专题1.6 勾股定理的应用-全等证明（根号3相关）【3大题型】-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题分类必刷清单（北师大版）

专题1.6 勾股定理的应用--全等证明（相关）【3大题型】（北师大新版） 题组一 勾股定理的应用--全等证明（手拉手模型） 1 题组二 勾股定理的应用--全等证明（倍长中线） 5 题组三 勾股定理的应用--全等证明（其他） 7 ( 知识导航 ) 知识点 1 勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 【注意】 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边 （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 知识点 2 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。 【注意】 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系: 若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 ； 若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形； 若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形。 题组一 勾股定理的应用--全等证明（手拉手模型） 1．如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，连接BD，E是BC边上一点，连接AE交BD于点F． （1）如图1，连接AC，若AB＝AE＝6，BC：CE＝5：2，求△ACE的面积； （2）如图2，延长AE至点G，连接AG、DG，点H在BD上，且BF＝DH，AF＝AH，过A作AM⊥DG于点M．若∠ABG+∠ADG＝180°，求证：BG+GD＝AG． 2．如图，已知等腰Rt△ABC，∠ACB＝90°，CA＝CB，以BC为边向外作等边△CBD，连接AD，过点C作∠ACB的角平分线与AD交于点E，连接BE． （1）若AE＝2，求CE的长度； （2）以AB为边向下作△AFB，∠AFB＝60°，连接FE，求证：FA+FB＝FE． 3．如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝30°，AC＝AD，AF⊥CD，CM⊥AN，BN⊥AN，点E在AN上，且∠CEM＝30°． （1）若AF＝3，求AB的长； （2）求证：2CM+BN＝AE． 4．在▱ABCD中，AC是其对角线． （1）如图1，以AC为腰作等腰△ACE，且AE⊥BC于点F．若AC平分∠EAD，∠B＝30°，，求线段EF的长； （2）如图2，点M为线段AC的中点，将线段AM绕点A顺时针旋转60°得线段AH．连接MH交BC于点Q．点G为BC的中点，连接AG、HG、GM、HC，若∠GMQ＝∠HCQ，求证：； （3）如图3，AB＝BC，∠ABC＝30°，．点P是线段AB上动点，点R是线段BC上动点，且满足，以PR为边向右侧作等边△PRT．把线段AC绕着点A逆时针旋转90°得AC′，直接写出线段TC′的最小值． 5．在△ABC中，AB＝AC． （1）如图1，若∠BAC＝120°，AB＝4，以AC为边在AC下方作等边△ACD，AD与BC交于点O，连接BD，求四边形ABDC的面积； （2）如图2，若∠BAC＞120°，以AC为边在AC下方作等边△ACD，连接BD，过点A作AE⊥BC于点E，求证：AE+BD＝CE； （3）如图3，若∠BAC＝135°，在AB下方作等腰Rt△BAF，∠BAF＝90°，AB＝AF，过点F作FG∥BA交BC延长线于点G，T为FG中点，M为BA延长线上一点，将FA绕点F顺时针旋转至FA'，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接MA′，TA′，GA′，AF＝1，AM＝，当MA'+TA'最小时，直接写出△TGA'的面积． 6．如图，△ABC是等边三角形，点D是平面内一点，连接BD，在平面内将线段BD绕点D逆时针方向旋转得到线段DE． （1）如图1，若点D在AB上，将BD绕点D逆时针方向旋转150°得到线段ED，此时点E正好落在AC上，G是BC延长线上一点，连接DG交AC于点F，若DF＝GF，AD＝6，求EF的长； （2）如图2，将BD绕点D逆时针方向旋转120°，连接AE、DC，点H是AE中点，连接CH交DE于点Q，连接DH，∠HDE＝∠CDE． ①求证：； ②如图3，点M是BD中点，连接AM，将△ABM沿AB翻折至△ABN，当点N到直线AB的距离最大时，请直接写出的值． 7．已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AB交BC于点D，AD＝6． （1）如图1，将BD绕点B逆时针旋转得线段BE，且点E在DA的延长线上，求BE的长． （2）如图2，在（1）的条件下，连接CE，F为AB上一点，且满足：∠BEF＝∠AFG，作FG⊥CE于点G，求证：CG＝FG． （3）如图3，在（1）的条件下，P、Q分别为线段BA、EB上的两个动点，且满足BP＝EQ，当PD+QD最小时，M为平面内一动点，将△BEM沿EM翻折得△B′EM，请直接写出PB′的最大值． 8．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，过点A作AO⊥BC于点O，点D是BC边上一点，连接AD． （1）如图1，若∠BAD＝15°，，求BD的长； （2）如图2，将线段AD绕着点A逆时针旋转60°到AE，点F为线段CD的中点，连接EF，DE．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接OE，当OE最小时，将△AOE沿着AE翻折得到△AO′E，连接O′C，请直接写出的值． 9．如图，△ABC中，点D、E分别在BC、AC边上，连接AD，AD＝AB． （1）如图1，连接DE，若DC＝AE＝AD，∠BAD＝60°，AB＝2+2，求DE的长． （2）如图2，AF平分∠DAC交DC于F，∠AFB＝30°，连接FE，∠FEC＝∠ABC．点G为AD延长线上一点，连接GE、GB，∠EGB＝60°．求证：BG+EG＝AG． （3）如图3，在（2）的条件下，AC＝2AB＝，P为平面内一点，AP＝，当 PC﹣2PB最大时，直接写出△APC的面积． 题组二 勾股定理的应用--全等证明（倍长中线） 10．如图1，等腰△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝30°，AB＝AC＝2，D是BC边上一动点，以AD为边在AD的右侧作一个等边△ADE． （1）当AD与BC所夹锐角为45°时，求CD的长． （2）如图2，连接BE，取BE中点F，再连接AF、DF． ①求证：； ②在射线AC上另有一动点P，且AP＝CD，连接BP．当AD+BP的值最小时，求出此时四边形ACDF的面积． 11．如图，在等边△ABC中，D为△ABC内一点，连接AD、BD、CD，∠ADB＝90°，E为BD上一点，连接AE． （1）如图1，若AE平分∠BAD，AD＝2，BC＝3，求BE的长； （2）如图2，若∠BAE＝∠ACD，且E为BD的中点，求证：AD＝DE； （3）如图3，若AB＝4，将△ADC沿AC翻折得到△AD'C，F为BC上一点，BF＝3CF，连接D′F，当D′F最小时，过D′作AD′的垂线，P是垂线上一动点，连接AP，将线段PA绕点P逆时针旋转60°得到线段PQ，连接D′Q，请直接写出D'Q2的最小值． 12．△ABC为等边三角形，△BDE为等腰三角形，其中DB＝DE． （1）如图1，连接AD，若A、D、E三点共线，且∠BDE＝60°，求∠AEC的度数； （2）如图2，连接CE，点M为线段CE的中点，且∠BDE＝120°，用等式表示线段AM与DM之间的数量关系，并证明； （3）如图3，点P是△ABC外一点，且∠APC＝120°，将△ABC沿着AC翻折得到△AB'C，连接AP、CP、B′P，点Q为线段AP的中点，连接B′Q．若AC＝3，当线段B′Q的长度取得最小值时，请直接写出此时△AB'Q的面积． 题组三 勾股定理的应用--全等证明（其他） 13．在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E是线段AC上一点，点F是BC上的一点，连接BE、AF，直线AF交直线BE于点G． （1）如图1，点F在线段BC延长线上，若AB＝BG，AC⊥BG，证明∠CFG＝45°； （2）如图2，点F在线段BC上，连接GD并延长至点H，满足DH＝DG，连接BH，若∠AEB＝∠AFB＝60°，证明：； （3）如图3，点F在线段BC延长线上，若AB＝BC＝AC＝6，AD＝FD，点Q为AD上一点，AQ＝2DQ，连接FQ，点I在AF的下方，且AQ＝AI，AQ⊥AI，连接QI，点M为FQ的中点，连接DM，点N为线段DF上一动点，连接MN，将△DMN沿直线MN翻折得到△D′MN，连接QD′，点P为QD′的中点，连接AP，BP．当AP+AI最大时，请直接写出△ABP的面积． 14．在△ABC中，AC＝AB，∠CAB＝120°，点D是边AB上的一动点．F是边CD上的动点．连接AF并延长至点E，交BC于G，连接BE．且∠E+∠BDF＝180°，∠AFC＝60°． （1）如图1，若BC＝6，BE＝4，求CD的长． （2）如图2，若点D是AB的中点，求证：AE＝DF+BF． （3）如图3，在（2）的条件下，将△BDE绕点B顺时针旋转，旋转中的三角形记作△D1BE1，取D1E1的中点为M，连接CM．当CM最大时，将△ADF沿直线CM翻折，得到△A1D1F1，直接写出的值． 15．已知△ABC为等边三角形，点D在CB延长线上，连接AD． （1）如图1，若∠D＝45°，，求CD的长； （2）如图2，以CD为边在△ABC下方构造等边△CDE，连接BE，过点D作DF⊥CE于点F，点G为线段DF上一点，连接AG交DC于点H，若AG＝BE，求证：； （3）如图3，在（1）、（2）的条件下，将CH绕点C逆时针转α°（0＜α＜360）得到线段CK，连接EK，点M是EK的中点，连接DM，请直接写出的最小值的平方． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.6 勾股定理的应用--全等证明（相关）【3大题型】（北师大新版） 题组一 勾股定理的应用--全等证明（手拉手模型） 1 题组二 勾股定理的应用--全等证明（倍长中线） 31 题组三 勾股定理的应用--全等证明（其他） 41 ( 知识导航 ) 知识点 1 勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 【注意】 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边 （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 知识点 2 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。 【注意】 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系: 若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 ； 若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形； 若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形。 题组一 勾股定理的应用--全等证明（手拉手模型） 1．如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，连接BD，E是BC边上一点，连接AE交BD于点F． （1）如图1，连接AC，若AB＝AE＝6，BC：CE＝5：2，求△ACE的面积； （2）如图2，延长AE至点G，连接AG、DG，点H在BD上，且BF＝DH，AF＝AH，过A作AM⊥DG于点M．若∠ABG+∠ADG＝180°，求证：BG+GD＝AG． 【解答】解：（1）过A点作AM⊥BE于点M， ∵AB＝AE＝6， ∴BM＝ME＝， ∵∠ABC＝60°， ∴∠BAM＝30°， ∴， ∴， ∵BC：CE＝5：2， ∴CE＝， ∴； （2）∵AF＝AH， ∴∠AFH＝∠AHF， ∴∠AFB＝∠AHD， ∵BF＝DH， ∴△ABF≌△ADH（SAS）， ∴AB＝AD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ABC＝60°， ∴∠BAD＝120°， 将△ABG绕点A逆时针旋转120°，得△ADG′，则∠DAG′＝∠BAG，∠ADG′＝∠ABG，BG＝DG′，AG＝AG′， ∵∠ABG+∠ADG＝180°， ∴∠ADG′+∠ADG＝180°， ∴G、D、G′三点共线， ∴GG′＝GD+DG′＝DG+BG， ∵∠GAD+∠DAG′＝∠GAD+∠BAG， ∴∠GAG′＝∠BAD＝120°， ∴∠AGG′＝∠AG′G＝30°， ∵AM⊥GG′， ∴GM＝G′M，AM＝， ∴GM＝， ∴， ∴BG+GD＝AG． 2．如图，已知等腰Rt△ABC，∠ACB＝90°，CA＝CB，以BC为边向外作等边△CBD，连接AD，过点C作∠ACB的角平分线与AD交于点E，连接BE． （1）若AE＝2，求CE的长度； （2）以AB为边向下作△AFB，∠AFB＝60°，连接FE，求证：FA+FB＝FE． 【解答】解：（1）延长CE交AB于G， ∵△BAC是等腰直角三角形，CE平分∠ACB， ∴CG⊥AB， ∴∠AGC＝90°， ∵CA＝CB，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝45°， ∴△CAG是等腰直角三角形， ∵△BCD是等边三角形， ∴BC＝CD＝AC，∠BCD＝60°， ∴∠CAD＝∠CDA， ∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝150°， ∴∠CAD＝∠CDA＝15°， ∴∠EAB＝∠CAB﹣∠CAD＝30°， 在Rt△AEG中，∠EAG＝30°，AE＝2， ∴AG＝，EG＝1， ∵CG＝AG＝， ∴CE＝CG﹣EG＝﹣1． （2）延长FB到H，使得BH＝AF，连接EH．作EI⊥BF于I． 由（1）可知：AC＝BC，CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠BCE， ∵CE＝CE， ∴△ACE≌△BCE， ∴AE＝BE， ∴∠EAB＝∠EBA＝30°， 在△AFB中，∠AFB＝60°， ∴∠FAB+∠FBA＝120°， ∴∠FAE＝∠EAB+∠FAB＝30°+∠FAB， ∠EBH＝180°﹣∠EBA﹣∠ABF＝150°﹣（120°﹣∠FAB）＝30°+∠FAB， ∴∠EBH＝∠FAE， ∴△AFE≌△BHE， ∴∠AFE＝∠BHE，EF＝EH， ∴∠EFB＝∠EHB＝∠AFE＝30°， ∵EI⊥FH， ∴EI＝IH， 在Rt△FEI中，∠EFI＝30°， ∴FI＝FE， ∴FH＝BH+FB＝FE， ∴FA+FB＝FE． 3．如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝30°，AC＝AD，AF⊥CD，CM⊥AN，BN⊥AN，点E在AN上，且∠CEM＝30°． （1）若AF＝3，求AB的长； （2）求证：2CM+BN＝AE． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠ABC＝∠D＝30°，AD＝BC， ∵∠D＝30°，AC＝AD，AF⊥CD， ∴DF＝CF＝AF＝3， ∴AB＝CD＝2DF＝6； （2）证明：在AM上截取MG＝ME，连接CG，如图： ∵CM⊥AN， ∴CG＝CE， ∴∠CGE＝∠CEM＝30°， ∴∠AGC＝150°，MG＝ME＝CM．∴GE＝2CM， ∵AC＝AD， ∴AC＝BC， ∴∠BAC＝∠ABC＝30°，∠ACB＝120° ∵∠CEM＝∠ABC， ∴A、B、E、C四点共圆， ∴∠AEB＝∠ACB＝120°，∠CAG＝∠CBE， ∴∠BEC＝∠CEM+∠AEB＝150°＝∠AGC， 在△ACG和△BCE中，， ∴△ACG≌△BCE（AAS）， ∴AG＝BE， ∵∠BEN＝∠BAE+∠ABE＝∠BAE+∠CBE+∠ABC＝∠BAC+∠ABC＝60°， ∵BN⊥AN， ∴∠EBN＝30°， ∴BE＝2EN，BN＝EN， ∴BE＝2EN＝BN， ∵GE+AG＝AE， ∴2CM+BN＝AE． 4．在▱ABCD中，AC是其对角线． （1）如图1，以AC为腰作等腰△ACE，且AE⊥BC于点F．若AC平分∠EAD，∠B＝30°，，求线段EF的长； （2）如图2，点M为线段AC的中点，将线段AM绕点A顺时针旋转60°得线段AH．连接MH交BC于点Q．点G为BC的中点，连接AG、HG、GM、HC，若∠GMQ＝∠HCQ，求证：； （3）如图3，AB＝BC，∠ABC＝30°，．点P是线段AB上动点，点R是线段BC上动点，且满足，以PR为边向右侧作等边△PRT．把线段AC绕着点A逆时针旋转90°得AC′，直接写出线段TC′的最小值． 【解答】解：（1）如图所示，过点C作CZ⊥AD交AD于点Z， ∵△ACE是等腰三角形， ∴CA＝AE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∵AE⊥BC， ∴AE⊥AD， 又∵CZ⊥AD， ∴四边形AFCZ是矩形， ∵AC平分∠EAD， ∴∠EAC＝∠DAC＝45°， ∴∠ACZ＝45°，则AZ＝CZ， ∴四边形AFCZ是正方形， 设ZA＝x，则ZC＝x， ∵∠B＝30°，AD∥BC，AB∥CD， ∴∠D＝180°﹣∠BAD＝∠B＝30°， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图所示，将△HGM绕H点逆时针旋转60°得到△HNA， ∵将线段AM绕点A顺时针旋转60°得线段AH， ∴△AHM是等边三角形，则∠HAM＝∠AMH＝60°， ∴AM＝MH， ∵M是AC的中点， ∴MC＝AM＝MH， ∴， ∴∠AHC＝90°， ∵∠GMQ＝∠HCQ，设∠GMQ＝∠HCQ＝α， ∴∠MQC＝∠QHC+∠QCH＝30°+α，∠MQC＝∠HQG＝∠GMQ+∠MGQ， ∴∠MGQ＝30°， 又∵G是BC的中点， ∴MG∥AB， ∴∠B＝∠MGQ＝30°， 将△HGM绕H点逆时针旋转60°得到△HNA， 则∠NAH＝∠GMH＝α， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB＝∠AMH﹣∠MQC＝30°﹣α， ∴∠DAN＝30°﹣α+60°+α＝90°， ∴AN⊥AD， ∵AD∥BC， ∴AN⊥BC， ∴， ∴， 连接MN，如图， ∵Rt△ANC，Rt△AHC中，M是AC的中点， ∴， ∴∠MAN＝∠MNA＝60°+α，∠MNC＝∠MCN＝30°﹣α， 又∠NMG＝∠MGC﹣∠MNC＝30°﹣（30°﹣α）＝α＝∠HMG， 在△NMG，△HMG中， ， ∴△NMG≌△HMG（SAS）， ∴NG＝HG， ∴， ∴； （3）如图所示，在BA上取点J，使得RJ＝BR， ∵∠B＝30°，RJ＝BR， ∴∠BRJ＝120°， 过点R作RE⊥AB于点E，则BE＝EJ，，， ∴， ∴， ∵， ∴BJ＝AP， 取JR的中点F，连接FT，TB，TR， ∵JR＝2ER， ∴RF＝ER， 设∠BPR＝α， ∵∠B＝30°， ∴∠PRC＝30°+α， ∵△PRT是等边三角形， ∴∠PRT＝60°， ∵∠CRT＝∠PRT﹣∠PRC＝60°﹣（30°+α）＝30°﹣α， ∴∠JRT＝∠JRC+∠CRT＝60°+30°﹣α＝90°﹣α°， ∴∠RTF＝90°﹣∠JRT＝α＝∠EPR， ∴∠ERP＝∠FRT， 在△PRE，△TRF中， ， ∴△PRE≌△TRF（AAS）， ∴∠TFR＝∠PER＝90°， ∴TF垂直平分JR， ∴TJ＝TR， 又∵TP＝TR， ∴TJ＝TP，则∠TPJ＝∠TJP， ∴∠TPA＝∠TJB， 又AP＝BJ， ∴△TJB≌△TPA（SAS）， ∴TB＝TA， ∴T在AB的垂直平分线上运动， ∵线段AC绕着点A逆时针旋转90°得AC′， ∴∠C′AC＝90°， ∵BA＝BC，∠B＝30°， ∴DA＝DC，∠D＝30°， ∴， ∴∠C′AS＝15°， 又∠BAL＝90°﹣∠B＝60°， ∴∠CAL＝15°， 作∠ABC的平分线BQ交AB的垂直平分线于点Q，连接C′Q交AD于点S，过点A作AL⊥BC于点L，设TQ交AB于点M， ∴， 在△ALC，△BMQ中， ， ∴△ALC≌△BMQ（AAS）， ∴AC＝BQ， ∴BQ＝AC′， 又∵∠QBC＝∠C′AS＝15°，AD∥BC， ∴AC′∥BQ， ∴四边形AC′QB是平行四边形， ∴AB∥C′Q，AB＝C′Q， ∵TQ⊥AB， ∴TQ⊥C′Q， ∴C′Q即为C′T的最小值， 设AL＝x，则AB＝2x，， ∴， 在Rt△ACL中，AL2+LC2＝AC2， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴， 即线段TC′的最小值为． 5．在△ABC中，AB＝AC． （1）如图1，若∠BAC＝120°，AB＝4，以AC为边在AC下方作等边△ACD，AD与BC交于点O，连接BD，求四边形ABDC的面积； （2）如图2，若∠BAC＞120°，以AC为边在AC下方作等边△ACD，连接BD，过点A作AE⊥BC于点E，求证：AE+BD＝CE； （3）如图3，若∠BAC＝135°，在AB下方作等腰Rt△BAF，∠BAF＝90°，AB＝AF，过点F作FG∥BA交BC延长线于点G，T为FG中点，M为BA延长线上一点，将FA绕点F顺时针旋转至FA'，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接MA′，TA′，GA′，AF＝1，AM＝，当MA'+TA'最小时，直接写出△TGA'的面积． 【解答】（1）解：∵△ACD是等边三角形，AB＝AC， ∴AC＝DC＝AB＝4，∠ACD＝60°， ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAC+∠ACD＝180°， ∴AB∥CD， ∴四边形ABDC是平行四边形， ∵AB＝AC， ∴四边形ABDC是菱形， ∴AD⊥BC，AD＝2AO，BC＝2BO，， ∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°， ∴， ∴， ∴； （2）证明：延长EA至点F，使得AF＝BD，连接 CF， ∵△ACD是等边三角形，AB＝AC， ∴AB＝AC＝AD＝CD，∠ADC＝∠ACD＝∠DAC＝60°， ∴设∠ABD＝∠ADB＝α， ∴∠BAD＝180°﹣2α， ∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝180°﹣2α+60°＝240°﹣2α， ∵AE⊥BC， ∴， ∴∠FAC＝180°﹣（120°﹣α）＝60°+α， ∵∠BDC＝∠ADB+∠ADC＝60°+α， ∴∠FAC＝∠BDC， ∵CA＝CD， ∴△CDB≌△CAF（SAS）， ∴∠FCA＝∠BCD， ∴AE+BD＝AE+AF＝EF，∠ACD＝∠FCE＝60°， ∴在Rt△FEC中，∠F＝90°﹣60°＝30°， ∴2CE＝CF， ∴， ∴； （3）解：连接TC并延长交AM于点E，过点A作AM的垂线，垂足为点H，交FG于点Q，连接CF， ∵AB＝AF，AC＝AB， ∴AF＝AC， ∴∠AFC＝∠ACF， ∵∠BAC＝135°，∠BAF＝90°， ∵AB＝AF，AC＝AB， ∴AF＝AC， ∴∠AFC＝∠ACF， ∵∠BAC＝135°，∠BAF＝90°， ∴∠FAC＝135°﹣90°＝45°，∠EAC＝180°﹣135°＝45°， ∴， ∵FG∥AB， ∴∠AFG＝90°，∠CGF＝∠ABC， ∴∠CFT＝90°﹣67.5°＝22.5°， ∵AB＝AC，∠BAC＝135°， ∴， ∴∠CGF＝22.5°， ∴∠CFT＝∠CGF， ∴CF＝CG， ∵T为FG中点， ∴∠CTF＝90°， ∴∠FCT＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∴∠ACE＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°， ∴∠CEA＝90° ∴AE＝CE， ∵AF＝AB＝AC＝1， 在Rt△AEC中，设AE＝CE＝x，由勾股定理得：x2+x2＝1 解得： ∵FG∥AB，∠BAF＝90°，∠CEA＝90°， ∴TE＝AF＝1，，， 在Rt△TEM中，， ∵， ∴∠ETM＝30°， ∴∠A′TG＝60°， ∴∠TA′Q＝30°， 设TQ＝x，则A′T＝2x，则由勾股定理得A′Q＝x， ∵∠BAF＝90°，∠CEA＝90°， ∴AF∥ET， ∴四边形AETF是平行四边形，FT＝AE＝＝TG， 而FA′＝FA＝1， 在Rt△A′FQ中，由勾股定理得：＝1， 解得： （负值已舍去）， ∴A′Q＝， ∴S△TGA′＝TG•AQ＝××＝， 6．如图，△ABC是等边三角形，点D是平面内一点，连接BD，在平面内将线段BD绕点D逆时针方向旋转得到线段DE． （1）如图1，若点D在AB上，将BD绕点D逆时针方向旋转150°得到线段ED，此时点E正好落在AC上，G是BC延长线上一点，连接DG交AC于点F，若DF＝GF，AD＝6，求EF的长； （2）如图2，将BD绕点D逆时针方向旋转120°，连接AE、DC，点H是AE中点，连接CH交DE于点Q，连接DH，∠HDE＝∠CDE． ①求证：； ②如图3，点M是BD中点，连接AM，将△ABM沿AB翻折至△ABN，当点N到直线AB的距离最大时，请直接写出的值． 【解答】（1）解：如图1中，过点D作DT∥AC交BC于点T． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°， ∵DT∥AC， ∴∠DTB＝∠ACB＝60°， ∴∠BDT＝∠B＝∠DTB＝60°， ∴△BDT是等边三角形， ∵∠BDE＝150°， ∴∠ADE＝30°， ∴∠AED＝90°， ∴AD＝2AE， ∵AD＝6， ∴AE＝3，DE＝DB＝DT＝＝3， ∴AC＝AB＝6+3， ∵FC∥DT，DF＝FG， ∴CT＝CG， ∴CF＝DT＝， ∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝6+3﹣3﹣＝3+； 答：EF的长为3+； （2）①证明：如图2中，延长DH到点P，使得HP＝DH，连接AP，CP，PE，AD，延长BD交AC于点O，交AP于点F． ∵AH＝HE，DH＝HP， ∴四边形ADEP是平行四边形， ∴AP＝DE，AP∥AP， ∴∠AFD＝∠FDE＝180°﹣120°＝60°， ∵∠AOF＝∠COB， ∴∠AFO＝∠ACB＝60°， ∴∠PAC＝∠DBC， ∵BC＝CA，DB＝DE＝AP， ∴△BCD≌△ACP（SAS）， ∴∠BCD＝∠ACP，CD＝CP， ∴∠DCP＝∠BCA＝60°， ∴△DCP是等边三角形， ∴∠CDP＝60°， ∵∠PDE＝∠CDE， ∴∠PDE＝∠CDE＝30°， ∵DH＝HP， ∴CH⊥DP，∠DCH＝∠PCH＝30°， ∴∠QDC＝∠QCD＝30°， ∴DQ＝CQ， ∵DH＝DQ， ∴DH＝CQ； ②解：如图3中，取BC的中点Q，连接MQ． 由①可知，∠CDE＝30°， ∵∠BDE＝120°， ∴∠BDC＝90°， ∴点D在BC为直径的圆上运动， ∵BM＝DM，BQ＝CQ， ∴MQ∥CD， ∴∠BMQ＝∠BDC＝90°， ∴点M在BQ为直径的⊙O上运动， 作弦BR的垂直平分线交⊙O于点P，垂足为F， 当点M运动到与点P重合时，点N到AB的距离最大，此时MN与AB的交点G与F重合（如图4中）， 设BG＝a，则OB＝2BG＝2a，BQ＝2BO＝4a，BC＝2BQ＝8a，OG＝a，PG＝（2+）a， ∴PB2＝BG2+PG2＝BQ2﹣PQ2， ∴PQ2＝8a2﹣4a2， ∵CD＝2PQ， ∴CD2＝32a2+16a2， ∴S△ABC＝×（8a）2＝16a2， 由①可知∠CHD＝90°，∠DCH＝30°， ∴S△CDH＝CD2＝（4﹣6）a2， ∴＝＝． 7．已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AB交BC于点D，AD＝6． （1）如图1，将BD绕点B逆时针旋转得线段BE，且点E在DA的延长线上，求BE的长． （2）如图2，在（1）的条件下，连接CE，F为AB上一点，且满足：∠BEF＝∠AFG，作FG⊥CE于点G，求证：CG＝FG． （3）如图3，在（1）的条件下，P、Q分别为线段BA、EB上的两个动点，且满足BP＝EQ，当PD+QD最小时，M为平面内一动点，将△BEM沿EM翻折得△B′EM，请直接写出PB′的最大值． 【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠C＝∠ABC＝30°， ∵AD⊥AB， ∴∠BAD＝90°， ∴∠ADC＝60°， ∵BE＝BD，点E在DA的延长线上， ∴△BDE是等边三角形， ∴∠DBE＝60°， ∴∠ABC＝， ∴DE＝2AD＝12， ∴BE＝DE＝12； （2）证明：如图1， 作CW⊥ED，交ED的延长线于点W，作FV⊥EB于V， ∵∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝120°﹣90°＝30°，∠ACB＝30°， ∴∠CAD＝∠ACB， ∴AD＝CD， ∵∠CDW＝∠ADB＝60°， ∴DW＝CD，CW＝CD， 设DW＝x，则CD＝2x，CW＝，ED＝4x，则EW＝5x， ∴tan∠CEW＝， ∵∠EFA＝∠BEF+∠ABE， ∴∠EFG+∠AFG＝∠BEF+∠ABE， ∵∠BEF＝∠AFG，∠ABE＝30°， ∴∠EFG＝30°， ∵FG⊥CE， ∴∠FGE＝90°， ∴∠FEG＝60°， ∵∠BED＝60°， ∴∠FEG＝∠BED， ∴∠FEV＝∠CEW， ∴tan∠FEV＝， 设FV＝，EV＝5m，则BV＝FV＝3m， 由BV+EV＝BE＝4x得，8m＝4x， ∴m＝， ∴EV＝5m＝， ∵cos∠FEV＝sin∠CEW， ∴， ∴， ∴， 设EF＝2k，则CE＝k，则FG＝k，CG＝CE﹣EG＝3k， ∴CG＝； （3）解：如图2， 作XE⊥DE，截取EX＝BD＝DE，连接XQ， ∴∠XEQ＝∠XED﹣∠BED＝30°＝∠ABD， ∵EQ＝BP， ∴△AQE≌△DPB（SAS）， ∴XQ＝PD，∠X＝∠BDP， ∴DQ+PD＝DQ+XQ， ∴当点X、Q、D共线时，DQ+XQ最小，即DQ+PD最小，此时∠X＝∠XDE＝45°， ∴∠BDP＝45°， 作PR⊥BD， ∴tan∠BDP＝， 设PR＝DR＝a，则BP＝PR＝a，PD＝a， 由BD＝BR+DR得，a+a＝12， ∴a＝6﹣6， ∴PD＝6﹣6， 由对称性得：PE＝PD＝6， ∵△BEM沿EM翻折得△B′EM， ∴B′E＝BE＝12， ∴点B′在以E为圆心，12为半径圆上运动，连接PE并延长，交⊙E于点B′， 此时PB′最大，此时PB′＝PE+B′E＝12+6． 8．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，过点A作AO⊥BC于点O，点D是BC边上一点，连接AD． （1）如图1，若∠BAD＝15°，，求BD的长； （2）如图2，将线段AD绕着点A逆时针旋转60°到AE，点F为线段CD的中点，连接EF，DE．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接OE，当OE最小时，将△AOE沿着AE翻折得到△AO′E，连接O′C，请直接写出的值． 【解答】（1）解：∵AB＝AC，AO⊥BC， ∴∠BAO＝∠CAO＝， ∵∠BAD＝15°， ∴∠DAO＝∠BAO﹣∠BAD＝45°， ∴OD＝OA＝AD•cos∠DAO＝2， ∴OB＝OA•tan∠BAO＝2•tan60°＝2， ∴BD＝OB﹣OD＝2； （2）如图1， 延长AO至G，使AG＝AB，连接BG，CG，EG，EC，作EH⊥AG于H， ∴∠EFO＝90°， ∵∠BAO＝60°， ∴△ABG是等边三角形， ∴AB＝BG， ∵AO⊥OB， ∴AO＝GO＝AG＝AB， ∵线段AD绕着点A逆时针旋转60°到AE， ∴AE＝AD，∠DAE＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∵∠BAG＝∠DAE＝60°， ∴∠BAD＝∠GAE， ∵AB＝AG，AD＝AE， ∴△BAD≌△GAE（SAS）， ∴∠AGE＝∠ABC＝30°，EG＝BD， ∴GH＝EG•cos∠AGE＝BD•cos30°＝BD， ∵AB＝AC， ∴AG＝AC， ∵∠CAO＝60°， ∴△ACG是等边三角形， ∴∠AGC＝60°， ∴∠AGE＝， ∴GE⊥AC，GE平分AC， ∴AE＝CE， ∵DE＝AE， ∴DE＝CE， ∵F是CD的中点， ∴EF⊥CD， ∴∠EFO＝90°， ∴四边形EFOH是矩形， ∴EF＝OH， ∴OG＝GH+OH， ∴2OG＝2GH+2OH， ∴AG＝BD+2EF， ∴； （3）如图2， 设EO′的延长线交AC于W，作OT∥EW，作TV⊥OA于V，作WR⊥AO′于AO′， 由（2）知：点E在AC的垂直平分线上运动， ∴当OE⊥GE时，OE最小， 不妨设OE＝1，则OA＝OG＝2， ∵EG⊥AC， ∴OE∥AC， ∴∠AEO＝∠EAW，四边形EQTW是平行四边形， ∴TW＝OE＝1，OT＝EW， ∵∠AEO＝∠AEO′， ∴∠AEO′＝∠EAW， ∴AW＝EW， 设AT＝x，则AW＝EW＝OT＝x+1， ∴AV＝AT＝x，TV＝AT＝x， 在Rt△VOT中，由勾股定理得， OV2+VT2＝OT2， ∴（2﹣）2+（x）2＝（x+1）2， ∴x＝， ∴AW＝x+1＝， ∵∠AO′E＝∠AOE＝120°， ∴∠AO′W＝60°， 设RO′＝t，则WO′＝2t，RW＝t， ∴AR＝AO′﹣RO′＝2﹣t， 在Rt△ARW中，由勾股定理得， （2﹣t）2+（）2＝（）2， ∴t1＝，t2＝（舍去）， ∴RW＝＝， ∴sin∠CAO′＝， ∴S△AO′C＝AO′•AC•sin∠CAO′＝×2×4×＝， ∵S△AOE＝OE•AO•sin∠AOE＝1×2×＝， ∴． 9．如图，△ABC中，点D、E分别在BC、AC边上，连接AD，AD＝AB． （1）如图1，连接DE，若DC＝AE＝AD，∠BAD＝60°，AB＝2+2，求DE的长． （2）如图2，AF平分∠DAC交DC于F，∠AFB＝30°，连接FE，∠FEC＝∠ABC．点G为AD延长线上一点，连接GE、GB，∠EGB＝60°．求证：BG+EG＝AG． （3）如图3，在（2）的条件下，AC＝2AB＝，P为平面内一点，AP＝，当 PC﹣2PB最大时，直接写出△APC的面积． 【解答】（1）解：作AN⊥BC，EH⊥BC，垂足分别为N、H， ∵AD＝AB，∠BAD＝60°， ∴△BAD是等边三角形， ∴，∠BDA＝60°，∠DAN＝∠DAB＝30°， ∵DC＝AD， ∴， ∵， ∴ND＝BD＝1+， ∴AN＝＝+3， 在Rt△ANC中，AC＝2AN＝2+6， ∴CE＝AC﹣AE＝4， 在Rt△EHC中，EH＝EC＝2，CH＝＝2， ∴DH＝CD﹣CH＝2， 在Rt△EHD中，； （2）证明：∵AD＝AB， ∴∠ADB＝∠ABD， ∵∠FEC＝∠ABC， ∴∠FEC＝∠ADB＝∠ABD，∠FEA＝180°﹣∠FEC＝180°﹣∠ADB＝∠ADF， ∵AF平分∠DAC， ∴∠FAE＝∠FAD， ∵AF＝AF， ∴△FAE≌△FAD（AAS）， ∴∠AFE＝∠AFD＝30°，AE＝AD， ∵∠ABD+∠AEF＝∠FEC+∠AEF＝180°， ∴∠BAE＝180°﹣∠BFE＝120°， 延长BG到M，使BM＝EG，连接AM， ∵∠BAE＝120°，∠EGB＝60°， ∴∠ABM＝180°﹣∠ABQ＝∠AEG， ∴△ABM≌△AEG（SAS）， ∴AM＝AG，∠BAM＝∠EAG， ∴∠GAM＝∠EAB＝120°， ∴∠M＝∠AGM＝30°， 作AR⊥MG，AN⊥BD，垂足分别为R、N， ∴GM＝2GR，AR＝AG， ∴GR＝＝AG， ∴， ∴； （3）解：作∠PAM＝∠BAC＝120°，使 ，连接CM，PM， ∴∠BAP＝∠CAM， ∵， ∴△BAP∽△CAM， ∴， ∴CM＝2PB， ∵PC≤CM+PM， ∴PC﹣2PB≤PM， 当P、M、C共线时，PC﹣2PB有最大值，最大值为PM的长， 作PI⊥MA交MA的延长线于点I，作AJ⊥BC，垂足为J， 则∠API＝30°， ∴，， ∴MI＝， ∴PM＝＝7， ∵， ∴， 在Rt△APJ中，， 在Rt△ACJ中，， ∴， ∴， 题组二 勾股定理的应用--全等证明（倍长中线） 10．如图1，等腰△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝30°，AB＝AC＝2，D是BC边上一动点，以AD为边在AD的右侧作一个等边△ADE． （1）当AD与BC所夹锐角为45°时，求CD的长． （2）如图2，连接BE，取BE中点F，再连接AF、DF． ①求证：； ②在射线AC上另有一动点P，且AP＝CD，连接BP．当AD+BP的值最小时，求出此时四边形ACDF的面积． 【解答】（1）解：如图1﹣1，作AH⊥BC于H， 当点D在BH的延长线上时， ∴∠AHC＝90°， ∵∠C＝30°，AC＝2， ∴AH＝AC＝1，CH＝AC•cosC＝2cos30°＝， ∵∠ADB＝45°，∠AHC＝90°， ∴∠DAH＝∠ADB＝45°， ∴DH＝AH＝1， ∴CD＝CH﹣DH＝﹣1， 如图1﹣2， 当点D在BH上时， 由上知：DH＝1， ∴CD＝DH+CH＝， 总上所述：CD＝或； （2）①证明：如图2， 过点D作DK⊥AC于K，延长AF到M，使得FM＝AF，连接BM，BM和AD所在的直线交于点N， ∵△ADE是等边三角形， ∴AD＝AE，∠DAE＝60°， ∵点F是BE的中点， ∴EF＝BF， 在△AFE和△MFB中， ， ∴△AFE≌△MFB（SAS）， ∴BM＝AE＝AD，∠MBF＝∠AEF， ∴BM∥AE， ∴∠N＝∠DAE＝60°， ∴∠ABM+∠BAD＝120°， ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAD+∠CAD＝120°， ∴∠ABM＝∠DAC， 在△ABM和△CAD中， ， ∴△ABM≌△CAD（SAS）， ∴∠BAM＝∠C＝30°，AM＝CD， ∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAM＝120°﹣30°＝90°， ∵DK⊥AC， ∴∠CKD＝90°＝∠CAF， ∴FA∥DK， ∵∠C＝30°， ∴CD＝2DK， ∵AM＝2FA， ∴FA＝DK， ∴四边形AFDK是平行四边形， ∵∠FAK＝90°， ∴四边形AFDK是矩形， ∴DF＝AK， ∵CK＝DK， ∴AC＝AK+CK＝DF+DK＝DF+AF， ∴AB＝AF+DF． ②解：如图3， 作∠BCG＝120°，且使CG＝AB＝AC，连接DG，AG，AG交BC于D′，作AH⊥BC于H， ∴∠BAC＝∠BCG，∠CAG＝∠AGC＝15°， ∵AP＝CD， ∴△ABP≌△CGD（SAS）， ∴DG＝BP， ∴AD+BP＝AD+DG， ∴当A、D、G共线时，AD+DG最小，即AD+BP最小，即D在D′处， 由（1）知AH＝1，CH＝， ∵AC＝AG，∠ACG＝∠ACB+∠BCG＝150°， ∴∠CAG＝∠AGC＝15°， ∴∠AD′B＝∠ACB+∠CAG＝45°， ∴HD′＝， ∴CD′＝CH﹣HD′＝， ∴S△ACD′＝CD′•AH＝， 即：S△ACD＝， 如图4， 由①知：DF∥AC，四边形AFDK是矩形， ∴S△ADF＝S△ADK， ∵S△CDK＝＝（）2＝， ∴S△ADF＝S△ADK＝S△ACD﹣S△CDK＝， ∴S四边形ACDF＝S△ACD+S△ADF＝． 11．如图，在等边△ABC中，D为△ABC内一点，连接AD、BD、CD，∠ADB＝90°，E为BD上一点，连接AE． （1）如图1，若AE平分∠BAD，AD＝2，BC＝3，求BE的长； （2）如图2，若∠BAE＝∠ACD，且E为BD的中点，求证：AD＝DE； （3）如图3，若AB＝4，将△ADC沿AC翻折得到△AD'C，F为BC上一点，BF＝3CF，连接D′F，当D′F最小时，过D′作AD′的垂线，P是垂线上一动点，连接AP，将线段PA绕点P逆时针旋转60°得到线段PQ，连接D′Q，请直接写出D'Q2的最小值． 【解答】（1）解：过点E作EH⊥AB于点H，如图1， 则∠AHE＝90°， ∵∠ADB＝90°，即∠ADE＝90°， ∴∠ADE＝∠AHE， ∵AE平分∠BAD， ∴∠EAD＝∠EAH， ∵AE＝AE， ∴△ADE≌△AHE（AAS）， ∴AD＝AH＝2， 又∵AB＝BC＝3， ∴BH＝AB﹣AH＝3﹣2＝1， 在Rt△ABD中，BD＝＝＝， 设BE＝x，则DE＝EH＝﹣x， 在Rt△BHE中，BE2＝BH2+EH2， ∴x2＝12+（﹣x）2， 解得：x＝， ∴BE＝； （2）证明：在AE上截取AQ＝CD，连接BQ，延长AE至P点K，使EP＝AE，连接BP，如图2， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB，∠BAC＝60°， 在△CAD和△ABQ中， ， ∴△CAD≌△ABQ（SAS）， ∴∠CAD＝∠ABQ，BQ＝AD， ∵E为BD的中点， ∴BE＝DE， 在△BPE和△DAE中， ， ∴△BPE≌△DAE（SAS）， ∴BP＝AD，∠P＝∠EAD， ∴BP＝BQ， ∴∠P＝∠BQP， ∴∠BQP＝∠EAD， ∵∠BQP＝∠ABQ+∠BAQ＝∠CAD+∠BAQ， ∴∠EAD＝∠CAD+∠BAQ＝∠BAC＝30°， 又∵∠ADE＝90°， ∴＝tan∠EAD＝tan30°＝， ∴AD＝DE； （3）解：∵∠ADB＝90°， ∴点D的运动轨迹是以AB为直径的⊙O，经过AC、BC中点，且以AC、BC中点为端点的弧，将△ABC沿AC翻折到△AB′C，则D′点的运动轨迹是以AB′为直径的⊙O′，经过AC、B′C中点，且以AC、B′C中点为端点的弧，连接O′F，交GN于点D′，此时D′F最小，分别取∠AP1D′＝30°和∠AP2D′＝60°，相应可得Q1和Q2，则Q点的运动轨迹为直线Q1Q2，过点D′作直线Q1Q2的垂线，垂足为T，此时D′Q2的值最小，等于D′T2，如图， ∵BF＝3CF，BC＝AB＝4， ∴BF＝3，CF＝1， ∵O′是AB′的中点， ∴O′D′＝AB′＝2， 连接O′C，则∠O′CF＝90°，O′C＝2， ∴O′F＝＝＝， 过点D′作D′⊥AB′于点H，则∠D′HA＝∠D′HO′＝90°， ∵∠B′AC＝∠ACB＝60°， ∴AB′∥BC， ∴∠D′O′H＝∠O′FC， ∴△D′O′H∽△O′FC， ∴＝＝，即＝＝， ∴D′H＝，O′H＝， ∴AH＝AO′﹣O′H＝2﹣＝， 在Rt△AD′H中，AD′2＝AH2+D′H2＝（）2+（）2＝， ∵线段P1A绕点P1逆时针旋转60°得到线段P1Q1， ∴△AP1Q1是等边三角形， ∵∠AD′B＝90°， ∴P1D′⊥AQ1， ∴D′Q1＝AD′， 在Rt△Q1D′T中，∠D′Q1T＝30°， ∴DT＝D′Q1＝AD′， ∴D′Q2的最小值＝D′T2＝AD′2＝×＝． 12．△ABC为等边三角形，△BDE为等腰三角形，其中DB＝DE． （1）如图1，连接AD，若A、D、E三点共线，且∠BDE＝60°，求∠AEC的度数； （2）如图2，连接CE，点M为线段CE的中点，且∠BDE＝120°，用等式表示线段AM与DM之间的数量关系，并证明； （3）如图3，点P是△ABC外一点，且∠APC＝120°，将△ABC沿着AC翻折得到△AB'C，连接AP、CP、B′P，点Q为线段AP的中点，连接B′Q．若AC＝3，当线段B′Q的长度取得最小值时，请直接写出此时△AB'Q的面积． 【解答】解：（1）∵△BDE为等腰三角形，且∠BDE＝60°， ∴△BDE是等边三角形， ∴∠DBE＝∠DEB＝60°，BD＝BE， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝CB，∠ABC＝60°， ∴∠ABD＝∠CBE＝60°﹣∠CBD， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴∠ADB＝∠CEB， ∵A、D、E三点共线，∠BDE＝60°， ∴∠ADB＝∠CEB＝120°， ∴∠AEC＝∠CEB﹣∠DEB＝60°． （2）AM＝DM，理由如下， 如图，延长DM到N，使MN＝DM，连接AN、CN， 延长AC、ED交于点T， ∵M为CE中点， ∴EM＝CM， ∵DM＝MN，∠DME＝∠NMC， ∴△DEM≌△NCM（SAS）， ∴DE＝NC，∠MDE＝∠MNC， ∴DE∥CN， ∴∠ACN＝∠T， ∵DE＝BD， ∴NC＝BD， ∵∠BDE＝120°， ∴∠TDB＝60°， ∵∠CAB＝60°， ∴∠T＝∠ABD＝∠ACN， ∵AC＝AB， ∴△NCA≌△DBA（SAS）， ∴AN＝AD，∠NAC＝∠DAB， ∴∠NAD＝∠CAB＝60°， ∴△ADN为等边三角形， ∵MN＝DM， ∴AM⊥DN， ∴AM＝DM． （3）解：∵∠APC+∠ABC＝180°，点P是△ABC外一点， ∴A、B、C、P四点共圆， 如图，作四边形ABCP的外接圆⊙O，连接AO并延长交BC于D，连接CO、PO， ∵△ABC为等边三角形， ∴AD⊥BC，，∠CAO＝∠BCO＝30°， ∴， ∴， 如图3，取AO的中点O′，连接QO′， ∴， ∴Q在O为圆心，OA为直径的⊙O上运动， 如图3，连接B'O'，交⊙O'于Q'，此时B'Q'为B′Q的最小值， 由翻折的性质可知，AB'＝3，∠CAB'＝60°， ∴∠OAB'＝90°， 由勾股定理得，， ∴， 如图，过Q'作Q'G⊥AB'于G， ∴∠B'GQ'＝90°＝∠B'AO'， 又∵∠GB'Q'＝∠AB'O'， ∴△GB'Q'∽△AB′O'， ∴， 即 ，解得，， ∴， ∴此时△AB'Q的面积为 ． 题组三 勾股定理的应用--全等证明（其他） 13．在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E是线段AC上一点，点F是BC上的一点，连接BE、AF，直线AF交直线BE于点G． （1）如图1，点F在线段BC延长线上，若AB＝BG，AC⊥BG，证明∠CFG＝45°； （2）如图2，点F在线段BC上，连接GD并延长至点H，满足DH＝DG，连接BH，若∠AEB＝∠AFB＝60°，证明：； （3）如图3，点F在线段BC延长线上，若AB＝BC＝AC＝6，AD＝FD，点Q为AD上一点，AQ＝2DQ，连接FQ，点I在AF的下方，且AQ＝AI，AQ⊥AI，连接QI，点M为FQ的中点，连接DM，点N为线段DF上一动点，连接MN，将△DMN沿直线MN翻折得到△D′MN，连接QD′，点P为QD′的中点，连接AP，BP．当AP+AI最大时，请直接写出△ABP的面积． 【解答】（1）证明：设∠BAD＝α， ∵AB＝AC，AD是BC上的高， ∴∠CAD＝∠BAD＝α，∠ABD＝90°﹣α，∠CAD+∠ACB＝90°， ∵BG⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠CBE+∠ACB＝90°， ∴∠CBE＝∠CAD＝α， ∴∠BAG＝∠ABD﹣∠CBE＝90°﹣2α， ∵AB＝BG， ∴∠BAG＝∠BGA＝＝45°+α， ∴∠CAF＝∠BAG﹣∠BAC＝（45°+α）﹣2α＝45°﹣α， ∴∠F＝∠ACB﹣∠CAF＝（90°﹣α）﹣（45°﹣α）＝45°； （2）证明：如图2，连接CG，作AM⊥CG，交CG的延长线于点M，作AK⊥AG于H，延 长AF至K，使 FN＝CF，连接CN， ∴BK＝BF•sin∠AFB＝BFsin60°＝BF， ∵AB＝AC，AD⊥AC， ∴BD＝CD， ∵DG＝DH，∠BDH＝∠CDG， ∴△CDG≌△BDH（SAS）， ∴CG＝BH， 设∠ABC＝∠ACB＝α， ∴∠BAC＝180°﹣2α，∠CAF＝∠AFB﹣∠ACB﹣60°﹣α， ∴∠AGB＝∠CAF+∠AEB＝（60°﹣α）+60°＝120°﹣α，∠BAF＝∠BAC﹣∠CAF＝（180°﹣2α）﹣（60°﹣α）＝120°﹣α， ∴∠BAF＝∠AGB， ∴AC＝AB＝BG， ∵∠CFN＝∠AFB＝60°， ∴△CFN是等边三角形， ∴∠N＝60°，CN＝CF， ∴∠N＝∠AFB∠AFB＝∠AEB＝60°，∠AGE＝∠BGF， ∴∠CAF＝∠GBF， ∴△ACN≌△BGF（AAS）， ∴FG＝CN＝CF， ∴∠FGC＝∠CFG＝＝30°， ∴∠ACM＝∠ACB﹣∠FCG＝α﹣30°，∠AGM＝∠FGC＝30°， ∴∠CAM＝90°﹣∠ACM÷90°﹣（α﹣30°）＝120°﹣α，MG＝AG•cos∠AGM＝AG， ∴∠BAF＝∠CAM， ∵∠AKB＝∠M＝90°， ∴△BAK≌△CAM（AAS）， ∴BK＝CM＝CG+GM， ∴BF＝AG+BH， ∴BF＝AG+2BH； （3）解：S△ABP＝3+3．理由如下： 如图3， ∵AB＝BC＝AC＝6，AD⊥BC， ∴AD＝AB＝3， ∵AQ＝2DQ， ∴AI＝AQ＝2，DQ＝，DF＝AD＝3， ∴FQ＝＝， ∴D'M＝DM＝FQ＝， 取MQ的中点O，连接OP， ∵点P是DD′的中点， ∴OP＝D'M＝， ∴点P在以点O为圆心，为半径的圆上运动， ∴点A，O，P共线时，AP最大，此时AP+AI最大， ∴OQ＝FQ＝， ∴OP＝OQ， ∴点P在BC上，且DP＝DQ＝， ∴S△ABP＝BP•AD＝＝3+3． 14．在△ABC中，AC＝AB，∠CAB＝120°，点D是边AB上的一动点．F是边CD上的动点．连接AF并延长至点E，交BC于G，连接BE．且∠E+∠BDF＝180°，∠AFC＝60°． （1）如图1，若BC＝6，BE＝4，求CD的长． （2）如图2，若点D是AB的中点，求证：AE＝DF+BF． （3）如图3，在（2）的条件下，将△BDE绕点B顺时针旋转，旋转中的三角形记作△D1BE1，取D1E1的中点为M，连接CM．当CM最大时，将△ADF沿直线CM翻折，得到△A1D1F1，直接写出的值． 【解答】（1）解：如图1， 作AT⊥BC于T，作AR⊥BF交BE的延长线于R， ∵AC＝AB， ∴∠CAT＝∠BAT＝，BT＝， ∴AB＝＝＝6， 在四边形BEFD中，∵∠E+∠BDF＝180°，∠DFE＝∠AFC＝60°， ∴∠ABE+DFE＝180°， ∴∠ABE＝120°， 在Rt△ABR中，∠ABR＝180°﹣∠ABE＝60°，AB＝6， ∴BR＝6•cos60°＝3，AR＝6•sin60°＝6×＝3， ∴ER＝BE+BR＝7， ∴AE＝＝＝2， 在△ACD和△BAE中， ， ∴△ACD≌△BAE（AAS）， ∴CD＝AE＝2； （2）证明：如图2， 作AQ⊥CD于Q，作BH⊥AE于H，连接DE，作DR⊥CA交CA的延长线于R， 由（1）知：△ACD≌△BAE， ∴BE＝AD，∠BAE＝∠ACD，CD＝AE， ∵点D是AB的中点， ∴AD＝BD， ∴BE＝BD， ∴∠BDE＝∠BED， ∵∠E+∠BDF＝180°，∠AFC＝60°， ∴点B、E、F、D共圆， ∴∠BFD＝∠BED，∠BFE＝∠BDE， ∴∠BFD＝∠BFE＝， ∴FH＝BF•cos∠BFE＝BF•cos30°＝BF，BH＝， 在Rt△AFQ中， QF＝AF•cos∠AFC＝AF•cos60°＝， 在△ACQ和△BAH中， ， ∴ACQ≌△BAH（AAS）， ∴CQ＝AH， ∴CF﹣QF＝FH+AF， ∴AF﹣AF＝BF+AF， ∴CF＝+， 设AD＝x，则AC＝AB＝2AD＝2x， 在Rt△ADR中，∠DAR＝180°﹣∠BAC＝60°， ∴AR＝＝，DR＝， ∴CR＝AC+AR＝2x+＝， ∴tan∠BAE＝tan∠ACD＝＝， ∴＝， ∴＝， ∴AH＝BF， ∴AF+FH＝BF， ∴AF+＝， ∴AF＝， ∴CF＝＝＝， ∵AE＝CD＝DF+CF， ∴AE＝DF+； （3）解：如图3， 由（2）得：BD＝BE， ∵点M是DE的中点， ∴BM⊥DE， ∵∠BDE＝30°， ∴BM＝BD•cos30°＝BD， ∴点M在以B为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点M运动到CB的延长线交⊙B的N处时，CM最大， 设BE＝BD＝x， ∴AB＝2x， ∴BN＝x， ∵∠ABE＝120°，∠ABC＝30°， ∴∠EBN＝∠CBE＝90°， ∴EN2＝BE2+BN2＝x2+（x）2＝， 在Rt△ABH中，AB＝2x，∠ABC＝30°， ∴AH＝，BH＝， ∴NH＝BN+BH＝+， ∴A1N2＝AN2＝x2+（）2＝ ∴＝＝． 15．已知△ABC为等边三角形，点D在CB延长线上，连接AD． （1）如图1，若∠D＝45°，，求CD的长； （2）如图2，以CD为边在△ABC下方构造等边△CDE，连接BE，过点D作DF⊥CE于点F，点G为线段DF上一点，连接AG交DC于点H，若AG＝BE，求证：； （3）如图3，在（1）、（2）的条件下，将CH绕点C逆时针转α°（0＜α＜360）得到线段CK，连接EK，点M是EK的中点，连接DM，请直接写出的最小值的平方． 【解答】（1）解：如图1，过点A作AE⊥CD， ∵△ABC为等边三角形，， ∴∠BAC＝60°，， ∴． 由勾股定理得，， ∵∠D＝45°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴CD的长 ； （2）证明：∵等边△ABC、△CDE，DF⊥CE， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ABC＝60°＝∠DCE，∠CDF＝30°， ∵AC＝BC，∠ACD＝60°＝∠BCE，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE＝AG， 如图2，延长AB交DF于P，连接BG并延长交CE于Q， ∴∠DAB+∠ADB＝∠ABC＝60°， 又DF⊥CE，∠DCF＝60°， ∴∠CDF＝30°， ∴∠APD＝180°﹣（∠DAB+∠ADB）﹣∠CDF＝90°，即AP⊥DG， ∵AD＝AG， ∴AP垂直平分DG， ∴BD＝BG， ∴∠BGD＝∠BDG＝30°， ∴∠CBQ＝∠BGD+∠BDG＝60°＝∠DCF， ∴△BCQ是等边三角形， ∴∠BQC＝60°，CQ＝BC＝AC， ∵∠QGF＝∠BGD＝30°， ∴GQ＝2QF， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 即； （3）解：由题意知，∠ADC＝45°，，，， 由（2）可得，∠GAB＝∠DAB＝60°﹣∠ADC＝15°， ∴∠AHC＝∠GAB+∠DAB+∠ADC＝75°， 如图3，作HR⊥AC于R， ∴∠CHR＝30°，∠AHR＝45°， ∴∠HAR＝45°＝∠AHR， ∴，HR＝AR， 由勾股定理得＝， ∴＝， 解得CH＝4， 由旋转的性质可得，CK＝CH＝4， ∵等边△CDE，DF⊥CE， ∴F为CE的中点，， 如图3，连接FM， ∴， ∴M在以F为圆心，2为半径的圆上运动， 如图3，在FE上取点T，使∠FMT＝∠FEM，连接DT， 又∵∠MFT＝∠EFM， ∴△MFT﹣△EFM， ∴，即， 解得，，， ∴， ∴当D、M、T三点共线时， 最小，为DT， 由勾股定理得，， ∴， ∴ 的最小值的平方为． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$