2.4.1 圆的标准方程（6大题型）-2024-2025学年高二数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

2.4.1 圆的标准方程 知识点 1 圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆． 如图，在平面直角坐标系中，⊙的圆心的坐标为，半径为，为圆上任意一点，⊙就是集合．定义中，定点指的是圆心，定长指的是圆的半径． 知识点 2 圆的标准方程 1、圆的标准方程：我们把称为圆心为，半径长为的圆的标准方程． 【注意】（1）所谓标准方程，是指方程的形式．圆的标准方程体现了圆的集合性质，突出了圆的几何意义：圆心位置和半径． （2）圆的标准方程的右端，当方程右端小于或等于0时，对应方程不是圆的标准方程． 2、圆的标准方程的推导过程 （1）建系设点：建立坐标系时，原点在圆心是特殊情况，就一般情况来说，因为是定点，设，半径为，且设圆上任意一点的坐标为． （2）写点集：根据定义，圆就是集合． （3）列方程：由两点间的距离公式得． （4）化简方程：将上式两边平方得． 3、几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点 圆过原点 圆心在轴 圆心在轴 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 圆与轴相切 圆与轴相切 圆与两坐标轴都相切 知识点 3 点与圆的位置关系 1、几何法：点，圆心，圆的半径，设与点间的距离， 点在圆外； 点在圆内； 点在圆上． 2、代数法：将点直接代入圆的标准方程进行判断，即 若点在圆外，则； 若点在圆内，则； 若点在圆上，则． 1、求圆的标准方程的方法 （1）直接法：用直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程. （2）待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组可得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程，一般步骤如下： ①设——设所求圆的方程为； ②列——由已知条件，建立关于，，的方程组； ③解——解方程组，求出，，； ④代——将，，代入所设方程，的所求圆的方程． （3）几何法：在求解圆的方程时，结合圆的几何性质来考虑，可使解题思路更直观，计算更简单，常用的几何性质如“弦的中垂线必过圆心”“过切点与切线垂直的直线必过圆心”等． 2、圆上的点到定点的最大、最小距离 设圆心到定点的距离为，圆的半径为，圆上的动点为点． （1）若点在圆外时，，； （2）若点在圆上时，，； （2）若点在圆内时，，． 综上：，． 题型一 由标准方程确定圆心与半径 【例1】（23-24高二上·海南儋州·期中）已知圆的方程是，其圆心和半径分别是（    ） A．，2 B．，4 C．，2 D．，4 【变式1-1】（23-24高二上·浙江嘉兴·月考）圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二上·江苏扬州·月考）圆的圆心和半径分别是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高二上·广东广州·期中）曲线与轴所围成区域的面积为（    ） A． B． C． D． 题型二 求圆的标准方程 【例2】（23-24高二上·北京·月考）已知圆的圆心在直线上，且圆经过坐标原点，则圆的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·北京·期中）圆心在直线上且与轴相切于点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·浙江杭州·期中）过和两点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二上·天津南开·期中）已知点，，，则外接圆的方程是（    ）． A． B． C． D． 题型三 判断点与圆的位置关系 【例3】（23-24高二上·吉林延边·期中）已知圆，则下列点在圆C内的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高二上·江西九江·月考）经过中三个点的圆的方程不可以是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二上·江苏连云港·月考）点与圆的位置关系是（    ） A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．与a的值有关 【变式3-3】（23-24高二上·青海海南·期中）（多选）已知，两点，以线段为直径的圆为圆，则（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．在圆外 题型四 根据点与圆的位置关系求参数 【例4】（23-24高二上·重庆·期中）若点在圆外，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）若点在圆C：外，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高二上·江苏无锡·月考）若点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【变式4-3】（22-23高二上·广东惠州·月考）若点在圆的内部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五 与圆有关的对称问题 【例5】（23-24高二上·江苏宿迁·月考）圆关于点对称的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高二上·北京大兴·期中）圆关于点中心对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高二上·海南·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 题型六 与圆有关的最值问题 【例6】（23-24高二上·四川广安·月考）已知点，点Q为圆上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高二上·山西大同·期中）已知满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高二上·陕西渭南·期中）已知圆：，圆：，点、分别是圆、圆上的动点，点为轴上的动点，则的最大值是（    ） A． B．9 C．7 D． 【变式6-3】（23-24高二上·河北石家庄·月考）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”在这首诗中含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图，在平面直角坐标系中，军营所在区域的边界为,河岸所在直线方程为,将军从点处出发，先到河边饮马，然后再返回军营，如果将军只要到达军营所在区域即回到军营，则这个将军所经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4.1 圆的标准方程 知识点 1 圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆． 如图，在平面直角坐标系中，⊙的圆心的坐标为，半径为，为圆上任意一点，⊙就是集合．定义中，定点指的是圆心，定长指的是圆的半径． 知识点 2 圆的标准方程 1、圆的标准方程：我们把称为圆心为，半径长为的圆的标准方程． 【注意】（1）所谓标准方程，是指方程的形式．圆的标准方程体现了圆的集合性质，突出了圆的几何意义：圆心位置和半径． （2）圆的标准方程的右端，当方程右端小于或等于0时，对应方程不是圆的标准方程． 2、圆的标准方程的推导过程 （1）建系设点：建立坐标系时，原点在圆心是特殊情况，就一般情况来说，因为是定点，设，半径为，且设圆上任意一点的坐标为． （2）写点集：根据定义，圆就是集合． （3）列方程：由两点间的距离公式得． （4）化简方程：将上式两边平方得． 3、几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点 圆过原点 圆心在轴 圆心在轴 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 圆与轴相切 圆与轴相切 圆与两坐标轴都相切 知识点 3 点与圆的位置关系 1、几何法：点，圆心，圆的半径，设与点间的距离， 点在圆外； 点在圆内； 点在圆上． 2、代数法：将点直接代入圆的标准方程进行判断，即 若点在圆外，则； 若点在圆内，则； 若点在圆上，则． 1、求圆的标准方程的方法 （1）直接法：用直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程. （2）待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组可得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程，一般步骤如下： ①设——设所求圆的方程为； ②列——由已知条件，建立关于，，的方程组； ③解——解方程组，求出，，； ④代——将，，代入所设方程，的所求圆的方程． （3）几何法：在求解圆的方程时，结合圆的几何性质来考虑，可使解题思路更直观，计算更简单，常用的几何性质如“弦的中垂线必过圆心”“过切点与切线垂直的直线必过圆心”等． 2、圆上的点到定点的最大、最小距离 设圆心到定点的距离为，圆的半径为，圆上的动点为点． （1）若点在圆外时，，； （2）若点在圆上时，，； （2）若点在圆内时，，． 综上：，． 题型一 由标准方程确定圆心与半径 【例1】（23-24高二上·海南儋州·期中）已知圆的方程是，其圆心和半径分别是（    ） A．，2 B．，4 C．，2 D．，4 【答案】C 【解析】因为圆的标准方程的圆心为，半径为， 所以圆的圆心和半径分别为，2.故选：C. 【变式1-1】（23-24高二上·浙江嘉兴·月考）圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为圆， 所以圆的圆心坐标为.故选：B. 【变式1-2】（23-24高二上·江苏扬州·月考）圆的圆心和半径分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由圆的标准方程可得，圆心坐标为,半径.故选：B 【变式1-3】（23-24高二上·广东广州·期中）曲线与轴所围成区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由可得，， 所以曲线表示圆的部分， 因为圆心坐标为，所以圆关于轴对称， 所以曲线与轴所围成区域的面积为，故选:B. 题型二 求圆的标准方程 【例2】（23-24高二上·北京·月考）已知圆的圆心在直线上，且圆经过坐标原点，则圆的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心在直线上，且圆经过坐标原点， 则圆心，半径， 对A，圆心为，半径为，A错误； 对B，圆心为，，B错误； 对C，圆心为，半径为，A正确； 对D，圆心为，D错误；故选：C 【变式2-1】（23-24高二上·北京·期中）圆心在直线上且与轴相切于点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意：所求圆的圆心在直线上， 则设所求圆的圆心坐标为， 又由所求圆与轴相切于点，则圆心在直线上，则， 所求圆的半径， 故所求圆的方程为， 所以A正确，B，C，D错误.故选：A 【变式2-2】（23-24高二上·浙江杭州·期中）过和两点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设过和两点的圆的圆心为，半径为， 则， 故，当且仅当为中点时等号成立， 故过和两点的圆的面积最小时直径为， 此时圆的圆心为，故其标准方程为，故选：C. 【变式2-3】（23-24高二上·天津南开·期中）已知点，，，则外接圆的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题 得是直角三角形，且， 所以圆的半径为，圆心为， 所以外接圆的方程为.故选：B. 题型三 判断点与圆的位置关系 【例3】（23-24高二上·吉林延边·期中）已知圆，则下列点在圆C内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，因为，所以点在圆外，所以A错误， 对于B，因为，所以点在圆上，所以B错误， 对于C，因为，所以点在圆上，所以C错误， 对于D，因为，所以在圆内，所以D正确.故选：D 【变式3-1】（23-24高二上·江西九江·月考）经过中三个点的圆的方程不可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A：在圆上，排除； B：都不在圆上，符合要求； C：在圆上，排除； D：在圆上，排除.故选：B 【变式3-2】（23-24高二上·江苏连云港·月考）点与圆的位置关系是（    ） A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．与a的值有关 【答案】A 【解析】圆的圆心，半径， 因为， 所以点在圆外，故选：A 【变式3-3】（23-24高二上·青海海南·期中）（多选）已知，两点，以线段为直径的圆为圆，则（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．在圆外 【答案】ABC 【解析】线段的中点坐标为， 又， 因为线段为圆的直径，所以圆的圆心为，半径， 所以圆的方程为， 对于A，点代入，所以点在圆上，故A正确； 对于B，点代入，所以点在圆外，故B正确； 对于C，点代入，所以点在圆内，故C正确； 对于D，点代入，所以点在圆上，故D错误.故选：ABC. 题型四 根据点与圆的位置关系求参数 【例4】（23-24高二上·重庆·期中）若点在圆外，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：圆的圆心，半径， 若点在圆外，则， 解得或， 所以实数的取值范围是.故选：C. 【变式4-1】（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）若点在圆C：外，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由点在圆C：外，得，而， 所以实数m的取值范围是.故选：C 【变式4-2】（23-24高二上·江苏无锡·月考）若点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】因为点在圆的内部， 所以，即，解得.故选：A 【变式4-3】（22-23高二上·广东惠州·月考）若点在圆的内部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，点在圆的内部 故，即解得： 则a的取值范围是故选：D 题型五 与圆有关的对称问题 【例5】（23-24高二上·江苏宿迁·月考）圆关于点对称的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得圆的标准方程为， 所以圆心为，半径为， 因为点关于点的对称点为， 所以所求对称圆的标准方程为，故选：D 【变式5-1】（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得圆的圆心为，半径为， 设点关于直线对称的点为， 故，解得， 故关于直线对称的点为， 所以所求的圆的方程为．故选：C 【变式5-2】（23-24高二上·北京大兴·期中）圆关于点中心对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆，圆心，半径为， 设关于对称的对称点为， 则，解得，则， 故所求圆的方程为.故选：B. 【变式5-3】（23-24高二上·海南·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径， 设圆心关于直线对称的点的坐标为， 则，解得， 即圆关于直线对称的圆的圆心为，半径， 所以对称圆的方程为.故选：A. 题型六 与圆有关的最值问题 【例6】（23-24高二上·四川广安·月考）已知点，点Q为圆上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以在直线即上. 又圆心到直线的距离为：， 所以的最小值为：.故选：C 【变式6-1】（23-24高二上·山西大同·期中）已知满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知， 设为圆上一动点， 设， 因为，所以在圆外， 则，其中表示圆上点P与点Q距离的平方， 因为，圆半径， 所以，即，所以.故选：D 【变式6-2】（23-24高二上·陕西渭南·期中）已知圆：，圆：，点、分别是圆、圆上的动点，点为轴上的动点，则的最大值是（    ） A． B．9 C．7 D． 【答案】B 【解析】圆：的圆心为，半径为1， 圆：的圆心为，半径为3． ， 又，， 所以． 点关于轴的对称点为，如图， 故， 所以.故选：B 【变式6-3】（23-24高二上·河北石家庄·月考）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”在这首诗中含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图，在平面直角坐标系中，军营所在区域的边界为,河岸所在直线方程为,将军从点处出发，先到河边饮马，然后再返回军营，如果将军只要到达军营所在区域即回到军营，则这个将军所经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图，设将军去河岸的B点喝水，回到军营的C点，所以需求出最小值即可， 圆的圆心为，半径， 设关于直线的对称点为，则，解得， 所以，此时， 所以“将军饮马”的最短路程为．故选：D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$