专题9.2 空间点、线、面的位置关系（考点精讲）-【中职专用】2025年春季高考数学一轮复习讲练测（山东专用）

专题9.2 空间点、线、面的位置关系 【考向预测】 1 【知识导图】 1 【知识清单】 1 【考点分类剖析】 3 考点一：平面性质的应用 3 考点二：空间中两直线的位置关系 4 考点三：平行线传递性的应用 4 考点四：异面直线所成的角 5 【考纲要求】 1. 理解平面的基本性质； 2. 理解空间直线与直线的位置关系； 3. 掌握直线与直线平行、垂直关系的判定与性质； 4. 理解异面直线所成角，并会解决相关的简单问题. 【考向预测】 1.平面性质的应用 2.空间中两直线的位置关系 3.平行线传递性的应用 4.异面直线所成的角 【知识导图】 【知识清单】 1.平面及其表示 (1)平面是平的、无限延展(没有边界的)，且不计厚度． (2)平面常用小写字母α，β，γ等来表示，如平面α，平面β；也可用表示平面的平行四边形的对角顶点的字母表示，如平行四边形ABCD表示的平面可记作平面AC. (3)平面的画法 ①只画平面的一部分表示一个平面，且一般是画一个平行四边形表示其所在平面； ②为增强立体感，当一个平面或直线的一部分被另外的平面遮住时，应把被遮住的部分线段画成虚线或者不画，且后画的辅助线也须遵循这个原则．凡是不被遮住的线都画成实线(无论是题中原有的，还是后画的辅助线). 2.平面的基本性质 公理1 内容 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点均在此平面内   作用 判断一条直线是否在一个平面内 公理2 内容 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面   作用 给出了三个点确定一个平面的依据 公理3 内容 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线   作用 给出了两个平面相交的条件与结论，也给出了交线的定义 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面   推论作用 给出了如何确定一个平面的理论依据 3.平面中的符号语言 点是空间的基本元素，直线、平面、空间均可看作为点的集合，且直线为平面的子集，平面为空间的子集． 位置关系 符号表示 点P在直线a上  P∈a 点P不在直线a上  P∉a 点P在平面α内  P∈平面α 点P不在平面α内  P∉平面α 直线a与直线b相交于点M  a∩b＝M 直线a在平面α内  a⊂平面α 直线b不在平面β内 b⊄平面β 特别提醒：直线与直线、直线与平面、平面与平面“相交”“平行”“垂直”分别用符号“∩”“∥”“⊥”来表示． 4.空间中两条直线的位置关系 位置关系 共面情况 公共点的个数 相交 在同一个平面内  1 平行 在同一个平面内  0 异面 不同在任何一个平面内 0 5.平行直线 公理4(平行线的传递性)：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 6.异面直线 (1)异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线． (2)异面直线的判定方法：与一个平面相交于一点的直线，和这个平面内不经过交点的直线为异面直线． (3)异面直线所成的角：若a，b为异面直线，则经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫作异面直线a与b所成的角． (4)异面直线所成的角θ的取值范围：θ∈．特别地，当θ＝时，称两条异面直线互相垂直，记作a⊥b. 特别提醒：作异面直线所成的角时，为了方便，通常将点O取在两条异面直线中的一条上，也就是说只需要平移另外一条直线即可． 【考点分类剖析】 考点一：平面性质的应用 例1．下面说法正确的是（    ） A．三个点确定一个平面 B．两个相交平面可以只有一个公共点 C．三角形是平面图形 D．可以无限延展的面就是平面 【变式探究】下列命题正确的是（    ） A．经过三点确定一个平面 B．经过一条直线和一个点确定一个平面 C．四边形确定一个平面 D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 例2．已知点A，B和平面α，若A∈α，B∈α，则有(　　) A．AB∈α B．AB∉α C．AB⊂α D．AB⊄α 【变式探究】若点M在直线AB上，AB在平面α内，则M，AB，α间的关系可记为(　　) A．M∈AB，AB∈α B．M∈AB，AB⊂α C．M⊂AB，AB⊂α D．M⊂AB，AB∈α 考点二：空间中两直线的位置关系 例3．下列说法不正确的是（    ） A．两条相交的直线确定一个平面 B．垂直于同一直线的两条直线互相垂直 C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．不在同一直线上的三点确定一个平面 【变式探究】已知空间两条直线m，n，则“直线m，n不平行”是“直线m，n异面”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 考点三：平行线传递性的应用 例4．如图所示，在正四棱锥P－ABCD中，点E，F分别是侧棱PA，PB的中点．求证：EF∥CD. 【变式探究】如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是AB，BC的中点．求证：DE∥A1C1. 考点四：异面直线所成的角 例5．如图，正方体中，直线与所成角为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】如图所示，点A是三角形所在平面外一点，，点E，F分别是，的中点，且，异面直线和所成的角是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9.2 空间点、线、面的位置关系 【考向预测】 1 【知识导图】 1 【知识清单】 1 【考点分类剖析】 3 考点一：平面性质的应用 3 考点二：空间中两直线的位置关系 5 考点三：平行线传递性的应用 5 考点四：异面直线所成的角 6 【考纲要求】 1. 理解平面的基本性质； 2. 理解空间直线与直线的位置关系； 3. 掌握直线与直线平行、垂直关系的判定与性质； 4. 理解异面直线所成角，并会解决相关的简单问题. 【考向预测】 1.平面性质的应用 2.空间中两直线的位置关系 3.平行线传递性的应用 4.异面直线所成的角 【知识导图】 【知识清单】 1.平面及其表示 (1)平面是平的、无限延展(没有边界的)，且不计厚度． (2)平面常用小写字母α，β，γ等来表示，如平面α，平面β；也可用表示平面的平行四边形的对角顶点的字母表示，如平行四边形ABCD表示的平面可记作平面AC. (3)平面的画法 ①只画平面的一部分表示一个平面，且一般是画一个平行四边形表示其所在平面； ②为增强立体感，当一个平面或直线的一部分被另外的平面遮住时，应把被遮住的部分线段画成虚线或者不画，且后画的辅助线也须遵循这个原则．凡是不被遮住的线都画成实线(无论是题中原有的，还是后画的辅助线). 2.平面的基本性质 公理1 内容 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点均在此平面内   作用 判断一条直线是否在一个平面内 公理2 内容 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面   作用 给出了三个点确定一个平面的依据 公理3 内容 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线   作用 给出了两个平面相交的条件与结论，也给出了交线的定义 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面   推论作用 给出了如何确定一个平面的理论依据 3.平面中的符号语言 点是空间的基本元素，直线、平面、空间均可看作为点的集合，且直线为平面的子集，平面为空间的子集． 位置关系 符号表示 点P在直线a上  P∈a 点P不在直线a上  P∉a 点P在平面α内  P∈平面α 点P不在平面α内  P∉平面α 直线a与直线b相交于点M  a∩b＝M 直线a在平面α内  a⊂平面α 直线b不在平面β内 b⊄平面β 特别提醒：直线与直线、直线与平面、平面与平面“相交”“平行”“垂直”分别用符号“∩”“∥”“⊥”来表示． 4.空间中两条直线的位置关系 位置关系 共面情况 公共点的个数 相交 在同一个平面内  1 平行 在同一个平面内  0 异面 不同在任何一个平面内 0 5.平行直线 公理4(平行线的传递性)：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 6.异面直线 (1)异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线． (2)异面直线的判定方法：与一个平面相交于一点的直线，和这个平面内不经过交点的直线为异面直线． (3)异面直线所成的角：若a，b为异面直线，则经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫作异面直线a与b所成的角． (4)异面直线所成的角θ的取值范围：θ∈．特别地，当θ＝时，称两条异面直线互相垂直，记作a⊥b. 特别提醒：作异面直线所成的角时，为了方便，通常将点O取在两条异面直线中的一条上，也就是说只需要平移另外一条直线即可． 【考点分类剖析】 考点一：平面性质的应用 例1．下面说法正确的是（    ） A．三个点确定一个平面 B．两个相交平面可以只有一个公共点 C．三角形是平面图形 D．可以无限延展的面就是平面 【答案】C 【分析】根据平面的概念及平面性质的三个公理可判断结果. 【详解】不在同一直线上三点确定一个平面，故A错误； 两个平面相交，有一条公共直线，有无数个公共点，故B错误； 由公理：不在同一直线上三点确定一个平面可知，三角形是平面图形，故C正确； 平面是平的，可以无限延展，所以无限延展的面不一定是平面，故D错误. 故选：C. 【变式探究】下列命题正确的是（    ） A．经过三点确定一个平面 B．经过一条直线和一个点确定一个平面 C．四边形确定一个平面 D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 【答案】D 【知识点】平面性质的三个公理及推论 【分析】根据平面的基本性质与推论判断即可. 【详解】经过不共线的三点确定一个平面，故A错误； 经过一条直线与直线外一点确定一个平面，故B错误； 空间四边形不是平面图形，故C错误； 两两相交且不共点的三条直线，则三个交点不共线，故它们确定一个平面，故D正确； 故选：D. 例2．已知点A，B和平面α，若A∈α，B∈α，则有(　　) A．AB∈α B．AB∉α C．AB⊂α D．AB⊄α 【答案】C 【解析】文字语言与数学符号语言的转换.故选：C． 【变式探究】若点M在直线AB上，AB在平面α内，则M，AB，α间的关系可记为(　　) A．M∈AB，AB∈α B．M∈AB，AB⊂α C．M⊂AB，AB⊂α D．M⊂AB，AB∈α 【答案】B 【解析】考查点、线、面的位置关系，以及符号的正确书写．故选：B. 考点二：空间中两直线的位置关系 例3．下列说法不正确的是（    ） A．两条相交的直线确定一个平面 B．垂直于同一直线的两条直线互相垂直 C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．不在同一直线上的三点确定一个平面 【答案】B 【知识点】平行直线、相交直线、平面的概念及其表示 【分析】根据空间中直线与平面的相关知识判断对错即可. 【详解】A中，两条相交直线确定一个平面是对的，所以正确； B中，垂直于同一直线的两条直线不一定互相垂直，它们可能平行或相交但不垂直，因此这是不正确的； C中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这是正确的； D中，不在同一直线上的三点确定一个平面，这是正确的. 故选：B. 【变式探究】已知空间两条直线m，n，则“直线m，n不平行”是“直线m，n异面”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【知识点】平行直线、相交直线、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据空间直线与直线的位置关系即可解得. 【详解】由题直线不平行,则直线可能相交或异面，充分性不成立， 直线异面，则直线不平行，必要性成立， 故“直线不平行”是“直线异面”的必要非充分条件． 故选：B 考点三：平行线传递性的应用 例4．如图所示，在正四棱锥P－ABCD中，点E，F分别是侧棱PA，PB的中点．求证：EF∥CD. 【答案】证明见解析 【解析】∵点E，F分别是侧棱PA，PB的中点， ∴EF∥AB. ∵ABCD是正方形，∴AB∥CD. 根据平行线的传递性可知，EF∥CD. 【变式探究】如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是AB，BC的中点．求证：DE∥A1C1. 【答案】证明见解析 【解析】证明：∵点D，E分别是AB，BC的中点，∴DE∥AC. ∵三棱柱的侧面A1ACC1是平行四边形， ∴AC∥A1C1. 根据平行线的传递性可知，DE∥A1C1. 考点四：异面直线所成的角 例5．如图，正方体中，直线与所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】连接由正方体的结构特征可得：，且三角形为等边三角形，即可知异面直线与所成角. 【详解】连接由正方体的结构特征可知：， 所以与所成角即为异面直线与所成角， 又因为三角形为等边三角形，所以与所成角，即异面直线与所成角为. 故选：C. 【变式探究】如图所示，点A是三角形所在平面外一点，，点E，F分别是，的中点，且，异面直线和所成的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】取的中点，连接，可得与所成角，即（或其补角）为所求，在中可求解. 【详解】如图，取的中点，连接， 在中，点E是的中点，所以； 同理，， 所以异面直线和所成的角是与所成角，即（或其补角）为所求， 设， 在中，， 所以，即. 故选：D 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$