NF1 = ·222· 2 3 2a+2x ， 以， △PNF2中，∠PF2N=∠MF2N= π3 ， 以 ，由 定 ：cos∠PF2N= PF2  2+ F2N 2- PN 2 2 PF2 ⋅ F2N  = cos π 3 = 1 2 ， 代 PF2 = 23 2a+x ，PN = 2 3 2a+2x ，NF2   = 2x，整 3x2- 10ax= 0， 解 x= 10 3 a，x= 0( )， 以，MF1 = x= 103 a，MF2 = 2a+ x= 16 3 a，F1F2  = 2c， 以， △F1MF2中，由 定 ：cos∠F1MF2= F1M  2+ F2M 2- F1F2 2 2 F1M ⋅ F2M  = 1 2 ， 代 数 整 ：7a= 3c， 以，双曲线 离 为：e= c a = 7 3 ． 故 ：B 511. (2024· 州·模拟 )已知菱 ABCD 边 为 2,∠ABC = 60°， 点 P BC边上 ( 括端 点)， AD  ⋅AP  取 围 ( ) A. 0,1  B. -1,2  C. -2,2  D. -1,1  【 】C 【解 】 如图， Cy⊥CB，以C为 点，建立 直角 系， 知C(0,0)，A(1, 3 )，D(-1, 3 )， 设P(x,0)，且 x∈ 0,2 ，故AD  = (-2,0)，AP  = x-1,- 3 ， 故AD  ⋅AP  =-2(1- x) = 2- 2x， -2x∈ -4,0 ，2 - 2x∈ -2,2 ． 故 ：C 512. (2024· 州·模拟 )设方 2x+ x+ 3= 0 方 log2x + x + 3= 0 为 p,q，设函数 f x = x+p x+q ， ( ) A. f 2 = f 0 < f 3  B. f 0 = f 3 > f 2  C. f 3 < f 2 = f 0  D. f 0 < f 3 < f 2  【 】B 【解 】由 2x+ x+ 3= 0 2x=-x- 3，由 log2x+ x+ 3= 0 log2x=-x- 3， 以令 y= 2x,y= log2x,y=-x- 3，这 3个函数图 如下图 示： 设 y= 2x,y=-x- 3交于点B，y= log2x,y=-x- 3 交于点C， 由于 y= 2x,y= log2x 图 于直线 y= x对称， y=-x- 3,y= x 交点为A - 3 2 ,- 3 2 ， 以 p+q 2 =- 3 2 ， 注 函数 f x = x+p x+q = x2+ p+q x+ pq 对称轴为直线 x=- p+q 2 ， x= 3 2 ， 且二次函数 f x  图 口 上 物线方 ， 从 f 0 = f 3 > f 2 ． 故 ：B． 513. (2024· 台·一模)如图，正四棱台容器ABCD - A1B1C1D1 高为 12cm，AB = 10cm，A1B1= 2cm，容器中 高 为 6cm． 57个大 相 、质 铁 放入容器中 (57个 铁 被淹 )， 上 了 3cm，若忽 该容器 ， 铁 为 ( ) ·223· A. 3 1 π cm B. 3 2 π cm C. 3 3 π cm D. 3 4 π cm 【 】A 【解 】正四棱台容器ABCD-A1B1C1D1 高为 12cm，AB= 10cm，A1B1= 2cm， 正四棱台容器 高 为 6cm，由 中 线 质可知 正方 边长为 1 2 2+10 = 6， 积为V1= 13 6 2+102+ 62×102 × 6= 392cm3； 放 铁 ， 高为 9cm， A1B1 个纵 ，从 A1,B1 线，如图， 中EF 边长 10 cm，B1H 容器 高为 12 cm，GH 高为 9 cm， 由 图中比 线段 质 GN HF = B1G B1H = 1 4 ，可 GN= 1，此时 边长为 4 cm， 此时 积为V2= 13 4 2+102+ 42×102 × 9= 468cm3， 放 57个 积为 468- 392= 76cm3， 设 铁 为 r， 57× 4 3 πr3= 76，解 r= 3 1 π cm． 故 ：A 514. (2024· 台·一模) 斜角为 θ 直线 l经过 物线 C：y2= 16x 点 F，且与 C相交于A,B两 点．若 θ ∈ π 6 , π 4    ， AF BF  取 围为 ( ) A. 128,256  B. 64,256  C. 64, 196 3     D. 196 3 ,128   【 】A 【解 】 ， 们 证 物线中 焦 ， 如图，对于一个 物线 y2= 2px， 斜角为 θ 直线 l 经过 物线C：y2= 2px 焦点F，且与C相交于A,B 两点． 线 线AA,BB，过F FM⊥AA， AF = AA = MA + AM = p+ AF cosθ， 解 AF = p 1-cosθ ， 可 BF = p 1+cosθ ， 如图，不妨设A 一 ，由焦 AF = 8 1-cosθ ，AF = 8 1+cosθ ， AF BF = 8 1-cosθ × 8 1+cosθ = 64 sin2θ ， θ∈ π 6 , π 4    ，可 sin 2θ∈ 1 4 , 1 2    ，故 64 sin2θ ∈ 128,256 ，故A正 ， 故 ：A 二、多 515. (2024· 东 州·二模)已知数 an  公 为 an= 3n，n∈N *， an 中 次 取若 (至 3 )ak1，ak2，ak3，⋅⋅⋅，akn，⋅⋅⋅， akn  为一个 比数 ， 下 说法正 ( ) A. 若取 k1= 1，k2= 3， k3= 9 B. 满足 kn 也 一个 比数 C. an  100 中，akn  可能 数 多 6 D. 如 an 中满足 比 一直取下 ，akn  无 数 【 】AB ·224· 【解 】因为数 an  为 an= 3n， 对于A，取 k1= 1，k2= 3， ak1= a1= 3，ak2= a3= 9， 由于 akn 为 比数 ， ak3= 27， 3k3= 27， k3 = 9，故A正 ； 对于B，数 {an} 为 an= 3n， akn= 3kn， 若 akn 为 比数 ， 3k1，3k2，3k3，⋯，3kn，⋯ 比数 ， k1，k2，k3，⋯，kn，⋯， 比数 ， 故满足 {kn}也 一个 比数 ，故B正 ； 对于C， an  100 中，可以取 k1= 1，k2= 2， k3= 4，k4= 8，k5= 16，k6= 32，k7= 64， 可以 akn  为一个 比数 ，此时 akn 为 7 ，故 C错误； 对于D，取 k1= 4，k2= 6， ak1= 12,ak2= 18， ak3= 27,ak4= 81 2 ， ak4= 81 2 不 数 an  ， 以 an 中满足 比 一直取下 ，akn 不 无 数 ，故D错误． 故 ：AB． 516. (2024· 东 州·二模)如图， ABN⊥ α，AB  = MN = 2，M为线段 AB 中点，直线MN与 α 角大 为 30°，点P为 α内 点， ( ) A. 以N为 ， 为 2 α上 痕 为 2π B. 若P 点M 点N 距离相 ， 点P 轨迹 一 直线 C. 若P 直线MN 距离为 1， ∠APB 大 为 π 2 D. 满足∠MNP= 45° 点P 轨迹 【 】BC 【解 】对于A，由于MN与 α 角大 为 30°， 以点N α 距离 d= MN sin30° = 1， 故 为R= 2 α上 为 r = R2-d2= 3，故 痕长为 2πr= 2 3π，A错误， 对于B，由于 ABN⊥ α， 以以AB为 y， α 过M x⊥AB， ABN z⊥AB，建立如图 示 间直角 系， M 0,0,0 ,B 0,1,0 ,A 0,-1,0 ,N 0, 3,1 ， 设P x,y,0 ， PM = PN ⇒ x2+ y2= x2+ y- 3 2+ 1， y= 2 3 ，故P 点M 点N 距离相 ， 点P 轨迹 一 直线，B正 ， MN  = 0, 3,1 ,MP  = x,y,0 ， 以P 直线MN 距离为 MP  2- MP  ⋅ MN  MN   2 = x2+y2- 3y 2  2 = 1， 可 x2+ y 2 4 = 1， 以点P 轨迹 α x2+ y 2 4 = 1上一 点，如图， P 短轴 端点时，此时∠APB 大，由于 BM = MP = 1，故∠BPM= π 4 ，因此∠APB= 2∠BPM= π 2 ，C正 ， 对于D，NM  = 0,- 3,-1 ,NP  = x,y- 3,-1 ， MP  = x,y,0 ， 若∠MNP= 45°， cos∠MNP= cosNM  ,NP  = NM  ⋅NP  NM   ⋅ NP    = - 3y+4 2 x2+ y- 3 2+1 = 2 2 ， y-2 3 2 4 - x 2 2 = 1且 y< 4 3 3 ，故满足 ∠MNP= 45° 点P 轨迹 双曲线 一部 ，D错 误， 故 ：BC 517. (2024· 东·二模)设O为 点， 物线C :y2= 4x 点为F，准线 l与 x轴 交点为F1，过点F 直线与 物线C交于A,B两点，过点A,B l 线， 足 为 A1，B1， 下 说法正 ( ) A. A1F1 ⋅ B1F1 = FF1 2 B. A1B1 ≤ 2 FF1  C. OA ⋅ OB = OA1 ⋅ OB1  D. OA + OB ≥ OA1 + OB1  ·225· 【 】ACD 【解 】由已知F(1,0)，F1(-1,0)，设过点F 直线方 为：x=my+ 1， 设点A x1,y1 ,B x2,y2 ， A1(-1,y1)，B1(-1,y2)， 由 y2=4x x=my+1  ， y 2- 4my- 4= 0， 以 y1+ y2= 4m，y1y2=-4，x1+ x2=m y1+y2 + 2 = 4m2+ 2,x1x2= y1y2  2 16 = 1， A1F1 ⋅ B1F1 =-y1y2= 4, FF1 2= 22= 4， 以 A1F1 ⋅ B1F1 = FF1 2，故A正 ， A1B1 = y1-y2 = y1+y2 2-4y1y2= 16m2+16≥ 4= 2 FF1 ，故B错误， OA 2 ⋅ OB 2= x21+y21 x22+y22 = x21x22+ x21y22+ x22y21+ y21y 2 2= 17+ x22y21+ x21y22= 17+ 4x22x1+ 4x21x2= 17+ 4x1x2 x1+x2 = 25+ 16m2， O1A  2 ⋅ O1B 2= 1+y21  1+y22 = 1+ y22+ y21+ y21y22= 17+ y21+ y22= 17+ y1+y2 2- 2y1y2= 25+ 16m2，故 OA ⋅ OB = OA1 ⋅ OB1 ，C正 ， OA + OB  2- OA1 + OB1  2= OA 2+ OB 2- OA1  2- OB1 2+ 2 OA ⋅ OB - 2 OA1 ⋅ OB1 ， 由 C可知 OA ⋅ OB = OA1 ⋅ OB1 ， 以 OA + OB  2- OA1 + OB1  2= OA 2+ OB 2- OA1  2- OB1 2= x21+y21 + x22+y22 - 1+y21 - 1+y22 = x21+x22 - 2= x1+x2 2- 2x1x2- 2= 4m2+2 2- 4≥ 0，故 OA + OB ≥ OA1 + OB1 ， D正 ； 故 ：ACD 518. (2024· ·模拟 )如图 1 示，为曲 闸车 出入口对出人车辆 “放行” “ 拦” 工具．它 转 OP与横 PQ组 ，P,Q为 横 两个端点． 闸 起 过 中，横 PQ 始终保 ．如图 2 示，以点O为 点， 方 为 x轴正方 建 直角 系．若点O 距 高 为 1米，转 OP 为 1． 6米，横 PQ 为 2米，OP绕点O 与 直 内转 ，与 方 角 θ ∈ 30°,90°  ( )    A. 点P运 轨迹方 为 x2+ (y+ 1)2= 64 25 (其 中 x∈ 0, 4 3 5    ,y∈ 4 5 , 8 5    ) B. 点Q运 轨迹方 为 (x- 2)2+ y2= 64 25 (其 中 x∈ 2, 10+4 3 5    ,y∈ 4 5 , 8 5    ) C. 若OP绕点O从与 方 30°角 转 与 方 90°角， 横 PQ距 高 为 13 5 米 D. 若OP绕点O从与 方 30°角 转 与 方 90°角， 点Q运 轨迹 为 13 5 米 【 】BC 【解 】对于A：点P 轨迹 然 以O为 点，OP为 ， 故点P运 轨迹方 为 x2+ y2= 64 25 ( 中 x∈ 0, 4 3 5    ,y∈ 4 5 , 8 5    )，故A错误； 对于B：设Q x,y ,P x0,y0 ，因为PQ 行于 x轴， 以 x=x0+2 y=y0  ， 以 x0=x-2 y0=y  ， 因为P x 2 + y2= 64 25 上， 以点Q 运 轨迹 以 (2,0)为 ，1． 6为 ， 以点Q 轨迹方 为 x-2 2+ y2= 64 25 ( 中 x∈ 2, 10+4 3 5    ,y∈ 4 5 , 8 5    )，故B正 ； 对于C：若OP绕点O从与 方 30°角 转 与 方 90°角， 横 PQ达 高点，此时横 PQ距 高 为 1+ 1.6= 13 5 ，故C正 ； 对于D：因为OP绕点O从与 方 30°角 转 与 方 90°角， 故Q绕点 2,0 转 角 与点P绕点 0,0 转 ·226· 角 一 为 90° -30° = π 3 ， 以点Q运 轨迹 长 为 ( 中) 长， 于 1.6× π 3 = 8π 15 ，故D错误． 故 ：BC． 519. (2024· ·模拟 ) △ABC中，角A，B， C 对 边 次为 a，b，c，已知 sinA:sinB:sinC= 2:3:4， 下 结论中正 ( ) A. a+b : b+c : c+a = 5：6：7 B. △ABC为钝角三角 C. 若 a+ b+ c= 18． △ABC 积 6 15 D. 若△ABC 外 R，内 为 r， 5R= 16r 【 】BD 【解 】因为 sinA:sinB:sinC= 2:3:4， 由正 定 a sinA = b sinB = c sinC = 2R，可 a:b:c = 2:3:4， 设 a= 2x x>0 ，b= 3x，c= 4x， (a+ b):(b+ c):(c+ a) = 5x:7x:6x= 5:7:6，故A错 误； 由 可知，C为 大角， 因为 cosC= a 2+b2-c2 2ab = 4x 2+9x2-16x2 12x2 =- 1 4 < 0，故C为钝角，故B正 ； 若 a+ b+ c= 18， a= 4，b= 6，c= 8， cosC=- 1 4 ， 以 sinC= 1-cos2C = 15 4 ， 以△ABC 积S△ABC= 1 2 absinC= 1 2 × 4× 6× 15 4 = 3 15，故C错误； 由正 定 ，2R= c sinC = 4x 15 4 = 16x 15 ， R= 8x 15 ， 由 积 可 1 2 (a+ b+ c)r= 1 2 absinC， 1 2 × 9x ⋅ r= 1 2 × 2x× 3x× 15 4 ， 以 r= 15 6 x， 以 R r = 16 5 ，故 5R= 16r，故D正 ． 故 ：BD． 520. (2024· 武 ·模拟 )已知 都 正数 数 an  n 为Sn，且Sn= an 2 + 1 2an ， 下 结论正 ( ) A. m>n m，n∈N * 时，am> an B. Sn+Sn+2< 2Sn+1 C. 数 S2n  差数 D. Sn- 1Sn ≥ lnn 【 】BCD 【解 】对A，由 可知 a1= a1 2 + 1 2a1 ⇒ a21= 1， 以 a1= 1， a1+ a2= a2 2 + 1 2a2 ⇒ a22+ 2a2- 1= 0， 以 a2= 2 - 1< a1，故A错误； 对C，由Sn= an 2 + 1 2an ⇒Sn= Sn-Sn-1 2 + 1 2 Sn-Sn-1  ⇒S2n-S2n-1= 1 n≥2 ，故C正 ； 对C， 以S2n= 1+ n-1 =n⇒Sn= n， Sn+Sn+2= n+ n+2< 2 n+n+22 = 2Sn+1， 故B正 ； 对D， 知Sn- 1Sn = n- 1 n ，令 f x = x- 1 x - 2lnx x≥1 ， f x = 1+ 1 x2 - 2 x = 1 x -1  2 ≥ 0， f x  ， 以 f x ≥ f 1 = 0⇒ n- 1 n ≥ lnn， Sn- 1Sn ≥ lnn，故D正 ． 故 ：BCD 521. (2024· 武 ·模拟 )如图，已知 x 2 4 + y2= 1 左、右 点 A1,A2，上 点为B1，点C 上任 一 于 点 点，连 A1C交直线 x = 2于点 P，连 A2C交 OP于点M (O 点)， 下 结论正 ( ) A. kA1C ⋅ kA2C为定 B. 2kA1C= kOP C. 四边 OA2CB1 积 大时，直线OC 斜 ·227· 为 1 D. 点M 纵 大 【 】ABD 【解 】 ，A1(-2,0),A2(2,0)，设C(2cosθ,sinθ), 0< θ< 2π,θ∉ π 2 ,π, 3π 2  ， 对于A，kA1C ⋅ kA2C= sinθ 2cosθ+2 ⋅ sinθ 2cosθ-2 =- 1 4 ，A 正 ； 对于B，直线A1C 方 为 y= sinθ2cosθ+2 (x+ 2)，它 与直线 x= 2 交点P 2, 2sinθ cosθ+1 ， 因此 kOP= sinθ cosθ+1 = 2kA1C，B正 ； 对于C，不妨令 0< θ< π 2 ，四边 OA2CB1 积S =S△OA2C+S△OB1C = sinθ+ cosθ= 2sin θ+ π 4 ≤ 2， 且仅 θ= π 4 时取 号，此时点C 2, 2 2 ， 直线OC 斜 为 1 2 ，C错误； 对于D， 点C无 近点B1时，点M 纵 无 近 大 ， 取不 大 ， 因此 大 ，D正 ． 故 ：ABD 522. (2024· 东·二模) 正四棱 P-ABCD 正四 棱 Q - ABCD 组 八 Ω,AB= PA= 2,QA= 10， ( ) A. PQ⊥ ABCD B. PA⎳QC C. Ω 积为 4 2 D. 二 角P-AB-Q 为- 1 3 【 】AC 【解 】令正方 ABCD 中 为O，连 PO,QO， 对于A，由正四棱锥P-ABCD， PO⊥ ABCD， QO⊥ ABCD， P,O,Q 线，因此PQ⊥ ABCD，A正 ； 对于B，连 AC， 然O AC 中点，AO= 1 2 AC = 2，PO= PA2-AO2= 2， QO= QA2-AO2= 2 2，O不 PQ 中点，因此 四边 APCQ不 行四边 ，PA,QC不 行，B错 误； 对于C，Ω 积V=VP-ABCD+VQ-ABCD= 1 3 SABCD ⋅ (PO+QO) = 1 3 × 4× 3 2= 4 2，C正 ； 对于D，取AB中点M，连 PM ,QM， PM⊥AB, QM⊥AB，∠PMQ 二 角P-AB-Q 角， PM= PA2-AM 2= 3 ,QM= QA2-AM 2= 3， cos∠PMQ= ( 3) 2+32-(3 2)2 2× 3×3 =- 3 3 ，D错误． 故 ：AC 523. (2024· 东·二模)已知 物线 E :y2= 2px(p> 0) 点为F，过点M 2,0 (不与点F ) 直线交E 于 P,Q两点，O为 点，直线 PF ,QF 交 E于A,B两点，∠POQ= 90°， ( ) A. p= 1 B. 直线AB过定点 1 4 ,0  C. FP ⋅ FQ  为 25 4 D. PA + QB  为 25 4 【 】ACD 【解 】设直线PQ:x=my+ 2与 物线 立可 ：y2 - 2pmy- 4p= 0， 设P y21 2p ,y1 ,Q y 2 2 2p ,y2 ， y1y2=-4p， 因为∠AOB= 90°∠AOB= 90°， 以OP  ⋅OQ  = y1y2  2 4p2 + y1y2= 4- 4p= 0，解 p= 1，故A正 ； 由A可知，F 1 2 ,0 ，设直线PF:x=m1y+ 12 ，与 物 线 立可 ，y2- 2m1y- 1= 0， ·228· 设A xA,yA ,B xB,yB ， 以 yA=- 1 y1 ， 可 yB= - 1 y2 ， 以 yAyB= 1 y1y2 =- 1 4 ， 直线AB:2x- yA+yB y+ yAyB= 0， 2 x- 1 8 - yA+yB y= 0， 以直线AB过定点 1 8 ,0 ，故B错 误； FP ⋅ FQ = y21 2 + 1 2  y22 2 + 1 2 = y21y 2 2 4 + y 2 1+y22 4 + 1 4 ≥ y21y 2 2+2 y1y2 +1 4 = 25 4 ，故C正 ； PA = y21+1+ 1y21 +1 2 , QB = y22+1+ 1y22 +1 2 ， 以 PA + QB = y21+y22+ 1y21 + 1 y22 +4 2 = 17 16 y 2 1+y22 +4 2 ≥ 17 16 ×2 y1y2 +4 2 = 25 4 ，故D正 ． 故 ：ACD． 524. (2024 ·福建福州 ·模拟 )定义 R上 函数 f x  域为 -∞,0 ，且 f 2x + f x+y f x-y  = 0， ( ) A. f 0 =-1 B. f 4 + f 1  2= 0 C. f x f -x = 1 D. f x + f -x ≤-2 【 】ACD 【解 】令 x= y= 0， f 0 + f 0  2= 0，解 f 0 = 0 f 0 =-1， 因为函数 f x  域为 -∞,0 ， 以 f 0 =-1，A 正 ； 令 x= 1,y= 0， f 2 + f 1  2= 0， f 2 = - f 1  2 令 x= 2,y= 0， f 4 + f 2  2= 0， f 4 + f 1  4= 0，B不正 ； 令 x= 0， f 0 + f y f -y = 0， 以 f y f -y  = 1， f x f -x = 1，C正 ； 因为 f x < 0， 以-f x > 0，-f -x > 0， 以 -f x  + -f -x  ≥ 2 f x f -x = 2， 且 仅 f x = f -x 时，取 号， 以 f x + f -x ≤-2，D正 ． 故 ：ACD 525. (2024·福建福州·模拟 ) 一 质 三次，设 变 Xn= 1, n次 出正 , -1, n次 出 ,  (n= 1,2,3)．记A表示事件“X1+X2= 0”，B表示 事件“X2= 1”，C表示事件“X1+X2+X3=-1”， ( ) A. B C互为对 事件 B. 事件A C不互斥 C. 事件A B相互独 D. 事件B C相互独 【 】BC 【解 】 ，A表示事件“X1+X2= 0”， 两 次 中，一次正 ，一次反 ， P A =C12 12  2 = 1 2 ， B表示事件“X2= 1”， 二次 中，正 上， P B = 1 2 ， C表示事件“X1+X2+X3=-1”， 三次 中，一 次正 ，两次反 ，P C =C13× 12 × 1 2  2 = 3 8 ， 次 ： 对于A，事件B、C可能 时发生， 事件B、C不 对 立事件，A错误； 对于B，事件A、C可能 时发生， 事件A C不互 斥，B正 ； 对于C，事件AB， 两次 中， 一次反 ， 二 次正 ，P(AB) = 1 2 × 1 2 = 1 4 ， 由于P A P B =P(AB)， 事件A B相互独立， C正 ； 对于D，事件BC， 三次 中， 一次 三次反 ， 二次正 ，P(BC) = 1 2 × 1 2 × 1 2 = 1 8 ， P B P C ≠P(BC)，事件B、C不 相互独立事件， D错误． 故 ：BC． 526. (2024· 嘉兴·二模)已知角 α 点与 点 ，它 始边与 x轴 负 轴 ，终边过点 A a,b ab≠0,a≠b ，定义：Ti α = a+b a-b．对于函 数 f x =Ti x ， ( ) A. 函数 f x  图 关于点 π 4 ,0 对称 B. 函数 f x  间 π 4 , π 2 上 C. 函数 f x  图 左 移 π 4 个 一个 函数 图 D. 方 f x = 1 2 间 0,π 上 两个不 实 ·229· 数解 【 】AB 【解 】 ，tanx= b a ，∴ f x = a+b a-b = 1+ ba 1- ba = 1+tanx 1-tanx = tan π4 +tanx 1-tan π4 ⋅tanx = tan x+ π 4 ， 对于A，由正 函数 质 x+ π 4 = kπ 2 ，k∈ Z，解 x=- π 4 + kπ 2 ， 以函数 f x  对称中 为 - π 4 + kπ 2 ,0 ，k∈ Z， 故A正 ； 对于B，x∈ π 4 , π 2 ，∴ x+ π 4 ∈ π 2 , 3π 4 ，由正 函 数 质可知 f x  π 4 , π 2 上 ，故B正 ； 对于C， f x  图 左 移 π 4 个 可 y= tan x+ π 4 + π 4 = tan x+ π 2 = 1 tanx ，为奇函数，故 C错误； 对于D，∵ x∈ 0,π ，∴ x+ π 4 ∈ π 4 , 3π 4    ，令 α= x+ π 4 ， 由正 函数 y= tanα 质可知 π 4 , π 2   上 ，且 y≥ 1， π 2 ,π 上 ，且 y≤ 0， 以方 f x = tan x+ π 4 = 1 2 间 0,π 上无 实数解，故D错误． 故 ：AB． 527. (2024· 嘉兴·二模) 物线 如下光学 质： 其 点 出 光线经 物线 ， 行于 物 线对称轴 方 出； 之， 行于 物线对称轴 入 光线经 物线 过 物线 点． 如图，已知 物线 Ω:y2= 2px(p> 0) 准线为 l,O 为 点， x轴上方 两 行于 x轴 入 光线 l 1 l 2 ， 经 Ω 上 点 A x1,y1  点 B x2,y2  ，再经 Ω上相 点 C 点 D ， 直线 l3 l4 出，且 l1与 l2之间 距离 于 l 3 与 l 4 之间 距离． 下 说法中正 ( ) A. 若直线 l3与准线 l相交于点P， A,O,P三点共 线 B. 若直线 l3与准线 l相交于点P， PF ∠APC C. y1y2= p2 D. 若直线 l1 方 为 y= 2p， cos∠AFB= 725 【 】ACD 【解 】对于 A，因为直线AC经过焦点，设 C x3,y3 ，D x4,y4 ，直线AC:x= ty+ p 2 ， 与 物线 y2= 2px 立 y2- 2pty- p2= 0，∴ y1+ y3 = 2pt,y1y3=-p2， 由 P - p 2 ,y3 ,A y21 2p ,y1 ,kOP=- 2y3p ，kAO= 2p y1 = 2p - p 2 y3 =- 2y3 p ， 以 kOP= kAO， A、O、P三点 线，故A正 ； 对于 B， 设∠APF=∠CPF， ∠CFP= ∠CPF， 以∠APF=∠CFP， 以AP⎳CF，这与AP CF 相交于A点矛盾，故B错误； 对于 C，l1与 l2距离 于 l3与 l4距离， 结 A ， y1- y2= y3- y4=- p2 y1 + p 2 y2 = p2 ⋅ y1-y2 y1y2 ， 以 y1y2= p2，故C正 ； 对于 D，由 可 ，A 2p,2p ,B p 8 , p 2 , F p 2 ,0 ,FA  = 3p 2 ,2p ,FB  = - 3p 8 , p 2 ， ·230· FA  ⋅FB  = 3p 2 ⋅ - 3p 8 + 2p ⋅ p 2 = 7p 2 16 ， FA   ⋅ FB   = 3p 2  2 +(2p)2 ⋅ - 3p 8  2 + p 2  2 = 25p2 16 ， ∴ cos∠AFB= FA  ⋅FB  FA   ⋅ FB    = 7 25 ，故D正 ． 故 ：ACD． 528. (2024· 宁波·二模)若 a,b  ,c满足 a  = 1, b   = 1, c = 3且 a ⋅ c= b  ⋅ c， ( ) A. a+b  +c  为 2 B. a+b  +c  大 为 5 C. a-b  +c  为 2 D. a-b  +c  大 为 13 【 】BD 【解 】 量 a,b  方 相 ，与 c方 相反时，满足 a ⋅ c= b  ⋅ c， 此时 a+b  +c  c - a + b    = 1，A 错 误； 量 a,b  ,c方 相 时，满足 a ⋅ c= b  ⋅ c， 此时 a+b  +c  大 a + b   + c = 5，B 正 ； a ⋅ c= b  ⋅ c， a-b   ⋅ c= 0， a-b   ⊥ c， a-b  +c = a-b   2+ c 2， 量 a,b  方 相 时，a-b    为 0，a-b  +c  为 3，C 错误； 量 a,b  方 相反时，a-b    大 为 2，a-b  +c  大 为 13，D 正 ． 故 ：BD 529. ( 2024 · 宁 波 ·二 模 ) 已 知 函 数 f x = sin ωx+φ (ω> 0)，( ) A. 若ω= 2,φ= π 2 ， f x  正 为 π 函数 B. 若ω= 2,x0为 f x  一个零点， x0+ π4 为 f x  一个 大 点 C. 若 φ=- π 4 ,x= π 2 f x  一 对称轴， ω 为 3 2 D. 若 φ=- π 4 ,f x  0, π 6    上 ， ω 大 为 9 2 【 】ACD 【解 】若ω= 2,φ= π 2 ， f x = sin 2x+ π 2 = cos2x， 以 f x  正 为 2π 2 = π 函数，A正 ； 若ω= 2， f x  正 为 2π 2 = π， 若 x0为 f x  一个零点， x0+ π4 为 f x  一个 大 点 点，B错误； 若 φ=- π 4 ,x= π 2 f x  一 对称轴， f π 2 = sin π 2 ω- π 4 =±1， 以 π 2 ω- π 4 = π 2 + kπ, k∈Z ， ω= 3 2 + 2k, k∈Z ， ω> 0， 以ω 为 3 2 ，C正 ； 若 φ=- π 4 , f x = sin ωx- π 4 (ω> 0)，由正 函 数 ， 令- π 2 + 2kπ≤ωx- π 4 ≤ π 2 + 2kπ，解 - π 4ω + 2kπ ω ≤ x≤ 3π 4ω + 2kπ ω ， f x  0, π 6    上 ， 以 k= 0时，0, π 6    ⊆ - π 4ω , 3π 4ω    ， π 6 ≤ 3π 4ω ，解 ω≤ 9 2 ， ω 大 为 9 2 ，D正 ． 故 ：ACD． 530. (2024· 宁波·二模) 示函数 一个 要 数 学函数， 表示某个 件 况．已知 U为全 且元 个数 ，对于U 任 一个子 S ，定 义 S 示 函 数 1S x , 1S x = 1,x∈S 0,x∈∁US  若A,B,C⊆U， ( ) 注： x∈M f (x)表示M中 元 x 对 函数 f x 之 (其中M f x 定义域 子 )． A. x∈A 1A (x)< x∈U 1A (x) ·231· B. 1A∩B(x)≤ 1A(x)≤ 1A∪B(x) C. x∈U 1A∪B (x) = x∈U 1A(x)+1B(x)-1A(x)1B(x)  D. x∈U 1-1A(x)  1-1B(x)  1-1C(x) = x∈U 1U (x) - x∈U 1A∪B∪C (x) 【 】BCD 【解 】对于A，由于A⊆U， 以 x∈U 1A (x) = x∈A 1A (x) + x∈∁uA 1A (x) = x∈A 1A (x), 故 x∈A 1A (x) = x∈U 1A (x)，故A错误， 对于B，若 x∈A∩B， 1A∩B(x) = 1,1A(x) = 1,1A∪B (x) = 1，此时满足 1A∩B(x)≤ 1A(x)≤ 1A∪B(x)， 若 x∈A且 x∉B时，1A∩B(x) = 0,1A(x) = 1,1A∪B(x) = 1， 若 x∈B且 x∉A时，1A∩B(x) = 0,1A(x) = 0,1A∪B(x) = 1， 若 x∉A且 x∉B时，1A∩B(x) = 0,1A(x) = 0,1A∪B(x) = 0， 综上可 1A∩B(x)≤ 1A(x)≤ 1A∪B(x)，故B正 ， 对于C， x∈U 1A(x)+1B(x)-1A(x)1B(x)  = x∈ A∩∁UB  1A(x)+1B(x)-1A(x)1B(x)  + x∈ B∩∁UA  1A(x)+1B(x)-1A(x)1B(x)  + x∈ A∩B  1A(x)+1B(x)-1A(x)1B(x)  + x∈∁U A∪B  1A(x)+1B(x)-1A(x)1B(x)  = x∈ A∩∁UB  1A(x)+1B(x)-1A(x)1B(x)  + x∈ B∩∁UA  1A(x)+1B(x)-1A(x)1B(x)  + x∈ A∩B  1A(x)+1B(x)-1A(x)1B(x)  + x∈∁U A∪B  0 = x∈ A∪B  1A(x)+1B(x)-1A(x)1B(x)  x∈U 1A∪B (x) = x∈A∪B 1A∪B (x) + x∈∁U A∪B  1A∪B (x) = x∈A∪B 1A∪B (x)， 由于 1 A∪B  x = 1,x∈A∪B 0,x∈∁U A∪B   ， 以 1A(x) + 1B(x) - 1A(x)1B(x) = 1A∪B(x) 故 x∈U 1A∪B (x) = x∈U 1A(x)+1B(x)-1A(x)1B(x)  ，C正 ， x∈U 1U (x) - x∈U 1A∪B∪C (x) = x∈∁U A∪B∪C  1U (x)， x∈A∪B∪C时，此时 1A(x),1B(x),IC(x)中至 一 个为 1， 以 1-1A(x)  1-1B(x)  1-1C(x) = 0， x∉ A∪B∪C 时，此时 1A(x),1B(x),IC(x) 为 0， 以 1-1A(x)  1-1B(x)  1-1C(x) = 1， 故 x∈U 1-1A(x)  1-1B(x)  1-1C(x) = x∈∁U A∪B∪C  1-1A(x)  1-1B(x)  1-1C(x) = x∈∁U A∪B∪C  1U (x)，故D正 ， 故 ：BCD 531. (2024· 州·二模)已知函数 f x 对任 实数 x 满足 2f x + f x2-1 = 1， ( ) A. f -x = f x  B. f 2 = 1 C. f -1 = 1 3 D. 函数 f x  间 2, 3 上不 【 】ACD 【解 】对于A，令 x 价于-x， 2f -x + f x2-1  = 1， 以 f -x = f x = 1- f x2-1  2 ，故A正 ； 对于B，令 x= 1， 2f 1 + f 0 = 1， 令 x= 0， 2f 0 + f 1 = 1，解 ：f 0 = f 1 = 1 3 ， 令 x= 2，2f 2 + f 1 = 1， f 2 = 1 3 ，故B错 误； 对于C，由A知，f -x = f x ， 以 f -1 = f 1 = 1 3 ，故C正 ； 对于D，令 x= x2- 1， 以 x2- x- 1= 0，解 ：x= 1± 5 2 ， 令 x= 1+ 5 2 ， 2f 1+ 5 2 + f 1+ 5 2 = 1， 以 f 1+ 5 2 = 1 3 ，因为 1+ 5 2 ∈ 2, 3 ， f 1+ 5 2 = f 2 = 1 3 ， 以函数 f x  间 2, 3 上不 ，故D正 ． 故 ：ACD． 532. (2024· 州·二模)过点P 2,0  直线与 物 线C：y2= 4x交于A,B两点． 物线C 点A处 线与直线 x =-2交于点 N， NM⊥ AP交 AB于点M， ( ) A. 直线NB与 物线C 2个公共点 ·232· B. 直线MN 过定点 C. 点M 轨迹方 x-1 2+ y2= 1 x≠0  D. MN 3 AB  为 8 2 【 】BCD 【解 】设直线AB 方 为 x= ty+ 2，A y 2 1 4 ,y1 , B y22 4 ,y2  立 x=ty+2 y2=4x  ， x y 2- 4ty- 8= 0， y1+ y2 = 4t,y1y2=-8， 对于A： 物线C 点A处 线为 y1y= 2 x+ y21 4 ， x=-2时 y= y1 2 - 4 y1 = y1 2 - 4-8 y2 = y1 2 + y2 2 = 2t， N -2,2t ， 以直线NB 方 为 y- y2= y1 2 - 4 y1 -y2 -2- y 2 2 4 x- y 2 2 4 ， 整 y=- y1 4 x- 4 y1 ， 立 y=- y14 x- 4 y1 y2=4x  ， x y 2+ 16 y1 y+ 64 y21 = 0，解 y=- 8 y1 ， 直线NB与 物线C相 ，A错误； 对于B：直线MN 方 为 x+ 2=- 1 t y-2t ，整 x=- y t ，此时直线MN 过定点 0,0 ，B正 ； 对于C： B可 点M 以线段OP为直 上，点O 外，故点M 轨迹方 x-1 2+ y2= 1 x≠0 ，C正 ； 对于D：MN = -2-2t2-2  1+t2 = 2 t2+2  1+t2 ，AB = 1+t2 y1+y2 2-4y1y2= 1+t2 16t2+32= 4 1+t2 t2+2 MN 3 AB  = 2 t2+2  1+t2  3 4 1+t2 t2+2 = 2 t2+2  5 2 1+t2 2 ， 令 t2+2=m,m≥ 2， MN 3 AB  = 2m 5 m2-1 2 ， 设 f m = 2m 5 m2-1 2 ,m≥ 2， f m = 10m4 m2-1 2-8m6 m2-1  m2-1 4 = 2m4 m2-1 m2-5  m2-1 4 ， m> 5时，f m > 0，f m  ， 2<m < 5时，f m < 0，f m  减， 以 f m min= f 5 = 2× 5 5 5-1 2 = 25 5 8 ，D错误． 故 ：BC． 533. ( 2024 · 台州 ·二模 ) 已知正方 ABCD - A1B1C1D1 棱 为 1，P为 ABCD内一 点， 且直线D1P与 ABCD 角为 π 3 ，E为正方 A1ADD1 中 ， 下 结论正 ( ) A. 点P 轨迹为 物线 B. 正方 ABCD-A1B1C1D1 内 被 A1BC1 积为 π 6 C. 直线CP与 CDD1C1 角 正 大 为 3 3 D. 点M为直线D1B上一 点， MP+ME 为 11-2 6 6 【 】BCD 【解 】 对于A，因为直线D1P与 ABCD 角为 π 3 ， 以DP= 1 tan π3 = 3 3 ．P点 以D为 ， 3 3 为 上运 ，因此运 轨迹为 ．故A错误． ·233· 对于B， BB1D1D ，如图 示O为 ，O1为上 中 ，O2为下 中 ，G为 与 A1BC1 点．已知OG⊥O1B，OG为 A1BC1 距离． 正方 中，O1B= 62 ，O2B= 2 2 ，O1O2= 1． 用相 三角 质 OGO2B = OO1 O1B ， OG 2 2 = 1 2 6 2 ，OG= 3 6 ．因此可 r2= 1 2  2 - 3 6  2 = 1 6 ， 积为 π 6 ．故B正 ． 对于C，直线CP与 CDD1C1 角 为∠PCD， CP与P点 轨迹 相 时，sin∠PCD 大．此 时 sin∠PCD= 1 3 = 3 3 ．故C正 ． 对于D， 可知，P点为BD 交点时，MP ．此时可 D1AB D1B翻 BB1D1D ． 长 系，翻 图 如图 示． E ,M ,P三点 线时，MP+ME ．因为O2P = 3 3 - 2 2 ，O1O2= 1， 以 为 12+ 3 3 - 2 2  2 = 11-2 6 6 ，故D正 ． 故 ：BCD 534. (2024 · 台州 ·二模 ) 已知 f x  定义域为 x x≠0  数函数，若对定义域内 任 实数 x，y f x f y = f xy + f x y ， 下 结论正 ( ) A. f 1 = 2 B. f x  域为 2,+∞  C. f x = f 1 x  D. f x  奇函数 【 】AC 【解 】对于A，令 y= 1， f 1 f x = f x + f x ， 可 f 1 f x = 2f x ， 且 f x 不 为 0， 以 f 1 = 2，故A正 ； 对于B， 如 f x = x+ 1 x ，可知 f x  定义域为 x x≠0  数函数， 且 f x f y = x+ 1 x  y+ 1 y = xy+ 1 xy + x y + y x = f xy + f x y ， 可知 f x = x+ 1 x ， f -1 =-2< 0，故B 错误； 对于C，令 x= 1， f y f 1 = f y + f 1 y ，可 f y = f 1 y ， f x = f 1 x ，故C正 ； 对于D， 如 f x = x+ 1 x ，可知 f x  定义域为 x x≠0  数函数， 且 f x f y = x+ 1 x y+ 1 y = xy+ 1 xy + x y + y x  ， 注 xy, 1 xy , x y , y x 号， 可 f x f y = xy+ 1 xy + x y + y x  = xy+ 1xy  + x y + y x = f xy + f xy ， 可知 f x = x+ 1 x  ， f -x = -x+ 1-x = x+ 1 x = f x ， f x 为 函数，故D错误； 故 ：AC． 535. (2024· 州·模拟 )如图， 棱 为 1 正 方 ABCD-A1B1C1D1中，M为 ABCD内一 ·234· 点， ( ) A. 若M 线段AB上， D1M+MC 为 4+2 2 B. ACD1被正方 内 ， 积 为 π 6 C. 若C1M与AB 角为 π 4 ， 点M 轨迹为 D. 对于给定 点M，过M 且仅 3 直线与直 线D1A,D1C 角为 60° 【 】ABD 【解 】对于A，延长DA E AE= 2， D1M+MC=EM+MC≥EC= 4+2 2， 号 E,M ,C 线时取 ；故A正 ， 对于B，由于 为 1 2 ， ACD1 距离 为 3 6 ， 故被 为 1 4 - 1 12 = 6 6 ，故 积为 π 6 6  2 = π 6 ，故B正 ， 对于C，C1M与AB 角 为C1M C1D1 角，记CM= xCD+ yCB， x2+ y2+ 1= 2(y2+ 1)， x2- y2= 1， 以M 轨 迹 双曲线；故C错误， 对于D， 然过M 满足 件 直线数目 于过D1 满足 件 直线 l 数目， 直线 l上任取一点P， D1P=D1A=D1C， 不妨设∠PD1A= π3 ，若∠PD1C= π 3 ， AD1CP 正 四 ， 以P 两种可能，直线 l也 两种可能，若∠PD1C = 2π 3 ， l只 一种可能， 与∠AD1C 角 线 直 直线， 以直线 l 三种可能． 故 ：ABD 536. (2024· 西·二模)已知△ABC内角A,B,C 对边 为 a,b,c,O为 △ABC ，cosA= 1 5 ,AO = 2， ( ) A. AO  = 1 4 AB  + 1 4 AC  B. AB  ⋅AC  ≤ 3 C. △ABC 积 大 为 3 6 D. a 为 2 5 【 】BC 【解 】O △ABC 重 ，延长AO交BC于点D， D BC中点， AO  = 2 3 AD  = 2 3 × 1 2 (AB  +AC  )= 1 3 AB  + 1 3 AC  ， A错； 由AO  = 1 3 AB  + 1 3 AC  AB  +AC  = 3AO  ， 以 9AO  2= (AB  +AC  )2=AB 2+AC  2+ 2AB  ⋅AC  ≥ 2 AB   AC   + 2AB  ⋅AC  ， AB  ⋅AC  = AB   AC   cosA= 15 AB   AC   ， AB   AC   = 5AB  ⋅AC  以 2× 5AB  ⋅AC  + 2AB  ⋅AC  ≤ 9× 22， 以AB  ⋅ AC  ≤ 3， 且仅 AB   = AC   时 号 立，B正 ； AB   ⋅ AC   = AB  ⋅AC  cosA ≤ 15， 且仅 AB   = AC    时 号 立，sinA= 1-cos2A= 2 6 5 ， S△ABC= 1 2 AB   AC   sinA≤ 12 × 15× 2 6 5 = 3 6，C 正 ； 由 9AO  2= (AB  +AC  )2=AB 2+AC  2+ 2AB  ⋅AC  AB   2+ AC   2= 36- 2AB  ⋅AC  = 36- 2 5 AB   AC   ， 以 a2= b2+ c2- 2bccosA= AB   2+ AC   2- 2 AB   ⋅ AC   cosA== 36- 45 AB   AC   ≥ 36- 45 × 15= 24， a≥ 2 6， 且仅 AB   = AC   时 号 立， 以 a 2 6，D错． 故 ：BC． 537. (2024· 台·一模)已知函数 f x  函数 g x  定义域 为R，若 f 2x-2  图 关于直线 x= ·235· 1对称，g x = f x+1 + x - 1，g x+1 + f -x  = x+ 2，且 f 0 = 0， 下 说法正 ( ) A. f x 为 函数 B. g x+4 = g x  C. 若 f x  间 0,1 上 解 为 f(x) = log2 (x+ 1)， f x  间 2,3 上 解 为 f(x) = 1- log2(x- 1) D. 20 i=1 g (i) = 210 【 】AD 【解 】由 图 于直线 x= 1对称，可知 f(2x- 2) = f(2(2- x) - 2), f(2x- 2) = f(2- 2x), 以 f(x)图 于 y轴对称，故A正 ． 由 g(x) = f(x+ 1) + x- 1,可 g(x+ 1) = f(x+ 2) + x, g(x+ 1) + f(-x) = x+ 2， 以 f(x+ 2) + f(-x) = 2,可知 f(x) 图 于 1,1 对称， 以 f x = f -x = 2- f x+2 = 2- 2- f x+4   = f x+4 ， 以 f(x) 为 4 函数， g(x+ 4) = f(x+ 5) + x+ 3= f(x+ 1) + x+ 3= g(x) + 4,故B错误． x∈ (2,3)时，4- x∈ (1,2),2- (4- x) = x- 2∈ (0,1), 因为 f(x) = f -x = f(4- x),f(4- x) = 2- f(x- 2), 以 f(x) = f(4- x) = 2- f(x- 2) = 2- log2(x- 1), f(x) 间 2,3 上 解 为 f(x) = 2- log2(x - 1),故C错误． 因为 f(0) = 0，f(x+ 2) + f(-x) = 2,f x = f -x ， 以 f 2 + f 0 = 2,f 1 + f -1 = 2f 1 = 2,f -1  + f 3 = f 1 + f 3 = 2， 以 f 0 = 0,f 1 = 1,f 2 = 2,f 3 = 1， 以 20 i=1 g i  = 0+ 1+⋯+19+ f(2) + f(3) +⋯+f(21) = 190+ 5× 0+1+2+1 = 210．故D正 ． 故 ：AD． 三、 538. (2024· 东 州·二模)已知数 an  公 an= -1 n 3n+1 2n (n∈N *)， ∏ n k=1 ak= a1 ⋅ a2 ⋅⋅⋅ an 为 ． 【 】- 7 2 /- 3.5 【解 】由于 n为奇数时，an=- 3n+1 2n ， n为 数 时，an= 3n+1 2n ， 要 ∏ n k=1 ak= a1 ⋅ a2 ⋅⋅⋅ an ，只 要 虑出 奇 数个奇数 时 可， an+1 an = 3 n+1 +1 2n+1 3n+1 2n = 3n+4 2 3n+1  < 1⇒ an+1 < an ， 且 n= 4时，a4= 3×4+1 24 < 1，因此n≥ 4时，an  < a4< 1， n= 2，∏ n k=1 ak= a1a2=-2× 7 4 =- 7 2 ， n= 5，∏ n k=1 ak= a1a2a3a4a5=-2× 7 4 × - 5 4 × 13 16 × - 1 2 =- 455 256 >- 7 2 ， 综上， 为- 7 2 ． 故 为：- 7 2 539. (2024· 东 州·二模) 直角 系 xOy中， O为 点，定义P x1,y1 、Q x2,y2 两点之间 “直角距离”为 d P,Q = x1-x2 + y1-y2 ．已知 两定点 A -1,0 ，B 1,0 ， 满足 d M ,A + d M ,B = 4 点M 轨迹 围 图 积为 ． 【 】6 【解 】设M (x,y)，由 d(M，A) + d(M，B) = 4， 可知 |x+ 1| +|x- 1| +2|y| = 4， 故 x> 1,y> 0时，x+ y= 2， x≥ 1,y< 0时，x- y= 2， -1≤ x≤ 1，y = 1， x<-1,y> 0时，y- x= 2， x<-1,y< 0时，x+ y=-2， 轨迹方 图 如图， 图 积为：4+ 2× 1 2 × 2× 1= 6． 故 为：6． ·236· 540. (2024· 东·二模) 一个直角三角 放 上方，如图，记直角三角 为 △ABC，其中 C= π 2 , AB = 14,BC = 7，记 为 α．若 C ∈ α，且 BC与 α 角为 π 6 ， 点A α 距 离 大 为 ． 【 】 21 2 【解 】如图，过B BB1⊥ α，交 α于B1，过A AA1 ⊥ α，交 α于A1， 因为 Rt△ABC中，∠ACB= π 2 ，BC= 7,AB= 14， AC= AB2-BC2= 142-72= 7 3， A,B,B1, C四点 时，点A α 距离 大． 因为BB1⊥ α， 以∠BCB1 BC与 α 角， ∠BCB1= π6 ， ∠ACA1= π 3 ， 于 ，AA1=ACsin π3 = 7 3 × 3 2 = 21 2 ， A α 大距离为 21 2 ． 故 为： 21 2 ． 541. (2024· 东·二模)如图， 直角 系 xOy中 放 一个边 为 1 边三角 PAB，且满足 PB与 x轴 行，点A x轴上． 三角 PAB x 轴 直角 系 xOy 内滚 ，设 点 P x,y  轨迹方 y= f x ， f x  正 为 ；y= f x  其两个相 零点间 图 与 x轴 围 域 积为 ． 【 】 3 2π 3 + 3 4 【解 】设P p, 3 2 ， 如图， 三角 PAB x轴 直角 系 xOy 滚 时， 始时，P 绕A旋转， B旋转 B1时，P旋转 P1，此时P1 p+1, 32 ， 然 以B1为 旋转，旋转 P旋转 P2，此时 P2 p+ 52 ,0 ， 三角 旋转时，P不旋转，此时A旋转 A2， 三角 旋转 ， 以A2为 旋转，旋转 P旋 转 P3， 点P从 始 B2时 一个 ，故 y= f x  为 MN= 3， 如图，xP2,xP4为 y= f x 相 两个零点， y= f x  xP2,xP4 上 图像与 x轴围 图 积为： 2× 1 2 × 2π 3 × 12+ 3 4 × 12= 2π 3 + 3 4 ． 故 为：3, 2π 3 + 3 4 ． 542. (2024· ·模拟 )已知 (1+ 62x)99+ (62 - x)99= a0+ a1x+ a2x2+⋯+a59x99，且 a0,a1,a2,⋯ , a99∈R， 满足 ak< 0(k∈N且 0≤ k≤ 99) k 大 为 ． 【 】49 【解 】因为 xk 系数为 ak=Ck9962k+Ck996299-k(-1)k =Ck9962k[1+ 6299-2k(-1)k]， 中 k= 0,1,2,⋯ ,99， 要 ak< 0， k 奇数且 6299-2k> 1， 以 99- 2k> 0， k< 49.5， 以 k 大 为 49． 故 为：49． 543. (2024· ·模拟 )已知函数 f x  定义 域 为 -∞,+∞ ． 对 任 x , y ∈ R f x+y f x-y = f x + f y   f x - f y ，且 ·237· f 1 = 2，f 2 = 0． f 2023 + f 2024 = ． 【 】-2 【解 】由 f x+y f x-y = f x + f y   f x - f y ， f x+y f x-y = f2 x - f2 y ， 因为 f 1 = 2，f 2 = 0， 令 x= 2，y= 1， f 3 f 1 = f2 2 - f2 1 ， f 3 = -2； 令 x= 3，y= 2， f 5 f 1 = f2 3 - f2 2 ， f 5 = 2； 令 x= 4，y= 1， f 5 f 3 = f2 4 - f2 1 ， f 4 = 0， f x+y f x-y = f2 x - f2 y 中， 令 y= 2， f x+2 f x-2 = f2 x ， 令 x= 5， f 7 f 3 = f2 5 ， f 7 =-2； 令 x= 7， f 9 f 5 = f2 7 ， f 9 = 2， ⋯⋯． f x+y f x-y = f2 x - f2 y 中， 令 x= 6，y= 1， f 6 = 0； 令 x= 8，y= 1， f 8 = 0， ⋯⋯． 此类 ，可 f(2k- 1) = -1 k+1× 2，f 2k = 0 k∈N* ， 因此 f 2023 = f 2×1012-1 = -1 1012+1× 2=-2， f(2024) = f(2× 1012) = 0， 综上可知 f(2023) + f(2024) =-2． 故 为：-2． 544. (2024· 武 ·模拟 ) 比数 an  公比 为 q，其 为 an，如 a2+a5 a1+a3  1+q3  = 2 5 ， q = ；数 (-1)n+log2qn  5 为 ． 【 】 1 2 2 -16 14 【解 】 比数 an  比为 q，由 a2+a5 (a1+a3)(1+q3) = 2 5 ， a1q+a1q4 (a1+a1q2)(1+q3) = 2 5 ， 整 2q2- 5q+ 2= 0， 以 q= 1 2 q= 2； q= 1 2 时，(-1)n+ log2qn= (-1)n-n，数 {(-1)n + log2qn} 5 为-1+ (-1- 2- 3- 4- 5) = -16， q= 2时，(-1)n+ log2qn= (-1)n+n，数 {(-1)n+ log2q n} 5 为-1+ (1+ 2+ 3+ 4+ 5) = 14， 以数 {(-1)n+ log2qn} 5 为-16 14． 故 为： 1 2 2；-16 14 545. (2024· 武 ·模拟 )已知 C1:x2+ y2= 1， C2 为 11，过直线 x+ y- 4= 0上 点 P C1,C2 线， 线 始终相 ， C2 准方 为 ． 【 】 x-5 2+ y-5 2= 11 x+1 2+ y+1 2= 11 【解 】设C2 a,b ,P x,y ， 线长 l， 由已知可知两 为 1, 11， 以C2P 2= l2+ 11,C1P2= l2+ 1⇒C2P2-C1P2= 10 = x-a 2+ y-b 2- x2+y2 ， 2ax+ 2by- a2- b2+ 10= 0， 由 知，上 立， x+ y- 4= 0， 以 2a 1 = 2b 1 = -a 2-b2+10 -4 ⇒ a2-4a-5=0 a=b  ， 解之 a= 5= b a=-1= b， C2 方 为 x-5 2+ y-5 2= 11 x+1 2+ y+1 2= 11． 故 为：x-5 2+ y-5 2= 11 x+1 2+ y+1 2 = 11 546. (2024· 东·二模) 数轴上，一个质点从 点 出发 x轴正 轴移 ，每次移 1 2个 ，若质点移 7次 与 点 距离为 11， 质点移 方法 数 种． 【 】35 【解 】因质点移 7次 与 点 距离为 11，每 次移 1 2个 长 ， 故可以 断 进行了 4次“移 2个 长 ” 3次 “移 1个 长 ”， 只 要 7个 上 出 4个 进行“移 2个 长 ” 可，故方法 数为C47= 35种． 故 为：35． 547. (2024· 东·二模)三棱 P-ABC中，△ABC △PBC 为边 为 2 边三角 ，D,E 棱 PB,AC上，且 PD PB = AE AC ,DE⊂ α,AP⎳ α，若PA= 3， α与三棱 P-ABC 交线 围 积 大 为 ． 【 】 3 2 【解 】如图 示，因为AP⎳ α，设 α∩ PAB= ·238· DM， 以DM⎳PA， ：NE⎳PA， 设PD=AE= x， 以 2-x 2 = DM PA = NE PA ， DM= NE= 3 2 2-x ， 以四边 DMEN为 行四边 ， DN⎳ME， DN⊄ ABC，ME⊂ ABC， 以DN⎳ ABC， 因为DN⊂ PBC， PBC∩ ABC=BC， 以 DN⎳BC， ME⎳BC，且DN= x， 取BC中点O，连 PO,OA， PO⊥BC，OA⊥ BC， PO∩OA=O， 以BC⊥ POA， 以BC⊥PA， 以DN⊥NE， 以四边 DMEN为正方 ， 以 α与三棱锥P-ABC 交线围 积S= 3 2 2-x x=- 3 2 x-1 2+ 3 2 ， x= 1， D为PB中点时， 积 大， 大 为 3 2 ， 故 为： 3 2 ． 548. (2024·福建福州·模拟 )设Tn为数 an  n 积，若 Tn+ an=m，其中 数m> 0， a2= (结 m表示)；若数 1 Tn  为 差数 ， m= ． 【 】 2m m+2 1 2 【解 】因为Tn为数 {an} n 积，Tn+ an=m， n= 1时，T1= a1= m2 ， n= 2时，T2+ a2= a1a2+ a2= m2 a2+ a2=m， a2 = 2m m+2， n= 3时，T3+ a3= a1a2a3+ a3= m2 × 2m m+2 a3+ a3= m， a3= m(m+2) m2+m+2 ， 若数 1 Tn  为 差数 ， 2 T2 = 1 T1 + 1 T3 ， 以 2(m+2) m2 = 2 m + m 2+m+2 m3 ， 整 ，m2- 3m+ 2= 0， 解 m= 1 m= 2． 验： m= 1时，Tn+ an= 1， n≥ 2时，Tn+ Tn Tn-1 = 1， 1+ 1 Tn-1 = 1 Tn ， 1 Tn - 1 Tn-1 = 1， 故 1 Tn  为以 2为 ，1为 差 差数 ； m= 2时，Tn+ an= 2， n≥ 2时，Tn+ Tn Tn-1 = 2， 1+ 1 Tn-1 = 2 Tn ， 故 x+ 1 Tn-1 = 2 1 Tn +x ， x=-1， 1 Tn-1 - 1= 2 1 Tn -1 ， 1T1 = 1，故 1 Tn -1 为 数 ， 1 Tn = 1， 知 为 差数 ． 故 为： 2m m+2；1 2． 549. (2024· 嘉兴·二模)设数 an  n 为 Sn， 比数 bn  n 为Tn，若 b1=-1,b5= 8b2，1-2n Sn=n n+1 Tn， an= ． 【 】2n 【解 】设 比数 bn  比为 q， 由 b5= 8b2， q3= 8，解 q= 2， b1=-1， 以 bn=-2n-1，∴Tn= -1 × 1-2n  1-2 = 1- 2 n，代 1-2n Sn=n n+1 Tn， 解 Sn=n n+1 ， n= 1时，a1=S1= 2， n≥ 2，n∈N *时，an=Sn-Sn-1=n n+1 - n n-1 = 2n， a1= 2满足上 ， 以 an= 2n，n∈N *． 故 为：2n． 550. (2024· 嘉兴·二模) 四 ABCD中，BC= 2,∠ABC=∠BCD= 90°，且AB与CD 角为 60°．若四 ABCD 积为 4 3， 它 外 为 ． 【 】3 【解 】 ，可 四 ABCD补 为如图 示 直三棱柱ABE-FCD，因为AB与CD 角为 60°， 以∠DCF= 60° 120°，设CD= x,CF= y，外 ·239· 记为R， 外 如图点O． 知AF⎳ BCDE， 以点A BCDE 距 离 于点F BCDE 距离， ∴VA-BCD=VF-BCD= 1 3 ⋅BC ⋅S△CDF= 1 3 × 2× 1 2 xysin60° = 36 xy= 4 3， xy= 24， Rt△OCO2中，R2=OC2=OO22+CO22= 1+ DF 2sin∠DCF  2 = 1+ 1 3 DF 2， △CDF中，由 定 DF 2= x2+ y2+ 2xycos∠DCF， 以 ∠DCF= 60°时，外 更 ． 以DF 2= x2+ y2- xy， 以R2= 1+ 1 3 x2+y2-xy ≥ 1+ 13 2xy-xy = 1 + 1 3 xy= 9， 以Rmin= 3． 故 为：3． 551. (2024· 宁波·二模) 直角 系 xOy中， 定义 d A,B = x1-x2  + y1-y2 为 A x1,y1 , B x2,y2 两点间 “曼 距离”．已知 C : x 2 2 + y2= 1，点 P,Q,R C上，PQ⊥ x轴．点 M ,N满足 RM  =MP  ,PN  = 2NQ  ．若直线MQ与 NR 交点 x 轴上， d R,Q  大 为 ． 【 】2 3 【解 】设P x1,y1 ,R x2,y2 ，由 Q x1,-y1 ， M x1+x2 2 , y1+y2 2 ； 不妨设点P 于 一 ，由PN  = 2NQ  可 N x1,- y1 3 ， 设直线MQ与NR 交点为T t,0 ， QT  ⎳MQ  ， RT  ⎳RN  ； QT  = t-x1,y1 ,MQ  = x1-x2 2 ,- 3y1+y2 2 ， 由QT  ⎳MQ  可 t-x1 - 3y1+y2 2 = y1 x1-x2 2 ， 整 t= 2x1y1+x1y2+x2y1 3y1+y2 ①； RT  = t-x2,-y2 ,RN  = x1-x2,- y1 3 -y2 ， 由RT  ⎳RN  可 t-x2 - y1 3 -y2 =-y2 x1-x2 ， 整 t= x2y1+3x1y2 y1+3y2 ②； 立①②可 y21 x1-x2 = y1y2 x1-x2 ，由 x1≠ x2,y1≠ 0， 以 y1= y2， 由 对称 可知 x1=-x2， d R,Q = x1-x2 + -y1-y2 = 2 x1 + 2 y1 ， 因为 x21 2 + y21= 1，设 x1= 2cosα,y1= sinα，α∈ 0, π 2 ， d R,Q = 2 x1 + 2 y1 = 2 2cosα+ 2sinα= 2 3sin α+θ ， 中 tanθ= 2； 以 α+ θ= π 2 时，d R,Q 取 大 2 3． 故 为：2 3 552. (2024· 宁波·二模)某快 公司 一个快件从 寄件人 处揽收 始直至 达收件人乙， 要经过 5个转运 ，其中 1，2两个 a,b两种运 输方 ， 3，4两个 b,c两种运输方 ， 5个 d,e两种运输方 ． 快件从 乙 4种运输方 不 达方 种． 【 】16 【解 】快 从甲 乙 4种运输方 ，且 5个 从 d，e两种运输方 中 一种， 1，2，3，4个 a,b,c三种不 运输方 ， 若 1，2个 运输方 相 ， 只能都 a， 3，4 个 一个 b，一个 c， 2× 1× 2= 4种， 若 1，2个 运输方 不相 ， 已经 a,b两 种运输方 ， 3，4个 一个 b，一个 c， 都 c， 由 2× 2× 2+ 2× 1× 2= 8+ 4= 12种， 快 从甲 乙 4种运输方 运输 4+ 12= 16种． 故 为：16． 553. (2024· 州·二模)函数 f x = -x 2+3x+2 x+1 大 为 ． 【 】2 2 ·240· 【解 】令 t= x+1> 0， x= t2- 1，故 f x = - t2-1 2+3 t2-1 +2 t =-t3+ 5t- 2 t ， 令 h t =-t3+ 5t- 2 t t>0 ， h t =-3t2+ 5+ 2 t2 = -3t 4+5t2+2 t2 = - 3t2+1  t+ 2  t- 2  t2 ， t∈ 0, 2 时，h t > 0， t∈ 2,+∞ 时，h t  < 0， h t  0, 2 上 ， 2,+∞ 时 减， 故 h t ≤ h 2 =- 2 3+ 5× 2- 2 2 = 2 2， 函数 f x = -x 2+3x+2 x+1 大 为 2 2． 故 为：2 2． 554. (2024· 州·二模) 为旅客提 纸 如图 示，该纸 母线 为 12cm， 口直 为 8cm．旅客 纸 时， 与纸 内 经过母线中点时， 离 于 ． 【 】 3 17 17 / 3 17 17 【解 】 如图，设∠BCD= α，因AB=AC= 12,BC= 8，故 cosα= 4 12 = 1 3 ， CD= 6， 由 定 ，BD2=CD2+BC2- 2CD ⋅BCcosα= 36 + 64- 2× 6× 8× 1 3 = 68， BD= 2 17， 设 中 为O， 锥 轴 AMN，与 直 BC交于E，与 交于P,Q， 连AE交BD于G，以点O为 点，DB为 x轴，建立直 角 系． AG AE = 2 3 ， 由△APQ∼△AMN PQ= 2 3 MN= 16 3 ,DG= 1 3 DB= 2 17 3 ， 从 OG= 17- 2 17 3 = 17 3 , P - 17 3 , 8 3 ， 不妨设 方 为 x2 a2 + y 2 b2 = 1， a= 17 点P 代 方 ，解 b= 2 2， c= 17-8= 3，故 e= c a = 3 17 = 3 17 17 . 故 为： 3 17 17 ． 555. (2024· 台州·二模)已知关于 x 不 lnx+ 1 ≤ a x e ax-1 2 ， 实数 a 取 围 ． 【 】 1,+∞  【解 】 不 ⇔ lnx+ 1≤ a xe ax-1 2 ⇔ x lnx+ x≤ axe ax-1 2 ⇔ x 2ln x+1 ≤ axe ax-1 2 ， 函数 f(x) = x 2lnx+1 ,x> 0， f x ≤ f e ax-1 2 ， f(x) = 2lnx+ 3，令 f(x) = 2lnx+ 3= 0，解 x= e - 32， 故 0< x< e - 32 时，f(x)< 0， e - 32< x时，f(x)> 0， 以 f(x) 0,e - 32 上 减， e- 3 2,+∞ 上 ，且 f e - 12 = 0， 若 a< 0， x> 1时，lnx+ 1> 0,a xe ax-1 2 < 0， 然 lnx+ 1≤ a xe ax-1 2 不 立， 故 a≥ 0， 以 e ax-1 2 > e - 12， 以 f x ≤ f e ax-1 2  立，只 x≤ e ax-1 2 立 可， ·241· a≥ lnx+1 x 立，令 h(x) = lnx+1 x ， h(x) = -lnx x2 ， x> 1时，h(x)< 0， 0< x< 1时，h(x)> 0， 以 h(x) (0,1)上 ， (1, +∞)上 减， 故 h(x)max= h(1) = 1， 以 a≥ 1． 故 为：1,+∞  556. (2024· 州·模拟 )已知 方 表 积 为 8， 棱 为 16， 方 积 大 为 ． 【 】 32 27 【解 】设该长方 长、宽、高 为 a、b、c， 由长方 对称 ，不妨设 c≤ b≤ a， 2ab+ 2ac+ 2bc= 8， ab+ ac+ bc= 4， 4 a+b+c = 16， a+ b= 4- c， 0< c≤ 4 3 ab+ ac+ bc= ab+ a+b c= ab+ 4-c c= 4， ab= 4- 4-c c= c2- 4c+ 4， V= abc= c3- 4c2+ 4c， 令 f c = c3- 4c2+ 4c 0<c≤ 4 3 ， f c = 3c2- 8c+ 4= 3c-2  c-2 ， c∈ 0, 2 3 时，f c > 0， c∈ 2 3 , 4 3 时，f c  < 0， 故 f c  0, 2 3 上 ， 2 3 , 4 3 上 减， f 2 3 = 2 3  3 - 4 ⋅ 2 3  2 + 4× 2 3 = 8-48+72 27 = 32 27 ， 长方 积 大 为 32 27 ． 故 为： 32 27 ． 557. (2024· 台·一模) 直三棱柱ABC-A1B1C1 中，AA1= 12， ABC 边 为 6 正三角 ， 若M 三棱柱 ABC-A1B1C1外 上一 点，N △ABC内 上一点， MN  大 为 ． 【 】4 3+ 39 【解 】若 ABC 边长为 6 正三角 ， △ABC外 为 r1= 6 2× 32 = 2 3， 为 r2= 3， 设三棱柱ABC-A1B1C1外 为R，且已知 AA1= 12， 可 R2= r12+ AA1 2  2 = (2 3 )2+ 12 2  2 = 48，解 R = 4 3， 设三棱柱ABC-A1B1C1外 与△ABC 上一点 距离为 d， 故 d= ( 3)2+62= 39， MN  大 为R+ d = 4 3+ 39， 故 为：4 3+ 39 新高 数学 轴 好 ( ) 一、 558. (2024· 东深 ·二模)P C：x 2 a2 + y 2 b2 = 1(a > b> 0)上一点，F1、F2 C 两个 点，PF1  ⋅PF2  = 0，点Q ∠F1PF2 线上，O为 点，OQ∥ PF1，且 OQ = b． C 离 为 ( ) A. 1 2 B. 3 3 C. 6 3 D. 3 2 【 】C 【解 】如图，设 PF1 =m，PF2 =n，延长OQ交PF2 于A， 由 知OQ∥PF1，O为F1F2 中点，故A为PF2中 点， PF1  ⋅PF2  = 0， PF1⊥PF2， ∠QAP= π2 ， 由∠QPA= π 4 ， △AQP 直角三角 ， 故 m+n=2a m2+n2=4c2 b+ 12n= 1 2m      ， m-n=2b m+n=2a  ， m=a+b n=a-b  ， 代 m2+n2= 4c2 a+b 2+ a-b 2= 4c2， a2+ b2= 2c2，由 b2= a2- c2 以 2a2= 3c2， 以 e2= 2 3 ，e= 6 3 . 故 ：C. 559. (2024· 东深 ·二模)设函数 f x = x+ ex，g x  ·242·