专题1.5 勾股定理的应用-全等证明（根号2相关）【3大题型】-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题分类必刷清单（北师大版）

专题1.5 勾股定理的应用--全等证明（相关）【3大题型】（北师大新版） 题组一 勾股定理的应用--全等证明（倍长中线） 1 题组二 勾股定理的应用--全等证明（手拉手模型） 3 题组三 勾股定理的应用--全等证明（其他） 7 ( 知识导航 ) 知识点 1 勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 【注意】 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边 （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 知识点 2 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。 【注意】 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系: 若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 ； 若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形； 若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形。 题组一 勾股定理的应用--全等证明（倍长中线） 1．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将BC绕点B顺时针旋转一定度数得线段BD，连接AD，CD，将CD绕点D逆时针旋转90°得线段DE，连接CE、BE． （1）如图1，若∠BAD＝20°，求∠EBD的度数； （2）如图2，若点D在△ACB的内部，CE恰好经过BD的中点F，求证：； （3）若AC＝2，点D在△ACB的外部，当线段CE取得最大值时，在平面内将△ABD沿直线CD翻折得到△A′BD，其中A′D交CE于点F，连接AF，BF，请直接写出△ABF的面积． 2．在△ABC中，点D在AB上，连接CD，若∠ADC＝45°，∠ABC＝2∠ACD，将AC绕着点A顺时针旋转α度得到线段AE． （1）如图1，点E在线段AB上，若∠ABC＝18°，求∠DCE的度数； （2）如图2，点E在线段CD的延长线上，连接EA、EB，点F在BC上，连接AF，若∠EAB＝∠CEB，CF＝AB，求证：； （3）如图3，若α＝90°，∠ACD＝15°，AE与BC交于点O，点P为线段CE上一动点，连接OP，将△EOP沿OP所在直线翻折到△ABC所在平面内得到△MOP，连接MB，在△ABC所在平面内将点M绕着点B逆时针旋转90°得到点N，连接ON、BN，当ON取得最大值时，求的值． 3．已知等腰Rt△ABC与等腰Rt△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝90°，AD＝4，连接EC，点M为线段EC的中点，连接DM． （1）如图1，当D点恰好为线段AB中点时，求线段DM的长度； （2）当△ADE从图1所示位置绕着点A逆时针旋转一定角度α，使得点E在线段DM上方，到达如图2所示位置时，连接BD，求证：BD＝DM； （3）当△ADE从图1所示位置绕着点A逆时针旋转150°时到达图3所示位置，F为直线AD上一点，连接MF并将线段MF绕点M逆时针旋转90°使得点F落在点N处，连接AN、CN，若EC＝4，求AN+CN的最小值． 题组二 勾股定理的应用--全等证明（手拉手模型） 4．如图，△ABC中，在平面内将线段AC绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，过点D作DE⊥BC，分别交BC、AC于点E、F，连接AE． （1）如图1，若∠EAD＝120°，，．求ED的长度． （2）如图2，若∠ABC+∠EAC＝45°，求证：． （3）如图3，在（2）问的条件下，若∠BAC＝150°，点P在射线BC上运动，当取得最小值为时，在平面内将△APE绕点B逆时针旋转α（0＜α＜180）度得到△A'P'E'，当点P'恰好在线段AB上时，请直接写出△A′PE的面积的值． 5．在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E是对角线AC上一点，点F在BA的延长线上，将EF绕点E逆时针旋转120°得到EM． （1）如图1，若点M恰好落在边BC上，且S菱形ABCD＝18，BM＝2，CE＝3，求EM的长度； （2）如图2，若点M恰好落在边BC上，且∠MEC＝75°，求证：； （3）如图3，若S菱形ABCD＝18，AF＝CE，连接CM，BE，将△CEM沿AC翻折，点M的对应点为点M'，连接AM'，当CM取最小值时，直接写出点D到AM′的距离． 6．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D为BC的中点，E，F分别为AC，AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，连接FG，AG． （1）如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B，若点P为FG的中点，连接PD，求PD的长； （2）如图2，EF的延长线交AB于点M，点N在AC上，∠AGN＝∠AEG且GN＝MF，求证：AM+AF＝AE； （3）如图3，F为线段AD上一动点，E为AC的中点，连接BE，H为直线BC上一动点，连接EH，将△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△B′EH，连接B′G，直接写出线段B′G的长度的最小值． 7．如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，将AC绕点C顺时针旋转α得线段CD，连接AD并延长，过点B作AD的垂线，交AD的延长线于点E． （1）当α＝60°时，求∠BDE的度数； （2）如图2，CE与AB交于点F，CD与AB交于点G，若G恰为AB中点，求证：CF+2DE＝EC； （3）如图3，α＝30°，M是射线CB上的动点，连接DM将DM绕点D逆时针旋转90°得线段DN，P是AB上的动点，AB＝m（m为已知数），求PD+PN的最小值． 8．在△ABC中，AB＝AC，将线段AB绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到线段AD． （1）如图1，连接CD，延长AD交BC延长线于点E，若∠B＝70°，∠DCE＝35°，AE＝5，求BE的长； （2）如图2，连接CD，过点B作BH⊥CD于点H，以AC为边作∠ACG＝∠ACH，且CG＝CH，连接AG交BC延长线于点F，若α＝90°，求证：； （3）如图3，若△ABC为等边三角形，连接BD，K为线段BD上一点，且∠AKD＝60°，M为线段BC上一点，连接MA，将MA绕点M顺时针旋转120°得到线段MN，连接KN、KC．当KN取得最小值时，请直接写出的值． 9．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为线段BC上一点（点D不与B，C重合），连接AD． （1）如图1，∠ADB＝105°，CD＝，求BD的长度； （2）如图2，D为BC中点，E为平面内一点，连接DE，CE，AE，BE，将线段DE绕D顺时针旋转90°得到线段DF，连接AF，∠FAC+∠ECB＝90°，G为线段EC上一点，AG⊥CE，求证：CE＝AF+2AG； （3）如图3，P，H为射线AD上两个点，∠BHA＝90°，AP＝2BH，将△BNP沿直线BP翻折至△BHP所在平面内得到△BKP，直线PK与直线AB交于点T．若，当线段BP取得最小值时，请直接写出△APT的面积． 10．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点E是Rt△ABC内部的一点，连接AE，BE，CE，且∠BEC＝135°，延长AE交BC于点D． （1）如图1，若∠AEB＝90°，EC＝2，求AB的长． （2）如图2，过点A作AF⊥CE交CE的延长线于点F，过点B作BM∥AF交AE于点M，求证：AF+BE＝2BM． （3）如图3，在（1）问的条件下，点H是AB的中点，点O是直线AC上的动点，连接EC，EO，将△EOC沿OE翻折得到△EOC'，连接HC'，DC'，直接写出当HC'+DC'取最小值时sin∠BHC′的值． 题组三 勾股定理的应用--全等证明（其他） 11．如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°．点E在BC上，连接AE，∠AEB＝∠BAC，点F在AD上，点G在AE上，且AG＝AF． （1）如图1，若∠ABC＝45°，AB＝2，∠ACF＝15°，求GE的长度； （2）如图2，若∠ACF+∠CAE＝45°，过点G作GH⊥AC于点H，点O为AC的中点，过点O作OM∥CD交AE于点M，过点A作AN⊥CD于点N，求证：； （3）如图3，若∠ABC＝60°，AB＝2，将△AGF沿直线AE翻折至▱ABCD所在平面内，得到△AGP，点N为AC上一点，且，当取得最小值时，请直接写出△BGP的面积． 12．如图，在正方形ABCD中，将正方形的边AD绕点A顺时针旋转到AE，连接BE、DE，过点A作AF⊥BE于F，交直线DE于P． （1）如图①，若∠DAE＝40°，求∠P的度数； （2）如图②，若90°＜∠DAE＜180°，其它条件不变，试探究线段AP、DP、EP之间的数量关系，并说明理由； （3）继续旋转线段AD，若旋转角180°＜∠DAE＜270°，则线段AP、DP、EP之间的数量关系为　 　（直接写出结果） 13．如图，将△ABC的边AC绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）至CD，直线CD，AB交于点E，连接AD，直线AD，BC交于点F． （1）如图1，当α＜∠ACB时，若∠F＝45°，AB＝AC＝5，CE＝4，求BC的长； （2）如图2，当α＜∠ACB时，若∠BEC＝2∠F，∠BAF+∠BCD＝∠F，猜想线段AD与BF之间存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，当180°＜α＜180°+∠ACB时，若∠BEC＝60°，AB＝AC＝6，点P在线段AD上且满足，G，H分别为线段CP，AP上两点，连接GH，将△ACP沿GH折叠使得点P的对应点P′落在AC上，连接PP'，与折痕GH交于点O，请直接写出CP最小时，点O到AC的距离． 14．△ABC中，∠ACB＝60°，D为BC边的中点，连接AD． （1）如图1，若∠B＝45°，，求△ABD的面积； （2）如图2，∠BAC＝90°，F为AB上一点，将DF绕点D顺时针旋转60°得线段DG，作CE⊥BG交BG的延长线于点E，如果DG＝EG，求证：； （3）如图3，∠BAC＝90°，F为AB上一点，将DF绕点D顺时针旋转60°得线段DG，当AG最小时，K为平面内一点，将△KFC沿CK翻折得△KF'C，当FF'最大时，直接写出的值． 15．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是AB上一点． （1）如图1，若，，求BD的长； （2）如图2，将DC绕点D顺时针旋转90°后得到线段DE，DE交BC于点M．连接EB并延长交CD延长线于点F．求证：； （3）如图3，，将△ABC沿BC翻折，得到△A′BC，点D、N分别是AB和A′C上的两个动点，在运动过程中，始终保持AD＝A′N，过点A作直线DN的垂线，垂足为G．连接CG，在线段CG上取一点Q，使得，直接写出当AQ取得最小值时△AGQ的面积． 16．在Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D是边BC上一点，连接AD，∠ABD的角平分线交AD于点E． （1）如图1，∠ADB＝60°，若CD＝4，求BE的长； （2）如图2，点F是AC上一点，过点F作FO⊥AD于点O，若点O恰好平分线段AD，求证：； （3）如图3，点P为边AC上一点，且满足AP＝BE，过点P作PQ⊥AD于点Q，连接BQ，当BQ最短时，请直接写出的值． 17．如图，在▱ABCD中，AC为对角线，∠ACB＝45°，点E为AC上一点，连接BE． （1）如图1，若AB＝AE，∠BAC＝60°，AE＝6，求▱ABCD的面积； （2）如图2，过点A作AF⊥BE交BC于点F，垂足为点G，连接DF交AC于点H，若DF⊥AC，求证：； （3）如图3，若AK⊥BC于点K，M为AK中点，N为直线BC上一点，连接MN，将△KMN沿MN所在直线翻折到▱ABCD所在平面内得到△K′MN，连接CK'，再将线段CK′绕点C顺时针旋转90°得到线段CP，连接MP，点Q为直线BC上一点，连接MQ，PQ，若AK＝6，当MQ+PQ取得最小值时，直接写出△MPQ的面积． 18．如图，等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是射线CA上一点，连接BD，过点C作CF⊥BD于点E，AF∥BD． （1）如图1，点D在AC上，∠CAF＝75°，BD＝4，求BC的长； （2）如图2，点D在CA延长线上，点F为CE的中点，过点F作FH⊥BC于点H，连接EH，求证：； （3）如图3，点D在CA的延长线上，∠CDB＝30°，AC＝4，点N在BA的延长线上，点M在AC的延长线上，且AM＝BN，连接BM、DN，当取得最小值时，请直接写出△BDN的面积． 19．在▱ABCD中，∠ABC＝45°，连接AC，已知AB＝AC＝，点E在线段AC上，将线段DE绕点D顺时针旋转90°为线段DF． （1）如图1，线段AC与线段BD的交点和点E重合，连接EF，求线段EF的长度； （2）如图2，点G为DC延长线上一点，使得GC＝EC，连接FG交AD于点H，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，平面内一点P，当最小时，求△HPB的面积． 20．菱形ABCD的对角线交于点O． （1）如图1，过菱形ABCD的顶点A作AE⊥BC于点E，交OB于点H，若AB＝AC＝6，求四边形OHEC的面积； （2）如图2，过菱形ABCD的顶点A作AF⊥AD，且AD＝AF，线段AF交OB于点H，交BC于点E，若D、C、F三点共线，求证：OH+OC＝BH； （3）如图3，菱形ABCD中，∠ABC＝45°，AB＝6，点P为射线AD上一动点，连接BP，将BP绕点B逆时针旋转60°到BQ，连接AQ，直接写出线段AQ的最小值． 21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以BC为边向上作正方形BCDE，以AC为边作正方形ACFG，点D恰好在线段GF上． （1）若AB的长度比BC少4，AC＝8，求△ABC的面积； （2）求证：BG﹣DG＝EG； （3）已知点P是△ABC内一动点，且P不与△ABC的顶点和边重合，在（1）的条件下，请直接写出PA+PB+PC的最小值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 勾股定理的应用--全等证明（相关）【3大题型】（北师大新版） 题组一 勾股定理的应用--全等证明（倍长中线） 1 题组二 勾股定理的应用--全等证明（手拉手模型） 3 题组三 勾股定理的应用--全等证明（其他） 7 ( 知识导航 ) 知识点 1 勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 【注意】 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边 （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 知识点 2 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。 【注意】 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系: 若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 ； 若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形； 若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形。 题组一 勾股定理的应用--全等证明（倍长中线） 1．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将BC绕点B顺时针旋转一定度数得线段BD，连接AD，CD，将CD绕点D逆时针旋转90°得线段DE，连接CE、BE． （1）如图1，若∠BAD＝20°，求∠EBD的度数； （2）如图2，若点D在△ACB的内部，CE恰好经过BD的中点F，求证：； （3）若AC＝2，点D在△ACB的外部，当线段CE取得最大值时，在平面内将△ABD沿直线CD翻折得到△A′BD，其中A′D交CE于点F，连接AF，BF，请直接写出△ABF的面积． 【解答】（1）解：如图， ∵∠ACB＝90°，∠CDE＝90°， ∴∠1+∠DCB＝∠2+∠3＝90°， ∵由旋转的性质可得出：BC＝BD，CD＝DE， ∴∠DCB＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∴AC＝BC＝BD， ∴△ACD≌△BDE（SAS）， ∴∠EBD＝∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB， ∵∠DAB＝20°，∠CAB＝45°， ∴∠EBD＝25°． （2）证明：延长CF至点G，使得CF＝FG，连接GD，GB，如图， ∵F为BD中点， ∴BF＝FD， ∴四边形CBGD为平行四边形， ∵DG＝CB＝BD，DG∥CB，GB＝CD＝DE，DC∥GB， ∴∠EGB＝DCG＝45°， 同（1）可得∠2＝∠3，∠CDB＝∠DCB＝90°﹣∠3， ∴∠3＝180°﹣∠1﹣2∠CDB＝∠1， ∴△DGE≌△DBE（SAS）， ∴EG＝EB， ∵∠EGB＝45°， ∴△EGB为等腰直角三角形， ∴； （3）解：点D的轨迹是以B为圆心，BC为半径的圆上，如图， 由旋转的性质可得出， 当CD最大时，CE最大， ∴D'是CB延长线与圆B的交点，、 ∵∠D'CE＝45°＝∠ABC， ∴CE′∥AB， ∴． 2．在△ABC中，点D在AB上，连接CD，若∠ADC＝45°，∠ABC＝2∠ACD，将AC绕着点A顺时针旋转α度得到线段AE． （1）如图1，点E在线段AB上，若∠ABC＝18°，求∠DCE的度数； （2）如图2，点E在线段CD的延长线上，连接EA、EB，点F在BC上，连接AF，若∠EAB＝∠CEB，CF＝AB，求证：； （3）如图3，若α＝90°，∠ACD＝15°，AE与BC交于点O，点P为线段CE上一动点，连接OP，将△EOP沿OP所在直线翻折到△ABC所在平面内得到△MOP，连接MB，在△ABC所在平面内将点M绕着点B逆时针旋转90°得到点N，连接ON、BN，当ON取得最大值时，求的值． 【解答】（1）解：∵∠ABC＝2∠ACD＝18°， ∴∠ACD＝9°， ∵AC＝AE， ∴∠ACE＝∠AEC＝∠ACD+∠DCE＝9°+∠DCE， ∵∠ADC＝∠DCE+∠AEC， ∴45°＝2∠DCE+9°， ∴∠DCE＝18°； （2）证明：设∠ACE＝x， ∵AC＝AE， ∴∠AEC＝∠ACE＝x， 则∠BAE＝45°﹣x，∠ABC＝2x， ∴∠BCD＝45°﹣2x， ∴∠ACF＝∠ACE+∠BCD＝45°﹣x， ∴∠BAE＝∠ACF， ∵AC＝AE，CF＝AB， ∴△ACF≌△EAB（SAS）， ∴AF＝BE，∠CAF＝∠BEA， ∵∠EAB＝∠CEB， ∴∠AED+∠EAB＝∠AED+∠CEB， ∴∠ADC＝∠BEA＝45°， ∴∠CAF＝∠BEA＝45°， ∴∠BAF＝90﹣x，∠AFB＝90°﹣x， ∴∠BAF＝∠AFB， ∴AB＝BF＝CF， 作BM⊥AF，CT⊥AF， 则△CFT≌△BFM（AAS），AM＝MF， ∴FT＝FM＝AM， ∴AT＝AF， ∵△ATC为等腰直角三角形， ∴AC＝AT＝AF， ∴AE＝AF； （3）解：作BG⊥BO，且使BG＝BO，连接GN， ∴∠MBO＝∠NBG＝90°﹣∠OBN， ∵BM＝BN，BO＝BG， ∴△BMO≌△BNG（SAS）， ∴GN＝OM＝OE， ∴点N的运动轨迹是以G为圆心，GN为半径的圆， 连接OG并延长交⊙G于点N'， 当点N到N'的时候ON最大， ∵α＝90°， ∴∠CAE＝90°， ∵∠ACD＝15°，∠ADC＝45°， ∴∠CAD＝120°， ∴∠EAB＝30°， ∵∠ABC＝2∠ACD＝30°， ∴∠OAB＝∠OBA， ∴OB＝OA，∠OAC＝60°， 过C作CK⊥AB于点K，BH⊥OG于点H， 设OA＝OB＝1，则AC＝AE＝， 在Rt△ACK中，∠CAK＝30°，∠ACK＝90°， ∴AK＝，CK＝， ∵∠ADC＝45°， ∴CK＝DK＝， ∴AD＝﹣， ∴S△ACD＝AD•CK＝， ∵OB＝OG＝1，∠BOG＝90°， ∴OG＝， ∴BH＝， ∵AE＝AC＝， ∴OE＝AE﹣OA＝﹣1， ∴GN＝OE＝﹣1，即GN'＝﹣1， ∴ON'＝OG+GN'＝， ∴S△BON'＝ON'•BH＝， ∴＝， 综上，当ON取最大值时，的值为． 3．已知等腰Rt△ABC与等腰Rt△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝90°，AD＝4，连接EC，点M为线段EC的中点，连接DM． （1）如图1，当D点恰好为线段AB中点时，求线段DM的长度； （2）当△ADE从图1所示位置绕着点A逆时针旋转一定角度α，使得点E在线段DM上方，到达如图2所示位置时，连接BD，求证：BD＝DM； （3）当△ADE从图1所示位置绕着点A逆时针旋转150°时到达图3所示位置，F为直线AD上一点，连接MF并将线段MF绕点M逆时针旋转90°使得点F落在点N处，连接AN、CN，若EC＝4，求AN+CN的最小值． 【解答】（1）解：如图1，延长DM交BC于N， ∵点M为线段EC的中点， ∴EM＝CM， ∵∠BDE＝∠B＝90°， ∴DE∥BC， ∴∠CNM＝∠EDM， 又∵∠DME＝∠CMN， ∴△DEM≌△NCM（AAS）， ∴CN＝DE，DM＝MN， ∵点D是AB中点， ∴AD＝DB＝4， ∴AB＝BC＝8， ∵AD＝DE＝CN＝4， ∴BN＝4， ∴DN＝4， ∴DM＝2； （2）证明：如图2，过点C作CH∥DE，交DM的延长线于点H，连接BH，BM， ∵CH∥DE， ∴∠DEM＝∠HCM， 又∵EM＝CM，∠EMD＝∠CMH， ∴△EDM≌△CHM（ASA）， ∴DE＝CH，DM＝MH， ∵∠ADE+∠DEC+∠DAB+∠ECB+∠ABC＝540°， ∴∠DAB+∠DEC+∠ECB＝360°， 又∵∠ECB+∠ECH+∠BCH＝360°， ∴∠DAB＝∠BCH， 又∵AB＝BC， ∴△ABD≌△CBH（SAS）， ∴BD＝BH，∠DBA＝∠CBH， ∴∠DBH＝∠ABC＝90°， ∴△DBH是等腰直角三角形， 又∵DM＝MH， ∴BM⊥DM，DM＝MB， ∴BD＝DM； （3）解：如图3，连接DM，BM，连接NB并延长交直线AD于点O， 由（2）可知：DM＝MB，∠DMB＝90°， ∵将线段MF绕点M逆时针旋转90°使得点F落在点N处， ∴FM＝MN，∠FMN＝90°＝∠DMB， ∴∠DMF＝∠BMN， ∴△DMF≌△BMN（SAS）， ∴∠MDF＝∠MBN， ∴∠MBN+∠MBO＝180°＝∠MDO+∠MBO＝180°， ∴∠AOB＝360°﹣∠DMB﹣（∠MDO+∠MBO）＝90°， ∴点N在过点B垂直于AD的直线BO上运动， 如图，过点A作关于直线OB的对称点A'，连接A'C交直线OB于点N'，连接AN'， 此时AN+CN的最小值为A'C的长， 如图，过点E作EH⊥AC于H， 由题意可得∠DAB＝150°，AD＝DE＝4，∠ADE＝90°， ∴∠BAO＝30°，AE＝4，∠DAE＝45°，∠EAC＝150°﹣∠DAE﹣∠CAB＝60°， ∵EH⊥AC， ∴∠EHA＝90°， ∴∠AEH＝30°， ∴AH＝AE＝2，EH＝AH＝2， ∴CH＝＝＝6， ∴AC＝8， 又∵∠ABC＝90°，AB＝BC， ∴AB＝BC＝8， ∵∠BAO＝30°，∠AOB＝90°， ∴BO＝4，AO＝4， ∵点A，点A'关于直线OB对称， ∴AO＝A'O＝4， 如图，过点C作CG⊥DO于G，交AB于Q， ∴∠AGQ＝∠CBA＝90°， 又∵∠AQG＝∠CQB， ∴∠BCQ＝∠BAO＝30°， 又∵BC＝8，∠ABC＝90°， ∴BQ＝，CQ＝2BQ＝， ∴AQ＝8﹣， ∵∠BAO＝30°， ∴QG＝4﹣，AG＝QG＝4﹣4， ∴CG＝CQ+CQ＝4+4，A'G＝AA'﹣AG＝4+4， ∴A'G＝CG， 又∵∠A'GC＝90°， ∴A'C＝A'G＝4+4． ∴AN+CN的最小值为4+4． 题组二 勾股定理的应用--全等证明（手拉手模型） 4．如图，△ABC中，在平面内将线段AC绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，过点D作DE⊥BC，分别交BC、AC于点E、F，连接AE． （1）如图1，若∠EAD＝120°，，．求ED的长度． （2）如图2，若∠ABC+∠EAC＝45°，求证：． （3）如图3，在（2）问的条件下，若∠BAC＝150°，点P在射线BC上运动，当取得最小值为时，在平面内将△APE绕点B逆时针旋转α（0＜α＜180）度得到△A'P'E'，当点P'恰好在线段AB上时，请直接写出△A′PE的面积的值． 【解答】（1）解：如图1，过点D作DG⊥AE交延长线于点G， ∵∠DAE＝120°， ∴∠DAG＝60°， ∵AD＝6， ∴AG＝AD＝3， ∴DG＝＝9， ∵AE＝2， ∴GE＝5， 在Rt△DEG中，DE＝＝2； （2）证明：如图2，在DE上截取DM＝EC，过点A作AN⊥AC交BC于点N， 由旋转可知，AD＝AC，∠DAC＝90°， ∵DE⊥BC， ∴∠DEC＝90°， ∴∠D＝∠C， ∴△ADM≌△ACE（SAS）， ∴AM＝AE，∠DAM＝∠EAC， ∵∠DAM+∠MAC＝90°， ∴∠EAC+∠CAM＝90°， ∴△AEM是等腰直角三角形， ∴∠AEM＝45°， ∴∠AEC＝45°， ∵∠NAE＝90°， ∴∠ANE＝45°， ∴AN＝AE，∠ANB＝∠AEC， ∵∠ABC+∠EAC＝45°，∠ABN+∠BAN＝45°， ∴∠BAN＝∠CAE， ∴△ABN≌△ACE（ASA）， ∴BN＝EC， ∴BC＝2CE+AE； （3）解：如图3，将BC绕点B旋转60°，过点A作AQ⊥BQ交BC于点P， ∵∠PBQ＝60°，∠BQP＝90°， ∴PQ＝BP•sin60°＝BP， ∴AP+BP＝AQ，此时AP+BP取得最小值，即AQ＝4+2， ∵∠BAC＝150°，∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC＝15°， ∵点P'恰好在线段AB， ∴旋转角α＝15°， ∵∠APC＝∠BPQ＝30°， ∴AP＝BP， ∴AP+PQ＝BP+PQ＝BP+BP＝4+2， ∴BP＝AP＝4， ∵∠APE＝30°， ∴AN＝2， ∴PN＝2， ∵∠AEP＝45°， ∴NE＝AN＝2， ∴PE＝2+2， ∵NB＝4+2，AN＝2， ∴AB＝＝2+2， ∵AB＝A'B， ∴A'B＝2+2， ∵∠A'BM＝30°， ∴A'M＝+， ∴△A′PE的面积＝×（2+2）×（+）＝4+2． 5．在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E是对角线AC上一点，点F在BA的延长线上，将EF绕点E逆时针旋转120°得到EM． （1）如图1，若点M恰好落在边BC上，且S菱形ABCD＝18，BM＝2，CE＝3，求EM的长度； （2）如图2，若点M恰好落在边BC上，且∠MEC＝75°，求证：； （3）如图3，若S菱形ABCD＝18，AF＝CE，连接CM，BE，将△CEM沿AC翻折，点M的对应点为点M'，连接AM'，当CM取最小值时，直接写出点D到AM′的距离． 【解答】 （1）解：如图1，连接BD交AC于O，过点O作OH⊥BC于H． ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAC＝∠DAC＝∠ACB＝∠ACD＝∠ABC＝∠ADC＝60°，AC⊥BD，∠ABD＝∠ABC＝30°，AC＝2CO，BD＝2BO， ∴AO＝AB，BO＝AB， ∵S菱形ABCD＝AC•BD＝AB2＝18， ∴AB＝AC＝6， ∴OC＝3． ∵CE＝3， ∴点O，E在AC上， ∴点E与点O重合， 在Rt△BEH中，∠CBE＝30°， ∴EH＝BE＝， ∴BH＝＝， ∵BM＝2， ∴MH＝BH﹣BM＝﹣2＝， 在Rt△EMH中，EM＝＝＝； （2）． 证明：如图2，过点E作EG⊥AB于G，EH⊥BC于H， ∵将EF绕点E逆时针旋转120°得到EM， ∴EM＝EF，∠FEM＝120°， ∵∠F+∠FBM+∠BME+∠FEM＝360°，∠FBM＝60°，∠FEM＝120°， ∴∠F+∠BME＝180°， ∵∠EMH+∠BME＝180°， ∴∠F＝∠EMH， 在△EFG和△EMH中， ， ∴△EFG≌△EMH（AAS）， ∴FG＝MH， 在Rt△AEG和Rt△CEH中， ， ∴Rt△AEG≌Rt△CEH（HL）， ∴AG＝CH， ∵∠EHC＝∠EHM＝90°，∠ECH＝60°， ∴∠CEH＝30°， ∵∠MEC＝75°， ∴∠MEH＝75°﹣30°＝45°， ∴△EMH是等腰直角三角形， ∴ME＝MH， ∵AF+CM＝FG﹣AG+CH+MH＝2MH， ME＝×MH＝2MH， ∴AF+CM＝ME． （3） ． 解：连接DE，DF，BD交AC于点O．连接CM，CM'，DM'，作DN⊥AM'于点N． ∵∠BAD＝120°， ∴∠DAF＝60°． ∵∠ACD＝60°， ∴∠ACD＝∠DAD． ∵AF＝CE，AD＝CD， ∴△ADF≌△CDE（SAS）． ∴DE＝DF，∠ADF＝∠CDE， ∴∠CAD＝∠EDF＝60°， ∴△DEF是等边三角形， ∴EF＝ED，∠DEF＝60°， ∵∠MEF＝120°， ∴∠DEF+∠MEF＝180° ∴M，E，D在同一条直线上， ∵ME＝ED， ∴E为DM的中点， ∵O为BD的中点， ∴OE为△BDM的中位线， ∴OE∥BM， ∴点M在过点B的AC的平行线上． ∴当CM⊥AC时CM最小， 由（1）可知S菱形ABCD＝18， AB＝BC＝CD＝DA＝6，AC＝6，BD＝6． CM'＝3，DM'＝3，AM'＝＝＝3， ∵S△ADM′＝DM'×CM′＝AM'×DN， ∴DN＝＝． 所以点D到AM'的距离为． 6．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D为BC的中点，E，F分别为AC，AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，连接FG，AG． （1）如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B，若点P为FG的中点，连接PD，求PD的长； （2）如图2，EF的延长线交AB于点M，点N在AC上，∠AGN＝∠AEG且GN＝MF，求证：AM+AF＝AE； （3）如图3，F为线段AD上一动点，E为AC的中点，连接BE，H为直线BC上一动点，连接EH，将△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△B′EH，连接B′G，直接写出线段B′G的长度的最小值． 【解答】（1）解：如图1，连接CP， 由旋转知，CF＝CG，∠FCG＝90°， ∴△FCG为等腰直角三角形， ∵点P是FG的中点， ∴CP⊥FG， ∵点D是BC的中点， ∴DP＝BC， 在Rt△ABC中，AB＝AC＝2， ∴BC＝AB＝4， ∴DP＝2； （2）证明：如图2， 过点E作EH⊥AE交AD的延长线于H， ∴∠AEH＝90°， 由旋转知，EG＝EF，∠FEG＝90°， ∴∠FEG＝∠AEH， ∴∠AEG＝∠HEF， ∵AB＝AC，点D是BC的中点， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝45°， ∴∠H＝90°﹣∠CAD＝45°＝∠CAD， ∴AE＝HE， ∴△EGA≌△EFH（SAS）， ∴AG＝FH，∠EAG＝∠H＝45°， ∴∠EAG＝∠BAD＝45°， ∵AB⊥AC，HE⊥AC， ∴AB∥HE， ∴∠AMF＝∠HEF， ∵△EGA≌△EFH， ∴∠AEG＝∠HEF， ∵∠AGN＝∠AEG， ∴∠AGN＝∠HEF， ∴∠AGN＝∠AMF， ∵GN＝MF， ∴△AGN≌△AMF（AAS）， ∴AG＝AM， ∵AG＝FH， ∴AM＝FH， ∴AF+AM＝AF+FH＝AH＝AE； （3）解：∵点E是AC的中点， ∴AE＝AC＝， 根据勾股定理得，BE＝＝， 由折叠知，BE＝B'E＝， ∴点B'是以点E为圆心，为半径的圆上， 由旋转知，EF＝EG， ∴点G在点A右侧过点A与AD垂直且等长的线段上， ∴B'G的最小值为B'E﹣EG， 要B'G最小，则EG最大，即EF最大， ∵点F在AD上， ∴点F在点A或点D时，EF最大，最大值为， ∴线段B′G的长度的最小值﹣． 7．如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，将AC绕点C顺时针旋转α得线段CD，连接AD并延长，过点B作AD的垂线，交AD的延长线于点E． （1）当α＝60°时，求∠BDE的度数； （2）如图2，CE与AB交于点F，CD与AB交于点G，若G恰为AB中点，求证：CF+2DE＝EC； （3）如图3，α＝30°，M是射线CB上的动点，连接DM将DM绕点D逆时针旋转90°得线段DN，P是AB上的动点，AB＝m（m为已知数），求PD+PN的最小值． 【解答】（1）解：∵AC绕点C顺时针旋转α得线段CD， ∴AC＝CD ∵∠ACD＝α＝60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ADC＝60°， ∵∠ACB＝90°，AC＝CB， ∴∠BCD＝30°，CD＝CB， ∴∠CDB＝∠CBD＝＝75°， ∴∠BDE＝180°﹣∠ADC﹣∠BDC＝180°﹣60°﹣75＝45°； （2）证明：如图1， 延长AE至H，使EH＝ED，连接BH，作EQ⊥CE，并截取EQ＝CE， ∵BE⊥AE， ∴BH＝BD， ∴∠BDE＝∠EHB， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°，点G是AB的中点， ∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠CAB＝∠ABC＝45°，CG＝AG＝AB， ∵AC＝CD＝CB， ∴∠CAD＝∠CDA＝，∠CBD＝∠CDB＝67.5°， ∴∠BDE＝180°﹣（∠ADC+∠BDC）＝45°， ∴∠EHB＝45°， ∴∠BDH＝90°， ∴EH＝BE＝DH， ∵∠BED＝90°， ∴∠EBD＝45°， ∴DE＝BE， ∴CE⊥BD， ∴∠DCF＝∠BCE＝， ∵∠DAG＝∠CAD﹣∠CAB＝22.5°， ∴∠DAG＝∠DCF， ∵∠AGD＝∠CFG， ∴△ADG≌△CFG（ASA）， ∴CF＝AD， ∵∠CEQ＝∠BEH＝90°， ∴∠QEH＝∠CBE， ∴△QEH≌△CEB（SAS）， ∴HQ＝CB＝AC，∠EHQ＝∠CBE， ∵∠ACB+∠AEB＝90°+90°＝180°， ∴∠CAE+∠CBE＝180°， ∴∠CAE+∠EHQ＝180°， ∴AC∥HQ， ∴四边形ACQH是平行四边形， ∴AH＝CQ＝CE， ∴AD+DH＝CE， ∴CF+2DE＝CE， （3）解：如图2， 作∠CDC′＝90°，截取DC′＝DC，连接NC′，设NC′交CB的延长线于V，作DX⊥CB于X，交AB于W，作点D关于AB的对称点D′，连接D′W，并延长，交直线VC′于点N′，作C′Z⊥DX于Z， ∴∠DZC′＝CDC′＝∠MDN＝90°，DW＝D′W， ∴∠CDM＝∠C′DN， ∵DC＝DN， ∴△CDM≌△C′DN（SAS）， ∴∠AC′N＝∠DCB＝90°﹣α＝60°， ∵∠DC′V+∠DC′N＝180°， ∴∠DCM+∠DC′V＝180°， ∴∠V+∠CDC′＝180°， ∴∠V＝90°， ∵∠ZDC′＝90°﹣∠CDX＝60°， ∴WN′＝′Z＝C′D＝＝m， ∴N在过点V且于BC垂直，到DX的距离是m的直线上运动， ∴PD+PN的最小值是D′N′的长， ∵DX∥AC， ∴∠AWD＝∠A＝45°， ∴∠D′WA＝∠AWD＝45°， ∴∠D′WD＝90°， 在Rt△DCX中，CD＝AC＝AB＝m，∠CDX＝∠ACD＝30°， ∴CX＝CD＝，DX＝CD＝m， ∴WX＝XB＝BC﹣CX＝m， ∴D′W＝DW＝DX﹣WX＝•m， ∴D′N′＝D′W+WN′＝， ∴PD+PN的最小值为：． 8．在△ABC中，AB＝AC，将线段AB绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到线段AD． （1）如图1，连接CD，延长AD交BC延长线于点E，若∠B＝70°，∠DCE＝35°，AE＝5，求BE的长； （2）如图2，连接CD，过点B作BH⊥CD于点H，以AC为边作∠ACG＝∠ACH，且CG＝CH，连接AG交BC延长线于点F，若α＝90°，求证：； （3）如图3，若△ABC为等边三角形，连接BD，K为线段BD上一点，且∠AKD＝60°，M为线段BC上一点，连接MA，将MA绕点M顺时针旋转120°得到线段MN，连接KN、KC．当KN取得最小值时，请直接写出的值． 【解答】（1）解：∵∠B＝70°，AB＝AC， ∴∠ACB＝70°，∠BAC＝180°﹣2∠B＝40°， ∵∠DCE＝35°， ∴∠ACD＝180°﹣∠ACB﹣∠DCE＝75°， ∵将线段AB绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到线段AD， ∴AD＝AC， ∴∠ADC＝∠ACD＝75°， ∴∠CAD＝180°﹣2∠ACD＝30°， ∴∠BAD＝∠BAC+CAD＝70°， ∴∠BAE＝∠B， ∴BE＝AE＝5． （2）证明：如图，延长HD至K，使得DK＝BH， 在△ACH和△ACG中， ， ∴△ACH≌△ACG（SAS）， ∴AH＝AG， ∵BH⊥CD，∠BAD＝α＝90°， ∴∠BAD+∠BHC＝180°， ∴∠ABH+∠ADH＝180°， ∵∠ADK+∠ADH＝180°， ∴∠ADK＝∠ABH， 在△ABH和△ADK中， ， ∴△ABH≌△ADK（SAS）， ∴∠BAH＝∠DAK，AH＝AK， ∴∠BAD＝90°＝∠BAH+∠HAD＝∠DAK+∠HAD＝∠HAK， ∴△AHK是等腰直角三角形， ∴∠AHC＝∠K＝45°，， ∵AG＝AH， ∴， ∵将线段AB绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到线段AD， ∴AD＝AC， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴∠ADK＝∠ACH， 在△ADK和△ACH中， ， ∴△ADK≌△ACH（AAS）， ∴CH＝DK， 又∵BH＝DK， ∴HK＝CH+DK+CD＝CD+2BH， ∴． （3）解：∵∠AKD＝60°，则∠AKB＝120°， 如图，以AB为边作等边△ABT，作△ABT的外接圆⊙O， ∴∠AKB+∠T＝180°， ∴K在⊙O的上运动， 如图，作A关于BC的对称点J，连接BJ，MJ，作AL⊥AB交BC的延长线于点L，连接JN，NL， ∴∠ALB＝∠JLB＝90°﹣∠ABC＝30°， 设∠BAM＝α，则∠MAL＝90°﹣α， 又∵∠ABC＝60°， ∴∠AML＝60°+α， ∵将MA绕点M顺时针旋转120°得到线段MN， ∴∠AMN＝120°，MA＝MN， ∴∠LMN＝120°﹣∠AML＝60°﹣α， ∵A关于BC的对称点J， 在△ABM和△JBM中， ， ∴△ABM≌△JBM（SSS）， ∴∠BAM＝∠BJM＝α， ∴∠MJN＝90°﹣α， 又∵AM＝MN，MJ＝MA， ∴MJ＝MN， ∴∠MNJ＝∠MJN＝90°﹣α， 又∵∠LMN＝60°﹣α，∠JLB＝30°， ∴∠MNL＝90°+α， ∴∠MNL+∠MNJ＝90°﹣α+90°+α＝180°， ∴N在LJ上运动， ∴当ON⊥LJ，且O，K，N三点共线时，KN取得最小值， 如图，过点O作OS⊥LJ于点S，则K，K'重合，N，S重合，OS与BC的交点为M'， ∵∠OBA＝30°，∠ABC＝60°， ∴∠OBA＝90°， 又∠MSL＝∠OBM'＝90°，∠BM′O＝∠SML， ∴∠BOM'＝∠M′LS＝30°， ∵， ∴， ∵∠AK'D'＝∠AKD＝60°， ∴∠ABD'＝∠AK'D﹣BAK'＝60°﹣15°＝45°， 又∵AB＝AD'， ∴△ABD'是等腰直角三角形， ∴∠D'BC＝∠ABC﹣∠ABD'＝15°， 当KN取得最小值时，如图，过点K作KF⊥BC于点F，过点A作AE⊥BD于点E，过点O作OG⊥AB 于点G，过点K作KH⊥BO于点H， 设AB＝2a， ∵∠AOB＝2∠T＝120°，OA＝OB， ∴∠OAG＝∠OBG＝30°，AG＝BG＝a， 在Rt△OBG中，， ∴， 在Rt△OHK中，， ∴， ∵KF⊥BC，KH⊥OB，OB⊥BC， ∴四边形HBFK是矩形， ∴， ∵AD＝AB＝2a，， ∴， 在Rt△AKE中，∠AKE＝60°， ∴， ∴， ∴． 9．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为线段BC上一点（点D不与B，C重合），连接AD． （1）如图1，∠ADB＝105°，CD＝，求BD的长度； （2）如图2，D为BC中点，E为平面内一点，连接DE，CE，AE，BE，将线段DE绕D顺时针旋转90°得到线段DF，连接AF，∠FAC+∠ECB＝90°，G为线段EC上一点，AG⊥CE，求证：CE＝AF+2AG； （3）如图3，P，H为射线AD上两个点，∠BHA＝90°，AP＝2BH，将△BNP沿直线BP翻折至△BHP所在平面内得到△BKP，直线PK与直线AB交于点T．若，当线段BP取得最小值时，请直接写出△APT的面积． 【解答】（1）解：如图1， 作DE⊥AC于E， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠C＝45°， 在Rt△CDE中，CD＝，∠C＝45°， ∴DE＝CE＝， 在Rt△ADE中，∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝105°﹣45°＝60°，DE＝， ∴AE＝， ∴AC＝AE+CE＝， 在Rt△ABC中，AC＝，∠C＝45°， ∴BC＝＝， ∴BD＝BC﹣CD＝； （2）证明：如图2， 设AD和CE交于点O， ∴AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∵∠BAC＝90°， ∴AD＝BD＝CD＝BC， ∵线段DE绕D顺时针旋转90°得到线段DF， ∴∠EFD＝90°，DE＝DF， ∴∠ADB＝EDF＝90°， ∴∠ADF＝∠BDE， ∴△ADF≌△BDE（SAS）， ∴∠EBD＝∠FAB，BE＝AF， CAF+∠CAD， ∴∠EBA+45°＝∠CAF+45°， ∴∠EAB＝∠CAF， ∵∠ADC＝90°， ∴∠BCE+∠COD＝90°， ∵∠AOE＝∠COD， ∴∠BCE+∠AOE＝90°， ∵∠BCE+∠CAF＝90°， ∴∠CAF＝∠AOE， ∴∠EBA＝∠AOE， ∴点E、B、O、A共圆， ∴∠BEC＝∠BAD＝45°， ∴∠BEC＝，EH＝，EH＝BH， AB＝AC， ∴点E在以A为圆心，AB为半径的圆上， ∴AE＝AC＝AB， ∵AG⊥CE， ∴EG＝CG＝CE， ∵EH＝BH，AE＝AB， ∴AH是BE的垂直平分线， ∴∠EAH＝∠BAH，∠AEH＝∠ABH， ∵BH∥AG， ∴∠BAG＝∠ABH， ∴∠GAH＝∠BAH+∠BAG＝∠EAH+∠AEH， ∵∠AHG＝∠EAH+∠AEH， ∴∠GAH＝∠AHG， ∴AG＝GH， ∴EG＝EH+GH＝AF+AG， ∴2EG＝AF+2AG， ∴CE＝； （3）如图3， 作CE⊥AD于E， ∴∠AEC＝90°， ∴∠EAC+∠ACE＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAH+∠CAE＝90°， ∴∠BAH＝∠ACE， ∵AB＝AC，∠AEC＝∠AHB＝90°， ∴△ACE≌△BAH（AAS）， ∴AE＝BH， ∵AP＝2BH， ∴AP＝2AE， ∴CP＝CA＝， ∴点P在以C为圆心，为半径的圆上运动， 设BC交⊙C于点P′， ∴当点P运动在P′处时，BP最小， 如图4， 作AH⊥BC于H， ∵BC＝AC＝， ∴AH＝BC＝，BP＝BC﹣PC＝， ∴S△APC＝＝， ∵∠ABP＝∠C＝45°，∠BPT＝∠BPH＝∠APC， ∴△BPT∽△CPA， ∴， ∴， ∴S△BPT＝， ∵S△ABC＝AC2＝， ∴S△APT＝＝． 10．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点E是Rt△ABC内部的一点，连接AE，BE，CE，且∠BEC＝135°，延长AE交BC于点D． （1）如图1，若∠AEB＝90°，EC＝2，求AB的长． （2）如图2，过点A作AF⊥CE交CE的延长线于点F，过点B作BM∥AF交AE于点M，求证：AF+BE＝2BM． （3）如图3，在（1）问的条件下，点H是AB的中点，点O是直线AC上的动点，连接EC，EO，将△EOC沿OE翻折得到△EOC'，连接HC'，DC'，直接写出当HC'+DC'取最小值时sin∠BHC′的值． 【解答】（1）解：∵∠AEB＝90°，∠BEC＝135°， ∴∠AEC＝360°﹣∠AEB﹣∠BEC＝135°， ∴∠AEC＝∠BEC， ∴∠CAE+∠ACE＝180°﹣∠AEC＝45°， ∵∠ABC＝90°，AB＝BC， ∴∠ACB＝∠BAC＝45°， ∴∠ACE+∠BCE＝45°， ∴∠CAE＝∠BCE， ∴△AEC∽△CEB， ∴， ∴， ∴BE＝2，AE＝4， ∴AB＝； （2）证明：如图1， 连接BF，设BM交CF于N， ∵AF⊥CE， ∴∠AFC＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠AFC＝∠ABC， ∴点A、F、B、C共圆， ∴∠BFC＝∠BAC＝45°， ∵∠BEF＝180°﹣∠BEC＝45°， ∴∠BFC＝∠BEF，BN＝， ∴BE＝BF， ∵AF∥BM，AF⊥CF， ∴BM⊥CF，， ∴EN＝FN， ∴EM＝AM， ∴MN＝， ∵MN+BN＝BM， ∴， ∴AF+BE＝2BM； （3）解：如图2， HC'+DC'＝， ∵△EOC沿OE翻折得到△EOC'， ∴EC′＝EC＝2， ∴点C′在以E为圆心，2为半径的圆上， ∵cos∠BAD＝， ∴， ∴AD＝5， ∴DE＝AD﹣AE＝5﹣4＝2，BD＝， 延长AD至F，使DF＝7，连接HF，交⊙E于C″， ∴EF＝DE+EF＝8， ∴， ∵∠DEC′＝∠FEC′， ∴△C′ED∽△FEC′， ∴， ∴C′F＝2DC′， ∴HC′+2DC′＝HC′+C′F≥HF， 当C′运动在C″处时，最小， 作FG⊥AB，交AB的延长线于点G， ∴BD∥FG， ∴△ABD∽△AGF， ∴， ∴， ∴AG＝，FG＝， ∵AH＝AB＝， ∴HG＝， ∴FH＝＝， ∴sin∠BHC′＝＝． 题组三 勾股定理的应用--全等证明（其他） 11．如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°．点E在BC上，连接AE，∠AEB＝∠BAC，点F在AD上，点G在AE上，且AG＝AF． （1）如图1，若∠ABC＝45°，AB＝2，∠ACF＝15°，求GE的长度； （2）如图2，若∠ACF+∠CAE＝45°，过点G作GH⊥AC于点H，点O为AC的中点，过点O作OM∥CD交AE于点M，过点A作AN⊥CD于点N，求证：； （3）如图3，若∠ABC＝60°，AB＝2，将△AGF沿直线AE翻折至▱ABCD所在平面内，得到△AGP，点N为AC上一点，且，当取得最小值时，请直接写出△BGP的面积． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝45°，∠ABC＝45°， ∴AB＝AC，∠BAC＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB＝∠BAC＝90°， ∴∠BAG＝∠CAF＝90°﹣∠CAE， ∵AB＝AC，AG＝AF， ∴△ABG≌△ACF（SAS）， ∴∠ABG＝∠ACF＝15°， ∴∠GBE＝∠ABE﹣∠ABG＝30°， 在Rt△ABE中，∠ABG＝45°，AB＝2， ∴AE＝BE＝， 在Rt△BGE中，BE＝，∠GBE＝30°， ∴GE＝BE＝． （2）延长AB到T，使AT＝AC，连接GT，延长MO交AN于点K， 设∠EAC＝α，则∠ACF＝45°﹣α， ∵∠AEB＝∠BAC， ∴∠BAE＝∠BCA＝45°， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA＝∠BAE， ∴△TAG≌△CAF（SAS）， ∴∠AGT＝∠AFC， ∴∠AFC＝180°﹣∠CAF﹣∠ACF＝90°+α＝∠AGT， ∵∠AGH＝180°﹣∠AHG﹣∠GAH＝90°﹣α， ∴∠AGB+∠AGH＝180°， ∴T、G、H三点共线， ∵∠T＝∠CAN＝90°﹣∠BAH，∠AHT＝∠ANC， ∴△ATH≌△CAN（AAS）， ∴TH＝AN， ∵O为AC中点，OM∥CD， ∴OK⊥AN，AK＝KN， ∵∠AMO＝∠BAE＝45°， ∴△AKM为等腰直角三角形， ∴AK＝AM， ∴AN＝2AK＝AM， ∵GH+CF＝GH+GT＝TH＝AN， ∴GH+CF＝AM． （3）过F作FT⊥AC于点T，则△ATF为等腰直角三角形， ∴AT＝AF， ∵2AN＝AF+AC， ∴AN＝AF+AC， 即AN＝AT+AC， ∴TN＝AC， 作AK⊥BC，连接FK，则△AKC是等腰直角三角形， ∴AC＝AK， ∴TN＝AK， 又∵TF＝AF，∠KAF＝∠NTF＝90°， ∴△AFK∽△TFN， ∴＝＝，即FK＝FN， 作C关于AD的对称点C'，连接KC'，则NF+CF＝KF+CF≥KC'， 即K、F、C'三点共线时NF+CF有最小值， 如图，作KM⊥AB于点M，作PH⊥AB于点H，作GR⊥AB于点R， 设BM＝a， ∵∠ABC＝60°，AB＝2， ∴EM＝AM＝a，BK＝1，AK＝， ∴AB＝a+a＝2， 解得a＝﹣1， ∴AE＝EM＝a＝3﹣， ∵Q是CC'中点，FQ∥CK， ∴FQ是△C'CK的中位线， ∴FQ＝CK＝， ∴AF＝AP＝AG＝， ∴GR＝AG＝，PH＝AP＝， ∴S△AGP＝S△AGF＝•S△AEF＝×××＝， S△ABP+S△ABG＝AB•（PH+GR）＝×2×（+）＝， ∴S△BGP＝S△ABP+S△ABG﹣S△APG＝﹣﹣＝． 综上，△BGP的面积． 12．如图，在正方形ABCD中，将正方形的边AD绕点A顺时针旋转到AE，连接BE、DE，过点A作AF⊥BE于F，交直线DE于P． （1）如图①，若∠DAE＝40°，求∠P的度数； （2）如图②，若90°＜∠DAE＜180°，其它条件不变，试探究线段AP、DP、EP之间的数量关系，并说明理由； （3）继续旋转线段AD，若旋转角180°＜∠DAE＜270°，则线段AP、DP、EP之间的数量关系为　PE＝PD+PA　（直接写出结果） 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠BAD＝90°， ∵AD绕点A顺时针旋转到AE， ∴AD＝AE， ∵∠DAE＝40°， ∴∠ADE＝∠AED＝70°，∠BAE＝50°， ∵AF⊥BE， ∴∠FAE＝∠FAB＝25°， ∴∠P＝∠AED﹣∠PAE＝45°； （2）如图2，过A作AQ⊥DE于Q，则∠PAQ＝∠BAQ+∠FAB， ∵AE＝AB，AF⊥BE， ∴∠FAE＝∠BAF， ∴∠APQ＝∠EAF+∠AEP， ∵∠BAD＝∠AQP＝90°， ∴∠BAQ＝∠ADQ， ∵AE＝AD， ∴∠ADQ＝∠AEP， ∴∠BAQ＝∠AEP， ∴∠APQ＝∠PAQ＝45°， ∴PQ＝AP， ∴PE+PQ＝PD﹣PQ， 即PE+AP＝PD﹣AP， ∴PD＝AP+PE； （3）如图3，过A作AQ⊥DE于Q，则∠AQP＝90°， ∵AD＝AE， ∴DQ＝EQ，∠AEQ＝∠ADQ， ∵AE＝AB，AF⊥BE， ∴∠3＝∠FAB， ∵∠APQ＝∠3﹣∠AEQ＝∠3﹣∠ADQ， ∵∠1+∠FAB＝∠FAB+∠ABF＝90°， ∴∠1＝∠ABF＝∠AEF， ∴∠2＝90°﹣∠1﹣∠ADP＝90°﹣（90°﹣∠3）﹣∠AEP＝∠3﹣∠AEP， ∴∠2＝∠APQ＝45°， ∴PQ＝AP， ∴PD+PQ＝PE﹣PQ， 即PD+PA＝PE﹣PA， ∴PE＝PD+PA． 故答案为：PE＝PD+PA． 13．如图，将△ABC的边AC绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）至CD，直线CD，AB交于点E，连接AD，直线AD，BC交于点F． （1）如图1，当α＜∠ACB时，若∠F＝45°，AB＝AC＝5，CE＝4，求BC的长； （2）如图2，当α＜∠ACB时，若∠BEC＝2∠F，∠BAF+∠BCD＝∠F，猜想线段AD与BF之间存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，当180°＜α＜180°+∠ACB时，若∠BEC＝60°，AB＝AC＝6，点P在线段AD上且满足，G，H分别为线段CP，AP上两点，连接GH，将△ACP沿GH折叠使得点P的对应点P′落在AC上，连接PP'，与折痕GH交于点O，请直接写出CP最小时，点O到AC的距离． 【解答】解：（1）设∠BAF＝β， ∴∠ABC＝∠F+∠BAF＝45°+β， ∵AB＝AC＝5， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°+β， ∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝90°﹣2β， ∴∠CAD＝∠BAF+∠BAC＝90°﹣β， ∵边AC绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）至CD， ∴AC＝CD， ∴∠ADC＝∠CAD＝90°﹣β， ∴∠BAF+∠ADC＝90°， ∴∠AED＝90°， ∴∠AEC＝∠BEC＝90°， ∵AC＝5，CE＝4， ∴AE＝3， ∴BE＝AB﹣AE＝5﹣3＝2， ∴BC＝； （3）如图1， 作CQ⊥AF于Q，作BW⊥AF于W， 设∠F＝β，∠BAF＝γ， ∴∠BEC＝2β， ∵∠BAF+∠BCD＝∠F， ∴∠BCD＝β﹣γ， ∵∠ABC＝∠F+∠BAF＝β+γ， ∴∠ABC+∠BCD＝2β， ∴∠ABC+∠BCD＝∠BEC， ∵∠ABC+∠BCD+∠BEC＝180°， ∴∠ADE＝90°﹣∠BAF＝90°﹣γ， ∵∠ABF+∠BCD＝∠ADE， ∴β+（β﹣γ）＝90°﹣γ， ∴β＝45°， ∴∠AFB＝45°，∠BCD＝45°﹣γ，∠ABC＝45°+γ， ∵AC＝AD， ∴∠ADC＝∠DAC＝90°﹣γ， ∴∠ACD＝180°﹣（∠ADC+∠DAC）＝2γ， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝2γ+（45°﹣γ）＝45°+γ， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∵AC＝CD，CQ⊥AF， ∴∠ACQ＝，AD＝2AQ， ∴∠BAF＝∠ACQ， ∵∠AWB＝∠AQC＝90°， ∴△ABW≌△CAQ（AAS）， ∴AQ＝BW， ∴AD＝2BW， ∵∠F＝45°，∠BWF＝90°， ∴BW＝BF， ∴AD＝BF； （3）如图2， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， 设∠B＝∠ACB＝δ， ∴∠BAC＝180°﹣2δ， ∵∠BEC＝60°， ∴∠BCE＝180°﹣∠B﹣∠BCE＝120°﹣δ， ∴∠ACE＝∠ACB﹣∠BCE＝δ﹣（120°﹣δ）＝2δ﹣120°， ∵AC＝CD， ∴∠D＝∠CAD， ∵∠D+∠CAD＝∠ACE＝2δ﹣120°， ∴∠CAD＝δ﹣60°， ∴∠AFB＝∠ACB﹣∠CAD＝δ﹣（60°﹣δ）＝60°， 以AC为底边作等腰三角形AIC，使∠AIC＝120°， ∴AI＝CI＝， ∴点F在以I为圆心，2为半径的圆上运动， 作直径CV，延长AV至X，使AX＝3，连接IF， ∵， ∴∠XAF＝∠VCF， ∵， ∴△XAP∽△ICF， ∴， ∴XP＝IF＝3， ∴点P在以X为圆心，3为半径的圆上运动， 连接CX，交⊙X于P″，此时CP″最小，即P在P′′处，CP最小， ∵CV是⊙I的直径， ∴∠ACV＝90°， ∴CX＝＝3， ∴CP″＝CX﹣XP″＝3﹣3， ∵将△ACP沿GH折叠使得点P的对应点P′落在AC上，连接PP'，与折痕GH交于点O， ∴OP＝PP′， ∴点O在△ACP的中位线上运动， 如图3， 作PS⊥AC于S， ∴∠PSC+∠CAX＝90°， ∴sin∠ACX＝， ∴， ∴SP＝， ∴OS＝， ∵当CP最小时，点O到AC的距离为：． 14．△ABC中，∠ACB＝60°，D为BC边的中点，连接AD． （1）如图1，若∠B＝45°，，求△ABD的面积； （2）如图2，∠BAC＝90°，F为AB上一点，将DF绕点D顺时针旋转60°得线段DG，作CE⊥BG交BG的延长线于点E，如果DG＝EG，求证：； （3）如图3，∠BAC＝90°，F为AB上一点，将DF绕点D顺时针旋转60°得线段DG，当AG最小时，K为平面内一点，将△KFC沿CK翻折得△KF'C，当FF'最大时，直接写出的值． 【解答】（1）解：如图1， 作AE⊥BC于E， 设CE＝x， 在Rt△ACE中，∠ACB＝60°， ∴AE＝x•tan60°＝， 在Rt△ABE中，∠B＝45°， ∴BE＝＝， 由BE+CE＝BC得， ， ∴x＝， ∴AE＝， ∴S△ABC＝＝， ∵点D是BC的中点， ∴S△ABD＝S△ABC＝； （2）证明：如图2， 连接AG，AE，FG， ∵∠BEC＝∠BAC＝90°， ∴点A、B、C、E共圆， ∴∠AEG＝∠ACB＝60°， ∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点， ∴AD＝CD＝BC， ∵∠ACB＝60°， ∴△ADC是等边三角形， ∴∠DAC＝∠ADC＝60°， ∴∠BAD＝30°， ∵DF绕点D顺时针旋转60°得线段DG， ∴DF＝DG，∠FDG＝60°， ∴∠FDG＝∠ADC， ∴∠ADF＝∠CDG， ∴△ADF≌△CDG（SAS）， ∴∠DCG＝∠BAD＝30°， ∴∠DCG＝， ∴CG⊥AD，CG平分AD， ∴AG＝DG＝EG， ∴△AEG是等边三角形， 同理可得， △AEC≌△AGD， ∴CE＝DG， ∵EG＝DG， ∴CE＝EG， ∵EG＝DG，DG＝DF， ∴EG＝DF， ∴CG＝DF； （3）解：如图3， 作等边三角形BDW，连接WG， 同理（2）可得， △BDF≌△WDG， ∴∠DWG＝∠DBF＝30°， ∴∠BWD′＝∠BWD+∠DWG＝90°， ∴点G在CW上运动， ∴当AG⊥CW时，AG最小（图中AG′），此时DF⊥AB（图中DF′）， 如图4， ∵△KFC沿CK翻折得△KF'C， ∴CF′＝CF， ∴点F′在以C为圆心，CF为半径的圆上运动， ∴当F、C、F′共线时，FF′最大， 作DQ⊥FF′，作FH⊥BC于H， 设DF＝1，则BF＝AF＝DF＝，CD＝AC＝2DF＝2，FH＝BF＝， ∴CF＝， ∵sin∠BCF＝， ∴， ∴DQ＝， ∴S△DCF′＝＝， ∵S△ADF＝， ∴S△AFG＝S△ADF＝， ∴＝2． 15．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是AB上一点． （1）如图1，若，，求BD的长； （2）如图2，将DC绕点D顺时针旋转90°后得到线段DE，DE交BC于点M．连接EB并延长交CD延长线于点F．求证：； （3）如图3，，将△ABC沿BC翻折，得到△A′BC，点D、N分别是AB和A′C上的两个动点，在运动过程中，始终保持AD＝A′N，过点A作直线DN的垂线，垂足为G．连接CG，在线段CG上取一点Q，使得，直接写出当AQ取得最小值时△AGQ的面积． 【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3； （2）证明：如图2，作DH∥BC交AC于H， ∴∠ADH＝∠ABC＝45°， ∴△ADH是等腰直角三角形， ∴AD＝AH，， ∴BD＝HC， 由旋转得：DE＝DC，∠CDE＝90°， ∴∠BDE+∠ADC＝90°， ∵∠HCD+∠ADC＝90°， ∴∠BDE＝∠HCD， ∴△BDE≌△HCD（SAS）， ∴，∠E＝∠HDC， ∵DH∥BC， ∴∠HDC＝∠DCM， ∴∠E＝∠DCM， ∵∠CDE＝90°， ∴∠EDF＝90°， ∴∠CDM＝∠EDF， 又∵DE＝DC， ∴△FDE≌△MDC（ASA）， ∴， （3）解：由翻折得：AB＝A′B＝AC＝A′C， ∵∠BAC＝90°， ∴四边形ABA′C是正方形， ∵在运动过程中，始终保持AD＝A′N， ∴GN过正方形ABA′C两条对角线的交点， 如图3，连接AA′与BC交于点P，则GN过点P， ∵AG⊥DN， ∴点G在以AP为直径的⊙O上运动， ∵， ∴点Q在如图的⊙O'上运动，且O′在CO上与BC相切，， ∴当点A、Q、O′共线时，AQ取得最小值， ∴， ∴OG∥O′Q， ∴S△AGQ＝S△AOQ， ∵， ∴， ∴OA＝OP＝4， ∴，， ∴， 作O′K⊥PC于K，O′M⊥AP于M，QH⊥AP于H，则四边形O′MPK是矩形， ∴MP＝O′K＝OQ＝1， ∴， ∴MO′＝PK＝6， ∴AM＝AP﹣MP＝7， ∴， ∴， ∵HQ∥MO′， ∴△AHQ∽△AMO′， ∴，即， ∴， ∴． 16．在Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D是边BC上一点，连接AD，∠ABD的角平分线交AD于点E． （1）如图1，∠ADB＝60°，若CD＝4，求BE的长； （2）如图2，点F是AC上一点，过点F作FO⊥AD于点O，若点O恰好平分线段AD，求证：； （3）如图3，点P为边AC上一点，且满足AP＝BE，过点P作PQ⊥AD于点Q，连接BQ，当BQ最短时，请直接写出的值． 【解答】（1）解：过点E作EN⊥BD交于点N，过点E作EM⊥AB交于点M，如图1， ∵∠END＝90°，∠EDN＝60°， ∴∠NED＝30°， 在Rt△END中，设ND＝x，， ∴， ∵BE平分∠ABD，EN⊥BD，EM⊥AB， ∴， ∵四边形MBNE为矩形， ∴四边形MBNE为正方形， ∴， 在Rt△AME中，， ∴AM＝3x， ∴＝， 解得：x＝2， ∴ND＝2，， ∵△BNE为等腰直角三角形， ∴， （2）证明：过点D作DM⊥AC于点M，连接OB，OM，如图2， ∵O为AD的中点，∠ABD＝90°，∠AMD＝90°， ∴BO＝AO＝OD，OM＝AO＝OD， ∴BO＝OM，∠ABO＝∠BAO，∠OAM＝∠OMA， ∵∠BAO+∠OAC＝45°，∠BOD＝∠ABO+∠BAO，∠MOD＝∠EAM+∠AMO， ∴∠BOM＝∠BOD+∠MOD＝90°， ∵∠FOD＝90°，∠BOD+∠DOC＝∠FOM+∠DOC， ∴∠BOD＝∠MOF， ∵∠OBE＝45°﹣∠ABO，∠OMF＝∠OAF＝45°﹣∠BAO， ∴∠OBE＝∠FMO， 在△OBE和△OMF中， ， ∴△OBE≌△OMF（ASA）， ∴BE＝MF， ∵△CMD为等腰直角三角形， ∴， ∵FM+MC＝FC， ∴； （3）解：＝．理由如下： 作BV⊥AD于V，作AW⊥AB，交QP的延长线于W，如图3， ∵∠ABC＝∠AQP＝∠BVE＝90°， ∴∠BAD+∠ADB＝90°，∠ADB+∠DBV＝90°， ∴∠BAD＝∠DBV， ∵∠BAD+∠DAC＝45°，∠DBV+∠EBV＝45°， ∴∠DAC＝∠EBV， ∵AP＝BE， ∴△BEV≌△APO（ASA）， ∴BV＝AQ， 同理可得：∠WAQ＝∠ABV， ∵∠AQP＝∠AVB＝90°， ∴△AQW≌△BVA（AAS）， ∴AW＝AB， 那么，点Q在以AW为直径的⊙O上运动， 连接BO，交⊙O于Q′，当点Q在Q′处时BQ最短，如图4， 作QR⊥AB于R，设AW＝AB＝2a，则OA＝OW＝OQ＝a，， ∴， ∵AW∥BC， ∴△AOQ∽△DBQ， ∴＝，整理得＝＝1， 则， ∴＝， ∵AO∥RQ∥BD， ∴＝＝＝， ∴＝＝， 则＝＝． 17．如图，在▱ABCD中，AC为对角线，∠ACB＝45°，点E为AC上一点，连接BE． （1）如图1，若AB＝AE，∠BAC＝60°，AE＝6，求▱ABCD的面积； （2）如图2，过点A作AF⊥BE交BC于点F，垂足为点G，连接DF交AC于点H，若DF⊥AC，求证：； （3）如图3，若AK⊥BC于点K，M为AK中点，N为直线BC上一点，连接MN，将△KMN沿MN所在直线翻折到▱ABCD所在平面内得到△K′MN，连接CK'，再将线段CK′绕点C顺时针旋转90°得到线段CP，连接MP，点Q为直线BC上一点，连接MQ，PQ，若AK＝6，当MQ+PQ取得最小值时，直接写出△MPQ的面积． 【解答】（1）解：如图，过点B作BK⊥AC于点K， 在Rt△ABK中，∠AKB＝90°，∠BAK＝60°，AB＝AE＝6， ∴，BK＝AB＝3， 在Rt△BCK中，∠BKC＝90°，∠BCK＝45°， ∴∠KBC＝45°，， ∵S△ABC＝AC•BK＝， ∴； （2）证明：过点A作AS⊥BC于点S，过点E作ET⊥BC于点T， ∵DF⊥AC， ∴∠FHC＝∠AHD＝90°， 在Rt△CFH中，∠FHC＝90°，∠HCF＝45°， ∴∠HFC＝45°， ∴HF＝HC， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD， ∴∠HAD＝∠HCF＝45°，∠HDA＝∠HFC＝45°，HA＝HD， 在△HAF和△HDC中， ， ∴△HAF≌△HDC（SAS）， ∴AF＝DC， ∴AB＝AF， 设∠EBC＝α， ∵AF⊥BE， 在Rt△BFG中，∠BFG＝90°， ∴∠AFB＝90°﹣α， 在△ABF中，∠ABF＝∠AFB＝90°﹣α， ∴∠BAF＝2α， ∵∠AEG为△BCE的外角， ∴∠AEG＝45°+α， 在Rt△AEG中，∠AGE＝90°， ∴∠GAE＝45°﹣α， ∴∠BAE＝∠BAG+∠GAE＝45°+α， ∴∠BAE＝∠BEA，BA＝BE， ∵AB＝AF，AS⊥BC， ∴，BF＝2BS， 在△BAS和△EBT中， ， ∴△BAS≌△EBT（AAS）， ∴BS＝ET， 在Rt△CET中，∠CTE＝90°，∠ECT＝45°， ∴，， ∴； （3）如图，连接CM，过C作CO⊥CM，且CO＝CM，连接PO， ∵M是AK中点，AK＝6， ∴MK＝MK'＝3， ∵∠MCO＝∠K'CP＝90°， ∴∠MCK'＝∠OCP， ∵CM＝CO，CK'＝CP， ∴△MCK'≌△OCP（SAS）， ∴MK'＝OP＝3， ∴点P的轨迹是以O为圆心，以3为半径的圆上， 如简化示意图， 作M关于CK的对称点M'则MQ+PQ＝M'Q+PQ≥PM'， ∵点P的轨迹是在⊙O上， ∴当M'、P、O三点共线时M'P最小，此时MQ+PQ也最小． ∵AK＝6，∠ACK＝45°， ∴CK＝6， 过O作OG⊥KC交KC延长线于点G，连接AO， ∴∠MCK＝∠COG＝90°﹣∠OCG， ∵∠MKC＝∠G＝90°，CM＝CO， ∴△MCK≌△COG（AAS）， ∴OG＝KC＝6，CG＝MK＝3， ∵AK∥OG，AK＝OG，∠AKC＝90°， ∴四边形AKGO是矩形， ∴AO＝KG＝6+3＝9， ∵AM'＝AK+KM'＝9， ∴△AOM'是等腰直角三角形， ∴OM'＝AO＝9，∠M'＝45°， ∴∠KQM'＝∠CQO＝45°∠MQK， ∴∠MQP＝180°﹣∠MQK﹣∠CQO＝90°，且△KM'Q和△GQO都是等腰直角三角形， ∴M'Q＝MQ＝MK＝3，PQ＝M'O﹣M'Q﹣OP＝6﹣3， ∴S△MPQ＝MQ•PQ＝＝． 18．如图，等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是射线CA上一点，连接BD，过点C作CF⊥BD于点E，AF∥BD． （1）如图1，点D在AC上，∠CAF＝75°，BD＝4，求BC的长； （2）如图2，点D在CA延长线上，点F为CE的中点，过点F作FH⊥BC于点H，连接EH，求证：； （3）如图3，点D在CA的延长线上，∠CDB＝30°，AC＝4，点N在BA的延长线上，点M在AC的延长线上，且AM＝BN，连接BM、DN，当取得最小值时，请直接写出△BDN的面积． 【解答】（1）解：如图1，过点D作DH⊥AB于点H， ∵AF∥BD， ∴∠CDB＝∠CAF＝75°， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠DAB＝45°，∠DBA＝30°， 在Rt△BDH中，BH＝2， ∴AB＝2+2， 在Rt△ADH中，AH＝DH＝2， ∴在Rt△ABC中，BC＝AB＝+． （2）证明：如图2，过点E作EM⊥EH交CB延长线于点M， ∵AF∥BD，CE⊥BD， ∴∠AFC＝∠CEB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACF+∠BCE＝∠CBE+∠BCE＝90°， ∴∠ACF＝∠CBE， ∵AC＝BC，∠AFC＝∠CEB＝90°， ∴△AFC≌△CEB（AAS）， ∴BE＝CF， ∵F是CE的中点， ∴CF＝EF＝BE， ∵∠FEH+∠BEH＝∠BEM+∠BEH＝90°， ∴∠FEH＝∠BEM， ∵FH⊥BC， ∴∠FHC＝90°， ∴∠FCH+∠CFH＝∠FCH+∠CBE＝90°， ∴∠CFH＝∠CBE， ∴∠HFE＝∠MBE， ∴△FEH≌△BEM（ASA）， ∴HE＝ME，FH＝BM， ∴HE＝HM＝HB+BM＝HB+HF， 即HB+HF＝HE． （3）解：如图3，取BG＝AB，作NI⊥BG，AH⊥NI． ∵AC＝BC， ∴∠BAM＝∠NBG， ∵AM＝BN，AB＝BG， ∴△ABM≌△BGN（SAS）， ∴BM＝GN， ∵NG⊥BI， ∴∠BNI＝∠NBI＝45°， ∵AH⊥NH， ∴∠ANH＝∠HAN＝45°， ∴NH＝AN， ∴BM﹣AN≥NG﹣NH＝HI， 如图4，当I，G重合时，取最小值， 此时BG＝BA＝4，BN＝8， 过D作DK⊥BN于点K， ∵BD＝8， ∴DK＝2﹣2， ∴S△BDN＝BN•DK＝8﹣8． 19．在▱ABCD中，∠ABC＝45°，连接AC，已知AB＝AC＝，点E在线段AC上，将线段DE绕点D顺时针旋转90°为线段DF． （1）如图1，线段AC与线段BD的交点和点E重合，连接EF，求线段EF的长度； （2）如图2，点G为DC延长线上一点，使得GC＝EC，连接FG交AD于点H，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，平面内一点P，当最小时，求△HPB的面积． 【解答】（1）解：过点D作DG⊥BC，交BC延长线于点G， ∵∠BAC＝45°，AB＝AC＝， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∠BAC＝90°， ∴BC＝AB＝×＝2， ∵▱ABCD， ∴∠DCG＝∠ABC＝45°，CD＝AB＝，ED＝BD， ∵DG⊥BC， ∴DG＝CG＝CD＝×＝1， 在Rt△BGD中，BG＝BC+CD＝2+1＝3，BD＝＝＝， ∴ED＝BD＝×＝， 由旋转的性质可得：ED＝FD，ED⊥FD， ∴△EDF是等腰直角三角形， ∴EF＝ED＝×＝， ∴EF的长为； （2）证明：连接AG，AF， ∵∠BAC＝90°，AB∥CD， ∴AC⊥GD，∠GCA＝∠ECD＝90°， 又∵GC＝EC，AC＝DC， ∴△GCA≌△ECD（SAS）， ∴GA＝ED，∠GAC＝∠EDC， ∵ED＝FD，ED⊥FD， ∴GA＝FD，∠AGC+∠GDF＝90°﹣∠GAC+∠EDC+90°＝180°， ∴GA∥FD， ∴四边形AGDF是平行四边形， ∴AH＝AD＝×2＝1， ∴AH＝×1＝CD， ∴AH＝CD； （3）解：将△BPC绕点B顺时针旋转90°，得到△BP′C′，连接C′H， 由旋转的性质可得，C′P′＝CP，BP′＝BP，∠PBP＝90°， ∴P′P＝BP， ∴HP+CP+BP＝HP+C′P′+P'P≤C′H，当P'P在线段C'H上时取得最小值， 延长C′B与DA延长线交于点I，过点B作BJ⊥P′P于点J，连接BH， 由旋转的性质可得，BC′＝BC＝2，∠PBP＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠AIB＝90°，∠IAB＝∠ABC＝45°， ∴IB＝IA＝AB＝×＝1， 在Rt△IC′H中，IC′＝IB+BC′＝1+2＝3， IH＝IA+AH＝1+1＝2， C′H＝＝＝， ∵S△BC′H＝C′H•BJ＝BC′•IH， 即S△BC′H＝×BJ＝×2×2， ∴BJ＝， 在Rt△IBH中， BH＝＝＝， 在Rt△BJH中， JH＝＝＝， ∴PH＝JH﹣PJ＝﹣＝， ∴S△HPB＝PH•BJ＝××＝， ∴△HPB的面积为． 20．菱形ABCD的对角线交于点O． （1）如图1，过菱形ABCD的顶点A作AE⊥BC于点E，交OB于点H，若AB＝AC＝6，求四边形OHEC的面积； （2）如图2，过菱形ABCD的顶点A作AF⊥AD，且AD＝AF，线段AF交OB于点H，交BC于点E，若D、C、F三点共线，求证：OH+OC＝BH； （3）如图3，菱形ABCD中，∠ABC＝45°，AB＝6，点P为射线AD上一动点，连接BP，将BP绕点B逆时针旋转60°到BQ，连接AQ，直接写出线段AQ的最小值． 【解答】（1）解：如图1中，连接CH， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，OA＝OC， ∵AB＝AC＝6， ∴AB＝AC＝BC＝6， ∴△ABC是等边三角形， ∵AE⊥CB， ∴BE＝CE＝3， ∴AE＝＝＝3， ∵AO＝OC，BE＝EC， ∴S△AOH＝S△OCH＝S△ECH＝S△BEH， ∴S四边形OHEC＝S△BCH＝S△ABC＝××6×3＝3； （2）证明：如图2中，连接CH，在OC上取一点Q，使得OH＝OQ，连接HQ． ∵AD⊥AD，AD＝AF， ∴∠ADF＝∠F＝45°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABC＝∠ADC＝45°，AD∥CB， ∴AE⊥BC， ∴∠AEB＝∠AEC＝90°， ∵DA＝DC， ∴∠DAC＝∠DCA＝67.5°， ∴∠EAC＝∠EBH＝22.5°， ∴△BEH≌△AEC（ASA）， ∴BH＝AC＝2OC， ∵BD垂直平分线段AC， ∴HA＝HC， ∴∠HCA＝∠HAC＝22.5°， ∵OQ＝OH， ∴∠OHQ＝∠OQH＝45°， ∵∠OQH＝∠QHC+∠QCH， ∴∠QHC＝∠HCQ＝22.5°， ∴QH＝QC＝OH， 设OH＝m，则OQ＝m，HQ＝CQ＝m， ∴OC＝m+m， ∴OH+OC＝m+m+m＝2m+m， ∵BH＝OC＝（m+m）＝m+2m， ∴OH+OC＝BH； （3）解：如图3中，以AB为边向下作等边△ABT，连接PT，过点T作TH⊥AD于点H，在TH上取一点J，使得AJ＝JT． ∵∠PBQ＝∠ABT＝60°， ∴∠ABQ＝∠TBP， ∵BP＝BQ，BA＝BT， ∴△ABQ≌△TBP（SAS）， ∴AQ＝PT， ∴当TP与TH重合时，TP的值最小，此时AQ的值最小． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥CB， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∵∠ABC＝45°，∠BAT＝60°， ∴∠BAD＝135°，∠TAH＝75°， ∵∠AHT＝90°， ∴∠ATH＝15°， ∵JA＝JT， ∴∠JAT＝∠JTA＝15°， ∴∠AJH＝∠JAT+∠JTA＝30°， 设AH＝a，则AJ＝JT＝2a，HJ＝a， ∵AT＝AB＝6， ∴a2+（2a+a）2＝62， 解得a＝（﹣）， ∴TH＝2a+a＝（+）， ∴AQ的最小值为（+）． 21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以BC为边向上作正方形BCDE，以AC为边作正方形ACFG，点D恰好在线段GF上． （1）若AB的长度比BC少4，AC＝8，求△ABC的面积； （2）求证：BG﹣DG＝EG； （3）已知点P是△ABC内一动点，且P不与△ABC的顶点和边重合，在（1）的条件下，请直接写出PA+PB+PC的最小值． 【解答】（1）解：设BC＝x，则AB＝x﹣4， ∵△ABC中，∠BAC＝90°， ∴BC2﹣AB2＝AC2， 即x2﹣（x﹣4）2＝82， 解得x＝10（负值舍去）， ∴BC＝10，AB＝6， ∴； （2）证明：过点E作EH⊥EG交BG于H，如图所示： ∵∠BED＝∠HEG＝90°， ∴∠BED﹣∠HED＝∠HEG﹣∠HED， 即∠BEH＝∠DEG， ∵∠EMG＝∠BED+∠EBG＝∠BGD+∠GDE，∠BED＝∠BGD＝90°， ∴∠EBG＝∠GDE， 在△BEH和△DEG中， ， ∴△BEH≌△DEG（ASA）， ∴EH＝EG，BH＝DG， ∴， ∴， ∴； （3）解：在（1）的条件下，BC＝10，AB＝6，AC＝8， 过点A作AG⊥BC于点G，将△ACP绕点C顺时针旋转90°到△CDE，连接PD，延长BC，过点E作EF⊥BC于点F，连接BE，如图所示， ∵∠BAC＝90°， ∴， ∴， 根据勾股定理得， 根据旋转可知∠PCD＝∠ACE＝90°，CP＝CD，AC＝CE，DE＝AP， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当B、P、D、E四点共线时，PB+PD+DE最小，则最小， ∴最小值为BE的长， ∴∠AGC＝∠ACE＝∠EFC＝90°， ∴∠ACG+∠GAC＝∠ACG+∠ECF＝90°， ∴∠GAC＝∠ECF， ∵AC＝CE＝8， ∴△ACG≌△CEF（AAS）， ∴，， ∴， ∴， 即最小值为． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$