新高考数学选填压轴题好题汇编(八)-遇见最美的数学系列——选填压轴好题汇编

80 新高考数学选填压轴题好题汇编 (八) 一、 433. (2024· 东 ·二模)已知函数 f x = 2x-1 - a，g x = x2- 4 x + 2- a， ( ) A. g x  2个零点时，f x 只 1个零点 B. g x  3个零点时，f x  2个零点 C. f x  2个零点时，g x  2个零点 D. f x  2个零点时，g x  4个零点 434. (2024· 定西·一模) 四棱 P-ABCD中， ABCD为矩 ，PA⊥ ABCD,∠ABD= 60°,PB,PC与 ABCD 角 为 α,β，且 α+ β= 45°， PA AB = ( ) A. 17-2 2 B. 15-3 2 C. 15-2 2 D. 17-3 2 435. (2024·高三· 西· 学 试)如图，已知 O 为 2， AB= 2，C为 O上一 点， AC  ⋅ BC  取 围为 ( )    A. 0,4  B. 5-4 3,5+4 3  C. 6-4 3,6+4 3  D. 7-4 3,7+4 3  436. (2024·高三· · )已知直线 l与 x 2 9 + y 2 3 = 1 二 交于A，B两点，l与 x轴，y轴 交于M，N两点 (M ,N 外)，若 AM = BN ， l 斜角 ( ) A. π 6 B. π 3 C. π 4 D. 5π 12 437. (2024· 娄 ·一模)已知 内 四边 ABCD中，AD= 2,∠ADB= π 4 ,BD 直 ，AC  ⋅BD  = 2， ∠ADC= ( ) A. 5π 12 B. π 2 C. 7π 12 D. 2π 3 438. (2024· 娄 ·一模)若直线 ex- 4y+ eln4= 0 数函数 y= ax(a> 0且 a≠ 1)图 一 线， 数 a= ( ) A. 2 1 2 B. e C. e D. e e 439. (2024· 州·一模)过点 P 1,2  O:x2+ y2= 10相互 直 两 AB与 CD， 四边 81 ACBD 积 大 为 ( ) A. 6 6 B. 2 15 C. 9 6 D. 15 440. (2024· ·一模)若不 ex-1-mx- 2n- 3≥ 0对∀ x∈R ，其中m≠ 0， n m 取 围 为 ( ) A. -∞,- ln3e 2  B. ln3e 2 ,+∞  C. -e,- ln3e2  D. ln3e 2 ,e  441. (2024· ·模拟 )如图 示， 积为 π OMN中，M ,N x,y轴上，点P MN上 (点P与点M ,N不 )， 点P,N OMN 线 l1,l2，且 l1与 l2交于点Q，其中 l1与 x轴交于点R， NQ + QR  为 ( ) A. 4 B. 2 3 C. 6 D. 2 442. (2024· 西 ·模拟 )设 a= sin0.2,b= 0.16,c= 1 2 ln 3 2 ， ( ) A. a> c> b B. b> a> c C. c> b> a D. c> a> b 443. (2024· 信 ·模拟 )已知数 an  n 为 Sn，S1= 1，S2= 3，且 32 an+1 2an，an+2 差中 ， n i=1 i ai  > 509128 n 为 ( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 444. (2024·全国·模拟 )若关于 x 不 a(lnx+ lna) ≤ 2e2x (0, +∞)上 ， 实数 a 取 围为 ( ) A. (0, e] B. 0,e2  C. (0,e] D. (0,2e] 445. (2024· ·二模)设 a= log23，b= log35，c= log58， ( ) A. a> b> c B. b> a> c C. b> c> a D. c> a> b 446. (2024· ·二模)已知点 A x1,y1 ,B x2,y2  x2+ y2= 16上 两点，若 ∠AOB = π2 ， x1+y1-2 + x2+y2-2  大 为 ( ) 82 A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 447. (2024· ·二模)2024 间，某 要安 、乙、丙 五人 班，每天安 1人 班，其中 正 一、二 班 人 只安 一天，正 三 八 班人 安 两天，其中 因 其他事 ，若安 两天 两天不能连 ，其他人 可以任 安 ， 不 法一共 ( ) A. 792种 B. 1440种 C. 1728种 D. 1800种 448. (2024· ·二模)已知 曲线C : x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a> 0,b> 0) 左、右 点 F1,F2,O为 点， 以F1F2为直 与 曲线C交于点P，且OP  OF1  上 为 3 5 OF1  ， 曲线C 离 为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 449. (2024· ·二模) △ABC中，角 A,B ,C 对边 为 a,b,c，且 a2- b2+ c2+ 2 ac = 0，若 cos A-C = 7 2 10 ，α∈ π 4 , π 2 , cos α+A cos α+C  cos2α = 2 5 ， tanα 为 ( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 2 4 450. (2024· ·三模)设 、乙两 数 相 产 ， 中产 为 90%，乙 中产 为 80%.从两 产 中任取一件，经 验不 ，放回 该 中再 取一件产 ， 该 件产 为 ( ) A. 5 6 B. 6 7 C. 7 8 D. 17 20 451. (2024· ·模拟 ) 一 质 点数为 1 4 特 骰子， 时 每种点数 ， 进行三次独 ，记X为 大点数与 点数之差， X 数学 E X = ( ) A. 21 16 B. 3 2 C. 7 4 D. 15 8 452. (2024· ·模拟 )已知函数 f x 满足 f x+8 = f x ，f x + f 8-x = 0， x∈ 0,4 时，f x  = ln 1+sin π 4 x ， 函数F x = f 3x - f x  0,8 内 零点个数为 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 453. (2024·高三· · 学 试)某 间举 毛 比赛，某班 出 、乙两 主 ，为 了提高两 主 能 ， 安 了为 一 对 训练，比赛规 如下： 、乙两人每轮 与 2 ， 两人 胜 数不 于 3 时， 认为这轮训练过关； 不过关.若 、乙两人每 胜 为 p1，p2，且满足 p1+ p2= 43 ，每 之间相互独 .记 、乙 n轮训练中训练过关 轮数为X，若E X = 16， 从 角 ， 、乙两人训练 轮数至 为 ( ) 83 A. 27 B. 24 C. 32 D. 28 454. (2024 · ·模拟 )已知 O为 △ABC 外 ，∠BAC = 60°，BC = 2 3， OB  ⋅ OC  = ( ) A. 2 B. - 2 C. 4 D. - 4 二、多 455. (2024 · 东 ·二模)已知函数 f x  定义域为 R，f x 不 为零，且 f x+y + f x-y = 2f x f y ， ( ) A. f 0 = 1 B. f x 为 函数 C. f x  x= 0处取 D. 若 f a = 0， f(x) = f(x+ 4a) 456. (2024· 定西·一模)下 为 ( ) A. x2-4x-8 -x+4+ x-1  2 B. x2-4x-8 -x+4+ x-1  5 C. x2-4x-8 -x+4+ x2-2x-4 -x+2 2 D. x2-4x-8 -x+4+ x2-2x-4 -x+2 3 457. (2024·高二·福建福州· )任取一个正整数，若 奇数， 该数乘 3再 上 1；若 数， 该数 以 2． 复进行上述两种运 ，经过 次步骤 ， 进入 1→ 4→ 2→ 1．这 数学史上 “冰雹 想”( 称“角 想”)．比如取正整数m= 8， 上述运 法 出 8→ 4→ 2→ 1→ 4 → 2→ 1． 想 关系如下：已知数 an 满足 a1= 5，an+1= an 2 ,an为 数 3an+1,an为奇数  ，设数 an  n 为Sn ， 下 结论正 ( ) A. a3= 8 B. a5= 2 C. S10= 49 D. S300= 722 458. (2024·高三· 西· ) 棱 为 2 正方 ABCD-A1B1C1D1中，点M，N，P 线段C1D1，线 段C1C，线段A1B上 点，且MC1=NC1≠ 0. 下 说法正 ( ) A. MN⊥AB B. 直线MN与AP 大角为 90° 84 C. 三棱 M-DPC 积为定 D. 四棱 P-D1DBB1 积 大时，该四棱 外 表 积为 12π 459. (2024· 娄 ·一模)对于事件A与事件B，若A∪B发 0.72，事件B发 事件 A发 2 ，下 说法正 ( ) A. 若事件A与事件B互斥， 事件A发 为 0.36 B. P B∣A = 2P A∣B  C. 事件A发 围为 0.24,0.36  D. 若事件A发 0.3， 事件A与事件B相互独 460. (2024· 娄 ·一模)已知函数 f x  定义域 域 为 x∣x≠0,x∈R ，对于任 零实数 x,y, x+ y≠ 0，函数 f x 满足：f x+y  f x + f y = f x f y ，且 f x  -∞,0 上 减，f 1 = 1， 下 结论 误 ( ) A. f 1 2 = 2 B. 2023 i=1 f 1 2i = 2 2023- 2 C. f x  定义域内 减 D. f x 为奇函数 461. (2024·高三· · 段练习)设 a,b为两个正数，定义 a,b 数为A a,b = a+b 2 ，几 数为G a,b = ab， ：G a,b ≤A a,b ，这 们 知 基 不 .上个世纪五 代， 国数学家D.H .Lehmer提出了“Lehmer ”， Lp a,b = a p+bp ap-1+bp-1 ，其中 p为 数.下 关系 正 ( ) A. L0.5 a,b ≤A a,b  B. L0 a,b ≥G a,b  C. L2 a,b ≥L1 a,b  D. Ln+1 a,b ≤Ln a,b  462. (2024· 东 州·模拟 )如图， 棱 为 2 正方 ABCD-A1B1C1D1中，已知M，N，P 棱 C1D1，AA1，BC 中点，Q为 PMN上 点，且直线 QB1与直线 DB1 夹角为 30°， ( ) 85 A. DB1⊥ PMN B. PMN 正方 积为 3 3 C. 点Q 轨迹 为 π D. 能放入 PMN 该正方 两个 间几 内部 ( 忽 不计) 大 为 3- 3 2 463. (2024· ·模拟 )如图， 正方 ABCD-A1B1C1D1中，E,F 为BC,CC1 中点， 下 结 论正 ( ) A. 直线A1B与EF 角 大 为 60° B. 直线AD1⎳ DEF C. DEF⊥ BCC1B1 D. 四 D-EFC外 积与正方 ABCD-A1B1C1D1 积之比为 6π8 464. (2024· ·模拟 ) 中装 2个黑 4个 ， 从中先 无放回 取 2个 ．记“ 一 次取 黑 ”为A1，“ 一次取 ”为A2，“ 二次取 黑 ”为 B1，“ 二次取 ”为 B2， ( ) A. P A1B1 =P A2B2  B. P A1B2 =P A2B1  C. P B1 A1 +P B2 A1 = 1 D. P B2 A1 +P B1 A2 > 1 465. (2024· 信 ·模拟 )已知函数 f x = sin ωx+φ ω>0 ， ( ) A. 若ω= 3，φ= π 3 ， 函数 f x  图 右 移 5π 18 个 关于 y轴对称 B. 若 φ= π 3 ，函数 f x  π 6 , π 3 上 ，无 大 ，且 f π 6 = f π 3 ， ω= 5 C. 若直线 x= π 4 为函数 f x 图 一 对称轴， 5π 3 ,0 为函数 f x 图 一个对称中 ，且 f x  π 4 , 5π 6 上 减， ω 大 为 18 17 D. 若 f x = 1 2 x∈ π 4 , 3π 4    上至 2个解，至多 3个解， ω∈ 4, 16 3    86 466. (2024· 信 ·模拟 )已知 物线 C：y2= 2px p>0  点为 F，点M ,N 物线C上， ( ) A. 若M ,N ,F三点共线，且 MF  NF  = 3 4 ， 直线MN 斜角 为± 3 7 B. 若M ,N ,F三点共线，且直线MN 斜角为 45°， △OMN 积为 2 2 p2 C. 若点A 4,4  物线C上，且M ,N 于点A，AM⊥AN， 点M ,N 直线 y=-4 距离之积为 定 D. 若点A 2,2  物线C上，且M ,N 于点A，kAM+ kAN= 0，其中 kAM> 1， sin∠FMN-sin∠FNM ≤ 2 5 5 467. (2024· ·二模)已知函数 f x  定义域为R，对任 x,y∈R都 2f x+y 2 f x-y 2 = f x  + f y ，且 f 1 =-1， 下 说法正 ( ) A. f -1 = 1 B. f x+ 1 2 为奇函数 C. f x - f 2-x = 0 D. f 1 + f 2 + f 3 +⋅⋅⋅+f 2025 =-1 468. (2024·高三· 东 泽· 段练习)如图，已知正方 ABCD-A1B1C1D1 棱 为 2，点M为BC 中 点，点P为正方 A1B1C1D1内 ( 边 ) 点， ( ) A. 满足MP⎳ A1BD 点P 轨迹为线段 B. 若MP= 2 2， 点P 轨迹 为 π 3 C. 直线AB与直线MP 角 围为 π 6 , π 2     D. 满足MP⊥AM 点P 轨迹 为 5 2 469. (2024· ·二模)已知 f x = 3sin ωx 2 cos ωx 2 + cos2 ωx 2 - 1 2 ,ω> 0，下 结论正 ( ) A. 若 f x  正 为 π， ω= 2 B. 若 f x  图 左 移 π 3 个 图 关于 y轴对称， ωmin= 1 87 C. 若 f x  0,2π 上 4个 点， ω 取 围为 5 3 , 13 6  D. 存 ω， f x  - π 6 , π 4    上 减 470. (2024· ·二模)已知函数 f x ,g x  定义域 为R,g x+1 + f 1-x = 1，f x+1 - g x+2 = 1，且 y= f x  图 关于直线 x= 1对称， 以下说法正 ( ) A. f x  g x  为奇函数 B. ∀ x∈R,f x = f x+4  C. ∀ x∈R,g x = g x+2  D. g - 3 2 = 0 471. (2024· ·三模)若函数 f (x) = 2xsinx - 1 0<x< π 2  零点为 x1，函数 g(x) = 2 xcosx - 1 0<x< π 2  零点为 x2， ( ) A. x1x2> π2 B. x1+ x2< 3π 4 C. cos(x1+ x2)< 0 D. cosx1- sinx2< 0 472. (2024·高三· · 学 试)已知函数 f x  R上 奇函数， 差数 an  n 为Sn，数 f an   n 为Tn. 下 两个 中，p q 要 件 ( ) A. p:f a5 = 0，q:S9= 0 B. p:S10= 0，q:f a5+a6 = 0 C. p:a5= 0，q:T9= 0 D. p:T10= 0，q:a5+ a6= 0 473. (2024· ·模拟 )已知 θ∈R， 曲线C：x2cosθ+ y2sin2θ= 1， ( ) A. θ可能 一 角 B. θ可能 四 角 C. 点 1,0 可能 C上 D. 点 0,1 可能 C上 474. (2024·高三· · 段练习)D,E △ABC边 BC上 点，其中 ∠BAD= ∠CAE,BC= 3，且 BD ⋅BE CD ⋅CE = 1 3 . △ABC 积 可能取 为 ( ) A. 9 3 4 B. 3 3 2 C. 3 3 D. 7 3 2 475. (2024· 西·模拟 ) 方 ABCD-A1B1C1D1中，AD= 2AB= 2AA1= 4，E 棱B1C1 中点， 过点B，E，D1 α交棱AD于点F，P为线段D1F上一 点 (不 端点)， ( ) A. 三棱 P-ABE 积为定 B. 存 点P， DP⊥ α C. 直线PE与 BCC1B1 角 正 大 为 2 D. 三棱 P-BB1E外 表 积 取 围 (12π,44π) 三、 476. (2024· 东 ·二模)已知F1，F2 C 两个 点，若C上存 一点P满足 PF1 2= 19 PF2 2， 88 C 离 取 围 . 477. (2024·高三· · 学 试)已知 x 2 a2 + y 2 b2 = 1(a> b> 0) 左、右 点 为F1、F2，点P为 一 内 上一点，△F1PF2 内 为 I 1, 3 ，且∠F1PI= 30°， 离 为 ． 478. (2024· 娄 ·一模) 了一闯关 ，该 共 过m个关 ， 为：G1,G2,⋯ , Gm，记 每一个关 Gk k=1,2,⋯,m 失败 为 ak，其中 ak∈ 0,1 ,a1= 1 3 . 规 如下：从 一个关 G1 始闯关， 过 关 之 ， 自 进入 下一关 ，直 某个关 失 败 全部 过时 结 ， 关 间 互相独 ：若m= 2，设 闯关结 时进行 了 X 关，X 数学 E X = ； 能全部 关 提下；若 结 时他闯 k+ 1关 于闯 k关 k=1,2,⋯,m-1  一 ， 数 an  公 an= ,n= 1, 2,⋯ ,m. 479. (2024· ·一模)如 直线 l:kx- y- 2k= 0 曲线 Γ:x2- 4y y = 1 一个交点， 么实数 k 取 围 ． 480. (2024· ·模拟 )已知数 an 为公差不为 0 差数 ，a3= 5，且 a2,a5,a14 比数 ，设 x 表示不超过 x 大整数，如 π = 3, -1.5 =-2，记 bn= log2an ,Sn为数 bn  n ， S100= ． 481. (2024·高三· 无 · 段练习)已知 C : x 2 a2 + y 2 b2 = 1(a> b> 0) 左、右 点 为 F1，F2，P C上一点，且 PF2⊥ F1F2，H 线段 PF1上 近 F1 三 点，且OH  ⋅ PF1  = 0， C 离 为 . 482. (2024·全国·模拟 )已知 间四 ABCD满足AB=AC=DB=DC,AD= 2BC= 6， 该四 外 积 为 ． 483. (2024·全国·模拟 )已知 边△ABC 外 O 积为 36π， 点M O上，若MA  ⋅MB  + MB  ⋅MC  ≤ λ， 实数 λ 取 围为 ． 484. (2024·高三· 东 泽· 段练习)若曲线 f x,y = 0上两个不 点处 线 ， 称这 线为曲 线 f x,y = 0 “自公 线”， 下 方 对 曲线中存 “自公 线” 号为 ． ① y= x2- 2 x ;  ② y= 3sinx+ 4cosx;  ③ 3x2- xy+ 1= 0;  ④ x2+ y2- x- x - 1= 0． 485. (2024· ·二模)已知 C: x 2 a2 + y 2 b2 = 1 a>b>0  左右 点 为F1、F2，其中 F1F2 = 2c， 过F1 直线 l与 C交于A、B两点，若AF1  ⋅AF2  = 4c2， 该 离 取 围 ． 486. (2024· ·二模)已知表 积为 100π 上 四点 S,A,B,C,△ABC 边 为 4 3 边三角 ，若 SAB⊥ ABC， 三棱 S-ABC 积 大 为 ， 89 487. (2024· ·二模)已知 f x = 2x+x-m ,x∈ a,a+2 ,f(x)max= g m ，若 m g m ≥13 =R， 实 数 a 取 围 ， 488. (2024· ·三模)已知 曲线C：x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a> 0,b> 0) 左、右 点 为F1,F2，过F1 直 线与 曲线 左、右两支 相交于M ,N两点，直线NF2与 曲线 另一交点为P，若△NPF1为 三角 ，且△NF1F2 积 △PF1F2 积 2 ， 曲线C 离 为 . 489. (2024·高三·全国· 段练习)设函数 f x = 1 ex+1 图 上任 一点处 线为 l1， 存 函数图 g x = asinx+ x a>0 上一点处 线 l2， l1⎳ l2， 实数 a 为 . 490. (2024· ·模拟 )过 C：x 2 a2 + y 2 b2 = 1(a> b> 0)上 点P O：x2+ y2= b2 两 线PA,PB．设 点 A，B，若直线AB与 x轴、y轴 交于M，N两点， △MON 积 . 491. (2024·四川凉 ·一模)定义函数 f(x) =max λx,-λx ，x∈R，其中 λ> 0， 号max{a,b}表示数 a,b 中 较大 ，给出以下 ： ① f(x) 奇函数； ②若不 f(x- 1) + f(x- 2)≥ 1对一 实数 x ， λ≥ 1 ③ λ= 1时，F(x) = f(x) + f(x- 1) + f(x- 2) +⋯+f(x- 100) 2450 ④“xy> 0”“f(x) + f(y)≥ f(x+ y)” 充要 件 以上正 ． (写出 正 号) 直. AD⊥ l,BC⊥ l， 足 为D,C，连 BD,AC， AD⊥ β,BC⊥ α， 以∠BAC为AB与 α 角，∠ABD为AB与 β 角， ∠BAC= π 6 ，∠ABD= π 4 ， 建立如图 间直角 系D- xyz，设AB= 2m， BC=m,AC= 3m,AD=BD= 2m， DC= AC2-AD2=m， A( 2m,0,0),B(0,m,m)， 以AB  = (- 2m,m,m)， 取 l  = (0,1,0)， cosAB  , l  = AB  ⋅ l  AB    l    = m 4m2 = 1 2 ， AB  , l  ∈ 0, π 2 ， 以AB  , l  = π 3 ， AB与 l 角为 π 3 . 故 为： π 3 431. (2024· ·三模)已知 F1，F2， 为 曲线 C： x2 a2 - y 2 b2 = 1(a> 0，b> 0) 左、右 点，过 F2 C 两 近线 行线，与 近线交于M，N两点． 若 cos∠MF1N= 513， C 离 为 ． 【 】 5 【解 】 知MN 于 x轴对称，令∠MF1F2= α，cos2α = 5 13 ， ∴ cos2α= 1 2 1+ 5 13 = 9 13 ，sin2α= 4 13 ，∴ tan2α= 4 9 ，∴ tanα= 2 3 ． y= b a x y=- b a x-c  ⇒ x= c2 y= bc2a       ，M c 2 , bc 2a ，tanα = bc 2a 3 2 c = 2 3 ， ∴ b a = 2， ∴ e= c a = 1+ b a  2 = 5． 故 为: 5 . 432. (2024·高三·上 东新· 中)正三棱 S-ABC 中， 边 AB= 2， 棱AS= 3， a，b  满足 a ⋅ a+AC   = a ⋅ AB  ，b  ⋅ b  +AC   = b  ⋅ AS  ， a-b    大 为 . 【 】4 【解 】已知正三棱锥S-ABC， AS=BS=CS= 3，且AB=BC=CA= 2， 由 a ⋅ a+AC   = a ⋅AB  a2= a ⋅CB  ， 由 b  ⋅ b  +AC   = b  ⋅AS  b 2= b  ⋅CS  . 设 a=CM  ,b  =CN  ，代 a2= a ⋅CB  ，b 2= b  ⋅CS  ， MC  ⋅MB  = 0，且NC  ⋅NS  = 0， 故点M 以BC为直 上， r1= 12 BC= 1； 点N 以SC为直 上， r2= 12 CS= 3 2 取线段BC、SC 中点E、F， EF= 1 2 BS= 3 2 ， 故 a-b   max= MN max= EF + r1+ r2= 3 2 + 1+ 3 2 = 4. 故 为：4 新高 数学 轴 好 ( ) 一、 433. (2024· 东 ·二模)已知函数 f x = 2x-1 - a，g x = x2- 4 x + 2- a， ( ) A. g x  2个零点时，f x 只 1个零点 B. g x  3个零点时，f x  2个零点 C. f x  2个零点时，g x  2个零点 D. f x  2个零点时，g x  4个零点 【 】D 【解 】两个函数 零点个数转 为图 与 y= a 图 点 个数， 出 y= 2x-1 ，y= x2- 4 x + 2 大致图 ，如图 示. ·192· 由图可知， g x  2个零点时，f x 无零点 只 1个零点； g x  3个零点时，f x 只 1个零点； f x  2个零点时，g x  4个零点. 故 ：D 434. (2024· 定西·一模) 四棱 P-ABCD中， ABCD为矩 ，PA⊥ ABCD,∠ABD= 60°, PB,PC与 ABCD 角 为 α,β，且 α+ β= 45°， PA AB = ( ) A. 17-2 2 B. 15-3 2 C. 15-2 2 D. 17-3 2 【 】D 【解 】如图，设AB= a,PA= b， 因为 矩 ABCD中，∠ABD= 60°， 以AC=BD = 2a， 因为PA⊥ ABCD， 以∠PBA,∠PCA PB,PC与 ABCD 角， α=∠PBA,β=∠PCA， 以 tanα= tan∠PBA= b a ,tanβ= tan∠PCA= b 2a . 因为 α+ β= 45°， 以 tan(α+ β) = tanα+tanβ 1-tanαtanβ = b a + b 2a 1- ba ⋅ b 2a = 1，解 b a = 17-3 2 (负 )， 以 PA AB = 17-3 2 . 故 ：D. 435. (2024·高三· 西· 学 试)如图，已知 O 为 2， AB= 2，C为 O上一 点， AC  ⋅BC  取 围为 ( )    A. 0,4  B. 5-4 3,5+4 3  C. 6-4 3,6+4 3  D. 7-4 3,7+4 3  【 】C 【解 】取AB 中点D，连 CD、OD， AC  ⋅BC  = AD  +DC   ⋅ BD  +DC    =AD  ⋅BD  + AD  +BD   ⋅DC  +DC  2=DC  2- 1， OD = 22-12= 3， 以 CD min= 2- 3，CD max= 2+ 3， 2- 3≤ CD ≤ 2+ 3， 以 AC  ⋅BC   min = 6 - 4 3 ， AC  ⋅BC   max = 6 + 4 3． 故AC  ⋅BC  取 围为 6-4 3,6+4 3 ． 故 ：C 436. (2024·高三· · )已知直线 l与 x 2 9 + y 2 3 = 1 二 交于A，B两点，l与 x轴，y轴 交于M，N两点 (M ,N 外)，若 AM = BN ， l 斜角 ( ) A. π 6 B. π 3 C. π 4 D. 5π 12 【 】A 【解 】设 l：y= kx+ b(k> 0，b> 0)，设A x1,y1 ， B x2,y2 ， ·193· 立 y=kx+b x2 9 + y2 3 =1  ， 3k 2+1 x2+ 6kbx+ 3b2- 9= 0， 由 知Δ= 36k2b2- 4 3k2+1 3b2-9 = 12 9k2+3-b2 > 0， 以 x1+ x2=- 6kb 3k2+1 ，x1x2= 3b 2-9 3k2+1 ， 设AB 中点为E，连 OE， 因为 AM = BN ， 以 AM + AE = BE + BN ， EM = EN ， 因为N - b k ,0 ，M 0,b ， 以E也 MN 中点， 以E 横 为 xE= x1+x2 2 = - bk 2 ， 从 - 6kb 3k2+1 =- b k ，因为A,B交 二 k> 0，解 k= 3 3 ， 设直线 l 斜角为 θ， tanθ= 3 3 ， θ= π 6 ，故A正 . 故 ：A. 437. (2024· 娄 ·一模)已知 内 四边 ABCD 中，AD= 2,∠ADB= π 4 ,BD 直 ，AC  ⋅BD  = 2， ∠ADC= ( ) A. 5π 12 B. π 2 C. 7π 12 D. 2π 3 【 】C 【解 】 因为 AC  ⋅ BD  = 2， 以 AD  +DC   ⋅ BD  = 2， 知 BD= 4， 结 图 ，AD  ·BD  = 2 × 4× 2 2 = 4，∠BCD= 90°， 4-DC  2= 2，故 DC   = 2 . BD 直 ，AD= 2,∠ADB= π 4 ， 以 BD = 2 2 ， 以 直角三角 BCD 中可 ∠BDC= π 3 ，故∠ADC= 7π 12 . 故 ：C. 438. (2024· 娄 ·一模)若直线 ex- 4y+ eln4= 0 数函数 y = ax(a> 0且 a ≠ 1)图 一 线， 数 a= ( ) A. 2 1 2 B. e C. e D. e e 【 】D 【解 】设 点 为 x0,f x0  ，对函数 y= ax， 导 y= axlna， 线方 ex- 4y+ eln4= 0 斜 为 y= e 4 x+ eln4 4 ， 由 设知 e 4 =a x0lna>0 ax0= ex0+eln44  ， 然 lna> 0， a> 1， 由 ax0= e 4lna ， e 4lna = ex0+eln4 4 ， 1 lna = x0+ ln4， 1= x0 ⋅ lna+ lnaln4= lnax0+ ln4lna= ln ax0⋅4lna ， e= ax0 ⋅ 4lna= e 4lna ⋅ 4lna， 4lna= 4lna， 令 lna= t> 0， 4t= 4t， 用 数函数与一次函数 质，可知 t= 1 1 2 ， lna= 1 1 2 ，解 a= e e . 故 ：D. 439. (2024· 州·一模)过点P 1,2  O:x2+ y2 = 10 相互 直 两 AB 与 CD， 四边 ACBD 积 大 为 ( ) A. 6 6 B. 2 15 C. 9 6 D. 15 【 】D 【解 】如图 示：OP= 5 ,记OM=m,ON=n, m2+n2= 5， AC= 2 10-m2 ,BD= 2 10-n2， SACBD= 1 2 AC ⋅BD= 2 10-m2 ⋅ 10-n2≤ 2× 10-m2+10-n2 2 = 15， 且仅 10-m2= 10-n2， m=n= 10 2 时， 取 号. 以四边 ACBD 积 大 为 15. 故 ：D ·194· 440. (2024· ·一模)若不 ex-1-mx- 2n- 3≥ 0对∀ x∈R ，其中m≠ 0， n m 取 围 为 ( ) A. -∞,- ln3e 2  B. ln3e 2 ,+∞  C. -e,- ln3e 2  D. ln3e 2 ,e  【 】A 【解 】令 ex-1-mx- 2n- 3= 0， ex-1=mx+ 2n+ 3， m< 0时，由函数 y= ex-1与 y=mx+ 2n+ 3 图 可知，两函数图 一个交点，记为 x0,y0 ， x< x0时，ex-1<mx+ 2n+ 3， ex-1-mx- 2n - 3< 0，不满足 ； m> 0时，令 f x = ex-1-mx- 2n- 3， f x = ex-1-m， 令 f x = 0， x= lnm+ 1，因为 f x = ex-1-m ， 以 x< lnm+ 1时，f x < 0，f x  减， x> lnm+ 1时，f x > 0，f x  ， 以 x= lnm+ 1时，f x  f lnm+1 = -mlnm- 2n- 3， ex-1-mx- 2n- 3≥ 0对∀ x∈R 立， 以-mlnm- 2n- 3≥ 0， 2n≤-mlnm- 3， 以 2n m ≤-lnm- 3 m ， 且仅 2n=-mlnm- 3时 号 立. 令 g m =-lnm- 3 m ， g m =- 1 m + 3 m2 = 3-m m2 ， 0<m< 3时，g m > 0，g m  ， m> 3时，g m < 0，g m  减， 以 m= 3时，gmax m =-ln3- 1=-ln3e， 以 2n m ≤-ln3e， n m ≤ -ln3e 2 ， 且仅 m= 3， n≤ -3ln3e 2 时 号 立， 以 n m 取 围为 -∞,- ln3e 2 . 故 ：A 441. (2024· ·模拟 )如图 示， 积为 π OMN中，M ,N x,y轴上，点 P MN上 (点 P与点 M ,N不 )， 点 P ,N OMN 线 l1,l2，且 l1与 l2交于点Q，其中 l1 与 x 轴交于点 R， NQ  + QR  为 ( ) A. 4 B. 2 3 C. 6 D. 2 【 】B 【解 】解 ：因为 OMN 积为 π， 1 4 π OP 2 = π， 以 OP = 2， 设∠POM= θ， Rt△OPR中，PR = 2tanθ， 连 OQ， 线 质知 QN = QP ,∠NOQ= 1 2 ∠NOP= π 4 - θ 2 ， Rt△NOQ中，NQ = 2tan π 4 - θ 2 ， 以 NQ  + QR  = PR  + 2 NQ  = 2 tanθ + 4tan π 4 - θ 2 ,θ∈ 0, π 2 ， 令 α= π 4 - θ 2 ， θ= π 2 - 2α，且 α∈ 0, π 4 ， 以 = 2tan π 2 -2α + 4tanα= 2tan2α + 4tanα ·195· = 1-tan 2α tanα + 4 tanα = 3 tanα + 1 tanα ≥ 2 1 tanα ⋅3tanα= 2 3， 且仅 3tanα = 1 tanα ， tanα = 3 3 时， 号 立， α ∈ 0, π 4 ， 以 α = π 6 = θ = ∠POM时，NQ + QR 取 ，为 2 3， 故 ：B 442. (2024· 西 ·模拟 )设 a= sin0.2,b= 0.16, c= 1 2 ln 3 2 ， ( ) A. a> c> b B. b> a> c C. c> b> a D. c> a> b 【 】D 【解 】设 f x = sinx- x-x2 ,x∈ 0,0.2 ,f x = cosx- 1+ 2x， 设 g x = f x ,g x =-sinx+ 2> 0， 以 g x ≥ g 0 = 0， 以函数 f x  0,0.2 上 ， 以 f 0.2 = sin0.2- 0.2-0.22 = sin0.2- 0.16> f 0 = 0， a> b. 已知 c= 1 2 ln 3 2 = 1 2 ln 1.2 0.8 = 1 2 ln 1+0.2 1-0.2， 可设 h x = 1 2 ln 1+x -ln 1-x -sinx,x∈ 0,0.2 ， h x = 1 2 1 1+x + 1 1-x - cosx= 1 1-x2 - cosx > 0， 以函数 h x  0,0.2 上 ， 以 h 0.2 > h 0 = 0， c> a. 综上，c> a> b. 故 ：D. 443. (2024· 信 ·模拟 )已知数 an  n 为 Sn，S1= 1，S2= 3，且 32 an+1 2an，an+2 差中 ， n i=1 i ai  > 509128 n 为 ( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【 】D 【解 】∵ 3 2 an+1 2an，an+2 差中 ， ∴ an+2= 3an+1- 2an，故 an+2- an+1= 2 an+1-an ， a2- a1=S2- 2S1= 1≠ 0，∴ an+2-an+1 an+1-an = 2， 故数 an+1-an  为 1， 比为 2 比数 ， an+1- an= 2n-1， ∴ an= an-an-1 + an-1-an-2 +⋯+ a2-a1 + a1= 2n-2+ 2n-1+⋯+20+ 1= 1-2 n-1 1-2 + 1= 2 n-1， 记Tn= n i=1 i ai  ， Tn= 1 20 + 2 21 +⋯+ n 2n-1 ， 2Tn= 1 2-1 + 2 20 +⋯+ n 2n-2 ， 两 相减可 ，Tn= 1 2-1 + 1 20 + 1 21 +⋯+ 1 2n-2 - n 2n-1 = 2 1- 12  n  1- 12 - n 2n-1 = 4- 2+n 2n-1 ， n i=1 i ai  = 4- 2+n 2n-1 ，令 4- 2+n 2n-1 > 509 128 ， 2+n 2n-1 < 3 128 ， 设 f x = 2+x 2x-1 x>0 ， f x = 2x-1- 2+x ⋅2x-1⋅ln2 2x-1 2 = 1- 2+x ⋅ln2 2x-1 ， ∵ x> 0，∴ f x < 0，∴ f x  0,+∞  减， ∴ 2+n 2n-1   减数 ， ∵ n= 10时，2+n 2n-1 = 2+10 210-1 = 3 128 ， ∴ n> 10时， n i=1 i ai  > 509128， ∴ n i=1 i ai  > 509128 立 n 为 11. 故 ：D. 444. (2024·全国·模拟 )若关于 x 不 a(lnx+ lna) ≤ 2e2x (0, +∞)上 ， 实数 a 取 围为 ( ) A. (0, e] B. 0,e2  C. (0,e] D. (0,2e] 【 】D 【解 】 ，axln ax ≤ 2xe2x，故 eln ax ln ax  ≤ 2xe2x， 令 f x = xex,x∈R， f x = x+1 ex，令 f x = 0 可 x=-1， 以 x∈ -∞,-1 时，f x < 0， f x  -∞,-1 上 减，x∈ -1,+∞ 时，f x > 0， f x  -1,+∞ 上 ； 且 x< 0时，f x < 0， x> 0时，f x > 0； 由 f lnax ≤ f 2x x>0 ， ln ax ≤ 2x， a≤ ·196· e2x x 令 g x = e 2x x ,x∈ 0,+∞ ， g x = 2x-1 e2x x2 ， 故 x∈ 0, 1 2 时，g x < 0，g x  减， x∈ 1 2 ,+∞ 时，g x > 0,g x  ， 故 g x  min= g 1 2 = 2e， a≤ 2e， 实数 a 取 围为 a∈ 0,2e . 故 ：D． 445. (2024· ·二模)设 a= log23，b= log35，c= log58， ( ) A. a> b> c B. b> a> c C. b> c> a D. c> a> b 【 】A 【解 】因为 32> 23， 以 log232> log223， 2log23> 3， 以 log23> 32 ， a> 3 2 ； 因为 52< 33， 以 log352< log333， 2log35< 3， 以 log35< 32 ， b< 3 2 ； 因为 82< 53， 以 log582< log553， 2log58< 3， 以 log58< 32 ， c< 3 2 ； 因为 b- c= log35- log58= 1log53 - log58= 1-log53 ⋅log58 log53 ， 且 2 log53 ⋅log58< log53+ log58= log524< log525= 2， 以 log53 ⋅ log58< 1， 以 b- c> 0， 以 b> c； 综上 述，a> b> c. 故 ：A. 446. (2024· ·二模)已知点 A x1,y1 ,B x2,y2  x 2 + y 2 = 16上 两点，若 ∠AOB = π 2 ， x1+y1-2 + x2+y2-2  大 为 ( ) A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 【 】B 【解 】因为A(x1，y1)、B(x2，y2) x2+ y2= 16上， ∠AOB= π 2 ， 因为 |OA| = |OB| = 4， △AOB 直角三角 ， |x1+ y1- 2| +|x2+ y2- 2|表示A、B 直线 x+ y- 2 = 0 距离之 2 ， 点O 直线 x+ y- 2= 0 距离为 d= 2 2 = 2， 如图 示： AC⊥CD，BD⊥CD，E AB 中点， EF⊥CD 于F， 且OE⊥AB，|AC| +|BD| = 2|EF|，OE = 1 2 AB = 2 2， EF ≤ OE + d= 3 2， 且仅 O,E,F三点 线， 且E,F O 两 时 号 立， EF = 1 2 BD + AC  ，故 BD + AC  大 为 6 2 |x1+ y1- 2| +|x2+ y2- 2| 大 为 2 2 × 3 2= 12． 故 ：B． 447. (2024· ·二模)2024 间，某 要安 、乙、丙 五人 班，每天安 1人 班，其中正 一、二 班 人 只安 一天，正 三 八 班人 安 两天，其中 因 其他事 ，若安 两天 两天不能连 ，其他人 可以任 安 ， 不 法一共 ( ) A. 792种 B. 1440种 C. 1728种 D. 1800种 【 】B 【解 】 甲安 一 二时， 安 一人 二 一， C12C 1 4种 法， 用 组 法 三 给 下 3 人， C26C 2 4C 2 2种 法， 以一 C12C 1 4C 2 6C 2 4C 2 2= 720种 法； 甲不安 一 二时，安 两人 一 二， A24种 法， 不 虑甲两天不能连 ， C26C 2 4C 2 2种 法， 中甲两天连 法 5C24C 2 2种，故 三 班安 C26C 2 4C 2 2- 5C24C22种 法， 以一 A24 C 2 6C 2 4C 2 2-5C24C22 = 720种 法； 综上可知 720+ 720= 1440种不 法. 故 ：B. ·197· 448. (2024· ·二模)已知 曲线C : x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a> 0,b> 0) 左、右 点 F1,F2,O为 点， 以 F1F2为直 与 曲线C交于点P，且OP  OF1  上 为 3 5 OF1  ， 曲线 C 离 为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【 】D 【解 】不妨设点P 二 ，如图， 因为OP  OF1  上 量为 3 5 OF1  ， P - 3 5 c,y0 ， PO 2= r2= c2， 以 y20= c2- - 35 c  2 = 16 25 c2， P 双曲线上，∴ 9c 2 25a2 - 16c 2 25b2 = 1， 25a2b2+ 16a2c2- 9b2c2= 0， 25a2 c2-a2 + 16a2c2- 9 c2-a2 c2= 0，整 9c2-5a2  c2-5a2 = 0， 以 9e2-5  e2-5 = 0，解 e2= 5 e2= 59 ( )，∴ e= 5 . 故 ：D. 449. (2024· ·二模) △ABC中，角A,B,C 对边 为 a , b ,c，且 a 2 - b 2 + c 2 + 2 ac = 0，若 cos A-C  = 7 2 10 ， α ∈ π 4 , π 2  , cos α+A cos α+C  cos2α = 2 5 ， tanα 为 ( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 2 4 【 】C 【解 】由 定 cosB= a 2+c2-b2 2ac =- 2 2 ⇒B = 3π 4 ,A+C= π 4 ， cos A-C = 7 210 cos A+C = 22  ⇒ cosAcosC= 3 25 sinAsinC= 210  ， cos α+A cos α+C  cos2α = cos2αcosAcosC+sin2αsinAsinC cos2α -- sinαcosα sinAcosC+sinCcosA  cos2α = 3 2 5 cos 2α+ 210 sin 2α- 22 sinαcosα cos2α = 3 2 5 + 2 10 tan2α- 2 2 tanα= 2 5 ， 以 tan2α- 5tanα+ 4= 0⇒ tanα= 1 tanα= 4， α∈ π 4 , π 2 ， 以 tanα= 4. 故 ：C 450. (2024· ·三模)设 、乙两 数 相 产 ， 中产 为 90%，乙 中产 为 80%.从两 产 中任取一件，经 验不 ，放回 该 中再 取一件产 ， 该件产 为 ( ) A. 5 6 B. 6 7 C. 7 8 D. 17 20 【 】A 【解 】设事件B1表示任 一件产 ， 自于甲 ，事 件B2表示任 一件产 ， 自于乙 ，事件A从两 产 中任取一件， 好不 ， P A =P A|B1 P B1 +P A|B2 P B2 = 0.1× 0.5 + 0.2× 0.5= 0.15 P B1|A = P AB1  P A  = P A|B1 P B1  P A  = 0.1×0.5 0.15 = 1 3 P B2|A = P AB2  P A  = P A|B2 P B2  P A  = 0.2×0.5 0.15 = 2 3 ， 经 验不 ，放回 该 中 取一件产 ， 该件产 为 1 3 × 9 10 + 2 3 × 8 10 = 5 6 . 故 ：A. 451. (2024· ·模拟 ) 一 质 点数为 1 4 特 骰子， 时 每种点数 ， 进行三次独 ，记X为 大点数与 点数之差， X 数学 E X = ( ) A. 21 16 B. 3 2 C. 7 4 D. 15 8 【 】D ·198· 【解 】X 可能取 为 0,1,2,3，记三次 数 组 数组 a,b,c ， 满足X= 0 数组 ： 1,1,1 , 2,2,2 , 3,3,3 , 4,4,4 ， 4个， 以P X=0 = 4 43 = 1 16 ， 满足X= 1 数组 ： 1,1,2 , 1,2,1 , 2,1,1 , 2,2,3 , 2,3,2 , 3,2,2 , 3,3,4 , 3,4,3 , 4,3,3 ， 2,2,1 , 2,1,2 , 1,2,2 , 3,3,2 , 3,2,3 , 2,3,3 , 4,4,3 , 4,3,4 , 3,4,4 ， 18个， 以P X=1 = 18 43 = 9 32 ， 满足X= 2 数组 ： 1,1,3 , 1,3,1 , 3,1,1 , 2,2,4 , 2,4,2 , 4,2,2 ， 3,3,1 , 3,1,3 , 1,3,3 , 4,4,2 , 4,2,4 , 2,4,4 ， 1,2,3 , 1,3,2 , 2,1,3 , 2,3,1 , 3,1,2 , 3,2,1 ， 4,2,3 , 4,3,2 , 2,4,3 , 2,3,4 , 3,4,2 , 3,2,4 ， 24个， 以P X=2 = 24 43 = 3 8 ， 满足X= 3 数组 ： 1,2,4 , 1,3,4 , 1,4,4 ，1,4,1 , 1,4,2 , 1,4,3 ， 1,1,4 , 2,1,4 , 3,1,4 ，4,1,1 , 4,2,1 , 4,3,1 ， 4,1,2 , 4,1,3 , 4,1,4 ，2,4,1 , 3,4,1 , 4,4,1 ， 18个， 以P X=3 = 18 43 = 9 32 ， 以X 数学 E X = 0× 1 16 + 1× 9 32 + 2× 3 8 + 3× 9 32 = 15 8 . 故 ：D. 452. ( 2024 · ·模拟 ) 已知函数 f x 满足 f x+8 = f x ，f x + f 8-x = 0， x ∈ 0,4  时，f x = ln 1+sin π 4 x ， 函数 F x = f 3x - f x  0,8 内 零点个数为 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【 】C 【解 】 ，函数 f x  为 8，图 于点 4,0 对称， f 3 8-x  + f 3x = f 8-3x + f 3x =-f 3x  + f 3x = 0， 以函数 y= f 3x  图 也 于点 4,0 对称， 由 x∈ 0,4 ，f x = ln 1+sin π 4 x ， ∴ f x = π 4 cos π 4 x 1+sin π4 x ，∵ 0≤ π 4 x< π，sin π 4 x≥ 0， 令 f x > 0，解 0≤ x< 2，令 f x < 0，解 2< x < 4， 以函数 f x  0,2 上 ， 2,4 上 减，f 2 = ln2，f 0 = f 4 = 0， 一个 系中， 出函数 y= f 3x 与 y= f x  图 ，如图， 由图可 ，函数 y= f 3x 与 y= f x  0,4 上 两 个交点， 因为函数 y= f 3x 与 y= f x 图 于点 4,0 对 称， 以函数 y= f 3x 与 y= f x  4,8 上 两个交 点， f 12 = f 4 = 0， 以函数F x = f 3x - f x  0,8  零点个数 为 5. 故 ：C. 453. (2024·高三· · 学 试)某 间 举 毛 比赛，某班 出 、乙两 主 ，为 了提高两 主 能 ， 安 了为 一 对 训练，比赛规 如下： 、乙两人每轮 与 2 ， 两人 胜 数不 于 3 时， 认为这轮训练过关； 不过关.若 、乙两人每 胜 为 p1，p2，且满足 p1+ p2= 43 ，每 之间相互独 .记 、乙 n轮训练中训练过关 轮 数为X，若E X = 16， 从 角 ， 、乙 两人训练 轮数至 为 ( ) A. 27 B. 24 C. 32 D. 28 【 】A 【解 】设每一轮训练过 为 p， p= p21p22+ p21×C12× p2× 1-p2 + p22×C12× p1× 1-p1  =-3p21p22+ 2p1p2 p1+p2 =-3p21p22+ 2p1p2× 43 = -3p21p22+ 83 p1p2， 0< p1p2≤ p1+p2 2  2 = 4 9 ， 且仅 p1= p2= 23 时 号 立. ·199· 函数 y=-3x2+ 8 3 x 口 上，对称轴为 x= 4 9 ， 以 0<-3p21p22+ 83 p1p2≤-3 ⋅ 4 9  2 + 8 3 ⋅ 4 9 = 16 27 ， ，X∼B n,p ， E X =n -3p21p22+ 83 p1p2  = 16， n= 16 -3p21p22+ 83 p1p2 ≥ 16 16 27 = 27， 以至 要 27轮. 故 ：A 454. (2024· ·模拟 )已知 O为△ABC 外 ，∠BAC = 60 °，BC = 2 3 ， OB  ⋅ OC  = ( ) A. 2 B. - 2 C. 4 D. - 4 【 】B 【解 】如图， O 直 为 2R= BC sin∠BAC = 2 3 3 2 = 4， 故 OB = OC =R= 2，∠BOC= 2∠BAC= 120°， 故OB  ⋅OC  = OB   OC   cos120° = 2× 2× - 12 = -2. 故 ：B. 二、多 455. (2024· 东 ·二模)已知函数 f x  定义域为 R，f x 不 为零 ，且 f x+y + f x-y = 2f x f y ， ( ) A. f 0 = 1 B. f x 为 函数 C. f x  x= 0处取 D. 若 f a = 0， f(x) = f(x+ 4a) 【 】ABD 【解 】对于 A，令 x= y= 0， 2f 0 = 2 f 0  2， 解 f 0 = 0 f 0 = 1， f 0 = 0时，令 y= 0， 2f x = 2f x f 0 ， f x = 0，这与 f x 不 为零矛盾， 以 f 0 = 1，故 A正 ， 对于 B，令 x= 0， f 0+y + f 0-y = 2f y f 0 ， f y = f -y ， f x 为 函数， 以 B正 ， 对于 C，取 f x = cosx，满足 ，此时 x= 0不 f x  点， 以 C错误， 对于 D，令 y= a， f x+a + f x-a = 2f x f a ， 若 f a = 0， f x+a =-f x-a ， f x = -f x+2a ， f x+4a =-f x+2a = f x ， 以 D正 ， 故 ：ABD. 456. (2024 · 定西 ·一模)下 为 ( ) A. x2-4x-8 -x+4+ x-1  2 B. x2-4x-8 -x+4+ x-1  5 C. x2-4x-8 -x+4+ x2-2x-4 -x+2 2 D. x2-4x-8 -x+4+ x2-2x-4 -x+2 3 【 】BC 【解 】设A(0,2),B(-1,1),F(-1,0),P(x, -4x )， 知点P 轨迹 物线 y2=-4x 上 部 ， 物线 y2=-4x 线为直线 x= 1,P 线 距离 d= |x- 1|，F为 物线 y2=-4x 焦点， 对于AB， x2-4x-8 -x+4+ |x- 1| = x2+( -4x-2)2+ d = |PA| +d= |PA| +|PF| ≥ |AF| = 5， 以 x2-4x-8 -x+4+ |x- 1| 为 5， 故A错误，B正 ； 对于CD， x2-4x-8 -x+4+ x2-2x-4 -x+2 = x2+( -4x-2)2+ (x+1)2+( -4x-1)2= |PA| +|PB| ≥ |AB| = 2， 以 x2-4x-8 -x+4+ x2-2x-4 -x+2 2，故C正 ，D错误. 故 ：BC. 457. (2024·高二·福建福州· )任取一个正整数，若 奇数， 该数乘 3再 上 1；若 数， 该数 ·200· 以 2． 复进行上述两种运 ，经过 次步骤 ， 进入 1→ 4→ 2→ 1．这 数学史上 “冰雹 想”( 称“角 想”)．比如取正 整数m= 8， 上述运 法 出 8→ 4→ 2→ 1→ 4→ 2→ 1． 想 关系如下：已知数 an 满 足 a1= 5，an+1= an 2 ,an为 数 3an+1,an为奇数  ，设数 an  n 为Sn ， 下 结论正 ( ) A. a3= 8 B. a5= 2 C. S10= 49 D. S300= 722 【 】ABD 【解 】因为数 an 满足 a1= 5，an+1= an 2 ,an为 数 3an+1,an为奇数  ， 以 a2= 3× 5+ 1= 16,a3= 162 = 8,a4= 8 2 = 4,a5= 4 2 = 2,a6= 22 = 1, a7= 3× 1+ 1= 4,a8= 42 = 2,a9= 2 2 = 1,a10= 3× 1+ 1= 4， 以S10= 5+ 16+ 8+ 4+ 2+ 1+ 4+ 2+ 1+ 4= 47， 以AB正 ，C错误， 因为数 an 中从 4 起以 4，2，1 ， (300- 3) ÷ 3= 99， 以S300= (5+ 16+ 8) + 99× (4+ 2+ 1) = 722， 以 D正 ， 故 ：ABD 458. (2024 ·高三 · 西 · ) 棱 为 2 正方 ABCD - A 1B1C 1D 1中，点M，N，P 线段 C1D1，线段C1C，线段A1B上 点，且MC1=NC1 ≠ 0. 下 说法正 ( ) A. MN⊥AB B. 直线MN与AP 大角为 90° C. 三棱 M-DPC 积为定 D. 四棱 P-D1DBB1 积 大时，该四棱 外 表 积为 12π 【 】BCD 【解 】对于A，由MC1=NC1≠ 0，可 D1C⎳MN， 因为AB⎳D1C1， 以MN与AB不 直，因此A不正 ； 对于B，因为D1C⎳A1B， 以MN⎳A1B， 因此直线MN与AP 角 直线A1B与AP 角， P为A1B中点时，此时AP⊥A1B,直线A1B与AP 角 大为 90°，因此B正 ： 对于C，由于 ABB1A1⎳ DCC1D1,AP⊂ ABB1A1, 以 VM-DPC=VP-DMC=VP-D1DC=VA-D1DC= 1 3 × 1 2 × 2× 2× 2= 4 3 为定 ，C正 ： 对于D，VP-BDD1B1= 2VP-BDD1= 2VD1-PBD, 由于P为A1B上 点，故D1 A1BD 距离为定 ， 以D1 PBD 距离为定 ， 要 VD1-PBD 大，只 要S△PBD 大，故 P为A1点 时，四棱锥P-D1DBB1 积 大， 该四棱锥 外 正方 ABCD-A1B1C1D1 外 ， 直 为BD1= 2 3， 以 r= 3，故 表 积为 12π， 因此D正 ． 故 ：BCD． 459. (2024· 娄 ·一模)对于事件A与事件B，若A ∪B发 0.72，事件B发 事件 A发 2 ，下 说法正 ( ) A. 若事件A与事件B互斥， 事件A发 为 0.36 B. P B∣A = 2P A∣B  C. 事件A发 围为 0.24,0.36  D. 若事件A发 0.3， 事件A与事件B 相互独 【 】BCD ·201· 【解 】对于A，若事件A与事件B互斥， P A∪B  =P A +P B = 3P A = 0.72， 以P A = 0.24, A，故A错误； 对于B，P B|A = P AB  P A  ,P A|B = P AB  P B  = P AB  2P A  = 1 2 P B|A ，故B正 ； 对于C，P A∪B =P A +P B -P AB = 3P A -P AB = 0.72,P A = 0.24+ P AB  3 ， 若事件A与事件B互斥， P AB = 0，此时P A 取 为 0.24，若P A ⊆P B ，此时P AB = P A ,P A 取 大 为 0.36，故C正 ； 对于D，P A = 0.3， P B = 0.6，由P A∪B = P A +P B -P AB ， P AB = 0.3+ 0.6- 0.72= 0.18=P A ⋅P B ， 事件A与事件B相互独立，故D正 . 故 ：BCD. 460. (2024· 娄 ·一模)已知函数 f x  定义域 域 为 x∣x≠0,x∈R ，对于任 零实数 x,y, x+ y≠ 0，函数 f x 满足：f x+y  f x + f y = f x f y ，且 f x  -∞,0 上 减，f 1 = 1， 下 结论 误 ( ) A. f 1 2 = 2 B. 2023 i=1 f 1 2i = 2 2023- 2 C. f x  定义域内 减 D. f x 为奇函数 【 】BC 【解 】对于A，令 x= y= 1 2 ， 2f 1 f 1 2 = f 1 2   2 ， 因 f 1 2 ≠ 0，故 f 1 2 = 2f(1) = 2，故A正 ； 对于B,由 f x+y  f x + f y = f x f y ， 令 y= x， f(2x) = [ f(x)] 2 2f(x) = 1 2 f(x)， f 1 2i = f 2× 1 2i+1 = 1 2 f 1 2i+1 ， f 1 2i+1 = 2f 1 2i ， 故 f 1 2i   以 f 1 2 = 2为 ，2为 比 比数 ， 于 2023 i=1 f 1 2i = 2 1-22023  1-2 = 2 2024- 2，故B错误； 对于D，由 ，函数 f x  定义域为 -∞,0 ∪ 0,+∞ ， 于 点对称， 令 y=-2x， f -x = f x f -2x  f x + f -2x  ①， x,y都取 -x，可 f -2x = f -x f -x  2f -x  = f -x  2 ②， ② 代 ① ，可 f -x = f x  f -x  2 f x + f -x 2 ， 可 f -x =-f x , f x 为奇函数，故D正 ； 对于C，∵ f x  -∞,0 上 减，函数为奇函 数，可 f x  0,+∞ 上 减， 不能 断 f x  定义域上 ， 如 f x = 1 x ，故C错误. 故 ：BC. 461. (2024·高三· · 段练习)设 a,b为两个正 数，定义 a,b 数为A a,b = a+b 2 ，几 数为G a,b = ab， ：G a,b ≤A a,b ， 这 们 知 基 不 .上个世纪五 代， 国数学家D.H .Lehmer提出了“Lehmer ”， Lp a,b = a p+bp ap-1+bp-1 ，其中 p为 数.下 关系 正 ( ) A. L0.5 a,b ≤A a,b  B. L0 a,b ≥G a,b  C. L2 a,b ≥L1 a,b  D. Ln+1 a,b ≤Ln a,b  【 】AC 【解 】对于A ，L0.5 a,b = a+ b1 a + 1 b = ab≤ a+b 2 =A a,b ， 且仅 a= b时， 号 立，故A正 ； 对于B ，L0 a,b = 21 a + 1 b = 2ab a+b ≤ 2ab 2 ab = ab=G a,b ， 且仅 a= b时， 号 立，故B错误； 对于C ，L2 a,b = a 2+b2 a+b = a2+b2+a2+b2 2 a+b  ≥ ·202· a2+b2+2ab 2 a+b  = (a+b) 2 2 a+b  = a+b 2 =L1 a,b ， 且仅 a= b时， 号 立，故C正 ； 对于D ， n= 1时，由C可知，L2 a,b ≥ a+b2 =L1 a,b ，故D错误. 故 ：AC. 462. (2024· 东 州·模拟 )如图， 棱 为 2 正 方 ABCD-A1B1C1D1中，已知M，N，P 棱C1D1，AA1，BC 中点，Q为 PMN上 点，且直线 QB 1 与直线 DB 1 夹角为 30 °， ( ) A. DB1⊥ PMN B. PMN 正方 积为 3 3 C. 点Q 轨迹 为 π D. 能放入 PMN 该正方 两个 间几 内部 ( 忽 不计) 大 为 3- 3 2 【 】ABD 【解 】A ，以D为 点，DA,DC,DD1 直线 为 x,y,z轴，建立 间直角 系， P 1,2,0 ,M 0,1,2 ,N 2,0,1 ,D 0,0,0 ,B1 2,2,2 ， 故DB1  = 2,2,2 ,PM  = -1,-1,2 ,PN  = 1,-2,1 . 设 PMN 法 量为m = x,y,z ， m ⋅PM  = x,y,z ⋅ -1,-1,2 =-x-y+2z=0 m ⋅PN  = x,y,z ⋅ 1,-2,1 =x-2y+z=0  ， 令 z= 1 ，x= y= 1，故m = 1,1,1 ， 因为DB1  = 2m，故DB1⊥ PMN，A正 ； B ，取A1D1,AB,CC1 中点E,F,Q，连 MQ, ME,EN ,NF,FP,PQ,EP,A1B,CD1， 因为M，N，P 棱C1D1，AA1，BC 中点， 以NF⎳A1B,MQ⎳CD1， CD1⎳EP⎳A1B， 以NF⎳MQ⎳EP， 以 PMN 正方 为正 边 FPQMEN， 中边长为 2，故 积为 6× 3 4 × 2 2= 3 3，B 正 ； C ，Q为 PMN上 点，直线QB1与直线 DB1 夹角为 30°， DB1⊥ PMN，设 足为S，以S为 ，r= 3 3 B1S为 ， 为点Q 轨迹， 中B1D= B1D   = 4+4+4= 2 3，由对称 可知， B1S= 12 B1D= 3， 故 r= 3 3 × 3= 1， 故点Q 轨迹长 为 2π，C错误； ·203· D ，因为M，N，P 棱C1D1，AA1，BC 中 点， 以 PMN 该正方 两个 间几 对称， 不妨 能放 点D 间几 大 ， 该 与 PMN 与点S，与 ADD1A1， ADCB， DCC1D1相 ， 由对称 可知， B1D上，设 为R t,t,t ， 为 t， S 1,1,1 ，故 RS   = t， 3 1-t = t，解 t= 3- 3 2 ， 故 大 为 3- 3 2 ，D正 . 故 ：ABD 463. (2024· ·模拟 )如图， 正方 ABCD - A1B1C1D1中，E,F 为BC ,CC1 中点， 下 结论正 ( ) A. 直线A1B与EF 角 大 为 60° B. 直线AD1⎳ DEF C. DEF⊥ BCC1B1 D. 四 D-EFC外 积与正方 ABCD-A1B1C1D1 积之比为 6π8 【 】ABD 【解 】解 ：对于A：连 BC1,C1A1，如图，由正方 结 特 知，BC1 = A1B = A1C1 ， △A1BC1为正三角 ． 因为E,F 为BC,CC1 中点， EF∥BC1， 因此直线A1B与EF 角 为直线A1B与BC1 角， ∠A1BC1 补角， ∠A1BC1= 60°， 以直线A1B与EF 角 大 为 60°，A正 ； 对于B：因为EF∥BC1， 以AD1∥EF,AD1⊄ DEF,EF⊂ DEF， 故直线AD1⎳ DEF，B正 ； 对于C：取EF 中点为M，连 DM， 然 DE = DF ,EF 中点为M， DM⊥EF， 设 DEF⊥ BCC1B1， DEF∩ BCC1B1=EF， 于 DM⊥ BCC1B1， DC⊥ BCC1B1， DM∥DC，与DM∩DC=D矛盾，C错误； 对于D：不妨设正方 棱长为 2a， 正方 积 为V1= 8a3， 因为四 C-DEF 三 棱CE,CF,CD两两 直， 它 外 为 以CE,CF,CD为棱 长方 外 ， 于 直 2R= a2+a2+(2a)2= 6a， 积为V2= 43 πR 3= 4 3 π× 6 2 a  3 = 6πa3，于 V2: V1= 6π8 ，D正 ， 故 ：ABD． 464. (2024· ·模拟 ) 中装 2个黑 4 个 ， 从中先 无放回 取 2个 ．记“ 一次 取 黑 ”为A1，“ 一次取 ”为A2，“ 二次 取 黑 ”为 B 1，“ 二次取 ”为 B 2， ( ) A. P A1B1 =P A2B2  B. P A1B2 =P A2B1  C. P B1 A1 +P B2 A1 = 1 D. P B2 A1 +P B1 A2 > 1 【 】BCD 【解 】对A，由 ， 一次取 黑 P A1 = ·204· C12 C16 = 1 3 ， 一次取 P A2 = C14 C16 = 2 3 ， 一次取 黑 、 二次取 黑 P A1B1 = C12C 1 1 C16C 1 5 = 1 15 ， 一次取 、 二次取 P A2B2 = C14C 1 3 C16C 1 5 = 2 5 ， P A1B1 ≠P A2B2 ， 以A错误； 对B， 一次取 黑 、 二次取 P A1B2 = C12C 1 4 C16C 1 5 = 4 15 ， 一次取 、 二次取 黑 P A2B1 = C14C 1 2 C16C 1 5 = 4 15 ， P A1B2 =P A2B1 ， 以B正 ； 对C，由P B1 A1 = P A1B1  P A1  = 1 15 1 3 = 1 5 ,P B2 A1  = P A1B2  P A1  = 4 15 1 3 = 4 5 ， P B1 A1 +P B2 A1 = 1， 以C正 ； 对D，由P B1 A2 = P A2B1  P A2  = 4 15 2 3 = 2 5 ， P B2 A1 +P B1 A2 = 65 > 1， 以D正 ． 故 ：BCD． 465. (2024 · 信 ·模拟 ) 已知函数 f x = sin ωx+φ ω>0 ， ( ) A. 若ω= 3，φ= π 3 ， 函数 f x  图 右 移 5π 18 个 关于 y轴对称 B. 若 φ= π 3 ，函数 f x  π 6 , π 3 上 ，无 大 ，且 f π 6 = f π 3 ， ω= 5 C. 若直线 x= π 4 为函数 f x 图 一 对称轴， 5π 3 ,0 为函数 f x 图 一个对称中 ，且 f x  π 4 , 5π 6 上 减， ω 大 为 18 17 D. 若 f x = 1 2 x∈ π 4 , 3π 4    上至 2个解， 至多 3个解， ω∈ 4, 16 3    【 】ACD 【解 】对于A：若ω= 3，φ= π 3 ， f x = sin 3x+ π 3 ， 函数 f x  图 右 移 5π 18 个 g x = sin 3x- 5π 6 + π 3 = sin 3x- π 2 = -cos3x， 图 于 y轴对称，故A正 ； 对于B： ， x= π 6 + π 3 2 = π 4 时，f x  ， 以 sin ωπ 4 + π 3 =-1， 以 ωπ 4 + π 3 = 2kπ+ 3π 2 k∈Z ， 以ω= 8k+ 14 3 k∈Z ， 因为 f x  间 π 6 , π 3 上 ，无 大 ， 以 π 3 - π 4 ≤ π ω ， ω≤ 12， 令 k= 0， ω= 14 3 ，故B错误； 对于C： ωπ 4 +φ=2k1π+ π 2 k1∈Z  5ωπ 3 +φ=k2π k2∈Z  T 2 = π ω≥ 5π 6 - π 4 = 7π 12      ， ω= 6 17 18 17 ，故C正 ； 对于D：因为 f x = 1 2 ， ωx+ φ= 2kπ+ π 6 k∈Z  ωx+ φ= 2kπ+ 5π 6 k∈Z ， x= -φ+2kπ ω + π 6ω k∈Z  x= -φ+2kπ ω + 5π 6ω k∈Z ， 要上述相 三个 距离不超过 π 2 ，相 四个 (距离较 四个) 距离超过 π 2 ， 2π ω ≤ π 2 8π 3ω> π 2  ，解 ω∈ 4, 16 3   ，故D正 ； 故 ：ACD． 466. (2024· 信 ·模拟 )已知 物线 C：y2= 2px p>0  点为 F，点M ,N 物线 C上， ( ) A. 若M ,N ,F三点共线，且 MF  NF  = 3 4 ， 直线MN ·205· 斜角 为± 3 7 B. 若M ,N ,F三点共线，且直线MN 斜角为 45°， △OMN 积为 2 2 p2 C. 若点A 4,4  物线C上，且M ,N 于点A， AM⊥AN， 点M ,N 直线 y=-4 距离之 积为定 D. 若点A 2,2  物线C上，且M ,N 于点A， kAM+ kAN= 0，其中 kAM> 1， sin∠FMN-sin∠FNM ≤ 2 5 5 【 】BCD 【解 】对A，设 物线C：y2= 2px，设直线MN：x= ty+ p 2 t≠0 ， 设M x1,y1 ，N x2,y2 ， 立 y2=2px x=ty+ p2  ， y2- 2pty- p2= 0，y1+ y2= 2pt,y1y2=-p2， 由于 MF  NF  = 3 4 ，可 y1 y2 =- 3 4 ，代 上 ： 1 4 y2= 2pt, - 3 4 y22=-p2， 解 ：t2= 1 48 ，且直线MN 斜 为 1 t ， 设直线MN 斜角为 α， tan2α= 48，且 sin2α+ cos2α= 1,tanα= sinα cosα ， cos2α= 1 49 ，解 cosα=± 1 7 ，故A错误； 对B，设 物线C：y2= 2px，且直线MN 斜角为 45°， 设直线MN：x= y+ p 2 ， 设M x1,y1 ，N x2,y2 ， 立 y2=2px x=y+ p2  ， y2- 2py- p2= 0，y1+ y2= 2p,y1y2=-p2， S△OMN= 1 2 × p 2 × |y2- y1| = p 4 × (2p)2-4(-p2) = 2 2 p2，故B正 ； 对C，由于点A 4,4  物线C上，此时 物线C：y2 = 4x， 设M x1,y1 ，N x2,y2 ， 设直线AM：x- 4= t y-4  t≠0 ， 立 y2=4x x-4=t y-4   y2- 4ty+ 16 t-1 = 0，解 y1= 4( ，此时M , A重 ) y1= 4t- 4， 点M 直线 y=-4 距离为 y1+4 = 4t ， 可 ，因为AM⊥AN， N 直线 y=-4 距离 为 4 ⋅ 1-t = 4 t ， 故 距离之积为 4t ⋅ 4 t = 16，故C正 ； 对D，由于点A 2,2  物线C上，此时 物线C：y2 = 2x， 设直线AM：y- 2= k x-2 ， 与 物线方 立可 ky2- 2y+ 4- 4k= 0， yM ⋅ 2= 4-4k k ， yM= 2-2k k ，用-k替 可 yN =- 2+2k k ， kMN= yM-yN xM-xN = yM-yN y2M 2 - y2N 2 = 2 yM+yN =- 1 2 ， M 2 1-k 2 k2 , 2-2k k ，N 2 1+k 2 k2 ,- 2+2k k ， 故直线MN：y- 2-2k k =- 1 2 x- 2 1-k 2 k2      ， y= - 1 2 x+ 1 k2 - 1， 点F 直线MN 距离 d= 1 2 - 2-2k2 k2  5 = 5k2-4 2 5k2 k>1 ， sin∠FMN-sin∠FNM = d 1 FM  - 1 FN   sin∠FMN-sin∠FNM = d 1 xM+ 12 - 1 xN+ 12 = d xM-xN xMxN+ 12 xM+xN + 1 4 ， sin∠FMN-sin∠FNM = 5k 2-4 2 5k2 ⋅ 32k3 25k4-24k2+16 ， sin∠FMN-sin∠FNM = 16 5 ⋅ 5k- 4k 25k2-24+ 16 k2 = 16 5 ⋅ 5k- 4k 5k- 4k  2+16 ， 令 t= 5k- 4 k > 1， 故 sin∠FMN-sin∠FNM = 16 5 ⋅ t t2+16 = 16 5 ⋅ 1 t+ 16t ， sin∠FMN-sin∠FNM ≤ 16 5 ⋅ 1 2 t ⋅ 16t = 16 5 ⋅ 1 8 = 2 5 5 ， ·206· 且仅 t= 4时 号 立，故D正 ； 故 ：BCD． 467. (2024· ·二模)已知函数 f x  定义域为 R，对任 x,y∈R都 2f x+y 2 f x-y 2 = f x  + f y ，且 f 1 =-1， 下 说法正 ( ) A. f -1 = 1 B. f x+ 1 2 为奇函数 C. f x - f 2-x = 0 D. f 1 + f 2 + f 3 +⋅⋅⋅+f 2025 =-1 【 】BCD 【解 】令 x= y= 1， 2f 1 f 0 = f 1 + f 1 = 2f 1 ， 以 f 0 = 1， 令 x=-1,y= 1， 2f 0 f -1 = f -1 + f 1 = 2f -1 ，∴ f -1 = f 1 =-1，故A错误； 要证 f x+ 1 2 为奇函数，只 证 f x+ 1 2 + f 1 2 -x = 0， f x + f 1-x = 0， 令 x= 1,y= 0， 2f 1 2 f 1 2 = f 1 + f 0 = 0，∴ f 1 2 = 0， 令 y= 1- x， 2f 1 2 f 2x-1 2 = f x + f 1-x = 0， 以 立，故B正 ； 令 y=-x， 2f 0 f x = f x + f -x = 2f x ，∴ f x = f -x ， 以 f x 为 函数，由B可知， f 1-x =-f x ， 以 f 1-x =-f x =-f -x ， f 2-x =-f 1-x = f x ，故C正 ； 由C可知 f 2-x = f x ， f x 为 函数， 以 f 2-x = f -x ， f x  为 2，f 1 =-1，f 2  = f 0 = 1， 以 f 1 + f 2 + f 3 +⋅⋅⋅+f 2025 = 1012× 0- 1=-1，故D正 . 故 ：BCD 468. (2024·高三· 东 泽· 段练习)如图，已知正方 ABCD-A1B1C1D1 棱 为 2，点M为BC 中 点，点P为正方 A1B1C1D1内 ( 边 ) 点， ( ) A. 满足MP⎳ A1BD 点P 轨迹为线段 B. 若MP= 2 2， 点P 轨迹 为 π 3 C. 直线AB与直线MP 角 围为 π 6 , π 2     D. 满足MP⊥AM 点P 轨迹 为 5 2 【 】AD 【解 】对于A，如图 示，取棱BB1,A1B1,A1D1,D1D, DC 中点 为E,F,G,H,I， 连 EF、FG、GH、HI、IM、ME， 正方 特 知EM⎳A1D⎳GH, EF⎳A1B⎳HI,GF⎳BD⎳MI， E,F,G,H,I,M ，且BD⎳ EFGHIM， BA1⎳ EFGHIM， BD,BA1⊂ BDA1且相交于B，故 BDA1⎳ EFGHIM， 以满足MP⎳ A1BD 点P 轨迹为线段FG， 故A正 ； 对于B，设M 上 为N， 知MN= 2， MP= 2 2， 以NP= 2， P 以N为 ， 为 2 上， 且P 正方 A1B1C1D1 ，如图 示， JK  上， 知 ∠JNK= π 3 ， 以 JK  长 为 2π 3 ， ·207· 故B错误； 对于C， 如图 示建立 间直角 系，取AD 中点Q，连 MQ， PL⊥MQ， 设P x,y,2 x,y∈ 0,2  ， L 1,y,0 ，M 1,2,0 ， 知直线AB与直线MP 角为∠PMQ， 然 P为B1C1 中点时，此时∠PMQ= π2 ,y= 2， y≠ 2时，tan∠PMQ= PL  LM  = x-1 2+4 2-y ， 知 x-1 2+4≥ 2,2- y∈ 0,2 ， 若∠PMQ ， x= 1,y= 0，此时∠PMQ= π 4 ， 故C错误； 对于D，取CS= 1 4 DC,RC1= 14 D1C1， 可知RN⎳SM ,RN=SM， R、N、M、S ， 正方 中 知 CS CM = 1 2 = BM AB ,∠ABM= ∠SCM， △SCM∼△MBA⇒∠AMS= 90°， 结 正方 质可知MN⊥ ABCD，AM⊆ ABCD， 以AM⊥MN， MN∩SM=M ,MN、SM⊆ RNMS， 以AM⊥ RNMS，故P 线段RN上运 ， 知RN= 12+ 1 2  2 = 5 2 ，故D正 . 故 ：AD 469. (2024· ·二模)已知 f x = 3 sin ωx 2 cos ωx 2 + cos2 ωx 2 - 1 2 ,ω> 0，下 结论正 ( ) A. 若 f x  正 为 π， ω= 2 B. 若 f x  图 左 移 π 3 个 图 关于 y轴对称， ωmin= 1 C. 若 f x  0,2π 上 4个 点， ω 取 围为 5 3 , 13 6  D. 存 ω， f x  - π 6 , π 4    上 减 【 】ABC 【解 】由 f x = 3sin ωx 2 cos ωx 2 + cos2 ωx 2 - 1 2 = 3 2 sinωx+ 1 2 cosωx= sin ωx+ π 6 ， 对于A，若 f x  正 为 π， T= 2π ω ⇒ω= 2，故A正 ； 对于B，若 f x  图 左 移 π 3 个 长 y = sin ω x+ π 3 + π 6    = sin ωx+ π 3 ω+ π 6 ， 图 于纵轴对称， π 3 ω+ π 6 = π 2 + kπ k∈Z ⇒ω= 1+ 3k， 然 ωmin= 1，故B正 ； 对于C，x∈ 0,2π ⇒ωx+ π 6 ∈ π 6 ,2ωπ+ π 6   ， 7π 2 < 2ωπ+ π 6 ≤ 9π 2 ⇒ω∈ 5 3 , 13 6 ，故 C正 ； 对于D，x∈ - π 6 , π 4    ⇒ωx+ π 6 ∈ - ωπ 6 + π 6 , ωπ 4 + π 6    ， 然 ωπ 4 + π 6 > π 6 ，- ωπ 6 + π 6 < π 6 ， 该 间为 π 6 连续 间， 正 函数 可知：该 间不可能 减， 故D错误. 故 ：ABC 470. (2024· ·二模)已知函数 f x ,g x  定义域 为 R,g x+1 + f 1-x = 1，f x+1 - g x+2 = 1，且 y= f x  图 关于直线 x= 1对称， 以下说 法正 ( ) A. f x  g x  为奇函数 B. ∀ x∈R,f x = f x+4  C. ∀ x∈R,g x = g x+2  D. g - 3 2 = 0 ·208· 【 】BCD 【解 】对于B，由 f(x+ 1) - g(x+ 2) = 1， f(x) - g(x+ 1) = 1， g(x+ 1) + f(1- x) = 1，∴ f(x) + f(1- x) = 2， ∵ y= f(x) 图 于直线 x= 1对称，∴ f(1- x) = f(1+ x)， ∴ f(x) + f(1+ x) = 2, ∴ f(x+ 2) + f(1+ x) = 2， ∴ f(x) = f(x+ 2)， f x  函数，且 为T= 2， 以 f(x) = f(x+ 4)，故B正 ； 对于A，∵ y= f(x) 图 于直线 x= 1对称， ∴ f(-x) = f(2+ x), ∴ f(x) = f(-x), ∴ f(x) 函数， 若 f(x)为奇函数， f(x) = 0 立，不满足 f(x) + f(1+ x) = 2，故A错误； 对于C，由 f(x+ 1) - g(x+ 2) = 1， g(x) + f(2- x) = 1， ∴ g(x) + f(x) = 1, ∴ g(2+ x) + f(2+ x) = 1， 因为 f(x) = f(x+ 2)， g(x+ 2) = g(x)， 以 g(x) 函数，且 为T= 2， g x = g x+2 ，故C正 ； 对于D，由 f(x) + f(1- x) = 2， f 1 2 = 1， f(x) = f(x+ 2), ∴ f - 3 2 = 1， 由 g(x) + f(x) = 1， g - 3 2 + f - 3 2 = 1, ∴ g - 3 2 = 0，故D正 . 故 ：BCD. 471. (2024 · ·三模)若函数 f (x) = 2xsinx - 1 0<x< π 2  零点为 x 1，函数 g(x) = 2 xcosx - 1 0<x< π 2  零点为 x2， ( ) A. x1x2> π2 B. x1+ x2< 3π 4 C. cos(x1+ x2)< 0 D. cosx1- sinx2< 0 【 】BCD 【解 】令 f x = 0 sinx= 1 2  x ，令 g x = 0 cosx= 1 2  x ， 一直角 系中 出 y= sinx，x∈ 0, π 2 ，y= cosx，x∈ 0, π 2 ，y= 1 2  x ，x∈ 0, π 2  函数图 ， y= sinx、y= cosx、y= 1 2  x x∈ 0, π 2 上 、 减、 减，且 x∈ 0,x2 上 减 ，y= cosx 快，y= 1 2  x 快 ， 由 sin0= 0< cos0= 1 2  0 ，且 sin π 4 = cos π 4 = 2 2 = 1 2  1 2> 1 2  π 4，cos π 2 = 1> 1 2  π 2> sin π 2 = 0， 以 0< x1< π4 < x2< π 2 ， 以 0< x1x2< π 2 8 ，故A 不正 ； 由 sin π 6 = 1 2 < 1 2  π 6，故 π 6 < x1< π4 ，由 cos π 3 = 1 2 > 1 2  π 3，故 x2> π3 ， 因为 x∈ 0, π 2 上函数 y= sinx，y= cosx 于直线 x= π 4 对称， 以 x2- π4 > π 4 - x1， x1+ x2> π2 ， π 4 < x1+ x2 < 3π 4 ， 以 π 2 < x1+ x2< 3π4 ，故B正 ； 由 π 2 < x1+ x2< 3π4 ， 以 cos(x1+ x2)< 0，故C正 ； 由 x1+ x2> π2 ， 以 x1> π 2 - x2，由 π4 < x2< π 2 ， 0< π 2 - x2< π4 ， 0< x1< π 4 ， 因为 y= cosx x∈ 0, π 4  减， 以 cosx1< cos π2 -x2 = sinx2， 以 cosx1- sinx2 < 0，故D正 . 故 ：BCD. 472. (2024·高三· · 学 试)已知函数 f x  R上 奇函数， 差数 an  n 为 Sn，数 f an   n 为 Tn. 下 两个 中，p q 要 件 ( ) A. p:f a5 = 0，q:S9= 0 B. p:S10= 0，q:f a5+a6 = 0 C. p:a5= 0，q:T9= 0 D. p:T10= 0，q:a5+ a6= 0 ·209· 【 】AD 【解 】 A：因为 an 为 差数 ， 以S9= 9a5= 0， a5= 0， 因函数 f x  R上 奇函数，f a5 = f 0 = 0， 以 p q 要 件，故A正 ； B：若 f x = sinx， a5+ a6= π时满足 f a5+a6 = 0， 此时S10= 10 a1+a10  2 = 5 a5+a6 = 5π≠ 0， 故 p不 q 要 件，故B错误； C：若 f x = sinx，an=nπ满足T9= f a1 + f a2 +⋯+f a9 = 0， a5≠ 0，故 p不 q 要 件，故C错误； D：由 a5+ a6= 0且 an 为 差数 可 a5+ a6= a4+ a7= a3+ a8= a2+ a9= a1+ a10= 0， 因函数 f x  R上 奇函数， 以 f a5 + f a6 = f a4 + f a7 = f a3 + f a8 = f a2 + f a9 = f a1 + f a10 = 0， 故T10= f a 1+ f a2 +⋯+f a10 = 0， 故 p q 要 件，故D正 ； 故 ：AD 473. (2024 · ·模拟 )已知 θ ∈ R， 曲线 C： x2cosθ+ y2sin2θ= 1， ( ) A. θ可能 一 角 B. θ可能 四 角 C. 点 1,0 可能 C上 D. 点 0,1 可能 C上 【 】BD 【解 】 ，可 cosθsin2θ< 0， sinθcos2θ< 0， sinθ< 0且 cosθ≠ 0， 以 θ 三 四 .故A错误，B正 ； θ 三 时， -1< sinθ< 0，-1< cosθ< 0，sin2θ> 0， 双曲线方 为 y2 1 sin2θ - x 2 - 1cosθ = 1， sin2θ= 1 θ = 5π 4 + 2kπ，k∈ Z时，方 为 y2- x 2 2 2 = 1， 以点 0,1  双曲线上，故D正 ； θ 四 时， -1< sinθ< 0，0< cosθ< 1， sin2θ< 0， 双曲线方 为 x2 1 cosθ - y 2 - 1sin2θ = 1，因为 1 cosθ > 1， 以点 1,0 不 双曲线上，故C错误. 故 ：BD. 474. (2024·高三· · 段练习)D,E △ABC边 BC 上 点，其中 ∠BAD = ∠CAE ,BC = 3，且 BD ⋅BE CD ⋅CE = 1 3 . △ABC 积 可能取 为 ( ) A. 9 3 4 B. 3 3 2 C. 3 3 D. 7 3 2 【 】AB 【解 】由 积 可 ： S△ABD S△ADC = BD CD = 1 2 ⋅AD ⋅AB ⋅sin∠BAD 1 2 ⋅AD ⋅AC ⋅sin∠CAD = ABsin∠BAD ACsin∠CAD， S△ABE S△AEC = BE CE = 1 2 ⋅AE ⋅AB ⋅sin∠BAE 1 2 ⋅AE ⋅AC ⋅sin∠CAE = ABsin∠BAE ACsin∠CAE， 因为∠BAD=∠CAE，∠BAD+∠DAE=∠CAE+ ∠DAE, 以∠CAD=∠BAE， 由 BD ⋅BE CD ⋅CE = 1 3 可 ABsin∠BAD ACsin∠CAD ⋅ ABsin∠BAE ACsin∠CAE = 1 3 ， AB AC = 1 3 . 建立如图 示 直角 系， B 0,0 ,C 3,0 ，设A x,y ， AC= 3AB (x-3)2+y2= 3 × x2+y2，整 ：x+ 3 2  2 + y2= 27 4 ， 点A 轨迹 以 - 3 2 ,0 为 ，3 32 为 ， 故△ABC BC边上 高 取 围 0, 3 3 2 ，故 积 取 围 0, 9 3 4 . 以AB 满足 件. 故 ：AB. 475. ( 2024 · 西 ·模拟 ) 方 ABCD - A1B1C1D1中，AD= 2AB= 2AA1= 4，E 棱B1C1 中点，过点B，E，D1 α交棱AD于点F，P 为线段D1F上一 点 (不 端点)， ( ) ·210· A. 三棱 P-ABE 积为定 B. 存 点P， DP⊥ α C. 直线PE与 BCC1B1 角 正 大 为 2 D. 三棱 P-BB1E外 表 积 取 围 (12π,44π) 【 】ACD 【解 】对于A，因为 AA1D1D⎳ BB1C1C， 行 质， α与这两个 交线互 相 行， D1F⎳BE，因为D1F⊄ ABE，BE⊂ ABE， 以D1F⎳ ABE， 点P 线段D1F上， 以三棱锥P-ABE 积为定 ，故A正 ； 对于B，若存 点P， DP⊥ α，因为BF⊂ α， DP⊥BF，因为DD1⊥BF，DD1∩DP=D， DD1,DP⊂ AA1D1D, 以BF⊥ AA1D1D， 与 矛盾，故B错误； 对于C，如图 1 示， 取BC 中点Q，连 C1Q， 点P BCC1B1 P C1Q上， 直线PE与 BCC1B1 角 ∠PEP， 且 tan∠PEP= PP  EP ，由已知可 |PP| = 2， |EP| 为 2， 以 tan∠PEP 大 为 2，故 C正 ； 对于D，如图 2， 取A1D1 中点G，连 AG， 取BE，AG 中点 O1，O2， 连 O1O2，因为△BB1E 直角三角 ， 以三棱锥P-BB1E外 O 直线O1O2 上， 设三棱锥P-BB1E外 为R， |OB| = |OP| =R， 以 |OO1|2+ |O1B|2= |OO2|2+ |O2P|2， 设 |OO1| = d， d2+ 2= 2-d 2+ |O2P|2， 以 d= 1 2 + |O2P| 2 4 , 点P与F重 时， |O2P|取 2，此时 d= 1，R2= 3， 三棱锥P-BB1E外 表 积为 4πR2= 12π， 点P与D1重 时，|O2P|取 大 10， 此时 d= 3，R2= 11，三棱锥P-BB1E外 表 积为 4πR2= 44π，故D正 ． 故 ：ACD. 三、 476. (2024· 东 ·二模)已知F1，F2 C 两个 点，若 C上存 一点 P满足 PF1  2= 19 PF2 2， C 离 取 围 . 【 】 10- 19 9 ,1  【解 】因为 PF1  2= 19 PF2 2， 以 PF1 = 19 PF2 ， 2a= PF1 + PF2 = 19+1 PF2 ， 以PF2= 19-1 a 9 ∈ a-c,a+c ， e= c a ≥ 10- 19 9 ， 0< e< 1. 以C 离 取 围 10- 19 9 ,1 . 故 为： 10- 19 9 ,1  477. (2024·高三· · 学 试)已知 x 2 a2 + y 2 b2 = 1 (a> b> 0) 左、右 点 为 F1、F2，点P为 一 内 上一点，△F1PF2 内 为 I 1, 3 ，且 ∠F1PI= 30°， 离 为 ． 【 】 3 5-1 11 【解 】如图由△F1PF2 为 I 1, 3 可知该 为 3， 设该 与△F1PF2 三边 点为M ,N ,Q, 以 IM = IN = IQ = 3 , ∠F1PI= 30°， 以 PM = PN = 3,∠F1PF2= 60°, 设 F1Q = F1M =m, F2N = F2Q =n, △F1PF2中由 定 可 ：cos60° = m+3 2+ n+3 2- m+n 2 2 m+3 n+3  ， ：m+n+ 3=mn, ·211· 由△F1PF2 为 I 1, 3 可知Q 1,0 ， 中 知 F1O = F2O , m- 1=n+ 1, m= n+ 2， 立 m=n+2 m+n+3=mn  ，解 n= 5 m=2+ 5  ， 以 离 为 e= c a = 2c 2a = F1F2  PF1 + PF2  = m+n m+n+6 = 2+2 5 8+2 5 = 3 5-1 11 . 故 为： 3 5-1 11 . 478. (2024· 娄 ·一模) 了一闯关 ，该 共 过m个关 ， 为：G1,G2, ⋯ , Gm，记 每一个关 Gk k=1,2,⋯,m 失败 为 ak，其中 ak∈ 0,1 ,a1= 1 3 . 规 如下：从 一个关 G1 始闯关， 过 关 之 ， 自 进入 下一关 ，直 某个关 失 败 全部 过时 结 ， 关 间 互相独 ：若m= 2，设 闯关结 时进行 了 X 关，X 数学 E X = ； 能全 部 关 提下；若 结 时他闯 k+ 1关 于闯 k关 k=1,2,⋯,m-1  一 ， 数 an  公 an= ,n= 1,2,⋯ ,m. 【 】 5 3 1 2n-1+2 【解 】若m= 2， X 可能取 为 1,2， P X=1 = 1 3 ,P X=2 = 1- 1 3 = 2 3 ， 以E X  = 1× 1 3 + 2× 2 3 = 5 3 ； 设 能 提下， 结 时进行 k 为Pk； 么 Pk= 1-a1  1-a2 ⋯ 1-ak-1 ak 1- 1-a1  1-a2 ⋯ 1-am  ， 由 1 2 Pk=Pk+1可 1 2 ak= 1-ak ak+1； 2ak+1= ak 1-ak ，对两边 时取 数，可 1 ak+1 = 2 ak - 2， 1 ak+1 - 2= 2 1 ak -2 ， 1a1 - 2= 3- 2= 1， 故 1 an -2  为 1， 比为 2 比数 ， 从 1 an - 2= 2n-1,an= 1 2n-1+2 ,n= 1,2,⋯ ,m. 故 为： 5 3 ； 1 2n-1+2 . 479. (2024· ·一模)如 直线 l:kx- y- 2k= 0 曲 线 Γ:x2- 4y y = 1 一个交点， 么实数 k 取 围 ． 【 】 -∞,- 1 2 ∪ 3 6  ∪ 1 2 ,+∞  【解 】由 ， y≥ 0时，Γ:x2- 4y2= 1为双曲线 上 部 ； y< 0时，Γ:x2+ 4y2= 1为 下 部 . l:kx- y- 2k= 0 y= k x-2 ，故 出Γ,l 图 ： 虑临界 件， y= k x-2 与 下 部 相 时， y=k x-2  x2+4y2=1  ， 整 1+4k2 x2- 16k2x+ 16k2- 1= 0， Δ= 16k2 2- 4 1+4k2  16k2-1 = 0， 由图 k> 0解 k= 3 6 . y= k x-2 与双曲线 x2- 4y2= 1 近线 行时 也为临界 件. 故实数 k 取 围为 -∞,- 1 2 ∪ 3 6  ∪ 1 2 ,+∞ . 故 为：-∞,- 1 2 ∪ 3 6  ∪ 1 2 ,+∞  480. (2024· ·模拟 )已知数 an 为公差不为 0 差数 ，a3= 5，且 a2,a5,a14 比数 ，设 x 表示不超过 x 大整数，如 π = 3, -1.5 = -2，记 bn= log2an ,Sn为数 bn  n ， S100= ． 【 】573 【解 】解 ：由数 an  差数 ，设 差为 d d≠0 ，因为 a2,a5,a14 比数 ， ·212· 以 a2a14= a25， 5-d 5+11d = (5+ 2d)2，解 d = 2 d= 0( )， 以 an= 5+ 2 n-3 = 2n- 1， a100= 199． 2n≤ x< 2n+1时，log2x =n， log2 2 n+1  = log2 2n+3  =⋯= log2 2 n+1-1  =n， 2n-1个n， 因为 27< 199< 28， 以S100= b1+ b2+⋯+b100= log21 + log23 +⋯+ log2199  = 0+ 20× 1+ 21× 2+⋯+25× 6+ 199-127 2 × 7= 1 × 20+ 2× 21+ 3× 22+⋯+6× 25+ 36× 7， 令Tn= 1× 20+ 2× 21+ 3× 22+⋯+6× 25， 2Tn= 1 × 21+ 2× 22+ 3× 23+⋯+6× 26， 两 相减 -Tn= 20+ 21+ 21+⋯+25- 6× 26， Tn = 5× 26+ 1， 以S100= 5× 26+ 1+ 36× 7= 573， 故 为：573. 481. (2024·高三· 无 · 段练习)已知 C : x 2 a2 + y2 b2 = 1(a> b> 0) 左、右 点 为 F1，F2，P C上一点，且PF2⊥F1F2，H 线段PF1上 近F1 三 点，且 OH  ⋅ PF1  = 0， C 离 为 . 【 】 6- 2 2 【解 】由 ，不妨设点P 一 ，如图. 因为PF2⊥F1F2， PF2 = b 2 a ，PF1 = 2a- b 2 a = a2+c2 a ，HF1 = 13 PF1 = a2+c2 3a . 因为OH  ⋅PF1  = 0， OH⊥PF1，可知△PF1F2∽ △OF1H， F2F1  PF1  = HF1  OF1  ， 2c a2+c2 a = a2+c2 3a c ，整 c2- 6ac+ a2= 0. 由 e= c a e2- 6e+ 1= 0，解 e= 6- 2 2 e = 6+ 2 2 > 1( )， 以C 离 为 6- 2 2 . 故 为： 6- 2 2 . 482. (2024·全国·模拟 )已知 间四 ABCD满 足AB=AC=DB=DC,AD= 2BC= 6， 该四 外 积 为 ． 【 】36π 【解 】设E,F 为BC,AD 中点，连 AE,DE, BF,CF， 由已知，AB=DB,AC=DC,BC=BC，故△ABC≌ △DBC，因为E BC 中点， 以AE=DE， 因为F为AD 中点，故EF⊥AD， EF 线段AD 直 线； 可 ，EF 线段BC 直 线，故 EF上， 设 为R， 为O， OB+OC≥3 OA+OD≥6  ， 2R≥3 2R≥6  ，故R≥ 3， 此时O为线段AD 中点，且R= 3，故 外 积 为 36π． 故 为：36π 483. (2024·全国·模拟 )已知 边△ABC 外 O 积为 36π， 点M O上，若MA  ⋅MB  + MB  ⋅MC  ≤ λ， 实数 λ 取 围为 ． 【 】 72,+∞  【解 】 ，设△ABC 外 为R， πR2= 36π，故R= 6， 边△ABC中由正 定 AB sin60° = 12， AB= 6 3； 取线段AC 中点N，连 BN， BN= 3 2 AB= 9， 以MA  ⋅MB  +MB  ⋅MC  =MB  ⋅ MA  +MC   = 2MB  ⋅MN  ； 取线段BN 中点P，连 BP， O 线段BN上，且 ON= 1 3 BN= 3， 以OP=NP-ON= 9 2 - 3= 3 2 ， ·213· MB  ⋅MN  =MP  2- 1 4 BN  2, MP  2=MP2≤ MO+OP 2= 6+ 3 2  2 = 225 4 ， 故MB  ⋅MN  ≤ 225 4 - 81 4 = 36， λ≥ 72． 故 为：72,+∞ . 484. (2024·高三· 东 泽· 段练习)若曲线 f x,y = 0上两个不 点处 线 ， 称这 线为曲 线 f x,y = 0 “自公 线”， 下 方 对 曲 线中存 “自公 线” 号为 ．  ① y= x2- 2 x ;   ② y= 3sinx+ 4cosx;   ③ 3x2- xy+ 1 = 0;   ④ x2+ y2- x- x - 1= 0． 【 】①②④ 【解 】① y= x2- 2 x = x-1 2-1, x≥0 x+1 2-1, x<0  ， x= -1 x= 1处 线都 y=-1，故① “自 线”； ② y= 3sinx+ 4cosx= 5sin x+φ ， 中 cosφ= 3 5 ， sinφ= 4 5 ， 此函数为 函数，过图 高点 线都重 过图 点 线都重 ， 故此函数 “自 线”， ② “自 线”； ③ 3x2- xy+ 1= 0， y= 3x+ 1 x (x≠ 0)， y= 3- 1 x2 ， 设 “自 线”，设 点 为A x1,3x1+ 1x1 ， B x2,3x2+ 1x2 ，且 x1≠ x2， 以 线 斜 k= 3- 1 x21 = 3- 1 x22 ，解 ：x2=-x1， B -x1,-3x1- 1x1 ，故 k= 3- 1 x21 = 3x1+ 1x1 - -3x1- 1 x1  x1-(-x1) ， ：3x1+ 1x1 = 3x1- 1x1 ，无解， 以③ “自 线”. ④ x2+ y2- x- x - 1= 0， x≥ 0， (x- 1)2+ y2= 2， x< 0， x2+ y2= 1， 表示 图 如下，由于两 相交， 线， 以④ “自 线”. 故 为：①②④ 485. (2024 · ·二模)已知 C : x 2 a2 + y 2 b2 = 1 a>b>0  左右 点 为 F1、F2，其中 F1F2 = 2c，过F1 直线 l与 C交于A、B两点，若AF1  ⋅ AF2  = 4c2， 该 离 取 围 ． 【 】 6 6 , 5 5     【解 】设点A x1,y1 ， F1(-c,0),F2(c,0)， AF1  = ( -c- x1, -y1),AF2  = (c- x1, -y1)， 由AF1  ⋅AF2  = 4c2， (-c- x1, -y1) ⋅ (c- x1, -y1) = x21- c2+ y21= 4c2， x21+ y21= 5c2， 因此点A 以 (0,0)为 ， 为 5c 上， A 点 上， x2+ y2= 5c2与 x 2 a2 + y 2 b2 = 1 点， 由 几 质知 b≤ 5c≤ a， b2≤ 5c2≤ a2，亦 a2- c2≤ 5c2≤ a2， 整 5c2≤ a2≤ 6c2， 1 6 ≤ c 2 a2 ≤ 1 5 ， 以 离 e∈ 6 6 , 5 5    ， 故 为： 6 6 , 5 5     486. (2024· ·二模)已知表 积为 100π 上 四点 S,A,B,C ,△ABC 边 为 4 3 边三角 ，若 SAB⊥ ABC， 三棱 S-ABC 积 大 为 ， 【 】12( 3+ 7 ) 【解 】如图，O为S-ABC 外 ，O为正 △ABC 中 ， ·214· OO⊥ ABC， 因为 O 表 积为 100π，设 O 为R， 4πR2= 100π，故R= 5， 因为△ABC 边长为 4 3 边三角 ， OC= 2 3 CD= 2 3 × 3 2 × 4 3= 4， 以OO= OC2-OC = 3， 因为 SAB⊥ ABC， 以过 SAB r= 32+(2 3)2= 21， 点S SAB 上， 以点S ABC 大距离为 h= 3+ 21， 以S-ABC 积 大 为V= 1 3 h ⋅S△ABC= 1 3 (3+ 21 ) × 3 4 × (4 3 )2 = 12( 3+ 7 ). 故 为：12( 3+ 7 ). 487. (2024 · ·二模 )已知 f x = 2x+x-m ,x ∈ a,a+2 , f (x)max= g m ，若 m g m ≥13 = R， 实数 a 取 围 ， 【 】[3, +∞) 【解 】设 h(x) = 2x+ x-m， 因为 y= 2x,y= x-m R上 ，可知 h(x) R上 ， h(x) [a,a+ 2]上 ， h(a)≤ h(x)≤ h(a + 2)， 且 h(a) = 2a+ a-m,h(a+ 2) = 2a+2+ a+ 2-m， 由绝对 质可知 f(x) = |h(x)| 大 为 |h(a)| |h(a+ 2)|， 因为 m g m ≥13 =R 价于 h(a) ≥13 h(a+2) ≥13  ， h(a)≤ h(a+ 2)， 于m 不 2a+ a-m≤-13 2a+2+ a+ 2- m≥ 13 R上 立， 由 2a+ a-m≤-13， m≥ 2a+ a+ 13； 由 2a+2+ a+ 2-m≥ 13， m≤ 2a+2+ a- 11； 以 m m≥2a+a+13 ∪ m m≤2a+2+a-11 = R， 2a+2+ a- 11≥ 2a+ a+ 13，整 2a≥ 8，解 a≥ 3， 以实数 a 取 围 [3, +∞). 故 为：[3, +∞). 488. (2024· ·三模)已知 曲线C：x 2 a2 - y 2 b2 = 1 (a> 0,b> 0) 左、右 点 为 F1,F2，过 F1 直 线与 曲线 左、右两支 相交于M ,N两点，直 线NF2与 曲线 另一交点为P，若△NPF1为 三角 ，且△NF1F2 积 △PF1F2 积 2 ， 曲线C 离 为 . 【 】 21 3 33 3 【解 】设 |NF2| =m，|PF2| =n， 由双曲线 定义可 |NF1| = 2a+m，|PF1| = 2a+n， 由△NF1F2 积 △PF1F2 积 2 ，可 m= 2n， △NPF1为 三角 ，可 |NP| = |NF1|， |PF1| = |NP|， |NP| = |NF1|， m+n= 2a+m，可 n= 2a，m = 4a，|NF1| = 6a，|PF1| = 4a， △NPF1中，cos∠F1NP= (6a)2+(6a)2-(4a)2 2 ⋅6a ⋅6a = 7 9 ， △NF1F2中，cos∠F1NF2= (6a)2+(4a)2-(2c)2 2 ⋅6a ⋅4a = 7 9 ， 为 3c2= 11a2， e= c a = 33 3 ； |NP| = |PF1|， m+n= 2a+n，可 m= 2a，n= a，|NF1| = 4a，|PF1| = 3a， △NPF1中，cos∠F1NP= (4a)2+(3a)2-(3a)2 2 ⋅4a ⋅3a = 2 3 ， △NF1F2中，cos∠F1NF2= (4a)2+(2a)2-(2c)2 2 ⋅4a ⋅2a = 2 3 ， 为 3c2= 7a2， e= c a = 21 3 ． 故 为： 21 3 33 3 ． 489. (2024·高三·全国· 段练习)设函数 f x = 1 ex+1 图 上任 一点处 线为 l1， 存 函数图 ·215· g x = asinx + x a>0 上一点处 线 l2， l1⎳ l2， 实数 a 为 . 【 】 5 4 【解 】设函数 f(x) 点 (x1,f(x1))处 线为 l1，函数 g(x) 点 (x2,g(x2))处 线为 l2， 因为 f x = 1 ex+1 ， f x =- e x ex+1 2 = - 1 ex+ 1 ex +2 ， 因为 ex+ 1 ex ∈ 2,+∞  ， 以 f x ∈ - 1 4 ,0 ， 以 f(x1) ∈ - 14 ,0   ，   g x = asinx+ x,g x = 1+ acosx∈ 1-a,1+a ， 以 g(x2) ∈ 1-a,1+a ， 可知，对∀ x1∈R， ∃ x2∈R， f(x1) = g (x2)， 以 - 1 4 ,0 ⊆ 1-a,1+a ， 以 1- a≤- 1 4 且 1+ a≥ 0，解 a≥ 5 4 以实数 a 为 5 4 故 为： 5 4 490. (2024· ·模拟 )过 C：x 2 a2 + y 2 b2 = 1(a > b> 0)上 点P O：x2+ y2= b2 两 线 PA,PB．设 点 A，B，若直线 AB与 x 轴、y轴 交于M，N两点， △MON 积 . 【 】 b3 a 【解 】 设点P x0,y0 ， 以OP为直 方 为 x2- x0x + y2- y0y= 0， 与 O 方 x2+ y2= b2相减 x0x+ y0y= b2， x0x+ y0y= b2 过 点A,B 直线方 ，x0y0≠0 ， 令 x= 0， y= b 2 y0 ， 以N 0, b 2 y0 ，令 y= 0， x= b2 x0 ， 以M b 2 x0 ,0 ， 以 MN = b 2 x0  2 + b 2 y0  2 = b 2 x20+y20 x0y0  ， 以点O 直线MN 距离 d= b 2 x20+y20 ， 以S△OMN= 1 2 d MN = 1 2 ⋅ b 4 x0y0  ， 因为点P x0,y0  C：x 2 a2 + y 2 b2 = 1(a> b> 0) 上， 以 a2b2= b2x20+ a2y20≥ 2ab x0y0 ， 2 x0y0 ≤ ab， 号 立 且仅 bx0 = ay0 = 2 2 ab， 以S△OMN= b4 2 x0y0  ≤ b 4 ab = b 3 a ， 号 立 且仅 bx0 = ay0 = 22 ab， 综上 述，△MON 积 b 3 a . 故 为： b3 a . 491. ( 2024 ·四 川 凉 ·一 模 ) 定 义 函 数 f ( x ) = max λx,-λx ，x∈R，其中 λ> 0， 号max{a,b} 表示数 a,b中 较大 ，给出以下 ： ① f(x) 奇函数； ②若不 f(x- 1) + f(x- 2)≥ 1对一 实数 x ， λ≥ 1 ③ λ= 1时，F(x) = f(x) + f(x- 1) + f(x- 2) +⋯ +f(x- 100) 2450 ④“xy> 0”“f(x) + f(y)≥ f(x+ y)” 充要 件 以上正 ． (写出 正 号) 【 】② 【解 】函数 f x  价于 f x = λ x ，.这 一个 函 数，故 ①错误.对于 ②，不 价于 λ x-1 + x-2  ≥ 1， λ≥ 1 x-1 + x-2  max由 于 x-1 + x-2 ≥ x-1 - x-2  = 1，故 1 x-1 + x-2  max= 1， 以 λ≥ 1，故 ② .对于③， λ= 1时，F x = x + x-1 +⋯ + x-100 ，F x = x-100 + x-99 +⋯+ x 两 相 2F x = x + x-100  + x-1 + x-99  +⋯ + x-100 + x  ， x + x-100 ≥ x- x-100  = 100，x-1 + x-99 ≥ x-1- x-99  = 98，以此类 ，可 2F x ≥ 2 100+98+96+⋯+2 ,F x > 100 + 98+ 96+⋯+2= 2550.故③为 .对于④ f x  + f y = λ x + y  ，f x+y = λ x+y ， x + y ≥ x+y ，这对任 x,y都 立，故 xy> 0不 它 要 件. ④错误.故 ②. ·216·